1) El documento explica las propiedades de los triángulos, incluyendo el Teorema de Pitágoras y cómo calcular el área de triángulos. 2) Se describen las similitudes entre triángulos isósceles y cómo calcular lados y altitudes. 3) Se presentan ejemplos numéricos de cálculos geométricos usando el Teorema de Pitágoras y fórmulas de áreas.

1. SEMEJANZAS
DE TRIÁNGULOS
TEMA 9

2. RECUERDA: ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

4. ÁREA DE UN TRIÁNGULO

5. TEOREMA DE PITAGORAS

7. D o s p r o p i e d a d e s d e i n t e r é s :
C B
A
a
cb
P r i m e r a
E n u n t r i á n g u l o
r e c t á n g u l o l a s u m a d e l o s
á n g u l o s a g u d o s v a l e 9 0 º
9 0 ºBˆAˆ =+
S e g u n d a
L a a l t u r a s o b r e e l l a d o d e s i g u a l
d e u n t r i á n g u l o i s ó s c e l e s l o
d i v i d e e n d o s t r i á n g u l o s
r e c t á n g u l o s i g u a l e s .
A
B CM
B M = M C
CˆBˆ =
L o s t r i á n g u l o s
A B M y A M C
s o n i g u a l e sBˆyAˆ s o n c o m p le m e n t a r i o s

9. P o r t a n t o : 3 2 + 4 2 = 5 2
3
4
C o n s i d e r a m o s u n t r i á n g u l o r e c t á n g u lo d e c a t e t o s 3 y 4 c m
E l á r e a d e l c u a d r a d o
c o n s t r u i d o s o b r e e l
p r i m e r c a t e t o v a l e 9
H a y 3 · 3 = 9
c u a d r a d i t o s
E l á r e a d e l c u a d r a d o
c o n s t r u i d o s o b r e e l
s e g u n d o c a t e t o v a l e 1 6
H a y 4 · 4 = 1 6
c u a d r a d i t o s
H a l l e m o s e l á r e a d e l
c u a d r a d o c o n s t r u i d o
s o b r e l a h i p o t e n u s a .
O b s e r v a :
1 . E l á r e a d e l t r i á n g u l o e s 6
2 . E l c u a d r a d o s o b r e l a
h i p o t e n u s a c o n t i e n e 4
t r i á n g u l o s d e á r e a 6 .
A d e m á s c o n t i e n e u n
c u a d r a d i t o d e á r e a 1 .
3 . S u á r e a t o t a l e s 6 · 4 + 1 = 2 5 .
L u e g o e s u n c u a d r a d o d e l a d o 5

10. C o n s i d e r a m o s u n c u a d r a d o d e 7 c m d e l a d o . S u á r e a s e r á 4 9 c m 2
C u a t r o t r i á n g u l o s
r e c t á n g u lo s d e
c a t e t o s 3 y 4 c m .
C u y a s á r e a s v a l e n
6 c m 2 c a d a u n o .
4
3
7
O b s e r v a q u e e n e s e
c u a d r a d o c a b e n :
A d e m á s c a b e u n
c u a d r a d o d e l a d o c ,
c u y a s u p e r f i c i e e s c 2 .
S e t i e n e p u e s :
4 9 = 4 · 6 + c 2
c 2 = 4 9 - 2 4 = 2 5
c 2 = 2 5 = 5 2
c 2
2 5 c m 2
2 5 = 9 + 1 6
P o r t a n t o , 5 2 = 3 2 + 4 2
6 c m 2
c

11. E n u n t r i á n g u lo r e c t á n g u lo l o s c a t e t o s m i d e n 5 y 1 2 c m , c a l c u l a l a
h i p o t e n u s a .
5
1 2
c ?
C o m o c 2 = a 2 + b 2 s e t i e n e :
c 2 = 5 2 + 1 2 2 = 2 5 + 1 4 4 = 1 6 9 c = 1 3 c m
H a c i e n d o l a
r a í z c u a d r a d a

12. E n u n t r iá n g u lo r e c tá n g u lo u n c a te t o m id e 6 c m y l a h ip o t e n u s a 1 0 c m .
C a l c u la e l v a l o r d e l o t r o c a t e to .
6
a ?
1 0
C o m o c 2 = a 2 + b 2 s e ti e n e :
a 2 = 1 0 2 - 6 2 = 1 0 0 - 3 6 = 6 4
a = 8 c m
a 2 = c 2 - b 2
L u e g o :
H a c ie n d o la r a íz c u a d r a d a :

13. T e n e m o s u n c u a d r a d o d e 7 c m d e l a d o .
L a d i a g o n a l e s l a h i p o t e n u s a
d e u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o
c u y o s c a t e t o s m i d e n 7 c m
c a d a u n o .
L u e g o , d 2 = 4 9 + 4 9 = 9 8
¿ C u á n t o m i d e s u d i a g o n a l?
7
7
d
C u m p l i r á q u e : d 2 = 7 2 + 7 2
9,99 8d ==

14. T e n e m o s u n t r i á n g u lo i s ó s c e l e s c u y o s l a d o s i g u a le s 8 c m , y e l o t r o 6 c m .
L a a l t u r a e s u n
c a t e t o d e u n
t r i á n g u l o r e c t á n g u l o
c u y o h i p o t e n u s a
m i d e n 8 c m y e l o t r o
c a t e t o 3 c m .
L u e g o , 6 4 = 9 + h 2
¿ C u á n t o m i d e s u a l t u r a ?
6
8 C u m p l i r á q u e : 8 2 = 3 2 + h 2
C o m o s e s a b e , l a a l t u r a
e s p e r p e n d i c u la r a l a b a s e y
l a d i v i d e e n d o s p a r t e s
i g u a l e s
h
3 3
h 2 = 5 5
4,75 5h ==
8

15. FIGURAS SEMEJANTES