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14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Até aqui, os circuitos com fontes senoidais tinham o valor de frequência da fonte como um valor
constante.
Agora vamos estudar o efeito da variação da frequência da fonte sobre as variáveis do circuito (tensões e
correntes).
Essa análise constitui a resposta em frequência do circuito.
Embora a variação da frequência de uma fonte senoidal não altere os tipos de elementos nem as
conexões, mas ela altera a impedância de capacitores e indutores.
A escolha dos elementos de um circuito, seus valores e conexões, possibilita construir circuitos cuja
saída contém somente os sinais de entrada que se encontram dentro de uma determinada faixa de
frequência.
Esses circuitos são chamados de seletores de frequência ou filtros.
Nenhum filtro é capaz de separar totalmente as frequências desejadas das indesejáveis
O que se faz é atenuar fortemente os sinais indesejáveis e transmitir o que se quer com um mínimo de
atenuação.
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14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
A Função de Transferência (FT) de um circuito permite determinar a resposta de um circuito a um sinal
senoidal.
Para estudar a resposta de frequência de um circuito, substituímos uma fonte senoidal de frequência fixa
por uma de frequência variável.
A frequência da fonte é variada sem variar o módulo e a fase da fonte.
E então o módulo e a fase do sinal de saída dependem somente do módulo e da fase da função de
transferência (FT).
Em geral, a expressão da FT é dada por 𝐻(𝑠)
No estudo de circuitos seletores de frequência a FT será expressa por 𝐻(𝑗𝜔), fazendo 𝑠 = 𝑗𝜔.
Aqui será estudado apenas os casos onde entrada e saída são sinais senoidais:
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14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
No circuito em questão, a FT de interesse será a razão da transformada de Laplace da tensão de saída
pelo sinal de entrada (também poderia ser uma corrente)
𝐻 𝑠 =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
𝑉
𝑜(𝑠)
𝑉𝑖(𝑠)
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14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Os sinais que passam da entrada para a saída encontram-se em uma faixa de frequências denominada
faixa de passagem.
As tensões de entrada que estão fora dessa faixa têm seus módulos atenuados pelo circuito e são
impedidas de chegar aos terminais de saída.
Frequências que não estão dentro da faixa de passagem de um circuito estão dentro de sua faixa de
rejeição.
Circuitos seletores de frequência são caracterizados pela localização da faixa de passagem.
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14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Esse gráfico mostra como a FT de um circuito (amplitude e fase) muda à medida que a frequência da
fonte varia.
Um gráfico de resposta de frequências tem duas partes:
Gráfico de |𝐻(𝑗𝜔)| em função da frequência ω (Gráfico de amplitude)
Gráfico de 𝜃(𝑗𝜔) em função da frequência ω (Gráfico de fase)
Diagrama de Bode
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14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
O limite entre a banda passante e a banda de rejeição é definido pela frequência de corte (𝜔𝑐)
O ângulo de fase de um filtro ideal varia linearmente na banda passante e isso evita que o sinal sofra distorções.
O comportamento da fase fora da banda de passagem não é importante porque nessa região a amplitude é zero.
As características de amplitude e de fase são dependentes dos elementos do circuito e dependente entre si
Aqui serão estudados os filtros passivos, cujo ganho máximo é 1.
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14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS
𝑣𝑖 é a fonte de tensão senoidal de frequência variável e 𝑣𝑜 é a tensão em 𝑅.
Se 𝜔 é pequeno, o indutor é um curto, 𝜔𝐿 << 𝑅, 𝑣𝑜 = 𝑣𝑖, sinal em fase.
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14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS
Se 𝜔 é grande, o indutor é um circuito aberto, 𝜔𝐿 >> 𝑅, 𝑣𝑜 = 0, fase = –90º.
Assim, o termo altas frequências se referem àquelas onde ωL >> R
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14.2 DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA DE CORTE
A frequência de corte é aquela para a qual o módulo da função de transferência é igual ao valor máximo
dividido por 2:
Essa definição vem do fato de que a potência média fornecida a uma carga é dada por:
Se um circuito for alimentado por uma fonte de tensão senoidal, 𝑉𝑖(𝑗𝜔), então a tensão na carga também
será uma senóide cuja amplitude é função de 𝜔.
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14.2 DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA DE CORTE
Definindo 𝑃𝑚𝑎𝑥 como o valor da potência média fornecida a uma carga quando a amplitude da tensão de
carga for máxima, temos:
Se variarmos a frequência da fonte de tensão senoidal, 𝑉𝑖(𝑗𝜔), a tensão da carga (tensão de saída) será
máxima quando a amplitude da FT do circuito também for máxima:
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14.2 DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA DE CORTE
Usando a definição da frequência de corte, temos que para 𝜔 = 𝜔𝑐:
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14.2 DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA DE CORTE
Substituindo na equação da potência, temos:
Ou seja, para 𝜔 = 𝜔𝑐, a potência média fornecida é a metade da potência média máxima
Dentro da banda passante, a potência média fornecida a uma carga é pelo menos 50% da potência média
máxima.
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14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS (RL SÉRIE)
Começamos construindo o equivalente no domínio da frequência do circuito da figura, admitindo
condições iniciais nulas.
A função de transferência da tensão para esse circuito é:
Para estudar a resposta de frequência, fazemos 𝑠 = 𝑗𝜔:
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14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS (RL SÉRIE)
Agora, podemos dividir a Equação 14.8 em duas equações.
A primeira define o modulo da função de transferência em função da frequência;
A segunda define o angulo de fase da função de transferência em função da frequência.
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14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS (RL SÉRIE)
Para a frequência de corte, 𝜔 = 𝜔𝑐, temos:
Da qual obtemos:
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14.2 EXEMPLO 14.1
Exemplo 14.1: O sinal de ECG tem frequência na ordem de 1 Hz (72 batidas por minuto). O
equipamento tem que funcionar na presença de ruídos de 60 Hz da rede elétrica. Projete um filtro RL
passa baixas para filtrar frequência > 10 Hz. Calcule |𝑉
𝑜| para 1 Hz, 10 Hz e 60 Hz para avaliar o
desempenho. DICA: 𝐿 = 100𝑚𝐻.
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14.2 EXEMPLO 14.1 (SOLUÇÃO)
Exemplo 14.1: O sinal de ECG tem frequência na ordem de 1 Hz (72 batidas por minuto). O
equipamento tem que funcionar na presença de ruídos de 60 Hz da rede elétrica. Projete um filtro RL
passa baixas para filtrar frequência > 10 Hz. Calcule |𝑉
𝑜| para 1 Hz, 10 Hz e 60 Hz para avaliar o
desempenho. DICA: 𝐿 = 100𝑚𝐻.