Computação Gráfica - Transformações Geométricas no Plano e no EspaçoTony Alexander Hild
O documento discute transformações geométricas em computação gráfica, incluindo translação, escala e rotação. Explica como matrizes são usadas para representar essas transformações e como elas afetam os pontos e objetos. Também aborda conceitos como sistemas de coordenadas, câmera virtual, frustum e suas implementações em OpenGL.
Este documento fornece um resumo de três frases ou menos do documento sobre Sistemas Dinâmicos Caóticos:
O documento descreve os conceitos fundamentais de sistemas dinâmicos, incluindo equações diferenciais e de diferenças, e como eles podem ser usados para modelar fenômenos na natureza. Também apresenta exemplos de sistemas dinâmicos caóticos como o Mapa Logístico e o Conjunto de Mandelbrot, demonstrando comportamentos complexos como bifurcações e atratores estranhos
O documento discute o conceito de lugar geométrico das raízes (LGR), que representa graficamente os pólos de malha fechada de um sistema para diferentes valores do ganho K. Explica como construir o LGR a partir dos pólos e zeros da função de transferência de malha aberta, determinando quais partes do eixo real pertencem ao LGR, quantos ramos existem e onde estes terminam. Também aborda como determinar pontos de separação dos ramos e quando o sistema atravessa o eixo imaginário.
O documento introduz o conceito de derivada como sendo a taxa de variação instantânea de uma função. Explica que a derivada é calculada como o limite do coeficiente angular de uma reta secante quando a distância entre os pontos em que ela intercepta a função tende a zero. Apresenta aplicações como calcular tangentes, valores mínimos e máximos, e comportamento de ondas estacionárias.
Uma figura pode ser transformada por rotação centrando-se em um ponto e girando a figura um determinado ângulo no sentido horário ou anti-horário. O documento descreve como rotacionar um ponto B em torno de um ponto O 60 graus no sentido anti-horário, resultando no novo ponto B'.
O documento discute isometrias geométricas, especificamente rotações. Define rotação como uma isometria caracterizada por um centro de rotação e um ângulo de rotação. Fornece exemplos de exercícios envolvendo identificar centros e ângulos de rotação em figuras geométricas e determinar imagens de objetos sob rotações.
Este documento descreve métodos auxiliares utilizados em geometria descritiva, incluindo mudança de planos, rotações e rebatimentos. A mudança de planos substitui um plano de projeção por outro para colocar elementos geométricos em posições mais convenientes. As rotações giram figuras em torno de eixos verticais ou de topo. Estes métodos auxiliares são usados para resolver problemas métricos e associados a retas de perfil.
Este documento discute os conceitos de isometrias e não isometrias na geometria. Ele fornece exemplos de translações, rotações e reflexões, que são isometrias, movimentos que preservam distâncias e ângulos. Não estudamos as "não isometrias".
Computação Gráfica - Transformações Geométricas no Plano e no EspaçoTony Alexander Hild
O documento discute transformações geométricas em computação gráfica, incluindo translação, escala e rotação. Explica como matrizes são usadas para representar essas transformações e como elas afetam os pontos e objetos. Também aborda conceitos como sistemas de coordenadas, câmera virtual, frustum e suas implementações em OpenGL.
Este documento fornece um resumo de três frases ou menos do documento sobre Sistemas Dinâmicos Caóticos:
O documento descreve os conceitos fundamentais de sistemas dinâmicos, incluindo equações diferenciais e de diferenças, e como eles podem ser usados para modelar fenômenos na natureza. Também apresenta exemplos de sistemas dinâmicos caóticos como o Mapa Logístico e o Conjunto de Mandelbrot, demonstrando comportamentos complexos como bifurcações e atratores estranhos
O documento discute o conceito de lugar geométrico das raízes (LGR), que representa graficamente os pólos de malha fechada de um sistema para diferentes valores do ganho K. Explica como construir o LGR a partir dos pólos e zeros da função de transferência de malha aberta, determinando quais partes do eixo real pertencem ao LGR, quantos ramos existem e onde estes terminam. Também aborda como determinar pontos de separação dos ramos e quando o sistema atravessa o eixo imaginário.
O documento introduz o conceito de derivada como sendo a taxa de variação instantânea de uma função. Explica que a derivada é calculada como o limite do coeficiente angular de uma reta secante quando a distância entre os pontos em que ela intercepta a função tende a zero. Apresenta aplicações como calcular tangentes, valores mínimos e máximos, e comportamento de ondas estacionárias.
Uma figura pode ser transformada por rotação centrando-se em um ponto e girando a figura um determinado ângulo no sentido horário ou anti-horário. O documento descreve como rotacionar um ponto B em torno de um ponto O 60 graus no sentido anti-horário, resultando no novo ponto B'.
O documento discute isometrias geométricas, especificamente rotações. Define rotação como uma isometria caracterizada por um centro de rotação e um ângulo de rotação. Fornece exemplos de exercícios envolvendo identificar centros e ângulos de rotação em figuras geométricas e determinar imagens de objetos sob rotações.
Este documento descreve métodos auxiliares utilizados em geometria descritiva, incluindo mudança de planos, rotações e rebatimentos. A mudança de planos substitui um plano de projeção por outro para colocar elementos geométricos em posições mais convenientes. As rotações giram figuras em torno de eixos verticais ou de topo. Estes métodos auxiliares são usados para resolver problemas métricos e associados a retas de perfil.
Este documento discute os conceitos de isometrias e não isometrias na geometria. Ele fornece exemplos de translações, rotações e reflexões, que são isometrias, movimentos que preservam distâncias e ângulos. Não estudamos as "não isometrias".
Cybernetics, human-in-the-loop and probabilistic modelling for recommender sy...Eliezer Silva
Talk presented at BRAIN NTNU event
https://brainntnu.no/portfolio/brain-talks-big-data2-2/
Blog post about the talk https://brainntnu.no/2019/02/05/society-of-minds/
Reflections about cybernetics, bias in recommender systems and future of AI
Content-Based Social Recommendation with Poisson Matrix Factorization (ECML-P...Eliezer Silva
Presentation from ECML-PKDD 2017 of joint work with my supervisors Helge Langseth and Heri Ramampiaro, about a Poisson factorization model for recommendations that integrates topic models in the items set and social connections between users.
code: https://github.com/zehsilva/poissonmf_cs
preprint version: https://inajourney.files.wordpress.com/2012/11/poissonmf_cs.pdf
Probabilistic Matrix Factorization (extensions of models)Eliezer Silva
Self-study course: approximate and scalable inference for complex probabilistic models in recommender systems.
part 1: models and representations
session 2:
- adding trust/side information
- Bayesian extensions
- poisson models (with trust and social network information)
- Latent Gaussian Models
Cybernetics, human-in-the-loop and probabilistic modelling for recommender sy...Eliezer Silva
Talk presented at BRAIN NTNU event
https://brainntnu.no/portfolio/brain-talks-big-data2-2/
Blog post about the talk https://brainntnu.no/2019/02/05/society-of-minds/
Reflections about cybernetics, bias in recommender systems and future of AI
Content-Based Social Recommendation with Poisson Matrix Factorization (ECML-P...Eliezer Silva
Presentation from ECML-PKDD 2017 of joint work with my supervisors Helge Langseth and Heri Ramampiaro, about a Poisson factorization model for recommendations that integrates topic models in the items set and social connections between users.
code: https://github.com/zehsilva/poissonmf_cs
preprint version: https://inajourney.files.wordpress.com/2012/11/poissonmf_cs.pdf
Probabilistic Matrix Factorization (extensions of models)Eliezer Silva
Self-study course: approximate and scalable inference for complex probabilistic models in recommender systems.
part 1: models and representations
session 2:
- adding trust/side information
- Bayesian extensions
- poisson models (with trust and social network information)
- Latent Gaussian Models
1. Computação Gráfica
prof. Edilson Aguiar
Universidade Federal do Espírito Santo
Centro Universitário Norte do Espírito Santo
Eliezer de Souza da Silva
2. Visualização de objetos 3D.
Animação (key framing):
• Computador faz a interpolação entre os key frames.
Translações podem ser feitas com interpolação linear ou
splines.splines.
Rotações são mais complicadas.
Problema: que estrutura matemática
captura de maneira ideal operações de
rotação no espaço, facilitando a
implementação computacional?
3. Teorema de Euler [2,3]:
• “Dados dois pontos no espaço existe um eixo no espaço e um ângulo
de rotação que leva um ponto ao outro” ou “o movimento de um corpo
rígido no espaço com um ponto fixo é uma rotação”.
5. Ângulos de Euler utilizando matriz de
rotação: parametrização do espaço
através de três eixos de rotação.
• Esta parametrização é ambígua.• Esta parametrização é ambígua.
Quaternions: encapsula diretamente o
Teorema de Euler.
6. Euler utilizou inicialmente para resolver as equações
de movimento (separação de variáveis) [1].
• Pressuposto: o espaço de rotações pode ser totalmente
parametrizado por três operações de rotação em eixos
perpendiculares.
8. Implementação das rotações associadas a
cada eixo através de uma matriz de rotação.
• Coordenadas homogêneas: permite a
representação de transformações afins na forma
matricial (possibilita a composição de rotações e
outras operações afins naturalmente).outras operações afins naturalmente).
9. Desvantagens:
• A escolha dos eixos é arbitrária e existem diversas
possibilidades de multiplicação das matrizes de rotação e
nem todas são geometricamente intuitivas.
• A representação do espaço de rotações através de
ângulos de Euler é ambígua (problema inverso não é
bem formulado – rotação gerada por diferentes triplas de
ângulos de Euler).ângulos de Euler).
• Gimball-Lock: degeneração dos graus de liberdade.
• A interpolação não é boa, nem fácil (cada eixo é
interpolado de modo independente).
Vantagens:
• Matemática das matrizes é bem conhecida e estudada,
além de ter bastante implementações.
• Coordenadas homogêneas permite representação de
todas as transformações afins básicas
10. Trata-se de uma álgebra descoberta por
Sir Willian Hamilton como uma
generalização dos complexos para
espaços de ordens maiores.espaços de ordens maiores.
11. Espaço de Rotações do R3: SO(3) (Matrizes Ortonormais)
Espaço da esfera unitária de quaternions S3 tem um
mapeamente 2 por 1 em SO(3). (q e –q correspondem ao
mesmo ponto)[1,2]
Utilizando a esfera unitária obtemos diretamente a fórmula
de Rodrigues.
Temos uma implementação direta de uma rotação de p em θ
graus ao longo do eixo v utilizando quaternions.
12. Spherical Linear Interpolation [1]:
• Não-comutativo.
• Velocidade constante na esfera.
• Geodésico (Torque mínimo).• Geodésico (Torque mínimo).
13. É ótimo somente entre dois pontos [1,2]
• Shoemake sugere um esquema parecido com a geração
de curvas de Bezier sobre a superfície da esfera.
14. Squad (Spherical Spline Quaternion Interpolation)
[2]
Nlerp (Normalized Quaternion Slerp):
• Comutativo, geodésico, mas não tem velocidade constante.
15. Quaternions apresentam problemas caso eu
tenho que ser derivado (controle
diferencial, ou otimizador, por exemplo).
• D(q) pertence ao plano tangente à esfera unitária.• D(q) pertence ao plano tangente à esfera unitária.
Preciso controlar para impedir que ele “saia”.[4]
Mapas exponenciais:
• Sabemos onde se encontram as singularidades
(evitamos-as)[4].
• R3 → S3 ; S3 → SO(3)
• Inverso: log map
16. Representação de rotações:
• Quaternion é superior a ângulos de Euler.
• Mapas Exponenciais podem ser alternativas em
outras situações.outras situações.
Interpolações
commutativ
e
constant
velocity
torque-
minimal
quaternion
slerp
No! Yes Yes
quaternion
nlerp
Yes No! Yes
log-
quaternion
lerp
Yes Yes No!
17. [1] SHOEMAKE, K. Animating Rotations with Quaternion Curves. Computer Graphics
(SIGGRAPH ’85 Proceedings), volume 19, pages 245-254, July 1985.
[2] DAM, E.B; KOCH, M. and LILLHOLM, M. Quaternions,Interpolation and
Animation.Technical Report DIKU-TR-98/5. University of Copenhagen. 1998.
Denmark.
[3] GOLDSTEIN, H; POOLE, C; SAFKO, J. Classical Mechanics, 3rd Edition.
Addison-Wesley. 2000. New York.
[4] GRASSIA,F.S. Practical parameterization of rotations using the exponential map,[4] GRASSIA,F.S. Practical parameterization of rotations using the exponential map,
Journal of GraphicsTools, volume 3.3, 1998. Disponível em
http://graphics.snu.ac.kr/OpenGL2003/10(1112)/expmap.pdf (31/05/2011)
[5]VINCE, J. RotationTransforms For Computer Graphics. Springer-Verlag. London (UK).
2011.
[6]ANGEL, E. Interactive Computer Graphics –ATop Down Approach Using
OpenGL, 3rd Edition.Addison-Wesley. 2003.
[7] Jonathan Blow. Understanding Slerp,Then Not Using It.Disponível em
http://number-
none.com/product/Understanding%20Slerp,%20Then%20Not%20Using%20It