1. PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA
Prof. Anderson Coser Gaudio
Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo
http://www.cce.ufes.br/anderson
anderson@npd.ufes.br Última atualização: 30/08/2005 13:24 H
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED.,
LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 3
Capítulo 29 - Lei de Gauss
Problemas
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51

2. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos
47. Uma esfera sólida não condutora, de raio R possui uma distribuição de cargas não uniforme, a
densidade de cargas sendo dada por ρ = ρe r/R, onde ρe é constante e r é a distância ao centro da
esfera. Mostre que (a) a carga total na esfera é Q = πρeR3 e (b) o campo elétrico dentro da esfera
é determinado por
1 Q 2
E= r
4πε 0 R 4
(Pág. 53)
Solução.
(a) Considere o esquema abaixo:
+
E
+ dA +
r +
+ + +
Q R
q + +
+
+ +
Carga total na esfera:
dq r
ρ= = ρ0
dV R
r 4πρ0 3
dq = ρ0 .4π r 2 dr = r dr (1)
R R
4πρ0 R 4πρ0 R 4
Q = ∫ dq = ∫ r dr =
3
R 0 R 4
Q = πρ0 R3
(b) Carga no interior da esfera de raio r, partindo-se de (1):
4πρ0 r 4πρ0 r 4
q=
R ∫
0
r 3dr =
R 4
πρ0 r 4 ⎛ R3 ⎞ πρ0 R3r 4 Qr 4
q= ×⎜ 3 ⎟ = = 4 (2)
R ⎝R ⎠ R4 R
Aplicação da lei de Gauss à superfície esférica de raio r:
q
∫ E.dA = ε 0 (3)
Substituindo-se (2) em (3):
Qr 4
E.4π r 2ε 0 =
R4
1 Qr 2
E=
4πε 0 R 4
[Início]
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3. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
50. A Fig. 38 mostra o modelo de Thomson para o átomo de hélio (Z = 2). Dois elétrons em repouso
estão enterrados dentro de uma esfera uniforme de carga positiva 2e. Determine a distância
dentre os elétrons para que a configuração fique em equilíbrio.
(Pág. 53)
Solução.
(a) Considere o esquema abaixo:
E+
+
F− dA +
F+ +
+ +
+ R
+
d/2 +
+ +
Para que haja equilíbrio eletrostático nesse sistema, a resultante das forças sobre cada elétron deve
ser nula. Cada elétron está sujeito a duas forças: repulsão devido ao outro elétron e atração devido à
camada esférica de cargas positivas de raio d/2. As cargas positivas da camada esférica com raio
maior do que d/2 não exercem força sobre os elétrons.
F+ + F− = 0 (1)
Repulsão elétron-elétron:
1 e2
F− = r (2)
4πε 0 d 2
Atração esfera-elétron:
F+ = −eE+ (3)
Carga positiva na esfera de raio r = d/2:
q q 2e
ρ= = 3
=
V 4 ⎛d ⎞ 4 3
π⎜ ⎟ πR
3 ⎝2⎠ 3
ed 3
q= 3 (4)
4R
Campo produzido pela esfera de raio r = d/2 em sua superfície (lei de Gauss):
q
∫ E.dA = ε 0
2
⎛d ⎞
E+ .4π ⎜ ⎟ ε 0 = q
⎝2⎠
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4. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
E+ .4π d 2ε 0 = q (5)
Substituindo-se (4) em (5):
ed 3 1
E+ = . 2
4R π d ε 0
3
1 ed
E+ = .
4πε 0 R3
Em termos vetoriais:
1 ed
E+ = . r (6)
4πε 0 R3
Substituindo-se (6) em (3):
1 e2 d
F+ = − r. (7)
4πε 0 R3
Substituindo-se (2) e (7) em (1):
1 e2 d 1 e2
− . r+ r=0
4πε 0 R3 4πε 0 d 2
d=R
[Início]
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