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Portas logicas eletrônica. tudo sobre funções

O documento oferece uma introdução à álgebra de Boole, abordando funções lógicas e portas lógicas, com ênfase na sua aplicação na análise e projeto de circuitos digitais. Discute os princípios fundamentais, como as operações AND, OR e NOT, suas representações matemáticas, tabelas verdade e circuitos correspondentes. O documento também explora a evolução histórica da eletrônica, desde sistemas analógicos até a eletrônica digital.

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José Augusto Baranauskas Departamento de Computação e Matemática – FFCLRP-USP augusto@usp.br http://dcm.fmrp.usp.br/~augusto Funções Lógicas e Portas Lógicas Nesta apresentação será fornecida uma introdução ao sistema matemático de análise de circuitos lógicos, conhecido como Álgebra de Boole Serão vistos os blocos básicos e suas equivalências
2 Histórico Em meados do século XIX o matemático inglês George Boole desenvolveu um sistema matemático de análise lógica Em meados do século XX, o americano Claude Elwood Shannon sugeriu que a Álgebra Booleana poderia ser usada para análise e projeto de circuitos de comutação George Boole (1815-1864) Claude Elwood Shannon (1916-2001)
3 Histórico Nos primórdios da eletrônica, todos os problemas eram solucionados por meio de sistemas analógicos Com o avanço da tecnologia, os problemas passaram a ser solucionados pela eletrônica digital Na eletrônica digital, os sistemas (computadores, processadores de dados, sistemas de controle, codificadores, decodificadores, etc) empregam um pequeno grupo de circuitos lógicos básicos, que são conhecidos como portas e, ou, não e flip-flop Com a utilização adequadas dessas portas é possível implementar todas as expressões geradas pela álgebra de Boole
4 Álgebra Booleana Na álgebra de Boole, há somente dois estados (valores ou símbolos) permitidos Estado 0 (zero) Estado 1 (um) Em geral O estado zero representa não, falso, aparelho desligado, ausência de tensão, chave elétrica desligada, etc O estado um representa sim, verdadeiro, aparelho ligado, presença de tensão, chave ligada, etc
5 Álgebra Booleana Assim, na álgebra booleana, se representarmos por 0 uma situação, a situação contrária é representada por 1 Portanto, em qualquer bloco (porta ou função) lógico somente esses dois estados (0 ou 1) são permitidos em suas entradas e saídas Uma variável booleana também só assume um dos dois estados permitidos (0 ou 1)
6 Álgebra Booleana Nesta apresentação trataremos dos seguintes blocos lógicos E (AND) OU (OR) NÃO (NOT) NÃO E (NAND) NÃO OU (NOR) OU EXCLUSIVO (XOR) Após, veremos a correspondência entre expressões, circuitos e tabelas verdade Por último, veremos a equivalência entre blocos lógicos
7 Função E (AND) Executa a multiplicação (conjunção) booleana de duas ou mais variáveis binárias Por exemplo, assuma a convenção no circuito Chave aberta = 0; Chave fechada = 1 Lâmpada apagada = 0; Lâmpada acesa = 1 A B
8 Função E (AND) Situações possíveis: A=0 B=0 S=0 A=1 B=0 S=0 A=0 B=1 S=0 A=1 B=1 S=1
9 Função E (AND) Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B aberta (B=0), não haverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S=0) Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B aberta (B=0), não haverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S=0) Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B fechada (B=1), não haverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S=0) Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B fechada (B=1), haverá circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) Observando todas as quatro situações possíveis (interpretações), é possível concluir que a lâmpada fica acesa somente quando as chaves A e B estiverem simultaneamente fechadas (A=1 e B=1)
10 Função E (AND) Para representar a expressão S = A e B Adotaremos a representação S = A.B, onde se lê S = A e B Porém, existem notações alternativas S = A & B S = A, B S = A ∧ B
11 Tabela Verdade A tabela verdade é um mapa onde são colocadas todas as possíveis interpretações (situações), com seus respectivos resultados para uma expressão booleana qualquer Como visto no exemplo anterior, para 2 variáveis booleanas (A e B), há 4 interpretações possíveis Em geral, para N variáveis booleanas de entrada, há 2N interpretações possíveis
12 Tabela Verdade da Função E (AND) A B A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
13 Porta Lógica E (AND) A porta E é um circuito que executa a função E A porta E executa a tabela verdade da função E Portanto, a saída será 1 somente se ambas as entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída será 0 Representação Entrada A Saída S Entrada B Porta E (AND)
14 Porta Lógica E (AND) A B S=A.B A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
15 Porta Lógica E (AND) É possível estender o conceito de uma porta E para um número qualquer de variáveis de entrada Nesse caso, temos uma porta E com N entradas e somente uma saída A saída será 1 se e somente se as N entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída será 0 A B S=A.B.C…NC N …
16 Porta Lógica E (AND) Por exemplo, S=A.B.C.D A B S=A.B.C.D C D A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
17 Função OU (OR) Executa a soma (disjunção) booleana de duas ou mais variáveis binárias Por exemplo, assuma a convenção no circuito Chave aberta = 0; Chave fechada = 1 Lâmpada apagada = 0; Lâmpada acesa = 1 B A
18 Função OU (OR) S=0 B=0 A=0 S=1 B=1 A=1 S=1 B=0 A=1 S=1 B=1 A=0
19 Função OU (OR) Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B aberta (B=0), não haverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S=0) Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B aberta (B=0), haverá circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B fechada (B=1), haverá circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B fechada (B=1), haverá circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) Observando todas as quatro situações possíveis, é possível concluir que a lâmpada fica acesa somente quando a chave A ou a chave B ou ambas estiverem fechadas
20 Função OU (OR) Para representar a expressão S = A ou B Adotaremos a representação S = A+B, onde se lê S = A ou B Porém, existem notações alternativas S = A | B S = A; B S = A ∨ B
21 Tabela Verdade da Função OU (OR) Observe que, no sistema de numeração binário, a soma 1+1=10 Na álgebra booleana, 1+1=1, já que somente dois valores são permitidos (0 e 1) A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
22 Porta Lógica OU (OR) A porta OU é um circuito que executa a função OU A porta OU executa a tabela verdade da função OU Portanto, a saída será 0 somente se ambas as entradas forem iguais a 0; nos demais casos, a saída será 1 Representação Entrada A Saída S Entrada B Porta OU (OR) Entrada A Saída S Entrada B
23 Porta Lógica OU (OR) A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B S=A+B
24 Porta Lógica OU (OR) É possível estender o conceito de uma porta OU para um número qualquer de variáveis de entrada Nesse caso, temos uma porta OU com N entradas e somente uma saída A saída será 0 se e somente se as N entradas forem iguais a 0; nos demais casos, a saída será 1 A B S=A+B+C+…+N C N …
25 Porta Lógica OU (OR) Por exemplo, S=A+B+C+D A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 A B S=A+B+C+D C D
26 Função NÃO (NOT) Executa o complemento (negação) de uma variável binária Se a variável estiver em 0, o resultado da função é 1 Se a variável estiver em 1, o resultado da função é 0 Essa função também é chamada de inversora
27 Função NÃO (NOT) Usando as mesmas convenções dos circuitos anteriores, tem-se que: Quando a chave A está aberta (A=0), passará corrente pela lâmpada e ela acenderá (S=1) Quando a chave A está fechada (A=1), a lâmpada estará em curto-circuito e não passará corrente por ela, ficando apagada (S=0) S=1 A=0 S=0 A=1
28 Função NÃO (NOT) Para representar a expressão S = não A Adotaremos a representação S = Ā, onde se lê S = não A Notações alternativas S = A’ S = ¬ A S = Ã Tabela verdade da função NÃO (NOT) A Ā 0 1 1 0
29 Porta Lógica NÃO (NOT) A porta lógica NÃO, ou inversor, é o circuito que executa a função NÃO O inversor executa a tabela verdade da função NÃO Se a entrada for 0, a saída será 1; se a entrada for 1, a saída será 0 Representação Entrada A Saída S Porta NÃO (NOT) Após um bloco lógico Antes de um bloco lógico Alternativamente,
30 Porta Lógica NÃO (NOT) 0 1 A S=Ā A S=Ā 0 1 1 0 1 0 A S=Ā 0 1 1 0
31 Função NÃO E (NAND) Composição da função E com a função NÃO, ou seja, a saída da função E é invertida S = (A.B) = A.B = (A.B)’ = ¬(A.B) Tabela verdade A B S=A.B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
32 Porta NÃO E (NAND) A porta NÃO E (NE) é o bloco lógico que executa a função NÃO E, ou seja, sua tabela verdade Representação A B S=A.B A B S=A.B
33 Porta NÃO E (NAND) Como a porta E, a porta NÃO E pode ter duas ou mais entradas Nesse caso, temos uma porta NÃO E com N entradas e somente uma saída A saída será 0 se e somente se as N entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída será 1 A B S=A.B.C…NC N …
34 Função NÃO OU (NOR) Composição da função OU com a função NÃO, ou seja, a saída da função OU é invertida S = (A+B) = A+B = (A+B)’ = ¬(A+B) Tabela verdade A B S=A+B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
35 Porta NÃO OU (NOR) A porta NÃO OU (NOU) é o bloco lógico que executa a função NÃO OU, ou seja, sua tabela verdade Representação A B S=A+B S=A+B A B
36 Porta NÃO OU (NOR) Como a porta OU, a porta NÃO OU pode ter duas ou mais entradas Nesse caso, temos uma porta NÃO OU com N entradas e somente uma saída A saída será 1 se e somente se as N entradas forem iguais a 0; nos demais casos, a saída será 0 A B S=A+B+C+…+N C N …
37 Função OU Exclusivo (XOR) A função OU Exclusivo fornece 1 na saída quando as entradas forem diferentes entre si e 0 caso contrário S = A ⊕ B = Ā.B + A. Tabela verdade A B S=A⊕B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
38 Porta OU Exclusivo (XOR) como Bloco Básico A B S=A⊕B⊕ A B S=A⊕B| Simbologia adotada Outros símbolos utilizados A B S=A⊕B
39 Porta OU Exclusivo (XOR) como Circuito Combinacional A B S=A⊕B
41 Resumo dos Blocos Lógicos Básicos Nome Símbolo Gráfico Função Algébrica Tabela Verdade E (AND) S=A.B S=AB OU (OR) S=A+B NÃO (NOT) Inversor S=Ā S=A’ S= ¬ A NE (NAND) S=A.B S=(A.B)’ S= ¬(A.B) NOU (NOR) S=A+B S=(A+B)’ S= ¬(A+B) XOR S=A⊕B A B S=A.B A B S=A+B A S=Ā A B S=A.B A B S=A+B A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A S=Ā 0 1 1 0 A B S=A⊕B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B S=A.B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B S=A+B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 A B S=A⊕B
42 Correspondência entre expressões, circuitos e tabelas verdade Todo circuito lógico executa uma expressão booleana Um circuito, por mais complexo que seja, é composto pela interligação dos blocos lógicos básicos Veremos, a seguir, como obter as expressões booleanas geradas por um circuito lógico
43 Expressões Booleanas Geradas por Circuitos Lógicos Seja o circuito: A B S C
44 Expressões Booleanas Geradas por Circuitos Lógicos Vamos dividi-lo em duas partes (1) e (2) No circuito (1), a saída S1 contém o produto A.B, já que o bloco é uma porta E Portanto, S1 = A.B A B S C (1) (2) S1
45 Expressões Booleanas Geradas por Circuitos Lógicos No circuito (2), note que a saída S1 é utilizada como uma das entradas da porta OU A outra entrada da porta OU corresponde à variável C, o que nos leva à: S = S1 + C A B S=S1+C C (1) (2) S1=A.B
46 Expressões Booleanas Geradas por Circuitos Lógicos Para obter a expressão final em relação às entradas A, B e C basta substituir a expressão S1 na expressão de S, ou seja: (1) S1 = A.B (2) S = S1 + C Obtém-se S = S1 + C = (A.B) + C A B S=S1+C C (1) (2) S1=A.B
47 Expressões Booleanas Geradas por Circuitos Lógicos Portanto, a expressão que o circuito executa é: S = (A.B) + C = A.B + C A B S=A.B+C C (2) A.B
48 Exercício Escreva a expressão booleana executada pelo circuito S A B C D
49 Solução S=(A+B).(C+D) A B C D (A+B) (C+D)
50 Exercício Determinar a expressão booleana característica do circuito A B SC D
51 Solução A B S=(A.B)+C+(C.D) C D (A.B) C (C.D)
52 Circuitos Gerados por Expressões Booleanas Até o momento, vimos como obter uma expressão característica a partir de um circuito Também é possível obter um circuito lógico, dada uma expressão booleana Nesse caso, como na aritmética elementar, parênteses têm maior prioridade, seguidos pela multiplicação (função E) e, por último, pela soma (função OU)
53 Circuitos Gerados por Expressões Booleanas Seja a expressão S = (A+B).C.(B+D) Vamos separar as subfórmulas da expressão, ou seja: S = (A+B) . C . (B+D)
54 Circuitos Gerados por Expressões Booleanas Seja a expressão S = (A+B).C.(B+D) Vamos separar as subfórmulas da expressão, ou seja: S = (A+B) . C . (B+D) Dentro do primeiro parêntese temos a soma booleana S1=(A+B), portanto o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU Dentro do segundo parêntese temos a soma booleana S2=(B+D). Novamente, o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU A B S1=(A+B) B D S2=(B+D)
55 Circuitos Gerados por Expressões Booleanas Seja a expressão S = (A+B).C.(B+D) Vamos separar as subfórmulas da expressão, ou seja: S = (A+B) . C . (B+D) Dentro do primeiro parêntese temos a soma booleana S1=(A+B), portanto o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU Dentro do segundo parêntese temos a soma booleana S2=(B+D). Novamente, o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU Portanto, temos: S = S1 . C . S2 Agora temos uma multiplicação booleana e o circuito que a executa é uma porta E A B S1=(A+B) B D S2=(B+D) S1 C S S2
56 Circuitos Gerados por Expressões Booleanas O circuito completo é: A B S1=(A+B) D S2=(B+D) C S = (A+B).C.(B+D)
57 Exercício Desenhe o circuito lógico que executa a seguinte expressão booleana S = (A.B.C) + (A+B).C
58 Solução É importante lembrar que as entradas que representam a mesma variável estão interligadas Contudo o desenho sem interligações facilita a interpretação do circuito A B A B (A+B).C C C A+B S=(A.B.C)+(A+B).C A.B.C
59 Exercício Desenhe o circuito lógico cuja expressão característica é S = (A.B + C.D)’
60 Solução A B A.B D C.D S=((A.B)+(C.D))’ C
61 Expressões ou Circuitos representados por Tabelas Verdade Uma forma de estudar uma função booleana consiste em utilizar sua tabela verdade Como visto anteriormente, há uma equivalência entre o circuito lógico e sua expressão característica Podemos obter um circuito a partir de sua expressão Podemos obter expressões a partir dos circuitos Uma tabela verdade representa o comportamento tanto do circuito como de sua expressão característica
62 Como obter a Tabela Verdade a partir de uma Expressão Colocar todas as possibilidades (interpretações) para as variáveis de entrada Lembrar que para N variáveis, há 2N possibilidades Adicionar colunas para cada subfórmula da expressão Preencher cada coluna com seus resultados Adicionar uma coluna para o resultado final Preencher essa coluna com o resultado final
63 Exemplo Considere a expressão S = A.B.C + A.D + A.B.D Como há 4 variáveis de entrada (A, B, C, D), há 24=16 interpretações Variação 1 zero, 1 um A B C D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
64 Exemplo Considere a expressão S = A.B.C + A.D + A.B.D Como há 4 variáveis de entrada (A, B, C, D), há 24=16 interpretações Variação 1 zero, 1 um Variação 2 zeros, 2 um A B C D 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1
65 Exemplo Considere a expressão S = A.B.C + A.D + A.B.D Como há 4 variáveis de entrada (A, B, C, D), há 24=16 interpretações Variação 1 zero, 1 um Variação 2 zeros, 2 um Variação 4 zeros, 4 um A B C D 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
66 Exemplo Considere a expressão S = A.B.C + A.D + A.B.D Como há 4 variáveis de entrada (A, B, C, D), há 24=16 interpretações Variação 1 zero, 1 um Variação 2 zeros, 2 um Variação 4 zeros, 4 um Variação 8 zeros, 8 um A B C D 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
67 Exemplo S = A.B.C + A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
68 Exemplo S = A.B.C + A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
69 Exemplo S = A.B.C + A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
70 Exemplo S = A.B.C + A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
71 Exemplo S = A.B.C + A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
72 Exemplo S = A.B.C + A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1
73 Exemplo S = A.B.C + A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
74 Exemplo S = A.B.C + A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado Por último, preencher a coluna do resultado final A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
75 Exemplo S = A.B.C + A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado Por último, preencher a coluna do resultado final A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
76 Exercício Encontre a tabela verdade da expressão S = Ā+B+A.B.C’
77 Exercício Encontre a tabela verdade da expressão S = Ā+B+A.B.C’ A B C Ā C’ A.B.C’ S 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
78 Solução Encontre a tabela verdade da expressão S = Ā+B+A.B.C’ A B C Ā C’ A.B.C’ S 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1
79 Exercício Montar a tabela verdade da expressão S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’
80 Exercício Montar a tabela verdade da expressão S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’ A B C A’ B’ C’ A.B.C A.B’.C A’.B’.C A’.B’.C’ S 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
81 Solução Montar a tabela verdade da expressão S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’ A B C A’ B’ C’ A.B.C A.B’.C A’.B’.C A’.B’.C’ S 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
82 Equivalência de Expressões Booleanas por Tabela Verdade Sejam S1 e S2 duas expressões booleanas S1 e S2 são equivalentes se e somente se para todas as interpretações possíveis (linhas) na tabela verdade ocorre S1=S2 Se S1≠S2 em pelo menos uma interpretação, então S1 e S2 não são equivalentes
83 Exercício Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = A S2 = A.(A+B) A B A+B S1 S2 0 0 0 1 1 0 1 1
84 Solução Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = A S2 = A.(A+B) Como S1=S2 em todas as interpretações possíveis na tabela verdade, as expressões são equivalentes A.(A+B) = A Como veremos mais adiante, esta é uma propriedade, conhecida como absorção A B A+B S1 S2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
85 Exercício Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1, S2, S3 são equivalentes entre si S1 = A S2 = A.(1 + B) S3 = A + A.B A B 1+B A.B S1 S2 S3 0 0 0 1 1 0 1 1
86 Solução Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1, S2, S3 são equivalentes entre si S1 = A S2 = A.(1 + B) S3 = A + A.B Como S1=S2=S3 em todas as interpretações possíveis na tabela verdade, as expressões são equivalentes A + A.B = A.(1+B) = A Como veremos mais adiante, esta é uma propriedade, conhecida como absorção A B 1+B A.B S1 S2 S3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
87 Exercício Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = A.(B + C) S2 = A.B + A.C A B C B+C A.B A.C S1 S2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
88 Solução Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = A.(B + C) S2 = A.B + A.C Como S1=S2 em todas as interpretações possíveis na tabela verdade, as expressões são equivalentes A.(B + C) = A.B + A.C Como veremos mais adiante, esta é a propriedade distributiva da multiplicação booleana A B C B+C A.B A.C S1 S2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
89 Exercício Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = A+(B.C) S2 = (A+B) . (A+C) A B C B.C A+B A+C S1 S2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
90 Solução Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = A+(B.C) S2 = (A+B) . (A+C) Como S1=S2 em todas as interpretações possíveis na tabela verdade, as expressões são equivalentes A+(B.C) = (A+B) . (A+C) Como veremos mais adiante, esta é a propriedade distributiva da adição booleana A B C B.C A+B A+C S1 S2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
91 Exercício Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = (Ā. ) S2 = (A.B)’ A B A’ B’ A.B S1 S2 0 0 0 1 1 0 1 1
92 Solução Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = (Ā. ) S2 = (A.B)’ Como S1≠S2 em pelo menos uma interpretação (de fato, em 2 das 4 possíveis) na tabela verdade, as expressões não são equivalentes Portanto, (Ā. ) ≠ (A.B)’ A B A’ B’ A.B S1 S2 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0
93 Resumo de Algumas Propriedades provadas por Tabelas Verdade Absorção A + (A.B) = A A . (A+B) = A Distributiva A.(B+C) = A.B + A.C A+(B.C) = (A+B) . (A+C)
94 Obtendo a Tabela Verdade a partir de um Circuito De forma análoga, é possível estudar o comportamento de um circuito por meio da sua tabela verdade Dado um circuito, é necessário extrair sua expressão característica; a partir dela é possível montar a tabela verdade correspondente
95 Exemplo A partir do circuito: S A B B C
96 Exemplo A partir do circuito: Extraímos sua expressão característica S = (A+B) . (B.C) S=(A+B).(B.C)’ A B B C (A+B) (B.C)’
97 Exemplo A partir da expressão S = (A+B) . (B.C) Obtém-se a tabela verdade, como anteriormente explicado A B C A+B B.C (B.C)’ S 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
98 Equivalência de Blocos Lógicos Qualquer bloco lógico básico pode ser obtido utilizando outro bloco qualquer e inversores Inversores podem ser obtidos a partir de portas NAND e NOR Veremos a seguir essas equivalências entre determinados blocos Tais equivalências podem ser provadas pela tabelas verdades correspondentes da seguinte forma Seja S1 a expressão característica do primeiro bloco B1 Seja S2 a expressão característica do segundo bloco B2 Se para todas as interpretações possíveis de B1 e B2, sempre ocorrer que S1=S2, então B1 é equivalente a B2
99 Inversor a partir de porta NAND Inversor Ao interligar as entradas de uma porta NAND, obtém-se um inversor A S=Ā A B S=Ā A S 0 1 1 0 A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B S=A.B A B S 0 0 1 1 1 0 Note que, para cada interpretação possível, os resultados são equivalentes
100 Inversor a partir de porta NOR Inversor Ao interligar as entradas de uma porta NOR, obtém-se um inversor A S=Ā A S 0 1 1 0 A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 A B S 0 0 1 1 1 0 A B S=Ā A B S=A+B
101 Porta NOU a partir de porta E e inversores Porta NOUPorta E e inversores A B Ā A B S A B S=A+B A B Ā S 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 A B S=A+B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
102 Equivalência de Blocos Lógicos De maneira similar, a equivalência entre os blocos mostrados a seguir pode ser verificada
103 Blocos Lógicos Equivalentes Nome Bloco Lógico Bloco Equivalente AND NAND OR NOR A B S=A.B A B S=A+B A B S=A.B A B S=A+B A B S=Ā. A B S=(Ā+ ) A B S=Ā+ A B S=(Ā. )
104 Exercício Prove, usando tabela verdade, que os seguintes blocos lógicos são equivalentes A B S1=A+B A B S2=(Ā. )
105 Solução A B Ā Ā. S1= A+B S2= Ā. 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 A B S1=A+B A B S2=(Ā. ) ≡
106 Copyright© Apresentação 2012 por José Augusto Baranauskas Universidade de São Paulo Professores são convidados a utilizarem esta apresentação da maneira que lhes for conveniente, desde que esta nota de copyright permaneça intacta. Slides baseados em: Idoeta, I.V. & Capuano, F.G.; Elementos de Eletrônica Digital, 12ª. edição, Érica, 1987. E. Mendelson; Álgebra booleana e circuitos de chaveamento, McGraw-Hill, 1977.

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Portas Lógicas
porGuilherme Donizetti
 
Algebra booleana-2995-kybded (1)
porescola e.b.2,3/S pintor josé de brito
 

Portas logicas eletrônica. tudo sobre funções

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    José Augusto Baranauskas Departamentode Computação e Matemática – FFCLRP-USP augusto@usp.br http://dcm.fmrp.usp.br/~augusto Funções Lógicas e Portas Lógicas Nesta apresentação será fornecida uma introdução ao sistema matemático de análise de circuitos lógicos, conhecido como Álgebra de Boole Serão vistos os blocos básicos e suas equivalências
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    2 Histórico Em meados doséculo XIX o matemático inglês George Boole desenvolveu um sistema matemático de análise lógica Em meados do século XX, o americano Claude Elwood Shannon sugeriu que a Álgebra Booleana poderia ser usada para análise e projeto de circuitos de comutação George Boole (1815-1864) Claude Elwood Shannon (1916-2001)
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    3 Histórico Nos primórdios daeletrônica, todos os problemas eram solucionados por meio de sistemas analógicos Com o avanço da tecnologia, os problemas passaram a ser solucionados pela eletrônica digital Na eletrônica digital, os sistemas (computadores, processadores de dados, sistemas de controle, codificadores, decodificadores, etc) empregam um pequeno grupo de circuitos lógicos básicos, que são conhecidos como portas e, ou, não e flip-flop Com a utilização adequadas dessas portas é possível implementar todas as expressões geradas pela álgebra de Boole
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    4 Álgebra Booleana Na álgebrade Boole, há somente dois estados (valores ou símbolos) permitidos Estado 0 (zero) Estado 1 (um) Em geral O estado zero representa não, falso, aparelho desligado, ausência de tensão, chave elétrica desligada, etc O estado um representa sim, verdadeiro, aparelho ligado, presença de tensão, chave ligada, etc
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    5 Álgebra Booleana Assim, naálgebra booleana, se representarmos por 0 uma situação, a situação contrária é representada por 1 Portanto, em qualquer bloco (porta ou função) lógico somente esses dois estados (0 ou 1) são permitidos em suas entradas e saídas Uma variável booleana também só assume um dos dois estados permitidos (0 ou 1)
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    6 Álgebra Booleana Nesta apresentaçãotrataremos dos seguintes blocos lógicos E (AND) OU (OR) NÃO (NOT) NÃO E (NAND) NÃO OU (NOR) OU EXCLUSIVO (XOR) Após, veremos a correspondência entre expressões, circuitos e tabelas verdade Por último, veremos a equivalência entre blocos lógicos
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    7 Função E (AND) Executaa multiplicação (conjunção) booleana de duas ou mais variáveis binárias Por exemplo, assuma a convenção no circuito Chave aberta = 0; Chave fechada = 1 Lâmpada apagada = 0; Lâmpada acesa = 1 A B
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    8 Função E (AND) Situaçõespossíveis: A=0 B=0 S=0 A=1 B=0 S=0 A=0 B=1 S=0 A=1 B=1 S=1
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    9 Função E (AND) Sea chave A está aberta (A=0) e a chave B aberta (B=0), não haverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S=0) Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B aberta (B=0), não haverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S=0) Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B fechada (B=1), não haverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S=0) Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B fechada (B=1), haverá circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) Observando todas as quatro situações possíveis (interpretações), é possível concluir que a lâmpada fica acesa somente quando as chaves A e B estiverem simultaneamente fechadas (A=1 e B=1)
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    10 Função E (AND) Pararepresentar a expressão S = A e B Adotaremos a representação S = A.B, onde se lê S = A e B Porém, existem notações alternativas S = A & B S = A, B S = A ∧ B
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    11 Tabela Verdade A tabelaverdade é um mapa onde são colocadas todas as possíveis interpretações (situações), com seus respectivos resultados para uma expressão booleana qualquer Como visto no exemplo anterior, para 2 variáveis booleanas (A e B), há 4 interpretações possíveis Em geral, para N variáveis booleanas de entrada, há 2N interpretações possíveis
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    12 Tabela Verdade daFunção E (AND) A B A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
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    13 Porta Lógica E(AND) A porta E é um circuito que executa a função E A porta E executa a tabela verdade da função E Portanto, a saída será 1 somente se ambas as entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída será 0 Representação Entrada A Saída S Entrada B Porta E (AND)
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    14 Porta Lógica E(AND) A B S=A.B A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
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    15 Porta Lógica E(AND) É possível estender o conceito de uma porta E para um número qualquer de variáveis de entrada Nesse caso, temos uma porta E com N entradas e somente uma saída A saída será 1 se e somente se as N entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída será 0 A B S=A.B.C…NC N …
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    16 Porta Lógica E(AND) Por exemplo, S=A.B.C.D A B S=A.B.C.D C D A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
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    17 Função OU (OR) Executaa soma (disjunção) booleana de duas ou mais variáveis binárias Por exemplo, assuma a convenção no circuito Chave aberta = 0; Chave fechada = 1 Lâmpada apagada = 0; Lâmpada acesa = 1 B A
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    19 Função OU (OR) Sea chave A está aberta (A=0) e a chave B aberta (B=0), não haverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S=0) Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B aberta (B=0), haverá circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B fechada (B=1), haverá circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B fechada (B=1), haverá circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) Observando todas as quatro situações possíveis, é possível concluir que a lâmpada fica acesa somente quando a chave A ou a chave B ou ambas estiverem fechadas
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    20 Função OU (OR) Pararepresentar a expressão S = A ou B Adotaremos a representação S = A+B, onde se lê S = A ou B Porém, existem notações alternativas S = A | B S = A; B S = A ∨ B
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    21 Tabela Verdade daFunção OU (OR) Observe que, no sistema de numeração binário, a soma 1+1=10 Na álgebra booleana, 1+1=1, já que somente dois valores são permitidos (0 e 1) A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
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    22 Porta Lógica OU(OR) A porta OU é um circuito que executa a função OU A porta OU executa a tabela verdade da função OU Portanto, a saída será 0 somente se ambas as entradas forem iguais a 0; nos demais casos, a saída será 1 Representação Entrada A Saída S Entrada B Porta OU (OR) Entrada A Saída S Entrada B
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    23 Porta Lógica OU(OR) A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B S=A+B
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    24 Porta Lógica OU(OR) É possível estender o conceito de uma porta OU para um número qualquer de variáveis de entrada Nesse caso, temos uma porta OU com N entradas e somente uma saída A saída será 0 se e somente se as N entradas forem iguais a 0; nos demais casos, a saída será 1 A B S=A+B+C+…+N C N …
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    25 Porta Lógica OU(OR) Por exemplo, S=A+B+C+D A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 A B S=A+B+C+D C D
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    26 Função NÃO (NOT) Executao complemento (negação) de uma variável binária Se a variável estiver em 0, o resultado da função é 1 Se a variável estiver em 1, o resultado da função é 0 Essa função também é chamada de inversora
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    27 Função NÃO (NOT) Usandoas mesmas convenções dos circuitos anteriores, tem-se que: Quando a chave A está aberta (A=0), passará corrente pela lâmpada e ela acenderá (S=1) Quando a chave A está fechada (A=1), a lâmpada estará em curto-circuito e não passará corrente por ela, ficando apagada (S=0) S=1 A=0 S=0 A=1
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    28 Função NÃO (NOT) Pararepresentar a expressão S = não A Adotaremos a representação S = Ā, onde se lê S = não A Notações alternativas S = A’ S = ¬ A S = Ã Tabela verdade da função NÃO (NOT) A Ā 0 1 1 0
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    29 Porta Lógica NÃO(NOT) A porta lógica NÃO, ou inversor, é o circuito que executa a função NÃO O inversor executa a tabela verdade da função NÃO Se a entrada for 0, a saída será 1; se a entrada for 1, a saída será 0 Representação Entrada A Saída S Porta NÃO (NOT) Após um bloco lógico Antes de um bloco lógico Alternativamente,
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    30 Porta Lógica NÃO(NOT) 0 1 A S=Ā A S=Ā 0 1 1 0 1 0 A S=Ā 0 1 1 0
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    31 Função NÃO E(NAND) Composição da função E com a função NÃO, ou seja, a saída da função E é invertida S = (A.B) = A.B = (A.B)’ = ¬(A.B) Tabela verdade A B S=A.B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
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    32 Porta NÃO E(NAND) A porta NÃO E (NE) é o bloco lógico que executa a função NÃO E, ou seja, sua tabela verdade Representação A B S=A.B A B S=A.B
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    33 Porta NÃO E(NAND) Como a porta E, a porta NÃO E pode ter duas ou mais entradas Nesse caso, temos uma porta NÃO E com N entradas e somente uma saída A saída será 0 se e somente se as N entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída será 1 A B S=A.B.C…NC N …
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    34 Função NÃO OU(NOR) Composição da função OU com a função NÃO, ou seja, a saída da função OU é invertida S = (A+B) = A+B = (A+B)’ = ¬(A+B) Tabela verdade A B S=A+B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
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    35 Porta NÃO OU(NOR) A porta NÃO OU (NOU) é o bloco lógico que executa a função NÃO OU, ou seja, sua tabela verdade Representação A B S=A+B S=A+B A B
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    36 Porta NÃO OU(NOR) Como a porta OU, a porta NÃO OU pode ter duas ou mais entradas Nesse caso, temos uma porta NÃO OU com N entradas e somente uma saída A saída será 1 se e somente se as N entradas forem iguais a 0; nos demais casos, a saída será 0 A B S=A+B+C+…+N C N …
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    37 Função OU Exclusivo(XOR) A função OU Exclusivo fornece 1 na saída quando as entradas forem diferentes entre si e 0 caso contrário S = A ⊕ B = Ā.B + A. Tabela verdade A B S=A⊕B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
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    38 Porta OU Exclusivo(XOR) como Bloco Básico A B S=A⊕B⊕ A B S=A⊕B| Simbologia adotada Outros símbolos utilizados A B S=A⊕B
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    39 Porta OU Exclusivo(XOR) como Circuito Combinacional A B S=A⊕B
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    41 Resumo dos BlocosLógicos Básicos Nome Símbolo Gráfico Função Algébrica Tabela Verdade E (AND) S=A.B S=AB OU (OR) S=A+B NÃO (NOT) Inversor S=Ā S=A’ S= ¬ A NE (NAND) S=A.B S=(A.B)’ S= ¬(A.B) NOU (NOR) S=A+B S=(A+B)’ S= ¬(A+B) XOR S=A⊕B A B S=A.B A B S=A+B A S=Ā A B S=A.B A B S=A+B A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A S=Ā 0 1 1 0 A B S=A⊕B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B S=A.B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B S=A+B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 A B S=A⊕B
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    42 Correspondência entre expressões, circuitose tabelas verdade Todo circuito lógico executa uma expressão booleana Um circuito, por mais complexo que seja, é composto pela interligação dos blocos lógicos básicos Veremos, a seguir, como obter as expressões booleanas geradas por um circuito lógico
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    43 Expressões Booleanas Geradas porCircuitos Lógicos Seja o circuito: A B S C
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    44 Expressões Booleanas Geradas porCircuitos Lógicos Vamos dividi-lo em duas partes (1) e (2) No circuito (1), a saída S1 contém o produto A.B, já que o bloco é uma porta E Portanto, S1 = A.B A B S C (1) (2) S1
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    45 Expressões Booleanas Geradas porCircuitos Lógicos No circuito (2), note que a saída S1 é utilizada como uma das entradas da porta OU A outra entrada da porta OU corresponde à variável C, o que nos leva à: S = S1 + C A B S=S1+C C (1) (2) S1=A.B
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    46 Expressões Booleanas Geradas porCircuitos Lógicos Para obter a expressão final em relação às entradas A, B e C basta substituir a expressão S1 na expressão de S, ou seja: (1) S1 = A.B (2) S = S1 + C Obtém-se S = S1 + C = (A.B) + C A B S=S1+C C (1) (2) S1=A.B
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    47 Expressões Booleanas Geradas porCircuitos Lógicos Portanto, a expressão que o circuito executa é: S = (A.B) + C = A.B + C A B S=A.B+C C (2) A.B
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    48 Exercício Escreva a expressãobooleana executada pelo circuito S A B C D
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    50 Exercício Determinar a expressãobooleana característica do circuito A B SC D
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    52 Circuitos Gerados por ExpressõesBooleanas Até o momento, vimos como obter uma expressão característica a partir de um circuito Também é possível obter um circuito lógico, dada uma expressão booleana Nesse caso, como na aritmética elementar, parênteses têm maior prioridade, seguidos pela multiplicação (função E) e, por último, pela soma (função OU)
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    53 Circuitos Gerados por ExpressõesBooleanas Seja a expressão S = (A+B).C.(B+D) Vamos separar as subfórmulas da expressão, ou seja: S = (A+B) . C . (B+D)
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    54 Circuitos Gerados por ExpressõesBooleanas Seja a expressão S = (A+B).C.(B+D) Vamos separar as subfórmulas da expressão, ou seja: S = (A+B) . C . (B+D) Dentro do primeiro parêntese temos a soma booleana S1=(A+B), portanto o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU Dentro do segundo parêntese temos a soma booleana S2=(B+D). Novamente, o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU A B S1=(A+B) B D S2=(B+D)
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    55 Circuitos Gerados por ExpressõesBooleanas Seja a expressão S = (A+B).C.(B+D) Vamos separar as subfórmulas da expressão, ou seja: S = (A+B) . C . (B+D) Dentro do primeiro parêntese temos a soma booleana S1=(A+B), portanto o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU Dentro do segundo parêntese temos a soma booleana S2=(B+D). Novamente, o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU Portanto, temos: S = S1 . C . S2 Agora temos uma multiplicação booleana e o circuito que a executa é uma porta E A B S1=(A+B) B D S2=(B+D) S1 C S S2
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    56 Circuitos Gerados por ExpressõesBooleanas O circuito completo é: A B S1=(A+B) D S2=(B+D) C S = (A+B).C.(B+D)
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    57 Exercício Desenhe o circuitológico que executa a seguinte expressão booleana S = (A.B.C) + (A+B).C
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    58 Solução É importante lembrarque as entradas que representam a mesma variável estão interligadas Contudo o desenho sem interligações facilita a interpretação do circuito A B A B (A+B).C C C A+B S=(A.B.C)+(A+B).C A.B.C
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    59 Exercício Desenhe o circuitológico cuja expressão característica é S = (A.B + C.D)’
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    61 Expressões ou Circuitos representadospor Tabelas Verdade Uma forma de estudar uma função booleana consiste em utilizar sua tabela verdade Como visto anteriormente, há uma equivalência entre o circuito lógico e sua expressão característica Podemos obter um circuito a partir de sua expressão Podemos obter expressões a partir dos circuitos Uma tabela verdade representa o comportamento tanto do circuito como de sua expressão característica
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    62 Como obter aTabela Verdade a partir de uma Expressão Colocar todas as possibilidades (interpretações) para as variáveis de entrada Lembrar que para N variáveis, há 2N possibilidades Adicionar colunas para cada subfórmula da expressão Preencher cada coluna com seus resultados Adicionar uma coluna para o resultado final Preencher essa coluna com o resultado final
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    63 Exemplo Considere a expressão S= A.B.C + A.D + A.B.D Como há 4 variáveis de entrada (A, B, C, D), há 24=16 interpretações Variação 1 zero, 1 um A B C D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
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    64 Exemplo Considere a expressão S= A.B.C + A.D + A.B.D Como há 4 variáveis de entrada (A, B, C, D), há 24=16 interpretações Variação 1 zero, 1 um Variação 2 zeros, 2 um A B C D 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1
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    65 Exemplo Considere a expressão S= A.B.C + A.D + A.B.D Como há 4 variáveis de entrada (A, B, C, D), há 24=16 interpretações Variação 1 zero, 1 um Variação 2 zeros, 2 um Variação 4 zeros, 4 um A B C D 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
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    66 Exemplo Considere a expressão S= A.B.C + A.D + A.B.D Como há 4 variáveis de entrada (A, B, C, D), há 24=16 interpretações Variação 1 zero, 1 um Variação 2 zeros, 2 um Variação 4 zeros, 4 um Variação 8 zeros, 8 um A B C D 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
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    67 Exemplo S = A.B.C+ A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
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    68 Exemplo S = A.B.C+ A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
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    69 Exemplo S = A.B.C+ A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
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    70 Exemplo S = A.B.C+ A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
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    71 Exemplo S = A.B.C+ A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
  • 71.
    72 Exemplo S = A.B.C+ A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1
  • 72.
    73 Exemplo S = A.B.C+ A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
  • 73.
    74 Exemplo S = A.B.C+ A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado Por último, preencher a coluna do resultado final A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
  • 74.
    75 Exemplo S = A.B.C+ A.D + A.B.D A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna com seu respectivo resultado Por último, preencher a coluna do resultado final A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
  • 75.
    76 Exercício Encontre a tabela verdadeda expressão S = Ā+B+A.B.C’
  • 76.
    77 Exercício Encontre a tabela verdadeda expressão S = Ā+B+A.B.C’ A B C Ā C’ A.B.C’ S 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
  • 77.
    78 Solução Encontre a tabela verdadeda expressão S = Ā+B+A.B.C’ A B C Ā C’ A.B.C’ S 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1
  • 78.
    79 Exercício Montar a tabelaverdade da expressão S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’
  • 79.
    80 Exercício Montar a tabelaverdade da expressão S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’ A B C A’ B’ C’ A.B.C A.B’.C A’.B’.C A’.B’.C’ S 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
  • 80.
    81 Solução Montar a tabelaverdade da expressão S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’ A B C A’ B’ C’ A.B.C A.B’.C A’.B’.C A’.B’.C’ S 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
  • 81.
    82 Equivalência de Expressões Booleanaspor Tabela Verdade Sejam S1 e S2 duas expressões booleanas S1 e S2 são equivalentes se e somente se para todas as interpretações possíveis (linhas) na tabela verdade ocorre S1=S2 Se S1≠S2 em pelo menos uma interpretação, então S1 e S2 não são equivalentes
  • 82.
    83 Exercício Verifique, usando tabela verdade,se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = A S2 = A.(A+B) A B A+B S1 S2 0 0 0 1 1 0 1 1
  • 83.
    84 Solução Verifique, usando tabela verdade,se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = A S2 = A.(A+B) Como S1=S2 em todas as interpretações possíveis na tabela verdade, as expressões são equivalentes A.(A+B) = A Como veremos mais adiante, esta é uma propriedade, conhecida como absorção A B A+B S1 S2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
  • 84.
    85 Exercício Verifique, usando tabela verdade,se as expressões S1, S2, S3 são equivalentes entre si S1 = A S2 = A.(1 + B) S3 = A + A.B A B 1+B A.B S1 S2 S3 0 0 0 1 1 0 1 1
  • 85.
    86 Solução Verifique, usando tabela verdade,se as expressões S1, S2, S3 são equivalentes entre si S1 = A S2 = A.(1 + B) S3 = A + A.B Como S1=S2=S3 em todas as interpretações possíveis na tabela verdade, as expressões são equivalentes A + A.B = A.(1+B) = A Como veremos mais adiante, esta é uma propriedade, conhecida como absorção A B 1+B A.B S1 S2 S3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
  • 86.
    87 Exercício Verifique, usando tabela verdade,se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = A.(B + C) S2 = A.B + A.C A B C B+C A.B A.C S1 S2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
  • 87.
    88 Solução Verifique, usando tabela verdade,se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = A.(B + C) S2 = A.B + A.C Como S1=S2 em todas as interpretações possíveis na tabela verdade, as expressões são equivalentes A.(B + C) = A.B + A.C Como veremos mais adiante, esta é a propriedade distributiva da multiplicação booleana A B C B+C A.B A.C S1 S2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
  • 88.
    89 Exercício Verifique, usando tabela verdade,se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = A+(B.C) S2 = (A+B) . (A+C) A B C B.C A+B A+C S1 S2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
  • 89.
    90 Solução Verifique, usando tabela verdade,se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = A+(B.C) S2 = (A+B) . (A+C) Como S1=S2 em todas as interpretações possíveis na tabela verdade, as expressões são equivalentes A+(B.C) = (A+B) . (A+C) Como veremos mais adiante, esta é a propriedade distributiva da adição booleana A B C B.C A+B A+C S1 S2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
  • 90.
    91 Exercício Verifique, usando tabela verdade,se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = (Ā. ) S2 = (A.B)’ A B A’ B’ A.B S1 S2 0 0 0 1 1 0 1 1
  • 91.
    92 Solução Verifique, usando tabela verdade,se as expressões S1 e S2 são equivalentes S1 = (Ā. ) S2 = (A.B)’ Como S1≠S2 em pelo menos uma interpretação (de fato, em 2 das 4 possíveis) na tabela verdade, as expressões não são equivalentes Portanto, (Ā. ) ≠ (A.B)’ A B A’ B’ A.B S1 S2 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0
  • 92.
    93 Resumo de AlgumasPropriedades provadas por Tabelas Verdade Absorção A + (A.B) = A A . (A+B) = A Distributiva A.(B+C) = A.B + A.C A+(B.C) = (A+B) . (A+C)
  • 93.
    94 Obtendo a TabelaVerdade a partir de um Circuito De forma análoga, é possível estudar o comportamento de um circuito por meio da sua tabela verdade Dado um circuito, é necessário extrair sua expressão característica; a partir dela é possível montar a tabela verdade correspondente
  • 94.
    95 Exemplo A partir docircuito: S A B B C
  • 95.
    96 Exemplo A partir docircuito: Extraímos sua expressão característica S = (A+B) . (B.C) S=(A+B).(B.C)’ A B B C (A+B) (B.C)’
  • 96.
    97 Exemplo A partir daexpressão S = (A+B) . (B.C) Obtém-se a tabela verdade, como anteriormente explicado A B C A+B B.C (B.C)’ S 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
  • 97.
    98 Equivalência de BlocosLógicos Qualquer bloco lógico básico pode ser obtido utilizando outro bloco qualquer e inversores Inversores podem ser obtidos a partir de portas NAND e NOR Veremos a seguir essas equivalências entre determinados blocos Tais equivalências podem ser provadas pela tabelas verdades correspondentes da seguinte forma Seja S1 a expressão característica do primeiro bloco B1 Seja S2 a expressão característica do segundo bloco B2 Se para todas as interpretações possíveis de B1 e B2, sempre ocorrer que S1=S2, então B1 é equivalente a B2
  • 98.
    99 Inversor a partirde porta NAND Inversor Ao interligar as entradas de uma porta NAND, obtém-se um inversor A S=Ā A B S=Ā A S 0 1 1 0 A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B S=A.B A B S 0 0 1 1 1 0 Note que, para cada interpretação possível, os resultados são equivalentes
  • 99.
    100 Inversor a partirde porta NOR Inversor Ao interligar as entradas de uma porta NOR, obtém-se um inversor A S=Ā A S 0 1 1 0 A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 A B S 0 0 1 1 1 0 A B S=Ā A B S=A+B
  • 100.
    101 Porta NOU apartir de porta E e inversores Porta NOUPorta E e inversores A B Ā A B S A B S=A+B A B Ā S 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 A B S=A+B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
  • 101.
    102 Equivalência de BlocosLógicos De maneira similar, a equivalência entre os blocos mostrados a seguir pode ser verificada
  • 102.
    103 Blocos Lógicos Equivalentes NomeBloco Lógico Bloco Equivalente AND NAND OR NOR A B S=A.B A B S=A+B A B S=A.B A B S=A+B A B S=Ā. A B S=(Ā+ ) A B S=Ā+ A B S=(Ā. )
  • 103.
    104 Exercício Prove, usando tabelaverdade, que os seguintes blocos lógicos são equivalentes A B S1=A+B A B S2=(Ā. )
  • 104.
    105 Solução A B ĀĀ. S1= A+B S2= Ā. 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 A B S1=A+B A B S2=(Ā. ) ≡
  • 105.
    106 Copyright© Apresentação 2012por José Augusto Baranauskas Universidade de São Paulo Professores são convidados a utilizarem esta apresentação da maneira que lhes for conveniente, desde que esta nota de copyright permaneça intacta. Slides baseados em: Idoeta, I.V. & Capuano, F.G.; Elementos de Eletrônica Digital, 12ª. edição, Érica, 1987. E. Mendelson; Álgebra booleana e circuitos de chaveamento, McGraw-Hill, 1977.