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Disciplina de MECÂNICA E MODELAÇÃO COMPUTACIONAL
                                                             Mestrado Integrado em ENGENHARIA BIOMÉDICA
                                                                                    4º Ano, 1º Semestre 2009/10



     MODELAÇÃO DE UM PROBLEMA BIOMECÂNICO DE
ELASTICIDADE PLANA PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
                                        Ana Sabino
                                             64416
                               e-mail: anasabino.rm@gmail.com

                                      Paula Antunes
                                             64407
                                 e-mail: paulasmt@gmail.com

Palavras-chave: método de elementos finitos, modelação biomecânica, Ansys, fémur,
estrutura deformada, teoria da elasticidade.

Resumo. Neste trabalho o problema biomecânico a resolver era constituído por forças
aplicadas na região proximal do fémur humano. Para a sua resolução utilizou-se o método
dos elementos finitos (MEF). O sistema foi modelado como um problema de elasticidade
plana (bidimensional), em ambiente Ansys, e aproximado a um estado de tensão plana, com
elementos triangulares de 6 nós ou rectangulares de 4 ou 8 nós. A partir da estrutura
deformada obtida conseguiu-se compreender o comportamento biomecânico do fémur às
solicitações externas aplicadas e relacioná-lo com as características do osso, que diferem
entre zonas.



1. INTRODUÇÃO
   Na área de engenharia é já usual a recorrência ao MEF para optimização de processos
industriais, não só biomecânicos como também na indústria aeronáutica e automóvel. Tal
deve-se ao facto da sua eficiência e eficácia que se traduzem numa redução do tempo e custos
de produção, pois passam a ser desnecessários testes materiais que antes eram indispensáveis.
   No nosso vaso o objectivo principal é, como já foi referido anteriormente, a aplicação do
MEF à modelação bidimensional de uma estrutura biomecânica em concreto – a metade
proximal de um fémur humano, sujeito a solicitações externas (forças aplicadas e condições
de deslocamento imposto). Os pormenores do problema encontram-se esquematizados na
figura 1.
   Através do software Ansys, pioneiro na aplicação do método dos elementos finitos, será
feita a modelação de modo a obter a configuração deformada e a distribuição de tensões na
estrutura bem como a convergência do problema de elementos finitos. Por fim, e através dos
resultados obtidos, far-se-á uma análise não só numérica mas também biomecânica.
Ana Sabino e Paula Antunes




                              Figura 1. Esquema do problema biomecânico.


2. PRINCIPIOS TEÓRICOS

   O MEF permite resolver problemas contínuos, descritos por equações diferenciais, através
da sua formulação variacional, em que se assume que a solução do problema é constituída por
uma combinação linear de funções aproximadoras. Este método chega à solução discretizando
o domínio em elementos finitos, tratando-os separadamente e assemblando-os de modo a ter o
sistema global. Com imposição das condições de fronteira, determina-se a solução do
problema.

2.1.   Problema de elasticidade

   Tendo em conta os resultados que se pretendem obter é necessário ter presente que a
Ana Sabino e Paula Antunes



tensão e a deformação, em meios contínuos, são características estudadas pela elasticidade,
uma área da mecânica dos sólidos. Quando as deformações do material são pequenas, é a
elasticidade linear que fornece um conjunto de aproximações frequentemente adequadas ao
seu estudo (1). Estes materiais dizem-se sólidos elásticos lineares, e obedecem à Lei de Hooke
generalizada:
                                                   σij = E ijkl ε kl                            (1)

onde σ é o tensor das tensões, E é a constante de elasticidade do meio e ε é o tensor de
Cauchy ou tensor das deformações infinitesimais, que se relaciona com o deslocamento
sofrido u, da seguinte forma:
                                                       1
                                             ε kl =      (u k,l + u l,k )                       (2)
                                                       2


   Para simplificar o problema, admite-se que o osso é um material isotrópico, sendo
caracterizado por apenas duas constantes elásticas - coeficiente de Poisson (ν ) e módulo de
Young ou módulo de elasticidade ( E ). A relação entre estas é conseguida tendo em conta a
forma geral da Lei de Hooke (1):
                                          E          ν                                    
                          σ        =                                      δ ijε k k + ε ij    (1)
                              ij
                                       (ν + 1 )  (1 − 2 ν             )                   
                                                  υ +1            υ
                                         ε ij =          σ ij −        δ ijσ kk                 (2)
                                                   E              E

   Quando a estrutura em questão é bidimensional a sua resolução passa por considerarmos
que esta se pode encontrar em dois estados diferentes: num estado de tensão plana ou num
estado de deformação plana.

   Em estados de tensão plana, admite-se que uma das dimensões da estrutura (admitindo z) é
muito inferior às outras duas, sendo desprezável. Tal faz com que o carregamento exista
apenas no plano formado pelas outras duas dimensões (x e y) mas que, contudo, a deformação
em z continue a ser relevante (7). Desta situação resulta um tensor das tensões cujas
componentes obedecem a:
                                             σ zz = σ xz = σ yz = 0                             (5)

                                   σ xx               1 ν    0  ε xx 
                                            E         ν 1           
                                    σ yy  =   2              0  ε yy 
                                                                    
                                                                                                (6)
                                   σ  1 − ν            0 0 1 − ν  ε xy 
                                      xy                          
                                                        ν
                                            ε zz = −      (σ xx + σ yy )                        (7)
                                                        E
Ana Sabino e Paula Antunes




   Os estados de deformação plana são aproximações adequadas para o estudo de meios em
que uma das dimensões (defina-se como z) é muito superior às restantes, e em que, de novo,
apenas existe carregamento no plano formado pelas outras duas dimensões (x e y). Neste
caso, a deformação em z é desprezável, mas a tensão toma valores relevantes nesta direcção
(8) e (10).
                                                  ε zz = ε xz = ε yz = 0                                         (8)

                            σ xx                 1 − ν ν    0  ε xx 
                                       E          ν 1− ν           
                             σ yy  =                        0  ε yy 
                                                                   
                                                                                                                 (9)
                             σ  (1 − 2ν )(ν + 1)  0    0 1 − 2ν  ε xy 
                             xy                                  
                                               E
                               σzz =                    (ε xx + ε yy ) = ν(σ xx + σ yy )                       (10)
                                        (1 − 2ν)(ν + 1)


   A equação de equilíbrio para o problema de elasticidade, do corpo genérico                           da figura 2,
é dada por:
                                                       σ ij, j + f i = 0                                       (11)

em que σ ij é o tensor das tensões e f i as forças volúmicas.




  Figura 2. Corpo genérico sujeito a forças volúmicas fi, a um campo de forças distribuídas ti ao longo da sua
                                                 fronteira Γ.

   Da relação entre as equações (1), (2) e (11) surge a oportunidade de aplicação do método
dos elementos finitos para o estudo e descrição completa do fenómeno da deformação.
   Para que este mesmo método consiga encontrar uma solução aproximada é necessário
obter a formulação fraca correspondente ao conjunto de equações diferenciais aplicadas ao
problema de elasticidade plana, que dependem do estado inicialmente assumido como
aproximação do problema. A formulação forte explicitada em (4) é convertida entoa em:

                               ∫Ω
                                    E ijkl ε kl (u )εij ( w )dΩ =   ∫
                                                                    Ω
                                                                        f i w i dΩ +   ∫
                                                                                       Γ
                                                                                           t i w i dΓ          (12)
Ana Sabino e Paula Antunes



em que w é uma função peso adequada [2]. A aproximação da solução u é conseguida
desenvolvendo-se um elemento-tipo e, com um determinado número de nós N e utilizando-se
funções interpoladoras da solução nos respectivos nós. A aproximação é assim:
                                                 N               
                                                     ∑
                                                  u i ψ i (x, y) 
                                          u h   i =1           
                                      u    = N                                              (13)
                                           vh                  
                                                     ∑
                                                  vi ψ i (x, y) 
                                                  i =1           
em que ui e vi são os valores da solução nos nós considerados, e cada uma das funções
interpoladoras ψi toma um valor unitário no nó i e nulo nos restantes. As funções serão
polinomiais pois são diferenciáveis em x e em y, no domínio do elemento. Obtida a função
aproximadora procede-se à conversão da relação dada pela formulação fraca (12) no sistema
de equações lineares em u, para cada elemento tipo e:

                                                 { } { }
                                             K e  u e = Fe                                    (14)

em que K é a matriz de rigidez do elemento.
   Quanto ao elemento-tipo, este, é representado por um dado número de nós e um
determinado tipo de funções interpoladoras, escolhidas consoante as características do
problema. Alguns dos parâmetros a ter em conta nesta decisão são a geometria, a disposição
das forças aplicadas e também o grau de rigor pretendido.
   No que toca ao número de nós o elemento-tipo é comummente definido através da forma
geométrica mais simples, um triângulo de 3 nós cujas funções de aproximação são do tipo:
                                           u h = a1 + a 2 x + a 3 y                             (15)
                                          v = a +a x+a y                                        (16)

   Como já foi referido as funções interpoladoras são geralmente polinómios em (x,y), cujas
componentes variam com o número de vértices do elemento e com o número e a disposição
dos nós utilizados. Para além da solução, existem funções que também interpolam as
derivadas dessa mesma função – funções de Hermite [2]. Triângulos de 6 nós e rectângulos de
4 e 8 nós foram os elementos distribuídos pelo domínio do problema (figura 3).




              Figura 3. Elemento-tipo (a) triangular de 6 nós e (b) rectangular de 4 e 8 nós.

2.2.   Transformação de coordenadas
Ana Sabino e Paula Antunes



   Com o intuito de simplificar o mais possível os passos de processamento numérico é feita
uma transformação de coordenadas de cada elemento da malha para um dado elemento-tipo
(figura 4).




                             Figura 4. Transformação de coordenadas.

   A transformação caracteriza-se matematicamente pelo seu jacobiano J (determinante da
matriz das derivadas), utilizado nos processos de integração numérica para a construção do
sistema (14). Existem duas condições a impor para que esta integração aconteça
correctamente: (i) as funções que relacionam os pontos de cada elemento com o de referência
devem ser contínuas (e continuamente diferenciáveis) e bijectivas no domínio de cada
elemento e (ii) que a transformação seja invertível [2]. Estas duas condições garantem que não
ocorram sobreposições e que o jacobiano seja diferente de zero em todos os pontos.
   Para construir e manipular estas transformações, de modo a que as mesmas obedeçam a
estas condições, recorre-se à utilização de funções interpoladoras ψi semelhantes às presentes
na análise da deformação [4].

2.2.   Processamento de dados

   Por fim falta explicitar como são todos estes dados processados e quais as aproximações
numéricas e discretizações necessárias para a obtenção dos resultados pretendidos.
   A construção do sistema (14) para cada elemento é feita através do cálculo de integrais
(com transformação de coordenadas). Computacionalmente tal é alcançado utilizando-se
fórmulas de quadratura do tipo:

                              ∫
                              ˆ
                              Ω
                                  F(ξ, η)dξdη =   ∑∑ F(ξ , η )W W
                                                  I   J
                                                          I   J   I   J                  (17)

em que os pontos de Gauss (I,J) são pontos amostrados da estrutura, WI,J são os respectivos
pesos (tabelados), e F é a função de interesse [2].
   O cálculo da matriz de rigidez [Ke], com as respectivas transformações de coordenadas,
Ana Sabino e Paula Antunes



pode ser feito por este meio, tal como a integração das forças volúmicas, incluídas no vector
{Fe} – a intensidade destas forças é amostrada precisamente nos pontos de Gauss. No entanto,
a carga distribuída na fronteira é discretizada ao ser repartida pelos nós dos elementos em que
actua (com pesos proporcionais ao comprimento afectado em cada elemento) [4].
   Apesar de se calcularem os deslocamentos directamente para os nós de cada elemento, as
tensões não são obtidas desta forma pois o cálculo da deformação num ponto, e
consequentemente da tensão, envolve as derivadas dos deslocamentos nesse ponto, como se
pode constatar a partir das expressões (1) e (2). Assim, e uma vez que as soluções obtidas para
os deslocamentos, não são em geral contínuas nos nós, torna-se necessário utilizar pontos
interiores a cada elemento – pontos de Gauss. A partir destes consegue-se calcular
directamente a distribuição de tensões e, com base em médias ponderadas, extrapolam-se
resultados para outros pontos do sistema.
   Na construção da malha de elementos finitos é imprescindível ter sempre presente quais as
técnicas utilizadas pelos algoritmos que realizam a integração numérica, pois estas
condicionam esta importante etapa. A qualidade da análise depende naturalmente deste passo,
tanto ao nível das transformações de coordenadas como da amostragem nos pontos de Gauss.
Os ângulos formados pelos vértices, de cada elemento, não devem ultrapassar certos valores
mínimos e máximos, e as distâncias relativas entre os vários nós (interiores e de fronteira)
também não devem estar abaixo de certos limiares [2].
   Quanto à análise de tensão em estruturas bidimensionais, constata-se que o tensor das
tensões é um resultado pouco prático para a análise e comparação das distribuições de tensão
e das questões de convergência, essencialmente devido ao seu carácter multidimensional (ou
tensorial). Como tal recorre-se à tensão de von Mises, ou tensão equivalente, calculada
através da seguinte expressão (em ANSYS):
                     1
              σe =     (σ xx − σ yy ) 2 + (σ yy − σzz )2 + (σ zz − σ xx )2 + 6(σ2 + σ2 + σ2 )    (18)
                     2
                                                                                 xy   yz   xz 


que permite relacionar grandezas de um modo matemático mais simples e de natureza escalar.
A tensão de von Mises esta na base do critério de máxima energia de distorção que diz que
um dado ponto do material é estável (em termos do perigo de rotura) se a tensão equivalente
não exceder um limite máximo estabelecido por ensaios de tensão com o mesmo tipo de
material [1]. O valor dessa tensão equivalente corresponde à energia associada à distorção do
material (desprezando alterações puramente volumétricas).


3. MODELAÇÃO COMPUTACIONAL

   Todo este projecto foi desenvolvido computacionalmente recorrendo ao programa ANSYS
v12.0 que processou o problema biomecânico proposto em três etapas: desenho da região
proximal do fémur, construção da malha de elementos finitos e deformação da estrutura.
Ana Sabino e Paula Antunes



3.1. Desenho da região proximal do fémur
   A partir da malha quadriculada da figura 1, e tendo em conta que dada quadricula são 5
milímetros, escolheram-se pontos, definiram-se as suas coordenadas e introduziram-se os
mesmos, no programa Ansys, como keypoints.
    Optou-se por primeiro introduzir os pontos exteriores de todo o fémur (figura 5). Os
pontos referentes às faces interiores, deduziram-se a partir dos exteriores, sabendo que nos 5
cm de altura de diáfise o osso compacto apresenta 5 mm de espessura e que na epífise a
espessura do mesmo seja de 3 mm.
   De seguida procedeu-se à interpolação dos pontos por splines de uma forma particionada.
Esta abordagem foi necessária devido ao facto do programa não permitir uma interpolação
que abrangesse todo o fémur. Ao longo de todo o processo alguns pontos foram sendo
ajustados de modo a obter splines mais próximas da curva pretendida.




               Figura 5. Conjunto dos pontos externos considerados para desenho
                                          do fémur.

   Ao definirmos os keypoints escolhemos inserir pontos estratégicos, em extremidades de
linhas que correspondem a fronteira entre áreas, onde fossem sempre aplicadas as forças
externas. Deste modo, mesmo variando a malha, os pontos de aplicação de forças não se
alteram e as comparações dos resultados, obtidos com cada tipo de malha, serão mais
fidedignas.

3.2. Construção da malha de elementos finitos
   Após o desenho do domínio planar do problema passou-se para a construção da malha de
elementos finitos. Neste trabalho optou-se por obter malhas com elementos-tipo triangulares
de 6 nós e rectangulares de 4 ou 8 nós.
   Com o intuito de termos um maior controlo sobre a malha gerada pelo programa,
dividimos o domínio de construção em várias áreas aproximadamente rectangulares (figura
5). Tal foi feito com o cuidado de cada área ter 4 lados pois julgamos diminuir assim algumas
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formas irregulares e, consequentemente, violações na geometria permitida a cada elemento. A
cada área foram atribuídas as características de elasticidade do tipo de osso correspondente.




                             Figura 6. Divisão do domínio do problema.

   Para a malha com elementos-tipo triangulares utiliza-se a mesma subdivisão, para manter a
coerência da análise e a fidelidade da comparação que será feita na discussão, quanto aos
resultados obtidos com os dois tipos de malha. No entanto dividimos todos os rectângulos em
dois, através de uma linha que une dois vértices opostos de forma a obtermos áreas de 3 lados,
ideal para a construção de uma malha com elementos triangulares.




                    Figura 7. Malhas de base obtidas para elementos de 4 mm (a)
                             quadrilateros de 4 nós de e (b) triangulares.


   As malhas rectangular de 4 nós e triangular possuem 506 e 1118 elementos,
respectivamente e estão representadas na figura 7. Ao longo do refinamento, ou seja,
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diminuição do tamanho de cada elemento (4, 2, 1, 0.5 mm) torna-se óbvio que o número de
elementos aumenta consideravelmente.

3.3. Deformação e obtenção de resultados
   Depois de construídas as malhas definiram-se as componentes, vertical e horizontal, das
forças aplicadas na cabeça do fémur e os constrangimentos impostos na base do mesmo. A
obtenção da estrutura deformada é totalmente processada pelo programa ao escolhermos a
sequência de comandos Plot Results > Deformed Shape > Def. + Undeformed > OK. Para
uma análise completa do comportamento biomecânico do fémur sob as condições de força
referidas no enunciado obteve-se a representação da configuração deformada, da distribuição
de tensões (de von Mises) e de deslocamentos. Fez-se uma análise de convergência com base
na evolução da tensão de von Mises em 2 pontos de interesse. Estes resultados foram
adquiridos para as malhas rectangular de 4 nós e triangular, para uma aproximação de estado
plano de tensão.


4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

   Nesta secção apresentam-se e discutem-se os resultados pertinentes para a compreensão do
da resposta biomecânica da parte proximal do fémur às solicitações externas simuladas.

4.1.     Deformação

  Na figura 8 estão representadas as deformações, para o estado de tensão plana, com a
malha de elementos quadriláteros e triangulares. Não são apresentadas as deformações obtidas
com as outras malhas pois os resultados são extremamente idênticos.




       Figura 8. Configuração deformada obtida após convergência, em (a) elementos quadriláteros
         de 4 nós e (b) triangulares de 6 nós, para um estado de tensão plana (refinação de 4 mm)
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   Como é visível na figura 8 as deformadas são iguais e como tal, a partir daqui, optou-se
por exibir os resultados conseguidos apenas para um dos tipos de elementos, os quadriláteros
de 4 nós.
   A deformação da estrutura ocorre para a direita e para baixo devido a vários factores:
      • Às forças nele aplicadas - embora a componente horizontal orientada da direita para
           a esquerda (768 N) seja maior que a da esquerda para a direita (224 N), a
           componente vertical aplicada na extremidade superior direita e com sentido de
           cima para baixo (2246 N ) é o dobro daquela que é aplicada na extremidade
           superior esquerda com sentido oposto (1210 N);
      • Ponto de aplicação de Fh - devido à sua localização, surge um grande momento
           flector no sentido dos ponteiros do relógio (para a direita), que provoca um grande
           deslocamento horizontal;
      • Orientação das trabéculas - devido à orientação das trabéculas as forças verticais
           aplicadas são mais bem suportadas pelo fémur, ou seja, a resistência é maior à
           compressão que à flexão. Deste modo o maior deslocamento acontece na horiontal.
      • Geometria da estrutura – na base desta estrutura estão as duas colunas verticais de
           osso compacto (diáfise), coma região da medula assumida como espaço vazio,
           encastradas na extremidade, conferindo uma maior sensibilidade, da estrutura, a
           esforços horizontais do que verticais. Note-se também que na estrutura utilizada
           está ausente a outra metade do fémur, que na realidade existe, e que contribui para
           uma distribuição de tensões ao longo de todo o osso e uma melhor resposta à
           flexão.
      • Encastramento – uma vez que os deslocamentos na extremidade inferior da
           estrutura são nulos pode-se concluir que o encastramento imposto está a cumprir a
           sua função. Os deslocamentos horizontais são então crescentes à medida que se
           avança para a extremidade superior.
      • Ausência de tecidos moles – a omissão das tensões produzidas pela acção dos
           músculos e de tecidos moles aqui não representados deverá também contribuir para
           a tendência do deslocamento.


4.2.   Distribuição das tensões de von Mises

   A distribuição de tensões de von Mises obtida após convergência é também análoga para
os vários tipos de elementos o que indica uma boa qualidade geral das malhas
experimentadas. Posto isto optou-se por apresentar os resultados obtidos para elementos
rectangulares de comprimento 0.5 mm (figura 9). Com o intuito de obter uma representação
mais intuitiva dos gradientes de tensão da estrutura foi necessário recorrer a um ajuste de
escala das tensões pois os valores mínimo e máximo são bastante distantes um do outro,
664.627 e 0.3e7 Pa, respectivamente.
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                     Figura 9. Distribuição de tensões de von Mises (em Pa), em
                             .
                                  elementos rectangulares de 4 nós.


   A primeira observação a ter em conta está relacionada com as zonas onde ocorrem as
tensões mais elevadas:
        • No osso compacto - esta situação ocorre devido ao valor do módulo de Young do
                                 esta
            osso compacto (17 GPa) ser maior que o do osso trabecular (5 GPa) e assim haver
            uma maior concentração das tensões no componente mais rígido (entre 500000 e
                                                                      rígido
            0.1e7 Pa).
        • Pontos de aplicação das forças – lembrando que a tensão é igual ao limite do
            quociente entre a força aplicada e a área, e que é nestes pontos que a força é
                                                  área
            máxima, não seria de esperar outra conjuntura.
   Em segundo lugar as tensões máximas (entre 0.25e7 e 0.3e7 Pa) ocorrem na região inferior
                            sões
da estrutura, precisamente onde foram definidos os encastramentos. Tal fenómeno deve ao
                                                                                   deve-se
facto de o encastramento estar numa extremidade e as forças aplicadas noutra.
   Quanto à região proximal do fémur, é aí que ocorrem valores de tensão mais baixos (entre
                       ximal
664.627 e 250000 Pa) principalmente nas regiões que não se encontram na direcção da
componente vertical das forças aplicadas.
   Para além desta análise qualitativa, consegue relacionar esta distribuição de tensões com
                               itativa, consegue-se
a composição óssea do fémur. Uma vez que a metade proximal do fémur está sob menos
tensão pode-se associar isso ao revestimento de osso compacto que este possui. É aí que se
depositam as energias de distorção mais elevadas protegendo deste modo espaço interior onde
se encontra o osso trabecular que por sua vez também colabora na dissipação do efeito das
forças aplicadas, minimizando a distorção. No entanto é na região em que não existe osso
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trabecular, apenas medula óssea que o revestimento compacto fica sujeito às tensões de
                                   q
distorção mais elevadas. Esta distribuição de tensões é justificada pela diferença de espessura
                       .
de osso compacto ao longo do fémur: 3 mm na região proximal e 3 na região distal.

4.3.   Efeito das componentes horizontais e verticais das forças

   Optamos também por reportar neste trabalho o efeito individual das componentes
horizontais e verticais das forças externas, na distribuição de tensões ao longo da estrutura
(figura 10).




                     Figura 10. Tensões segundo x (esquerda) e segundo y (direita).
                              .


   Como é notável na imagem da esquerda da figura 10, e tendo em conta a orientação das
componentes horizontais das forças aplicadas, é compreensível que na zona proximal do
fémur mais próxima dos pontos de aplicação das mesmas esteja à tracção (tensões positivas).
 émur
À medida que nos dirigimos, da zona proximal para a distal, o fémur passa a estar em
compressão (tensões negativas).
   Quanto à imagem da direita da figura 10 há que reparar que as zonas que sofrem maior
                                                    r
compressão (tensões mais negativas) são as que estão próximas e do lado do ponto de
aplicação de Fh. Como esta é a força que possui a maior componente vertical, com sentido de
cima para baixo, e do lado oposto existe um encastramento, é entre estes dois pontos que
ocorre a maior compressão vertical.

4.4.   Análise da convergência
        nálise

   Para a análise da convergência, escolheram-se 2 pontos de interesse na estrutura: os pontos
                                   escolheram
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3 e 78 situados no osso compacto (figura 11).




                             Figura 11. Pontos de interesse utilizados na
                                análise de convergência do problema.

   A convergência da tensão de von Mises foi estudada para estes dois pontos para diferentes
tamanhos do elemento-tipo (4, 2, 1 e 0.5 mm). É de fácil percepção que quanto menor o
elemento-tipo, maior será o número de elementos que constitui a malha. Na figura 12
encontram-se os resultados da análise da convergência e implícito ao aumento do número de
elementos da malha, está a diminuição do tamanho do elemento.




              Figura 12. Resultados do estudo de convergência nos pontos 3 e 78 com elementos
                triangulares de 6 nós (a roxo) e com elementos quadriláteros de 4 nós (a preto)
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   O estudo de convergência baseou-se no cálculo das tensões de von Mises obtidas nos 2
pontos de interesse, para os 2 tipos de elementos: quadriláteros de 4 nós e triangulares de 6
nós.
   Pela observação atenta dos gráficos pode-se concluir que os elementos triangulares
convergem mais rapidamente para a tensão de von Mises “final” de cada ponto do que os
elementos quadriláteros, pois são precisos menos elementos e de dimensão não tão pequena
para chegar ao valor dessa mesma tensa.
   De um modo geral, o método adoptado mostrou-se tecnicamente eficiente e robusto, e
forneceu indicações importantes, ainda que apenas de carácter qualitativo, para o
comportamento biomecânico da estrutura óssea real.


5. CONCLUSÃO
    Para alcançar o objectivo deste trabalho, os seus autores recorreram à sua capacidade de
formular, abordar e resolver um problema de natureza biomecânica, correlacionando
conhecimentos adquiridos ao longo das aulas de Mecânica e Modelação Computacional. O
objectivo foi conseguido e a análise biomecânica conduziu-nos a resultados satisfatórios, tal como
já foi referido na sua discussão.
    Quanto ao método utilizado conclui-se que o método dos elementos finitos é realmente uma
ferramenta poderosa e útil para análise de problemas com domínios pouco regulares, como é o
caso da região proximal do fémur humano. Existe a noção de que quanto mais especificas e
próximas da realidade forem as condições de fronteira, melhor será a simulação desenvolvida por
este software.
    Os resultados obtidos permitem uma análise qualitativa do comportamento biomecânico do
osso em questão e facultam-nos informação acerca da resposta, do mesmo, a solicitações externas.
Tal informação é importantíssima para a projecção de próteses, análise de patologias do osso e
mesmo planeamento de fisioterapia pós-cirúrgica.


6. BIBLIOGRAFIA
1. Beer, F, Johnston, R e DeWolf, J. Mechanics of Materials. 3ª. s.l. : McGrawHill, 2003.
2. Reddy, J N. An Introduction to the Finite Element Method. 3ª. s.l. : McGrawHill, 2006.
3. Fernandes, P R, Folgado, J e Ruben, R B. Shape optimization of a cementless hip stem
for a minimum of interface stress and displacement. 2004. pp. 51-61.
4. Fernandes, P R. Apontamentos das aulas teóricas de Mecânica e Modelação
Computacional. 2009.

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Modeling of a biomechanic elasticity problem with Finite Elements model

  • 1. Disciplina de MECÂNICA E MODELAÇÃO COMPUTACIONAL Mestrado Integrado em ENGENHARIA BIOMÉDICA 4º Ano, 1º Semestre 2009/10 MODELAÇÃO DE UM PROBLEMA BIOMECÂNICO DE ELASTICIDADE PLANA PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Ana Sabino 64416 e-mail: anasabino.rm@gmail.com Paula Antunes 64407 e-mail: paulasmt@gmail.com Palavras-chave: método de elementos finitos, modelação biomecânica, Ansys, fémur, estrutura deformada, teoria da elasticidade. Resumo. Neste trabalho o problema biomecânico a resolver era constituído por forças aplicadas na região proximal do fémur humano. Para a sua resolução utilizou-se o método dos elementos finitos (MEF). O sistema foi modelado como um problema de elasticidade plana (bidimensional), em ambiente Ansys, e aproximado a um estado de tensão plana, com elementos triangulares de 6 nós ou rectangulares de 4 ou 8 nós. A partir da estrutura deformada obtida conseguiu-se compreender o comportamento biomecânico do fémur às solicitações externas aplicadas e relacioná-lo com as características do osso, que diferem entre zonas. 1. INTRODUÇÃO Na área de engenharia é já usual a recorrência ao MEF para optimização de processos industriais, não só biomecânicos como também na indústria aeronáutica e automóvel. Tal deve-se ao facto da sua eficiência e eficácia que se traduzem numa redução do tempo e custos de produção, pois passam a ser desnecessários testes materiais que antes eram indispensáveis. No nosso vaso o objectivo principal é, como já foi referido anteriormente, a aplicação do MEF à modelação bidimensional de uma estrutura biomecânica em concreto – a metade proximal de um fémur humano, sujeito a solicitações externas (forças aplicadas e condições de deslocamento imposto). Os pormenores do problema encontram-se esquematizados na figura 1. Através do software Ansys, pioneiro na aplicação do método dos elementos finitos, será feita a modelação de modo a obter a configuração deformada e a distribuição de tensões na estrutura bem como a convergência do problema de elementos finitos. Por fim, e através dos resultados obtidos, far-se-á uma análise não só numérica mas também biomecânica.
  • 2. Ana Sabino e Paula Antunes Figura 1. Esquema do problema biomecânico. 2. PRINCIPIOS TEÓRICOS O MEF permite resolver problemas contínuos, descritos por equações diferenciais, através da sua formulação variacional, em que se assume que a solução do problema é constituída por uma combinação linear de funções aproximadoras. Este método chega à solução discretizando o domínio em elementos finitos, tratando-os separadamente e assemblando-os de modo a ter o sistema global. Com imposição das condições de fronteira, determina-se a solução do problema. 2.1. Problema de elasticidade Tendo em conta os resultados que se pretendem obter é necessário ter presente que a
  • 3. Ana Sabino e Paula Antunes tensão e a deformação, em meios contínuos, são características estudadas pela elasticidade, uma área da mecânica dos sólidos. Quando as deformações do material são pequenas, é a elasticidade linear que fornece um conjunto de aproximações frequentemente adequadas ao seu estudo (1). Estes materiais dizem-se sólidos elásticos lineares, e obedecem à Lei de Hooke generalizada: σij = E ijkl ε kl (1) onde σ é o tensor das tensões, E é a constante de elasticidade do meio e ε é o tensor de Cauchy ou tensor das deformações infinitesimais, que se relaciona com o deslocamento sofrido u, da seguinte forma: 1 ε kl = (u k,l + u l,k ) (2) 2 Para simplificar o problema, admite-se que o osso é um material isotrópico, sendo caracterizado por apenas duas constantes elásticas - coeficiente de Poisson (ν ) e módulo de Young ou módulo de elasticidade ( E ). A relação entre estas é conseguida tendo em conta a forma geral da Lei de Hooke (1): E  ν  σ =  δ ijε k k + ε ij  (1) ij (ν + 1 )  (1 − 2 ν )  υ +1 υ ε ij = σ ij − δ ijσ kk (2) E E Quando a estrutura em questão é bidimensional a sua resolução passa por considerarmos que esta se pode encontrar em dois estados diferentes: num estado de tensão plana ou num estado de deformação plana. Em estados de tensão plana, admite-se que uma das dimensões da estrutura (admitindo z) é muito inferior às outras duas, sendo desprezável. Tal faz com que o carregamento exista apenas no plano formado pelas outras duas dimensões (x e y) mas que, contudo, a deformação em z continue a ser relevante (7). Desta situação resulta um tensor das tensões cujas componentes obedecem a: σ zz = σ xz = σ yz = 0 (5) σ xx  1 ν 0  ε xx    E ν 1    σ yy  = 2  0  ε yy   (6) σ  1 − ν  0 0 1 − ν  ε xy   xy     ν ε zz = − (σ xx + σ yy ) (7) E
  • 4. Ana Sabino e Paula Antunes Os estados de deformação plana são aproximações adequadas para o estudo de meios em que uma das dimensões (defina-se como z) é muito superior às restantes, e em que, de novo, apenas existe carregamento no plano formado pelas outras duas dimensões (x e y). Neste caso, a deformação em z é desprezável, mas a tensão toma valores relevantes nesta direcção (8) e (10). ε zz = ε xz = ε yz = 0 (8) σ xx  1 − ν ν 0  ε xx    E  ν 1− ν    σ yy  =  0  ε yy   (9)  σ  (1 − 2ν )(ν + 1)  0 0 1 − 2ν  ε xy   xy     E σzz = (ε xx + ε yy ) = ν(σ xx + σ yy ) (10) (1 − 2ν)(ν + 1) A equação de equilíbrio para o problema de elasticidade, do corpo genérico da figura 2, é dada por: σ ij, j + f i = 0 (11) em que σ ij é o tensor das tensões e f i as forças volúmicas. Figura 2. Corpo genérico sujeito a forças volúmicas fi, a um campo de forças distribuídas ti ao longo da sua fronteira Γ. Da relação entre as equações (1), (2) e (11) surge a oportunidade de aplicação do método dos elementos finitos para o estudo e descrição completa do fenómeno da deformação. Para que este mesmo método consiga encontrar uma solução aproximada é necessário obter a formulação fraca correspondente ao conjunto de equações diferenciais aplicadas ao problema de elasticidade plana, que dependem do estado inicialmente assumido como aproximação do problema. A formulação forte explicitada em (4) é convertida entoa em: ∫Ω E ijkl ε kl (u )εij ( w )dΩ = ∫ Ω f i w i dΩ + ∫ Γ t i w i dΓ (12)
  • 5. Ana Sabino e Paula Antunes em que w é uma função peso adequada [2]. A aproximação da solução u é conseguida desenvolvendo-se um elemento-tipo e, com um determinado número de nós N e utilizando-se funções interpoladoras da solução nos respectivos nós. A aproximação é assim: N  ∑  u i ψ i (x, y)  u h   i =1  u  = N  (13)  vh    ∑  vi ψ i (x, y)   i =1  em que ui e vi são os valores da solução nos nós considerados, e cada uma das funções interpoladoras ψi toma um valor unitário no nó i e nulo nos restantes. As funções serão polinomiais pois são diferenciáveis em x e em y, no domínio do elemento. Obtida a função aproximadora procede-se à conversão da relação dada pela formulação fraca (12) no sistema de equações lineares em u, para cada elemento tipo e:   { } { }  K e  u e = Fe (14) em que K é a matriz de rigidez do elemento. Quanto ao elemento-tipo, este, é representado por um dado número de nós e um determinado tipo de funções interpoladoras, escolhidas consoante as características do problema. Alguns dos parâmetros a ter em conta nesta decisão são a geometria, a disposição das forças aplicadas e também o grau de rigor pretendido. No que toca ao número de nós o elemento-tipo é comummente definido através da forma geométrica mais simples, um triângulo de 3 nós cujas funções de aproximação são do tipo: u h = a1 + a 2 x + a 3 y (15) v = a +a x+a y (16) Como já foi referido as funções interpoladoras são geralmente polinómios em (x,y), cujas componentes variam com o número de vértices do elemento e com o número e a disposição dos nós utilizados. Para além da solução, existem funções que também interpolam as derivadas dessa mesma função – funções de Hermite [2]. Triângulos de 6 nós e rectângulos de 4 e 8 nós foram os elementos distribuídos pelo domínio do problema (figura 3). Figura 3. Elemento-tipo (a) triangular de 6 nós e (b) rectangular de 4 e 8 nós. 2.2. Transformação de coordenadas
  • 6. Ana Sabino e Paula Antunes Com o intuito de simplificar o mais possível os passos de processamento numérico é feita uma transformação de coordenadas de cada elemento da malha para um dado elemento-tipo (figura 4). Figura 4. Transformação de coordenadas. A transformação caracteriza-se matematicamente pelo seu jacobiano J (determinante da matriz das derivadas), utilizado nos processos de integração numérica para a construção do sistema (14). Existem duas condições a impor para que esta integração aconteça correctamente: (i) as funções que relacionam os pontos de cada elemento com o de referência devem ser contínuas (e continuamente diferenciáveis) e bijectivas no domínio de cada elemento e (ii) que a transformação seja invertível [2]. Estas duas condições garantem que não ocorram sobreposições e que o jacobiano seja diferente de zero em todos os pontos. Para construir e manipular estas transformações, de modo a que as mesmas obedeçam a estas condições, recorre-se à utilização de funções interpoladoras ψi semelhantes às presentes na análise da deformação [4]. 2.2. Processamento de dados Por fim falta explicitar como são todos estes dados processados e quais as aproximações numéricas e discretizações necessárias para a obtenção dos resultados pretendidos. A construção do sistema (14) para cada elemento é feita através do cálculo de integrais (com transformação de coordenadas). Computacionalmente tal é alcançado utilizando-se fórmulas de quadratura do tipo: ∫ ˆ Ω F(ξ, η)dξdη = ∑∑ F(ξ , η )W W I J I J I J (17) em que os pontos de Gauss (I,J) são pontos amostrados da estrutura, WI,J são os respectivos pesos (tabelados), e F é a função de interesse [2]. O cálculo da matriz de rigidez [Ke], com as respectivas transformações de coordenadas,
  • 7. Ana Sabino e Paula Antunes pode ser feito por este meio, tal como a integração das forças volúmicas, incluídas no vector {Fe} – a intensidade destas forças é amostrada precisamente nos pontos de Gauss. No entanto, a carga distribuída na fronteira é discretizada ao ser repartida pelos nós dos elementos em que actua (com pesos proporcionais ao comprimento afectado em cada elemento) [4]. Apesar de se calcularem os deslocamentos directamente para os nós de cada elemento, as tensões não são obtidas desta forma pois o cálculo da deformação num ponto, e consequentemente da tensão, envolve as derivadas dos deslocamentos nesse ponto, como se pode constatar a partir das expressões (1) e (2). Assim, e uma vez que as soluções obtidas para os deslocamentos, não são em geral contínuas nos nós, torna-se necessário utilizar pontos interiores a cada elemento – pontos de Gauss. A partir destes consegue-se calcular directamente a distribuição de tensões e, com base em médias ponderadas, extrapolam-se resultados para outros pontos do sistema. Na construção da malha de elementos finitos é imprescindível ter sempre presente quais as técnicas utilizadas pelos algoritmos que realizam a integração numérica, pois estas condicionam esta importante etapa. A qualidade da análise depende naturalmente deste passo, tanto ao nível das transformações de coordenadas como da amostragem nos pontos de Gauss. Os ângulos formados pelos vértices, de cada elemento, não devem ultrapassar certos valores mínimos e máximos, e as distâncias relativas entre os vários nós (interiores e de fronteira) também não devem estar abaixo de certos limiares [2]. Quanto à análise de tensão em estruturas bidimensionais, constata-se que o tensor das tensões é um resultado pouco prático para a análise e comparação das distribuições de tensão e das questões de convergência, essencialmente devido ao seu carácter multidimensional (ou tensorial). Como tal recorre-se à tensão de von Mises, ou tensão equivalente, calculada através da seguinte expressão (em ANSYS): 1 σe = (σ xx − σ yy ) 2 + (σ yy − σzz )2 + (σ zz − σ xx )2 + 6(σ2 + σ2 + σ2 )  (18) 2 xy yz xz  que permite relacionar grandezas de um modo matemático mais simples e de natureza escalar. A tensão de von Mises esta na base do critério de máxima energia de distorção que diz que um dado ponto do material é estável (em termos do perigo de rotura) se a tensão equivalente não exceder um limite máximo estabelecido por ensaios de tensão com o mesmo tipo de material [1]. O valor dessa tensão equivalente corresponde à energia associada à distorção do material (desprezando alterações puramente volumétricas). 3. MODELAÇÃO COMPUTACIONAL Todo este projecto foi desenvolvido computacionalmente recorrendo ao programa ANSYS v12.0 que processou o problema biomecânico proposto em três etapas: desenho da região proximal do fémur, construção da malha de elementos finitos e deformação da estrutura.
  • 8. Ana Sabino e Paula Antunes 3.1. Desenho da região proximal do fémur A partir da malha quadriculada da figura 1, e tendo em conta que dada quadricula são 5 milímetros, escolheram-se pontos, definiram-se as suas coordenadas e introduziram-se os mesmos, no programa Ansys, como keypoints. Optou-se por primeiro introduzir os pontos exteriores de todo o fémur (figura 5). Os pontos referentes às faces interiores, deduziram-se a partir dos exteriores, sabendo que nos 5 cm de altura de diáfise o osso compacto apresenta 5 mm de espessura e que na epífise a espessura do mesmo seja de 3 mm. De seguida procedeu-se à interpolação dos pontos por splines de uma forma particionada. Esta abordagem foi necessária devido ao facto do programa não permitir uma interpolação que abrangesse todo o fémur. Ao longo de todo o processo alguns pontos foram sendo ajustados de modo a obter splines mais próximas da curva pretendida. Figura 5. Conjunto dos pontos externos considerados para desenho do fémur. Ao definirmos os keypoints escolhemos inserir pontos estratégicos, em extremidades de linhas que correspondem a fronteira entre áreas, onde fossem sempre aplicadas as forças externas. Deste modo, mesmo variando a malha, os pontos de aplicação de forças não se alteram e as comparações dos resultados, obtidos com cada tipo de malha, serão mais fidedignas. 3.2. Construção da malha de elementos finitos Após o desenho do domínio planar do problema passou-se para a construção da malha de elementos finitos. Neste trabalho optou-se por obter malhas com elementos-tipo triangulares de 6 nós e rectangulares de 4 ou 8 nós. Com o intuito de termos um maior controlo sobre a malha gerada pelo programa, dividimos o domínio de construção em várias áreas aproximadamente rectangulares (figura 5). Tal foi feito com o cuidado de cada área ter 4 lados pois julgamos diminuir assim algumas
  • 9. Ana Sabino e Paula Antunes formas irregulares e, consequentemente, violações na geometria permitida a cada elemento. A cada área foram atribuídas as características de elasticidade do tipo de osso correspondente. Figura 6. Divisão do domínio do problema. Para a malha com elementos-tipo triangulares utiliza-se a mesma subdivisão, para manter a coerência da análise e a fidelidade da comparação que será feita na discussão, quanto aos resultados obtidos com os dois tipos de malha. No entanto dividimos todos os rectângulos em dois, através de uma linha que une dois vértices opostos de forma a obtermos áreas de 3 lados, ideal para a construção de uma malha com elementos triangulares. Figura 7. Malhas de base obtidas para elementos de 4 mm (a) quadrilateros de 4 nós de e (b) triangulares. As malhas rectangular de 4 nós e triangular possuem 506 e 1118 elementos, respectivamente e estão representadas na figura 7. Ao longo do refinamento, ou seja,
  • 10. Ana Sabino e Paula Antunes diminuição do tamanho de cada elemento (4, 2, 1, 0.5 mm) torna-se óbvio que o número de elementos aumenta consideravelmente. 3.3. Deformação e obtenção de resultados Depois de construídas as malhas definiram-se as componentes, vertical e horizontal, das forças aplicadas na cabeça do fémur e os constrangimentos impostos na base do mesmo. A obtenção da estrutura deformada é totalmente processada pelo programa ao escolhermos a sequência de comandos Plot Results > Deformed Shape > Def. + Undeformed > OK. Para uma análise completa do comportamento biomecânico do fémur sob as condições de força referidas no enunciado obteve-se a representação da configuração deformada, da distribuição de tensões (de von Mises) e de deslocamentos. Fez-se uma análise de convergência com base na evolução da tensão de von Mises em 2 pontos de interesse. Estes resultados foram adquiridos para as malhas rectangular de 4 nós e triangular, para uma aproximação de estado plano de tensão. 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO Nesta secção apresentam-se e discutem-se os resultados pertinentes para a compreensão do da resposta biomecânica da parte proximal do fémur às solicitações externas simuladas. 4.1. Deformação Na figura 8 estão representadas as deformações, para o estado de tensão plana, com a malha de elementos quadriláteros e triangulares. Não são apresentadas as deformações obtidas com as outras malhas pois os resultados são extremamente idênticos. Figura 8. Configuração deformada obtida após convergência, em (a) elementos quadriláteros de 4 nós e (b) triangulares de 6 nós, para um estado de tensão plana (refinação de 4 mm)
  • 11. Ana Sabino e Paula Antunes Como é visível na figura 8 as deformadas são iguais e como tal, a partir daqui, optou-se por exibir os resultados conseguidos apenas para um dos tipos de elementos, os quadriláteros de 4 nós. A deformação da estrutura ocorre para a direita e para baixo devido a vários factores: • Às forças nele aplicadas - embora a componente horizontal orientada da direita para a esquerda (768 N) seja maior que a da esquerda para a direita (224 N), a componente vertical aplicada na extremidade superior direita e com sentido de cima para baixo (2246 N ) é o dobro daquela que é aplicada na extremidade superior esquerda com sentido oposto (1210 N); • Ponto de aplicação de Fh - devido à sua localização, surge um grande momento flector no sentido dos ponteiros do relógio (para a direita), que provoca um grande deslocamento horizontal; • Orientação das trabéculas - devido à orientação das trabéculas as forças verticais aplicadas são mais bem suportadas pelo fémur, ou seja, a resistência é maior à compressão que à flexão. Deste modo o maior deslocamento acontece na horiontal. • Geometria da estrutura – na base desta estrutura estão as duas colunas verticais de osso compacto (diáfise), coma região da medula assumida como espaço vazio, encastradas na extremidade, conferindo uma maior sensibilidade, da estrutura, a esforços horizontais do que verticais. Note-se também que na estrutura utilizada está ausente a outra metade do fémur, que na realidade existe, e que contribui para uma distribuição de tensões ao longo de todo o osso e uma melhor resposta à flexão. • Encastramento – uma vez que os deslocamentos na extremidade inferior da estrutura são nulos pode-se concluir que o encastramento imposto está a cumprir a sua função. Os deslocamentos horizontais são então crescentes à medida que se avança para a extremidade superior. • Ausência de tecidos moles – a omissão das tensões produzidas pela acção dos músculos e de tecidos moles aqui não representados deverá também contribuir para a tendência do deslocamento. 4.2. Distribuição das tensões de von Mises A distribuição de tensões de von Mises obtida após convergência é também análoga para os vários tipos de elementos o que indica uma boa qualidade geral das malhas experimentadas. Posto isto optou-se por apresentar os resultados obtidos para elementos rectangulares de comprimento 0.5 mm (figura 9). Com o intuito de obter uma representação mais intuitiva dos gradientes de tensão da estrutura foi necessário recorrer a um ajuste de escala das tensões pois os valores mínimo e máximo são bastante distantes um do outro, 664.627 e 0.3e7 Pa, respectivamente.
  • 12. Ana Sabino e Paula Antunes Figura 9. Distribuição de tensões de von Mises (em Pa), em . elementos rectangulares de 4 nós. A primeira observação a ter em conta está relacionada com as zonas onde ocorrem as tensões mais elevadas: • No osso compacto - esta situação ocorre devido ao valor do módulo de Young do esta osso compacto (17 GPa) ser maior que o do osso trabecular (5 GPa) e assim haver uma maior concentração das tensões no componente mais rígido (entre 500000 e rígido 0.1e7 Pa). • Pontos de aplicação das forças – lembrando que a tensão é igual ao limite do quociente entre a força aplicada e a área, e que é nestes pontos que a força é área máxima, não seria de esperar outra conjuntura. Em segundo lugar as tensões máximas (entre 0.25e7 e 0.3e7 Pa) ocorrem na região inferior sões da estrutura, precisamente onde foram definidos os encastramentos. Tal fenómeno deve ao deve-se facto de o encastramento estar numa extremidade e as forças aplicadas noutra. Quanto à região proximal do fémur, é aí que ocorrem valores de tensão mais baixos (entre ximal 664.627 e 250000 Pa) principalmente nas regiões que não se encontram na direcção da componente vertical das forças aplicadas. Para além desta análise qualitativa, consegue relacionar esta distribuição de tensões com itativa, consegue-se a composição óssea do fémur. Uma vez que a metade proximal do fémur está sob menos tensão pode-se associar isso ao revestimento de osso compacto que este possui. É aí que se depositam as energias de distorção mais elevadas protegendo deste modo espaço interior onde se encontra o osso trabecular que por sua vez também colabora na dissipação do efeito das forças aplicadas, minimizando a distorção. No entanto é na região em que não existe osso
  • 13. Ana Sabino e Paula Antunes trabecular, apenas medula óssea que o revestimento compacto fica sujeito às tensões de q distorção mais elevadas. Esta distribuição de tensões é justificada pela diferença de espessura . de osso compacto ao longo do fémur: 3 mm na região proximal e 3 na região distal. 4.3. Efeito das componentes horizontais e verticais das forças Optamos também por reportar neste trabalho o efeito individual das componentes horizontais e verticais das forças externas, na distribuição de tensões ao longo da estrutura (figura 10). Figura 10. Tensões segundo x (esquerda) e segundo y (direita). . Como é notável na imagem da esquerda da figura 10, e tendo em conta a orientação das componentes horizontais das forças aplicadas, é compreensível que na zona proximal do fémur mais próxima dos pontos de aplicação das mesmas esteja à tracção (tensões positivas). émur À medida que nos dirigimos, da zona proximal para a distal, o fémur passa a estar em compressão (tensões negativas). Quanto à imagem da direita da figura 10 há que reparar que as zonas que sofrem maior r compressão (tensões mais negativas) são as que estão próximas e do lado do ponto de aplicação de Fh. Como esta é a força que possui a maior componente vertical, com sentido de cima para baixo, e do lado oposto existe um encastramento, é entre estes dois pontos que ocorre a maior compressão vertical. 4.4. Análise da convergência nálise Para a análise da convergência, escolheram-se 2 pontos de interesse na estrutura: os pontos escolheram
  • 14. Ana Sabino e Paula Antunes 3 e 78 situados no osso compacto (figura 11). Figura 11. Pontos de interesse utilizados na análise de convergência do problema. A convergência da tensão de von Mises foi estudada para estes dois pontos para diferentes tamanhos do elemento-tipo (4, 2, 1 e 0.5 mm). É de fácil percepção que quanto menor o elemento-tipo, maior será o número de elementos que constitui a malha. Na figura 12 encontram-se os resultados da análise da convergência e implícito ao aumento do número de elementos da malha, está a diminuição do tamanho do elemento. Figura 12. Resultados do estudo de convergência nos pontos 3 e 78 com elementos triangulares de 6 nós (a roxo) e com elementos quadriláteros de 4 nós (a preto)
  • 15. Ana Sabino e Paula Antunes O estudo de convergência baseou-se no cálculo das tensões de von Mises obtidas nos 2 pontos de interesse, para os 2 tipos de elementos: quadriláteros de 4 nós e triangulares de 6 nós. Pela observação atenta dos gráficos pode-se concluir que os elementos triangulares convergem mais rapidamente para a tensão de von Mises “final” de cada ponto do que os elementos quadriláteros, pois são precisos menos elementos e de dimensão não tão pequena para chegar ao valor dessa mesma tensa. De um modo geral, o método adoptado mostrou-se tecnicamente eficiente e robusto, e forneceu indicações importantes, ainda que apenas de carácter qualitativo, para o comportamento biomecânico da estrutura óssea real. 5. CONCLUSÃO Para alcançar o objectivo deste trabalho, os seus autores recorreram à sua capacidade de formular, abordar e resolver um problema de natureza biomecânica, correlacionando conhecimentos adquiridos ao longo das aulas de Mecânica e Modelação Computacional. O objectivo foi conseguido e a análise biomecânica conduziu-nos a resultados satisfatórios, tal como já foi referido na sua discussão. Quanto ao método utilizado conclui-se que o método dos elementos finitos é realmente uma ferramenta poderosa e útil para análise de problemas com domínios pouco regulares, como é o caso da região proximal do fémur humano. Existe a noção de que quanto mais especificas e próximas da realidade forem as condições de fronteira, melhor será a simulação desenvolvida por este software. Os resultados obtidos permitem uma análise qualitativa do comportamento biomecânico do osso em questão e facultam-nos informação acerca da resposta, do mesmo, a solicitações externas. Tal informação é importantíssima para a projecção de próteses, análise de patologias do osso e mesmo planeamento de fisioterapia pós-cirúrgica. 6. BIBLIOGRAFIA 1. Beer, F, Johnston, R e DeWolf, J. Mechanics of Materials. 3ª. s.l. : McGrawHill, 2003. 2. Reddy, J N. An Introduction to the Finite Element Method. 3ª. s.l. : McGrawHill, 2006. 3. Fernandes, P R, Folgado, J e Ruben, R B. Shape optimization of a cementless hip stem for a minimum of interface stress and displacement. 2004. pp. 51-61. 4. Fernandes, P R. Apontamentos das aulas teóricas de Mecânica e Modelação Computacional. 2009.