TP2 08-04-08 Problema_1

UNIVERSIDADE DE COIMBRA
FACULDADE DE CEIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA

MECÂNICA DOS FLUIDOS II Diogo Neto
Eduardo Cardoso
1 DE ABRIL DE 2008 Turma Teórico-Prática TP2

Considere a seguinte relação que exprime o deslocamento, S,
de um corpo em queda livre:
1 2
S S0 V0 t gt
2
em que S0 é o deslocamento inicial, V0 a velocidade de queda
inicial, g a aceleração da gravidade e t o tempo. Exprima essa
relação sob forma adimensional, tomando para variáveis de
base para construção dos produtos П (Teorema Pi de
Buckingham):
a) S0 e V0; b) V0 e g; c) S0 e g.
Mostre, que na realidade, se trata de diferentes formas de uma
mesma adimensionalização.

Faculdade de Ciências e Tecnologia
Mecânica dos Fluidos II Diogo Neto - Eduardo Cardoso
Universidade de Coimbra

A análise dimensional representa uma técnica que permite
estruturar, clarificar e comparar resultados obtidos.

Toda a análise dimensional assenta numa base particularmente
simples, o chamado princípio da homogeneidade dimensional:
“qualquer expressão que represente correctamente um dado
fenómeno físico terá de ser dimensionalmente homogénea”.

Uma equação dimensionalmente homogénea pode sempre ser
representada, sem qualquer perda de informação, por formas
alternativas adimensionais mais compactas.


Existem essencialmente três formas alternativas que permitem
adimensionalizar a formulação de um problema físico. São
elas:
 Método do produto de potências;
 Teorema П de Buckingham;
 Adimensionalização das equações.


Teorema П de Buckingham:
Se um fenómeno físico que envolva n variáveis Qi (i=1, 2, 3,
…, n) pode ser representado por uma relação funcional da
forma: f (Q1, Q2, Q3, …, Qn)=0, então é também possível
traduzi-lo, sem qualquer perda de informação, por outra
relação funcional que envolve apenas k=n–j grupos
adimensionais independentes, formados com aquelas
variáveis: Ф (П1, П2, П3, …, Пk)=0, sendo j menor ou igual ao
número de dimensões fundamentais envolvidas no conjunto
das variáveis. Cada grupo Пi (i=1, 2, 3, …, k) representa um
produto da forma: П=Q1a Q2b Q3c… Qnz, com a, b, c, …, z tais
que Пi seja adimensional.


As variáveis para formarem uma base devem satisfazer,
conjuntamente, os seguintes requisitos:
 Devem conter, no seu conjunto, todas as dimensões
fundamentais intervenientes no problema;
 Não podem formar, entre si, um grupo adimensional.


1 2
S S0 V0 t gt
2
A relação funcional entre as variáveis intervenientes no
problema pode ser expressa da seguinte forma:
S f (S0 ,V0 , t , g )

Variável Dimensões Fundamentais
S [L]
S0 [L]
V0 [ L T −1 ]
t [T]
g [ L T −2 ]


Variáveis de base: S0 e V0
O conjunto (S0, V0) satisfaz a primeira condição. Recordar
Para verificar a segunda condição, basta tentar formar um
produto adimensional Π, com as variáveis seleccionadas:
Π = S0 a V0 b
[ L0 T 0 ] = [ L ]a [ L T −1 ]b
L 0 a b a 0
T 0 b b 0
Obteve-se a solução trivial a=b=0, pelo que se conclui que
estas variáveis, por si só, não se adimensionalizam, cumprindo
assim a segunda condição.

Variáveis de base: S0 e V0 S = f (S0, V0, t, g)
De acordo com o teorema П de Buckingham:
5 variáveis iniciais - 2 variáveis básicas = 3 grupos adimensionais.

Constroem-se, por conseguinte, três grupos adimensionais:
П1 = F1 (S, S0, V0) П2 = F2 (t, S0, V0) П3 = F3 (g, S0, V0)
os quais satisfazem a relação seguinte:
П1 = F (П2, П3)
Cada grupo adimensional pode, agora, ser resolvido
separadamente.


Grupo 1:
П1 = S S0a V0b

[ L0 T 0 ] = [ L ] [ L ]a [ L T −1 ]b

L 0 1 a b a 1
T 0 b b 0

S
Π1
S0


Grupo 2:
П2 = t S0a V0b

[ L0 T 0 ] = [ T ] [ L ]a [ L T −1 ]b

L 0 a b a 1
T 0 1 b b 1

V0t
Π2
S0


Grupo 3:
П3 = g S0a V0b

[ L0 T 0 ] = [ L T −2 ] [ L ]a [ L T −1 ]b

L 0 1 a b a 1
T 0 2 b b 2

gS0
Π3
V02


Variáveis de base: V0 e g S = f (S0, V0, t, g)
Facilmente se verifica, de modo semelhante ao anterior, que as
variáveis V0 e g, também podem formar uma base.

Constroem-se os três grupos adimensionais:
П1' = F1' (S, V0, g) П2' = F2' (t, V0, g) П3' = F3' (S0, V0, g)
П1' = F' (П2', П3')


Grupo 1:
П1' = S V0a gb

[ L0 T 0 ] = [ L ] [ L T −1 ]a [ L T −2 ]b

L 0 1 a b a 2
T 0 a 2b b 1

Sg
Π1'
V02


Grupo 2:
П2' = t V0a gb

[ L0 T 0 ] = [ T ] [ L T −1 ]a [ L T −2 ]b

L 0 a b a 1
T 0 1 a 2b b 1

tg
Π 2'
V0


Grupo 3:
П3' = S0 V0a gb

[ L0 T 0 ] = [ L ] [ L T −1 ]a [ L T −2 ]b

L 0 1 a b a 2
T 0 a 2b b 1

gS0
Π 3'
V02


Variáveis de base: S0 e g S = f (S0, V0, t, g)
Novamente se verifica, de modo semelhante ao anterior, que
as variáveis S0 e g, também podem formar uma base.

Constroem-se os três grupos adimensionais:
П1'' = F1'' (S, S0, g) П2'' = F2'' (t, S0, g) П3'' = F3'' (V0, S0, g)
П1'' = F'' (П2'', П3'')


Grupo 1:
П1'' = S S0a gb

[ L0 T 0 ] = [ L ] [ L ]a [ L T −2 ]b

L 0 1 a b a 1
T 0 2b b 0

S
Π1''
S0


Grupo 2:
П2'' = t S0a gb

[ L0 T 0 ] = [ T ] [ L ]a [ L T −2 ]b

L 0 a b a 1
2
T 0 1 2b b 1
2
g
Π 2'' t
S0


Grupo 3:
П3'' = V0 S0a gb

[ L0 T 0 ] = [ L T −1 ] [ L ]a [ L T −2 ]b

L 0 1 a b a 1
2
T 0 1 2b b 1
2
V0
Π3''
gS0


A forma final dos parâmetros adimensionais, alcançada por
aplicação do teorema П de Buckingham, depende, como se
viu, da escolha das variáveis seleccionadas como base para a
sua construção.
Os grupos adimensionais, П1', П2' e П3', podem ser obtidos
por intermédio de operações matemáticas, envolvendo П1, П2
e П3: S gS0 Sg
Π1' Π1 Π3
S0 V02 V02
V0 t gS0 tg
Π 2' Π 2 Π3
S0 V02 V0
gS0
Π3' Π3
V02

De forma análoga, também os grupos adimensionais, П1'', П2''
e П3'', podem ser obtidos por intermédio de operações,
envolvendo П1, П2 e П3:
S
Π1'' Π1
S0
12 V0 t gS0 g
Π 2'' Π 2 Π3 t
S0 V0 S0
12 V0
Π3'' Π3
gS0


Representação gráfica através de software
• Visual Basic 6.0


Prós:

 A análise dimensional permite uma redução significativa do
nº de variáveis independentes, que o senso comum indica
como necessárias, para uma dada situação física;

 Qualquer parâmetro, Пi, pode ser substituído pelo seu
produto por uma constante adimensional, pelo seu produto por
um ou mais dos restantes П's ou por uma potência de si
próprio com expoente constante qualquer.


Contras:

 Não possui a capacidade de fazer intervir uma ou mais
variáveis, que tenham sido erradamente omitidas na
formulação inicial do problema;

 Apenas indica a existência de uma relação funcional entre
parâmetros adimensionais, pelo que o aspecto dessa relação
funcional deverá ser ilustrado por recurso complementar a
análises do tipo teórico ou experimental.


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