Para entender el proceso de la Optimización Diámica, antes debemos comprender los procesos de Optimización estática. Este es una buena revisión del Prof. Fabio Augusto

1. Otimizacao Est´ tica
¸˜ a
¸˜
Vers˜ o Preliminar. Sujeita a alteracoes.
a
F´ bio Augusto Reis Gomes
a
fabio@cepe.ecn.br
March 28, 2005

2. Abstract
e ¸˜
Nestas notas apresentamos m´ todos de otimizacao est´ tica, considerando prob-
a
lemas irrestritos e restritos. Primeiramente, apresentamos uma breve revis˜ o de
a
´ ¸˜
c´ lculo e algebra linear. Em seguida discutimos problemas de otimizacao sem
a
¸˜ ¸˜
restricao e com restricoes de igualdade e de desigualdade.

3. Contents
I Revis˜ o
a 5
1 C´ lculo de uma vari´ vel
a a 6
1.1 ¸˜
Algumas Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 ¸˜
Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Regras B´ sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 8
1.2.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Outras Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 M´ ximos e M´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a ı 18
1.5.1 ¸˜
Identificacao de M´ ximos e M´nimos . . . . . . . . . . .
a ı 18
1.5.2 Funcoes com Apenas um Ponto Cr´tico . . . . . . . . . .
¸˜ ı 20
1.5.3 ¸˜
Funcoes com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero . 20
1.5.4 Funcoes cujo Dom´nio e um Intervalo Fechado Finito . . .
¸˜ ı ´ 20
1.6 ¸˜
Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 ´
Algebra Linear 29
2.1 Norma e Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1

4. 3 C´ lculo de V´ rias Vari´ veis
a a a 34
3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos . . . . . . . . . . . . 34
3.2 ¸˜
Funcoes de V´ rias Vari´ veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a 36
3.2.1 ¸˜
Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Representacao Geom´ trica das Funcoes . . . . . . . . . .
¸˜ e ¸˜ 36
3.3 C´ lculo de V´ rias Vari´ veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a a 38
3.3.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ 38
3.3.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes . . . . . . . . . . . . 40
3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana . . . . 43
3.4 ¸˜
Funcao Implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Curvas de N´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 48
¸˜
II Otimizacao Est´ tica
a 49
4 Formas Quadr´ ticas e Matrizes Definidas
a 50
4.1 Formas Quadr´ ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 50
4.2 Formas Quadr´ ticas Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 52
4.3 e
Matrizes Sim´ tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Teste para Classificar uma Matriz Sim´ trica . . . . . . . . . . . .
e 53
4.5 ¸˜
Restricoes Lineares e Matrizes Orladas . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 ¸˜
Otimizacao Irrestrita 58
5.1 ¸˜
Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Condicoes de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ 59
5.3 ¸˜
Condicao de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.1 Condicoes Suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ 61
5.3.2 Condicoes Necess´ rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ a 62
2

5. 5.4 M´ ximo Global e M´nimo Global . . . . . . . . . . . . . . . . .
a ı 64
5.5 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ 65
5.5.1 ¸˜
Maximizacao do Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5.2 Monopolista Astuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintos . . . . . . . . 68
5.5.4 ¸˜
Concorrˆ ncia Perfeita: Producao de dois Bens . . . . . . .
e 70
5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens Substitutos . . . . . . 71
5.6 ¸˜
Exerc´cios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 73
6 ¸˜
Otimizacao Restrita I 84
6.1 ¸˜
Restricoes com igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.1 Duas Vari´ veis e uma Restricao de Igualdade . . . . . . .
a ¸˜ 84
6.1.2 ¸˜
V´ rias Restricoes de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . .
a 87
6.1.3 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸˜ 90
6.1.4 ¸˜
Exerc´cios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 98
6.2 Restricoes de desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
¸˜
6.2.1 Uma Restricao de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 102
¸˜
6.2.2 ¸˜
Caso com v´ rias restricoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
a
6.2.3 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
¸˜
6.2.4 ¸˜
Exerc´cios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
ı
6.3 Restricoes de Igualdade e Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 114
¸˜
7 ¸˜
Otimizacao Restrita II 116
7.1 O Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.1.1 ¸˜
Uma Restricao de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.1.2 V´ rias Restricoes de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 118
a ¸˜
7.1.3 ¸˜
Restricoes de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.4 Interpretando o Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . 118
3

6. 7.2 Teorema do Envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.1 Problemas sem restricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
¸˜
7.2.2 ¸˜
Problemas com restricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3 ¸˜
Condicao de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4

7. Part I
Revis˜ o
a
5

8. Chapter 1
C´ lculo de uma vari´ vel
a a
¸˜
1.1 Algumas Definicoes
Definition 1 Uma funcao
¸˜ e estritamente crescente se
´
Example 1 Examine se a funcao
¸˜ e estritamente crescente. Tome
´
e tais que . Ent˜ o queremos verificar se
a
Obviamente, tal funcao e estritamente crescente.
¸˜ ´
Definition 2 Uma funcao
¸˜ e estritamente decrescente se
´
6

9. Example 2 Examine se a funcao
¸˜ e estritamente decrescente. Tome
´
e tais que . Ent˜ o queremos verificar se
a
Obviamente, tal funcao e estritamente decrescente.
¸˜ ´
¸˜
Observe que se uma funcao passa de decrescente para crescente em , isto
implica que e um m´nimo local desta funcao, isto e,
´ ı ¸˜ ´
para todo na vizinhanca de
¸ ¸˜
. Por outro lado, se uma funcao passa de crescente
para decrescente em , isto implica que e um m´ ximo local desta
´ a
funcao, isto e,
¸˜ ´ para todo na vizinhanca de
¸ .
Definition 3 Se uma funcao e deriv´ vel em cada ponto
¸˜ ´ a de seu dom´nio
ı ,
dizemos que tal funcao e deriv´ vel ou diferenci´ vel.
¸˜ ´ a a
Definition 4 Se a funcao
¸˜ possui derivadas de ordem e se a
derivada de
e uma funcao cont´nua, n´ s dizemos que
´ ¸˜ ı o e
´ vezes continuamente diferenci´ vel
a
ou para abreviar.
Remark 1 Para ao inv´ s de
e vez continuamente diferenci´ vel dizemos
a
apenas continuamente diferenci´ vel.
a
7

10. ¸˜
1.2 Regras de Derivacao
1.2.1 Regras B´ sicas
a
Seja , e uma constante.
1. Constante
¸˜
2. Multiplicacao por uma constante
3. Soma (subtracao)
¸˜
4. Multiplicacao
¸˜
5. Divis˜ o
a
1.2.2 Regra da Cadeia
´ ¸˜ ¸˜
A regra da cadeia e usada para derivar funcoes formadas pela composicao de
outras funcoes. Se
¸˜ e s˜ o funcoes no
a ¸˜ , a funcao
¸˜ obtida pela aplicacao da
¸˜
¸˜
funcao ao resultado de ´ ¸˜ ¸˜
e chamada funcao composta das funcoes e , de
modo que
ou
A regra da cadeia e usada para derivar funcoes compostas e estabelece que
´ ¸˜
8

11. 1.2.3 Outras Regras
1. Potˆ ncia
e
2. Exponencial
3. Logaritmo
4. Trigonom´ tricas
e
9

12. Example 3
Example 4
Example 5
Example 6
Example 7
Example 8
Example 9
Example 10
Example 11
10

13. Example 12
Example 13
Example 14
Example 15
Example 16
1.3 Derivada Primeira
¸˜ ´
Usando a derivada primeira podemos examinar se uma funcao e crescente ou de-
crescente. Esta informacao esta contida no sinal da derivada primeira.
¸˜
Theorem 1 Seja uma funcao continuamente diferenci´ vel em
¸˜ a . Ent˜ o:
a
1) se , existe um intervalo aberto contendo no qual e crescente
´
2) se , existe um intervalo aberto contendo no qual e decrescente.
´
Proof. Faremos a prova para o primeiro caso (o segundo e an´ logo). Como
´ a ´
e
diferenci´ vel
a
11

14. Logo se ´
e pequeno e positivo . Seja , ent˜ o
a
para pequeno e positivo
E, portanto, ´
e crescente na vizinhanca de
¸ .
O teorema anterior pode ser estendido do seguinte modo.
Theorem 2 Seja f uma funcao continuamente diferenci´ vel no dom´nio
¸˜ a ı .
Com isso,
1) se no intervalo , ent˜ o
a e crescente em
´
2) se no intervalo , ent˜ o
a e decrescente em
´
3) se f e crescente em
´ , ent˜ o
a em
4) se f e decrescente em
´ , ent˜ o
a em
´
A derivada primeira e usada tamb´ m para encontrar pontos cr´ticos de uma
e ı
funcao .
¸˜
Example 17 Examine em quais regi˜ es a funcao e crescente
o ¸˜ ´
Derivada primeira
Portanto, em todo dom´nio. Ou seja, a funcao e crescente em todo
ı ¸˜ ´
dom´nio.
ı
Example 18 Examine em quais regi˜ es a funcao e crescente
o ¸˜ ´
Derivada primeira
12

15. Portanto, quando
Ou seja, a funcao e crescente quando
¸˜ ´ ou .
Example 19 Examine em quais regi˜ es a funcao e crescente
o ¸˜ ´
em que . Derivada primeira
Portanto, quando
Ou seja, a funcao e crescente quando
¸˜ ´ .
Example 20 Examine em quais regi˜ es a funcao e crescente
o ¸˜ ´
em que . Derivada primeira
Portanto, quando
Ou seja, a funcao e crescente quando
¸˜ ´ .
13

16. Definition 5 Os pontos nos quais ou n˜ o e definido s˜ o chama-
a ´ a
dos pontos cr´ticos.
ı
Example 21 Encontre os pontos cr´ticos
ı
Example 22 Encontre os pontos cr´ticos considerando que
ı .
Note n˜ o est´ definido para
a a . Por´ m este ponto foi exclu´do inicial-
e ı
mente.
Example 23 Encontre os pontos cr´ticos considerando que
ı
Note n˜ o est´ definido para
a a . Por´ m estes pontos foram exclu´dos
e ı
inicialmente.
1.4 Derivada Segunda
¸˜ ¸˜ ´
Em muitas situacoes gostar´amos de saber mais do que se uma funcao e crescente
ı
ou decrescente. Gostariamos de saber por exemplo se e crescente ou decres-
´
´
cente. Para tanto e preciso computar a derivada segunda, . Caso
a derivada primeira e crescente na vizinhanca de . Se
´ ¸ a derivada
´
segunda e decrescente na vizinhanca de .
¸
Definition 6 Seja . Se no intervalo , ent˜ o
a e denominada
´
concava (concava para baixo) em . Se no intervalo , ent˜ o
a e
´
denominada convexa (concava para cima) em .
14

17. ¸˜ ¸˜
Existe tamb´ m uma definicao para funcoes cˆ ncavas e convexas baseada no
e o
seguinte argumento. Observando o gr´ fico de uma funcao cˆ ncava, notamos que
a ¸˜ o
¸˜
a reta secante ligando dois pontos quaisquer do gr´ fico da funcao fica acima deste
a
a ¸˜
gr´ fico. Para uma funcao convexa, a reta secante fica a baixo do gr´ fico. Para
a
chegarmos a esta definicao alternativa e preciso aprsentar alguns conceitos.
¸˜ ´
Para dois pontos e , , o conjunto de pontos entre e ´
e dado pelo
conjunto de todas as combinacoes convexas de
¸˜ e :
Assim, o gr´ fico de
a em e o conjunto de pontos
´
Por outro lado, a reta secante ligando os pontos e no gr´ fico
a
de ´
e dada por
para .
Definition 7 Uma funcao
¸˜ e cˆ ncava (cˆ ncava para baixo) no intervalo
´ o o se e
somente se
(1.1)
para todo , e para todo . Uma funcao
¸˜ e convexa (cˆ ncava para
´ o
cima) no intervalo se e somente se
(1.2)
para todo , e para todo
¸˜ ´ ¸˜
Esta definicao e mais geral porque se aplica a funcoes n˜ o diferenci´ veis. No
a a
¸˜
entanto a condicao (1.1) ´
e equivalente a no inter-
valo para funcoes
¸˜ .
15

18. Example 24 Verifique se a funcao
¸˜ e convexa, no intervalo
´ .
Pela definicao, tal funcao e convexa se
¸˜ ¸˜ ´
Portanto, fica claro que tal funcao e convexa no intervalo
¸˜ ´ . Usando a nocao de
¸˜
derivada ter´amos
ı
Fica claro que a funcao e convexa em todo seu dom´nio.
¸˜ ´ ı
Example 25 Verifique se a funcao
¸˜ e cˆ ncava, no intervalo
´ o .
Pela definicao, tal funcao e cˆ ncava se
¸˜ ¸˜ ´ o
Como vimos no exemplo acima, esta ultima desigualdade e satisfeita. Usando a
´ ´
nocao de derivada ter´amos
¸˜ ı
Fica claro que a funcao e cˆ ncava em todo seu dom´nio.
¸˜ ´ o ı
16

19. Example 26 Analise a concavidade da funcao
¸˜
Derivada primeira e segunda
Portanto,
quando
quando
E, quando a funcao e convexa e quando
¸˜ ´ a funcao e concava.
¸˜ ´
Example 27 Verifique a concavidade da funcao densidade da distribuicao nor-
¸˜ ¸˜
mal padr˜ o
a
Derivada primeira
Derivada segunda
17

20. Como ,
Portanto,
convexa
concava
convexa
´
A derivada segunda e usada tamb´ m para encontrarmos pontos cr´ticos de
e ı
segunda ordem e pontos de in ex˜ o.
a
Definition 8 Os pontos nos quais s˜ o chamados pontos cr´ticos de
a ı
segunda ordem. Caso a derivada segunda mude de sinal nestes pontos, eles s˜ o
a
chamados pontos de in ex˜ o.
a
1.5 M´ ximos e M´nimos
a ı
¸˜
1.5.1 Identificacao de M´ ximos e M´nimos
a ı
Os resultados acima s˜ o utilizados para encontrarmos pontos de m´ ximo ou m´nimo
a a ı
de uma funcao
¸˜ no .
1. A funcao
¸˜ apresenta um m´ ximo local em
a se para cada
em algum intervalo aberto contendo .
2. A funcao
¸˜ apresenta um m´ ximo global em
a se para cada
no dom´nio de .
ı
¸˜
3. A funcao apresenta um m´nimo local em
ı se para cada
em algum intervalo aberto contendo .
18

21. ¸˜
4. A funcao apresenta um m´nimo global em
ı se para cada
no dom´nio de .
ı
Seja ¸˜ ı ´
uma funcao cujo dom´nio e . Ent˜ o um m´ ximo ou m´nimo podem
a a ı
ocorrer na borda (fronteira) do intervalo ´
, isto e, em ou , ou no interior
do intervalo. No primeiro caso, temos um m´ ximo ou m´nimo de fronteira. No
a ı
a ı
segundo caso temos um m´ ximo ou m´nimo interiores. Para o caso interior o
seguinte teorema se mostra bastante util.
´
Theorem 3 Se e um m´ ximo ou m´nimo interior de , ent˜ o
´ a ı a e um ponto
´
cr´tico de .
ı
Proof. fazer gr´ fico
a
Caso seja um ponto cr´tico de
ı como saberemos se e um m´ ximo ou
´ a
m´nimo, ou nenhum dos dois? Usamos a segunda derivada de
ı em , como
segue.
Theorem 4
1) se e , ent˜ o
a e um m´ ximo de
´ a
2) se e , ent˜ o
a e um m´nimo de
´ ı
3) se e , ent˜ o
a pode ser um m´ ximo, um m´nimo ou nenhum dos dois
a ı
Proof. fazer gr´ fico
a
¸˜ ı a ´
Em muitas situacoes gostar´amos de saber se um m´ ximo local e um m´ ximo
a
global, ou se um m´nimo local e um m´nimo global. Em trˆ s casos, tal investigacao
ı ´ ı e ¸˜
se torna bastante simples:
1. Quando tem apenas um ponto cr´tico em seu dom´nio
ı ı
2. Quando ou em todo o dom´nio de
ı
3. Quando o dom´nio de
ı ´
e um intervalo fechado e limitado.
19

22. ¸˜
1.5.2 Funcoes com Apenas um Ponto Cr´tico
ı
Theorem 5 Suponha que
1) o dom´nio de
ı e um intervalo
´
2) e uma m´ ximo local de ,
´ a
3) e o unico ponto cr´tico de
´ ´ ı em
Ent˜ o,
a e um m´ ximo global de
´ a em .
Proof. ....
¸˜
1.5.3 Funcoes com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero
Theorem 6 Se e uma funcao
´ ¸˜ cujo dom´nio e
ı ´ e se nunca e zero em ,
´
ent˜ o
a tem no m´ ximo um ponto cr´tico em . Este ponto cr´tico e um m´nimo
a ı ı ´ ı
global se e uma m´ ximo global se
a .
Proof. ....
¸˜ ´
1.5.4 Funcoes cujo Dom´nio e um Intervalo Fechado Finito
ı
¸˜ ´
O teorema de Weierstrass estabelece que uma funcao cont´nua cujo dom´nio e um
ı ı
intervalo fechado e limitado possui um m´ ximo global e um m´nimo global
a ı
em seu dom´nio.
ı
Pelos teoremas apresentados, sabemos que um ponto de m´ ximo ou m´nimo
a ı
interior de e um ponto cr´tico desta funcao. Os outros candidatos para m´ ximo
´ ı ¸˜ a
oum m´nimo s˜ o os limites do intervalo:
ı a e . Portanto, se estamos
procurando por um m´ ximo (m´nimo) global de uma funcao
a ı ¸˜ de dom´nio
ı
n´ s precisamos somente de:
o
1. encontrar os pontos cr´ticos de , resolvendo
ı para
20

23. 2. calcular nesses pontos cr´ticos e nos pontos
ı e
3. escolher dentre esses pontos aquele que d´ o maior (menor) valor de
a
Example 28 Considere a funcao
¸˜
Encontre o valor de que m´ ximiza esta funcao no intervalo
a ¸˜ . Primeira-
mente obtemos os valores cr´ticos.
ı
Ent˜ o calculamos
a nos pontos cr´ticos, e
ı e nas fronteiras, e .
, , e
Assim, o m´ ximo global ocorre quando
a e o m´nimo global ocorre quando
ı
.
Example 29 Ache os pontos cr´ticos da funcao
ı ¸˜
E examine se os mesmos correspondem a pontos de m´ ximo ou m´nimo. Primeiro
a ı
obtemos a sua derivada
Igualando a zero
21

24. Cuja solucao e dada por
¸˜ ´
Como n˜ o existe
a tal que n˜ o est´ definido, os pontos cr´ticos s˜ o
a a ı a e .
Note que e , o que sugere que e um ponto de m´ ximo e e
´ a ´
um ponto de m´nimo. Vamos analisar a derivada segunda nestes pontos.
ı
concavo m´ ximo local
a
convexo m´nimo local
ı
Example 30 Ache os pontos cr´ticos da funcao custo m´ dio
ı ¸˜ e
E examine se os mesmos correspondem a pontos de m´ ximo ou m´nimo. Derivando
a ı
Igualando a zero
Como n˜ o existe
a tal que n˜ o est´ definido, o unico ponto cr´tico e
a a ´ ı ´ .
Calculamos a derivada segunda.
convexo m´nimo local
ı
22

25. ´ a
E f´ cil notar que este m´nimo local e um m´nimo global. Uma raz˜ o simples e
ı ´ ı a ´
que a funcao apresenta apenas um ponto cr´tico. Outra raz˜ o e que a funcao e
¸˜ ı a ´ ¸˜ ´
convexa em todo dom´nio (
ı , independente de )
Example 31 Ache os pontos cr´ticos da funcao
ı ¸˜
E examine se os mesmos correspondem a pontos de m´ ximo ou m´nimo. Derivando
a ı
Igualando a zero
Como n˜ o existe
a tal que n˜ o est´ definido, o unico ponto cr´tico e
a a ´ ı ´ .
Calculando a derivada segunda
convexo m´nimo local
ı
Novamente, observe que temos apenas um ponto cr´tico e que a funcao e convexa
ı ¸˜ ´
em todo dom´nio.
ı
Example 32 Ache os pontos cr´ticos da funcao
ı ¸˜
E examine se os mesmos correspondem a pontos de m´ ximo ou m´nimo. Derivando
a ı
Igualando a zero
23

26. Logo, e s˜ o os pontos cr´ticos. Como n˜ o existe
a ı a tal que n˜ o
a
est´ definido, o unicos pontos cr´ticos s˜ o
a ´ ı a e . Note que enquanto
. Calculando a derivada segunda
concavo maximo local
convexo m´nimo local
ı
¸˜
1.6 Funcao Inversa
¸˜
Para qualquer funcao , em que o dom´nio
ı de ´
e um subconjunto
do , n´ s dizemos que a funcao
o ¸˜ e uma inversa de
´ se:
1) para todo no dom´nio
ı de e
2) ! ı
! para todo ! no dom´nio de .
Example 33 Considere a funcao de demanda pelo bem
¸˜
" " (1.3)
em que " e o preco. Isolando o preco
´ ¸ ¸
" (1.4)
Para verificar se (1.4) e a inversa de (1.3) procedemos como indicado acima.
´
"
" " " " "
24

27. ¸˜
Suponha que seja uma inversa de uma funcao qualquer, de modo que,
Suponha agora que ! , em que ! . Ent˜ o
a precisa ser tal que
! . Ou seja, ao mesmo tempo temos e ! , o que
e imposs´vel. Portanto, observamos que, para
´ ı possuir uma inversa e necess´ rio
´ a
que `
n˜ o associe o mesmo ponto na imagem a diferentes pontos de seu dom´nio,
a ı
´
isto e,
(1.5)
Ou equivalentemente,
(1.6)
Definition 9 Uma funcao
¸˜ que satisfaz (1.5) ou (1.6) em um conjunto e de-
´
nominada injetora, neste intervalo .
Example 34 Considere a funcao
¸˜ . Como uma funcao definida em
¸˜
todo , n˜ o e injetora pois
a ´ e geram . Logo, n˜ o
a
existe uma fincao inversa. Contudo, se restringirmos o dom´nio a
¸˜ ı ent˜ o a
a
funcao
¸˜ passa a ser injetora e sua inversa e
´ com dom´nio
ı .
Theorem 7 Uma funcao
¸˜ definida no intervalo do possui uma inversa
bem definida no intervalo se e somente se e monotonamente crescente ou
´
monotonamente decrescente em todo intervalo .
Note que, se ´
e monotonamente crescente ou descrescente automaticamente
. Para funcoes diferenci´ veis este teorema pode ser
¸˜ a
¸˜
reescrito, nos fornecendo uma maneira simples de verificar se uma funcao possui
inversa.
25

28. Theorem 8 Uma funcao
¸˜ definida no intervalo do e injetora e,
´
portanto, invert´vel em
ı se para todo ou para todo
.
O seguinte teorema sumariza alguns resultados importantes.
Theorem 9 (Teorema da Funcao Inversa) Seja
¸˜ uma funcao
¸˜ definida no
intervalo do . Se para cada ent˜ o:
a
1) e invert´vel em ,
´ ı
2) sua inversa e uma funcao
´ ¸˜ no intervalo e
3) para todo ! no dom´nio da funcao inversa , vale
ı ¸˜
!
!
Note que ! !, logo aplicando a regra da cadeia ! !
e com isso ! ! .
Example 35 A inversa de e
´ . Observe que
Pelo Teorema da Funcao Inversa,
¸˜
Example 36 Problema do Monopolista. Escolher a quantidade de modo a max-
imizar a receita, levando em conta a funcao de demanda
¸˜ " .
"
"
Assuma que e que a funcao de demanda e linear
¸˜ ´ " ", em que
. O dom´nio de " e dado pelo intervalo
ı ´ . Como " e
´
26

29. monotonamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a funcao inversa existe.
¸˜
No caso,
" "
Substituindo no problema do consumidor, temos
"
"
Equivalendo a
Pontos cr´ticos:
ı
Concavidade (derivada segunda):
Pois . Portanto a funcao e concava em todo dom´nio e
¸˜ ´ ı e um ponto de
´
m´ ximo global.
a
Example 37 No exemplo anterior assuma que e " " , em
que # . O dom´nio de " e dado pelo intervalo
ı ´ . Como "
27

30. e monotonicamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a funcao inversa
´ ¸˜
existe. No caso,
" "
Deste modo podemos proceder como no exemplo anterior.
28

31. Chapter 2
´
Algebra Linear
2.1 Norma e Produto Interno
2.1.1 Norma
Definition 10 Seja . O n´ mero n˜ o negativo
u a
e chamado norma ou comprimento do vetor .
´
Definition 11 Se e s˜ o as coordenadas de
a e , respecti-
a
vamente, no espaco euclidiano n-dimensional, ent˜ o a distˆ ncia entre
¸ a e e
´
Definition 12 Um vetor tal que , e chamado de vetor unit´ rio.
´ a
Example 38 O comprimento do vetor e dado por
´
29

32. Portanto, o vetor e unit´ rio. Pois,
´ a
Example 39 Seja e . Ent˜ o
a
Logo, o comprimento de e
´ enquando o comprimento de e
´ . A
distˆ ncia entre
a e e
´
Theorem 10 # # para todo # e .
Proof.
# #
# #
# #
#
#
30

33. 2.1.2 Produto Interno
Definition 13 Seja . Ent˜ o o produto interno euclidiano de
a e , de
modo que e o n´ mero
´ u
Example 40 Seja e ent˜ o
a
Example 41 Seja a quantidade demandada do bem , ent˜ o
a
constitui uma cesta de mercadorias. Como a quantidade de cada mercadoria e
´
n˜ o-negativa, o conjunto de todas as cetas de mercadorias e dada por
a ´
que denominamos espaco de mercadorias. Seja " o preco da mercadoria . Ent˜ o
¸ ¸ a
o custo de uma cesta e
´
" " "
Dada uma renda o conjunto orcament´ rio e formado por todas as cestas tais
¸ a ´
que
"
Example 42 Considere uma firma que utiliza insumos. A quantidade utilizada
de cada insumo e $
´ . O custo unit´ rio de cada insumo e dado por
a ´
% . Ent˜ o o custo total torna-se
a
$ % $ $ % %
$% $ %
31

34. Example 43 Considere um portfolio de um investidor qualquer,
em que representa a fracao da riqueza investida no ativo . Obviamente estas
¸˜
fracoes devem somar . De modo que a restricao orcament´ ria e
¸˜ ¸˜ ¸ a ´
Seja # o retorno do ativo no estado da natureza . Ent˜ o, o vetor de retornos
a
no estado da natureza e
´
# # #
Um portfolio e livre de risco se o seu retorno e o mesmo em todos os estados &
´ ´
da natureza, isto e,
´
# # #
O seguinte teorema resume as propriedades do produto interno.
Theorem 11 Seja % e# . Ent˜ o
a
1)
2) % %
3) # # #
4)
5) implica que
6)
Remark 2 Note que
32

35. Logo,
O produto interno relaciona o comprimento de dois vetores eo
´
angulo ' entre eles, sendo util na discuss˜ o de problemas geom´ tricos.
a e
Theorem 12 Seja e ' o angulo entre eles. Ent˜ o,
a
'
Example 44 Seja e , ent˜ o
a
'
Example 45 Seja e , ent˜ o
a
'
Portanto, ' .
33

36. Chapter 3
C´ lculo de V´ rias Vari´ veis
a a a
3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos
Em muitos casos queremos analisar a vizinhanca de um ponto
¸ do . Nestes
¸˜ ´
casos, as seguintes definicoes mostram-se uteis.
Definition 14 Seja ! e ( um n´ mero positivo. A bola aberta de raio ( em
u
torno de e o conjunto
´
) ! ! (
Definition 15 Um conjunto & e aberto se para cada
´ & existe uma
bola aberta de raio ( em torno de completamente contida em &:
& existe um ( tal que ) &
Um conjunto aberto contendo o ponto ´
e chamado uma vizinhanca aberta
¸
de . O termo aberto tem conotacao de sem fronteira: de qualquer ponto pode-
¸˜
¸˜
mos nos movimentar um pouco em qualquer direcao que ainda permanecemos no
conjunto.
34

37. Example 46 O intervalo
e um conjunto aberto. Se
´ e um ponto neste intervalo, ent˜ o
´ a e . O
n´ mero
u esta mais pr´ ximo de do que , e ainda pertence a
o . Enquanto
esta mais pr´ ximo de
o do que , e ainda pertence a . Se
( , ent˜ o o intervalo
a ( ( e um intervalo aberto
´
em torno de contido .
Definition 16 Um conjunto & e fechado se, sempre que
´ e uma
´
sequˆ ncia convergente completamente contida em &, seu limite tamb´ m est´ em
e e a
&.
Com isso, um conjunto fechado deve conter todos os seus pontos de fronteira,
que e exatamente oposto do que ocorre em conjuntos abertos.
´
Theorem 13 Um conjunto & e fechado se, e somente se, seu complementar
´
& & e aberto.
´
Lembre-se que um conjunto & e limitado se existe um n´ mero ) tal
´ u
que ) para cada &, ou seja, & est´ contido em alguma bola de
a .
Exemplos de conjuntos limitados incluem qulaquer intervalo ou uni˜ o finita de
a
intervalos de , exceto aqueles que tˆ m
e ou como extremidades.
Definition 17 Um conjunto & e compacto se, e somente se, e fechado e
´ ´
limitado simultaneamente.
35

38. ¸˜
3.2 Funcoes de V´ rias Vari´ veis
a a
¸˜
3.2.1 Definicao
Definition 18 Uma funcao de um conjunto * em um conjunto ) e uma regra
¸˜ ´
que associa, a cada objeto de *, um e somente um objeto de ). Neste caso,
escrevemos * ).
O dom´nido de uma
ı * ´
) e o conjunto * dos elementos nos quais
est´ definida o conjunto ) no qual
a assume seus valores e denominado con-
´
tradom´nio, ou espaco-alvo. Seja
ı ¸ *, ent˜ o dizemos que
a ´
ea
imagem de por . O conjunto de todos os , com ´
no dom´nio de , e
ı
denominado imagem de .
Example 47 Considere a funcao
¸˜
O dom´nio de
ı e todo
´ , o contradom´nio de
ı eo
´ e a imagem de eo
´
conjunto de todos os n´ meros reais n˜ o-negativos.
u a
3.2.2 ¸˜ ¸˜
Representacao Geom´ trica das Funcoes
e
Para construir o gr´ fico de uma funcao do
a ¸˜ em precisamos de trˆ s di-
e
mens˜ es. Seja !
o . Para cada valor no dom´nio calculamos
ı
em e marcamos o ponto .
Example 48 P´ gina 289 - Figura 13.1
a
Example 49 P´ gina 289 - Figura 13.2
a
36

39. ¸˜
Existe uma outra maneira de visualizar-se uma funcao de em , que s´
o
requer esbocos bidimensionais - o estudo de curvas de n´vel no plano. Para cada
¸ ı
novamente calculamos para obter, digamos, ! . Agora, esbocamos
¸
no plano , o lugar geom´ trico de todos os outros pares
e nos quais toma
o mesmo valor ! . Este conjuno, que e em geral uma curva, e denominado curva
´ ´
de n´vel de .
ı
Example 50 P´ gina 292 - Figura 13.7. Considere novamente a funcao
a ¸˜
Comece com o ponto , no qual vale . Agora encontre todos os demais
pontos nos quais vale . Isto e o conjunto
´ , um c´rculo de
ı
raio em torno da origem. Tamb´ m denotamos esta curva de n´vel por
e ı .
No caso de temos
um c´rculo de raio
ı em torno da origem.
Uma vez feita as curvas de n´vel, fica mais f´ cil visualizar o gr´ fico no espaco
ı a a ¸
tridimensional. Temos no espaco bidimensional as curvas de n´vel de
¸ ı
no plano , visualize os eixos coordenados de , de tal modo que os eixos
e ¸˜
estejam no plano da p´ gina e o eixo ! parta da p´ gina em sua direcao.
a a
Considerando o exemplo anterior, pegamos a curva de n´vel
ı e puxamos
para cima at´ o plano !
e . Portanto, para cada , puxe e at´
e
o plano ! . Com este procedimento passar´amos do gr´ fico 13.7 para o
ı a
gr´ fico 13.1.
a
Example 51 Considere a funcao de producao
¸˜ ¸˜
37

40. em que e s˜ o insumos, digamos capital e trabalho, respectivamente. Os con-
a
juntos de n´veis de uma funcao de producao s˜ o chamados isoquantas. A iso-
ı ¸˜ ¸˜ a
quanta para e
´
Ou seja, temos uma funcao
¸˜ de uma vari´ vel, cujo gr´ fico foi rotulado
a a
[p´ gina 295, gr´ fico 13.10]. Para o consumidor o an´ logo seria as curvas de
a a a
indiferenca.
¸
3.3 C´ lculo de V´ rias Vari´ veis
a a a
¸˜
3.3.1 Definicoes
Definition 19 Seja . Ent˜ o, para cada vari´ vel
a a em cada ponto
do dominio de , a derivada parcial de em relacao a
¸˜ e
´
dada por
+
+
se este limite existir. Somente a i-´ sima vari´ vel muda, as outras s˜ o tratadas
e a a
como constantes.
¸˜ ¸˜
A derivada parcial mostra como uma funcao varia em direcoes paralelas aos
eixos coordenados.
Example 52 Considere a funcao
¸˜
Ent˜ o,
a
+
+
38

41. Observe que tratamos como uma constante. E ainda,
+
+
Observe que tratamos como uma constante.
¸˜ ´ ¸˜
Outra nocao importante e a de diferencial total. Considere a funcao ,
de vari´ veis na vizinhanca de algum ponto selecionado
a ¸ , ent˜ o
a
a diferencial total de , em ´
e dada por
+, +,
,
+ +
3.3.2 Regra da Cadeia
Definition 20 Uma funcao
¸˜ e continuamente diferenci´ vel (ou
´ a )
em um conjunto aberto - se, e somente se, para cada , a derivada parcial
+ + existe em cada de - e e cont´nua em .
´ ı
Example 53 (Regra da Cadeia) Considere a funcao de producao:
¸˜ ¸˜
. /
Suponha que . e / dependem do tempo e da taxa de juros,
. # e / # #
#
Dai,
+ + +. + +/
+ +. + +/ +
. / . /
#
/ .
# . /
39

42. 3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes
Definition 21 Considere a funcao ,
¸˜ de vari´ veis na vizinhanca de
a ¸
algum ponto selecionado . Ent˜ o a derivada de , em
a na
direcao de
¸˜ (derivada direcional) e dada por
´
.
.
, .
+, +,
+ +
A derivada direcional mede a taxa a qual , aumenta ou diminui quando sa´mos
` ı
de ¸˜
na direcao de .
Example 54 Seja , ent˜ o
a
, .
.
.
+,
+
Ou seja, obtemos a derivada , na direcao de
¸˜ , que e a derivada parcial com
´
respeito a . Obtemos este resultado porque nos movemos apenas no eixo .
Example 55 Considere a funcao de producao
¸˜ ¸˜
, . / . /
40

43. em que . / . Ent˜ o,
a
+, /
+. .
+, .
+/ /
A derivada de , em na direcao
¸˜ e, simplesmente
´
+, +,
+. +/
Example 56 Considerando o exemplo anterior, perguntamos a que taxa creseria
a producao se aument´ ssemos . e / a mesma taxa? Como n˜ o sabemos a mag-
¸˜ a ` a
nitude da variacao e s´ a sua direcao, usamos o vetor unit´ rio
¸˜ o ¸˜ a na
direcao
¸˜ . A taxa de variacao de , na direcao de
¸˜ ¸˜ e
´
Definition 22 Seja , e considere o seguinte vetor de derivadas
no ponto :
.
.
, .
Tal vetor e denominado vetor gradiente de , em
´ .
41

44. Note que, podemos usar o gradiente para calcular a derivada direcional de ,
na direcao de , pois
¸˜
.
. .
.
, . .
+,
+
As caracter´sticas importantes de um vetor s˜ o:
ı a
1. Comprimento
2. Direcao
¸˜
3. Sentido
¸˜
Vamos nos concentrar primeiro na direcao e sentido, de modo que fazemos
. Por se equivalente a derivada direcional, , mede a taxa a qual
`
, aumenta ou diminui quando sa´mos de
ı ¸˜
na direcao de . Pela propriedade
conhecida do produto interno, a derivada de , na direcao de
¸˜ e
´
, , '
, '
pois ´ ˆ
e ' e o angulo entre os vetores , e no ponto base (P´ gina
a
333 - Figura 14.9).
´ ¸˜ ¸˜
E natural perguntar: em qual direcao a funcao , cresce mais rapidamente?
Como ' , , e maior quando
´ ' , ou seja, quando
' , ou seja, quando ¸˜
aponta na mesma direcao e sentido de , .
Theorem 14 Seja , uma funcao
¸˜ . Em cada ponto do dom´nio
ı
de , em que , , o vetor gradiente aponta na direcao em que , cresce
¸˜
mais rapidamente.
42

45. Example 57 Considere mais uma vez a funcao de producao
¸˜ ¸˜
, . / . /
em que . / . Se quisermos saber em quais proporcoes devemos
¸˜
acrescentar . e / a para aumentar a producao mais rapidamente,
¸˜
calculamos o vetor gradiente
,
e deduzimos que devemos acrescentar . e / em uma proporcao de
¸˜ para .
(p´ gina 334, Figura 14.10)
a
3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana
Seja . Ent˜ o a matriz hessiana de
a ´
e denotada por ou
:
.
. .
. ... .
.
. . .
Se todas estas ¸˜
derivadas de segunda ordem existem e s˜ o funcoes cont´nuas
a ı
de , dizemos que e duas vezes continuamente diferenci´ vel (ou
´ a ).
Remark 3 Notacao
¸˜
+
+ +
Theorem 15 (Teorema de Young)Suponha que numa
regi˜ o aberta 0 de
a . Ent˜ o, para cada
a de 0 e para cada par de ´ndices e 1,
ı
+ +
+ + + +
Portanto, para funcoes
¸˜ a matriz e sim´ trica.
´ e
43

46. ¸˜
3.4 Funcao Implicita
¸˜
Em geral trabalhamos com funcoes do seguinte modo
,
a o ´ ¸˜
em que a vari´ vel end´ gena e uma funcao expl´cita das vari´ veis ex´ genas. No
ı a o
¸˜ ¸˜
entanto, em problemas de maximizacao, as vezes, as condicoes de primeira ordem
tˆ m vari´ veis ex´ genas misturadas com vari´ veis end´ genas, como em
e a o a o
2
Se para cada , a equacao acima determinar um valor
¸˜ correspon-
¸˜ ¸˜
dente, diremos que tal equacao define a vari´ vel como uma funcao impl´cita das
a ı
vari´ veis ex´ genas
a o . Muitas vezes n˜ o e poss´vel tornar
a ´ ı uma funcao
¸˜
ı
expl´cita de , no entanto, ainda assim gostar´amos de saber como uma
ı
pequena variacao em uma das v´ ri´ veis ex´ genas afeta a vari´ vel end´ gena.
¸˜ a a o a o
Example 58 Considere a funcao demanda:
¸˜
" "
Facilmente, obtemos a derivada de em relacao a ":
¸˜
# " # "
"
Por´ m, n˜ o e poss´vel escrever " como funcao de . Nesta secao vamos desen-
e a ´ ı ¸˜ ¸˜
volver uma forma simples para calcular " .
Example 59 Considere uma firma que maximiza o lucro. A funcao de producao
¸˜ ¸˜
depende de um unico insumo , o custo de cada unidade de insumo e %, e seja
´ ´
o preco " o preco de venda do produto produzido pela firma. Para " e % fixos o
¸ ¸
lucro e o problema da firma e
´ ´
" %
44

47. Tomando a derivada primeira e igualando a zero, obtemos:
" %
Para cada valor das vari´ veis ex´ genas " e % a firma escolher´ um valor otimo
a o a ´
de que satisfaca a condicao de primeira ordem. Dependendo do formato de ,
¸ ¸˜
n˜ o e poss´vel escrever
a ´ ı como uma funcao expl´cita de " e %, mas ainda assim
¸˜ ı
queremos computar "e %. Al´ m disso, queremos saber se h´ m´ ltiplas
e a u
solucoes para a condicao de primeira ordem e se existe um m´ ximo global.
¸˜ ¸˜ a
Uma nota de cautela e necess´ ria. O simples fato de podermos escrever uma
´ a
¸˜
funcao impl´cita 2
ı ¸˜
n˜ o significa que esta equacao define
a como uma
funcao de . Por exemplo,
¸˜
(3.1)
Quando n˜ o existe
a que satisfaca (3.1). No entanto, em geral comecamos
¸ ¸
com uma solucao espec´fica
¸˜ ı da equacao impl´cita 2
¸˜ ı e pergun-
´
tamos se e poss´vel encontrar
ı pr´ ximo de
o ¸˜
que satisfaca a equacao quando
¸
est´ pr´ ximo de
a o . Considere e , note que tais pontos satis-
¸˜
fazem a equacao impl´cita. Variando
ı ´
um pouco podemos encontrar um unico
perto de que corresponde ao novo . (Figura 15.1 - P´ gina
a
347)
Contudo, iniciando em e ¸˜
, n˜ o existe tal relacao funcional. Se
a
aumentarmos um pouco, digamos (, ent˜ o n˜ o existe correspondente
a a
tal que ( resolva (3.1). (Figura 15.2 - P´ gina 348) Para ficar claro, como
a
( , n˜ o existe
a resolva
(
( (
( (
45

48. O seguinte teorema responde a duas quest˜ es b´ sicas, a saber:
o a
1. A equacao 2
¸˜ determina como uma funcao cont´nua de
¸˜ ı para
perto de e para perto de ?
2. Neste caso, como s˜ o os
a ¸˜
correspondentes afetados por variacoes em ?
Theorem 16 (Teorema da funcao impl´cita) Seja 2
¸˜ ı uma funcao
¸˜ numa
bola em torno de em . Suponha que 2 e considere a
express˜ o
a
2
Se +2 + , ent˜ o existe uma funcao
a ¸˜ definida num inter-
valo em torno do ponto que e
´ e tal que:
a) 2 para qualquer em
b)
c)
Remark 4 Considere uma funcao impl´cita 2
¸˜ ı em torno de .
Supondo que exista uma funcao
¸˜ que e solucao da equacao
´ ¸˜ ¸˜
2 , ou seja,
2
Pela Regra da Cadeia podemos derivar esta equacao com respeito a
¸˜ em :
+2 +2
+ +
+2 +2
+ +
Portanto,
46

49. Example 60 Vamos retomar a discuss˜ o de
a
Note que,
No primeiro caso consideramos , neste caso
+2
e
+
Por´ m, no caso
e
+2
+
e as condicoes necess´ rias para se aplicar o teorema da funcao impl´cita n˜ o se
¸˜ a ¸˜ ı a
aplicam
Example 61 Considere
Queremos calcular em e . Primeiramente vamos verificar se
+2
+
Calculando esta derivada e avaliando em ,
+2
+
Aplicando o Teorema da Funcao Impl´cita:
¸˜ ı
47

50. Theorem 17 (Teorema da funcao impl´cita) Seja 2
¸˜ ı uma funcao
¸˜
numa bola em torno de . Suponha tamb´ m que
e sat-
isfaz ambos
2
+2
+
Ent˜ o, existe uma funcao
a ¸˜ , definida numa bola aberta ) em
torno de tal que:
a) 2 para qualquer )
b)
c)Para cada ´ndice i:
ı
3.5 Curvas de N´vel
ı
p342
48

51. Part II
¸˜
Otimizacao Est´ tica
a
49

52. Chapter 4
Formas Quadr´ ticas e Matrizes
a
Definidas
Seja , . Se e um ponto cr´tico de
´ ı , ent˜ o a segunda
a
derivada da uma condicao necess´ ria e suficiente para determinar se
¸˜ a
´
e um m´ ximo ou m´nimo (ou nenhum dos dois). A generalizacao do teste da se-
a ı ¸˜
gunda derivada para , envolve avaliar se a matriz de derivadas
segunda de (Hessiano) e definida positiva, definida negativa ou indefinida
´
num ponto cr´tico de . Por exemplo,
ı , e concava (convexa)
´
´
em uma dada regi˜ o se a sua matriz de derivadas segunda e semidefinida negativa
a
(positiva) para todo nesta regi˜ o.
a
4.1 Formas Quadr´ ticas
a
¸˜ ´
Um funcao quadr´ tica bastante simples e a seguinte
a .
Definition 23 Uma forma quadr´ tica em
a e uma funcao real da forma
´ ¸˜
50

53. na qual cada termo e um monˆ mio de grau dois.
´ o
A forma quadr´ tica
a pode ser representada por uma matriz sim´ trica * como
e
segue
*
Example 62 Caso bidimensional:
Que pode ser reescrita como
Example 63 Caso tridimensional:
Que pode ser reescrita como
Theorem 18 A forma quadr´ tica geral
a
pode ser escrita na forma matricial como
.
. .
. ... .
. .
.
. . . .
isto e
´ * em que * e uma matriz sim´ trica (´ nica).
´ e u
51

54. 4.2 Formas Quadr´ ticas Definidas
a
´
A forma quadr´ tica geral de uma variavel e
a . Se , ent˜ o
a
para todo , sendo nula apenas quando . Logo, tal forma e chamada de
´
definida positiva e seu m´nimo global. Se
´ ı , ent˜ o
a para
todo , sendo nula apenas quando . Neste caso, temos uma forma definida
negativa e seu m´ ximo global. Note que, determinar a classificacao de
´ a ¸˜
´
e equivalente a determinar se ´
e um m´ ximo (
a ) ou um um m´nimo
ı
( ).
De forma geral, se para todo , ent˜ o
a e definida
´
positiva. Se para todo mas existe tal que ,.
ent˜ o
a e semidefinida positiva (n˜ o-negativa). De forma an´ loga, se
´ a a
para todo a
, ent˜ o e definida negativa. Se
´ para todo
e mas existe . tal que , ent˜ o
a e semidefinida negativa
´
(n˜ o-positiva).
a
Portanto, determinar a classificacao de uma forma quadr´ tica
¸˜ a e equivalente
´
a determinar se ´
e um m´ ximo, um m´nimo ou nenhum dos dois para a
a ı
¸˜
funcao real . Assim, ´ ´
e o unico m´nimo global da forma quadr´ tica
ı a se, e
somente se, e positiva definida. Similarmente,
´ e o unico m´ ximo global
´ ´ a
da forma quadr´ tica
a se, e somente se, ´
e negativa definida.
4.3 Matrizes Sim´ tricas
e
Uma matriz sim´ trica e chamada definida positiva, semidefinida positiva, definida
e ´
negativa ou semidefinida negativa, etc., se a forma quadr´ tica a ela associada,
a
* , e definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa ou
´
semidefinida negativa, etc.
52

55. Definition 24 Seja uma matriz sim´ trica e
e . Ent˜ o
a e
´
1) definida positiva se * para qualquer
2) semidefinida positiva se * para qualquer
3) definida negativa se * para qualquer
4) definida positiva se * para qualquer
5) indefinida se * para alguns e * para outros
Remark 5 Uma matriz definida positiva (negativa) e automaticamente semidefinida
´
positiva (negativa)
4.4 Teste para Classificar uma Matriz Sim´ trica
e
¸˜ ¸˜
Nesta secao apresentamos um simples teste para determinar a classificacao de uma
forma quadr´ tica ou de uma matriz sim´ trica. Primeiramente vamos introduzir
a e
¸˜
algumas definicoes.
Definition 25 Seja * uma matriz . Uma submatriz principal de ordem
de * e uma submatriz de tamanho
´ formada a partir de * suprimindo
colunas, digamos, as colunas e as mesmas linhas, ou
seja, as linhas O determinante de uma submatriz principal e
´
denominado um menor principal de ordem de *.
Definition 26 Seja * uma matriz . A submatriz principal de ordem de *
obtida ao se eliminar as ultimas
´ colunas e linhas de *, * , e denominada a
´
submatriz principal l´der de ordem de *. Seu determinante, * , e denominado
ı ´
menor principal l´der de ordem
ı de *.
53

56. Example 64 Considere a matriz
Ent˜ o
a
* , * e *
O pr´ ximo teorema fornece um algor´timo direto que utiliza os menores prin-
o ı
¸˜
cipais l´deres para determinar a classificacao de uma matriz dada.
ı
Theorem 19 Seja * uma matriz sim´ trica
e . Ent˜ o,
a
1. * e definida positiva se, e somente se, todos os seus
´ menores principais
l´deres s˜ o (estritamente) positivos.
ı a
* , * , * , ...
2. * e definida negativa se, e somente se, os seus
´ menores principais l´deres
ı
alternam de sinal do seguinte modo:
* , * , * , ...
Ou seja, * deve ter o mesmo sinal de .
3. Se algum * e n˜ o-nulo mas n˜ o encaixa em nenhum dos dois casos
´ a a
padr˜ es de sinal acima, ent˜ o * e indefinida.
o a ´
a ´
Se uma matriz n˜ o e definida, ela pode ser ou n˜ o semidefinida. Para conferir
a
´
se uma matriz e semidefinida precisamos conferir o sinal de cada menor principal
de *, como descrito no teorema abaixo.
54

57. Theorem 20 Seja * uma matriz sim´ trica. Ent˜ o * e semidefinida positiva
e a ´
se, e somente se, todos os seus menores principais s˜ o
a * e semidefinida
´
negativa se, e somente se, os seus menores principais de ordem ´mpar s˜ o
ı a e
os seus menores principais de ordem par s˜ o
a .
Example 65 Seja * uma matriz sim´ trica
e , ent˜ o:
a
1. * , * , * , * * e definida positiva.
´
2. * , * , * , * * e definida negativa.
´
3. * , * , * , * * e indefinida.
´
4. * , * , * , * * e indefinida.
´
Example 66 Considere
* e)
Ent˜ o, *
a e * e * e definida positiva. Al´ m disso, )
´ e
e ) e ) e indefinida.
´
¸˜
4.5 Restricoes Lineares e Matrizes Orladas
¸˜
Como foi dito, determinar a classificacao de uma forma quadr´ tica
a ´
e equiva-
lente a determinar se ´
e um m´ ximo, m´nimo, ou nenhum dos dois para a
a ı
funcao real
¸˜ . Por exemplo, e o unico m´nimo (m´ ximo) global da forma
´ ´ ı a
quadr´ tica
a se, e somente se, ´ ¸˜
e definida positiva (negativa). Nesta secao vamos
incluir nesta discuss˜ o restricoes lineares, j´ que em muitas aplicacoes e comum
a ¸˜ a ¸˜ ´
¸˜
haver tal tipo de restricao.
55

58. Theorem 21 Para determinar a classificacao da forma quadr´ tica
¸˜ a * ,
, sujeita a equacoes lineares )
¸˜ ,)e
´ , contrua a matriz
sim´ trica orlada
e
)
3
) *
Confira os sinais dos ultimos
´ menores principais l´deres de 3, comecando
ı ¸
com o determinante de 3 mesmo.
1. Se 3 tem o mesmo sinal de e se estes ultimos
´ menores prin-
cipais l´deres alternam de sinal, ent˜ o
ı a e definida negativa no conjunto-
´
restricao )
¸˜ e e um m´ ximo global estrito de
´ a neste conjunto-
restricao.
¸˜
2. Se 3 e estes ultimos
´ menores principais l´deres tˆ m todos o mesmo
ı e
sinal de , ent˜ o
a e definida positiva no conjunto-restricao )
´ ¸˜
e e um m´nimo global estrito de
´ ı neste conjunto restricao.
¸˜
3. Se ambas as condicoes
¸˜ e s˜ o violadas por menores principais l´deres
a ı
n˜ o-nulos, ent˜ o
a a e indefinida no conjunto-restricao )
´ ¸˜ e n˜ o
a
e nem um m´ ximo nem um m´nimo de
´ a ı neste conjunto-restricao.
¸˜
Example 67 Para conferir a classificacao de
¸˜
no conjunto-restricao
¸˜
56