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Gapso - Otimização

Este documento discute a otimização em negócios, incluindo: 1) A motivação para usar ferramentas analíticas de planejamento devido à mudança na natureza da competição; 2) Exemplos de problemas acadêmicos de otimização e como eles se aplicam a problemas reais de negócios; 3) O rápido progresso nos algoritmos de otimização e no poder de computação, permitindo resolver problemas cada vez maiores.

Incorporar apresentação

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OTIMIZAÇÃO
SUMÁRIO A GAPSO OTIMIZAÇÃO NOS NEGÓCIOS – MOTIVAÇÃO E EVOLUÇÂO MODELOS MATEMÁTICOS ALGORITMOS DE RESOLUÇÃO PILARES PARA UMA IMPLANTAÇÃO BEM SUCEDIDA
Sistemas Analíticos de Planejamento
Sistemas para Definir estratégias Planejar e Programar Operações Objetivos Maximizar receita/margem/retorno Melhorar nível de serviço Reduzir custos Avaliar riscos e investimentos Características Aderência Qualidade analítica Usabilidade Integrabilidade Adoção e Acompanhamento Evolução permanente
Setores atendidos Mineração Siderurgia Petróleo Papel e celulose Transporte (ferroviário, marítimo, aéreo, rodoviário) Bioenergia Telecomunicações, Mercado Financeiro, Educacional Aplicações Otimização de fluxos e capacidades Otimização de redes Previsão e planejamento de demanda Planejamento de produção e transporte Planejamento de estoques Escalonamento de recursos humanos
Clientes Histórico de implantações em operações vitais de grandes empresas.
Clientes Sistemas e Serviços de planejamento e coordenação de logística Offshore
Clientes Sistemas de planejamento de rede logística e planejamento de produção
Clientes PROA – Planejamento da Produção na Aciaria LOOMA – Planejamento do Transporte de Madeira PLANNER – Supply Chain Planning SICLE – Planejamento de rede logística de combustíveis e comercial CARGA CERTA – Planejamento tático e operacional do transporte rodoviário de carga VOX – Otimização de carteiras de investimento
Clientes Planejamento de fluxo de containers e rotas de navios para navegação de cabotagem Planejamento de configuração e utilização de diversas redes de telecomunicações Planejamento operacional da utilização de vagões Dimensionamento de equipamentos/equipes para expansão e manutenção das redes Sistema de Planejamento da Rede de Suprimentos, Produção e Logística
Mais Receita Redução de 7% Redução de 5% da Menos Custo 4% + Embarque no ciclo de frota necessária US$ - 24MM Vagões Menos Custo == 200 novos 400 novos Menos Risco 6% - Multas vagões vagões 18% - Pousos
Ferramentas
Implantações bem sucedidas Integração Treinamento Acompanhamento e evolução
Principais Sistemas na Vale Network Planning, Supply Chain Scheduling e Blending Sistema de Planejamento para a Produção de Pelotas Sistema Integrado de Otimização das Operações Portuárias Sistema de Gerenciamento e Dimensionamento de Equipamentos de Mina
Sistemas em utilização em 6 diferentes áreas da empresa Modelos e respectivos Solvers de 18 uso frequente.
Arquitetura de um sistema de otimização Model GUI with solver Interface Interface Main Legacy with legacy Solver Module systems Information Systems Tests Solver Tests
OTIMIZAÇÃO NOS NEGÓCIOS MOTIVAÇÃO E EVOLUÇÃO
Por que usar ferramentas analíticas de planejamento?
Porque alguns “paradigmas” sobre os negócios mudaram
COMPETIÇÃO ANALÍTICA Por que as empresas líderes estão usando inteligência analítica? As bases da competição mudaram Antigas vantagens competitivas não são mais suficientes
COMPETIÇÃO ANALÍTICA Por que as empresas líderes estão usando inteligência analítica? As bases da competição mudaram Antigas vantagens competitivas não são mais suficientes Localização geográfica Novos Produtos Custos básicos
COMPETIÇÃO ANALÍTICA Por que as empresas líderes estão usando inteligência analítica? As bases da competição mudaram Antigas vantagens competitivas não são mais suficientes Localização geográfica Novas Produtos Custos básicos Mundo Plano Cópia China
VANTAGEM ANALÍTICA Decidir melhor e + rápido que o concorrente
PROBLEMAS ACADÊMICOS PROBLEMAS REAIS TSP Solda em circuitos TWCVRP Roterização para coleta e entrega Scheduling Escalonamento de força de trabalho Steiner Projeto de redes de trans. de energia elétrica Lot sizing Planejamento de produção Multifuxos Movimentação de vagões Facility Location Network Design Knapsack Otimização de portfolios financeiros Generalized assignment Carragamento de caminhões Roterização de arestas Carteiros, coleta de lixo
PROBLEMAS ACADÊMICOS PROBLEMAS REAIS TSPP Solda em circuitos TWCVRP Roterização para coleta e entrega Scheduling Escalonamento de força de trabalho Steiner Projeto de redes de trans. de energia elétrica Lot sizing Planejamento de produção Multifuxos Movimentação de vagões Facility Location Network Design Knapsack Otimização de portfolios financeiros Generalized assignment Carragamento de caminhões Roterização de arestas Carteiros, coleta de lixo
COMPLEXIDADE TSP 4 cidades
COMPLEXIDADE TSP 4 cidades 6
COMPLEXIDADE TSP 7 cidades 6!
COMPLEXIDADE TSP 7 cidades 720
COMPLEXIDADE TSP 10 cidades 9!
COMPLEXIDADE TSP 10 cidades 362.880
COMPLEXIDADE TSP 27 cidades 26!
COMPLEXIDADE TSP 27 cidades 403.291.126.606. 000.000.000.000,00
PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE 1800 1954 1962 Hamilton´s Game 42 cidades USA Concurso Proctor & Gamble Dantzig – Fulkerson - Jonhson 33 cidades específicas USA
PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE 2001 2004 Alemanha – 15.112 cidades – 66.000 Suecia – 24.978 cidades – 72.500 km. km. Rede de 110 processadores – Cluster de maquinas com processadores Intel Xeon dual - 84.8 anos de CPU 22.6 anos de CPU
Próximos Passos PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE 1954: 49 2006 1977: 120 Maior instância do TSP já resolvida - VLSI - 85.900 1987: 532 pontos. Cluster de máquinas com processadores 1987: 666 Intel Xeon Dual e AMD Athlon - 136 anos de CPU. 1987: 2392 1994: 7397 1998: 13509 2001: 15112 2004: 24978 2006: 85.900
Complexidaden 20 50 100 200 500 1000 1000 n .02 seg .05 seg 0.1 seg 0.2 seg 0.5 seg 1 seg 1000 n log n 0.09 seg 0.3 seg 0.6 seg 1.5 seg 4.5 seg 10 seg 100 n^2 0.04 seg 0.25 seg 1 seg 4 seg 25 seg 2 min 10 n^3 0.02 seg 1 seg 10 seg 1 min 2 min 2.7 hs 5 x 10^8 n^log n 0.4 seg 1.1 hs. 220 dias 125 Séculos Séculos 3 x 10^4 2^n/3 0.0001 seg 0.1 seg 2.7 hs Séculos 3 x 10^4 2^n 1 seg 35 anos Séculos 2 x 10^9 3^n 58 min Séculos CONSIDERANDO QUE UMA OPERAÇÂO ELEMENTAR LEVA 10^(-6) seg
PROGRAMAÇÃO LINEAR 1988 >>> 2004 Algoritmos (independentemente do computador) 3.300 X Computadores 1.600 X TOTAL (Algoritmos x Computadores) 5.300.000 X
PROGRAMAÇÃO LINEAR 1988 >>> 2004 Algoritmos (independentemente do computador) 3.300 X Computadores 1.600 X TOTAL (Algoritmos x Computadores) 5.300.000 X 2 MESES / 5.300.000 ~ = 1 segundo
APLICAÇÕES ATUAIS • Área Militar • Construção Civil • Companhia aéreas • RH: Work force scheduling • Setor elétrico (geração e transmissão) • Precificação • SCP: produção, transporte, armazéns, • Telecomunicações network design, product flow, estoque • Esportes • Corte (papel, vidro, vergalhões, etc.) • Saúde • Finanças • Locadoras de vídeo • Agro negócio • Etc., etc.
logomarca da sua empresa aqui Problema de Transporte de Helicóptero de Passageiros em Operações Offshore
Exemplo - Otimização Helicópteros: solução ciclos simples Cap: 10 pax Dis. Max: 13 5 5 3 5 4 10 10 4 3 3 vôos 5 Dis. Perc.: 28 4
Exemplo - Otimização Helicópteros: solução ciclos simples Cap: 10 pax 5 Dis. Max: 13 5 3 4 10 10 9 5 3 5 2 vôos 3 vôos 4 Dis. Perc.: 24 Dis. Perc.: 28
Exemplo - Otimização Helicópteros: caso real • 100 plataformas • 4 aeroportos • 50 helicópteros • 5 tipos de helicop. • 25000 pessoas • 2000 pax por dia
MODELOS E ALGORITMOS DE OTIMIZAÇÃO SISTEMAS DE APOIO À DECISÃO
OTIMIZAÇÃO Busca pela melhoria. Quando não se pode melhorar diz-se que o Ótimo foi alcançado. Otimização Existe Medida de Qualidade Medidas: Lucro, Receita, Produção, Produtividade, Disponibilidade, Qualidade de Serviço, Demurrage, etc. Otimização: entre as possíveis soluções (viáveis), encontrar aquela cuja medida é a melhor possível.
MODELAGEM DO PROBLEMA O que é um Modelo? Para que serve um Modelo?
Um modelo é uma representação simplificada de um sistema real SISTEMA MODELAGEM / OU FORMULAÇÃO PROBLEMA MODELO REAL AVALIAÇÃO / DEDUÇÃO / JULGAMENTO ANÁLISE CONCLUSÕES INTERPRETAÇÃO / SOBRE O INFERÊNCIA CONCLUSÕES SISTEMA REAL / DO MODELO DECISÕES
logomarca da sua empresa aqui Problema decisório X Modelo Objetivo Problema Regras de Restrições Decisório Negocio Complexo Modelo Matemático e Input Algoritmos de Output Resolução
Problema decisório X Modelo Um modelo é útil quando permite que se chegue a conclusões adequadas sobre o sistema real, dentro de seu limite de aplicabilidade. No caso de um modelo matemático, a utilidade depende também da existência de algoritmos computacionais capazes de “resolver” o modelo.
Modelos Matemáticos de Otimização Lineares Não lineares Com restrições Sem restrições Variáveis contínuas Variáveis inteiras Funções diferenciáveis e não diferenciáveis Funções convexas ou não convexas Regiões viáveis convexas ou não convexas Otimização estocástica Etc, etc
Algumas aplicações Otimização de fluxos e capacidades Otimização de redes Previsão e planejamento de demanda Planejamento de produção Planejamento de transporte Planejamento de estoques Escalonamento de recursos humanos
Modelos Matemáticos de Otimização LINEARES Não lineares COM RESTRIÇÕES Sem restrições VARIÁVEIS CONTÍNUAS VARIÁVEIS INTEIRAS Funções diferenciáveis e não diferenciáveis Funções convexas ou não convexas Regiões viáveis convexas ou não convexas Otimização estocástica Etc, etc
Programação Linear Modelagem matemática em que as decisões são representadas por n variáveis contínuas (Reais) em um certo intervalo As combinações de valores das variáveis que não representam decisões possíveis devem ser eliminadas através de m restrições lineares (de igualdade ou desigualdade) sobre essas variáveis
Programação Linear Inteira Modelagem matemática que difere da programação linear simplesmente porque algumas (ou todas as) variáveis podem ser definidas como inteiras Esse recurso adicional permite modelar um número muito maior de situações
Modelos Matemáticos de Otimização LINEARES Não lineares LMIP Linear Mix Integer Programming COM RESTRIÇÕES Sem restrições VARIÁVEIS CONTÍNUAS VARIÁVEIS INTEIRAS Funções diferenciáveis e não diferenciáveis Funções convexas ou não convexas Regiões viáveis convexas ou não convexas Otimização estocástica Etc, etc
Modelos Matemáticos de Otimização LINEARES Não lineares LMIP Linear Mix Integer Programming COM RESTRIÇÕES Sem restrições VARIÁVEIS CONTÍNUAS VARIÁVEIS INTEIRAS Funções diferenciáveis e não diferenciáveis Funções convexas ou não convexas Regiões viáveis convexas ou não convexas Otimização estocástica Etc, etc
Exemplo - Modelo Problema de Mix Ótimo de Produção de Cadeiras Para maximizar seu lucro, uma fábrica de cadeiras precisa decidir quais modelos deve produzir
Mix ótimo de produção de cadeiras: Lucro vs. Consumo de matéria-prima 150 300 300 250 1 4 3 1 1 1 1 2
Modelo de Programação Linear max 150 x1 + 300 x2 + 300 x3 + 250 x4 1 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 1 x4 ≤ 50 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 2 x4 ≤ 67 x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Solução ótima x1=25 x2 = 0 x3 = 6,6 x4=30,2 Lucro = R$ 9.530 max 150 x1 + 300 x2 + 300 x3 + 250 x4 1 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 1 x4 ≤ 50 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 2 x4 ≤ 67 x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Modelo de Programação Linear Inteira max 150 x1 + 300 x2 + 300 x3 + 250 x4 1 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 1 x4 ≤ 50 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 2 x4 ≤ 67 x1, x2, x3, x4 ≥ 0 x1, x2, x3, x4 Inteiras
Solução ótima inteira x1=25 x2 = 0 x3 = 6,6 x4=30,2 Lucro = R$ 9.500 max 150 x1 + 300 x2 + 300 x3 + 250 x4 1 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 1 x4 ≤ 50 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 2 x4 ≤ 67 x1, x2, x3, x4 ≥ 0 x1, x2, x3, x4 Inteiras
Solução ótima do PPL x1= 0 x2 = 0 x3 = 6.6 x4=30.2 Margem = R$ 9.530,00 Solução ótima do PPLI x1= 3 x2 = 0 x3 = 6 x4=29 Margem = R$ 9.500,00
Exemplo - Modelo Problema da Mochila Um viajante precisa decidir entre n possíveis objetos para colocar na sua mochila com capacidade de peso P; Cada objeto i oferece um ganho gi mas possui um peso pi. O problema é escolher um subconjunto dos objetos com peso total ≤ P que maximize o ganho total.
Problema da Mochila 1 2 3 4 5 6 P=10 p1=1 p2=2 p3=4 p4=4 p5=5 p6=6 . g1=3 g2=3 g3=5 g4=5 g5= 6 g6=9
Modelo Matemático do Problema da Mochila Max 3x1  3x2  5 x3  5 x4  6 x5  9 x6 S.a. x1  2 x2  4 x3  4 x4  5 x5  6 x6  10 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6  1 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 inteiros
Modelo Matemático do Problema da Mochila Max 3x1  3x2  5 x3  5 x4  6 x5  9 x6 S.a. x1  2 x2  4 x3  4 x4  5 x5  6 x6  10 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6  1 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 inteiros Solução ótima: x1,= x2 = x6 =1 Ganho total =15
Problema da Mochila 6 2 1 1 2 3 4 5 6 P=9<10 p1=1 p2=2 p3=4 p4=4 p5=5 p6=6 . G=15 g1=3 g2=3 g3=5 g4=5 g5= 6 g6=9
Modelar e resolver
TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO Heurísticas vs. Soluções Exatas
Técnicas de resolução METAHEURÍSTICAS HEURÍSTICAS ESPECÍFICAS ALGORITMOS DE RESOLUÇÃO EXATA MATEHEURÍSTICAS
Metaheruristicas Metaheurísticas Tabu search: buscas locais com mecanismos para fugir de ótimos locais baseados em movimentos proibidos (tabu); Genetic Algorithms: considera uma “população” (conjunto de soluções) finita que “evolui” de geração em geração; Simulated annealing: buscas locais com mecanismos para fugir de ótimos locais baseados em probabilidades associadas aos valores da função e um parâmetro global (T); Ant colony optimization: técnica probabilística para busca de caminhos em grafos (diferentes estados do problema) inspirado no comportamento das formigas na procura de alimentos (pheromone trails);
Metaheruristicas
EXEMPLO HEURÍSTICA Problema de Balanceamento de Cargas Algoritmo de Escalonamento de Listas
Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista A B C D E F G H I J Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 0 Tempo
Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista B C D E F G H I J A Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 0 Tempo
Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista C D E F G H I J A Máquina 1 B Máquina 2 Máquina 3 0 Tempo
Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista D E F G H I J A Máquina 1 B Máquina 2 C Máquina 3 0 Tempo
Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista E F G H I J A Máquina 1 B D Máquina 2 C Máquina 3 0 Tempo
Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista F G H I J A E Máquina 1 B D Máquina 2 C Máquina 3 0 Tempo
Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista G H I J A E Máquina 1 B D Máquina 2 C F Máquina 3 0 Tempo
Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista H I J A E Máquina 1 B D Machine 2 G C F Máquina 3 0 Tempo
Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista I J A E Máquina 1 H B D Machine 2 G C F Máquina 3 0 Tempo
Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista J A E H Machine 1 I B D Machine 2 G G C F Máquina 3 0 Tempo
Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista A E H Machine 1 I B D Machine 2 G C F Machine 3 J 0 Tempo
Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista D E H Machine 1 C B A Machine 2 G I F Machine 3 J 0 Escalonamento Ótimo A E H Machine 1 I B D Machine 2 G C F Machine 3 J 0 Escalonamento de lista
Exemplo HEURÍSTICA Problema de Escolha de Atividades Algoritmo de Escalonamento de Intervalos
Escolha de Atividades (Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Escolha de Atividades (Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Escolha de Atividades (Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Escolha de Atividades (Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Escolha de Atividades (Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B E 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Escolha de Atividades (Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D E 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Escolha de Atividades (Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Escolha de Atividades (Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B E G 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Escolha de Atividades (Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B E H 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Algoritmos de resolução para Problemas de Programação Linear - PPL
PPL: Região viável Cevada Lúpulo max 13 A  23B 4A + 4B  160 35A + 20B  1190 s. a. 5 A  15B  480 4A  4B  160 35 A  20 B  1190 A , B  0 (0, 32) (12, 28) (26, 14) Malte 5A + 15B  480 Cerveja B (0, 0) Cerveja A (34, 0)
PPL: Gradiente (0, 32) (12, 28) (.)A + (..)B = 1600 (26, 14) Cerveja B 13A + 28B = 800 (0, 0) Cerveja A (34, 0) 34A + 0B = 442
PPL: Método SIMPLEX Solução Ótima (0, 32) (12, 28) 13A + 28B = 800 0A + 32B = 736 (26, 14) 26A + 14B = 660 (0, 0) (34, 0) 34A + 0B = 442 0A + 0B = 0
Algoritmos de resolução para Problemas de Programação Linear Inteira - PPLI
Solução PPLI: Branch-and-Bound max z = 17x1+12x2 5 s.a 10x1 + 7x2  40 4 x1 + x2  5 x1 ,x2  0 3 x1,x2 inteiros 2 1 1 2 3 4 5
P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 5 4 P0 3 2 1 1 2 3 4 5
P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 x1  1 x1 ≥ 2 P1: x1=1 x2=4 P2: x1=2 x2=2.86 Z=65 Z=68.29 5 4 P1 3 P2 2 1 1 2 3 4 5
P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 x1  1 x1 ≥ 2 P1: x1=1 x2=4 P2: x1=2 x2=2.86 Z=65 Z=68.29 5 x2  2 x2 ≥ 3 P3: x1=2.6 x2=2 4 Z=68.2 3 2 P3 1 1 2 3 4 5
P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 x1  1 x1 ≥ 2 P1: x1=1 x2=4 P2: x1=2 x2=2.86 Z=65 Z=68.29 5 x2  2 x2 ≥ 3 P3: x1=2.6 x2=2 4 Z=68.2 x1  2 x1 ≥ 3 3 P4: x1=2 x2=2 P5: x1=3 x2=1.43 Z=58 Z=68.14 2 P4 P5 1 1 2 3 4 5
P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 x1  1 x1 ≥ 2 P1: x1=1 x2=4 P2: x1=2 x2=2.86 Z=65 Z=68.29 5 x2  2 x2 ≥ 3 P3: x1=2.6 x2=2 4 Z=68.2 x1  2 x1 ≥ 3 3 P4: x1=2 x2=2 P5: x1=3 x2=1.43 Z=58 Z=68.14 2 x2  1 x2 ≥ 2 P6: x1=3.3 x2=1 1 Z=68.1 P6 1 2 3 4 5
P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 x1  1 x1 ≥ 2 P1: x1=1 x2=4 P2: x1=2 x2=2.86 Z=65 Z=68.29 5 x2  2 x2 ≥ 3 P3: x1=2.6 x2=2 4 Z=68.2 x1  2 x1 ≥ 3 3 P4: x1=2 x2=2 P5: x1=3 x2=1.43 Z=58 Z=68.14 2 x2  1 x2 ≥ 2 P6: x1=3.3 x2=1 1 Z=68.1 P7 x1  3 x1 ≥ 4 P8 P7: x1=3 x2=1 P8: x1=4 x2=0 1 4 5 Z=63 Z=68 2 3
P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 x1  1 x1 ≥ 2 P1: x1=1 x2=4 P2: x1=2 x2=2.86 Z=65 Z=68.29 x2  2 x2 ≥ 3 P3: x1=2.6 x2=2 Z=68.2 P10: infactível x1  2 x1 ≥ 3 P4: x1=2 x2=2 P5: x1=3 x2=1.43 Z=58 Z=68.14 x2  1 x2 ≥ 2 P6: x1=3.3 x2=1 Z=68.1 P9: infactível x1  3 x1 ≥ 4 P7: x1=3 x2=1 P8: x1=4 x2=0 Z=63 Z=68
Solução ótima do PPLI 5 4 P0 3 2 P8: x1=4 x2=0 Z=68 1 1 2 3 4 5
Problema de Programação Linear Região Viável de um PPL
Problema de Programação Linear Inteira x Solução ótima (fracionária) Pontos inteiros viáveis
Problema de Programação Linear Inteira x Plano de corte
PPLI y Nova Região Viável (anterior + uma nova rest.) Nova solução (fracionária)
PPLI: Minimização Trade off: TEMPO de EXECUÇÃO X QUALIDADE da SOLUÇÃO Soluções x inteiras y Solução ótima GAP Soluções fracionárias
Metodologia de Desenvolvimento de Solvers da GAPSO A GAPSO sempre inicia o processo de resolução de um problema escrevendo e implementando um modelo de Programação Inteira: Permite uma verificação minuciosa da especificação do problema Com a alta qualidade dos Solvers atuais é difícil afirmar a priori que não será capaz de atender os requisitos de eficiência (tempo de resolução) Quando o Solver inicialmente não atende aos requisitos, é possível parametrizá-los para encontrar soluções viáveis no tempo especificado.
Metodologia de Desenvolvimento de Solvers da GAPSO Caso o Solver atenda, temos os seguintes ganhos: Menor índice de erros no sistema: Solvers são extensivamente testados. Evolução/modificação é mais rápida e tem menos consequências no sistema. Quando os Solvers evoluem a qualidade das soluções no sistema também evoluem.
Metodologia de Desenvolvimento de Solvers da GAPSO Caso o Solver não atenda, a GAPSO desenvolve metaheurísticas, tendo os seguintes ganhos: Temos uma referência para a qualidade da solução gerada. As soluções geradas pelo Solver podem sugerir abordagens heurísticas. Permite testar a corretude das soluções geradas pelas heurísticas. Pode-se construir um resolvedor híbrido, onde uma solução heurística pode ser entrada no Solver que é utilizado para melhorá-la.
Metodologia de Desenvolvimento de Solvers da GAPSO O servidor de otimização desenvolvido tem sempre como meta a resolução no tempo requisitado. A qualidade da solução gerada é a melhor encontrada neste tempo. A ênfase do resolvedor se modifica em função do tempo que se leva para obter uma primeira boa solução.
Integração vertical e horizontal Garantias e Metas Compromissos Decisões alinhadas do estratégico ao operacional
Conclusão Hoje, até mesmo as maiores e mais complexas operações produtivas podem se beneficiar fortemente com a utilização de ferramentas analíticas de planejamento
Pilares Formalização de processos Qualidade e disponibilização de dados Capacitação de usuários Ferramentas apropriadas
OBRIGADO !

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Gapso - Otimização

  • 1.
  • 2.
    SUMÁRIO A GAPSO OTIMIZAÇÃO NOS NEGÓCIOS – MOTIVAÇÃO E EVOLUÇÂO MODELOS MATEMÁTICOS ALGORITMOS DE RESOLUÇÃO PILARES PARA UMA IMPLANTAÇÃO BEM SUCEDIDA
  • 4.
  • 5.
    Sistemas para Definir estratégias Planejare Programar Operações Objetivos Maximizar receita/margem/retorno Melhorar nível de serviço Reduzir custos Avaliar riscos e investimentos Características Aderência Qualidade analítica Usabilidade Integrabilidade Adoção e Acompanhamento Evolução permanente
  • 6.
    Setores atendidos Mineração Siderurgia Petróleo Papel ecelulose Transporte (ferroviário, marítimo, aéreo, rodoviário) Bioenergia Telecomunicações, Mercado Financeiro, Educacional Aplicações Otimização de fluxos e capacidades Otimização de redes Previsão e planejamento de demanda Planejamento de produção e transporte Planejamento de estoques Escalonamento de recursos humanos
  • 9.
    Clientes Histórico de implantaçõesem operações vitais de grandes empresas.
  • 10.
    Clientes Sistemas e Serviçosde planejamento e coordenação de logística Offshore
  • 11.
    Clientes Sistemas de planejamentode rede logística e planejamento de produção
  • 12.
    Clientes PROA – Planejamento da Produção na Aciaria LOOMA – Planejamento do Transporte de Madeira PLANNER – Supply Chain Planning SICLE – Planejamento de rede logística de combustíveis e comercial CARGA CERTA – Planejamento tático e operacional do transporte rodoviário de carga VOX – Otimização de carteiras de investimento
  • 13.
    Clientes Planejamento de fluxo de containers e rotas de navios para navegação de cabotagem Planejamento de configuração e utilização de diversas redes de telecomunicações Planejamento operacional da utilização de vagões Dimensionamento de equipamentos/equipes para expansão e manutenção das redes Sistema de Planejamento da Rede de Suprimentos, Produção e Logística
  • 14.
    Mais Receita Redução de 7% Redução de 5% da Menos Custo 4% + Embarque no ciclo de frota necessária US$ - 24MM Vagões Menos Custo == 200 novos 400 novos Menos Risco 6% - Multas vagões vagões 18% - Pousos
  • 15.
  • 16.
    Implantações bem sucedidas Integração Treinamento Acompanhamento e evolução
  • 19.
    Principais Sistemas naVale Network Planning, Supply Chain Scheduling e Blending Sistema de Planejamento para a Produção de Pelotas Sistema Integrado de Otimização das Operações Portuárias Sistema de Gerenciamento e Dimensionamento de Equipamentos de Mina
  • 20.
    Sistemas em utilizaçãoem 6 diferentes áreas da empresa Modelos e respectivos Solvers de 18 uso frequente.
  • 22.
    Arquitetura de umsistema de otimização Model GUI with solver Interface Interface Main Legacy with legacy Solver Module systems Information Systems Tests Solver Tests
  • 23.
  • 24.
    Por que usar ferramentas analíticas de planejamento?
  • 25.
    Porque alguns “paradigmas” sobre os negócios mudaram
  • 26.
    COMPETIÇÃO ANALÍTICA Por que asempresas líderes estão usando inteligência analítica? As bases da competição mudaram Antigas vantagens competitivas não são mais suficientes
  • 27.
    COMPETIÇÃO ANALÍTICA Por que asempresas líderes estão usando inteligência analítica? As bases da competição mudaram Antigas vantagens competitivas não são mais suficientes Localização geográfica Novos Produtos Custos básicos
  • 28.
    COMPETIÇÃO ANALÍTICA Por que asempresas líderes estão usando inteligência analítica? As bases da competição mudaram Antigas vantagens competitivas não são mais suficientes Localização geográfica Novas Produtos Custos básicos Mundo Plano Cópia China
  • 29.
    VANTAGEM ANALÍTICA Decidirmelhor e + rápido que o concorrente
  • 32.
    PROBLEMAS ACADÊMICOS PROBLEMAS REAIS TSP Solda em circuitos TWCVRP Roterização para coleta e entrega Scheduling Escalonamento de força de trabalho Steiner Projeto de redes de trans. de energia elétrica Lot sizing Planejamento de produção Multifuxos Movimentação de vagões Facility Location Network Design Knapsack Otimização de portfolios financeiros Generalized assignment Carragamento de caminhões Roterização de arestas Carteiros, coleta de lixo
  • 33.
    PROBLEMAS ACADÊMICOS PROBLEMAS REAIS TSPP Solda em circuitos TWCVRP Roterização para coleta e entrega Scheduling Escalonamento de força de trabalho Steiner Projeto de redes de trans. de energia elétrica Lot sizing Planejamento de produção Multifuxos Movimentação de vagões Facility Location Network Design Knapsack Otimização de portfolios financeiros Generalized assignment Carragamento de caminhões Roterização de arestas Carteiros, coleta de lixo
  • 34.
  • 35.
  • 36.
  • 37.
  • 38.
  • 39.
  • 40.
  • 41.
    COMPLEXIDADE TSP 27 cidades 403.291.126.606. 000.000.000.000,00
  • 42.
    PROBLEMA DO CAIXEIROVIAJANTE 1800 1954 1962 Hamilton´s Game 42 cidades USA Concurso Proctor & Gamble Dantzig – Fulkerson - Jonhson 33 cidades específicas USA
  • 43.
    PROBLEMA DO CAIXEIROVIAJANTE 2001 2004 Alemanha – 15.112 cidades – 66.000 Suecia – 24.978 cidades – 72.500 km. km. Rede de 110 processadores – Cluster de maquinas com processadores Intel Xeon dual - 84.8 anos de CPU 22.6 anos de CPU
  • 44.
    Próximos Passos PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE 1954: 49 2006 1977: 120 Maior instância do TSP já resolvida - VLSI - 85.900 1987: 532 pontos. Cluster de máquinas com processadores 1987: 666 Intel Xeon Dual e AMD Athlon - 136 anos de CPU. 1987: 2392 1994: 7397 1998: 13509 2001: 15112 2004: 24978 2006: 85.900
  • 45.
    Complexidaden 20 50 100 200 500 1000 1000 n .02 seg .05 seg 0.1 seg 0.2 seg 0.5 seg 1 seg 1000 n log n 0.09 seg 0.3 seg 0.6 seg 1.5 seg 4.5 seg 10 seg 100 n^2 0.04 seg 0.25 seg 1 seg 4 seg 25 seg 2 min 10 n^3 0.02 seg 1 seg 10 seg 1 min 2 min 2.7 hs 5 x 10^8 n^log n 0.4 seg 1.1 hs. 220 dias 125 Séculos Séculos 3 x 10^4 2^n/3 0.0001 seg 0.1 seg 2.7 hs Séculos 3 x 10^4 2^n 1 seg 35 anos Séculos 2 x 10^9 3^n 58 min Séculos CONSIDERANDO QUE UMA OPERAÇÂO ELEMENTAR LEVA 10^(-6) seg
  • 46.
    PROGRAMAÇÃO LINEAR 1988 >>> 2004 Algoritmos (independentemente do computador) 3.300 X Computadores 1.600 X TOTAL (Algoritmos x Computadores) 5.300.000 X
  • 47.
    PROGRAMAÇÃO LINEAR 1988 >>> 2004 Algoritmos (independentemente do computador) 3.300 X Computadores 1.600 X TOTAL (Algoritmos x Computadores) 5.300.000 X 2 MESES / 5.300.000 ~ = 1 segundo
  • 48.
    APLICAÇÕES ATUAIS • ÁreaMilitar • Construção Civil • Companhia aéreas • RH: Work force scheduling • Setor elétrico (geração e transmissão) • Precificação • SCP: produção, transporte, armazéns, • Telecomunicações network design, product flow, estoque • Esportes • Corte (papel, vidro, vergalhões, etc.) • Saúde • Finanças • Locadoras de vídeo • Agro negócio • Etc., etc.
  • 49.
    logomarca da sua empresa aqui Problema de Transporte de Helicóptero de Passageiros em Operações Offshore
  • 50.
    Exemplo - Otimização Helicópteros:solução ciclos simples Cap: 10 pax Dis. Max: 13 5 5 3 5 4 10 10 4 3 3 vôos 5 Dis. Perc.: 28 4
  • 51.
    Exemplo - Otimização Helicópteros:solução ciclos simples Cap: 10 pax 5 Dis. Max: 13 5 3 4 10 10 9 5 3 5 2 vôos 3 vôos 4 Dis. Perc.: 24 Dis. Perc.: 28
  • 52.
    Exemplo - Otimização Helicópteros:caso real • 100 plataformas • 4 aeroportos • 50 helicópteros • 5 tipos de helicop. • 25000 pessoas • 2000 pax por dia
  • 53.
    MODELOS E ALGORITMOS DEOTIMIZAÇÃO SISTEMAS DE APOIO À DECISÃO
  • 54.
    OTIMIZAÇÃO Buscapela melhoria. Quando não se pode melhorar diz-se que o Ótimo foi alcançado. Otimização Existe Medida de Qualidade Medidas: Lucro, Receita, Produção, Produtividade, Disponibilidade, Qualidade de Serviço, Demurrage, etc. Otimização: entre as possíveis soluções (viáveis), encontrar aquela cuja medida é a melhor possível.
  • 55.
    MODELAGEM DO PROBLEMA O que é um Modelo? Para que serve um Modelo?
  • 56.
    Um modelo éuma representação simplificada de um sistema real SISTEMA MODELAGEM / OU FORMULAÇÃO PROBLEMA MODELO REAL AVALIAÇÃO / DEDUÇÃO / JULGAMENTO ANÁLISE CONCLUSÕES INTERPRETAÇÃO / SOBRE O INFERÊNCIA CONCLUSÕES SISTEMA REAL / DO MODELO DECISÕES
  • 57.
    logomarca da sua empresa aqui Problema decisório X Modelo Objetivo Problema Regras de Restrições Decisório Negocio Complexo Modelo Matemático e Input Algoritmos de Output Resolução
  • 58.
    Problema decisório XModelo Um modelo é útil quando permite que se chegue a conclusões adequadas sobre o sistema real, dentro de seu limite de aplicabilidade. No caso de um modelo matemático, a utilidade depende também da existência de algoritmos computacionais capazes de “resolver” o modelo.
  • 59.
    Modelos Matemáticos deOtimização Lineares Não lineares Com restrições Sem restrições Variáveis contínuas Variáveis inteiras Funções diferenciáveis e não diferenciáveis Funções convexas ou não convexas Regiões viáveis convexas ou não convexas Otimização estocástica Etc, etc
  • 60.
    Algumas aplicações Otimização defluxos e capacidades Otimização de redes Previsão e planejamento de demanda Planejamento de produção Planejamento de transporte Planejamento de estoques Escalonamento de recursos humanos
  • 61.
    Modelos Matemáticos deOtimização LINEARES Não lineares COM RESTRIÇÕES Sem restrições VARIÁVEIS CONTÍNUAS VARIÁVEIS INTEIRAS Funções diferenciáveis e não diferenciáveis Funções convexas ou não convexas Regiões viáveis convexas ou não convexas Otimização estocástica Etc, etc
  • 62.
    Programação Linear Modelagem matemáticaem que as decisões são representadas por n variáveis contínuas (Reais) em um certo intervalo As combinações de valores das variáveis que não representam decisões possíveis devem ser eliminadas através de m restrições lineares (de igualdade ou desigualdade) sobre essas variáveis
  • 63.
    Programação Linear Inteira Modelagemmatemática que difere da programação linear simplesmente porque algumas (ou todas as) variáveis podem ser definidas como inteiras Esse recurso adicional permite modelar um número muito maior de situações
  • 64.
    Modelos Matemáticos deOtimização LINEARES Não lineares LMIP Linear Mix Integer Programming COM RESTRIÇÕES Sem restrições VARIÁVEIS CONTÍNUAS VARIÁVEIS INTEIRAS Funções diferenciáveis e não diferenciáveis Funções convexas ou não convexas Regiões viáveis convexas ou não convexas Otimização estocástica Etc, etc
  • 65.
    Modelos Matemáticos deOtimização LINEARES Não lineares LMIP Linear Mix Integer Programming COM RESTRIÇÕES Sem restrições VARIÁVEIS CONTÍNUAS VARIÁVEIS INTEIRAS Funções diferenciáveis e não diferenciáveis Funções convexas ou não convexas Regiões viáveis convexas ou não convexas Otimização estocástica Etc, etc
  • 66.
    Exemplo - Modelo Problemade Mix Ótimo de Produção de Cadeiras Para maximizar seu lucro, uma fábrica de cadeiras precisa decidir quais modelos deve produzir
  • 67.
    Mix ótimo deprodução de cadeiras: Lucro vs. Consumo de matéria-prima 150 300 300 250 1 4 3 1 1 1 1 2
  • 68.
    Modelo de ProgramaçãoLinear max 150 x1 + 300 x2 + 300 x3 + 250 x4 1 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 1 x4 ≤ 50 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 2 x4 ≤ 67 x1, x2, x3, x4 ≥ 0
  • 69.
    Solução ótima x1=25 x2 = 0 x3 = 6,6 x4=30,2 Lucro = R$ 9.530 max 150 x1 + 300 x2 + 300 x3 + 250 x4 1 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 1 x4 ≤ 50 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 2 x4 ≤ 67 x1, x2, x3, x4 ≥ 0
  • 70.
    Modelo de ProgramaçãoLinear Inteira max 150 x1 + 300 x2 + 300 x3 + 250 x4 1 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 1 x4 ≤ 50 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 2 x4 ≤ 67 x1, x2, x3, x4 ≥ 0 x1, x2, x3, x4 Inteiras
  • 71.
    Solução ótima inteira x1=25 x2 = 0 x3 = 6,6 x4=30,2 Lucro = R$ 9.500 max 150 x1 + 300 x2 + 300 x3 + 250 x4 1 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 1 x4 ≤ 50 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 2 x4 ≤ 67 x1, x2, x3, x4 ≥ 0 x1, x2, x3, x4 Inteiras
  • 72.
    Solução ótima doPPL x1= 0 x2 = 0 x3 = 6.6 x4=30.2 Margem = R$ 9.530,00 Solução ótima do PPLI x1= 3 x2 = 0 x3 = 6 x4=29 Margem = R$ 9.500,00
  • 73.
    Exemplo - Modelo Problema da Mochila Um viajante precisa decidir entre n possíveis objetos para colocar na sua mochila com capacidade de peso P; Cada objeto i oferece um ganho gi mas possui um peso pi. O problema é escolher um subconjunto dos objetos com peso total ≤ P que maximize o ganho total.
  • 74.
    Problema da Mochila 1 2 3 4 5 6 P=10 p1=1 p2=2 p3=4 p4=4 p5=5 p6=6 . g1=3 g2=3 g3=5 g4=5 g5= 6 g6=9
  • 75.
    Modelo Matemático doProblema da Mochila Max 3x1  3x2  5 x3  5 x4  6 x5  9 x6 S.a. x1  2 x2  4 x3  4 x4  5 x5  6 x6  10 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6  1 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 inteiros
  • 76.
    Modelo Matemático doProblema da Mochila Max 3x1  3x2  5 x3  5 x4  6 x5  9 x6 S.a. x1  2 x2  4 x3  4 x4  5 x5  6 x6  10 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6  1 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 inteiros Solução ótima: x1,= x2 = x6 =1 Ganho total =15
  • 77.
    Problema da Mochila 6 2 1 1 2 3 4 5 6 P=9<10 p1=1 p2=2 p3=4 p4=4 p5=5 p6=6 . G=15 g1=3 g2=3 g3=5 g4=5 g5= 6 g6=9
  • 78.
  • 80.
  • 81.
    Técnicas de resolução METAHEURÍSTICAS HEURÍSTICAS ESPECÍFICAS ALGORITMOS DE RESOLUÇÃO EXATA MATEHEURÍSTICAS
  • 82.
    Metaheruristicas Metaheurísticas Tabusearch: buscas locais com mecanismos para fugir de ótimos locais baseados em movimentos proibidos (tabu); Genetic Algorithms: considera uma “população” (conjunto de soluções) finita que “evolui” de geração em geração; Simulated annealing: buscas locais com mecanismos para fugir de ótimos locais baseados em probabilidades associadas aos valores da função e um parâmetro global (T); Ant colony optimization: técnica probabilística para busca de caminhos em grafos (diferentes estados do problema) inspirado no comportamento das formigas na procura de alimentos (pheromone trails);
  • 83.
  • 84.
    EXEMPLO HEURÍSTICA Problemade Balanceamento de Cargas Algoritmo de Escalonamento de Listas
  • 85.
    Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista A B C D E F G H I J Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 0 Tempo
  • 86.
    Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista B C D E F G H I J A Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 0 Tempo
  • 87.
    Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista C D E F G H I J A Máquina 1 B Máquina 2 Máquina 3 0 Tempo
  • 88.
    Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista D E F G H I J A Máquina 1 B Máquina 2 C Máquina 3 0 Tempo
  • 89.
    Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista E F G H I J A Máquina 1 B D Máquina 2 C Máquina 3 0 Tempo
  • 90.
    Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista F G H I J A E Máquina 1 B D Máquina 2 C Máquina 3 0 Tempo
  • 91.
    Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista G H I J A E Máquina 1 B D Máquina 2 C F Máquina 3 0 Tempo
  • 92.
    Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista H I J A E Máquina 1 B D Machine 2 G C F Máquina 3 0 Tempo
  • 93.
    Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista I J A E Máquina 1 H B D Machine 2 G C F Máquina 3 0 Tempo
  • 94.
    Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista J A E H Machine 1 I B D Machine 2 G G C F Máquina 3 0 Tempo
  • 95.
    Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista A E H Machine 1 I B D Machine 2 G C F Machine 3 J 0 Tempo
  • 96.
    Balanceamento de Carga: Algoritmo de Escalonamento de Lista D E H Machine 1 C B A Machine 2 G I F Machine 3 J 0 Escalonamento Ótimo A E H Machine 1 I B D Machine 2 G C F Machine 3 J 0 Escalonamento de lista
  • 97.
    Exemplo HEURÍSTICA Problemade Escolha de Atividades Algoritmo de Escalonamento de Intervalos
  • 98.
    Escolha de Atividades(Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  • 99.
    Escolha de Atividades(Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  • 100.
    Escolha de Atividades(Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  • 101.
    Escolha de Atividades(Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  • 102.
    Escolha de Atividades(Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B E 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  • 103.
    Escolha de Atividades(Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D E 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  • 104.
    Escolha de Atividades(Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  • 105.
    Escolha de Atividades(Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B E G 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  • 106.
    Escolha de Atividades(Escalonamento de Intervalos) B (1) C (2) A (3) E (4) D (5) F (6) G (7) H (8) Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B E H 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  • 107.
    Algoritmos de resoluçãopara Problemas de Programação Linear - PPL
  • 108.
    PPL: Região viável Cevada Lúpulo max 13 A  23B 4A + 4B  160 35A + 20B  1190 s. a. 5 A  15B  480 4A  4B  160 35 A  20 B  1190 A , B  0 (0, 32) (12, 28) (26, 14) Malte 5A + 15B  480 Cerveja B (0, 0) Cerveja A (34, 0)
  • 109.
    PPL: Gradiente (0, 32) (12, 28) (.)A + (..)B = 1600 (26, 14) Cerveja B 13A + 28B = 800 (0, 0) Cerveja A (34, 0) 34A + 0B = 442
  • 110.
    PPL: Método SIMPLEX Solução Ótima (0, 32) (12, 28) 13A + 28B = 800 0A + 32B = 736 (26, 14) 26A + 14B = 660 (0, 0) (34, 0) 34A + 0B = 442 0A + 0B = 0
  • 111.
    Algoritmos de resoluçãopara Problemas de Programação Linear Inteira - PPLI
  • 112.
    Solução PPLI: Branch-and-Bound max z = 17x1+12x2 5 s.a 10x1 + 7x2  40 4 x1 + x2  5 x1 ,x2  0 3 x1,x2 inteiros 2 1 1 2 3 4 5
  • 113.
    P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 5 4 P0 3 2 1 1 2 3 4 5
  • 114.
    P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 x1  1 x1 ≥ 2 P1: x1=1 x2=4 P2: x1=2 x2=2.86 Z=65 Z=68.29 5 4 P1 3 P2 2 1 1 2 3 4 5
  • 115.
    P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 x1  1 x1 ≥ 2 P1: x1=1 x2=4 P2: x1=2 x2=2.86 Z=65 Z=68.29 5 x2  2 x2 ≥ 3 P3: x1=2.6 x2=2 4 Z=68.2 3 2 P3 1 1 2 3 4 5
  • 116.
    P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 x1  1 x1 ≥ 2 P1: x1=1 x2=4 P2: x1=2 x2=2.86 Z=65 Z=68.29 5 x2  2 x2 ≥ 3 P3: x1=2.6 x2=2 4 Z=68.2 x1  2 x1 ≥ 3 3 P4: x1=2 x2=2 P5: x1=3 x2=1.43 Z=58 Z=68.14 2 P4 P5 1 1 2 3 4 5
  • 117.
    P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 x1  1 x1 ≥ 2 P1: x1=1 x2=4 P2: x1=2 x2=2.86 Z=65 Z=68.29 5 x2  2 x2 ≥ 3 P3: x1=2.6 x2=2 4 Z=68.2 x1  2 x1 ≥ 3 3 P4: x1=2 x2=2 P5: x1=3 x2=1.43 Z=58 Z=68.14 2 x2  1 x2 ≥ 2 P6: x1=3.3 x2=1 1 Z=68.1 P6 1 2 3 4 5
  • 118.
    P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 x1  1 x1 ≥ 2 P1: x1=1 x2=4 P2: x1=2 x2=2.86 Z=65 Z=68.29 5 x2  2 x2 ≥ 3 P3: x1=2.6 x2=2 4 Z=68.2 x1  2 x1 ≥ 3 3 P4: x1=2 x2=2 P5: x1=3 x2=1.43 Z=58 Z=68.14 2 x2  1 x2 ≥ 2 P6: x1=3.3 x2=1 1 Z=68.1 P7 x1  3 x1 ≥ 4 P8 P7: x1=3 x2=1 P8: x1=4 x2=0 1 4 5 Z=63 Z=68 2 3
  • 119.
    P0: x1=1.67 x2=3.33 Z=68.33 x1  1 x1 ≥ 2 P1: x1=1 x2=4 P2: x1=2 x2=2.86 Z=65 Z=68.29 x2  2 x2 ≥ 3 P3: x1=2.6 x2=2 Z=68.2 P10: infactível x1  2 x1 ≥ 3 P4: x1=2 x2=2 P5: x1=3 x2=1.43 Z=58 Z=68.14 x2  1 x2 ≥ 2 P6: x1=3.3 x2=1 Z=68.1 P9: infactível x1  3 x1 ≥ 4 P7: x1=3 x2=1 P8: x1=4 x2=0 Z=63 Z=68
  • 120.
    Solução ótima doPPLI 5 4 P0 3 2 P8: x1=4 x2=0 Z=68 1 1 2 3 4 5
  • 121.
    Problema de ProgramaçãoLinear Região Viável de um PPL
  • 122.
    Problema de ProgramaçãoLinear Inteira x Solução ótima (fracionária) Pontos inteiros viáveis
  • 123.
    Problema de ProgramaçãoLinear Inteira x Plano de corte
  • 124.
    PPLI y Nova Região Viável (anterior + uma nova rest.) Nova solução (fracionária)
  • 125.
    PPLI: Minimização Trade off: TEMPO de EXECUÇÃO X QUALIDADE da SOLUÇÃO Soluções x inteiras y Solução ótima GAP Soluções fracionárias
  • 126.
    Metodologia de Desenvolvimentode Solvers da GAPSO A GAPSO sempre inicia o processo de resolução de um problema escrevendo e implementando um modelo de Programação Inteira: Permite uma verificação minuciosa da especificação do problema Com a alta qualidade dos Solvers atuais é difícil afirmar a priori que não será capaz de atender os requisitos de eficiência (tempo de resolução) Quando o Solver inicialmente não atende aos requisitos, é possível parametrizá-los para encontrar soluções viáveis no tempo especificado.
  • 127.
    Metodologia de Desenvolvimentode Solvers da GAPSO Caso o Solver atenda, temos os seguintes ganhos: Menor índice de erros no sistema: Solvers são extensivamente testados. Evolução/modificação é mais rápida e tem menos consequências no sistema. Quando os Solvers evoluem a qualidade das soluções no sistema também evoluem.
  • 128.
    Metodologia de Desenvolvimentode Solvers da GAPSO Caso o Solver não atenda, a GAPSO desenvolve metaheurísticas, tendo os seguintes ganhos: Temos uma referência para a qualidade da solução gerada. As soluções geradas pelo Solver podem sugerir abordagens heurísticas. Permite testar a corretude das soluções geradas pelas heurísticas. Pode-se construir um resolvedor híbrido, onde uma solução heurística pode ser entrada no Solver que é utilizado para melhorá-la.
  • 129.
    Metodologia de Desenvolvimentode Solvers da GAPSO O servidor de otimização desenvolvido tem sempre como meta a resolução no tempo requisitado. A qualidade da solução gerada é a melhor encontrada neste tempo. A ênfase do resolvedor se modifica em função do tempo que se leva para obter uma primeira boa solução.
  • 130.
    Integração vertical ehorizontal Garantias e Metas Compromissos Decisões alinhadas do estratégico ao operacional
  • 131.
    Conclusão Hoje, até mesmoas maiores e mais complexas operações produtivas podem se beneficiar fortemente com a utilização de ferramentas analíticas de planejamento
  • 132.
    Pilares Formalização de processos Qualidadee disponibilização de dados Capacitação de usuários Ferramentas apropriadas
  • 133.