1. Projeto de Estruturas Considerando o Efeito
da Não-Linearidade Geométrica Utilizando o
Método de Otimização Topológica
Ricardo Doll Lahuerta
Apresentação para a obtenção
do Título de Mestre em Engenharia
Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva
Orientador
Escola Politécnica
USP/2012
Programa de Engenharia Mecânica
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, Brasil
1
Apoio FUSP
2. • INTRODUÇÃO
• OBJETIVO E JUSTIFICATIVA
• REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
• MECÂNICA DO CONTÍNUO
• MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA (MOT)
• IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DO MEF NÃO-LINEAR (NL)
• FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT NL GEOMÉTRICO
• RESULTADOS
• CONCLUSÕES
• TRABALHOS FUTUROS
• AGRADECIMENTOS
SUMÁRIO
Ricardo Doll Lahuerta 2
3. INTRODUÇÃO
Não-Linearidade no MEF
Ricardo Doll Lahuerta 3
Estampagem de uma chapa
Deformação Plástica (Encruamento)
Colapso de uma viga
Efeito pós-flambagem
(Geométrica)
Contato de um selo
de borracha
Existem inúmeros casos em que uma análise não-linear é indispensável, podendo
ser citadas três fontes principais de não-linearidades no MEF:
• Não-linearidade de Material (Plasticidade).
• Não-linearidade nas Condições de Contorno (contato).
• Não-linearidade Geométrica (Elástica ou Cinemática).
(Wriggers 2006).
4. 4
• Distribui uma quantidade fixa de material no interior de uma região
determinada (Domínio Fixo Estendido).
• Tal que, uma função objetivo seja minimizada e suas respectivas
restrições sejam satisfeitas.
• Combina um Método de Otimização Numérica com o MEF.
F
?
Exemplo de Otimização Topológica
Ricardo Doll Lahuerta
INTRODUÇÃO
Método de Otimização Topológica
6. Revisão Bibliográfica
MOT considerando o efeito Não-Linear Geométrico
Ricardo Doll Lahuerta
T. Buhl, C.B.W. Pedersen and O. Sigmund (2001)
R.Kemmler, A.Lipka, E.Ramm (2005)
6
Zerar a força interna dos elementos com pseudo
densidade menores que 0.01.
Valores de pseudo-densidades menores que 0.01,
é penalizado somente .EK
T E G K K K
7. Revisão Bibliográfica
Ricardo Doll Lahuerta
MOT Não-Linear
Trabalhos relevantes utilizando gradientes.
BRUNS, D., & TORTORELLI, D. (1998). Topology optimization of geometrically nonlinear
structures and compliant mechanisms.
CARDOSO, E. L. (2005). Otimização Topológica de Transdutores Piezelétricos
Considerando a Não-Linearidade Geométrica.
PENZELER, P. & WIRTH, B. (2010). A phase-field model for compliance shape optimization
Non-linear elasticity.
HUANG, X & Xie, Y. M. (2004). Evolutionary Topology Optimization of Continuum
Structurs
7
Trabalho relevantes sem gradientes.
8. JUSTIFICATIVA
Ricardo Doll Lahuerta 8
Obter resultados de Otimização Topológica Não-Linear mais
consistentes baseado nos seguintes pontos:
• Utilizar leis de materiais adequadas ao problema de
elementos de baixa densidade, estabilizando assim de forma
consistente o problema de Otimização Topológico Não-Linear
Geométrico.
• Permitir que elementos de baixa densidade reapareçam
durante o processo iterativo de otimização.
9. OBJETIVOS
Ricardo Doll Lahuerta
• Projetar estruturas mecânicas considerando o feito da não-
linearidade geométrica utilizando o Método de Otimização
Topológica (MOT) .
• Implementar rotinas do MEF não-linear Geométrico para
solução de problemas 2D (EPD e EPT).
• Implementar uma técnica de projeção mais robusta aplicada a
OT não-linear com baixo campo de cinza.
• Trabalhar com elementos de baixa densidade de forma mais
adequada.
9
10. Ricardo Doll Lahuerta
MECÂNICA DO CONTÍNUO
Considerações deste trabalho
• Formulação Lagrangiana.
• Não-Linearidade Geométrica Exata (NL Elástica Exata).
• Primeiro Tensor das Tensões de Piolla-Kirchhoff.
• Lei de Material Kirchhoff-Saint Venant.
• Lei de Material Neo-Hookiana.
10
11. Ricardo Doll Lahuerta
MECÂNICA DO CONTÍNUO
11
at bt
Movimento e Deformação de um sólido no espaço.
Configuração de Referência
é dada por .( )r
(Pimenta, P 2008; Bonet, J. 2006).
12. Ricardo Doll Lahuerta
MECÂNICA DO CONTÍNUO
12
Posição dos pontos materiais na configuração deformada.
r
d x x u,
,r
i ir
d
x
F x u f e
x
Tensor do Gradiente da Transformação.
1 1
,
2 2
T
E F F I C I
Medida de Deformação no Espaço,
Tensor da Deformação de Green.
(Pimenta, P 2008; Bonet, J. 2006).
13. Ricardo Doll Lahuerta
MECÂNICA DO CONTÍNUO
13
Medida de Tensão no Espaço.
Tensor das Tensões de Cauchy.
T t e e
3
1
( ) ,i i
i
Primeiro tensor das tensões de Piolla-Kichhoff (Tensão de Engenharia).
det( )
,
T
i i
r r
P F T F
Pe
t Pn
S F P = F TF ,1 1 T
J
Segundo tensor das tensões de Piolla-Kichhoff.
: :P F S E
Relação entre os pares conjugados de tensores de tensões.
(Pimenta, P 2008; Bonet, J. 2006).
14. Ricardo Doll Lahuerta 14
MECÂNICA DO CONTÍNUO
ext int
int
:b u t u P Fr r r
V S
r r r r r
V S V
P P T
P P P
dV dS dV
Teorema
das Potências
{ , }P F
Considerando o Sistema Quase-Estático.
intP Potência Interna.
Derivada Temporal da Energia Cinética.0T
extP Potência Externa.
VP Potência das Forças de Volume.
SP Potência das Forças de Superfície.
(Pimenta, P 2008).
15. Ricardo Doll Lahuerta 15
MECÂNICA DO CONTÍNUO
Lei de Material.
Kirchhoff-Saint
Venant.
Função da Energia
de Deformação Específica. 21
2
2
I II E EE
2
tr , trE EE EI II
Invariante do tensor de
Deformação.
2 ES E I + E
Relação entre o par conjugado
. ,S E
EP F F C I
Relação entre o par conjugado
. ,P F
i
ij
j
D
f
Tensor dos Módulos de Rigidez
Elástico Tangente.
(Pimenta, P 2008).
16. Ricardo Doll Lahuerta 16
MECÂNICA DO CONTÍNUO
Lei de Material.
neo-Hookiana de Simo-Ciarlet.
Função da Energia
de Deformação Específica.
21 1 1
, 1 ln 3 2 ln
2 2 2
J I J J I J
C C
2 21
: , : , det
2
C C C CI C C C CI II I III
Invariantes do tensor de
Deformação.
21 1
1
2
J
J
P G F
F
Relação entre o par conjugado
. ,P F
i
ij
j
D
f
Tensor dos Módulos de Rigidez
Elástico Tangente.
(Pimenta, P 2008).
18. Domínio Fixo Estendido
De Projeto
Domínio Estendido Fixo
Domínio Desconhecido
Otimização Topológica
(Bendsøe & Kikuchi 1988)
Ricardo Doll Lahuerta
MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA
18
19. Modelo de Material
Ricardo Doll Lahuerta
0 1
?
• Problema discreto (zero ou um) é mal-posto, não apresenta solução
(dependência da malha).
• Material deve assumir valores de pseudo-densidades intermediárias durante o
processo de otimização utilizando o “modelo de material” (SIMP) o problema é
relaxado.
• O problema discreto deve ser recuperado através de penalizadores no modelo de
material.
MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA
19
20. Ricardo Doll Lahuerta
Pseudo-Densidade
Modulo de Elasticidade
Efetivo
Modulo de Elasticidade
Nominal
Penalização
Bendsøe & Sigmund (2003)
SIMP (“Solid Isotropic Material With Penalization”)
20
Modelo de Material
MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA
0( ) ( ) ( ),x x xp
E E
21. Problemas
Escala de Cinza, Dependência de Malha e
Instabilidade de Tabuleiro
Ricardo Doll Lahuerta
Escala de Cinza Instabilidade de Tabuleiro
Dependência de Malha
ALLAIRE (2002); BENDSØE & SIGMUND (2003)
MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA
21
22. Método dos Elementos Finitos
Ricardo Doll Lahuerta 22
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
1
( , )
k
a a
k
N
xx
ext int
ext int
ext int
:r r r
r r r
r r r r r
V S V
r r r r r
V S V
P P
dV dS dV
dV dS dV
N u N u F
u N N u N
u f u f
f f
b t P
b t P
Teorema das Potências
Virtuais.
Processo Quase-Estático.
Relação que rege
o meio continuo do meio
discreto (em elementos).
23. Solução do Sistema Não-Linear
Método de Newton (“Full Newton”)
Ricardo Doll Lahuerta 23
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
1
1 1 1 1
( ) ( )
i i i i i
i i j j T j j
i
u u K u r u
f y
y y
f' y
24. Algoritmo de Otimização
Ricardo Doll Lahuerta
Critério da Optimalidade (CO)
(Bendsøe 1989)
Método das Assíntotas Móveis (MAM)
(Svanberg 1986)
24
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
25. Algoritmo de Otimização
Ricardo Doll Lahuerta
O MAM foi originalmente proposto por Svanberg (1987), para operar de forma
similar ao método de PLS (Programação Linear Seqüencial) uma vez que este
resolve uma seqüência de aproximações mais simples do problema original
(aproximação convexa separável), baseando-se no princípio proposto por
Fleury (1989), com método de aproximação convexa chamado de CONLIN.
Função aproximada linearizada em relação as variáveis
intermediárias (assíntotas móveis).
Método das Assíntotas Móveis (MAM)
25
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
26. Solução adotada para a dependência de malha e
instabilidade de tabuleiro: Técnica de Projeção
Ricardo Doll Lahuerta
Independência do Resultado com a Técnica de Projeção
GUEST et al., 2004
26
e
e
n j i
j
e n
j i
j
w
f
w
d x x
d
x x
s
s
min
min
,
0
e
j w
i j
e
j w
r r
se
w r
se
x
x x
x
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
27. Ricardo Doll Lahuerta
Independência do Resultado com a Técnica de Projeção
27
Técnica de Projeção
Função de ponderação linear, forma um
cone na projeção das pseudo-densidades.
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
.e
e
p
n j i
j
e n p
j i
j
w
f
w
d x x
d
x x
s
s
Função de ponderação não-linear
28. Função de Relaxação
Ricardo Doll Lahuerta 28
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
• Evitar Instabilidade em Elementos de Baixa Densidade (“void elements”)
causada pela alteração abrupta das pseudo-densidades pelo otimizador
numérico.
• Controla a atualização dos valores de pseudo-densidades baseado em um
critério de distorção dos elementos. Quanto maior a distorção do elemento
menor será a mudança no valor da pseudo-densidade em relação a iteração
anterior.
1
(ia i i i i
e e e
1
29. Ricardo Doll Lahuerta 29
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT NL
GEOMÉTRICO
Minimizar 1
0
1
0
( )( )
( )
Sujeito à : ( ) 0
0 ( ) 1
( ( ))
( ( )) 0
f C
V
f V
V
r u
xx
x
x
x
x
0
( ) .e
f C x p u
int
( ) ( ) ,e
p f u r u 0
30. Ricardo Doll Lahuerta
Cálculo da Sensibilidade
30
1
int
0
0
0
0 0
0
/ 0
-
( )
( )
( )
( ) ( )
e
T eT
e e
e
e
e e e e e
e e T
e e e e
f C
f
f
u
K p
f
p u r u
p u r u
u p r u
u r u u r u
p p K
u
K
Método Adjunto
isolar
10
int
0
r
e
T p T r
e V
e
df
p dV
d
u
f B P
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT NL
GEOMÉTRICO
31. Fluxograma
de Operação
Ricardo Doll Lahuerta 31
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT NL
GEOMÉTRICO
Dados de Entrada
Malha e Configurações
de Otimização
MEF
Não-Linear Geométrico
Lagrangiano
Cálculo da Função
Objetivo e
Sensibilidades
Mapeamento da
Função de Projeção
Função de Projeção
Otimizador
OC/MAM
Resultado FinalConvergência?
Não Sim
Função de Relaxação
Informações
sobre distorção
dos elementos
32. Projeção Não-Linear (MEF Linear)
Ricardo Doll Lahuerta
Exemplo - 1
Modelo com 80 mil variáveis de projeto – 60 iterações
32
33. Validação do MEF Não-Linear com o Abaqus
Ricardo Doll Lahuerta
RESULTADOS
33
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Pórtico Lee, dimensões em milímetros.
- Lei de Material: Kirchhoff-Saint Venant.
- Configuração: EPD.
- Modulo de Elasticidade ( ): 70,00 GPa.
- Coeficiente de Poisson: 0,334.
- Carregamento Pontual: 150 Newtons.
- Número de Elementos no Domínio Fixo de Projeto: 480 elementos (tamanho médio de 1,00 mm).
36. Ricardo Doll Lahuerta 36
- Módulo de Elasticidade ( ): 3,00 GPa.
- Coeficiente de Poisson: 0,40.
- Número de Elementos no Domínio Fixo de Projeto: 7014 elementos.
Minimizar 1
0
1
0
( )
Sujeito à : ( )
( ) 0,5 0
0,001 1
e
ee
e
e
e
e
f C
V
f
V
p u
RESULTADOS
Viga Engastada
40. Ricardo Doll Lahuerta 40
60 kN
Força
144 kN
Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structures
X. Huang e Y. M. Xie
RESULTADOS - KSV
Topologia
41. Ricardo Doll Lahuerta 41
RESULTADOS
Viga Bi-Engastada
- Módulo de Elasticidade ( ): 3,00 GPa.
- Força em Y: 230 kN.
- Coeficiente de Poisson: 0,40.
- Número de Elementos no Domínio Fixo de Projeto: 6700 elementos.
1
0
( )
( ) 0,1 0e
e
V
f
V
43. CONCLUSÕES
Ricardo Doll Lahuerta
• MEF NL Geométrico se mostrou muito robusto utilizando não-linearidade
exata, convergindo entre 3 à 6 iterações com Método de Newton.
• A utilização da NL Geométrica Exata em conjunto com a Função de
Relaxação proposta se mostrou essencial para lidar com elementos de baixa
densidade sem deletar ou zerar a força interna do elemento.
• Os resultados são somente estáveis garantindo resíduo igual à no
incremento de força e de deslocamento.
• A utilização da lei de material poli-convexa foi essencial para obter
resultados com valores de carga maiores sem perder elipsidade, ou seja com
a lei de material Neo-Hookiana é possível obter topologia com carregamentos
maiores em relação a lei de material KSV.
• Os resultados aqui apresentados se mostram melhores em comparação aos
resultados da literatura até presente momento.
43
8
10
44. TRABALHOS FUTUROS
Ricardo Doll Lahuerta 44
• Implementar o Método de Otimização Topológica (MOT) NL para elementos
3D contínuo.
• Estender o MOT NL implementado para Projetar MEMS de efeito de pós-
flambagem.
• Incluir no MOT NL o efeito da plasticidade.
• Implementação da metodologia desenvolvida para elementos de Cascas 3D.
• Implementação do MOT NL para ALE (Lagrangiano Euleriano Arbitrário).
45. AGRADECIMENTOS
Ricardo Doll Lahuerta 45
• Aos Professores Dr. Emílio Carlos N. Silva, Dr. Paulo Pimenta,
Dr. Eduardo Campello, Dr. Pablo Muñoz.
• Aos amigos Eduardo Simões, Ronny C. Carbonari e a todos do grupo de
pós-graduação.
• À FUSP pela bolsa de treinamento durante o mestrado.
• À Escola Politécnica da USP.