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  1. 1. Matemática Financeira Mariana Alves de Oliveira
  2. 2. Juros Conforme Assaf Neto e Lima (2014, p. 66), “o juro pode ser entendido como o custo do dinheiro. É o preço que se cobra para emprestar dinheiro, ou o retorno que se espera ganhar em operações de investimento”, ou seja, o preço a ser recebido ou pago por emprestar ou tomar emprestado recursos de terceiros.
  3. 3. Os juros normalmente são expressos sobre a forma de taxa (%). A relação entre a remuneração do capital e o capital usado é denominada taxa de juros.
  4. 4.  Considere por exemplo os juros de R$ 100,00 gerados sobre um capital de R$ 1.000,00. A taxa é obtida da seguinte maneira: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 = 𝑅$ 100,00 = 0,1 (× 100) = 10% 𝑅$ 1.000,00
  5. 5. CAPITALIZAÇÃO A remuneração de juros sobre o capital e sua posterior reaplicação é denominada capitalização.  Conforme Assaf Neto e Lima (2014), há dois critérios de capitalização de taxas de juros:
  6. 6.  A capitalização pode se dar linearmente sobre o principal, ou seja, os cálculos dos juros são feitos somente sobre o principal. Esse critério é denominado juros simples  A capitalização pode se dar exponencialmente sobre o principal, ou seja, os juros não são calculados sobre o principal, mas sobre o saldo devedor acumulado ocorrendo juros sobre juros periodicamente. Esse critério é denominado juros compostos.
  7. 7. JUROS SIMPLES
  8. 8. TAXAS EQUIVALENTES Por definição, conforme Assaf Neto e Lima (2014), taxas equivalentes são taxas de juros que geram os mesmos montantes quando aplicadas sobre um mesmo capital e prazo.
  9. 9. TAXAS EQUIVALENTES Sendo que: ie = taxa de juros equivalente a uma parte de determinado intervalo do tempo i = taxa de juros efetiva do período Prazo que eu tenho: grandeza temporal da taxa de juros informada Prazo que eu quero: grandeza temporal da taxa de juros que se quer a equivalência
  10. 10. TAXAS EQUIVALENTES  Quando se tem a taxa de juros em unidade de tempo menor e quer calcular unidade maior.  Exemplo: ao mês (a.m.) para taxa ao ano (a.a.)  2,8% a.m para a.a. = ? 𝒊𝒆 = (𝟏 + 𝒊) 𝒏/𝟏 – 1 ou 𝒊𝒆 = (𝟏 + 𝒊) 𝒏 𝒒𝒖𝒆𝒓𝒐/𝒏 𝒕𝒆 𝒏𝒉𝒐 – 1 𝒊𝒆 = (𝟏 + 𝟏, 𝟎𝟐𝟖)¹²/¹ – 1 𝒊𝒆 = (𝟏, 𝟎𝟐𝟖)¹²/¹ – 1 𝒊𝒆 = 1,39289 – 1 = 𝒊𝒆 = 0,39289 x 100 = 𝒊𝒆 = 39,29% a.a.
  11. 11. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Assaf Neto (2017, p. 233) ensina que os “sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros”.
  12. 12. PEDRÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZ AÇÃO JUROS VALOR DA PRESTAÇÃO
  13. 13. Classificação do sistema de amortização:
  14. 14. Aplicando exemplos Um empréstimo de R$ 30.000,00 está sendo amortizado em 10 pagamentos mensais a uma taxa de juros de 1,5% ao mês.
  15. 15. Sistema de Amortização Constante Nesse sistema, as amortizações são constantes. Primeiro, divide-se o valor do empréstimo pelo número de parcelas para calcular a amortização.
  16. 16. Aplicando exemplos Um empréstimo de R$ 30.000,00 está sendo amortizado em 10 pagamentos mensais a uma taxa de juros de 1,5% ao mês.
  17. 17. PEDRÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS VALOR DA PRESTAÇÃO 30.000,00 01 R$ 3.000,00 02 R$ 3.000,00 03 R$ 3.000,00 04 R$ 3.000,00 05 R$ 3.000,00 06 R$ 3.000,00 07 R$ 3.000,00 08 R$ 3.000,00 09 R$ 3.000,00 10 R$ 3.000,00 TOTAL 30.000,00
  18. 18. Sistema de Amortização Constante O saldo devedor é calculado subtraindo a amortização do período do saldo devedor do período anterior e os juros são calculados linearmente, sempre sobre o saldo devedor.
  19. 19. Aplicando exemplos Um empréstimo de R$ 30.000,00 está sendo amortizado em 10 pagamentos mensais a uma taxa de juros de 1,5% ao mês.
  20. 20. PEDRÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS VALOR DA PRESTAÇÃO 30.000,00 01 27.000,00 R$ 3.000,00 0,015 02 24.000,00 R$ 3.000,00 03 21.000,00 R$ 3.000,00 04 18.000,00 R$ 3.000,00 05 15.000,00 R$ 3.000,00 06 12.000,00 R$ 3.000,00 07 09.000,00 R$ 3.000,00 08 06.000,00 R$ 3.000,00 09 03.000,00 R$ 3.000,00 10 00.000,00 R$ 3.000,00 TOTAL 30.000,00 2475,00 32.475,00
  21. 21. Para isso, multiplica-se o saldo devedor do período anterior pela taxa de juros em decimal.
  22. 22. Aplicando exemplos Um empréstimo de R$ 30.000,00 está sendo amortizado em 10 pagamentos mensais a uma taxa de juros de 1,5% ao mês.
  23. 23. PEDRÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS VALOR DA PRESTAÇÃO 30.000,00 SD x TAXA 01 27.000,00 R$ 3.000,00 450,00 02 24.000,00 R$ 3.000,00 405,00 03 21.000,00 R$ 3.000,00 360,00 04 18.000,00 R$ 3.000,00 315,00 05 15.000,00 R$ 3.000,00 270,00 06 12.000,00 R$ 3.000,00 225,00 07 09.000,00 R$ 3.000,00 180,00 08 06.000,00 R$ 3.000,00 135,00 09 03.000,00 R$ 3.000,00 90,00 10 00.000,00 R$ 3.000,00 45,00 TOTAL 30.000,00 2475,00 32.475,00
  24. 24. As parcelas são calculadas somando as amortizações com os juros. Dada sua metodologia de cálculo, os juros e as parcelas são decrescentes! É usado no financiamento habitacional.
  25. 25. PEDRÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS VALOR DA PRESTAÇÃO 30.000,00 SD x TAXA 01 27.000,00 R$ 3.000,00 450,00 3450,00 02 24.000,00 R$ 3.000,00 405,00 3405,00 03 21.000,00 R$ 3.000,00 360,00 3360,00 04 18.000,00 R$ 3.000,00 315,00 3315,00 05 15.000,00 R$ 3.000,00 270,00 3270,00 06 12.000,00 R$ 3.000,00 225,00 3225,00 07 09.000,00 R$ 3.000,00 180,00 3180,00 08 06.000,00 R$ 3.000,00 135,00 3135,00 09 03.000,00 R$ 3.000,00 90,00 3090,00 10 00.000,00 R$ 3.000,00 45,00 3045,00 TOTAL 30.000,00 2475,00 32.475,00
  26. 26. Sistema de amortização francês Nesse sistema, as parcelas são constantes. Primeiro, o cálculo das parcelas é feito utilizando como metodologia a série uniforme de pagamentos por juros compostos póstecipados.
  27. 27. Sistema de amortização francês O pagamento Postecipado é o pagamento feito depois da data da compra, por exemplo se você comprou algo para ser pago 30 dias após a compra o pagamento é denominado postecipado
  28. 28. HP12C 30.000 CHS VP 1,5 i 10 n PMT
  29. 29. PEDRÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS VALOR DA PRESTAÇÃO 30.000,00 01 3253,00 02 3253,00 03 3253,00 04 3253,00 05 3253,00 06 3253,00 07 3253,00 08 3253,00 09 3253,00 10 3253,00 TOTAL 30.000,00 2475,00 32.475,00
  30. 30. Depois, os juros são calculados tendo como base o saldo devedor do período anterior.
  31. 31. PEDRÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS VALOR DA PRESTAÇÃO 30.000,00 X 1,5% 01 450,00 3253,00 02 3253,00 03 3253,00 04 3253,00 05 3253,00 06 3253,00 07 3253,00 08 3253,00 09 3253,00 10 3253,00 TOTAL 30.000,00 2475,00 32.475,00
  32. 32. As amortizações são calculadas deduzindo-se as parcelas dos juros. O novo saldo devedor é calculado subtraindo-se o saldo devedor do período anterior da amortização do período.
  33. 33. PEDRÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS VALOR DA PRESTAÇÃO 30.000,00 01 2803,00 450,00 3253,00 02 3253,00 03 3253,00 04 3253,00 05 3253,00 06 3253,00 07 3253,00 08 3253,00 09 3253,00 10 3253,00 TOTAL 30.000,00 2475,00 32.475,00
  34. 34. PEDRÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS VALOR DA PRESTAÇÃO 30.000,00 01 27.196,97 2803,03 450,00 3253,03 02 24.351,92 2845,05 407,95 3253,03 03 3253,03 04 3253,03 05 3253,03 06 3253,03 07 3253,03 08 3253,03 09 3253,03 10 3253,03 TOTAL 30.000,00 2475,00 32.475,00
  35. 35. PEDRÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS VALOR DA PRESTAÇÃO 30.000,00 01 27.196,97 2803,03 450,00 3253,03 02 24.351,92 2845,05 407,95 3253,03 03 21464,17 2887,75 365,28 3253,03 04 3253,03 05 3253,03 06 3253,03 07 3253,03 08 3253,03 09 3253,03 10 3253,03 TOTAL 30.000,00 2475,00 32.475,00
  36. 36. PEDRÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS VALOR DA PRESTAÇÃO 30.000,00 01 27.196,97 2803,03 450,00 3253,03 02 24.351,92 2845,05 407,95 3253,03 03 21464,17 2887,75 365,28 3253,03 04 18533,08 2931,07 321,96 3253,03 05 15558,04 2975,03 278,00 3253,03 06 12538,38 3019,66 233,37 3253,03 07 9473,43 3064,95 188,09 3253,03 08 6362,50 3110,93 142,10 3253,03 09 3204,91 3157,59 95,44 3253,03 10 0,0 3204,96 48,07 3253,03 TOTAL 30.000,00 2475,00 32.475,00
  37. 37. Aplicando exemplos Um empréstimo de R$ 30.000,00 está sendo amortizado em 10 pagamentos mensais a uma taxa de juros de 1,5% ao mês.
  38. 38. JUROS COMPOSTO
  39. 39.  As funções de períodos, taxas, parcelas, valor presente e futuro já foram expostas. Cabe informar que nas operações com a financeira é relevante teclar fclx para limpar a memória. A tecla f também serve para ativar as funções em laranja na calculadora; a tecla g faz o mesmo.
  40. 40. 200000 CHS FV 3 i 4 n PV = R$ 177.697,41 1) Se uma pessoa desejar obter $ 200.000,00 dentro de um ano, quanto deverá aplicar hoje num fundo que rende 3,0% a.t.? Em outras palavras, qual é o valor presente dessa aplicação?
  41. 41. Pela HP 12C: 10000 CHS PV 1.5 i 10 n FV= R$ 11.605,4 2) Calcular o valor futuro de um capital investido de R$ 10.000,00 aplicado a taxa de 1,5% ao mês durante 10 meses.
  42. 42. 3) Qual o tempo que um investimento de R$ 10.000,00 precisa ficar aplicado para gerar um valor futuro de R$ 15.000,00 a uma taxa de 1,5% ao mês? Pela HP 12C 15000 CHS FV 10000 PV 1.5 i N? = 28 meses
  43. 43. 4) A que taxa mensal uma quantia de R$ 8.000,00 gerou um valor futuro de R$ 9.500,00 no prazo de 6 meses? Pela HP 12C: 9500 CHS FV 8000 PV 6n i = 2,91%
  44. 44. VAMOS PRATICAR 1. Calcule o valor futuro e os juros de uma aplicação de R$ 100.000,00 efetuada pelo prazo de 8 meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano.
  45. 45. VAMOS PRATICAR 2. Que capital gerou rendimento de R$ 350,00 durante 10 meses a uma taxa de 1,0% ao mês?
  46. 46. VAMOS PRATICAR 3. Pedro pagou ao Banco Juro Alto R$ 10,00 por um dia de atraso sobre uma prestação de R$ 150,00. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco?
  47. 47. VAMOS PRATICAR 4. Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 90.000,00 por um período de 1 mês sabendo que a taxa de juros foi de 2,0% ao mês.
  48. 48. VAMOS PRATICAR 5. Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 1.000,00 que gerou rendimentos de R$ 300,00 a uma taxa de juros de 1,5% ao mês?

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