Exerc´ıcios de c´alculo diferencial e integral de fun¸c˜oes

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Exerc´ıcios de c´alculo diferencial e integral de fun¸c˜oes

  1. 1. Exerc´ ıcios de C´lculo Diferencial e Integral de Fun¸˜es a co Definidas em Rn Diogo Aguiar Gomes, Jo˜o Palhoto Matos e Jo˜o Paulo Santos a a 24 de Janeiro de 2000
  2. 2. 2
  3. 3. Conte´ do u1 Introdu¸˜o ca 5 1.1 Explica¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 5 1.2 Futura introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 52 Complementos de C´lculo Diferencial a 7 2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 C´lculo diferencial elementar . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Derivadas parciais de ordem superior ` a primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Polin´mio de Taylor . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Extremos 27 3.1 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Testes de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 Teoremas da Fun¸˜o Inversa e da Fun¸˜o Impl´ ca ca ıcita 47 4.1 Invertibilidade de fun¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.1 Exerc´ ıcios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 Teorema do valor m´dio para fun¸˜es vectoriais . . . e co . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3 Teorema da Fun¸˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3.1 Exerc´ ıcios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4 Teorema da Fun¸˜o Impl´ ca ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Bibliografia 69 3
  4. 4. ´CONTEUDO24 de Janeiro de 2000 4
  5. 5. Cap´ ıtulo 1Introdu¸˜o ca1.1 Explica¸˜o caEst´ a ler uma vers˜o parcial e preliminar de um texto em elabora¸˜o. Os autores agradecem a a caquaisquer notifica¸˜es de erros, sugest˜es,. . . , para ecdi@math.ist.utl.pt. Estima-se que o texto co ofinal ter´ uma extens˜o cerca de trˆs a quatro vezes maior e incluir´ cap´ a a e a ıtulos que nesta vers˜o aforam exclu´ıdos. A sec¸˜o seguinte desta introdu¸˜o tem car´cter preliminar e tem como pressuposto a existˆncia ca ca a edo material que aqui ainda n˜o foi inclu´ a ıdo. Partes deste texto foram distribu´ıdas separadamente por cada um dos autores no passado.Tendo descoberto que os diversos textos tinham car´cter algo complementar decidimos reuni-los. aA presente vers˜o idealmente n˜o mostra de uma maneira ´bvia as adapta¸˜es e correc¸˜es que a a o co coforam necess´rias para chegar ao formato actual. a Novas vers˜es deste texto ir˜o aparecendo sempre que os autores considerarem oportuno em o ahttp://www.math.ist.utl.pt/~jmatos/AMIII/temp.pdf. Para evitar a prolifera¸˜o de textos caobsoletos a maioria das p´ginas apresenta a data de revis˜o corrente em p´ de p´gina. a a e a1.2 Futura introdu¸˜o caEste texto nasce da nossa experiˆncia a leccionar a disciplina de An´lise Matem´tica III no Instituto e a aSuperior T´cnico. Por um lado reune um n´mero consider´vel de enunciados de problemas de e u aexame e por outro serve de propaganda ` nossa maneira de ver os assuntos aqui tratados. An´lise a aMatem´tica III ´ uma disciplina do primeiro semestre do segundo ano de todos os curr´ a e ıculos delicenciatura leccionados no Instituto Superior T´cnico (IST) excepto Arquitectura. e Se se perguntar a um aluno de um dos dois primeiros anos do IST que tipo de “folhas” maisdeseja que lhe sejam disponibilizadas pelos seus professores temos como resposta mais que prov´vel: a“folhas de exerc´ıcios resolvidos de An´lise Matem´tica”. No entanto tal resposta costuma suscitar a acomo reac¸˜o da parte dos docentes essencialmente preocupa¸˜o. De facto a resolu¸˜o de exerc´ ca ca ca ıciosde An´lise Matem´tica n˜o ´ geralmente unica e o processo de aprendizagem est´ mais ligado ` a a a e ´ a atentativa de resolu¸˜o dos mesmos quando se possui um conjunto de conhecimentos m´ ca ınimo doque ` absor¸˜o ac´fala de um n´mero finito de receitas. a ca e u O que se segue ´ uma tentativa de compromisso entre a procura e a oferta neste mercado esui generis. S˜o inclu´ a ıdos exerc´ ıcios de exame dos ultimos anos com modifica¸˜es do enunciado ´ coquando tal foi julgado conveniente e muitos outros com um car´cter mais ou menos trivial, ou de acomplemento de resultados citados, ou de coment´rio de uma resolu¸˜o de um exerc´ a ca ıcio, sugest˜oade extens˜es, etc. Por vezes um exerc´ o ıcio embora inclu´ numa sec¸˜o inclui uma quest˜o que ıdo ca as´ ´ tratada numa sec¸˜o posterior. Tais exerc´ oe ca ıcios est˜o assinalados com um asterisco *. Foram ainclu´ ıdos esbo¸os de resolu¸˜o e sugest˜es em n´mero consider´vel. c ca o u a 5
  6. 6. CAP´ ¸˜ ITULO 1. INTRODUCAO O leitor dever´ ter em considera¸˜o que o programa de An´lise Matem´tica III tem variado a ca a a ´ao longo do tempo. E consensual no Departamento de Matem´tica do IST e na escola em geral aque a introdu¸˜o ` an´lise em Rn e o c´lculo diferencial em Rn dever˜o ser tratados em grande ca a a a aparte no primeiro ano do curso. Da´ a existˆncia de sec¸˜es correspondentes a revis˜o de material ı e co acoberto no primeiro ano do curso. Outro facto a ter em conta ´ a diferen¸a de programa para os cursos de Matem´tica Aplicada e c ae Computa¸˜o e Engenharia F´ ca ısica Tecnol´gica. Nestes cursos s˜o introduzidos o formalismo das o aformas diferenciais e a respectiva vers˜o do teorema fundamental do c´lculo em vez da formula¸˜o a a cacl´ssica do teorema de Stokes. Aconselha-se os alunos destes dois cursos a comparar os enunci- aados de exerc´ ıcios deste tema com as formula¸˜es cl´ssicas dos mesmos. Tais compara¸˜es est˜o co a co aindicadas em nota de p´ de p´gina. e a A nota¸˜o utilizada ´ cl´ssica tanto quanto poss´ ca e a ıvel, embora obviamente n˜o universal, e nem asempre ser´ isenta de incoerˆncias. Por exemplo: usaremos a nota¸˜o de Leibniz para derivadas a e ca 2parciais mas de acordo com a nota¸˜o geral para operadores, isto ´, ∂x∂y = ∂x ∂u ; usaremos ca e ∂ u ∂ ∂y , sempre que tal for considerado sugestivo. Citaremos os resultados essenciais de cada tema mas n˜o necessariamente com a sua formula¸˜o a camais geral remetida por vezes para observa¸˜es marginais ou problemas. O enunciado de tais resul- cotados por vezes ´ seguido de uma “demonstra¸˜o” que mais n˜o faz que relembrar sinteticamente e ca aa dependˆncia em rela¸˜o a outros resultados e os m´todos utilizados. e ca e Faz-se notar que n˜o seguimos a ordena¸˜o de material geralmente adoptada durante a ex- a caposi¸˜o dos cursos no IST devido devido a raz˜es como a conveniˆncia em apresentar problemas ca o esobre a introdu¸˜o do conceito de variedade como complemento do estudo do teorema da fun¸˜o ca caimpl´ ıcita. Um ultimo aviso: este texto n˜o pretende substituir os excelentes livros de texto dispon´ ´ a ıveissobre os assuntos aqui abordados. Diria mesmo que ´ provavelmente incompreens´ e ıvel se um oumais desses livros n˜o for consultado. Os textos adoptados no IST s˜o [6, 3, 5]. a a Lisboa, Outubro de 1999 DG, JPM, JPS24 de Janeiro de 2000 6
  7. 7. Cap´ ıtulo 2Complementos de C´lculo aDiferencialO conceito de fun¸˜o diferenci´vel ´ uma das no¸˜es chave da an´lise. Por exemplo, se f : R → R ca a e co afor diferenci´vel em x0 , o c´lculo de f (x0 ) permite aproximar f pela f´rmula de Taylor perto de a a ox0 , i.e., f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ),onde limx→x0 o(x−x00 ) = 0. Esta f´rmula tem a seguinte interpreta¸˜o geom´trica: f (x0 ) ´ o x−x o ca e edeclive da recta tangente a f em x0 e y = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) ´ a equa¸˜o dessa recta. e ca Outras aplica¸˜es do conceito de derivada familiares a um estudante que conhe¸a An´lise co c aMatem´tica ao n´ a ıvel de um primeiro ano de licenciatura s˜o, por exemplo, a determina¸˜o de a capontos de extremo: se f : R → R for diferenci´vel, os seus m´ximos ou m´ a a ınimos s˜o zeros de f 1 . aOutra aplica¸˜o que deve ser familiar ´ a mudan¸a de coordenadas na integra¸˜o atrav´s de: ca e c ca e b f −1 (b) g(x)dx = g(f (y))f (y)dy. a f −1 (a) Esta presen¸a ub´ c ıqua da diferencia¸˜o no estudo de fun¸˜es reais de vari´vel real faz com que ca co aseja natural, quando se estudam fun¸˜es de v´rias vari´veis, generalizar a no¸˜o de derivada. Para co a a cafun¸˜es de Rn em R, a interpreta¸˜o geom´trica da derivada ser´ o “declive” do “plano” tangente co ca e aao gr´fico da fun¸˜o, mais precisamente y = f (x0 ) + Df (x0 )(x − x0 ) ´ a equa¸˜o desse “plano” a ca e catangente2 . Neste cap´ıtulo resumiremos alguns resultados de c´lculo diferencial, para fun¸˜es reais de mais a codo que uma vari´vel real. Em particular trataremos quest˜es importantes sobre a continuidade e a odiferenciabilidade de fun¸˜es de Rn em Rm . Para al´m disso estudaremos a f´rmula de Taylor. co e o2.1 PreliminaresEsta sec¸˜o relembra alguns dos conceitos e resultados sobre fun¸˜es de Rn em Rm que se sup˜em ca co oconhecidos nas sec¸˜es seguintes. Aconselha-se o leitor a consultar [1] para relembrar, com detalhe, coos resultados, supostos j´ conhecidos, que a seguir se enumeram de uma forma necessariamente abreve. Tanto a defini¸˜o de continuidade como a de diferenciabilidade dependem do conceito de dis- catˆncia entre dois pontos, definida por sua vez ` custa da no¸˜o de norma: a a ca 1 Note, no entanto, que o facto de a derivada se anular num ponto, n˜o implica que este seja um m´ximo ou a am´ ınimo; pode ser ponto de sela! Veja o cap´ıtulo 3. 2 Designa¸˜es t´cnicas para um tal conjunto s˜o de um subespa¸o afim de dimens˜o n de Rn+1 ou hiperplano co e a c a 7
  8. 8. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALDefini¸˜o 2.1.1 Seja η : Rn → R. Diz-se que η ´ uma norma se verificar as seguintes proprie- ca edades: i) η(x) > 0 se x = 0 e η(0) = 0; ii) η(λx) = |λ|η(x), ∀x ∈ Rn , ∀λ ∈ R;iii) η(x + y) ≤ η(x) + η(y), ∀x, y ∈ Rn . Para designarmos uma norma gen´rica utilizaremos a nota¸˜o x = η(x). Em Rn ´ usual e ca econsiderar a norma euclideana, definida por (x1 , . . . , xn ) = x2 + . . . + x2 . 1 nPor´m, em certas situa¸˜es, pode ser util trabalhar com normas diferentes. e co ´ ıcio 2.1.1 Prove que as seguintes fun¸˜es s˜o normas em R2 :Exerc´ co a 1. η(x, y) = |x| + |y| 2. η(x, y) = m´x {|x|, |y|} a 3. η(x, y) = 2 x2 + y 2 4. η(x, y, z) = |x| + y2 + z2 . ıcio 2.1.2 Mostre que η(x, y) = |x + y| n˜o ´ uma norma mas satisfaz ii e iii em 2.1.1.Exerc´ a eDefini¸˜o 2.1.2 Em Rn , a bola (aberta) centrada em x e de raio r, relativa ` norma ca a · ,´o econjunto B(x, r) (ou Br (x)) definido por B(x, r) = {y ∈ Rn : x − y < r}.Se a norma em quest˜o for a norma euclideana as bolas ser˜o “redondas”, caso contr´rio poder˜o a a a ater formatos mais ou menos inesperados, como se pode ver no exerc´ seguinte. ıcio ıcio 2.1.3 Esboce as bolas B1 (0) em R2 para as seguintes normas:Exerc´ 1. (x, y) = x2 + y 2 2. (x, y) = |x| + |y| 3. (x, y) = m´x{|x|, |y|} aExerc´ıcio 2.1.4 Mostre que uma bola ser´ sempre um conjunto convexo, isto ´, dados dois quais- a equer dos seus pontos, o segmento de recta que os une est´ contido na bola. a Daqui para a frente vamos sempre supor que a norma em Rn ´ a norma euclideana, a n˜o ser e aque seja dito algo em contr´rio. Al´m disso a nota¸˜o n˜o distinguir´ as normas euclidianas em a e ca a adiferentes espa¸os Rn para n ≥ 2. cDefini¸˜o 2.1.3 Diz-se que um conjunto A ⊂ Rn ´ aberto se verificar a seguinte propriedade: ca e ∀x ∈ A, ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ A.Exemplo 2.1.1 O conjunto ]0, 1[ ⊂ R ´ aberto. Com efeito, para qualquer n´mero real 0 < x < 1 e utemos x > 1/2 ou x ≤ 1/2. No primeiro caso B(x, x/2) ⊂ ]0, 1[, no segundo B(x, (1−x)/2) ⊂ ]0, 1[.Exerc´ ıcio 2.1.5 Mostre que as bolas abertas s˜o conjuntos abertos. a24 de Janeiro de 2000 8
  9. 9. 2.1. PRELIMINARES Temos reunidos todos os ingredientes ncess´rios ` defini¸˜o de fun¸˜o cont´ a a ca ca ınua:Defini¸˜o 2.1.4 Diz-se que uma fun¸˜o f : A ⊂ Rn → Rm ´ cont´ ca ca e ınua num ponto x ∈ A se: ∀ > 0 ∃δ > 0 tal que x − y < δ, y ∈ A ⇒ f (x) − f (y) < .Diz-se que f ´ cont´ e ınua num subconjunto do seu dom´ ınio se for cont´ ınua em todos os pontos desseconjunto.Exemplo 2.1.2 Suponhamos f (x, y) = x + y. Provemos que f ´ cont´ e ınua. Seja > 0 arbitr´rio. aReparemos que, para todo o (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), se tem |x1 + y1 − x2 − y2 | ≤ |x1 − x2 | + |y1 − y2 |,sendo que |x1 − x2 | ≤ (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) e |y1 − y2 | ≤ (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) . Portanto, fixando > 0, e escolhendo δ < 2 teremos: |x1 + y1 − x2 − y2 | ≤ 2δ < ,se (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) < δ. Logo f ´ cont´ e ınua.Exerc´ ıcio 2.1.6 Mostre que a fun¸˜o definida por ca 1, se x + y > 0, f (x, y) = 0, se x + y ≤ 0n˜o ´ cont´ a e ınua. Muitas vezes, para mostrar continuidade (ou a falta dela), utiliza-se a caracteriza¸˜o de conti- canuidade atrav´s de sucess˜es: e oTeorema 2.1.1 (Continuidade ` Heine) aSeja f : A ⊂ Rn → Rm . f ´ cont´ e ınua em x0 ∈ A se e somente se para toda a sucess˜o (xk )k∈N ⊂ A aque converge para x0 (isto ´, limk→+∞ xk − x0 = 0) a sucess˜o (f (xk ))k∈N converge para f (x0 ). e aExemplo 2.1.3 Seja f : Rn → Rm , g : Rm → Rp , f e g cont´ ınuas. Provemos que g ◦ f ´ e ınua. Seja x0 ∈ Rn e (xk ) ⊂ Rn uma sucess˜o convergente para x0 . Definindo yk = f (xk )cont´ aobtemos uma sucess˜o (yk ) ⊂ Rm que converge para y0 = f (x0 ), uma vez que f ´ cont´ a e ınua. Asucess˜o (zk ) ⊂ Rp , definida por zk = g(yk ), converge para z0 = g(y0 ), uma vez que g ´ cont´ a e ınua.Resta observar que zk = g ◦ f (xk ) → z0 = g ◦ f (x0 ), pelo que g ◦ f ´ cont´ e ınua.Exerc´ ıcio 2.1.7 Refa¸a o exemplo anterior usando a defini¸˜o 2.1.4. c caExerc´ ıcio 2.1.8 Prove o teorema 2.1.1. ıcio 2.1.9 Seja f : Rn → Rm . Prove que f ´ cont´Exerc´ e ınua se e somente se para todo o abertoA ⊂ R se tem f −1 (A) ⊂ Rn aberto, onde o conjunto f −1 (A) ´ definido como sendo: m e f −1 (A) = {x ∈ Rn : f (x) ∈ A}.Generalize este resultado para fun¸˜es definidas num subconjunto arbitr´rio de Rn . co aDefini¸˜o 2.1.5 Diz-se que um conjunto F ⊂ Rn ´ fechado se o seu complementar F c for aberto. ca eTeorema 2.1.2 (Caracteriza¸˜o dos fechados via sucess˜es) ca oF ⊂ Rn ´ fechado se e s´ se dada uma qualquer sucess˜o convergente de termos em F esta converge e o apara um elemento de F . 9 24 de Janeiro de 2000
  10. 10. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALExerc´ıcio 2.1.10 Dˆ dois exemplos distintos de subconjuntos de Rn que sejam, cada um deles, esimultaneamente aberto e fechado (isto s´ se verifica para dois conjuntos muito especiais!). oDefini¸˜o 2.1.6 A uni˜o de todos os abertos contidos num conjunto A ser´ designada por interior ca a a `de A e abrevia-se int A. A intersec¸˜o de todos os fechados contendo A chamar-se-´ fecho de A e ca aabrevia-se A. A fronteira de A, ∂A, ´ definida por ∂A = A int A. eDefini¸˜o 2.1.7 Diz-se que um conjunto K ⊂ Rn ´ compacto se dada uma qualquer sucess˜o de ca e atermos em K esta possui uma subsucess˜o convergente para um elemento de K. aTeorema 2.1.3 (Caracteriza¸˜o dos compactos de Rn ) caK ⊂ Rn ´ compacto se e s´ se K ´ limitado e fechado. e o eExerc´ ıcio 2.1.11 O conjunto vazio ´ compacto? E o conjunto dos n´meros racionais de valor e uabsoluto menor que 1? ıcio 2.1.12 Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o f : Rn → R tal queExerc´ e ca 1. {x ∈ Rn : f (x) ≤ 1} seja um conjunto compacto. 2. {x ∈ Rn : f (x) < 1} seja um conjunto compacto n˜o vazio. Observa¸˜o: se f for cont´ a ca ınua ent˜o este conjunto ´ necessariamente aberto (porquˆ?) portanto se escolher f cont´ a e e ınua o conjunto ser´ necessariamente vazio (porquˆ?). a e 3. Seja K um conjunto compacto. Construa uma fun¸˜o f tal que K = {x : f (x) = 1}. ca Escolhendo f n˜o cont´ a ınua o problema ´ trivial. No entanto pode tornar o problema bem e mais interessante tentando construir f cont´ ınua!2.1.1 Exerc´ ıcios suplementaresExerc´ıcio 2.1.13 Diz-se que duas normas em Rn , · α e · β, s˜o equivalentes se existirem aconstantes positivas, a e b tais que a x α ≤ x β ≤b x αpara todo o x ∈ Rn . Prove que as seguintes normas s˜o todas equivalentes entre si: a 1. (x1 , . . . , xn ) 1 = |x1 | + . . . + |xn | 2. (x1 , . . . , xn ) 2 = |x1 |2 + . . . + |xn |2 3. (x1 , . . . , xn ) ∞ = m´x{|x1 |, . . . , |xn |} aExerc´ ıcio 2.1.14 Prove que as seguintes fun¸˜es s˜o cont´ co a ınuas: 1. f (x) = 1 se −∞ < x ≤ 1 e f (x) = x se x ≥ 1; 2. qualquer polin´mio em n vari´veis. o aExerc´ ıcio 2.1.15 Prove que 0, se x < 0, f (x) = 1, se x ≥ 0,n˜o ´ cont´ a e ınua.Exerc´ ıcio 2.1.16 Diz-se que uma fun¸˜o f : J ⊂ Rn → R ´ semicont´ ca e ınua inferior se para todaa sucess˜o xk → x ∈ J se tem lim inf j→+∞ f (xk ) ≥ f (x) (recorde que o lim inf de uma sucess˜o a a(yk )k∈N ´ definido como sendo lim inf k→+∞ yk = limn→+∞ inf k>n {yk }). e24 de Janeiro de 2000 10
  11. 11. 2.1. PRELIMINARES 1. Mostre que o lim inf existe sempre (eventualmente pode ser igual a −∞, quando?). 2. Mostre que qualquer fun¸˜o cont´ ca ınua ´ semicont´ e ınua inferior. 3. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o semicont´ e ca ınua inferior que n˜o seja cont´ a ınua. 4. Mostre que qualquer fun¸˜o semicont´ ca ınua inferior f definida num compacto K ´ limitada e inferiormente, isto ´ ∃C ∈ R tal que f (x) ≥ C sempre que x ∈ K. e 5. Mostre que uma fun¸˜o semicont´ ca ınua inferior definida num compacto tem sempre m´ ınimo. 6. Utilizando as ideias das al´ ıneas anteriores mostre que qualquer fun¸˜o cont´ ca ınua definida num compacto tem m´ximo e m´ a ınimo.Exerc´ıcio 2.1.17 As defini¸˜es de aberto e fun¸˜o cont´ co ca ınua dependem aparentemente de usarmosa norma euclidiana. Uma d´vida leg´ u ıtima ´ saber se tivessemos usado outra norma chegar´ e ıamos `s amesmas conclus˜es relativamente a que conjuntos s˜o abertos e que fun¸˜es s˜o cont´ o a co a ınuas. Mostreque: 1. Todas as normas em Rn s˜o cont´ a ınuas. 2. Qualquer norma em Rn tem um m´ ınimo positivo na fronteira da bola B(0, 1). 3. Todas as normas em Rn s˜o equivalentes. a 4. Conclua que as no¸˜es de aberto e fun¸˜o cont´ co ca ınua s˜o independentes da norma utilizada. a2.1.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios2.1.13 Observe que ∀x ∈ Rn 1. x ∞ ≤ x 1 ≤ n x ∞; √ 2. x ∞ ≤ x 2 ≤ n x ∞.Usando 1 e 2 deduza as restantes desigualdades.2.1.14 Utilize a defini¸˜o 2.1.4 e o teorema 2.1.1. ca 12.1.15 Note que f − n → 0 = f (0).2.1.16 1. Note que a sucess˜o zn = inf k>n {yk } ´ mon´tona crescente. a e o e ınua e xk → x ent˜o f (xk ) → f (x). 2. Se f ´ cont´ a 3. Por exemplo 0 se x ≤ 0, f (x) = 1 se x > 0. 4. Se f n˜o fosse limitada inferiormente existiria uma sucess˜o xk ∈ K tal que f (xk ) → a a −∞. Como K ´ compacto poder-se-ia extrair uma subsucess˜o convergente xkj → x ∈ e a K. Consequentemente ter-se-ia −∞ = lim f (xkj ) = lim inf f (xkj ) ≥ f (x) > −∞ o que ´ e absurdo. 5. Seja f : K → R, onde K ⊂ Rn ´ compacto, semicont´ e ınua inferior. Note que, pela al´ ınea anterior, f ´ minorada. Defina-se m = inf y∈K f (y). Ent˜o existe uma sucess˜o xk ∈ K tal e a a que f (xk ) → m. Como K ´ compacto, existe uma subsucess˜o xkj que converge para algum e a x ∈ K. Por semicontinuidade inferior tem-se m = lim f (xkj ) = lim inf f (xkj ) ≥ f (x) j→+∞ j→+∞ mas por outro lado f (x) ≥ inf y∈K f (y) = m portanto f (x) = m. 11 24 de Janeiro de 2000
  12. 12. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL y y = f(x) b y = b + f(a)(x-a) a x Figura 2.1: A interpreta¸˜o geom´trica de derivada para fun¸˜es reais de vari´vel real. ca e co a ınua ent˜o f e −f s˜o semicont´ 6. Se f ´ cont´ e a a ınuas inferiores.2.2 C´lculo diferencial elementar aVamos come¸ar por definir fun¸˜o diferenci´vel . c ca aDefini¸˜o 2.2.1 Seja U ⊂ Rn um aberto. Diz-se que uma fun¸˜o f : U → Rm ´ diferenci´vel no ca ca e aponto x0 ∈ U se existir uma aplica¸˜o linear A de Rn em Rm , para a qual se tem ca f (x0 + h) − f (x0 ) − Ah lim = 0. h→0,h∈Rn h Ser´ ` aplica¸˜o linear A na defini¸˜o anterior que chamaremos derivada3 de f no ponto x0 . aa ca caNo entanto poderia existir mais do que uma aplica¸˜o linear nestas condi¸˜es. . . ca coProblema 2.2.1 Mostre que a aplica¸˜o linear A da defini¸˜o 2.2.1 se existir ´ unica. ca ca e´Defini¸˜o 2.2.2 A aplica¸˜o linear A da defini¸˜o 2.2.1 designa-se por derivada de f em x0 ca ca caescrevendo-se Df (x0 ). Esta defini¸˜o de derivada coincide com a defini¸˜o usual de derivada para fun¸˜es reais de ca ca covari´vel real. Para este caso, a aplica¸˜o linear A referida na defini¸˜o anterior ´ simplesmente a ca ca emultiplica¸˜o por um escalar. ca ıcio 2.2.1 Suponha f : U ⊂ Rn → Rm ´ diferenci´vel num ponto x0 ∈ int U . Prove queExerc´ e a f (x0 + h) = f (h0 ) + Df (x0 )(h) + o(h),onde limh→0,h∈Rm o(h) = 0. hDefini¸˜o 2.2.3 Diz-se que uma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → Rm . Se U for aberto dizemos que f ´ ca ca ediferenci´vel em U se o for em todos os pontos do dom´ a ınio U . Se U n˜o for aberto dizemos que af ´ diferenci´vel em U se existir um prolongamento f de f a um aberto V contendo U tal que f e aseja diferenci´vel em V . a 3 Tal aplica¸˜o ser´ muitas vezes identificada com a matriz real m × n que a representa ou com um vector se n ca aou m for igual a 1. Se n = 1 ´ comum usar f (x0 ) em vez de Df (x0 ). e24 de Janeiro de 2000 12
  13. 13. ´ 2.2. CALCULO DIFERENCIAL ELEMENTARExemplo 2.2.1 Seja f definida em R por f (x) = x3 . Mostremos que ela ´ diferenci´vel em e aqualquer ponto de x ∈ R e que a sua derivada ´ 3x2 . e Com efeito temos |(x + h)3 − x3 − 3x2 h| |3xh2 + h3 | lim = lim = 0. h→0 |h| h→0 |h| A verifica¸˜o da diferenciabilidade usando directamente a defini¸˜o pode ser, mesmo em casos ca casimples, penosa. Isso n˜o acontece, no entanto, no caso ilustrado no pr´ximo exerc´ a o ıcio. ıcio 2.2.2 Mostre que uma transforma¸˜o linear f : Rm → Rn , dada por f (x) = M x, ondeExerc´ caM ´ uma matriz n × m, ´ diferenci´vel e que Df = M . e e a As fun¸˜es diferenci´veis formam um subconjunto estrito das fun¸˜es cont´ co a co ınuas. Com efeito:Exerc´ ıcio 2.2.3 Mostre que qualquer fun¸˜o diferenci´vel ´ cont´ ca a e ınua. Consideremos uma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → Rm e fixemos um vector v ∈ Rn . Dado um ponto cax0 ∈ U , podemos restringir a fun¸˜o f ` recta que passa por x0 e com sentido definido por v. A ca aderivada “ao longo” desta recta chama-se derivada dirigida:Defini¸˜o 2.2.4 Define-se a derivada dirigida da fun¸˜o f : U ⊂ Rn → Rm no ponto x0 ∈ U , ca casegundo o vector v ∈ Rn como sendo f (x0 + λv) − f (x0 ) Dv f (x0 ) = lim . λ→0 λse o limite existir. Este uma rela¸˜o simples entre derivadas dirigidas relativamente a vectores com a mesma cadirec¸˜o (qual?). Da´ “normalizarmos” as derivadas dirigidas considerando muitas vezes v como ca ısendo unit´rio. Nesse caso designamos a derivada dirigida como derivada direccional . a A defini¸˜o de derivada dirigida ´ mais fraca do que a defini¸˜o de fun¸˜o diferenci´vel. Com ca e ca ca aefeito h´ fun¸˜es que n˜o s˜o diferenci´veis num determinado ponto mas que admitem derivadas a co a a adirigidas. Pode mesmo acontecer que uma fun¸˜o admita algumas (ou todas!) as derivadas cadirigidas num determinado ponto mas que n˜o seja sequer cont´ a ınua nesse ponto.Exemplo 2.2.2 Consideremos a fun¸˜o definida por ca 1, se x ∈ Q, / f (x, y) = 0, se x ∈ Q.Claramente esta fun¸˜o n˜o ´ cont´ ca a e ınua. No entanto, ela admite derivada dirigida na direc¸˜oca(0, 1). Fixemos um ponto (x0 , y0 ). Se x0 for racional teremos f (x0 , y0 + h) = 0, para qualquerh ∈ R. Deste modo D(0,1) f (x0 , y0 ) = 0.Analogamente se x0 for irracional teremos f (x0 , y0 + h) = 1, para todo o h ∈ R. Pelo que tamb´m ese ter´ a D(0,1) f (x0 , y0 ) = 0. As derivadas direccionais de fun¸˜es f : U ⊂ Rn → R na direc¸˜o dos eixos coordenados e no co casentido crescente da coordenada s˜o frequentemente utilizadas e por isso tˆm um nome especial: a ederivadas parciais. 13 24 de Janeiro de 2000
  14. 14. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALDefini¸˜o 2.2.5 Seja f : U ⊂ Rn → R. A derivada parcial de f em rela¸˜o a xi ´ definida, caso ca ca eo limite exista, por ∂f f (x + λei ) − f (x) (x) = Dei f (x) = lim , ∂xi h→0 λcom x = (x1 , . . . , xn ) e sendo ei o versor da direc¸˜o i. Por vezes usaremos a nota¸˜o Di f em ca ca ∂fvez de ∂xi . Analisando a defini¸˜o facilmente se conclui que, em termos pr´ticos, a derivada parcial de f ca aem ordem a xi ´ calculada coordenada a coordenada se m > 1, o que permite lidar s´ com fun¸˜es e o coescalares, e, para cada uma destas, fixando todas as vari´veis excepto xi e derivando cada fj em aordem a xi como se esta fosse uma fun¸˜o real de vari´vel real. ca aExemplo 2.2.3 Seja g(x, y) = (x2 y 2 , x). As derivadas parciais de g em ordem a x e y s˜o a ∂g ∂g = (2xy 2 , 1) = (2x2 y, 0). ∂x ∂yExerc´ ıcio 2.2.4 Calcule a derivada parcial em ordem a y das seguintes fun¸˜es co 1. f (x, y, z) = xyz; 2. f (x, y) = x2 + sen(xy); 3. f (x, y, z, w) = 0. Se uma fun¸˜o ´ diferenci´vel as derivadas parciais permitem construir facilmente a matriz ca e arepresentando a derivada.Proposi¸˜o 2.2.1 caSe uma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → Rm ´ diferenci´vel em a ent˜o a derivada Df (a) satisfaz Df (a)(h) = ca e a aJf (a)h em que ´ a matriz jacobiana de f no ponto a definida por e  ∂f1 ∂f1  ∂x1 (a) ... ∂xm (a) Jf (a) =  . . . . .   . . ∂fn ∂fn ∂x1 (a) . . . ∂xm (a) A diferenciabilidade de uma fun¸˜o pode ser estabelecida facilmente ` custa da continuidade ca adas derivadas parciais:Defini¸˜o 2.2.6 Diz-se que uma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → Rm com U aberto ´ de classe C 1 (U ) se ca ca eexistirem as derivadas parciais ∂fj , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n ∂xi ınuas. Se U n˜o fˆr aberto dizemos que f ∈ C 1 (U ) se existir um aberto V ⊃ U e umae forem cont´ a ofun¸˜o g : V → Rm tal que g|U = f e g ∈ C 1 (V ). caExemplo 2.2.4 A fun¸˜o f (x, y) = x2 y 2 ´ de classe C 1 pois as suas derivadas parciais s˜o ca e acont´ ınuas (veja exemplo 2.2.3).Exemplo 2.2.5 Calculemos a derivada da fun¸˜o ca f (x, y, z, w) = (f1 , f2 , f3 ) = (x + y, x + y + z 2 , w + z).24 de Janeiro de 2000 14
  15. 15. ´ 2.2. CALCULO DIFERENCIAL ELEMENTARAplicando os resultados e observa¸˜es anteriores temos co  ∂f ∂f1 ∂f1 ∂f1   1  ∂x ∂y ∂z ∂w 1 1 0 0 Jf =  ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂f2  = 1 1 2z 0   ∂x ∂y ∂z ∂w ∂f3 ∂f3 ∂f3 ∂f3 0 0 1 1 ∂x ∂y ∂z ∂wpelo que a fun¸˜o ´ C 1 , logo diferenci´vel e a derivada ´ representada pela matriz Jf . ca e a eProposi¸˜o 2.2.2 (C 1 implica diferenciabilidade) caUma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → Rm de classe C 1 (U ) com U aberto ´ diferenci´vel em U . ca e aIdeia da demonstra¸˜o. Claro que basta supor m = 1. Al´m disso consideramos n = 2 pois tal ca epermite usar nota¸˜o mais simples e quando terminarmos ser´ ´bvio como generalizar para n > 2. ca ao Seja (x, y) ∈ U . Basta provar que f (x + h, y + k) − f (x, y) − h ∂f (x, y) − k ∂f (x, y) ∂x ∂y lim 1/2 = 0. (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 )Para tal decompomos a diferen¸a f (x+h, y +k)−f (x, y) como uma soma de parcelas de diferen¸as c cde valores de f em que em cada parcela os argumentos de f s´ diferem numa coordenada. Uma oescolha poss´ ´ ıvel e f (x + h, y + k) − f (x, y) = [f (x + h, y + k) − f (x, y + k)] + [f (x, y + k) − f (x, y)].Podemos assim lidar separadamente com cada coordenada reduzindo o nosso objectivo a provar f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − h ∂f (x, y) ∂x lim 1/2 = 0, (2.1) (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 ) f (x, y + k) − f (x, y) − k ∂f (x, y) ∂y lim 1/2 = 0. (2.2) (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 )Para lidar com (2.1) use o teorema de Lagrange, aplicado a g(t) = f (x + t, y + k) − f (x, y + k),para obter que existe θ, 0 < θ < 1, tal que f (x + h, y + k) − f (x, y + k) = h ∂f (x + θh, y + k) e ∂xuse a continuidade da derivada parcial. Para lidar com (2.2) pode usar um racioc´ ınio an´logo ou asimplesmente a defini¸˜o de derivada parcial. caProblema 2.2.2 Verifique que a demonstra¸˜o da proposi¸˜o 2.2.2 permite enunciar o resultado ca casob hip´teses mais gerais. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o que satisfa¸a tais hip´teses e n˜o seja o e ca c o aC 1 . Altere a demonstra¸˜o para obter o caso n > 2. caExerc´ ıcio 2.2.5 Mostre que s˜o diferenci´veis e calcule a derivada das seguintes fun¸˜es: a a co 1. f (x, y, z) = (x2 − y 2 , xy) 2. f (x, y) = (x − y, x + y, 2x + 3y) 3. f (x, y) = (sen(x + y), cos(x − y)) 4. f (x, y) = (ex+y+z , log(1 + ey ), z 2 + x) No caso de fun¸˜es escalares (m = 1) a derivada ´ representada por uma matriz linha que co ese identifica a um vector de Rn que merece um nome especial pela sua importˆncia no c´lculo a adiferencial e nas aplica¸˜es. co 15 24 de Janeiro de 2000
  16. 16. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALDefini¸˜o 2.2.7 Suponha que uma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → R possui todas as derivadas parciais ca canum ponto a ∈ U . Define-se o gradiente de f em a, f (a), via ∂f ∂f f (a) = (a), . . . , (a) . ∂x1 ∂xn ıcio 2.2.6 Verifique que se f : U ⊂ Rn → R ´ diferenci´vel em a ∈ U ent˜o:Exerc´ e a a 1. Df (a)(h) = Dh f (a) = f (a) · h; 2. sup h =1 Dh f (a) = f (a) .Exerc´ ıcio 2.2.7 Mostre que a derivada da composi¸˜o f ◦ g das transforma¸˜es lineares f (y) = ca coAy, g(x) = Bx, onde f : Rn → Rm , g : Rp → Rn e A, B s˜o matrizes reais m × n e n × p, arespectivamente, ´ a matriz AB. e O pr´ximo teorema fornece um m´todo de c´lculo da derivada de fun¸oes obtidas por com- o e a c˜posi¸˜o. Note que para aplica¸˜es lineares a demonstra¸˜o ´ trivial (exerc´ ca co ca e ıcio 2.2.7) e sugere oresultado geral: a derivada da composta ´ a composta das derivadas. Mais precisamente: eTeorema 2.2.3 (Deriva¸˜o da Fun¸˜o Composta ou Regra da Cadeia) ca caSejam f : V ⊂ Rn → Rm e g : U ⊂ Rp → Rn , fun¸˜es diferenci´veis, a ∈ U, f (a) ∈ V com U e V co aabertos. Ent˜o f ◦ g : U ∩ f −1 (V ) → Rm ´ diferenci´vel em a e verifica-se: a e a D(f ◦ g)(a) = Df (g(a)) ◦ Dg(a).Se f e g forem de classe C 1 ent˜o h ´ de classe C 1 . a eDe um ponto de vista de c´lculo as derivadas parciais da composta s˜o calcul´veis em termos das a a aderivadas parciais das fun¸˜es que definem a composi¸˜o usando o resultado anterior e o facto de ` co ca acomposi¸˜o de aplica¸˜es lineares corresponder o produto de matrizes que as representam. Assim ca co´ importante compreender exemplos cujo prot´tipo mais simples ´ do tipo seguinte:e o eExemplo 2.2.6 Seja f : R2 → R e g = (g1 , g2 ) : R → R2 . Se f e g forem diferenci´veis ent˜o a a d(f ◦ g) ∂f dg1 ∂f dg2 (t) = (g1 (t), g2 (t)) (t) + (g1 (t), g2 (t)) (t). dt ∂x1 dt ∂x1 dt Um outro exemplo do mesmo g´nero ´: e eExemplo 2.2.7 Seja f (x, y) = (x + y, x − y) e g(t1 , t2 , t3 ) = (t1 + 2t2 , t2 + 2t3 ). f e g s˜o adiferenci´veis. A derivada de f ◦ g ´ a e D(f ◦ g)(t1 , t2 , t3 ) =Df (g(t1 , t2 , t3 ))Dg(t1 , t2 , t3 ) = 1 1 1 2 0 1 3 2 = = . 1 −1 0 1 2 1 1 −2 Quando n˜o h´ risco de confus˜o sobre os pontos em que se calculam as diversas derivadas a a aparciais ´ comum abreviar uma f´rmula como a do exemplo 2.2.6 como segue: e o d ∂f dg1 ∂f dg2 (f ◦ g) = + dt ∂x1 dt ∂x2 dtou d ∂f dx1 ∂f dx2 (f ◦ g) = + . dt ∂x1 dt ∂x2 dtH´ risco de confus˜o em situa¸˜es como a seguinte: a a co24 de Janeiro de 2000 16
  17. 17. ´ 2.2. CALCULO DIFERENCIAL ELEMENTARExerc´ ıcio 2.2.8 Suponha que f : R2 → R ´ diferenci´vel, f (0, 1) = 0 e f (1, 0) = 0. Seja e ag(x, y) = f (f (x, y), f (y, x)). Calcule ∂g (0, 1) ∂xem termos de derivadas parciais de f em pontos convenientes. Convir-lhe-´ usar a nota¸˜o Di f a capara evitar ambiguidades. ıcio 2.2.9 Calcule a derivada da composi¸˜o h = f ◦ g nos seguintes casos:Exerc´ ca 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e g(t) = (t, 2t, 3t) 2. f (x, y) = (xy 5 + y ch y 2 , x tg(sh x2 ) + 3y, x − y) e g(t) = (3, 4).Exerc´ıcio 2.2.10 Seja f : U ⊂ Rn → R e g : [a, b] → U diferenci´veis tais que f ´ constante no a econtradom´ınio de g. Mostre que f (g(t)) · g (t) = 0 para todo o t ∈ [a, b]. Interprete este resultadocomo significando que, para fun¸˜es diferenci´veis, o gradiente ´ ortogonal aos conjuntos de n´ co a e ıvelda fun¸˜o. ca O teorema de deriva¸˜o da fun¸˜o composta permite generalizar alguns resultados com facili- ca cadade ` custa de resultados j´ conhecidos para fun¸˜es reais de vari´vel real. Por exemplo o teorema a a co ade Lagrange para fun¸˜es escalares em que se relaciona a diferen¸a entre os valores de uma fun¸˜o co c caem dois pontos e a derivada no segmento de recta4 que os une.Teorema 2.2.4 (do valor m´dio ou de Lagrange) eSejam U ⊂ Rn um aberto e f : U → R uma fun¸˜o diferenci´vel. Se x, y ∈ U e L(x, y) ⊂ U ent˜o ca a aexiste θ ∈ ]0, 1[ tal que f (y) − f (x) = f (x + θ(y − x)) · (y − x).Exerc´ ıcio 2.2.11 Prove o teorema do valor m´dio. Sugest˜o: considere a fun¸˜o de vari´vel real e a ca ag(t) = f (x + t(y − x)) e aplique o teorema do valor m´dio para fun¸˜es a uma vari´vel. e co a2.2.1 Exerc´ ıcios suplementares ıcio 2.2.12 Seja f : R2 → R definida porExerc´ xy 2 f (x, y) = x2 +y 4 , se (x, y) = (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0). a) Determine justificadamente o maior subconjunto do dom´ ınio de f em que esta fun¸˜o ´ ca e cont´ ınua. b) Uma fun¸˜o H : R2 → R2 verifica H(0, 1) = (1, −1) ´ diferenci´vel em (0, 1) sendo a matriz ca e a jacobiana de H nesse ponto dada por 1 −1 JH (0, 1) = . 1 2 Calcule a derivada dirigida D(1,1) (f ◦ H)(0, 1). ıcio 2.2.13 Se f : R2 → R est´ definida por*Exerc´ a x3 −y 3 f (x, y) = x2 +y 2 , se (x, y) = (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0). 4 Dados x, y ∈ Rn define-se o segmento de recta unindo x a y como sendo o conjunto L(x, y) = {z = x+t(y−x) :t ∈ [0, 1]}. 17 24 de Janeiro de 2000
  18. 18. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL a) Calcule o valor m´ximo de Dh f (1, 2) quando h ´ um vector unit´rio. a e a b) Calcule a equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f no ponto (x, y, z) = (1, 2, −7/5). ca a *c) Decida justificadamente se o gr´fico de f constitui ou n˜o uma variedade diferenci´vel. Se a a a optar pela negativa determine o maior subconjunto do gr´fico de f que efectivamente constitui a uma variedade diferenci´vel. Em qualquer caso determine justificadamente a dimens˜o da a a variedade e o espa¸o normal no ponto (1, 2, −7/5). cExerc´ ıcio 2.2.14 Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 2. f (x, y) = sen(sen(sen(sen(x + y)))) x+y 2 3. f (x, y) = 0 e−s ds ∂f ıcio 2.2.15 Seja f (x, y) = y sen(x2 + arctg(y − cos(x))) + 2. CalculeExerc´ ∂x (0, 0).Exerc´ ıcio 2.2.16 Moste que as seguintes fun¸˜es s˜o diferenci´veis e calcule as suas derivadas: co a a 1. f (x, y) = (x2 + y, x − y) y x cos(s) 2. f (x, y) = (x 0 ecos(s) ds, y 0 e ds) ıcio 2.2.17 Calcule a derivada de f ◦ g nos seguintes casos:Exerc´ 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e g(t) = (sen(t), cos(t), 0); 2. f (x, y) = (x + y, x − y) e g(u, v) = (v, u); 2 +y 2 ) 3. f (x, y, z, w) = cos(e(x − z − w) e g(p, q) = (0, 1, 2, 3).2.2.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios2.2.14 ∂fa) ∂x = 2x, ∂f = 2y e ∂f = 2z. Observe que o vector (2x, 2y, 2z) ´ ortogonal ` fronteira ∂y ∂z e a 2 2 2 das bolas centradas em 0, isto ´ `s esferas de equa¸˜o da forma x + y + z = c. Isto n˜o e a ca a ´ uma coincidˆncia mas sim uma consequˆncia do que foi aflorado no exerc´ e e e ıcio 2.2.10 e que retomaremos! ∂f ∂fb) ∂x = ∂y = cos(sen(sen(sen(x + y)))) cos(sen(sen(x + y))) cos(sen(x + y)) cos(x + y); ∂f ∂f 2c) ∂x = ∂y = e−(x+y) (observe que n˜o ´ necess´rio calcular o integral). a e a2.2.15 Observe que f (x, 0) = 2.2.2.16 Ambas as fun¸˜es s˜o de classe C 1 , pois as derivadas parciais s˜o cont´ co a a ınuas. Portanto: 2x 1 1. Df = . 1 −1 y 0 ecos(s) ds xecos(y) 2. Df = x cos(s) yecos(x) 0 e ds2.2.1724 de Janeiro de 2000 18
  19. 19. ` 2.3. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR A PRIMEIRA 1. Observe que (f ◦ g)(t) = 1 para qualquer t. 2. Pela regra da cadeia temos: 1 1 0 1 1 −1 D(f ◦ g) = Df Dg = = . 1 −1 1 0 1 1 3. Note que Dg = 0 pelo que D(f ◦ g) = 0.2.3 Derivadas parciais de ordem superior ` primeira aVamos considerar com derivadas parciais de ordem superior ` primeira que, no essencial, se definem arecursivamente.Defini¸˜o 2.3.1 Seja f : Rn → R. As derivadas parciais de segunda ordem, com respeito a xi e caxj , 1 ≤ i, j ≤ n, s˜o definidas por a ∂2f ∂ ∂f = , ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂2f ∂2fcaso a express˜o da direita esteja definida. Se i = j escreve-se a ∂xi ∂xi = ∂x2 . Procede-se de modo ian´logo para derivadas parciais de ordem superior ` segunda. a aExemplo 2.3.1 Uma nota¸˜o como ca ∂4u ∂x∂y 2 ∂zindica que a fun¸˜o u foi derivada sucessivamente em ordem ` vari´vel z, duas vezes em ordem a ca a ay e finalmente em ordem a x.Exemplo 2.3.2 Seja f (x, y) = x2 + 2y 2 + xy. Temos ∂2f ∂ ∂f ∂ = = (4y + x) = 1. ∂x∂y ∂x ∂y ∂xExemplo 2.3.3 Seja f (x, y, z) = sen(x + y + z) ∂5f ∂4 ∂3 = 2 (cos(x + y + z)) = − 2 (sen(x + y + z)) = ∂x2 ∂y∂z∂y ∂x ∂y∂z ∂x ∂y 2 ∂ ∂ = − 2 (cos(x + y + z)) = (sen(x + y + z)) = cos(x + y + z). ∂x ∂x ∂2fExerc´ıcio 2.3.1 Seja f (x, y) = x2 + 2y 2 + xy. Calcule ∂y∂x ; observe que o resultado ´ o mesmo edo exemplo 2.3.2.O resultado deste ultimo exerc´ ´ ıcio ser o mesmo do exemplo 2.3.2 n˜o ´ uma coincidˆncia mas a e esim a consequˆncia de um facto mais geral — o Teorema de Schwarz. Antes de o enunciarmos eprecisamos de uma defini¸˜o: caDefini¸˜o 2.3.2 Considere uma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → R. ca ca • Se U for aberto diz-se que f ´ de classe C k em U , k ∈ N, ou abreviadamente f ∈ C k (U ), se e todas as derivadas parciais de ordem k de f existirem e forem cont´ ınuas em U . 19 24 de Janeiro de 2000
  20. 20. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL y y +k y x x +h x Figura 2.2: Conven¸˜es na demonstra¸˜o da Proposi¸˜o 2.2.2 e do Teorema 2.3.1. co ca ca • Se U n˜o for aberto escrevemos f ∈ C k (U ), k ∈ N, se existir V aberto com V ⊃ U e uma a fun¸˜o g ∈ C k (V ) tal que a restri¸˜o de g a U seja igual a f . ca ca • f diz-se de classe C 0 (U ) se for cont´ ınua em U . • Adicionalmente, para U aberto, definimos C ∞ (U ) = ∩k∈N C k (U ) e para um conjunto n˜o a necessariamente aberto procedemos como anteriormente. Na maior parte das aplica¸˜es do c´lculo diferencial a hip´tese de uma fun¸˜o ser de classe C k co a o capara um certo k ´ natural. Certos resultados a citar a seguir ser˜o v´lidos sob hip´teses mais gerais e a a omas abstermo-nos-emos de dar importˆncia especial a tais hip´teses. Por vezes ser˜o remetidas a o apara problemas.Exerc´ıcio 2.3.2 Seja p(x1 , . . . xn ) um polin´mio em n vari´veis. Mostre que sen(p(x1 , . . . xn )) ´ o a euma fun¸˜o C ∞ (Rn ). caProblema 2.3.1 Verifique que se j < k ent˜o C k ⊂ C j . a O pr´ximo teorema ´ um resultado muito importante que permite reduzir o n´mero de c´lculos o e u anecess´rios para determinar as derivadas parciais de ordem superior ´ primeira. Ele diz-nos que, a asob certas condi¸˜es, a ordem pela qual se deriva uma fun¸˜o ´ irrelevante. co ca eTeorema 2.3.1 (Schwarz) ∂2f ∂2fSeja f : U ⊂ Rn → R, a um ponto interior a U , f ∈ C 2 (U ). Ent˜o a ∂xi ∂xj (a) = ∂xj ∂xi (a) para ındices 1 ≤ i, j ≤ n.quaisquer ´Ideia da demonstra¸˜o. Basta considerar n = 2 e convencionamos a = (x, y). Notamos que ca ∂2f [f (x + h, y + k) − f (x + h, y)] − [f (x, y + k) − f (x, y)] (x, y) = lim lim (2.3) ∂x∂y h→0 k→0 hk ∂2f [f (x + h, y + k) − f (x, y + k)] − [f (x + h, y) − f (x, y)] (x, y) = lim lim (2.4) ∂y∂x k→0 h→0 hkDesignemos o numerador das frac¸˜es dos segundos membros de (2.3-2.4) por D(h, k). Aplicando coo teorema de Lagrange ` fun¸˜o g(t) = f (x + t, y + k) − f (x + t, y) no intervalo [0, h] obtemos que a ca24 de Janeiro de 2000 20
  21. 21. ` 2.3. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR A PRIMEIRAexiste θ1 , 0 < θ1 < 1, tal que ∂f ∂f D(h, k) = h (x + θ1 h, y + k) − (x + θ1 h, y) . ∂x ∂xUma segunda aplica¸˜o do teorema de Lagrange permite obter que existe θ2 , 0 < θ2 < 1, tal que ca ∂2f D(h, k) = hk (x + θ1 h, y + θ2 k). ∂y∂xSubstitui¸˜o em (2.3) e justifica¸˜o de que ambos os limites iterados igualam lim(h,k)→(0,0) D(h, k) ca capermitem obter a igualdade pretendida.Problema 2.3.2 O ultimo passo da demonstra¸˜o da Proposi¸˜o 2.3.1 merece alguns coment´ri- ´ ca ca aos. Por um lado θ1 e θ2 s˜o fun¸˜es de h e k. Por outro a rela¸˜o entre um limite e um limite a co caiterado ´, em geral, mais complexa do que o leitor pode imaginar. Seja f : U ⊂ R2 → R e (x0 , y0 ) eum ponto interior de U . Mostre que: a) Pode existir lim(x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) sem que exista limx→x0 limy→y0 f (x, y). b) Se lim(x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) e limx→x0 limy→y0 f (x, y) existirem ent˜o s˜o iguais. a a ´ oProblema 2.3.3 E ´bvio da demonstra¸˜o da Proposi¸˜o 2.3.1 que a hip´tese f ∈ C 2 pode ser ca ca oaligeirada. Isto pode ser feito de v´rias formas. Formule e demonstre pelo menos dois resultados adeste tipo com hip´teses “m´ o ınimas” n˜o equivalentes. aExemplo 2.3.4 Seja f = 2xy. f ´ de classe C 2 uma vez que ´ um polin´mio, portanto temos a e e oseguinte igualdade ∂2f ∂2f = =2 ∂x∂y ∂y∂xExemplo 2.3.5 Se f ´ de classe C 3 tˆm-se as seguintes igualdades: e e ∂3f ∂3f ∂3f = = ∂x2 ∂y ∂x∂y∂x ∂y∂x2e ∂3f ∂3f ∂3f 2 ∂x = = . ∂y ∂y∂x∂y ∂x∂y 2Exerc´ıcio 2.3.3 Calcule as derivadas de todas as ordens de f (x, y, z) = 2x3 z+xyz+x+z (observeque s´ h´ um n´mero finito de derivadas n˜o nulas. Porquˆ?). o a u a e O conceito de derivada dirigida de ordem superior ` primeira permite formalizar o enunciado da af´rmula de Taylor de uma forma an´loga ao resultado j´ conhecido para fun¸˜es reais de vari´vel o a a co areal.Defini¸˜o 2.3.3 Seja f : U ⊂ Rn → R. As derivadas dirigidas de ordem superior ` primeira de ca a (1)f num ponto x ∈ U segundo h definem-se recursivamente, se existirem, por Dh f (x) = Dh f (x)e (j) (j−1) Dh f (x) = Dh (Dh f (x)), se j > 1. Relembra-se que para fun¸˜es diferenci´veis, e em particular de classe C 1 , temos Dh f (x) = co ah · f (x). 21 24 de Janeiro de 2000
  22. 22. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALProblema 2.3.4 Verifique que para fun¸˜es de classe C j num aberto o c´lculo da derivada diri- co a (j) jgida Dh f corresponde a aplicar ` fun¸˜o f o operador diferencial (h · ) e consequentemente a ca (j)Dh f ´ um polin´mio homog´neo5 de grau j nas componentes do vector h. Se h = (h1 , h2 ) e o everifique que para n = 2 e j = 2 temos (2) ∂2f ∂2f 2 2∂ f Dh f = h2 1 2 + 2h1 h2 ∂x ∂x + h2 ∂x2 . ∂x1 1 2 2Em geral obtenha n n (j) ∂j f Dh f = ··· hi1 . . . h ij . i1 =1 ij =1 ∂xi1 . . . ∂xij Note que existem termos “repetidos” na f´rmula anterior. Calcular o n´mero de repeti¸˜es ´ o u co eum problema de c´lculo combinat´rio cuja solu¸˜o no caso n = 2 ´ bem conhecida. a o ca e2.3.1 Exerc´ ıcios suplementares ıcio 2.3.4 Seja f : R2 → R definida por:Exerc´ xy, se |y| > |x|, f (x, y) = 0, caso contr´rio. aMostre que: ∂2f ∂2f (0, 0) = 0 (0, 0) = 1. ∂x∂y ∂y∂xExplique porque ´ que isto n˜o contradiz o teorema 2.3.1. e a ıcio 2.3.5 Seja f : R2 → R uma fun¸˜o limitada (n˜o necessariamente cont´Exerc´ ca a ınua). Mostreque g(x, y) = x + y + (x2 + y 2 )f (x, y)´ diferenci´vel na origem. Calcule a sua derivada. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o f tal que g n˜oe a e ca aseja cont´ ınua no complementar da origem.Exerc´ıcio 2.3.6 Suponha f : Rn → Rn , f bijectiva, diferenci´vel e f −1 tamb´m diferenci´vel. a e a −1Mostre que Df −1 (f (x)) = [Df (x)] . Use esta observa¸˜o para, por exemplo, rededuzir a f´rmula ca oda derivada de arcsen.2.3.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios2.3.4 O teorema 2.3.1 s´ se aplicaria se a fun¸˜o f fosse de classe C 2 . o ca2.3.5 Use a defini¸˜o de derivada para mostrar que g ´ diferenci´vel com derivada representada ca e apor g(0, 0) = (1, 1). Para a segunda parte um exemplo poss´ ´ ıvel e 1, se x ∈ Q, f (x, y) = 0, caso contr´rio. a2.3.6 Observe que f (f −1 (x)) = x. Diferencie esta express˜o. a d dy (arcsen y) =√ 1 . 1−y 2 5 Um polin´mio P de grau k diz-se homog´neo se P (λx) = λk P (x) para todo o λ ∈ R. o e24 de Janeiro de 2000 22
  23. 23. ´ 2.4. POLINOMIO DE TAYLOR2.4 Polin´mio de Taylor oTal como no caso de fun¸˜es reais de vari´vel real podemos construir aproxima¸˜es polinomiais de co a cofun¸˜es de classe C k . coTeorema 2.4.1 (Taylor)Seja f : U ⊂ Rn → R uma fun¸˜o de classe C k (U ) com U um aberto e x0 ∈ U . Para cada j ≤ k caexiste um polin´mio em n vari´veis de grau j, unico, Pj : Rn → R tal que o a ´ f (x) − Pj (x) lim j = 0. (2.5) x→x0 |x − x0 |O polin´mio Pj ´ designado por polin´mio de Taylor de ordem j de f relativo ao ponto x0 e ´ o e o edado por j 1 (l) Pj (x) = f (x0 ) + D f (x0 ). (2.6) l! x−x0 l=1O erro Ej (x) da f´rmula de Taylor ´ dado por o e Ej (x) = f (x) − Pj (x).Ideia da demonstra¸˜o. Decorre do resultado j´ conhecido para n = 1 e do teorema de deriva¸˜o ca a cada fun¸˜o composta por considera¸˜o da fun¸˜o auxiliar g : [0, 1] → R definida por g(t) = f (t(x − ca ca cax0 ) + x0 ) em que x ∈ Br (x0 ) ⊂ U .Problema 2.4.1 Use o problema 2.3.4 para obter a f´rmula de Taylor na forma: o k 1 ∂pf f (x) = i i (x0 ) (x1 − x01 )i1 . . . (xn − x0n )in + Ek (x − x0 ). (2.7) p=0 i1 +...+in =p p! ∂y11 . . . ∂ynn O leitor ´ aconselhado a pensar no polin´mio de Taylor via a propriedade (2.5) e n˜o simples- e o amente como um polin´mio calcul´vel via (2.6) ou (2.7). o aProblema 2.4.2 Formule o Teorema de Taylor explicitando o resto da f´rmula de Taylor numa oforma an´loga a uma das conhecidas para fun¸˜es reais de vari´vel real. a co a Poder´ pensar-se que o c´lculo do polin´mio de Taylor para fun¸˜es de v´rias vari´veis e a a o co a apara uma ordem relativamente elevada ´ um pesadelo computacional. Nem sempre ser´ assim se e atirarmos partido, quando poss´ ıvel, de resultados j´ conhecidos para fun¸˜es de uma vari´vel. a co a Frequentemente em vez de escrevermos o termo de erro Ek (x − y), escrevemos o( x − y k ),com o mesmo significado.Exemplo 2.4.1 Se f (x, y) = xy + sen x, a f´rmula de Taylor de segunda ordem em torno de o(π, 0) ´: e ∂f ∂f 1 ∂2f f (x, y) =f (π, 0) + (x − π) + y++ (x − π)2 ∂x (π,0) ∂y (π,0) 2 ∂x2 (π,0) ∂2f 1 ∂2f + (x − π)y + y 2 + o( (x − π, y) 2 ), ∂x∂y (π,0) 2 ∂y 2 (π,0)ou seja f (x, y) = π − x + xy + o( (x − π, y) 2 ). 23 24 de Janeiro de 2000
  24. 24. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALExemplo 2.4.2 Se f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 ent˜o a sua expans˜o em f´rmula de Taylor at´ ` a a o e asegunda ordem, em torno de qualquer ponto, ´ x2 +2xy+y 2 . Com efeito, f (x, y)−x2 +2xy+y 2 = 0 epelo que (2.8) vale. Repare que isto evitou termos de calcular 5 derivadas!Exerc´ ıcio 2.4.1 Calcule a f´rmula de Taylor at´ ` terceira ordem das seguintes fun¸˜es: o ea co 1. f (x, y, z) = x + y 2 + z; 2. f (x, y, z) = 1 + x + y + z + xy + xz + yz + xyz; 3. f (x, y) = ex + xyz.Exerc´ıcio 2.4.2 Mostre que a f´rmula de Taylor de ordem k para um polin´mio de grau k coincide o ocom o polin´mio. oExerc´ıcio 2.4.3 Demonstre a parte correspondente a unicidade do teorema de Taylor. [Suponhaque existe um polin´mio p(x) para o qual (2.8) vale. Mostre que se existisse outro polin´mio o oq(x) = p(x), de grau menor ou igual ao grau de p obter´ ıamos uma contradi¸˜o.] ca Em certos casos podemos utilizar o conhecimento da expans˜o em potˆncias de uma fun¸˜o a e careal de vari´vel real para calcularmos a expans˜o em potˆncias de express˜es mais complicadas: a a e oExemplo 2.4.3 Queremos calcular a expans˜o de Taylor da fun¸˜o sen(x2 + y 4 ) at´ ` ordem 6 a ca eaem torno da origem. Sabemos que t3 sen t = t − + o(|t|3 ). 6Deste modo temos (x2 + y 4 )3 sen(x2 + y 4 ) = x2 + y 4 − + o((x2 + y 4 )3 ) 6pelo que x6 sen(x2 + y 4 ) = x2 + y 4 − + o( (x, y) 6 ), 6em que na ultima igualdade tivemos em aten¸˜o que (x2 + y 4 )3 = x6 + 3x4 y 4 + 3x2 y 8 + y 12 = ´ cax6 + o( (x, y) 6 ) e x2 + y 4 ≤ x2 + y 2 para (x, y) suficientemente pequeno.Exemplo 2.4.4 Seja g(x, y) = sen(x2 − y 2 ).e suponhamos que pretendemos obter o polin´mio de Taylor de s´tima ordem de g relativo a (0, 0). o e Sabemos que o seno ´ uma fun¸˜o inteira cuja s´rie de Taylor relativa a 0 (s´rie de Mac e ca e eLaurin) ´ e λ3 λ5 k+1 λ 2k−1 sen λ = λ − + − · · · + (−1) + ... 3! 5! (2k − 1)!Tal permite-nos ter um palpite `cerca do polin´mio de Taylor pretendido simplesmente por substi- a otui¸˜o formal de λ por x2 − y 2 na igualdade anterior e s´ considerando os termos de grau menor ca oou igual a sete. Obtem-se um polin´mio o 3 (x2 − y 2 ) Q(x, y) = (x2 − y 2 ) − 3!Resta provar que efectivamente se trata do polin´mio de Taylor pretendido. Para tal usa-se a ocaracteriza¸˜o (2.5) do polin´mio de Taylor. De facto ca o λ3 sen λ − λ + 3! lim =0 λ→0 λ424 de Janeiro de 2000 24

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