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1 
Alex Nunes Barbosa Cunha 
Música 
Uma Ferramenta Interdisciplinar Para o Ensino de Matemática 
Monografia apresentada à Universidade do 
Grande Rio “Escola de Ciências, 
Educação, Letras, Artes e Humanidade”, 
como parte dos requisitos parciais para a 
obtenção do grau de licenciatura em 
Matemática. 
Orientador: Prof. Ms. Leandro de Oliveira Pereira 
Duque de Caxias 
Julho / 2011
2 
Alex Nunes Barbosa Cunha 
Música 
Uma Ferramenta Interdisciplinar Para o Ensino de Matemática 
Monografia apresentada à Universidade do 
Grande Rio “Escola de Ciências, 
Educação, Letras, Artes e Humanidade”, 
como parte dos requisitos parciais para a 
obtenção do grau de licenciatura em 
Matemática. 
Aprovada em ________de _____________________ de ________ 
Banca Examinadora
3 
A minha mãe que sempre me deu 
força, ânimo, sua credibilidade e seu orgulho.
4 
AGRADECIMENTOS 
A Deus que me deu forças e sabedoria. 
Aos meus pais que sempre acreditaram no meu potencial. 
Aos meus amigos de um modo geral e especialmente a Guilherme Pereira e Elzilane Silva. 
Aos meus professores que contribuíram diretamente e indiretamente para minha formação 
acadêmica.
5 
“O homem que dedilha Bach ou 
Beethoven dedilha sobre logaritmos.” 
(Prof. Luiz Barco).
6 
RESUMO 
Este estudo é resultado de um desafio que todo professor de matemática enfrenta ao 
iniciar sua carreira profissional quando se depara com um grande grupo de estudantes 
desestimulados em aprender, dificultando o ensino e a aprendizagem dessa disciplina. Este 
trabalho não apresenta uma solução para esse problema mais trás uma ferramenta de trabalho, 
utilizar a música de uma maneira interdisciplinar tornando mais viável, pra o aluno, o 
aprendizado de matemática. Este trabalho trás algumas propostas de como a música pode ser 
utilizado no ensino da matemática, tais como: uma aula, ministrada pelo autor, mostrando a 
aplicação dos logaritmos na música e sugestões de oficinas de Matemática e Música. 
Palavras chave: matemática - música – interdisciplinaridade - ensino
7 
ABSTRACT 
This study is the result of a challenge that faces every teacher of mathematics to begin 
his professional career when faced with a large group of discouraged students in learning, 
making teaching and learning of that discipline. This work does not present a solution to this 
problem back one more tool, using the music of an interdisciplinary way making 
it feasible for the student, the learning of mathematics. This work back some proposals 
for how music can be used in teaching Mathematics, such as a class, taught by the author, 
showing the application of logarithms in music workshops and suggestions of 
Mathematics and Music. 
Keywords: Mathematics - Music - Interdisciplinary - Teaching
8 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 9 
1.1 OBJETIVO ....................................................................................................................... 10 
1.1 O ENSINO DE MÚSICA NAS ESCOLAS .................................................................... 10 
1.2 MATEMÁTICA E MÚSICA........................................................................................... 11 
1.3 - MONOCÓRDIO ............................................................................................................ 12 
1.3.1 AS RELAÇÕES ENCONTRADAS POR PITÁGORAS ........................................... 13 
1.4 CRAVO BEM TEMPERADO ........................................................................................ 15 
1.4.1 AS RELAÇÕES MATEMÁTICAS DENTRO DO CRAVO BEM TEMPERADO 16 
2 FUNDAMENTAÇÕES TEÓRICAS ................................................................................. 18 
2.1 O SOM ............................................................................................................................... 18 
2.2 ALTURA ........................................................................................................................... 19 
2.3 INTENSIDADE ................................................................................................................ 20 
2.4 TIMBRE ............................................................................................................................ 21 
2.5 LOGARITMOS ................................................................................................................ 22 
2.5.1 DEFINIÇÕES DE LOGARITMO ............................................................................... 23 
2.5.2 PROPRIEDADES DO LOGARITMO ........................................................................ 24 
2.5.3 MUDANÇA DE BASE .................................................................................................. 25 
2.6 EQUAÇÃO DA ESCALA MUSICAL TEMPERADA ................................................. 26 
2.6.1 FORMA GENÉRICA ................................................................................................... 27 
5 CONCLUSÃO...................................................................................................................... 29 
6 SUGESTÕES DE TRABALHO FUTURO ....................................................................... 30 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 33
9 
1 Introdução 
A principal função da escola é preparar os alunos para o futuro, para a vida adulta e 
suas responsabilidades, oferecendo-lhe uma Educação como formação do caráter. Uma 
instituição de ensino precisa promover meios para oferecer estes benefícios aos jovens de 
forma a estimulá-los a crescer. Mas existe a possibilidade de o aluno entender a vida 
acadêmica como um processo desagradável e amargo que ele precisa passar para assegurar 
um futuro bem sucedido. 
Os profissionais da educação estão sempre buscando meios de tornar o ambiente 
escolar mais alegre e atrativo para o estudante, pois “propiciar uma alegria que seja vivida no 
presente é a dimensão essencial da pedagogia, e é preciso que os esforços dos alunos sejam 
estimulados, compensados e recompensados por uma alegria que possa ser vivida no 
momento presente” (SNYDERS, 1992, p. 14). 
Uma grande massa de estudantes vive, na sua vida escolar, um desconforto no ensino 
da matemática. Tornar atrativo o aprendizado dos números tem sido um grande desafio para o 
professor dessa disciplina. Como contextualizar o abstrato? Os educadores da área das exatas 
tentam buscar uma solução para esse problema. 
De acordo com os PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais, o papel das Ciências 
Naturais é o de colaborar para a compreensão do mundo e suas transformações, situando o 
homem como indivíduo participante e integrante do Universo. Apesar de os PCN 
apresentarem como proposta o estudo das Ciências Naturais em quatro blocos temáticos 
(Ambiente, Ser humano e Saúde, Recursos tecnológicos, Terra e Universo), estes não se 
encontram dissociados em suas abordagens. Os temas visam facilitar o tratamento
10 
interdisciplinar das Ciências Naturais, considerando-os a partir do contexto social e da 
vivência cultural da comunidade escolar. Partindo do pressuposto que o homem encontra-se 
mergulhado num universo sonoro e que os estudos dos fenômenos acústicos são do domínio 
das Ciências, encontra-se a pertinência do estudo interdisciplinar da Música e das Ciências. 
1.1 Objetivo 
O objetivo deste trabalho é criar mecanismos de ensino de matemática de forma 
contextualizada e interdisciplinar usando a música, fornecendo sugestões de oficinas, 
atividades e montagem de aula. 
Para alcançar o objetivo proposto foram traçadas as seguintes estratégias: 
 Criar uma proposta de aula e aplicar em uma turma. 
 Formular um questionário sobre as concepções trabalhadas em aula. 
 Indicar sugestões de atividades e oficinas de matemática e música. 
1.1 O Ensino de Música nas Escolas 
Em 1971, a música passou a fazer parte de um ensino interdisciplinar, com base no 
artigo 7º da Lei 5692 de 1971. Com esta reforma, a Educação Artística foi introduzida nos 
currículos escolares dos Ensinos Fundamental e Médio, trazendo problemas para o ensino da 
música. A partir de 1971, o professor de Educação Artística ficou responsável por uma prática 
pedagógica versátil. Conseqüentemente, a formação universitária dos professores foi
11 
desconsiderada e os profissionais que tinham formação em música acabavam ministrando 
aulas de outras disciplinas, como artes plásticas. E os professores não graduados em música 
não supriam a necessidade dessa disciplina e davam aulas para outras áreas. 
Assim, foi abolida a oferta do ensino de música nos anos 70. 
O parágrafo 6 da LDB 9394/96, acrescido pela Lei nº 11.769 de 18 – 8 – 2008 torna 
obrigatório o ensino da música enquanto componente curricular do ensino de artes. 
Porém o art. 3º da Lei nº 11.769, de 18-8-2008, determina que os sistemas de ensino 
tenham três anos letivos para se adaptarem a essa exigência. 
Este incentivo dado pela legislação em favor do ensino da música propõe 
modificações nos currículos das escolas estaduais e municipais, e ainda, das escolas 
particulares que poderá adotar a música como ferramenta interdisciplinar principalmente para 
o ensino de matemática. 
1.2 Matemática e Música 
Em alguns povos da antiguidade (romanos, egípcios, árabes, hindus, etc.) 
encontravam-se manifestações da matemática e da musica separadamente. Na mitologia grega 
a arte musical já dava seus sinais, através do canto acompanhado de lira. Desde tempos mais 
remotos a matemática já se fazia presente, por exemplo, na contagem de coisas e logo a 
matemática começa tomar consistência a partir da necessidade de se equacionar e solucionar 
problemas, no sentido de buscar fundamentos científicos capaz de justificar alguns conceitos.
12 
A música para muitos autores é considerada uma prática cultural. Atualmente 
civilizações ou agrupamentos possuem “uma manifestação musical própria” podemos dar 
como exemplo o Brasil que tem o samba. 
Cultura ou ciência? É licito afirmar que é uma ciência maravilhosa que levou muitos 
anos de estudos para se alcançar uma coesão em relação às técnicas da música como: 
harmonia, melodia e ritmo. Hoje quando se escuta uma orquestra tocando achamos gracioso 
por causa da quantidade de instrumentos, “falando uma mesma linguagem” em relação aos 
parâmetros harmoniosos contidos entre eles. 
As escalas musicais, uma série de notas de um determinado tom, nem sempre foram 
organizadas como nos dias de hoje. Johann Sebastian Bach, compositor e instrumentista, 
ajuntou todo seu conhecimento musical e nos deixou uma herança, sistema lógico de 
composição (as escalas), que desfrutamos até atualidade. 
1.3 - Monocórdio 
De acordo com o vídeo educativo (Matemática e Música), produzido pelo 
departamento de Arte e Matemática da TV Cultura, No século VI a.C. surge uma relação 
muito intima entre a matemática e a música, quando Pitágoras iniciou seus estudos 
envolvendo as relações numéricas com os sons desenvolvendo o monocórdio, isto é, 
ilustrando as propriedades matemáticas das vibrações sonoras. A figura 1 ilustra um 
monocórdio e suas partes. 
Figura 1. Visualização esquemática de um 
monocórdio.
13 
1.3.1 As Relações Encontradas Por Pitágoras 
No monocórdio quando o fio está esticado produz uma vibração numa freqüência 
particular, quando o comprimento da corda é dividido ao meio e tocado, produz um tom uma 
oitava mais alta, e vibra a uma freqüência duas vezes maior que a original (2:1). As metades 
desse comprimento irão produzir um tom duas oitavas mais alto que o original, A sua 
freqüência (4:1) e assim por diante. 
Pitágoras realiza, no fio tensionado, sucessivas divisões e as notas musicais vão se 
comportando de maneira aritmética, veja na figura 2. 
ESSA DIVISÃO CONTINUA SUCESSIVAMENTE... 
1 
2 
3 
4 
Figura 2. Visualização esquemática das divisões 
feitas por Pitágoras no monocórdio. 
Se observarmos, sonoramente, a vibração da nota da corda tensionada será a mesma 
nota dessa corda divida ao meio sendo a diferença na altura, ou seja, ela solta dará uma nota
14 
grave e dividida ao meio a mesma nota sendo aguda. Os nossos ouvidos interpretam essa 
variação como sons equivalentes, por exemplo: Dó (262 Hz) e um Dó uma oitava acima (523 
Hz). 
A partir dessas equivalências sonoras deu inicio a um novo estudo que é: fracionar 
esse intervalo. A divisão mais comum foi em sete partes onde se partia de uma nota qualquer 
até chega a essa nota de novo mais aguda isso se o nome de oitava, intervalo fechado de um 
conjunto de sete notas. Pelos os estudos de Pitágoras não era garantido que o próximo grupo 
de nota, uma oitava acima, seria igual ao primeiro. Esse fenômeno nos da uma estrutura 
(escala) espiralada para as notas musicais, como mostra a figura 3. 
Figura 3. Demonstração das escalas musicais nos 
estudos de Pitágoras. 
Um povo que se destacou foi os chineses promovendo uma divisão em seis partes 
igual chegando a uma nota muito parecida com a de partida e resolveram tira essa nota 
chegando à razão de cinco notas conhecidas e usadas até hoje como escala penta tônica.
15 
1.4 Cravo Bem Temperado 
“Johann Sebastian Bach nasceu no dia 21 de março de 1685, em Eisenach, uma 
pequena cidade da Turíngia, no centro da Alemanha. Era descendente de uma família de 
músicos profissionais, que desde os tempos de Martinho Lutero (início do século XVI) viviam 
de seus trabalhos e transmitiam de geração em geração os segredos da arte musical”. 
(http://caraipora2.tripod.com/assuntos.htm). 
Bach colaborou bastante para a estruturação da música como ciência quando criou o 
cravo bem temperado (Figura 4), instrumento que deu a possibilidade de sair da dissonância, 
trítono, conhecido como o diabo da música, para consonância, relações de sons agradáveis ao 
ouvido; deixando uma herança universal que é usada até hoje por músicos de todo o mundo 
que são as escalas temperadas. 
Figura 4. Reprodução, em preto e branco, da foto 
de Bach tocando o Cravo Bem Temperado.
16 
1.4.1 As Relações Matemáticas Dentro do Cravo Bem Temperado 
Após as descobertas de Pitágoras, em ralação a música, muitas nações e povos 
continuaram seus estudos baseado no monocórdio dentro da relação de ½, conhecida como 
oitava nos dias de hoje. A figura 5 ilustra a freqüência de uma nota e a sua oitava. 
Figura 5. Demonstração gráfica de uma oitava. 
Tomando a nota Dó como exemplo tem: um intervalo fechado de Dó (262 Hz) até 
outro Dó (523 Hz) agudo com quase o dobro da freqüência do anterior, primeira relação do 
monocórdio de ½, a questão agora seria: Dividir esse intervalo em quantas partes? Os 
chineses dividirão em seis os indianos já fizeram duas divisões que foram em 22 é 24 partes. 
Nenhuma divisão, feitas por estudiosos musicais de todo mundo, atingiu que J. S. Bach 
descobriu, o tempero das notas musicais onde se podia tocar uma música em qualquer tom 
tanto maior como menor sem fugir da consonância. 
Bach dividiu em doze partes esse intervalo. Dentro de estudo mais aprofundado 
fazendo uma ligação de Pitágoras e Bach, no que eles pesquisaram, vamos achar uma relação
17 
entre a Progressão Aritmética (Pitágoras) e Progressão Geométrica (Bach) que conhecida 
como logaritmo, desenvolvida por John Napier em 1614.
18 
2 Fundamentações Teóricas 
2.1 O Som 
“O som se propaga tridimensionalmente, em formas de ondas ou compressão 
mecânica, em apenas meios materiais, como o ar ou a água. Elas não se propagam no vácuo, 
já que se transmitem através de vibrações moleculares e as moléculas precisam de um maio 
material, o que não acontece no vácuo”. (FERRARO, 1998). 
Para que este fenômeno ocorra é necessário que aconteçam compressões e rarefações 
em propagação do meio conforme mostra a figura 6a. 
Graficamente, esse movimento de compressão e rarefação pode ser representado por uma 
onda, ilustrado na figura 6b, onde a parte de cima do eixo horizontal representa a compressão 
e a parte de baixo à rarefação: 
Figura 6a. Demonstração das ondas de um alto 
falante. 
Figuras 6b. Representação gráfica da propagação do 
som
19 
A maioria dos sons acaba sendo obtido através de objetos que estão vibrando, como é o 
caso do alto-falante. Quando as variações de pressão chegam aos nossos ouvidos, os tímpanos 
tentam imitar esta vibração causando sensações da fisiológica do som. 
Nos estudos realizados por Wilson Carron, autor do livro Física Básica, o ouvido do 
homem não é capaz de registrar ondas sonoras menores que 20 Hz (infrassons) e nem maiores 
que 20.000 Hz (ultra-sons). Dentro desse intervalo o ser humano é capaz de individualizar as 
ondas sonoras identificando de onde elas estão sendo produzidas e o meio que elas estão 
sendo conduzidas onde se cria uma percepção sonora na qual conseguimos identificar quando 
um pássaro esta cantando ou quando um instrumento musical esta sendo tocado e até mesmo 
distinguir quando uma voz é masculina ou feminina. 
O som é a “matéria prima da musica”, pois foi através da percepção sonora que se 
começou o estudo da musica. Pitágoras de Samos, filósofo e matemático, observou, ao passar 
em frente a uma oficina de ferreiros, que o bater de cinco martelos numa bigorna produziam 
uma harmonia, aja visto que cada martelo, com seu tamanho desigual, produziam sons 
diferentes e quando se martelavam juntos combinavam muito bem apesar do barulho forte. A 
partir dessa experiência, com os sons, Pitágoras inicia os estudos musicais. 
2.2 Altura 
“A altura é uma qualidade que nos permite classificar os sons em graves ou agudos. 
Quanto menor for à freqüência mais grave o som e quanto maior for à freqüência mais agudo 
e som.” (FERRARO, 1998). Podemos observar o fenômeno na figura 7.
20 
Gráfico 1 
Gráfico 2 
Figura 7. Representação gráfica de Altura. 
O gráfico 1 representa um som grave: observe que em um segundo foram concluídos três 
ciclos (f = 3Hz). 
O gráfico dois representa um som agudo: observe que em um segundo foram concluídos 
10 ciclos (f = 10 Hz). 
2.3 Intensidade 
“A intensidade, também chamada de sonoridade, é uma propriedade do som que 
permite ao ouvinte distinguir se o som é fraco ou se o som é forte e ela está relacionada à
21 
energia de vibração da fonte que emite as ondas sonoras. Ao se propagar, as ondas sonoras 
transmitem energias que se espalham em todas as regiões. Quanto maior é a energia que a 
onda transporta, maior é a intensidade do som que o nosso ouvido percebe. A intensidade e 
medida em unidade chamada bel. No entanto se usar um submúltiplo dessa unidade que é 
decibéis: 1 decibel = 1db = 0,1 bel. A figura 8 ilustra a intensidades das ondas em alguns 
casos.” (FERRARO, 1998). 
2.4 Timbre 
Figura 8. Representação da intensidade das ondas 
sonoras. 
“É a qualidade que permite diferenciar sons de mesma altura emitidos por fontes 
diferentes. O timbre depende da forma da onda.” (FERRARO, 1998).
22 
Esse desenho da onda e comumente de harmônico, uma função seno ou cosseno que se 
movimenta com velocidade constante e com mesmo período. Na figura 9 verifica-se que cada 
instrumento produz ondas com formas diferentes, isso faz com que o ser humano reconheça o 
instrumento que o envia. 
2.5 Logaritmos 
“O primeiro registro sobre logaritmo foi feito em 1614 pelo matemático escocês Jonh 
Napier, conhecido também como o descodificador do logaritmo natural (ou neperiano). 
Quatro anos após o livro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, escrito por Napier, se 
divulgado muitos cálculos, antes impossíveis de serem resolvidos, passam a ter soluções.” 
(MURAKAMI, 1977). 
Figura 9. Representação gráfica de alguns 
timbres.
23 
Napier formou a palavra logaritmo, para significar um número que indica uma razão: 
λoγoς (logos) que significa razão, e αριθμoς (arithmos) significando número. Napier escolheu 
dessa forma porque a diferença entre dois logaritmos determina a razão entre os números dos 
quais eles são tomados, de forma que uma série aritmética de logaritmos corresponde a 
uma série geométrica de números. 
2.5.1 Definições de Logaritmo 
Sendo a e b números reais positivo, com b ≠ 1, chamamos de logaritmo de a na base b 
o expoente real x a qual se eleva b para obter a: 
log푏 푎 = 푥 → 푏푥 = 푎, 푐표푚 푎 > 0, 푏 > 0 푒 푏 ≠ 1 
Para que log푏 푎 = 푥 tenha significado, para todo x real, precisamos impor b > 0, b ≠ 1 
e a > 0. A essa restrição chamamos condição de existência do logaritmo. 
Na igualdade log푏 푎 = 푥, a é o logaritmo ou antilogaritmo de x (a = antilog푏 푥), b, a 
base e x, o logaritmo. 
LOGARITIMANDO (푎푛푡푖log2 4) 
log2 16 = 4 
LOGARITIMO 
BASE
24 
2.5.2 Propriedades Do Logaritmo 
Como corolário das propriedades, decorre: 
Todas as propriedades seguem as condições para qualquer base 풂 (0 < 푎 ≠ 1). 
Em símbolos: 
0 < 푎 ≠ 1, 푏 > 0 푒 푐 > 0. 
Logaritmo do Produto 
Sendo a, b e c números reais positivos, a ≠ 1, temos: 
log푎 (푏 . 푐) = log푎 푏 + log푎 푐 
DEMONSTRAÇÃO 
log푎 푏 = 푥 → 푎푥 = 푏 (1) 
log푎 푐 = 푦 → 푎푦 = 푐 (2) 
log푎 (푏 . 푐) = 푧 → 푎푧 = 푏푐 (3) 
Substituindo (1) e (2) em (3), temos: 
푎푧 = 푎푥 . 푎푦 → 푎푧 = 푎푥+푦 → 푧 = 푥 + 푦 → log푎 (푏 . 푐) = log푎 푏 + log푎 푐 
Logaritmo do Quociente 
Sendo a, b e c números reais positivo, a ≠ 1, temos: 
log푎 
푏 
푐 
= log푎 푏− log푎 푐
25 
DEMONSTRAÇÃO 
log푎 푏 = 푥 → 푎푥 = 푏 (1) 
log푎 푐 = 푦 → 푎푦 = 푐 (2) 
log푎 
푏 
푐 = 푧 → 푎푧 = 푏 
푐 
(3) 
Substituindo (1) e (2) em (3), temos: 
푎푧 = 
푎푥 
푎푦 → 푎푧 = 푎푥−푦 → 푧 = 푥 − 푦 → log푎 
푏 
푐 
= log푎 푏− log푎 푐 
Logaritmo da Potência 
Sendo a e b números reais positivos, a ≠ 1, e m um número real, temos: 
log푎 푏푚 = 푚. log푎 푏 
DEMONSTRAÇÃO 
log푎 푏 = 푥 → 푎푥 = 푏 (1) 
log푎 푏푚 = 푦 → 푎푦 = 푏푚 (2) 
Substituindo (1) em (2) temos: 
푎푦 = (푎푥 )푚 → 푎푦 = 푎푚푥 → 푦 = 푚푥 → log푎 푏푚 = 푚. log푎 푏 
2.5.3 Mudança de Base 
As propriedades operatórias dos logaritmos são validas na mesma base. Vejamos 
como transformar o logaritmo de uma base em outra.
26 
Sendo a > 0, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, temos: 
log푏 푎 = 
log푐 푎 
log푐 푏 
DEMONSTRAÇÃO 
log푏 푎 = 푥 → 푏푥 = 푎 
log푐 푎 = 푦 → 푐푦 = 푎 
log푐 푏 = 푧 → 푐푧 = 푏 (2) 
Substituindo (2) em (1), temos: 
(푐푧)푥 = 푐푦 → 푐푧푥 = 푐푦 → 푧푥 = 푦 → 푥 = 
푦 
푧 
→ log푏 푎 = 
log푐 푎 
log푐 푏 
2.6 Equação da Escala Musical Temperada 
Observe a figura: 
푏푥 = 푐푦 (1) 
Figura 10. Ilustra uma oitava de teclado musical.
27 
 Toda nota musical tem uma freqüência; 
 Uma oitava (DÓ1 a Dó2, por exemplo) e dado pelo quociente 
2 
1 
. 
Isto posto podemos escrever que: 
1.i.i.i.i.i. ... .i = 2 
Assim temos: 
i multiplicado 12 vezes 
푖12 = 2 → 푖 = √2 12 → 푖 = 1.0594631 
OBS.: Nas escalas bem temperadas os intervalos são iguais. 
Conhecendo o valor de i da escala temperada como se calcula as freqüências das notas 
musicais? 
Verifique que as freqüências das escalas estão em progressão geométrica de razão 
igual a 1.0594631. 
2.6.1 Forma Genérica 
Dados duas freqüências 푓1 푒 푓2 onde seus intervalos e dado por 
푓2 
푓1 
. Isto posto podemos 
escrever: 
푓1.i.i.i.i.i. ... .i = 푓2 
i multiplicado 12 vezes
28 
Exemplo de intervalo de uma oitava de Lá2 a Lá3 como mostra a figura 11. 
Figura 11. Quadro ilustrativo tirado dos estudos realizado pelo professor Luiz Neto. 
Assim, para calcular um intervalo genérico, temos: 
푓1 
푥 = 푓2 
Aplicando o logaritmo, temos: 
log 푓1 
푥 = log 푓2 → 푥 log 푓1 = log 푓2 → 푥 = 
log 푓2 
log 푓1 
→ 푥 = log 
푓2 
푓1
29 
5 Conclusão 
Quando falamos de interdisciplinaridade no ensino, não podemos deixar de considerar 
a contribuição dos PCN. Uma análise mais cuidadosa desses documentos nos revela a opção 
por uma concepção instrumental. (BRASIL, 2002, p. 34-36). 
Esse instrumento de ensino, a interdisciplinaridade, não é uma solução para o 
aprendizado de matemática mais é uma ferramenta importante e bem eficaz para o professor 
que dentro de vários conhecimentos ou um saber útil, no caso desse trabalho foi utilizado à 
música, levando os estudantes ao concreto e conseqüentemente o faz compreender a 
matemática.
30 
6 Sugestões de Trabalho Futuro 
A sugestão a seguir foi selecionada e tirada do trabalho dos alunos do curso de pós-graduação 
da Universidade Federal do Espírito Santo do ano de 2009. 
Oficinas de Matemática e Música 
 Pitágoras e a Música 
Figura 13. Ilustração de Franchi nus Gafurius (Theo rica Musicae, 1492). 
Imagem usada para representar a descoberta de Pitágoras das proporções das consonâncias. 
1º Momento: exibir a imagem (figura 13) e comentar a respeito da mesma. Logo após, 
direcionamos um debate com a apresentação dos participantes e algumas perguntam a respeito 
da experiência de cada um com a matemática e a música. 
2º Momento: demonstrar a escala de Pitágoras e as relações matemáticas existente.
31 
ATIVIDADE 1 
Pedir aos participantes para definirem fração, razão, proporção, intervalo musical e escala 
musical. 
ATIVIDADE 2 
Complete o quadro abaixo com as notas da Escala Pitagórica, percorrendo a escala por quintas 
ascendentes e transpondo as notas obtidas à oitava de referência em caso de ultrapassagem 
desse intervalo. 
NOTAS DÓ RÉ MÍ FÁ SOL LÁ SÍ DÓ 
RAZÃO 1 3 
4 
1 
2 
 Música na Idade Média 
Figura 12. Ilustração do livro De Musica de Boécio. Manuscrito possivelmente da primeira 
metade do século XII, escrito em pele de animal.
32 
Exibir o vídeo: A Matemática da Música produzida pelo Ministério da Educação e 
Cultura. Aborda a matemática presente em diversas áreas do universo musical. Mostra como a 
matemática auxilia na formação das escalas e como pode estar em padrões rítmicos de uma 
escola de samba, no jazz e blues ou nas complexas sinfonias criadas por grandes autores 
clássicos. Menciona fatos e personagens históricos que ajudaram a fundamentar a música 
como ciência. 
ATIVIDADE 1 
Pedir aos participantes que definissem os conceitos de média aritmética, média harmônica, 
freqüência, consonância, dissonância e batimento. 
ATIVIDADE 2 
Tomando como ponto de partida as notas musicais de hoje atribua hipoteticamente o 
comprimento 1 (um) ao Do e ache: 
Quarta (Fá) – Média Aritmética entre 1ª e 8ª 
Quinta (Sol) – Média Harmônica entre 1ª e 8ª 
Terça (Mí) – Média Harmônica entre 1ª e 5ª 
Segunda (Ré) – Média Harmônica entre 1ª e 4ª
33 
7 Referências Bibliográficas 
 IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo, MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de 
Matemática Elementar: Logaritmos – 3º edição. São Paulo: Atual Editora, 1977. 
 DANTE, Luiz Roberto. MATEMÁTICA: Ensino Médio – 1º edição. São Paulo: 
Ática, 2004. 
 FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antonio de Toledo Soares. Física 
Básica. São Paulo: Atual Editora, 1998. 
 CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. As Faces da Física. São Paulo: Editora 
Mode, 1997. 
 ABDOUNUR, Oscar João. Matemática e Música: O pensamento analógico na 
construção de significados - 2ª Edição. São Paulo: Editora Escrituras, 2002. 
 SNYDERS, Georges. A Escola Pode Ensinar as Alegrias da Música? São Paulo: 
Editora Cortez, 1992. 
 JAPIASSU, Hilton. Interdisciplinaridade e Patologia do Saber. Rio de Janeiro: 
Editora Imago, 1976. 
 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. 
Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: Ministério da 
Educação, 2002a. 
 BRASIL. Câmara dos Deputados. LDB: Lei de Diretrizes e Bases da Educação 
Nacional: lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e 
bases da educação nacional. – 5ed. – Brasília: Coordenação Edições da Câmara, 2010. 
 BARCO, Luiz. Matemática e Música. Vídeo Educativo: Departamento de Arte e 
Matemática da TV cultura, 2007.
34 
 NETTO, Luiz Ferraz. Harmonia e Escala temperada, visitado no dia 18-05-2011, 
<http://www.algosobre.com.br/fisica/acustica.html>. 
 NETTO, Luiz de Assis. Física, Matemática, Física e Matemática na Música, 
visitado no dia 20-05-2011, < http://caraipora2.tripod.com/assuntos.htm>.

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Música Uma Ferramenta Interdisciplinar Para o Ensino de Matemática

  • 1. 1 Alex Nunes Barbosa Cunha Música Uma Ferramenta Interdisciplinar Para o Ensino de Matemática Monografia apresentada à Universidade do Grande Rio “Escola de Ciências, Educação, Letras, Artes e Humanidade”, como parte dos requisitos parciais para a obtenção do grau de licenciatura em Matemática. Orientador: Prof. Ms. Leandro de Oliveira Pereira Duque de Caxias Julho / 2011
  • 2. 2 Alex Nunes Barbosa Cunha Música Uma Ferramenta Interdisciplinar Para o Ensino de Matemática Monografia apresentada à Universidade do Grande Rio “Escola de Ciências, Educação, Letras, Artes e Humanidade”, como parte dos requisitos parciais para a obtenção do grau de licenciatura em Matemática. Aprovada em ________de _____________________ de ________ Banca Examinadora
  • 3. 3 A minha mãe que sempre me deu força, ânimo, sua credibilidade e seu orgulho.
  • 4. 4 AGRADECIMENTOS A Deus que me deu forças e sabedoria. Aos meus pais que sempre acreditaram no meu potencial. Aos meus amigos de um modo geral e especialmente a Guilherme Pereira e Elzilane Silva. Aos meus professores que contribuíram diretamente e indiretamente para minha formação acadêmica.
  • 5. 5 “O homem que dedilha Bach ou Beethoven dedilha sobre logaritmos.” (Prof. Luiz Barco).
  • 6. 6 RESUMO Este estudo é resultado de um desafio que todo professor de matemática enfrenta ao iniciar sua carreira profissional quando se depara com um grande grupo de estudantes desestimulados em aprender, dificultando o ensino e a aprendizagem dessa disciplina. Este trabalho não apresenta uma solução para esse problema mais trás uma ferramenta de trabalho, utilizar a música de uma maneira interdisciplinar tornando mais viável, pra o aluno, o aprendizado de matemática. Este trabalho trás algumas propostas de como a música pode ser utilizado no ensino da matemática, tais como: uma aula, ministrada pelo autor, mostrando a aplicação dos logaritmos na música e sugestões de oficinas de Matemática e Música. Palavras chave: matemática - música – interdisciplinaridade - ensino
  • 7. 7 ABSTRACT This study is the result of a challenge that faces every teacher of mathematics to begin his professional career when faced with a large group of discouraged students in learning, making teaching and learning of that discipline. This work does not present a solution to this problem back one more tool, using the music of an interdisciplinary way making it feasible for the student, the learning of mathematics. This work back some proposals for how music can be used in teaching Mathematics, such as a class, taught by the author, showing the application of logarithms in music workshops and suggestions of Mathematics and Music. Keywords: Mathematics - Music - Interdisciplinary - Teaching
  • 8. 8 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 9 1.1 OBJETIVO ....................................................................................................................... 10 1.1 O ENSINO DE MÚSICA NAS ESCOLAS .................................................................... 10 1.2 MATEMÁTICA E MÚSICA........................................................................................... 11 1.3 - MONOCÓRDIO ............................................................................................................ 12 1.3.1 AS RELAÇÕES ENCONTRADAS POR PITÁGORAS ........................................... 13 1.4 CRAVO BEM TEMPERADO ........................................................................................ 15 1.4.1 AS RELAÇÕES MATEMÁTICAS DENTRO DO CRAVO BEM TEMPERADO 16 2 FUNDAMENTAÇÕES TEÓRICAS ................................................................................. 18 2.1 O SOM ............................................................................................................................... 18 2.2 ALTURA ........................................................................................................................... 19 2.3 INTENSIDADE ................................................................................................................ 20 2.4 TIMBRE ............................................................................................................................ 21 2.5 LOGARITMOS ................................................................................................................ 22 2.5.1 DEFINIÇÕES DE LOGARITMO ............................................................................... 23 2.5.2 PROPRIEDADES DO LOGARITMO ........................................................................ 24 2.5.3 MUDANÇA DE BASE .................................................................................................. 25 2.6 EQUAÇÃO DA ESCALA MUSICAL TEMPERADA ................................................. 26 2.6.1 FORMA GENÉRICA ................................................................................................... 27 5 CONCLUSÃO...................................................................................................................... 29 6 SUGESTÕES DE TRABALHO FUTURO ....................................................................... 30 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 33
  • 9. 9 1 Introdução A principal função da escola é preparar os alunos para o futuro, para a vida adulta e suas responsabilidades, oferecendo-lhe uma Educação como formação do caráter. Uma instituição de ensino precisa promover meios para oferecer estes benefícios aos jovens de forma a estimulá-los a crescer. Mas existe a possibilidade de o aluno entender a vida acadêmica como um processo desagradável e amargo que ele precisa passar para assegurar um futuro bem sucedido. Os profissionais da educação estão sempre buscando meios de tornar o ambiente escolar mais alegre e atrativo para o estudante, pois “propiciar uma alegria que seja vivida no presente é a dimensão essencial da pedagogia, e é preciso que os esforços dos alunos sejam estimulados, compensados e recompensados por uma alegria que possa ser vivida no momento presente” (SNYDERS, 1992, p. 14). Uma grande massa de estudantes vive, na sua vida escolar, um desconforto no ensino da matemática. Tornar atrativo o aprendizado dos números tem sido um grande desafio para o professor dessa disciplina. Como contextualizar o abstrato? Os educadores da área das exatas tentam buscar uma solução para esse problema. De acordo com os PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais, o papel das Ciências Naturais é o de colaborar para a compreensão do mundo e suas transformações, situando o homem como indivíduo participante e integrante do Universo. Apesar de os PCN apresentarem como proposta o estudo das Ciências Naturais em quatro blocos temáticos (Ambiente, Ser humano e Saúde, Recursos tecnológicos, Terra e Universo), estes não se encontram dissociados em suas abordagens. Os temas visam facilitar o tratamento
  • 10. 10 interdisciplinar das Ciências Naturais, considerando-os a partir do contexto social e da vivência cultural da comunidade escolar. Partindo do pressuposto que o homem encontra-se mergulhado num universo sonoro e que os estudos dos fenômenos acústicos são do domínio das Ciências, encontra-se a pertinência do estudo interdisciplinar da Música e das Ciências. 1.1 Objetivo O objetivo deste trabalho é criar mecanismos de ensino de matemática de forma contextualizada e interdisciplinar usando a música, fornecendo sugestões de oficinas, atividades e montagem de aula. Para alcançar o objetivo proposto foram traçadas as seguintes estratégias:  Criar uma proposta de aula e aplicar em uma turma.  Formular um questionário sobre as concepções trabalhadas em aula.  Indicar sugestões de atividades e oficinas de matemática e música. 1.1 O Ensino de Música nas Escolas Em 1971, a música passou a fazer parte de um ensino interdisciplinar, com base no artigo 7º da Lei 5692 de 1971. Com esta reforma, a Educação Artística foi introduzida nos currículos escolares dos Ensinos Fundamental e Médio, trazendo problemas para o ensino da música. A partir de 1971, o professor de Educação Artística ficou responsável por uma prática pedagógica versátil. Conseqüentemente, a formação universitária dos professores foi
  • 11. 11 desconsiderada e os profissionais que tinham formação em música acabavam ministrando aulas de outras disciplinas, como artes plásticas. E os professores não graduados em música não supriam a necessidade dessa disciplina e davam aulas para outras áreas. Assim, foi abolida a oferta do ensino de música nos anos 70. O parágrafo 6 da LDB 9394/96, acrescido pela Lei nº 11.769 de 18 – 8 – 2008 torna obrigatório o ensino da música enquanto componente curricular do ensino de artes. Porém o art. 3º da Lei nº 11.769, de 18-8-2008, determina que os sistemas de ensino tenham três anos letivos para se adaptarem a essa exigência. Este incentivo dado pela legislação em favor do ensino da música propõe modificações nos currículos das escolas estaduais e municipais, e ainda, das escolas particulares que poderá adotar a música como ferramenta interdisciplinar principalmente para o ensino de matemática. 1.2 Matemática e Música Em alguns povos da antiguidade (romanos, egípcios, árabes, hindus, etc.) encontravam-se manifestações da matemática e da musica separadamente. Na mitologia grega a arte musical já dava seus sinais, através do canto acompanhado de lira. Desde tempos mais remotos a matemática já se fazia presente, por exemplo, na contagem de coisas e logo a matemática começa tomar consistência a partir da necessidade de se equacionar e solucionar problemas, no sentido de buscar fundamentos científicos capaz de justificar alguns conceitos.
  • 12. 12 A música para muitos autores é considerada uma prática cultural. Atualmente civilizações ou agrupamentos possuem “uma manifestação musical própria” podemos dar como exemplo o Brasil que tem o samba. Cultura ou ciência? É licito afirmar que é uma ciência maravilhosa que levou muitos anos de estudos para se alcançar uma coesão em relação às técnicas da música como: harmonia, melodia e ritmo. Hoje quando se escuta uma orquestra tocando achamos gracioso por causa da quantidade de instrumentos, “falando uma mesma linguagem” em relação aos parâmetros harmoniosos contidos entre eles. As escalas musicais, uma série de notas de um determinado tom, nem sempre foram organizadas como nos dias de hoje. Johann Sebastian Bach, compositor e instrumentista, ajuntou todo seu conhecimento musical e nos deixou uma herança, sistema lógico de composição (as escalas), que desfrutamos até atualidade. 1.3 - Monocórdio De acordo com o vídeo educativo (Matemática e Música), produzido pelo departamento de Arte e Matemática da TV Cultura, No século VI a.C. surge uma relação muito intima entre a matemática e a música, quando Pitágoras iniciou seus estudos envolvendo as relações numéricas com os sons desenvolvendo o monocórdio, isto é, ilustrando as propriedades matemáticas das vibrações sonoras. A figura 1 ilustra um monocórdio e suas partes. Figura 1. Visualização esquemática de um monocórdio.
  • 13. 13 1.3.1 As Relações Encontradas Por Pitágoras No monocórdio quando o fio está esticado produz uma vibração numa freqüência particular, quando o comprimento da corda é dividido ao meio e tocado, produz um tom uma oitava mais alta, e vibra a uma freqüência duas vezes maior que a original (2:1). As metades desse comprimento irão produzir um tom duas oitavas mais alto que o original, A sua freqüência (4:1) e assim por diante. Pitágoras realiza, no fio tensionado, sucessivas divisões e as notas musicais vão se comportando de maneira aritmética, veja na figura 2. ESSA DIVISÃO CONTINUA SUCESSIVAMENTE... 1 2 3 4 Figura 2. Visualização esquemática das divisões feitas por Pitágoras no monocórdio. Se observarmos, sonoramente, a vibração da nota da corda tensionada será a mesma nota dessa corda divida ao meio sendo a diferença na altura, ou seja, ela solta dará uma nota
  • 14. 14 grave e dividida ao meio a mesma nota sendo aguda. Os nossos ouvidos interpretam essa variação como sons equivalentes, por exemplo: Dó (262 Hz) e um Dó uma oitava acima (523 Hz). A partir dessas equivalências sonoras deu inicio a um novo estudo que é: fracionar esse intervalo. A divisão mais comum foi em sete partes onde se partia de uma nota qualquer até chega a essa nota de novo mais aguda isso se o nome de oitava, intervalo fechado de um conjunto de sete notas. Pelos os estudos de Pitágoras não era garantido que o próximo grupo de nota, uma oitava acima, seria igual ao primeiro. Esse fenômeno nos da uma estrutura (escala) espiralada para as notas musicais, como mostra a figura 3. Figura 3. Demonstração das escalas musicais nos estudos de Pitágoras. Um povo que se destacou foi os chineses promovendo uma divisão em seis partes igual chegando a uma nota muito parecida com a de partida e resolveram tira essa nota chegando à razão de cinco notas conhecidas e usadas até hoje como escala penta tônica.
  • 15. 15 1.4 Cravo Bem Temperado “Johann Sebastian Bach nasceu no dia 21 de março de 1685, em Eisenach, uma pequena cidade da Turíngia, no centro da Alemanha. Era descendente de uma família de músicos profissionais, que desde os tempos de Martinho Lutero (início do século XVI) viviam de seus trabalhos e transmitiam de geração em geração os segredos da arte musical”. (http://caraipora2.tripod.com/assuntos.htm). Bach colaborou bastante para a estruturação da música como ciência quando criou o cravo bem temperado (Figura 4), instrumento que deu a possibilidade de sair da dissonância, trítono, conhecido como o diabo da música, para consonância, relações de sons agradáveis ao ouvido; deixando uma herança universal que é usada até hoje por músicos de todo o mundo que são as escalas temperadas. Figura 4. Reprodução, em preto e branco, da foto de Bach tocando o Cravo Bem Temperado.
  • 16. 16 1.4.1 As Relações Matemáticas Dentro do Cravo Bem Temperado Após as descobertas de Pitágoras, em ralação a música, muitas nações e povos continuaram seus estudos baseado no monocórdio dentro da relação de ½, conhecida como oitava nos dias de hoje. A figura 5 ilustra a freqüência de uma nota e a sua oitava. Figura 5. Demonstração gráfica de uma oitava. Tomando a nota Dó como exemplo tem: um intervalo fechado de Dó (262 Hz) até outro Dó (523 Hz) agudo com quase o dobro da freqüência do anterior, primeira relação do monocórdio de ½, a questão agora seria: Dividir esse intervalo em quantas partes? Os chineses dividirão em seis os indianos já fizeram duas divisões que foram em 22 é 24 partes. Nenhuma divisão, feitas por estudiosos musicais de todo mundo, atingiu que J. S. Bach descobriu, o tempero das notas musicais onde se podia tocar uma música em qualquer tom tanto maior como menor sem fugir da consonância. Bach dividiu em doze partes esse intervalo. Dentro de estudo mais aprofundado fazendo uma ligação de Pitágoras e Bach, no que eles pesquisaram, vamos achar uma relação
  • 17. 17 entre a Progressão Aritmética (Pitágoras) e Progressão Geométrica (Bach) que conhecida como logaritmo, desenvolvida por John Napier em 1614.
  • 18. 18 2 Fundamentações Teóricas 2.1 O Som “O som se propaga tridimensionalmente, em formas de ondas ou compressão mecânica, em apenas meios materiais, como o ar ou a água. Elas não se propagam no vácuo, já que se transmitem através de vibrações moleculares e as moléculas precisam de um maio material, o que não acontece no vácuo”. (FERRARO, 1998). Para que este fenômeno ocorra é necessário que aconteçam compressões e rarefações em propagação do meio conforme mostra a figura 6a. Graficamente, esse movimento de compressão e rarefação pode ser representado por uma onda, ilustrado na figura 6b, onde a parte de cima do eixo horizontal representa a compressão e a parte de baixo à rarefação: Figura 6a. Demonstração das ondas de um alto falante. Figuras 6b. Representação gráfica da propagação do som
  • 19. 19 A maioria dos sons acaba sendo obtido através de objetos que estão vibrando, como é o caso do alto-falante. Quando as variações de pressão chegam aos nossos ouvidos, os tímpanos tentam imitar esta vibração causando sensações da fisiológica do som. Nos estudos realizados por Wilson Carron, autor do livro Física Básica, o ouvido do homem não é capaz de registrar ondas sonoras menores que 20 Hz (infrassons) e nem maiores que 20.000 Hz (ultra-sons). Dentro desse intervalo o ser humano é capaz de individualizar as ondas sonoras identificando de onde elas estão sendo produzidas e o meio que elas estão sendo conduzidas onde se cria uma percepção sonora na qual conseguimos identificar quando um pássaro esta cantando ou quando um instrumento musical esta sendo tocado e até mesmo distinguir quando uma voz é masculina ou feminina. O som é a “matéria prima da musica”, pois foi através da percepção sonora que se começou o estudo da musica. Pitágoras de Samos, filósofo e matemático, observou, ao passar em frente a uma oficina de ferreiros, que o bater de cinco martelos numa bigorna produziam uma harmonia, aja visto que cada martelo, com seu tamanho desigual, produziam sons diferentes e quando se martelavam juntos combinavam muito bem apesar do barulho forte. A partir dessa experiência, com os sons, Pitágoras inicia os estudos musicais. 2.2 Altura “A altura é uma qualidade que nos permite classificar os sons em graves ou agudos. Quanto menor for à freqüência mais grave o som e quanto maior for à freqüência mais agudo e som.” (FERRARO, 1998). Podemos observar o fenômeno na figura 7.
  • 20. 20 Gráfico 1 Gráfico 2 Figura 7. Representação gráfica de Altura. O gráfico 1 representa um som grave: observe que em um segundo foram concluídos três ciclos (f = 3Hz). O gráfico dois representa um som agudo: observe que em um segundo foram concluídos 10 ciclos (f = 10 Hz). 2.3 Intensidade “A intensidade, também chamada de sonoridade, é uma propriedade do som que permite ao ouvinte distinguir se o som é fraco ou se o som é forte e ela está relacionada à
  • 21. 21 energia de vibração da fonte que emite as ondas sonoras. Ao se propagar, as ondas sonoras transmitem energias que se espalham em todas as regiões. Quanto maior é a energia que a onda transporta, maior é a intensidade do som que o nosso ouvido percebe. A intensidade e medida em unidade chamada bel. No entanto se usar um submúltiplo dessa unidade que é decibéis: 1 decibel = 1db = 0,1 bel. A figura 8 ilustra a intensidades das ondas em alguns casos.” (FERRARO, 1998). 2.4 Timbre Figura 8. Representação da intensidade das ondas sonoras. “É a qualidade que permite diferenciar sons de mesma altura emitidos por fontes diferentes. O timbre depende da forma da onda.” (FERRARO, 1998).
  • 22. 22 Esse desenho da onda e comumente de harmônico, uma função seno ou cosseno que se movimenta com velocidade constante e com mesmo período. Na figura 9 verifica-se que cada instrumento produz ondas com formas diferentes, isso faz com que o ser humano reconheça o instrumento que o envia. 2.5 Logaritmos “O primeiro registro sobre logaritmo foi feito em 1614 pelo matemático escocês Jonh Napier, conhecido também como o descodificador do logaritmo natural (ou neperiano). Quatro anos após o livro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, escrito por Napier, se divulgado muitos cálculos, antes impossíveis de serem resolvidos, passam a ter soluções.” (MURAKAMI, 1977). Figura 9. Representação gráfica de alguns timbres.
  • 23. 23 Napier formou a palavra logaritmo, para significar um número que indica uma razão: λoγoς (logos) que significa razão, e αριθμoς (arithmos) significando número. Napier escolheu dessa forma porque a diferença entre dois logaritmos determina a razão entre os números dos quais eles são tomados, de forma que uma série aritmética de logaritmos corresponde a uma série geométrica de números. 2.5.1 Definições de Logaritmo Sendo a e b números reais positivo, com b ≠ 1, chamamos de logaritmo de a na base b o expoente real x a qual se eleva b para obter a: log푏 푎 = 푥 → 푏푥 = 푎, 푐표푚 푎 > 0, 푏 > 0 푒 푏 ≠ 1 Para que log푏 푎 = 푥 tenha significado, para todo x real, precisamos impor b > 0, b ≠ 1 e a > 0. A essa restrição chamamos condição de existência do logaritmo. Na igualdade log푏 푎 = 푥, a é o logaritmo ou antilogaritmo de x (a = antilog푏 푥), b, a base e x, o logaritmo. LOGARITIMANDO (푎푛푡푖log2 4) log2 16 = 4 LOGARITIMO BASE
  • 24. 24 2.5.2 Propriedades Do Logaritmo Como corolário das propriedades, decorre: Todas as propriedades seguem as condições para qualquer base 풂 (0 < 푎 ≠ 1). Em símbolos: 0 < 푎 ≠ 1, 푏 > 0 푒 푐 > 0. Logaritmo do Produto Sendo a, b e c números reais positivos, a ≠ 1, temos: log푎 (푏 . 푐) = log푎 푏 + log푎 푐 DEMONSTRAÇÃO log푎 푏 = 푥 → 푎푥 = 푏 (1) log푎 푐 = 푦 → 푎푦 = 푐 (2) log푎 (푏 . 푐) = 푧 → 푎푧 = 푏푐 (3) Substituindo (1) e (2) em (3), temos: 푎푧 = 푎푥 . 푎푦 → 푎푧 = 푎푥+푦 → 푧 = 푥 + 푦 → log푎 (푏 . 푐) = log푎 푏 + log푎 푐 Logaritmo do Quociente Sendo a, b e c números reais positivo, a ≠ 1, temos: log푎 푏 푐 = log푎 푏− log푎 푐
  • 25. 25 DEMONSTRAÇÃO log푎 푏 = 푥 → 푎푥 = 푏 (1) log푎 푐 = 푦 → 푎푦 = 푐 (2) log푎 푏 푐 = 푧 → 푎푧 = 푏 푐 (3) Substituindo (1) e (2) em (3), temos: 푎푧 = 푎푥 푎푦 → 푎푧 = 푎푥−푦 → 푧 = 푥 − 푦 → log푎 푏 푐 = log푎 푏− log푎 푐 Logaritmo da Potência Sendo a e b números reais positivos, a ≠ 1, e m um número real, temos: log푎 푏푚 = 푚. log푎 푏 DEMONSTRAÇÃO log푎 푏 = 푥 → 푎푥 = 푏 (1) log푎 푏푚 = 푦 → 푎푦 = 푏푚 (2) Substituindo (1) em (2) temos: 푎푦 = (푎푥 )푚 → 푎푦 = 푎푚푥 → 푦 = 푚푥 → log푎 푏푚 = 푚. log푎 푏 2.5.3 Mudança de Base As propriedades operatórias dos logaritmos são validas na mesma base. Vejamos como transformar o logaritmo de uma base em outra.
  • 26. 26 Sendo a > 0, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, temos: log푏 푎 = log푐 푎 log푐 푏 DEMONSTRAÇÃO log푏 푎 = 푥 → 푏푥 = 푎 log푐 푎 = 푦 → 푐푦 = 푎 log푐 푏 = 푧 → 푐푧 = 푏 (2) Substituindo (2) em (1), temos: (푐푧)푥 = 푐푦 → 푐푧푥 = 푐푦 → 푧푥 = 푦 → 푥 = 푦 푧 → log푏 푎 = log푐 푎 log푐 푏 2.6 Equação da Escala Musical Temperada Observe a figura: 푏푥 = 푐푦 (1) Figura 10. Ilustra uma oitava de teclado musical.
  • 27. 27  Toda nota musical tem uma freqüência;  Uma oitava (DÓ1 a Dó2, por exemplo) e dado pelo quociente 2 1 . Isto posto podemos escrever que: 1.i.i.i.i.i. ... .i = 2 Assim temos: i multiplicado 12 vezes 푖12 = 2 → 푖 = √2 12 → 푖 = 1.0594631 OBS.: Nas escalas bem temperadas os intervalos são iguais. Conhecendo o valor de i da escala temperada como se calcula as freqüências das notas musicais? Verifique que as freqüências das escalas estão em progressão geométrica de razão igual a 1.0594631. 2.6.1 Forma Genérica Dados duas freqüências 푓1 푒 푓2 onde seus intervalos e dado por 푓2 푓1 . Isto posto podemos escrever: 푓1.i.i.i.i.i. ... .i = 푓2 i multiplicado 12 vezes
  • 28. 28 Exemplo de intervalo de uma oitava de Lá2 a Lá3 como mostra a figura 11. Figura 11. Quadro ilustrativo tirado dos estudos realizado pelo professor Luiz Neto. Assim, para calcular um intervalo genérico, temos: 푓1 푥 = 푓2 Aplicando o logaritmo, temos: log 푓1 푥 = log 푓2 → 푥 log 푓1 = log 푓2 → 푥 = log 푓2 log 푓1 → 푥 = log 푓2 푓1
  • 29. 29 5 Conclusão Quando falamos de interdisciplinaridade no ensino, não podemos deixar de considerar a contribuição dos PCN. Uma análise mais cuidadosa desses documentos nos revela a opção por uma concepção instrumental. (BRASIL, 2002, p. 34-36). Esse instrumento de ensino, a interdisciplinaridade, não é uma solução para o aprendizado de matemática mais é uma ferramenta importante e bem eficaz para o professor que dentro de vários conhecimentos ou um saber útil, no caso desse trabalho foi utilizado à música, levando os estudantes ao concreto e conseqüentemente o faz compreender a matemática.
  • 30. 30 6 Sugestões de Trabalho Futuro A sugestão a seguir foi selecionada e tirada do trabalho dos alunos do curso de pós-graduação da Universidade Federal do Espírito Santo do ano de 2009. Oficinas de Matemática e Música  Pitágoras e a Música Figura 13. Ilustração de Franchi nus Gafurius (Theo rica Musicae, 1492). Imagem usada para representar a descoberta de Pitágoras das proporções das consonâncias. 1º Momento: exibir a imagem (figura 13) e comentar a respeito da mesma. Logo após, direcionamos um debate com a apresentação dos participantes e algumas perguntam a respeito da experiência de cada um com a matemática e a música. 2º Momento: demonstrar a escala de Pitágoras e as relações matemáticas existente.
  • 31. 31 ATIVIDADE 1 Pedir aos participantes para definirem fração, razão, proporção, intervalo musical e escala musical. ATIVIDADE 2 Complete o quadro abaixo com as notas da Escala Pitagórica, percorrendo a escala por quintas ascendentes e transpondo as notas obtidas à oitava de referência em caso de ultrapassagem desse intervalo. NOTAS DÓ RÉ MÍ FÁ SOL LÁ SÍ DÓ RAZÃO 1 3 4 1 2  Música na Idade Média Figura 12. Ilustração do livro De Musica de Boécio. Manuscrito possivelmente da primeira metade do século XII, escrito em pele de animal.
  • 32. 32 Exibir o vídeo: A Matemática da Música produzida pelo Ministério da Educação e Cultura. Aborda a matemática presente em diversas áreas do universo musical. Mostra como a matemática auxilia na formação das escalas e como pode estar em padrões rítmicos de uma escola de samba, no jazz e blues ou nas complexas sinfonias criadas por grandes autores clássicos. Menciona fatos e personagens históricos que ajudaram a fundamentar a música como ciência. ATIVIDADE 1 Pedir aos participantes que definissem os conceitos de média aritmética, média harmônica, freqüência, consonância, dissonância e batimento. ATIVIDADE 2 Tomando como ponto de partida as notas musicais de hoje atribua hipoteticamente o comprimento 1 (um) ao Do e ache: Quarta (Fá) – Média Aritmética entre 1ª e 8ª Quinta (Sol) – Média Harmônica entre 1ª e 8ª Terça (Mí) – Média Harmônica entre 1ª e 5ª Segunda (Ré) – Média Harmônica entre 1ª e 4ª
  • 33. 33 7 Referências Bibliográficas  IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo, MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Logaritmos – 3º edição. São Paulo: Atual Editora, 1977.  DANTE, Luiz Roberto. MATEMÁTICA: Ensino Médio – 1º edição. São Paulo: Ática, 2004.  FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antonio de Toledo Soares. Física Básica. São Paulo: Atual Editora, 1998.  CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. As Faces da Física. São Paulo: Editora Mode, 1997.  ABDOUNUR, Oscar João. Matemática e Música: O pensamento analógico na construção de significados - 2ª Edição. São Paulo: Editora Escrituras, 2002.  SNYDERS, Georges. A Escola Pode Ensinar as Alegrias da Música? São Paulo: Editora Cortez, 1992.  JAPIASSU, Hilton. Interdisciplinaridade e Patologia do Saber. Rio de Janeiro: Editora Imago, 1976.  BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação, 2002a.  BRASIL. Câmara dos Deputados. LDB: Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional: lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. – 5ed. – Brasília: Coordenação Edições da Câmara, 2010.  BARCO, Luiz. Matemática e Música. Vídeo Educativo: Departamento de Arte e Matemática da TV cultura, 2007.
  • 34. 34  NETTO, Luiz Ferraz. Harmonia e Escala temperada, visitado no dia 18-05-2011, <http://www.algosobre.com.br/fisica/acustica.html>.  NETTO, Luiz de Assis. Física, Matemática, Física e Matemática na Música, visitado no dia 20-05-2011, < http://caraipora2.tripod.com/assuntos.htm>.