Derivadas

1. matA12
derivadas de funções trigonométricas
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1. Calcule as derivadas das seguintes funções trigonométricas
1.1.    
sin 3 7
f x x
  1.2.    
7cos
g x x

 1.3.    
tan 5
h x x x
 
1.4.  
1 cos
sin
x
i x
x

 1.5.    
2
cos 2 1
x
j x e x
  1.6.    
2 2
sin
k x x

2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa
6

, sendo
  sin cos
f x x x
  .
3. Determine o valor da derivada da função    
1 2 2
cos 3 tan
x
y e x x x

   no ponto em que
0
x  .
4. Considere a função f definida por  
cos
1 sin
x
f x
x


. Faça um estudo completo da função e
represente-a graficamente.
5. Considere a função real de variável real    
1 cos 3
f x x
  .
5.1. Calcule os valores de x para os quais se tem  
3
'
2
f x  .
5.2. Calcule
 
2
0
lim
x
f x
x

.
6. Verifique a seguinte igualdade    
2 2
sin cos 2 3 cos cos 2
x x x x
 
   
  
   
7. Na figura está representada uma artéria principal do corpo
humano, cuja secção é um círculo com raio R, e uma
ramificação, mais estreita, cuja secção é um círculo com raio r.
A secção da artéria principal tem área A e a da ramificação tem
área a.
Seja 0,
2


 
 
 
a amplitude, em radianos, do ângulo que a
artéria principal faz com a sua ramificação (medida
relativamente a duas geratrizes complanares dos dois cilindros).
Sabe-se que: cos
a A 

Admitindo que o modelo descrito se adequa com exatidão à situação real, determine  no
caso em que os raios referidos verificam a relação 4
2
R r
 .

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8. Na figura está representado a sombreado um
polígono  
ABEG .
Tem que:
  
ABFG é um quadrado de lado 2
 FD é um arco de circunferência de centro B; o
ponto E move-se ao longo desse arco; em
consequência, o ponto C desloca-se sobre o segmento  
BD , de tal forma que se tem
sempre    
EC BD

 x designa a amplitude, em radianos, do ângulo 0,
2
CBE x

 
 

 
 
 
 
8.1. Mostre que a área do polígono  
ABEG é dada, em função de x, por
   
2 1 sin cos
A x x x
  
(Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio  
ACEG )
8.2. Determine  
0
A e
2
A

 
 
 
interpretando geometricamente cada um dos valores obtidos.
8.3. Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe
permite resolver o seguinte problema:
Quais são os valores de x para os quais a área do polígono  
ABEG é 4,3?
Apresente todos os elementos recolhidos da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou
gráficos, obtido(s), bem como as coordenadas relevantes de alguns pontos.
Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às décimas.
9. Começou-se a construir um muro e a sua altura, em metros,
a partir do ponto inicial é dada pela expressão
 
2cos 1
4
2 cos
x
h x
x

 

.
Nos pontos mais altos do muro serão colocadas colunas de
reforço, como dá para perceber pela figura ao lado.
Recorrendo a processos analíticos, determine.
9.1. A altura máxima do muro.
9.2. A altura mínima do muro.
9.3. A distância entre duas colunas consecutivas.
9.4. O número de colunas de reforço se o muro tiver 100 m de comprimento e indique a altura
do muro no fim do mesmo.
Bom trabalho!!

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Soluções
1.
1.1.    
' 3cos 3
f x x

1.2.    
' 7 sin
g x x
 
 
1.3.  
 
2
5
' 1
cos 5
h x
x
 
1.4.   2
1 cos
'
sin
x
i x
x

 
1.5.      
2
' 2 cos 2 1 sin 2 1
x
j x e x x
   
 
 
1.6.    
2
' 2 sin 2
k x x x

2.
3 1 3 1
2 6 2
y x

 
 
  
 
 
3.
2
e
4.
Domínio: 2 ,
2
k k


 
 
 
 
Continuidade: f é contínua em todo o seu
domínio
Paridade: f não é par nem ímpar, tem período
2
Assíntotas: 2 ,
2
x k k


  
Pontos de interseção com os eixos:
3
2 ,0 ,
2
k k


 
 
 
 
Monotonia: Crescente em todo o domínio
Concavidades:
3
2 ,2 ,
2
k k k

 
 
   
 
 
3
2 , 2 ,
2
k k k

 
 
   
 
 
Gráfico
Contradomínio:
5.
5.1.
2 5 2
,
18 3 18 3
k k
x x k
   
     
5.2.
9
2
6.
7.
3

 
8.
8.1.
8.2.  
0 4
A  , o polígono corresponde ao
triângulo  
ADG cuja área é 4.
4
2
A

 

 
 
, o polígono corresponde ao
quadrado  
ABFG cuja área é 4.
8.3. 0,2
x  ; 1,4
x 
9.
9.1. 7 m
9.2. 3,67 m
9.3. 6,28 m
9.4. 16 colunas, a altura do muro será 6,39 m