MSA 4a edição traz alterações significativas nos critérios de análise de sistemas de medição

MSA quarta edição - Análise dos
Sistema de Medição
Em junho 2010 foi lançada a 4ª edição do manual de análise de sistemas de
medição. Esta versão traz mudanças significativas em relação a terceira edição.
Na nossa opinião, as principais mudanças se concentram nos critérios para
análise dos resultados. Porém, também tivemos mudanças em técnicas
estatísticas. A seguir, apresentamos uma breve discussão sobre as principais
mudanças.
O MSA 4ª edição apresenta algumas alterações em relação à terceira edição.
As principais mudanças referem-se ao:
Sistema de Calibração;
Critério e forma de análise da tendência e lineraridade dos sistemas de
medição;
Critério para analisar o RR;
Melhor interpretação e análise de sistemas atributivos (passa/não passa);
Uso de técnicas alternativas para avaliar sistemas de medição não
replicáveis;
A seguir, comentamos as principais modificações da quarta edição:
1. Na página 10 da quarta edição foi adicionado um tópico específico sobre o
sistema de calibração. Em resumo, uma organização deve ter um laboratório
interno de calibração ou uma organização externa que controle e mantenha os
elementos dos eventos de calibração. O sistema de calibração é parte do escopo
do sistema de gestão da qualidade da organização e deve constar nos requisitos
de auditoria interna. Quando o evento da calibração é realizado por um
fornecedor externo (comercial ou não) este pode (ou deve) ser acreditado
conforme ISO/IEC 17025. Quando não existir um laboratório acreditado, o
serviço de calibração deve ser realizado pelo fornecedor do equipamento.
2. Na página 77 da quarta edição foi alterado os critérios de análise dos
resultados (seção D). Primeiro, foi adicionado um critério para análise do
processo de fixação e montagem do dispositivo de medição. Os critérios para
análise da tendência e linearidade são similares, com algumas alterações na
forma de cálculo e interpretação dos resultados. Os critérios para análise da
variabilidade (RR) mudaram na sua essência:
Ao iniciarmos uma análise nos sistemas de medição de uma organização, é útil
MSA quarta edição - Análise dos Sistema de Medição
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identificarmos as prioridades para os quais os sistemas de medição devem,
inicialmente, focar. Desde que a variação total (ou final) é baseada na
combinação da variação do processo e do sistema de medição
,
quando o CEP está sendo aplicado para controlar o processo ou coletar dados, e
o gráfico de controle indica que o processo está sob controle estatístico (estável)
e a variabiliade total é aceitável, o sistema de medição pode ser considerado
aceitável para o uso e não requer uma re-análise separada. Se uma condição de
fora de controle ou uma não conformidade for detectada, devemos primeiro
analisar o sistema de medição.
Comentários: Se temos um gráfico de CEP em determinada característica, que
está estável e com boa capacidade, NÃO É NECESSÁRIO APLICAR O MSA
para avaliar o sistema de medição. A não ser que seja detectado um ponto fora de
controle ou uma não conformidade.
A seguir, temos a tabela de análise do RR.
RR Decisão Comentários
Abaixo
de 10%
Sistema de medição
geralmente considerado
aceitável
Recomendável, especialmente útil quando
tentamos ordenar ou classificar peças ou
quando for requerido um controle apertado do
processo.
Entre
10% e
30%
Poder ser aceito para
algumas aplicações
A decisão deve ser baseada primeiro, por
exemplo, na importância da aplicação da
medição, custo do dispositivo de medição,
custo do retrabalho ou reparo. O sistema de
medição deve ser aprovado pelo cliente.
Acima
de 30%
Considerado inaceitável
Todos os esforços devem ser tomados para
melhorar o sistema de medição. Esta condição
pode ser resolvida pelo uso de uma estratégia
apropriada para a medição; por exemplo,
utilizar a média de diversas medições da
mesma característica da mesma peça a fim de
reduzir a variabilidade da medida final.
A análise do NDC é a mesma, ou seja, o NDC deve ser maior ou igual a
cinco.Temos uma pequena modificação no cálculo deste índice para evitar
valores iguais a zero.
Cuidado: O uso do RR como único índice para avaliar um sistema de
medição não é aceitável.
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Ao aplicar os critérios de aceitação como simples valores de corte (thresholds),
assumimos que as estísticas são estimativas determinísticas da variabilidade do
sistema de medição (o que não são). Especificar os valores de corte como critério
pode levar a um comportamento inadequado. Por exemplo, o fornecedor pode ser
"criativo" ao encontrar um determinado valor de RR, eliminando as principais
fontes de variação (como a interação peça X operador) ou simplesmente
manipular o estudo.
Comentários: Infelizmente este é um fato que ocorre em muitas empresas no
Brasil. O cliente impõe um RR abaixo de 10% e o fornecedor manipula os dados.
NÃO DEVEMOS TER UM CRITÉRIO SIMPLES (ÚNICO) PARA TODOS OS
SISTEMAS DE MEDIÇÃO. Cada aplicação deve ser avaliada individualmente.
Quando analisamos a variação de um sistema de medição é importante olhar para
cada aplicação individualmente, para sabermos o que é requerido e como esta
medição será utilizada. Por exemplo: a precisão requerida da medição de
temperatura poder ser diferente para aplicações não similares. Um termostato
para sala pode regular a temperatura para conforto de um humano e ser barato,
porém tem um RR acima de 30%. Isto é aceitável para esta aplicação. Mas, em
um laboratório, no qual pequenas variações de temperatura podem impactar nos
resultados dos testes, uma medição e controle de temperatura mais sofisticados
devem ser requeridos. Este termostato será mais caro e também vamos requerer
uma menor variabilidade (menor valor de RR).
Estudos de Sistema de Medição por variável:
1. Estabilidade: Nada mudou.
2. Tendência (página 88): Neste estudo, tivemos algumas algerações. Primeiro,
foi introduzido o método da amostra independente (teste t-Student) para avaliar a
tendência. O método da média e amplitude não consta na quarta edição. Como
critério, podemos analisar o P-valor ou o intervalo de confiança. Segundo, para
relizarmos a análise da tendência, precisamos validar variabilidade associada
com a repetitividade (o desvio padrão dos dados),
no qual é o desvio padrão dos dados e a variação total é baseada
na variação do processo (preferível) ou na tolerância do processo dividida por 6.
Se a for alta (ver tabela acima), então o sistema de medição pode ser
inadequado. Desde que a análise de tendência admite que a repetitividade é
aceitável, continuar com a análise pode nos levar a um resultado contraditório ou
errado, isto é, a análise pode indicar uma tendência estatisticamente nula,
enquanto que seu valor absoluto pode ultrapassar o que é aceitável para o
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equipamento.
Comentario: Finalmente retiraram o método da média e amplitude. Apenas no
método do gráfico de CEP para análise da tendência temos referência ao método
da média e amplitude, caso tenhamos avaliado a estabilidade com o gráfico Xbar
e R. Outro ponto é a validação da repetitividade antes de concluirmos sobre a
tendência. Aqui, na nossa opinião, é melhor realizar o estudo de RR antes da
tendência. Ao realizarmos o RR podemos validar a repetitividade.
3. Linearidade: Também precisamos validar a variabilidade associada com a
repetitividade, antes de concluirmos sobre a linearidade.
4. Repetitividade e Reprodutibilidade: Foram mantidos os três métodos:
amplitude, média e amplitude e ANOVA. Porém, o método da ANOVA é o
recomendado (página 101), pois este é mais completo e flexível.
4.1 Método da Amplitude: Nada foi alterado.
4.2 Método da Média e amplitude: Primeiro, o número mínimo de peças
mudou de 5 para 10 peças. A principal alteração está na determinação da
variabilidade do processo. Em geral, temos quatro métodos para determinar a
variação de processo (página 121):
Variação de processo atual
variação de processo obtida através peças utilizadas no estudo de RR;
utilizar quando as peças selecionadas representam a variação de
processo esperada;
Variação de um processo alternativo
utilizar quando não temos um número suficiente de peças que
representam o processo, mas existe um processo cuja variação de
processo é similar;
Valor alvo do Pp (ou Ppk)
utilizar quando não temos um número suficiente de peças que
representam o processo e não temos um processo com variação similar,
ou o novo processo é esperado ter uma variabilidade menor do que o
processo atual;
Tolerância
quando o sistema de medição é utilizado para um tipo de processo e o
processo tem Pp menor que 1;
Comentário: Um dos principais pontos para determinarmos os índices do RR é a
variação do processo. Em geral, as 10 peças selecionadas para o estudo do RR
não representam bem a variação do processo. Neste sentido, a quarta edição
enfatiza o uso do histórico do processo, do valor alvo do Pp ou da tolerância.
4.3 ANOVA: Nenhuma alteração. Porém, vale as mesmas observações sobre a
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estimativa da variação do processo que fizemos no método da média e
amplitude.
Estudos de Sistema de Medição por atributo:
Inicialmente foi dado ênfase na detrminação da área cinza (página 132).
Considere um sistema de medição por atributo que compara cada peça com os
limites de especificação, o sistema aceita a peça se a mesma está entre as
especificações e rejeita caso contrário (conhecido como sistema passa não passa).
Como qualquer sistema de medição, existe uma área cinza em torno dos limites
de especificação no qual o sistema de medição comete erros de classificação.
Desde que não conhecemos, a priori, a área cinza, devemos realizar estudos do
sistema de medição. Entretanto, para determinarmos as áreas de risco em torno
dos limites de especificação, precisamos escolher aproximadamente 25% da
peças "próximas" ao limite inferior e 25% da peças "próximas" ao limite
superior. Nos casos em que é difícil fazer tais peças, a equipe pode decidir
utilizar uma porcentagem menor, apesar de reconhecer que esta atitude pode
aumentar a variabilidade dos resultados. Se não for possível fazer peças
próximas aos limites de especificação a equipe deveria reconsiderar o uso de um
sistema de medição por atributos para este processo. Para cada característica, as
peças devem ser medidas por um sistema de medição por variáveis com
variabilidade aceitável. Quando uma característica não pode ser medida por um
sistema de medição por variáveis (exemplo, visual), utilizamos outros meios,
como a classificação por especialistas. Três operadores são escolhidos e cada
operador realiza três medições de cada peça.
Comentário: Dentre as peças escolhidas (por exemplo 50) que utilizamos para
realizar o estudo de um sistema de medição por atributo, devemos escolher 25%
(em torno de 12) "próximas" ao limite inferior de especificação e 25% (em torno
de 12) "próximas" ao limite superior de especificação.
Tamanho da amostra (página 140):
Outro ponto interessante da quarta edição em relação a sistemas de medição por
atributo é o tamanho da amostra. Qual a quantidade de peças que devemos
utilizar para realizar o estudo de sistema de medição por atributo? Para desespero
dos usuários a resposta é o "suficiente". O propósito de se estudar um sistema de
medição (atributo ou variável) está em conhecer suas propriedades. Um número
suficiente de amostras deve ser selecionado para cobrir uma amplitude esperada
de operação. No caso de sistema por atributo, a região de interesse são as áreas
cinza. Se a capacidade do processo é boa, então uma amostra pequena pode não
conter muitas peças na área cinza. Isto signficia que um processo com boa
capacidade requer uma amostra maior.
No exemplo citado na quarta edição, para um Pp=Ppk=0,5 (no qual esperamos
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13% de peças não conformes), foi selecionado 50 peças para realizar o estudo do
sistema de medição por atributo.
Um alternativa para evitarmos amostras grandes, consiste em escolher as peças
diretamente na área cinza para assegurar que o efeito da variabilidade do
avaliador será visualizado.
Método da detecção de sinais (página 143): Um procedimento alternativo para
avaliar um sistema de medição por atributo e que foi dado bastante ênfase. Na
quarta edição, temos uma descrição bem mais detalhada do que encontramos na
terceira edição.
Método analítico: Foi corrigido algumas contas. Por exemplo, na página 146, o
valor da estatística t foi corrigido.
Neste módulo, vamos apresentar as principais ferramentas para análise dos
sistema de medição conforme manual de análise de sistema de medição da
indústria automobilística (MSA quarta edição). Apesar de seguirmos a indústria
automobilística, os métodos apresentados neste módulo se aplicam a qualquer
sistema de medição.
Sistema de Medição: o conjunto de operações, procedimentos, dispositivos de
medição e outros equipamentos, software e pessoal usado para atribuir um
número à característica que está sendo medida; o processo completo usado para
obter as medidas.
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1 - Análise dos Sistemas de Medição
A execução de estudos de MSA consiste na aplicação de técnicas estatísticas
que têm por objetivo escreverem o tamanho e os tipos de variações dos
resultados gerados por um Sistema de Medição, quando este é posto em
operação em suas condições reais de trabalho.
1 - Análise dos Sistemas de Medição
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1 1 - I t od ção - Sistema de Medição
O principal ponto para an lise consiste em interpretarmos o sistema de
medição como um processo. Desta forma, é importante ressaltarmos que não
estamos avaliando simplesmente os equipamentos, mas o processo no qual
utilizamos os equipamentos, o método e as pessoas para obtermos o resultado
da medição.
Sistema de Medição: É a coleção de instrumentos ou dispositivos de medição,
padrões, operações, métodos, dispositivos de fixação, software, pessoal,
ambiente e premissas utilizadas para quantificar a unidade de medição ou
corrigir a avaliação de uma característica sendo medida; o processo completo
para obter medições
Figura 1.1.1: Sistema de medição
O objetivo de uma medição é determinar o valor de uma grandeza a ser
medida. Esta medição começa com uma apropriada especificação da grandeza,
do método e procedimento de medição.
Exemplo 1.1.1:
Considere um sistema de medição para medir o diâmetro de um conector de
torneira com tolerância de +/- 0,5 mm.
1.1 - Introdução - Sistema de Medição
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i a Medição de um conector de torneiras
Antes de qualquer an lise estatística devemos obter uma boa definição do
sistema de medição. Abaixo, apresentamos de forma simplificada o sistema de
medição para medir o diâmetro do conector.
Definição do sistema de medição:
Equipamento de medição: paquímetro digital de resolução 0,01mm;
Observe que o equipamento de medição (paquímetro) apresenta uma resolução
adequada para a característica que vamos medir, pois temos uma tolerância de
+/- 0,5 mm, o que corresponde a uma faixa de 1 mm. Ao dividirmos a
tolerância por 10, obtemos que a exatidão mínima requerida é de 0,1 mm.
Como o paquímero digital tem resolução de 0,01 mm, concluímos que este é
adequado para realizar tal medição.
Método de medição:
Posicionar o paquímetro no centro do conector;
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i a 1 1 m todo de medição
Executar a medida
Erro de Medição
Toda medição tem imperfeições que dão origem a erros no resultado da
medição. Tradicionalmente, um erro é visto como tendo dois componentes, a
saber, um componente aleatório e um componente sistemático.
Um sistema de medição ideal produziria somente medições “corretas” a cada
vez que fosse utilizado. No entanto, sistemas de medição com tal propriedade
não existem. Como um processo, devemos interpretar um sistema de medição
adequadamente como:
Figura 4: Erro de medição
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Erro é um conceito idealizado e os erros não podem ser conhecidos
exatamente. Na prática, associamos uma variável aleatória (por exemplo, a
distribuição normal) para representar o erro de medição.
i a 1 1 Erro de medição
• Incerteza: ó (Equipamento de Medição);
• RR: ó (Sistema de Medição).
Não confundir ó com erro!
Em geral, existe uma certa confusão entre o significado de RR e a incerteza de
medição. A incerteza de medição corresponde ao desvio padrão (ou, múltiplo
dele) associado às medições do equipamento de medição obtidas sob
condições ideiais de medição (calibração). Na calibração, o equipamento é
comparado com respeito a um padrão de referência em um laboratório com
condições ambientais controladas. Além disso, utilizamos um técnico
devidamente capacitado para realizar tal comparação. Por outro lado, o RR
tem como objetivo quantificar a variabilidade associada às medições do
sistema de medição (equipamentos, método e pessoal) obtidas sob condições
reais de utilização do sistema de medição.
i os de os
Dois tipo de erros serão característicos deste estudo:
o leat io
O erro aleatório é aquele que ocorre de forma inesperada e com intensidade
que danifica nossas medições. Este erro representa as pequenas variações que
ocorrem em medidas repetidas de uma grandeza. Estas variações tem como
causa, alterações ambientais ou espaciais, variação devido ao equipamento de
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medição, interferência elétrica entre outras. Embora não seja possível
compensar o erro aleatório, ele pode geralmente ser reduzido se aumentarmos
o número de observações ou se melhorarmos a tecnoclogia do sistema de
medição (melhor ambiente, novos equipamentos ou treinamento dos técnicos).
Interpretamos o erro aleatório como uma vairável aleatória com média zero.
• o Sistemático
O erro sistematico é aquele que ocorre em todas as medições mais ou menos
com a mesma intensidade. Assim como o erro aleatório, o erro sistematico não
pode ser eliminado, porém ele, freqüentemente, pode ser reduzido. Suponha
que um erro sistemático se origina de um efeito reconhecido de uma grandeza
de influência em um resultado de medição. Se este efeito pode ser quantificado
e, se for significativo com relação à exatidão requerida da medição, uma
correção ou fator de correção pode ser aplicado para compensar o efeito.
Supomos que, após esta correção, a esperança ou valor esperado do erro
sistemático seja zero.
Abaixo apresentamos o diagrama de Ishikawa (espinha de peixe) para
descrever os principais componentes do erro de medição:
Figura 1.1.4 : Diagrama de Ishikawa
Exemplo 1.1.2:
Descrição dos principais componentes do erro de medição para o sistema de
medição do diâmetro do conector de torneira.
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i a 1 1 ia rama de shi a a para o conector de torneira
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode
consultar:
ma al do
s ário
video
demonstrativo
Requisitos de um sistema de medição
Um sistema de “má qualidade” poderá mascarar a variação real do processo ou
produto conduzindo a conclusões erradas:
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i a 1 1 Sistema de “m qualidade”
istem e tas o iedades dame tais e de i em m om sistema
de medição:
• Uma adequada discriminação ou sensibilidade. O incremento de medida
deve ser pequeno o suficiente para detectar variações no processo ou nos
limites de especificação. A regra comum é conhecida como regra do dez, que
consiste em definir a discriminação do sistema de medição dividindo a
tolerância (ou variação do processo) em 10 partes.
• O sistema de medição deve estar sob controle estatístico. Isto significa
que sob condições de repetitividade, as variações do sistema de medição são
devidas à causas comuns e não à causas especiais.
• Para controle de produto, a variabilidade do sistema de medição deve
ser pequena comparada com limites de especificação. Comparar a
variabilidade do sistema de medição com as tolerâncias do produto.
• Para controle do processo, a variabilidade do sistema de medição deve
demonstrar uma resolução efetiva e pequena comparada com a variação do
processo de manufatura. Comparar a variabilidade do sistema de medição com
6-sigma da variação do processo e/ou variação total.
Figura 1.1.7: Avaliação do erro de medição
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1 2 - la e ame to e st at ia
Nem toda característica do processo ou produto requer uma análise detalhada
como a que estamos desenvolvendo. Para sistemas de medição simples, como
os sistemas determinados por paquímetros, micrômetros ou calibradores,
muitas vezes não requerem uma análise detalhada. A regra básica para
escolher o sistema a ser avaliado é se este é identificado no plano de controle
ou é importante para determinar a rejeição ou não do processo ou produto.
Outro indicativo é o nível de tolerância determinado para a dimensão
específica e a criticidade perante ao cliente. Porém,
o o en o o ia e a er ca o
i et i es a a a álise do sistema de medição
• Discriminar as grandezas relacionadas nos planos de controle;
• Identificar os sistemas de medição
• Definir as prioridades
- Cliente
- Refugo
- Complexidade
• Identificar uma equipe multifuncional
• Para cada sistema de medição priorizado:
- Desenvolver um fluxograma do processo de medição;
- Treinar os envolvidos;
- Desenvolver o diagrama de Ishikawa;
- Escolher as ferramentas estatísticas;
- Montar um cronograma de aplicação das ferramentas;
- Documentar as soluções e as correções;
- Institucionalizar a mudança.
1.2 - Planejamento e Estrat ia
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Modelo de o de medição
Fontes de Erro Componentes
Fator ou
Parâmetro
Peças
Peça, Amostra, Mensurando,
Unidade sobre
Teste, Artefato, Padrão de
Variação
Desconhecido
I Instrumento
Equipamento de Medição,
Unidade de Medição,
Célula de Medição
Meios de
Comparação
S Padrão
Escala, Referência, Artefato,
Padrão de Verificação,Padrão
de Consenso, Material Padrão,
Classe,Critério de Aceitação
Valor de
Referência ou
Critério de
Aceitação
M Método
Treinamento On-the-job,
Instrução de Trabalho,Plano de
Controle, Método, Plano de
Inspeção,Programa de Teste
Como
O Operador
Instrumentista, Técnico de
Teste ou
Calibração, Inspetor
Quem
E
Meio
Ambiente
Temperatura, Umidade,
Contaminação,
Housekeeping,Iluminação,
Posição, Vibração,
InterferênciaEletromagnética,
Ruído, Tempo e Ar
Condições de
Medição e
Ruído
A Concepção
Estatística, Operacional,
Calibração, Constantes,Valor
de Handbook, Estabilidade
Térmica,Elasticidade
Medição
Confiável
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2 - Sistema de Medição Replicáveis
O sistema de medição replic vel é aquele para o qual podemos medir diversas
vezes a mesma característica de uma peça sem danificá-la. Por exemplo, o
sistema de medição do diâmetro do conector de torneiras é replicável, pois
podemos medir o mesmo conector diversas vezes sem danificá-lo.
2 - Sistema de Medição e licáveis
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2 1 - sta ilidade
e i i es
Estabilidade é a quantidade de variação total na tendência do sistema ao longo
do tempo em uma dada peça ou peça padrão. Antes de estudarmos qualquer
propriedade estatística do sistema de medição, vamos analisar a capacidade do
sistema manter tais propriedades ao longo do tempo. O objetivo da
estabilidade consiste em avaliarmos:
A interação do sistema de medição e o meio ambiente;
Desgaste de componentes;
Ajuste de dispositivos e sensores.
Di e i es pa a sis e a ão destrutivos
Selecionar e identificar uma peça;
Preparar formulário para coleta de dados e diário de bordo (data,
horário,operador, equipamento de medição);
Medir periodicamente (diário, semanal, quinzenal ou mensal) a peça com
3 a 5 medições por vez (sub-grupo racional);
Após 20 ou mais sub-grupos racionais, construir o gráfico e R,
conforme descrito abaixo.
Tabela
2.1 - Estabilidade
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Limites dos Gráficos
No de
element.
amostra (n)
A2 3 4
Gráfico das Médias 2 1,880 0 3,267
LSC = Limite Superior = +
A2R
3 1,023 0 2,574
LC = Limite Central = 4 0,729 0 2,282
LIC = Limite Inferior = - A2 5 0,577 0 2,114
Gráfico das Amplitudes R 6 0,483 0 2,004
LSC = Limite Superior = D4 7 0,419 0,076 1,924
LC = Limite Central = 8 0,373 0,136 1,864
LIC = Limite Inferior = D3 9 0,337 0,184 1,816
10 0,308 0,223 1,777
Critérios de Avaliação
Analisar os gráficos e R. Primeiramente o gráfico R e na seqüencia o gráfico
:
Pontos fora dos limites de controle.
7 ou mais pontos consecutivos crescentes ou decrescentes.
7 ou mais pontos consecutivos acima ou abaixo da linha média.
Caso os gráficos e R estejam fora de controle, investigar as causas e
estabelecer ações corretivas.
Se o processo apresentar falta de estabilidade, identifique as causas,
estabeleça ação corretiva. Repita o estudo de estabilidade;
Se o processo for estável, prossiga com o estudo do sistema de medição;
Se não for possível estabilizar o processo de medição, realizar os estudos
ao longo do tempo para identificar as variações de longo prazo.
Discriminação do sistema de medição no estudo de estabilidade
Capacidade do sistema de medição de detectar e indicar de forma confiável,
2.1 - Estabilidade
Page 2

pequenas variações da grandeza que está sendo medida.
Uma forma de quantificar o poder discriminador é expressando a menor
variação da grandeza que o sistema de medição pode detectar.
Critério de avaliação:
Verificar se o gráfico de controle R não apresenta muitas amplitudes iguais a
zero (acima de 30%). Caso isso ocorra, existe uma boa evidência de que o
equipamento de medição não tem resolução adequada para esta medição.
Neste caso, faça uma análise crítica.
Exemplo 2.1.1
O técnico de processo deve realizar um estudo sobre a estabilidade do sistema
de medição para avaliar o diâmetro de uma barra de aço com um micrômetro.
O técnico selecionou 1 peça, que foi medida em uma frequência diária e
tamanho de sub-grupo 3, por um avaliador. Os valores estão na Tabela 1.
Tabela 1: Diâmetros da barra de aço
Data Horário
Medidas
1 2 3
6/ago 09:15 4,202 4,201 4,202
13/ago 16:35 4,201 4,202 4,203
20/ago 14:13 4,199 4,198 4,200
27/ago 09:40 4,200 4,201 4,201
4/set 15:28 4,200 4,201 4,200
11/set 10:39 4,202 4,201 4,200
19/set 15:10 4,200 4,201 4,200
25/set 09:25 4,200 4,199 4,199
1/out 15:40 4,198 4,199 4,199
8/out 09:25 4,200 4,202 4,200
16/out 16:10 4,202 4,203 4,203
2.1 - Estabilidade
Page 3

24/out 10:05 4,201 4,202 4,201
1/nov 13:40 4,199 4,199 4,198
8/nov 14:55 4,200 4,200 4,201
14/nov 11:00 4,199 4,198 4,199
22/nov 15:50 4,200 4,199 4,200
29/nov 09:42 4,201 4,201 4,200
7/dez 08:20 4,199 4,200 4,199
12/dez 15:30 4,200 4,201 4,199
20/dez 11:05 4,199 4,199 4,200
28/dez 15:30 4,201 4,200 4,199
4/jan 16:00 4,200 4,200 4,202
10/jan 15:15 4,203 4,204 4,203
15/jan 16:00 4,204 4,203 4,203
Dos dados da tabela tomamos a média dos valores da coluna Média e a média
dos valores da coluna Amplitude e obtemos = 4,200486 e = 0,001292
Os limites de controle são calculados da seguinte forma: Gráfico R
Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de D3 = 0 e D4
= 2,574, com isso:
LSC = 2,574*0,001292 = 0,003325
LIC = 0*0,001292 = 0
2.1 - Estabilidade
Page 4

Gráfico
Tamanho da amostra n = 3, A2 = 1,023, obtemos os seguintes limites de
controle:
LSC = 4,200486+1,023*0,001292 = 4,201807
LIC = 4,200486 -1,023*0,001292 = 4,199165
consultar:
manual do
usuário
video
demonstrativo
Exemplo 2.1.2
2.1 - Estabilidade
Page 5

Considere o exemplo 1.1.1
Data Horário 1 2 3
5/nov 17:10 32,53 32,57 32,72
6/nov 07:30 32,91 32,93 32,85
6/nov 12:00 32,80 32,75 32,53
6/nov 17:00 32,95 32,64 32,69
7/nov 08:00 32,59 33,05 32,68
7/nov 12:20 32,81 32,89 32,73
7/nov 17:15 32,83 32,68 32,72
8/nov 08:00 32,91 32,90 32,59
8/nov 12:10 32,98 32,62 32,67
8/nov 17:00 33,14 32,83 32,66
9/nov 07:30 33,22 32,50 32,72
9/nov 12:20 32,43 32,92 32,67
10/nov 17:15 32,82 32,72 32,63
10/nov 07:32 33,19 32,55 32,56
11/nov 12:08 32,81 32,64 32,84
11/nov 17:20 32,97 32,65 32,71
12/nov 08:50 32,56 32,66 32,79
12/nov 12:28 32,52 32,48 32,54
13/nov 17:45 32,66 32,55 32,65
13/nov 08:40 32,24 33,11 32,71
14/nov 12:30 32,54 32,02 32,70
14/nov 17:30 32,88 32,60 32,56
15/nov 07:36 32,54 32,56 32,77
15/nov 12:10 32,43 32,70 32,81
16/nov 17:50 33,05 32,81 32,73
16/nov 07:50 32,97 32,77 32,64
17/nov 12:20 32,69 32,72 32,73
2.1 - Estabilidade
Page 6

17/nov 17:30 32,47 32,83 32,77
18/nov 08:40 32,77 32,50 32,78
18/nov 12:29 32,26 32,94 32,82
Dos dados da tabela tomamos a média dos valores da coluna Média e a média
dos valores da coluna Amplitude e obtemos = 32,71699 e = 0,340373
Os limites de controle são calculados da seguinte forma: Gráfico R
Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de D3 = 0 e D4
= 2,574, com isso:
LSC = 2,574*0,340373 = 0,876119
LIC = 0*0,340373 = 0
Gráfico
Tamanho da amostra n = 3, A2 = 1,023, obtemos os seguintes limites de
controle:
LSC = 32,71699+1,023*0,340373 = 33,06519
LIC = 32,71699 -1,023*0,340373 = 32,36879
2.1 - Estabilidade
Page 7

consultar:
manual do
usuário
video
demonstrativo
2.1 - Estabilidade
Page 8

2.2 Tend ncia
Defini es
Tend ncia é a diferença entre a média das medidas de uma grandeza e o valor
de referência para a grandeza medida, realizadas por um avaliador com o
mesmo equipamento e método
Di e i es pa a es o e en ncia
Selecionar um item da produção cuja medida caia na faixa central da
variação do processo;
Determinar o valor de referência do item escolhido em relação a um
padrão rastreável. Aqui, podemos utilizar laboratórios externos, como os
laboratórios acreditados no INMETRO (VR);
Um avaliador, treinado no uso do sistema de medição que está sendo
analisado, mede o item 10 vezes ou mais (o MSA sugere 12);
Calcular a média das medições (x) e a tendência;
e plo 2 2
Vamos avaliar a tendência de um sistema de medição para medir a altura de
um "MP3 Player", com tolerância de 0,7 mm. Esta altura é medida com um
altímetro. Um “MP3 Player” foi selecionado (próximo ao valor nominal) e,
após 10 medições realizadas por uma máquina de medição por coordenadas,
2.2 - Tend ncia
Page 1

foi determinado o valor de refer ncia , mm. se uir, o mesmo
“ P Pla er” foi medido ve es com o sistema de medição em análise. Os
dados são:
Amostra Medidas
1 89,77
2 89,79
3 89,77
4 89,78
5 89,74
6 89,72
7 89,72
8 89,75
9 89,74
10 89,77
11 89,78
12 89,74
89,73
A partir destes dados temos que:
a) Média =
b) Tendência = (média) - (valor de referência) = 2
Devemos interpretar que em média, os valores medidos por esse avaliador com
esse instrumento e esse método são superiores ao valor de referência
em 2
Para realizarmos a análise da tendência, precisamos validar a variabilidade
associada com a repetitividade (o desvio padrão dos dados), para isto
calculamos
2.2 - Tend ncia
Page 2

no qual é o desvio padrão dos dados e a variação total é baseada na
variação do processo (preferível) ou na tolerância do processo dividida por 6.
Se a for alta (ver tabela acima), então o sistema de medição pode ser
inadequado. Desde que a análise de tendência admite que a repetitividade é
aceitável, continuar com a análise pode nos levar a um resultado contraditório
ou errado, isto é, a análise pode indicar uma tendência estatisticamente nula,
enquanto que seu valor absoluto pode ultrapassar o que é aceitável para o
equipamento. Neste ponto, o MSA quarta edição sugere como critério para
analisar a %VE o mesmo utilizado para análise do RR.
Crit io a a a alia a te d ia
a Intervalo de Confiança
A tendência é aceitável ao nível de significância a se o zero pertencer ao
intervalo de confiança (1 - á) * 100% com limites:
no qual corresponde ao quantil da distribuição t-Student.
Teste de Hipóteses
Equivalentemente, podemos realizar o seguinte teste de hipóteses para avaliar
a tendência:
Para isso, note que a estatística dada por:
sendo o desvio padrão das medidas, o número de medidas e a
distribuição t-Student com graus de liberdade.
2.2 - Tend ncia
Page 3

Portanto, obtemos a seguinte regra de decisão para um nível de significância á
Se | | > (n-1;1-á/2) rejeitamos 0, ou seja, a tendência é significativa do
ponto de vista estatístico;
Se | | ≤ (n-1;1-á/2) não rejeitamos H0, ou seja, a tendência não é
significativa do ponto de vista estatístico.
A Figura 2.2.1 ilustra a região crítica do teste, isto é, os valores de para os
quais rejeitamos 0.
Figura 2.2.1: Região de rejeição.
c) P-valor
O P-valor representa o menor nível de significância para o qual rejeitamos .
Logo, para um nível de signicância = 0,05 adotado, rejeitamos se o P-
valor obtido for menor que 0,05, enquanto que não reijetamos se o P-valor
for maior que 0,05, esse fato observamos na (Figura 2.2.2). Para o teste t, o P-
valor é calculado na forma
p valor 2 (tn 1 t )
Com isso, rejeitamos 0 quando o p-valor for menor que o nível de
significância proposto (usualmente 0,05), caso contrário (p-valor > ) não
rejeitamos 0.
2.2 - Tend ncia
Page 4

Figura 2.2.2: P-valor.
Exemplo 2.2.2
Considerando os dados do Exemplo 2.2.1 e um valor de igual a 0,05, temos
que:
= 12
s = 0,02392
(n-1;1 - /2) = (11;0,975) = 2,201.
Neste exemplo, vamos utilizar a toler ncia do processo para determinar a
variação total (VT). Ao dividirmos a tolerância por 6, obtemos que
Como s = 0,02392, temos que a %VE do processo é dada por
Desde que a %VE é baixa, temos uma variabilidade aceitável.
Com isso, o intervalo de confiança com 95% de confiança para a tendência é
obtido atráves dos limites inferior (LI) e superior (LS):
2.2 - Tend ncia
Page 5

Conclusão: Como zero não faz parte do intervalo, a tendência encontrada
(0,0258 mm) é significativa ao nível 5%.
Equivalentemente, podemos realizar o teste de hipóteses para 0 : Tendência =
0. Para testar esta hipótese, tomamos
Como = 3,741 > t(n-1;1- /2) = 2,201, rejeitamos a hipótese 0, ou seja, a
tendência é diferente de zero com 95% de confiança. A hipótese 0 também
pode ser avaliada pelo p-valor, que é calculado como:
p-valor = 2 X P(tn-1 > |t|) = 2 X(1 - P(t11 > 3,741)) = 0,00325.
Como o p-valor é menor que o adotado (0,05), rejeitamos 0.
Veja a seguir os resultados obtidos pelo software A para o mesmo
exemplo.
2.2 - Tend ncia
Page 6

consultar:
manual do
usuário
video
demonstrativo
Análises da tendência
Se a tendência for relativamente grande, procure por estas possíveis causas:
Erro na medida da peça padrão;
1.
Componentes gastos;
2.
Dispositivo de medição feito para dimensão errada;
3.
Dispositivo de medição medindo característica errada;
4.
Dispositivo de medição calibrado inadequadamente;
5.
Dispositivo de medição utilizado de maneira imprópria pelo avaliador.
6.
Exemplo 2.2.3: Um engenheiro está avaliando um novo sitema de medição
para monitorar um processo. Uma análise do sistema de medição indicou que
não deve haver preocupação com a linearidade, pois a faixa de interesse é
2.2 - Tend ncia
Page 7

pequena. Uma nica peça foi escolhida de tal forma que esteja próxima ao
valor nominal dos processos. A peça foi medida por um sistema de medição
sofisticado para determinar seu valor de referência (reference value = 6). A
peça foi então medida 15 vezes por um operador e o valor da variabilidade
total do processo é de 2,5, este valor será utilizado para validar a repetitividade
do sistema de medição. Os valores são dados na tabela abaixo.
Trials Measurement Tend ncia
1 5,8 -0,2
2 5,7 -0,3
3 5,9 -0,1
4 5,9 -0,1
5 6,0 0,0
6 6,1 0,1
7 6,0 0,0
8 6,1 0,1
9 6,4 0,4
10 6,3 0,3
11 6,0 0,0
12 6,1 0,1
13 6,2 0,2
14 5,6 -0,4
15 6,0 0,0
= 15
s = 0,212
(n-1;1 - /2) = (14;0,975) = 2,144.
Como s = 0,212, temos que a %VE do processo é dada por
2.2 - Tend ncia
Page 8

Desde que a %VE é baixa, temos uma variabilidade aceitável.
Com isso, o intervalo de confiança com 95% de confiança para a tendência é
obtido atráves dos limites inferior (LI) e superior (LS):
Conclusão: Como zero faz parte do intervalo, a tendência encontrada
(0,0258 mm) não é significativa ao nível 5%.
Equivalentemente, podemos realizar o teste de hipóteses para 0 : Tendência =
0. Para testar esta hipótese, tomamos
Como = 0,12178 < t(n-1;1- /2) = 2,144, não rejeitamos a hipótese 0, ou seja, a
tendência é igual a zero com 95% de confiança. A hipótese 0 também pode
ser avaliada pelo p-valor, que é calculado como:
p-valor = 2 X P(tn-1 > |t|) = 2 X(1 - P(t14 > 0,12178)) = 0,9048.
Como o p-valor é menor que o adotado (0,05), rejeitamos 0.
exemplo.
2.2 - Tend ncia
Page 9

consultar:
manual do
usuário
video
demonstrativo
2.2 - Tend ncia
Page 10

M todo da a ta de o t ole a a a aliação da tendência
Se uma carta R é utilizada para medir a estabilidade, estes mesmos dados
podem ser utilizados para avaliar a tendência. Neste caso, ao estabelecermos o
valor de referência para a peça utilizada no estudo de estabilidade, calculamos
Tendência = - Valor de referência
onde corresponde a linha central do gráfico de controle da média.
Para testarmos se a tendência é significativa, basta elaborarmos o gráfico ,
com os valores substituídos por X - Valor de referência. Se o zero estiver
entre os limites de controle, dizemos que a tendência não é significativa.
Exemplo 2.2.4
O engenheiro de sistemas de medição deve realizar um estudo sobre o sistema
de medição para avaliar a espessura de uma bucha. O engenheiro selecionou 1
peça padrão, que foi medida 3 vezes diariamente por um avaliador. Os valores
estão na Tabela 2.
Tabela 2: Dados da espessura de uma bucha
Amostra
Medidas
Média VR Tendência Amplitude
1 2 3
1 0,992 0,992 0,992 0,99200 0,992 0,00000 0
2 0,992 0,993 0,992 0,99233 0,992 0,00033 0,001
3 0,991 0,992 0,993 0,99200 0,992 0,00000 0,002
4 0,991 0,992 0,993 0,99200 0,992 0,00000 0,002
5 0,991 0,992 0,992 0,99167 0,992 -0,00033 0,001
6 0,992 0,991 0,994 0,99233 0,992 0,00033 0,003
7 0,992 0,993 0,992 0,99233 0,992 0,00033 0,001
8 0,992 0,992 0,992 0,99200 0,992 0,00000 0
9 0,993 0,992 0,992 0,99233 0,992 0,00033 0,001
10 0,992 0,992 0,992 0,99200 0,992 0,00000 0
11 0,99 0,992 0,992 0,99133 0,992 -0,00067 0,002
2.2 - Tend ncia
Page 11

12 0,992 0,992 0,992 0,99200 0,992 0,00000 0
13 0,993 0,991 0,992 0,99200 0,992 0,00000 0,002
14 0,992 0,991 0,992 0,99167 0,992 -0,00033 0,001
15 0,993 0,992 0,993 0,99267 0,992 0,00067 0,001
16 0,994 0,992 0,992 0,99267 0,992 0,00067 0,002
17 0,993 0,992 0,992 0,99233 0,992 0,00033 0,001
18 0,992 0,992 0,993 0,99233 0,992 0,00033 0,001
19 0,991 0,991 0,993 0,99167 0,992 -0,00033 0,002
20 0,991 0,992 0,992 0,99167 0,992 -0,00033 0,001
Construa uma tabela das Tend ncias edidas - alor de efer ncia para
cada medida
Amostra
1 0 0 0
2 0 0,001 0
3 -0,001 0 0,001
4 -0,001 0 0,001
5 -0,001 0 0
6 0 -0,001 0,002
7 0 0,001 0
8 0 0 0
9 0,001 0 0
10 0 0 0
11 -0,002 0 0
12 0 0 0
13 0,001 -0,001 0
14 0 -0,001 0
15 0,001 0 0,001
2.2 - Tend ncia
Page 12

16 0,002 0 0
17 0,001 0 0
18 0 0 0,001
19 -0,001 -0,001 0,001
20 -0,001 0 0
c lique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Portanto, podemos construir o seguinte gr ico e para a tend ncia
2.2 - Tend ncia
Page 13

Figura : Gr ico e para avaliar a tend ncia.
Conclusão: partir do r ico , concluímos que a tendência não é
significativa, pois o zero está entre os limites de controle.
consultar:
manual do
usuário
video
demonstrativo
Exemplo 2.2.5
Uma medida dimensional é controlada com um sistema de medição utilizando
um micrômetro de resolução 0,002 mm. A especificação desta característica
dimensional é 13,000 0,020 mm. O avaliador quer saber se o sistema de
medição apresenta tendência. Para isto, ele escolheu uma peça cuja medida é
próxima ao valor nominal (13,000 mm), com a peça sendo medida através de
um sistema de medição com um banco micrométrico de resolução de 0,0005
mm. Foram realizadas várias medidas da peça com o banco micrométrico
obtendo uma média de 13,001 mm. A seguir, fazemos 12 leituras da mesma
2.2 - Tend ncia
Page 14

peça com o sistema de medição utilizando o micrômetro.
Leituras
13,002
13,002
13,004
13,002
13,004
13,002
13,004
13,002
13,000
13,000
13,000
13,002
exemplo.
2.2 - Tend ncia
Page 15

consultar:
manual do
usuário
video
demonstrativo
2.2 - Tend ncia
Page 16

2.3 - Tend ncia e Linearidade
A linearidade mede a variação da tend ncia para diferentes valores de refer ncia na
A linearidade é avaliada via a inclinação da reta formada pelos diferentes valores
relação a respectiva tendência. Quanto menos inclinada a reta, melhor será a qualid
medição.
Diretri es
Diretrizes para o estudo de tendência e linearidade para sistema não destrutivo:
Selecionar uma amostra de peças (no mínimo 5) cujas medidas se distribuam ao
interesse;
Determinar os valores de referência das peças. Mais uma vez podemos ut
acreditados no INMETRO ou laboratório interno;
Avaliador que utiliza o sistema de medição deve medir cada uma das peças no m
MSA sugere 12), em seqüência aleatória;
Determinar a tendência para cada medição (Tendência = Resultado da me
Referência);
Representar graficamente a (tendência) x ( valor de referência);
Avalia ão
Para avaliarmos a tendência e linearidade, vamos tomar o ajuste da tendência em rela
referência:
Tendência = a + b*(valor de referência) + Erro de ajuste
Coeficiente de Determinação (R2): grau de ajuste da reta;
2.3 - Tend ncia e inea idade
Page 1

Intercepto (a);
Inclinação
Apresentamos algumas das métricas utilizadas na segunda edição do MSA:
Linearidade = | |
%Linearidade = | |* (100%)
Linearidade em relação à escala de medição (amplitude da faixa nominal): L(esc
min)
Regressão Linear
O modelo de regressão linear é dado por:
Tij = VR + (1)
onde
: número de peças (≥ 5);
: número de medições por peça (≥ 12);
T : corresponde a j-ésima tendência do i-ésimo valor de referência (corpo de pro
VR : corresponde ao valor de referência i;
é uma variável aleatória normal com média zero e desvio-padrão (independ
e são os parâmetros, que juntos definem a reta da regressão.
Estimativas
Neste sentido, o MSA 3a edição propõe como critério as seguinte ferramentas:
Teste dos coeficientes de regressão;
1.
Banda de confiança para a reta de regressão.
2.
A seguir, vamos estudar os dois critérios. Para facilitar os cálculos, estabelecemos a s
Tabela 3: Entrada de dados e cálculos de linearidade
Page 2

Medição VR T VR2 T2 VR*T
Z VR1 T VR2 T2 VR
*T
Z 2 VR1 T 2 VR2 T2
2
VR2
*T 2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Z VR1 T VR2 T2 VR
*T
Z2 VR2 T2 VR2
2 T2
2
VR2
*T2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Z2 VR1 T2 VR2
2 T2
2
VR2
*T2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Z VRg T VR2 T2 VR
*T
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Z VRg T VR2 T2 VR
*T
soma
VR
soma
T
soma
VR2
soma
T2
soma
VR T
Page 3

Estimativas
As médias da tendência e do valor de referência são dados por:
Notações básicas
O modelo ajustado é dado por:
para todo = 1,..., e = 1,..., .
As estimativas de mínimos quadrados â e são dadas por:
O R2 é dado por:
ou seja, é a razão entre o produto (S S ) pelo produto (S S ) e
Page 4

Metodologias
A seguir, vamos apresentar duas metodologias para testarmos a significância estatísti
coeficientes da regressão.
1) Teste dos Coeficientes da Regressão Linear Simples:
1.1) Teste para o Coeficiente Angular
Estatística do teste
onde
O valor de * deve ser comparado com uma distribuição t- Student com g*m-2 graus
um determinado nível de significância (ver tabela da distribuição t-Student).
Se |t| ≤ t(g*m-2; 1-( /2)) não rejeitamos o, ou seja, rejeitamos a hipótese de qu
angular seja significativo;
Se t > t(g*m-2; 1-( /2)) rejeitamos o, ou seja, não rejeitamos a hipótese de que
angular seja significativo.
Outra forma de definirmos um critério para avaliarmos o teste de hipótese é o P-valo
Page 5

1.2) Teste para o intercepto
Estatística do teste
onde,
Este valor deve ser comparado com uma distribuição t - Student com (g*m-2) graus
um determinado nível de significância (ver tabela da distribuição t-Student).
Se |t| j ≤ t(g * m-2; 1-( /2)) não rejeitamos o, ou seja, rejeitamos a hipótese d
seja significativo;
Se |t| j > t(g * m-2; 1-( /2)) rejeitamos o, ou seja, não rejeitamos a hipótese d
seja significativo.
Outra forma de definirmos um critério para avaliarmos o teste de hipótese é o P-valo
O P-valor representa o menor nível de significância para o qual rejeitamos Ho.
Logo, para um nível de significância = 0,05 adotado, rejeitamos o se o P-valor
que 0,05, enquanto que não rejeitamos Ho se o P-valor for maior que 0,05.
Page 6

Critério: A tend ncia e a linearidade são consideradas não si nificativas quando não
hip teses o nos dois testes reali ados acima.
2) Intervalo de Confiança para reta de re ressão
onde VR representa o Valor de Refer ncia no ponto que calculamos o intervalo de co
Critério: a linha relativa a tend ncia i ual a ero deve estar completamente contida d
acima.
Obs: As estimativas dos coeficientes e o intervalo de confiança estão descritos na o
edição página 97.
Exemplo 2.3.1
O engenheiro do sistema de medição estava interessado em determinar a linearidade
medição. Cinco peças padrão, que se distribuem por toda a faixa de variação do proc
medidas 15 vezes no laboratório de medição para se determinar o valor de referência
metrologista utilizou um instrumento de medição com uma resolução melhor do que
utilizado normalmente. Após determinar o valor de referência, um avaliador realizou
cada peça padrão nas condições reais de utilização do sistema de medição. Os valore
na Tabela abaixo. Aqui, temos g=5 (número de peças) e m=12 (leituras em cada peça
Page 7

Medições 2,0 Tendência 4,0 Tendência 6,0 Tendência 8,0 Tendência
1 2,7 0,7 5,1 1,1 5,8 -0,2 7,6 -0,4
2 2,5 0,5 3,9 -0,1 5,7 -0,3 7,7 -0,3
3 2,4 0,4 4,2 0,2 5,9 -0,1 7,8 -0,2
4 2,5 0,5 5 1 5,9 -0,1 7,7 -0,3
5 2,7 0,7 3,8 -0,2 6 0 7,8 -0,2
6 2,3 0,3 3,9 -0,1 6,1 0,1 7,8 -0,2
7 2,5 0,5 3,9 -0,1 6 0 7,8 -0,2
8 2,5 0,5 3,9 -0,1 6,1 0,1 7,7 -0,3
9 2,4 0,4 3,9 -0,1 6,4 0,4 7,8 -0,2
10 2,4 0,4 4 0 6,3 0,3 7,5 -0,5
11 2,6 0,6 4,1 0,1 6 0 7,6 -0,4
12 2,4 0,4 3,8 -0,2 6,1 0,1 7,7 -0,3
Estimação dos Parâmetros do exemplo
A seguir, vamos estimar os parâmetros e aplicar a metodologia definida pelo MSA 4
Tabela 5: Tabela de dados
Page 8

Peça Medições VR T
1 2,7 2 0,7 4 0,49 1,4
2 2,5 2 0,5 4 0,25 1
3 2,4 2 0,4 4 0,16 0,8
4 2,5 2 0,5 4 0,25 1
5 2,7 2 0,7 4 0,49 1,4
6 2,3 2 0,3 4 0,09 0,6
7 2,5 2 0,5 4 0,25 1
8 2,5 2 0,5 4 0,25 1
9 2,4 2 0,4 4 0,16 0,8
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
12 9,4 10 -0,6 100 0,36 -6
Soma 360 -3,2 2640 11,82 -82,4
Média 6 -0,053333
Primeiramente precisamos determinar as médias das variáveis T (tendência) e VR (v
Assim, encontramos as somas de quadrados empíricas.
Page 9

A seguir, utilizamos as somas de quadrados empíricas para encontrarmos estimativ
da reta de regressão. Aqui, temos que
A reta estimada é dada por:
Tendência estimada = 0,7366 - 0,13167 *(Valor de Referência)
Com isso, obtemos que a %linearidade = 13,2%. Isto que dizer que a tendência vari
da faixa de estudo (10-2=8) entre o início e o final da faixa. Vamos aplicar o
avaliação da linearidade, os testes dos parâmetros e o intervalo de confiança para a
Para isto, calculamos o quadrado médio do erro (QME) por:
Caso 1: Teste de hipóteses: Inicialmente, vamos testar o coeficiente angular (b).
Page 10

A estatística do teste é dada por:
no qual o erro padrão associado à estimativa do coeficiente angular é calculada por:
Portanto, o valor da estatística t-Student é dado por:
Para uma distribuição t-Student com 58 graus de liberdade encontramos
t(g*m-2; 1- /2) = 2,0017.
Desde que * = 12,044 > 2,0017 rejeitamos a hipótese de que a linearidade não seja s
isso, concluímos que a linearidade é significativa ao nível de confiança de 5%.
Na seqüência, vamos realizar o teste para o intercepto
Neste caso, a estatística do teste é dada por:
no qual,
Page 11

Com isso, obtemos que
Para uma distribuição t- tudent com raus de li erdade encontramos t m- -á
Desde que * = 10,16 > 2,0017 rejeitamos a hip tese de que o intercepto não se a si
isso, concluímos que o intercepto é significativo ao nível de confiança de 5%.
Conclusão: Desde que o coeficiente angular (linearidade) foi considerado signific
medição apresenta uma linearidade significativa com 95% de confiança ( = 0,05)
Caso 2: Intervalo de confiança para a reta de regressão. A seguir, apresentamos na T
dos limites do intervalo, considerando as seguintes expressões:
Tabela 6: Limites do intervalo
Valor de
Referência
(VR)
LI LS
2 0,4128 0,5704
4 -0,1593 0,4093
6 -0,0995 0,1495
8 -0,3549 -0,2283
10 -0,7098 -0,5234
Veja a seguir os resultados obtidos pelo software A para o mesmo exemplo.
Page 12

Para entender como executar essa função do Software Action, voc pode consultar
Page 13

manual do
usuário
vídeo
demonstrativo
Exemplo 2.3.2
Como aplicação de um estudo de tend ncia e linearidade, vamos avaliar um sistem
medir a temperatura de um forno via um pir metro optico. Para isto, vamos fa
comparação com um termo elemento padrão. omamos níveis de temperatura
Padrão Medidas VR Tolerância
1 748,8 750 100
1 749,8 750 100
1 748,8 750 100
1 748,8 750 100
1 748,8 750 100
1 748,8 750 100
1 747,7 750 100
1 747,7 750 100
1 747,7 750 100
1 748,7 750 100
1 749,7 750 100
1 750,7 750 100
2 848,8 850 100
2 848,8 850 100
2 848,8 850 100
2 847,2 850 100
2 847,2 850 100
2 847,2 850 100
2 846,1 850 100
Page 14

2 846,1 850 100
2 846,2 850 100
2 846,3 850 100
2 847,3 850 100
2 848,3 850 100
3 946,9 950 100
3 946,9 950 100
3 946,9 950 100
3 945,8 950 100
3 944,8 950 100
3 944,8 950 100
3 943,6 950 100
3 943,6 950 100
3 943,6 950 100
3 945,1 950 100
3 946,1 950 100
3 947,1 950 100
4 1045,4 1050 100
4 1045,4 1050 100
4 1045,4 1050 100
4 1044,9 1050 100
4 1043,9 1050 100
4 1044,9 1050 100
4 1042 1050 100
4 1042 1050 100
4 1042 1050 100
4 1045,6 1050 100
4 1046,6 1050 100
4 1047,6 1050 100
Page 15

5 1141,9 1150 100
5 1141,3 1150 100
5 1142,9 1150 100
5 1144,3 1150 100
5 1143,5 1150 100
5 1140,9 1150 100
5 1141,9 1150 100
5 1142,2 1150 100
5 1142,1 1150 100
5 1140 1150 100
5 1140,7 1150 100
5 1142,7 1150 100
Veja a seguir os resultados obtidos pelo software A para o mesmo exemplo
Page 16

Para entender como executar essa função do Software Action, voc pode consultar
manual do
usuário
vídeo
demonstrativo
Page 17

2.4 - Repetitividade e Reprodutibilidade
Neste m dulo, vamos apresentar um método para estimarmos a variabilidad
associada ao sistema de medição. Como apresentado no módulo análise dos sistema
de medição, a variabilidade é decomposta em dois termos:
Repetitividade - VE
Variação das medidas obtidas por um único operador, utilizando o mesm
equipamento de medição e método, ao medir repetidas vezes uma mesma grandeza d
uma única peça (corpo de prova).
Reprodutibilidade - VO
Variação das médias obtidas por diferentes operadores utilizando o mesm
equipamento de medição para medir repetidamente uma mesma grandeza de um
única peça (corpo de prova).
RR
É a soma das variações devido à falta de Repetitividade e Reprodutibilidade.
Variabilidade
Page 1

Variabilidade entre partes (variabilidade do processo de produ ão) - VP
É a variação das medidas observada entre os itens produzidos pelo processo, isto é,
variabilidade observada nas peças. Salientamos que a variabilidade entre as parte
pode ser obtida à partir de um estudo de capacidade do processo ou à partir do própr
estudo para determinar o RR.
Variabilidade total
É a soma das variações devidas ao sistema de medição e ao processo.
ou
Variabilidade interna do produto
Em muitos sistemas de medição, a variação interna (ou, inerente ) das peças, com
ovalização, podem inflacionar nossa estimativa da repetitividade. A variabilidad
interna pode ser avaliada e separada da repetitividade. O procedimento é ma
complexo e consiste basicamente em:
Obter a medida em vários pontos da peça;
Trabalhar com os valores médios (ou valores máximo e/ou mínimo) para cada
peça;
À partir destes experimentos estimar a variabilidade interna.
A variabilidade interna deve sempre ser objeto de estudo para a melhoria do proc
produtivo.
Diretrizes para o estudo de RR - Replicável
Selecionar aleatoriamente operadores que utilizam e conhecem bem o sistema
1.
Page 2

medição a ser estudado. Em geral recomendamos três operadores. Se isto não fo
viável, utilizar pelo menos dois operadores. Caso o operador não influencie na
medição, não avalie a reprodutibilidade.
1.
Utilizar equipamentos de medição devidamente calibrados.
2.
Selecionar de 5 a 15 peças da produção cujas dimensões varram o campo de
variação do processo
Se o sistema de medição for utilizado para processos com campos de
variação muito distintos, recomendamos realizar estudos RR distintos.
Sempre que possível procure obter g = ( ) X (
) maior que 15. Se isto não for possível, aumente o número de
leituras por peças.
3.
Escolher o método de conduzir e analisar o estudo.
Análise de Variância (ANOVA).
4.
Análise de variância - ANOVA
A análise de variância (ANOVA) é uma técnica estatística clássica que pode ser
utilizada para avaliar o erro de medição e outras fontes de variabilidade dos dados
pertinentes ao sistema de medição.
As vantagens do método da ANOVA comparada ao método da Média e amplitude,
são:
Capaz de tratar diversas estruturas de experimentos;
1.
Estimar a variância com mais exatidão e precisão;
2.
Extrair mais informações sobre os dados, tal como o efeito da interação entre
peças e avaliadores;
3.
As desvantagens são a complexidade dos cálculos e a necessidade de um
conhecimento básico de estatística para que o usuário possa interpretar os resultados.
Aplicação do método da ANOVA
A seguir, descrevemos os passos para aplicarmos o método da ANOVA.
1o Passo
Selecionar as peças de tal forma que representem a variação natural do processo
Em geral, tomamos peças de lotes distintos de produção. Identificar as peças.
2o Passo
Page 3

Selecionar os operadores de forma a envolver todos os turnos. Os operadores
devem ter treinamento para utilizar o sistema de medição. O número de
operadores vezes o número de peças deve ser maior que 15. Caso o operador nã
influencie na medição, escolhemos apenas um operador e não avaliamos a
reprodutibilidade.
3o Passo
Cada operador mede três ou mais vezes cada peça em ordem aleatória.
4o Passo
Aleatorizar as medições.
5o Passo
Calcule a média ( ) e desvio padrão, conforme Tabela 10. Observe que
calculamos os desvios padrão para cada combinação peça versus operador, o
desvio padrão entre as médias dos operadores e o desvio padrão entre as médias
das peças.
Desta forma, com os passos de 1 a 6 podemos organizar os dados da seguinte form
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
22
22
22 22
2
2
2 2
2
2
2
2
Page 4

2
Tabela 2.4.1: Tabela de entradas
As quantidades são dadas por são dadas por:
Os passos a seguir serão divididos conforme o modelo a ser adotado (sem interação
ou com interação entre peça e operador).
Modelo A: com interação entre peça e operador
A fim de facilitar cálculos futuros, sugerimos o cálculo prévio de:
sendo que
Page 5

Assim, prosseguimos:
o Passo
Calcular a Repetitividade
8o Passo
Calcular a Reprodutibilidade como
sendo e dados pelas expressões
o Passo
Calcular o RR
10o Passo
Calcular a variação entre peças
11o Passo
Calcular a variação total
12o Passo
Tabela de % de contribuição
Page 6

ontes de
Variação
Variância
%
Contribuição
Repetitividade ( )
Reprodutibilidade ( )²
Operador ( )²
Peça x Operador ( )²
Peça ( )²
R&R ( )²
Total ( )² 100,00
Tabela 11: Tabela de contribuição - com interação
Os valores utilizados para preencher a Tabela 11 vem das expressões (18) até (25)
13o Passo
Tabela de % em relação à variação total e ou % de tolerância
Page 7

onte de
variação
Desvio
Padrão
%
Variação
Total
% Tolerância
Repetitividade VE
Reprodutibilidade VO
Operador Voper
Peça x Operador VI
Peça VP
R&R R&R
Tabela 12: Tabela de % da variação total e ou % de tolerância - com interação
Os valores utilizados para preencher a Tabela 12 vem das expressões (18) até (25). N
Tabela 12, o valor normalmente escolhido para k é 5,15. Entretanto, por facilidades
de interpretação desse índice com o índice de (e ou ) é recomendado utilizar
k=6.
Sugestão de regra para análise das variações:
Tolerância: Sistema de medição aplicado em inspeções finais e inspeção de
recebimento;
Variação total: Sistema de medição utilizado durante o processo produtivo.
%RR menor que 10% → sistema de medição aceitável.
%RR entre 10% e 30% → sistema de medição marginal, podendo ser aceito
dependendo da situação, custos, etc.
%RR maior que 30% → sistema de medição inaceitável, sendo necessário
melhorá-lo ou substituí-lo.
14o Passo
O ndc representa a capacidade de discriminar categorias de peças em um sistema de
Page 8

medição considerando a variação do processo. Este índice nos fornece o número de
faixas que podemos dividir a variação do processo. O ndc é dado pelo maior inteiro
menor ou igual ao valor:
O manual da indústria automobilística (MSA) apresenta como critério um ndc ≥
Isto quer dizer que o sistema de medição é capaz de identificar 5 tipos distintos d
peças dentro do campo de variação do processo. Se um sistema de medição é avaliad
pela tolerância, o índice ndc não deve ser considerado.
15o Passo
Realizar uma análise dos dados para avaliar as características do sistema.
Se a repetitividade for grande quando comparada com a reprodutibilidade, as razões
podem ser:
O dispositivo de medição precisa de manutenção;
1.
O dispositivo de medição deverá ser reprojetado para ter maior robustez;
2.
A fixação ou posição para a medição precisam ser melhorados;
3.
Existe uma excessiva variação própria da peça.
4.
Se a reprodutibilidade for grande comparada com a repetitividade, então as possíveis
causas podem ser:
O operador precisa ser melhor treinado em como usar e ler o dispositivo de
medição;
1.
As marcações no mostrador do dispositivo de medição não são claras;
2.
Algum tipo de dispositivo pode ser necessário para ajudar o operador a usar o
dispositivo de medição mais consistentemente.
3.
Exemplo 2.4.1
Tabela 13: Medições do diâmetro interno do mancal
Peça Medição Operador
1 114,958 1
Page 9

2 114,957 1
3 114,962 1
4 114,963 1
5 114,965 1
6 114,963 1
7 114,967 1
8 114,963 1
9 114,963 1
10 114,967 1
1 114,962 1
2 114,956 1
3 114,963 1
4 114,965 1
5 114,966 1
6 114,965 1
7 114,969 1
8 114,97 1
9 114,955 1
10 114,965 1
1 114,958 1
2 114,6 1
3 114,965 1
4 114,966 1
5 114,967 1
6 114,964 1
7 114,97 1
Page 10

8 114,97 1
9 114,955 1
10 114,966 1
1 114,957 2
2 114,958 2
3 114,962 2
4 114,963 2
5 114,965 2
6 114,962 2
7 114,967 2
8 114,968 2
9 114,952 2
10 114,967 2
1 114,961 2
2 114,957 2
3 114,963 2
4 114,966 2
5 114,967 2
6 114,963 2
7 114,97 2
8 114,968 2
9 114,955 2
10 114,964 2
1 114,958 2
2 114,959 2
3 114,965 2
Page 11

4 114,965 2
5 114,966 2
6 114,965 2
7 114,97 2
8 114,97 2
9 114,954 2
10 114,966 2
1 114,958 3
2 114,958 3
3 114,953 3
4 114,965 3
5 114,967 3
6 114,962 3
7 114,967 3
8 114,968 3
9 114,953 3
10 114,966 3
1 114,961 3
2 114,96 3
3 114,963 3
4 114,966 3
5 114,968 3
6 114,965 3
7 114,968 3
8 114,969 3
9 114,953 3
Page 12

10 114,965 3
1 114,958 3
2 114,958 3
3 114,964 3
4 114,965 3
5 114,966 3
6 114,965 3
7 114,969 3
8 114,971 3
9 114,955 3
10 114,967 3
Começamos nossa análise estatística no passo 5, pois os passos anteriores são
referente a escolha das peças e operadores e a coleta de dados.
5o Passo
Cálculo do
Com auxílio da Tabela 13, vamos calcular
Page 13

Peça
Médias
( i ...)
Média das Médias
( ... )
Desv. quadráticos
( i... - ...)2
1 114,9590 114,9631 0,00001699
2 114,9581 114,9631 0,00002511
3 114,9622 114,9631 0,00000081
4 114,9649 114,9631 0,00000312
5 114,9663 114,9631 0,00001031
6 114,9638 114,9631 0,00000043
7 114,9686 114,9631 0,00002952
8 114,9686 114,9631 0,00002952
9 114,9539 114,9631 0,00008525
10 114,9659 114,9631 0,00000765
SOMA = 0,00020873
Portanto,
Cálculo do
Operador
Médias
( ...)
Média das
Médias
( ... )
Desv.
quadráticos
( j... - ...)2
A 114,9619 114,9631 0,00000158
B 114,9636 114,9631 0,00000023
C 114,9639 114,9631 0,00000060
SOMA = 0,00000241
Page 14

Portanto,
Cálculo do QME
Para o cálculo do QME devemos calcular a média e variância dentro de cada casela
da Tabela 13, isto é, para cada combinação de peça e operador Na Tabela abaix
calculamos os valores das médias das medições dentro de cada casela.
Tabela 14: Valores das médias dentro de cada casela
PEÇA
OPERADOR
1 2 3
1 114,9577 114,9613 114,9580
2 114,9577 114,9577 114,9590
3 114,9590 114,9630 114,9647
4 114,9637 114,9657 114,9653
5 114,9657 114,9670 114,9663
6 114,9623 114,9643 114,9647
7 114,9670 114,9690 114,9697
8 114,9663 114,9690 114,9703
9 114,9527 114,9543 114,9547
10 114,9667 114,9647 114,9663
Usando as Tabelas 13 e 14, podemos encontrar os valores de a partir da fórmula (17). Para
primeira peça, temos que
Page 15

Procedendo da mesma forma para as demais peças, obtemos a Tabela 15 com os valores de
Tabela 15: Valores de
PE A
OPERA OR
1 2 3
1 0,00000033 0,00000033 0,00000000
2 0,00000033 0,00000433 0,00000100
3 0,00002700 0,00000000 0,00000033
4 0,00000133 0,00000033 0,00000033
5 0,00000133 0,00000100 0,00000033
6 0,00000033 0,00000133 0,00000033
0,00000000 0,00000100 0,00000033
8 0,00000833 0,00000100 0,00000033
0,00000033 0,00000133 0,00000033
10 0,00000033 0,00000133 0,00000033
Com isso, à partir da fórmula (17) obtemos o valor de QME como:
Page 16

Procedendo da mesma maneira como no exemplo anterior podemos obter SQT com
Com os valores de e obtidos acima, podemos calcular as somas de quadrado
Com o valor obtido para QME, podemos obter SQE como
À partir destas somas de quadrado podemos obter a soma de quadrado e o quadrado
médio da interação peça e operador como
6o Passo
Faça a análise gráfica: Construir o gráfico de controle e S para avaliar as médias e
as amplitudes de cada repetição por operador.
o Passo
Calcular a repetitividade como
8o Passo
À partir das equações (20) e (21), temos que
Page 17

Com isso, temos pela equação (19) que a reprodutibilidade é dada por
o Passo
10o Passo
13o Passo
A Tabela 16 abaixo mostra a porcentagem de cada desvio padrão em relação à
variação total.
Page 18

onte de
variação
Desvio
padrão
%
Repetitividade 0,001345775 26,19048299
Reprodutibilidade 0,001367615 26,61550832
Operador 0,001031400 20,07234423
Peca x Operador 0,000898100 17,47816582
Peça 0,004766740 92,76676839
RR 0,001918719 37,34068401
Total 0,005138413 100
Tabela 16: Porcentagem da variação total
14o Passo
Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
Page 19

Conclusão: O sistema de medição precisa ser melhorado, pois temos uma %RR de
37,4% e um valor de ndc=3, o que é considerado baixo. Observe que neste caso, tant
a repetitividade quanto a reprodutibilidade estão altas (acima de 26%) e temos
interação entre as peças e os operadores, isto significa que temos peças mais
complicadas de serem medidas do que outras. Além disso, observe que no gráfico R,
o operador A apresenta pontos fora dos limites de controle, o que nos diz que este ã
entendeu adequadamente o procedimento de medição. Em resumo, temos diversas
oportunidade de melhoria.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:
manual do
usuário
vídeo
demonstrativo
Page 20

Aplicação do método da ANOVA
Modelo B : sem interação entre peça e operador
A fim de facilitar cálculos, tomamos:
no qual corresponde ao número de peças, o corresponde ao número de operadores
r o número de medições por operador em cada peça. Além disso, o quadrado médio
do erro (QME) é definido por:
6o Passo
Faça a análise gráfica: Construir o gráfico de controle e S ou e R.
7o Passo
Calcular a repetitividade
8o Passo
Calcular a reprodutibilidade
Page 21

o Passo
Calcular o R&R
10o Passo
Calcular a variação entre as peças
11o Passo
Calcular a variação total
12o Passo
Tabela de % de contribuição
ontes de
Variação
Variância
%
Contribuição
Repetitividade ( )
Reprodutibilidade ( )²
Peça ( )²
Page 22

R&R ( )²
Total ( )² 100,00
Tabela 2.4.1: Tabela de contribuição - sem interação
Os valores utilizados para preencher a Tabela 17 vem das expressões (27) até (31).
13o Passo
Tabela de % em relação à variação total e ou % de tolerância
Os valores utilizados para preencher a tabela a seguir (Tabela 18) vem das expressõe
(27) até (30).
onte de
variação
Desvio
Padrão
%
Variação
Total
%
Tolerância
Repetitividade VE
Peça VP
R&R R&R
Tabela 18: Tabela de % da variação total e ou % de tolerância - sem interação
Sugestão de regra para análise das variações
Tolerância: Sistema de medição aplicado em inspeções finais e inspeção de
recebimento;
Variação total: Sistema de medição utilizado durante o processo produtivo.
Page 23

%R&R menor que 10% → sistema de medição aceitável.
%R&R entre 10% e 30% → sistema de medição marginal, podendo ser aceito
dependendo da situação, custos, etc.
%R&R maior que 30% → sistema de medição inaceitável, sendo necessário
melhorá-lo ou substituí-lo.
14o Passo
Calcular o ndc (Número de categorias distintas)
O ndc representa a capacidade de discriminar categorias de peças em um sistema de
medição considerando a variação do processo. Este índice nos fornece o número de
faixas que podemos dividir a variação do processo. O ndc é dado pelo maior inteiro
menor ou igual ao valor:
O manual da indústria automobilística (MSA) apresenta como critério um ndc ≥ 5.
Isto quer dizer que o sistema de medição é capaz de identificar 5 tipos distintos de
peças dentro do campo de variação do processo. Se um sistema de medição é avaliad
pela tolerância, o índice ndc não deve ser considerado.
15o Passo
Realizar uma análise dos dados para avaliar as características do sistema.
Se a repetitividade for grande quando comparada com a reprodutibilidade, as razões
podem ser:
O dispositivo de medição precisa de manutenção;
O dispositivo de medição deverá ser reprojetado para ter maior robustez;
A fixação ou posição para a medição precisam ser melhorados;
Existe uma excessiva variação própria da peça.
Se a reprodutibilidade for grande comparada com a repetitividade, então as possíveis
causas podem ser:
O operador precisa ser melhor treinado em como usar e ler o dispositivo de
medição;
1.
As marcações no mostrador do dispositivo de medição não são claras;
2.
Algum tipo de dispositivo pode ser necessário para ajudar o operador a usar o
dispositivo de medição mais consistentemente.
3.
Exemplo 2.4.2
Page 24

Peça
OPERADOR A OPERADOR B OPERADOR C
Média
I II III I II III I II III
1 10,12 10,06 10,08 10,15 10,20 10,07 10,22 10,01 10,16 10,1189
2 10,14 10,15 10,20 10,26 10,30 10,20 10,26 10,26 10,32 10,2322
3 10,25 10,22 10,40 10,40 10,30 10,47 10,52 10,47 10,35 10,3756
4 10,13 10,16 10,11 10,14 10,13 10,18 10,15 10,11 10,10 10,1344
5 10,87 10,82 10,76 10,76 10,89 10,75 10,84 10,86 10,78 10,8144
6 10,88 10,85 10,82 10,90 10,91 10,87 10,91 10,92 10,89 10,8833
Média 10,3900 10,4277 10,4516 10,4264
Tabela 2.4.2: Leituras
5o Passo
Cálculo do
Page 25

Peça
Médias
( i ...)
Média
( ... )
Desv. Quad
( i... - ...)2
1 10,11888889 10,426481 0,094612907
2 10,23222222 10,426481 0,037736473
3 10,37555556 10,426481 0,002593401
4 10,13444444 10,426481 0,08528535
5 10,81444444 10,426481 0,150515634
6 10,88333333 10,426481 0,208714054
soma 0,579457819
Cálculo do QME
Cálculo do SQE
6o Passo
Faça a análise gráfica: construir o gráfico de controle e R para avaliar as médias e
7o Passo
Page 26

8o Passo
o Passo
10o Passo
11o Passo
Page 27

13o Passo - Tabela de em relação à variação total
Fonte de
variação
Desvio
Padrão
% Variação
Total
Repetitividade 0,0582 16,81
Peça 0,3398 98,21
RR 0,0651 18,829
Total 0,3460 100,00
14o Passo
Page 28

Page 29

manual do
usuário
vídeo
demonstrativo
Conclusão: Temos um bom sistema de medição. A porcentagem RR é baixa (19%) e
além disso, temos um ndc=7, o que nos diz que este sistema tem boa capacidade de
discriminar peças.
Modelo C : sem operador
Exemplo 2.4.3
Considere o estudo realizado para analisar a eficiência do sistema de medição para
medir o dimensional da porta de uma máquina escavadeira. O sistema de medição
utiliza uma máquina de medição por coordenada com CNC. Neste caso, consideramo
que o operador não influência a medição, fato que nos levou a considerar apenas um
operador e 15 peças na análise.
Peça
Réplicas
Média
Desvio
Padrão
Amplitudes
I II III
1 461,28 461,5 461,2 461,327 0,1553 0,3
2 458,17 458,62 458,61 458,467 0,2569 0,45
3 460,57 460,28 460,32 460,39 0,1571 0,29
4 459,28 459,66 459,58 459,507 0,2 0,38
5 461,28 461,12 461,18 461,193 0,0808 0,16
6 460,25 460,68 460,28 460,403 0,24 0,43
7 458,82 458,95 458,66 458,81 0,1452 0,29
8 461,58 461,1 461,18 461,287 0,2571 0,48
9 459,36 459,52 459,57 459,483 0,1067 0,21
10 459,62 459,34 459,54 459,5 0,1442 0,28
11 461,38 461,57 461,53 461,4933 0,1001 0,19
12 458,67 459,03 458,98 458,8933 0,195 0,36
Page 30

13 462,57 462,28 462,32 462,39 0,1571 0,29
14 459,58 459,66 459,28 459,5067 0,2003 0,38
15 461,76 461,12 461,15 461,3433 0,3611 0,64
esvio Padrão entre as Médias das peças
6º Passo
7º Passo
8º Passo
9º Passo
Page 31

10 Passo
11 Passo
13 Passo - Tabela de % em relação à variação total
VARIA O TOTAL E O TOLER CIA
esvio
padrão
Variação total
(%)
Repetitividade 0,197073027 16,40808397
Peças 1,184794492 98,64468957
Repetitividade e
reprodutibilidade
0,197073027 16,40808397
Total 1,201072757 100
14º Passo
Page 32

Exemplo 2.4.4
Page 33

Voltando ao exemplo 1.1.1 (exemplo do conector). Vamos calcular o RR
Peça Medida Operador
1 32,12 A
1 32,06 A
1 32,08 A
1 32,15 B
1 32,20 B
1 32,07 B
1 32,22 C
1 32,01 C
1 32,16 C
2 32,14 A
2 32,15 A
2 32,20 A
2 32,26 B
2 32,30 B
2 32,20 B
2 32,26 C
2 32,26 C
2 32,32 C
3 32,25 A
3 32,22 A
3 32,40 A
3 32,40 B
3 32,30 B
3 32,47 B
3 32,52 C
3 32,47 C
Page 34

3 32,35 C
4 32,13 A
4 32,16 A
4 32,11 A
4 32,14 B
4 32,13 B
4 32,18 B
4 32,15 C
4 32,11 C
4 32,10 C
5 32,87 A
5 32,82 A
5 32,76 A
5 32,76 B
5 32,89 B
5 32,75 B
5 32,84 C
5 32,86 C
5 32,78 C
6 32,88 A
6 32,85 A
6 32,82 A
6 32,90 B
6 32,91 B
6 32,87 B
6 32,91 C
6 32,92 C
6 32,89 C
Page 35

5o Passo
Cálculo do
Peça
Médias
( i ..)
Média
( ... )
Desv. Quad
( i.. - ...)2
1 32,11 32,43 0,09461
2 32,23 32,43 0,037
3 32,37 32,43 0,0025
4 33,13 32,43 0,085
5 32,81 32,43 0,15
6 32,88 32,74 0,20
soma 0,57
Cálculo do QME
Cálculo do SQE
6o Passo
Page 36

o Passo
8o Passo
o Passo
10o Passo
Page 37

11o Passo
13o Passo - Tabela de em relação à variação total
Fonte de
variação
Desvio
Padrão
% Variação
Total
Repetitividade 0,0582 16,81
Peça 0,3398 98,21
RR 0,0651 18,829
Total 0,3460 100,00
14o Passo
Conclusão: O sistema de medição foi considerado adequado, pois a porcentagem RR
é boa (16,8%) e além disso, temos um ndc=7, o que é considerado muito boa.
A saída no software A , é mostrada a seguir:
Page 38

Page 39

manual do
usuário
vídeo
demonstrativo
Objetivo da curva de desempenho
A construção de uma curva de desempenho do dispositivo de medição (GPC, do
inglês ) tem como objetivo ilustrar como varia a
probabilidade de aceitação (P ) de uma peça em função do seu valor de referência
(VR). Uma vez que o erro de medição foi caracterizado, isto é, sua média e desvio
padrão são determinados, torna-se possível calcular a probabilidade de aceitação da
peça dado eu valor de referência. Admitindo que o erro é normalmente distribuído
com média igual a tendência ( ) e o desvio padrão ( ) igual ao R&R, conclui-se que
valor da medição de uma peça tem distribuição normal com média igual a VR+ e
desvio padrão igual ao R&R.
Probabilidade de aceitação
Portanto, a probabilidade de aceitar uma peça com valor de referência igual a VR é
dada por
sendo LIE e LSE os limites inferior e superior de Especificação, respectivamente.
Podemos reescrever essa fórmula como
sendo a função de distribuição acumulada da normal padrão N(0,1).
Exemplo 2.4.3
D
Page 40

Para a peça com valor de referência VR = 0,5 mm, a probabilidade de aceitação é
dada por
Para a peça com valor de referência VR = 0;7 mm a probabilidade de aceitação é dad
por
Enquanto que para a peça com valor de referência VR = 0;9 mm a probabilidade de
aceitação é dada por
Fazendo o cálculo desta probabilidade de aceitação para vários valores de VR,
obtemos a curva GPC ilustrada na Figura 5 abaixo.
Page 41

Figura 2.4.3: Curva GPC.
A Figura 6 ilustra a curva GPC para um sistema de medição ideal.
Figura 2.4.4: Curva GPC ideal.
Page 42

Page 43

2.5 - Análise gráfica do RR
Neste módulo faremos uma discussão dos principais gráficos associados ao
estudo de repetitividade e reprodutibilidade.
Caso 1: discriminação do sistema de medição
Figura 2.5.1: Discriminação do sistema de medição.
Conclusão: A Figura 2.5.1 indica que há uma falta de discriminação do
Sistema de Medição. Em geral, a resolução do equipamento de medição pode
ser inadequada. De acordo com o manual da indústria automobilística (MSA),
a maioria dos pontos do Gráfi co da amplitude (Figura 2.5.1) devem ser
diferentes de zero.
Caso 2: análise do gráfico R - treinamento
2.5 - Análise á i a do
Page 1

igura 2.5.2: An lise do r ico treinamento.
Conclusão: A Figura 2.5.2 apresenta um problema relacionado ao treinamento
no método. Também podemos ter problemas com o método utilizado, talvez o
método exige uma habilidade manual que nem todas as pessoas possuem.
Caso 3: análise do gráfico R - método
Figura 2.5.3: Análise do gráfico R - método.
Page 2

Conclusão: Quando temos um gr ico da amplitude con orme mostra a i ura
2.5.3 devemos verificar se os pontos (além dos limites) entre os avaliadores
não correspondem a mesma peça. Caso afirmativo, avalie a peça. Caso não
seja a mesma peça, o método precisa ser revisado, pois os avaliadores não
estão conseguindo reproduzi-lo.
Caso 4: análise de repetitividade
Figura 2.5.4: Análise de repetitividade.
Conclusão: De acordo com a Figura 10 quanto mais pontos fora dos limites de
controle melhor. A amplitude entre as linhas de controle, LSC - LIC = 2A2
reflete a repetitividade do sistema de medição, enquanto os pontos refletem a
variabilidade entre as peças (processo produtivo). Neste caso, comparamos a
repetitividade do SM (limites de controle) com a variabilidade do processo
produtivo (pontos no gráfico). De acordo com o manual da indústria
automobilística (MSA), quando analisamos o RR pela variação total, a maioria
dos pontos do Gráfi co da média (Figura 2.5.4) devem estar fora dos limites
de controle.
Caso 5: análise de reprodutibilidade
Page 3

igura 2.5.5: An lise de reprodutibilidade.
Conclusão: Neste caso, vamos comparar as medições entre os avaliadores.
Como os avaliadores estão medindo as mesmas peças, as medições devem ser
similares, conforme a Figura 2.5.5. Então, quanto mais paralela for a reta que
une as médias em relação ao eixo x melhor.
Caso 6: interação peça versus sistema de medição
Page 4

igura 2.5.6: Interação peça versus sistema de medição.
Conclusão: No gráfico das peças, vide Figura 2.5.6, avaliamos a consistência
do Sistema de Medição em relação às peças usando os seguintes critérios:
a) As peças são distintas, portanto, o Sistema de Medição deve identificá-las.
Assim, as medições das peças não podem estar alinhadas.
b) Se uma peça variar mais que as outras (como a peça 2 por exemplo),
significa que o Sistema de Medição teve mais dificuldade em avaliar esta peça.
Analise a peça e identifique a causa.
Caso 7: interação peça versus avaliador
Page 5

igura 2.5. : Gr ico sem interação.
igura 2.5.8: Gráfico com interação.
Observamos na Figura 2.5.7 que não há interação entre avaliadores e peça,
uma vez que, as medições das peças praticamente não variam de acordo com o
avaliador. Ao contrário, na Figura 2.5.8, notamos que a média das medições
aumentam ou diminuem, dependendo do avaliador. Por exemplo, a média das
medições do avaliador C é menor para a peça 2 e maior para a peça 4.
Page 6

3 - Análise de Sistema de Medição -
Não Replicáveis
O sistema de medição não replic vel corresponde aos sistemas de medição
cujas leituras não podem ser repetidas em cada peça, incluímos os sistemas
onde as peças sofrem alterações durante o ensaio ou são destruídas. A seguir
apresentamos alguns métodos de análise, que nos permite obter informação
sobre a Variabilidade do processo e a sua Estabilidade.
3 - Análise de Sistema de Medi e li á eis
Page 1

3.1 - Estabilidade
Neste módulo, apresentamos uma estratégia para avaliar a estabilidade de
sistemas de medição não replicáveis. A seguir, apresentamos a técnica da
divisão de amostras.
iretrizes
Processo de produção sob controle estatístico;
A peça não degrada durante o tempo de realização do experimento;
Disponibilidade de um grande número de peças;
Caso seja possível, utilizar padrões de referência que sejam
representativos do processo, ao invés de peças;
M todos de a álise:
1º Passo:
Para a realização deste ensio será necessária a utilização de uma grande
quantidade de peças (50 ou mais) cujas características como matéria-prima
utilizada, máquina que as produziu, temperatura do processo e operador sejam
as mais uniformes possíveis.
2º Passo:
Selecionamos, aproximadamente, metade das peças e as medimos na
sequência e em um pequeno período de tempo. Nosso objetivo é determinar a
variação de curto prazo do sistema de medição. Através destas medições
elaboramos o gráfico de CEP I-MR, sendo I os valores individuais e MR as
amplitudes móveis - com o qual verificamos, a variabilidade do processo. Os
limites de controle destes gráficos são calculados de acordo com a Tabela
3.1.1.
3º Passo:
As peças restantes são medidas periodicamente (diário, semanal, mensal), em
seqüência, e se possível em horários diferentes nos casos em que se acredita
que esta condição possa ser relevante para se avaliar a estabilidade. Na
sequência, elaboramos o gráfico I-MR com os mesmos límites de controle
obtidos no passo 2. Se todos os pontos estiverem dentro dos limites de controle
concluímos que o processo está estável.
Esta técnica compara a variação de curto prazo (passo 2), no qual as medições
são realizadas na sequência e em um pequeno período de tempo, com a
3.1 - Estabilidade
Page 1

variação de longo prazo (passo 3), no qual as medições são realizadas a longo
do tempo. Se as variações de curto prazo e longo prazo são similares,
concluímos que o sistema é estável.
Limites dos Gráficos
No de
leituras
agrupadas
(n)
E2 D3 D4
Gráfico dos Val.
Individuais (I)
2 2,66 0 3,267
LSC = Limite Superior =
+ E2
3 1,77 0 2,574
LC = Limite Central = 4 1,46 0 2,282
LIC = Limite Inferior =
- E2
5 1,29 0 2,114
Gráfico das Amplitudes R 6 1,18 0 2,004
LSC = Limite Superior =
D4
7 1,11 0,076 1,924
LC = Limite Central = 8 1,05 0,136 1,864
LIC = Limite Inferior =
D3
9 1,01 0,184 1,816
10 0,98 0,223 1,777
Tabela 3.1.1: Valores de E2, D3 e D4
Exemplo 3.1.1
Considere a característica resistência à tração realizada com corpos-de-
prova de aço.
Objetivo:
Estudar a estabilidade do sistema de medição de tração.
escri ão do Experimento:
3.1 - Estabilidade
Page 2

Produzir um lote de corpos de prova bastante homog neo mesma
corrida);
Os corpos de prova não degradam durante o tempo de realização do
experimento;
Disponibilidade de um grande número de corpos de prova.
1o Passo:
Para a realização do experimento utilizamos 32 corpos de prova cujas
características como matéria-prima utilizada, máquina que as produziu,
processo e avaliador sejam as mais uniformes possíveis.
2o Passo:
Utilizando 16 corpos de prova (metade do lote), realizamos um estudo de
estabilidade do processo I-MR com o qual verificamos, através dos limites de
controle, a variabilidade do processo. Estes 16 corpos de prova são medidos
no mesmo dia (Tabela 3.1.2).
3o Passo:
As 16 peças restantes são medidas periodicamente (semanal) em horários
diferentes (Tabela 3.1.3). Como critério para a avaliação da estabilidade
utilizamos a análise do gráfico de controle I-MR, com os mesmos limites de
controle obtidos no 2º passo.
1. Resistência a tração (MPA)
Medição de 16 corpos de prova, realizadas no mesmo dia(Passo 2);
Avaliador: A
Máquina: Amsler
Corrida: 0782697
Data: 26/02/03
Para os dados da Tabela 3.1.2, obtemos os valores da média e da amplitude
média como
= 1160,625
= 22,533
Tabela 3.1.2: Medições do mesmo dia
3.1 - Estabilidade
Page 3

Leituras
1164 1135
1171 1195
1181 1164
1155 1161
1159 1151
1119 1171
1119 1193
1166 1166
Com isso, obtemos os limites de controle para as medições individuais como
e os limites de controle para a amplitude como
sendo os valores de E2, D3 e D4 obtidos da Tabela 3.1.2 com n = 2.
Abaixo, apresentamos os gráficos de valores individuais e amplitudes móveis
para as peças que foram medidas no mesmo dia:
3.1 - Estabilidade
Page 4

consultar:
manual do
usuário
vídeo
demonstrativo
A estimativa do desvio padrão de curto prazo é dada por
onde o valor de 2 é obtido pela Tabela de d2 com > 15 (número de
amplitudes para calcular ) e = 2 (número de medidas utilizadas para
calcular cada amplitude).
3.1 - Estabilidade
Page 5

Portanto, temos que o desvio padrão estimado é dado por
No passo 3, os 16 corpos de prova restantes são medidos semanalmente, com
os resultados apresentados na Tabela 22.
Medição de 16 corpos de prova, realizadas semanalmente (Passo 3);
Avaliador: A
Máquina : Amsler
Corrida: 0782697
Abaixo, apresentamos os gráficos de valores individuais e amplitudes móveis
para as peças que foram medidas ao longo do tempo:
Tabela 3.1.3: Tabela com as 16 medições restantes
ata orário Resistência
07/03/2003 10:30 1117
14/03/2003 15:35 1152
19/03/2003 12:35 1182
25/03/2003 08:25 1206
01/04/2003 10:45 1195
10/04/2003 07:35 1175
17/04/2003 08:55 1171
25/04/2003 11:05 1161
30/04/2003 09:05 1137
05/05/2003 13:00 1182
12/05/2003 14:20 1153
21/05/2003 12:50 1188
29/05/2003 09:10 1168
3.1 - Estabilidade
Page 6

05/06/2003 09:35 1141
09/06/2003 11:00 1177
11/06/2003 09:00 1142
Utilizando os mesmos limites de controle dos gr ico de valores individuais e
amplitudes m veis com as medições do mesmo dia (16 corpos de prova),
montamos o gráfico de valores individuais e amplitudes móveis para as
medições realizadas semanalmente, conforme Figura 15.
igura 3.1.1: Gráfico de valores individuais e amplitude móveis, =
1160;625 e = 19;97.
Conclusão: Ao analisar o gráfico das amplitudes móveis, observamos que não
3.1 - Estabilidade
Page 7

h nenhum ponto ora dos limites de controle, o mesmo acontecendo para o
gr ico de valores individuais. Assim, concluímos que o sistema de medição
está estável com relação à resistência à tração.
consultar:
manual do
usuário
vídeo
demonstrativo
3.1 - Estabilidade
Page 8

3.2 - RR ão-Replicável (Método
Hierárquico)
Neste módulo, vamos analisar a variabilidade (estudo de RR) de sistemas de medição
replicáveis. Ao realizarmos o estudo de RR de um sistema de medição replicável, ob
arranjo experimental conforme a Tabela 3.2.1. Entretanto, para um sistema de med ç
replicável este arranjo não é possível, pois não podemos medir a mesma peça várias
Como exemplo, considere o teste destrutivo de solda onde uma porca soldada é arra
uma peça e a quantidade máxima de força antes do arrancamento é medida. A solda
destruída no processo, portanto não pode ser avaliada novamente. Portanto, não pode
medir a mesma peça mais de uma vez e neste caso, o arranjo descrito na Tabela 3.2.1
aplica.
Operador 1 Operador 2
Peça
Parte
I
Parte
II
Parte
III
Parte
I
Parte
II
Parte
III
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6
7 7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 8
9 9 9 9 9 9 9
10 10 10 10 10 10 10
Tabela 3.2.1: Leituras.
A primeira medida a ser feita antes de abordar um estudo RR não replicável é garant
todas as condições que englobam o teste sejam definidas, padronizadas e controladas
operadores devem ser similarmente qualificados e treinados, a iluminação deve ser a
3.2 - RR Nã Re licável (Método Hierárquico)
Page 1

sempre controlada, instruções de trabalho devem ser detalhadas e operacionalmente d
condições ambientais devem ser controladas dentro de um grau adequado, equipame
devem ser calibrados e receber manutenção adequada, etc. Em segundo lugar, antes d
um estudo de um sistema de medição não replicável, é necessário verificar se o proc
produção é estável e capaz.
Depois disto, uma vez que a peça não pode ser reavaliada devido à alterações em sua
(ou destruição), diversas peças semelhantes (homogêneas) devem ser escolhidas para
e deve ser feita a suposição de que as peças são idênticas (ou similares). Os conjunto
homogêneas são denominados lotes.
Neste caso, temos o arranjo experimental definido na Tabela 3.2.2, no qual a peça 1
como lote 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, isto é, são peças distintas que são tratadas com
fossem uma mesma peça. Desta forma, as peças devem ser amostradas consecutivam
(dentro de um mesmo lote de produção) sendo idênticas (ou similares) o suficiente p
elas possam ser tratadas como se fossem a mesma peça. Se o processo de interesse nã
satisfizer esta suposição, este método não irá funcionar. Geralmente se estas peças sã
da produção de modo consecutivo, sob condições de produção semelhantes o máxim
possível, esta exigência é cumprida.
Estudo da variabilidade do sistema de medi ão de tração
OPERADOR 1 OPERADOR 2
Lote Parte 1 Parte 2 Parte 3 Parte 1 Parte 2 Parte 3
1A. . . 1F 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2A. . . 2F 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3A. . . 3F 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6
4A. . . 4F 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6
5A. . . 5F 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6
6A. . . 6F 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
7A. . . 7F 7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6
8A. . . 8F 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6
9A. . . 9F 9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6
10A. . . 10F 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6
Page 2

Tabela 3.2.2: Leituras
No arranjo experimental definido para sistemas replicáveis (ver Tabela 3.2.1), todas
combinações de níveis entre os fatores (peça e operador) estão bem definidas. Neste
temos o cruzamento entre todos os níveis de todos os fatores (experimentos fatoriais
cruzados).
Por outro lado, no arranjo experimental definido para sistemas não replicáveis (ver T
3.2.2), os níveis do fator lote (peças similares) ocorrem em combinação com os nívei
operador, por exemplo, a peça 1-1 foi medida apenas pelo operador A. Tais arranjos
experimentais são denominados hierárquicos ("nested''). Na figura 3.2.1, apresentam
esquema hierárquico aplicado a um sistema de medição não replicável.
igura 3.2.1:Croqui de um experimento hierárquico.
Modelo Estat stico
Denotamos por o valor da medida da -ésima parte, do operador para a peça
onde,
= constante
= efeito aleatório devido ao operador, (número de operadores).Assumim
tem distribuição normal com média zero e variância .
= efeito aleatório devido ao -ésimo lote hierarquizado sob o -ésimo operador,
(número de lotes)
Page 3

= erro associado a cada observação, hierarquizado em relação aos operadores e
(número de partes, réplicas).
A análise de variância para o modelo estatístico acima é obtida pela decomposição d
total como segue
Desta forma a quebra da variabilidade é definida por:
onde
Neste caso, a tabela da ANOVA fica da seguinte forma:
ator L
Soma de
uadrados
uadrados
M dios
Operador
Lote Hierárquico
ao Operador
Repetitividade
Total
No modelo hierárquico com fatores aleatórios (operador e peça), temos os seguintes
para a esperança dos quadrados médios e as estatísticas associados ao testes de influê
fatores.
Page 4

E( M)
A: Aleatório
B: Aleatório
E( MO)
E( ML(O))
E( ME)
Testes Estatísticos
Apropriados
Teste para
A: Aleatório
B: Aleatório
ator A
ator (A)
Aqui, realizamos os seguintes testes
Teste do efeito do lote hierarquizado ao operador:
a estatística de teste apropriada é
e a regra de decisão ao nível de significância é
Teste do efeito do operador:
a estatística de teste apropriada é
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e a regra de decisão ao nível de significância é
A seguir, apresentamos os cálculos dos componentes de variância:
1. Repetitividade
2. Variação devido ao operador
3. Variação dos lotes hierarquizados ao operador
4. Repetitividade e Reprodutibilidade
5. Variação total
6. Tabela dos índices
onte de
Varia ão
Desvio
Padrão
% de
Variação
%Tolerância
Repetitividade VE
Peça VP
RR RR
Page 6

Exemplo 3.2.1
Considere a característica resistência à tração realizada com corpos-de-prova de aço.
Objetivo:
Avaliar a reprodutibilidade e a repetitividade do sistema de medição.
escri ão do experimento
Selecionar 5 corridas de aço (p = 5), com pouca variabilidade dentro das corrida
variabilidade natural do processo (de produção) entre as corridas;
De cada corrida foi processado uma barra ;
Cada barra foi dividido em seis partes;
As partes do corpo de prova foram submetidas ao sistema de medição, onde fora
medidas a Resistência (2 avaliadores (o = 2); 3 partes por avaliador ( r = 3 )).
Unidade: MPA;
Tolerância: 130 MPA
Os resultados estão abaixo:
Avaliador 1 : Aval. 1.
Avaliador 2 : Aval. 2.
Corrida Avaliador Resistência
1 1 1168
1 1 1170
1 1 1171
2 1 1179
2 1 1155
2 1 1159
3 1 1161
3 1 1179
3 1 1170
4 1 1190
4 1 1182
4 1 1197
Page 7

5 1 1135
5 1 1150
5 1 1130
1 2 1142
1 2 1164
1 2 1177
2 2 1173
2 2 1175
2 2 1148
3 2 1184
3 2 1159
3 2 1182
4 2 1190
4 2 1188
4 2 1188
5 2 1139
5 2 1137
5 2 1151
Aplica ão
A soma dos quadrados é dada pelas seguintes fórmulas
Page 8

Desta forma, temos a tabela da ANOVA
Considerando que os fatores são aleatórios, vamos analisar se existe diferença signifi
entre os avaliadores, para isso usamos a estatística de teste
Ao nível = 0,05 de significância temos
Como , não rejeitamos a hipótese , portanto concluímos que não existe difere
os avaliadores.
Avaliamos agora, a variabilidade entre as corridas, através da estatística de teste
Ao nível = 0,05 de significância temos
Como , rejeitamos a hipótese , portanto concluímos que existe variabilidade
corridas analisadas.
Repetitividade
Variação devido ao operador
Variação dos lotes hierarquizados ao operador
Repetitividade e Reprodutibilidade
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