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14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
 Até aqui, os circuitos com fontes senoidais tinham o valor de frequência da fonte como um valor
constante.
 Agora vamos estudar o efeito da variação da frequência da fonte sobre as variáveis do circuito (tensões e
correntes).
 Essa análise constitui a resposta em frequência do circuito.
 Embora a variação da frequência de uma fonte senoidal não altere os tipos de elementos nem as
conexões, mas ela altera a impedância de capacitores e indutores.
 A escolha dos elementos de um circuito, seus valores e conexões, possibilita construir circuitos cuja
saída contém somente os sinais de entrada que se encontram dentro de uma determinada faixa de
frequência.
 Esses circuitos são chamados de seletores de frequência ou filtros.
 Nenhum filtro é capaz de separar totalmente as frequências desejadas das indesejáveis
 O que se faz é atenuar fortemente os sinais indesejáveis e transmitir o que se quer com um mínimo de
atenuação.
3
14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
 A Função de Transferência (FT) de um circuito permite determinar a resposta de um circuito a um sinal
senoidal.
 Para estudar a resposta de frequência de um circuito, substituímos uma fonte senoidal de frequência fixa
por uma de frequência variável.
 A frequência da fonte é variada sem variar o módulo e a fase da fonte.
 E então o módulo e a fase do sinal de saída dependem somente do módulo e da fase da função de
transferência (FT).
 Em geral, a expressão da FT é dada por 𝐻(𝑠)
 No estudo de circuitos seletores de frequência a FT será expressa por 𝐻(𝑗𝜔), fazendo 𝑠 = 𝑗𝜔.
 Aqui será estudado apenas os casos onde entrada e saída são sinais senoidais:
4
14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
 No circuito em questão, a FT de interesse será a razão da transformada de Laplace da tensão de saída
pelo sinal de entrada (também poderia ser uma corrente)
𝐻 𝑠 =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
𝑉
𝑜(𝑠)
𝑉𝑖(𝑠)
5
14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
 Os sinais que passam da entrada para a saída encontram-se em uma faixa de frequências denominada
faixa de passagem.
 As tensões de entrada que estão fora dessa faixa têm seus módulos atenuados pelo circuito e são
impedidas de chegar aos terminais de saída.
 Frequências que não estão dentro da faixa de passagem de um circuito estão dentro de sua faixa de
rejeição.
 Circuitos seletores de frequência são caracterizados pela localização da faixa de passagem.
6
14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
7
14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
 Esse gráfico mostra como a FT de um circuito (amplitude e fase) muda à medida que a frequência da
fonte varia.
 Um gráfico de resposta de frequências tem duas partes:
 Gráfico de |𝐻(𝑗𝜔)| em função da frequência ω (Gráfico de amplitude)
 Gráfico de 𝜃(𝑗𝜔) em função da frequência ω (Gráfico de fase)
Diagrama de Bode
8
14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
 O limite entre a banda passante e a banda de rejeição é definido pela frequência de corte (𝜔𝑐)
 O ângulo de fase de um filtro ideal varia linearmente na banda passante e isso evita que o sinal sofra distorções.
 O comportamento da fase fora da banda de passagem não é importante porque nessa região a amplitude é zero.
 As características de amplitude e de fase são dependentes dos elementos do circuito e dependente entre si
 Aqui serão estudados os filtros passivos, cujo ganho máximo é 1.
9
14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS
 𝑣𝑖 é a fonte de tensão senoidal de frequência variável e 𝑣𝑜 é a tensão em 𝑅.
 Se 𝜔 é pequeno, o indutor é um curto, 𝜔𝐿 << 𝑅, 𝑣𝑜 = 𝑣𝑖, sinal em fase.
10
14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS
 Se 𝜔 é grande, o indutor é um circuito aberto, 𝜔𝐿 >> 𝑅, 𝑣𝑜 = 0, fase = –90º.
 Assim, o termo altas frequências se referem àquelas onde ωL >> R
11
14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS
12
14.2 DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA DE CORTE
 A frequência de corte é aquela para a qual o módulo da função de transferência é igual ao valor máximo
dividido por 2:
 Essa definição vem do fato de que a potência média fornecida a uma carga é dada por:
 Se um circuito for alimentado por uma fonte de tensão senoidal, 𝑉𝑖(𝑗𝜔), então a tensão na carga também
será uma senóide cuja amplitude é função de 𝜔.
13
14.2 DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA DE CORTE
 Definindo 𝑃𝑚𝑎𝑥 como o valor da potência média fornecida a uma carga quando a amplitude da tensão de
carga for máxima, temos:
 Se variarmos a frequência da fonte de tensão senoidal, 𝑉𝑖(𝑗𝜔), a tensão da carga (tensão de saída) será
máxima quando a amplitude da FT do circuito também for máxima:
14
14.2 DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA DE CORTE
 Usando a definição da frequência de corte, temos que para 𝜔 = 𝜔𝑐:
15
14.2 DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA DE CORTE
 Substituindo na equação da potência, temos:
 Ou seja, para 𝜔 = 𝜔𝑐, a potência média fornecida é a metade da potência média máxima
 Dentro da banda passante, a potência média fornecida a uma carga é pelo menos 50% da potência média
máxima.
16
14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS (RL SÉRIE)
 Começamos construindo o equivalente no domínio da frequência do circuito da figura, admitindo
condições iniciais nulas.
 A função de transferência da tensão para esse circuito é:
 Para estudar a resposta de frequência, fazemos 𝑠 = 𝑗𝜔:
17
14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS (RL SÉRIE)
 Agora, podemos dividir a Equação 14.8 em duas equações.
 A primeira define o modulo da função de transferência em função da frequência;
 A segunda define o angulo de fase da função de transferência em função da frequência.
18
14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS (RL SÉRIE)
 Para a frequência de corte, 𝜔 = 𝜔𝑐, temos:
 Da qual obtemos:
19
14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS (RL SÉRIE)
20
14.2 EXEMPLO 14.1
 Exemplo 14.1: O sinal de ECG tem frequência na ordem de 1 Hz (72 batidas por minuto). O
equipamento tem que funcionar na presença de ruídos de 60 Hz da rede elétrica. Projete um filtro RL
passa baixas para filtrar frequência > 10 Hz. Calcule |𝑉
𝑜| para 1 Hz, 10 Hz e 60 Hz para avaliar o
desempenho. DICA: 𝐿 = 100𝑚𝐻.
21
14.2 EXEMPLO 14.1 (SOLUÇÃO)
 Exemplo 14.1: O sinal de ECG tem frequência na ordem de 1 Hz (72 batidas por minuto). O
equipamento tem que funcionar na presença de ruídos de 60 Hz da rede elétrica. Projete um filtro RL
passa baixas para filtrar frequência > 10 Hz. Calcule |𝑉
𝑜| para 1 Hz, 10 Hz e 60 Hz para avaliar o
desempenho. DICA: 𝐿 = 100𝑚𝐻.

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INTRODUÇÃO DOS CIRCUITOS ELETRICOS 2- FREQUENCIA

  • 1. 1
  • 2. 2 14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS  Até aqui, os circuitos com fontes senoidais tinham o valor de frequência da fonte como um valor constante.  Agora vamos estudar o efeito da variação da frequência da fonte sobre as variáveis do circuito (tensões e correntes).  Essa análise constitui a resposta em frequência do circuito.  Embora a variação da frequência de uma fonte senoidal não altere os tipos de elementos nem as conexões, mas ela altera a impedância de capacitores e indutores.  A escolha dos elementos de um circuito, seus valores e conexões, possibilita construir circuitos cuja saída contém somente os sinais de entrada que se encontram dentro de uma determinada faixa de frequência.  Esses circuitos são chamados de seletores de frequência ou filtros.  Nenhum filtro é capaz de separar totalmente as frequências desejadas das indesejáveis  O que se faz é atenuar fortemente os sinais indesejáveis e transmitir o que se quer com um mínimo de atenuação.
  • 3. 3 14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS  A Função de Transferência (FT) de um circuito permite determinar a resposta de um circuito a um sinal senoidal.  Para estudar a resposta de frequência de um circuito, substituímos uma fonte senoidal de frequência fixa por uma de frequência variável.  A frequência da fonte é variada sem variar o módulo e a fase da fonte.  E então o módulo e a fase do sinal de saída dependem somente do módulo e da fase da função de transferência (FT).  Em geral, a expressão da FT é dada por 𝐻(𝑠)  No estudo de circuitos seletores de frequência a FT será expressa por 𝐻(𝑗𝜔), fazendo 𝑠 = 𝑗𝜔.  Aqui será estudado apenas os casos onde entrada e saída são sinais senoidais:
  • 4. 4 14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS  No circuito em questão, a FT de interesse será a razão da transformada de Laplace da tensão de saída pelo sinal de entrada (também poderia ser uma corrente) 𝐻 𝑠 = 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠) = 𝑉 𝑜(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠)
  • 5. 5 14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS  Os sinais que passam da entrada para a saída encontram-se em uma faixa de frequências denominada faixa de passagem.  As tensões de entrada que estão fora dessa faixa têm seus módulos atenuados pelo circuito e são impedidas de chegar aos terminais de saída.  Frequências que não estão dentro da faixa de passagem de um circuito estão dentro de sua faixa de rejeição.  Circuitos seletores de frequência são caracterizados pela localização da faixa de passagem.
  • 6. 6 14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS
  • 7. 7 14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS  Esse gráfico mostra como a FT de um circuito (amplitude e fase) muda à medida que a frequência da fonte varia.  Um gráfico de resposta de frequências tem duas partes:  Gráfico de |𝐻(𝑗𝜔)| em função da frequência ω (Gráfico de amplitude)  Gráfico de 𝜃(𝑗𝜔) em função da frequência ω (Gráfico de fase) Diagrama de Bode
  • 8. 8 14.1 CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQUÊNCIAS  O limite entre a banda passante e a banda de rejeição é definido pela frequência de corte (𝜔𝑐)  O ângulo de fase de um filtro ideal varia linearmente na banda passante e isso evita que o sinal sofra distorções.  O comportamento da fase fora da banda de passagem não é importante porque nessa região a amplitude é zero.  As características de amplitude e de fase são dependentes dos elementos do circuito e dependente entre si  Aqui serão estudados os filtros passivos, cujo ganho máximo é 1.
  • 9. 9 14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS  𝑣𝑖 é a fonte de tensão senoidal de frequência variável e 𝑣𝑜 é a tensão em 𝑅.  Se 𝜔 é pequeno, o indutor é um curto, 𝜔𝐿 << 𝑅, 𝑣𝑜 = 𝑣𝑖, sinal em fase.
  • 10. 10 14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS  Se 𝜔 é grande, o indutor é um circuito aberto, 𝜔𝐿 >> 𝑅, 𝑣𝑜 = 0, fase = –90º.  Assim, o termo altas frequências se referem àquelas onde ωL >> R
  • 11. 11 14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS
  • 12. 12 14.2 DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA DE CORTE  A frequência de corte é aquela para a qual o módulo da função de transferência é igual ao valor máximo dividido por 2:  Essa definição vem do fato de que a potência média fornecida a uma carga é dada por:  Se um circuito for alimentado por uma fonte de tensão senoidal, 𝑉𝑖(𝑗𝜔), então a tensão na carga também será uma senóide cuja amplitude é função de 𝜔.
  • 13. 13 14.2 DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA DE CORTE  Definindo 𝑃𝑚𝑎𝑥 como o valor da potência média fornecida a uma carga quando a amplitude da tensão de carga for máxima, temos:  Se variarmos a frequência da fonte de tensão senoidal, 𝑉𝑖(𝑗𝜔), a tensão da carga (tensão de saída) será máxima quando a amplitude da FT do circuito também for máxima:
  • 14. 14 14.2 DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA DE CORTE  Usando a definição da frequência de corte, temos que para 𝜔 = 𝜔𝑐:
  • 15. 15 14.2 DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA DE CORTE  Substituindo na equação da potência, temos:  Ou seja, para 𝜔 = 𝜔𝑐, a potência média fornecida é a metade da potência média máxima  Dentro da banda passante, a potência média fornecida a uma carga é pelo menos 50% da potência média máxima.
  • 16. 16 14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS (RL SÉRIE)  Começamos construindo o equivalente no domínio da frequência do circuito da figura, admitindo condições iniciais nulas.  A função de transferência da tensão para esse circuito é:  Para estudar a resposta de frequência, fazemos 𝑠 = 𝑗𝜔:
  • 17. 17 14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS (RL SÉRIE)  Agora, podemos dividir a Equação 14.8 em duas equações.  A primeira define o modulo da função de transferência em função da frequência;  A segunda define o angulo de fase da função de transferência em função da frequência.
  • 18. 18 14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS (RL SÉRIE)  Para a frequência de corte, 𝜔 = 𝜔𝑐, temos:  Da qual obtemos:
  • 19. 19 14.2 EXEMPLO FILTROS PASSA-BAIXAS (RL SÉRIE)
  • 20. 20 14.2 EXEMPLO 14.1  Exemplo 14.1: O sinal de ECG tem frequência na ordem de 1 Hz (72 batidas por minuto). O equipamento tem que funcionar na presença de ruídos de 60 Hz da rede elétrica. Projete um filtro RL passa baixas para filtrar frequência > 10 Hz. Calcule |𝑉 𝑜| para 1 Hz, 10 Hz e 60 Hz para avaliar o desempenho. DICA: 𝐿 = 100𝑚𝐻.
  • 21. 21 14.2 EXEMPLO 14.1 (SOLUÇÃO)  Exemplo 14.1: O sinal de ECG tem frequência na ordem de 1 Hz (72 batidas por minuto). O equipamento tem que funcionar na presença de ruídos de 60 Hz da rede elétrica. Projete um filtro RL passa baixas para filtrar frequência > 10 Hz. Calcule |𝑉 𝑜| para 1 Hz, 10 Hz e 60 Hz para avaliar o desempenho. DICA: 𝐿 = 100𝑚𝐻.