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Fundamentos matematica Elementar

- A trigonometria surgiu na Grécia antiga para medir triângulos, mas seu desenvolvimento como ciência se deu principalmente a partir do trabalho de astrônomos como Hiparco de Nicéia, que introduziu tabelas trigonométricas. - Matemáticos indianos e árabes deram novos avanços à trigonometria, como a introdução da trigonometria esférica e a elaboração de fórmulas fundamentais. - A trigonometria consolidou-se como ciência autônoma a

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Carmen Lúcia Valgas Elisabete Ferreira Silva José Trobia pONTA gROSSA - PARANÁ 2011 Matemática Licenciatura em EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Fundamentos da Matemática I
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA Núcleo de Tecnologia e Educação Aberta e a Distância - NUTEAD Av. Gal. Carlos Cavalcanti, 4748 - CEP 84030-900 - Ponta Grossa - PR Tel.: (42) 3220-3163 www.nutead.uepg.br 2009 Todos os direitos reservados ao Ministério da Educação Sistema Universidade Aberta do Brasil Ficha catalográfica elaborada pelo Setor de Processos Técnicos BICEN/UEPG. Pró-Reitoria de Assuntos Administrativos Ariangelo Hauer Dias - Pró-Reitor Pró-Reitoria de Graduação Graciete Tozetto Góes - Pró-Reitor Divisão de Educação a Distância e de Programas Especiais Maria Etelvina Madalozzo Ramos - Chefe Núcleo de Tecnologia e Educação Aberta e a Distância Leide Mara Schmidt - Coordenadora Geral Cleide Aparecida Faria Rodrigues - Coordenadora Pedagógica Sistema Universidade Aberta do Brasil Hermínia Regina Bugeste Marinho - Coordenadora Geral Cleide Aparecida Faria Rodrigues - Coordenadora Adjunta José Trobia - Coordenador de Curso Mary Ângela Teixeira Brandalise - Coordenadora de Tutoria Colaborador Financeiro Luiz Antonio Martins Wosiak Colaboradora de Planejamento Silviane Buss Tupich Projeto Gráfico Anselmo Rodrigues de Andrade Júnior Colaboradores em EAD Dênia Falcão de Bittencourt Jucimara Roesler Colaboradores de Informática Carlos Alberto Volpi Carmen Silvia Simão Carneiro Adilson de Oliveira Pimenta Júnior Juscelino Izidoro de Oliveira Júnior Osvaldo Reis Júnior Kin Henrique Kurek Thiago Luiz Dimbarre Thiago Nobuaki Sugahara Colaboradores de Publicação Luiz Renato Bittencourt - Revisão Luan Dione Rein - Diagramação Paulo Sérgio Schelesky - Ilustração Colaboradores Operacionais Edson Luis Marchinski Joanice Kuster de Azevedo João Márcio Duran Inglêz Kelly Regina Camargo Mariná Holzmann Ribas CRÉDITOS João Carlos Gomes Reitor Carlos Luciano Sant’ana Vargas Vice-Reitor V169f Valgas, Carmen Lúcia Fundamentos da matemática I./ Carmen Lúcia Valgas, Elisabete Ferreira Silva e José Trobia. Ponta Grossa : UEPG/ NUTEAD, 2009. 130p. il. Licenciatura em Matemática - Educação a Distância. 1. Trigonometria. 2. Ciclo trigonométrico. 3. Equaçőes trigonométricas. I. Silva, Elisabete Ferreira. II. Trobia, José. III. T. CDD : 516.24
APRESENTAÇÃO INSTITUCIONAL Prezado estudante Inicialmente queremos dar-lhe as boas-vindas à nossa instituição e ao curso que escolheu. Agora, você é um acadêmico da Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG), uma renomada instituição de ensino superior que tem mais de cinqüenta anos de história no Estado do Paraná, e participa de um amplo sistema de formação superior criado pelo Ministério da Educação (MEC) em 2005, denominado Universidade Aberta do Brasil (UAB). O Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB) não propõe a criação de uma nova instituição de ensino superior, mas sim, a articulação das instituições públicas já existentes, possibilitando levar ensino superior público de qualidade aos municípios brasileiros que não possuem cursos de formação superior ou cujos cursos ofertados não são suficientes para atender a todos os cidadãos. Sensível à necessidade de democratizar, com qualidade, os cursos superiores em nosso país, a Universidade Estadual de Ponta Grossa participou do Edital de Seleção UAB nº 01/2006-SEED/MEC/2006/2007 e foi contemplada para desenvolver seis cursos de graduação e quatro cursos de pós-graduação na modalidade a distância. Isso se tornou possível graças à parceria estabelecida entre o MEC, a CAPES e as universidades brasileiras, bem como porque a UEPG, ao longo de sua trajetória, vem acumulando uma rica tradição de ensino, pesquisa e extensão e se destacando também na educação a distância. A UEPG é credenciada pelo MEC, conforme Portaria nº 652, de 16 de março de 2004, para ministrar cursos superiores (de graduação, seqüenciais, extensão e pós- graduação lato sensu) na modalidade a distância. Os nossos programas e cursos de EaD, apresentam elevado padrão de qualidade e têm contribuído, efetivamente, para a democratização do saber universitário, destacando- se o trabalho que desenvolvemos na formação inicial e continuada de professores. Este curso não será diferente dos demais, pois a qualidade é um compromisso da Instituição em todas as suas iniciativas. Os cursos que ofertamos, no Sistema UAB, utilizam metodologias, materiais e mídias próprios da educação a distância que, além de facilitarem o aprendizado, permitirão constante interação entre alunos, tutores, professores e coordenação. Este curso foi elaborado pensando na formação de um professor competente, no seu saber, no seu saber fazer e no seu fazer saber. Também foram contemplados aspectos éticos e políticos essenciais à formação dos profissionais da educação. Esperamos que você aproveite todos os recursos que oferecemos para facilitar o seu processo de aprendizagem e que tenha muito sucesso na trajetória que ora inicia. Mas, lembre-se: você não está sozinho nessa jornada, pois fará parte de uma ampla rede colaborativa e poderá interagir conosco sempre que desejar, acessando nossa Plataforma Virtual de Aprendizagem (MOODLE) ou utilizando as demais mídias disponíveis para nossos alunos e professores. Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo, pois a sua aprendizagem é o nosso principal objetivo. EQUIPE DA UAB/UEPG
SUMÁRIO PALAVRAS DOs PROFESSO■■ Res 7 OBJETIVOS E ement■■ a 9 Trigonometria no triângulo 11 SEÇÃO■■ 1- Aspectos históricos da trigonometria 12 SEÇÃO 2-■■ Razões trigonométricas no triângulo retângulo 14 SEÇÃO 3-■■ Relações métricas num triângulo qualquer: leis do seno e cosseno 26 Ciclo Trigonométrico e Funções Trigonométricas 35 SEÇÃO■■ 1- Ciclo trigonométrico 36 SEÇÃO 2-■■ Funções trigonométricas 48 SEÇÃO 3-■■ Funções trigonométricas inversas 72 Identidades, Transformações e Equações Trigonométricas 83 SEÇÃO■■ 1- Identidades trigonométricas 84 SEÇÃO 2-■■ Transformações trigonométricas 89 SEÇÃO 3-■■ Equações trigonométricas 97 PALAVRAS FINAI■■ S 115 REFERÊNCIAS■■ 117 NOTAS SOBRE OS AUTO■■ RES 119 RESPOSTAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 121■■
PALAVRAS DOs PROFESSOREs Prezado(a) aluno(a): Em primeiro lugar queremos cumprimentá-lo por estar iniciando mais uma disciplina do curso de Licenciatura em Matemática. Desenvolvemos este livro didático com o cuidado de que você possa avançar no conteúdo de forma gradativa, de modo que - partindo de conceitos mais simples - consiga atingir conceitos mais complexos. Nesta disciplina, vamos abordar um conteúdo de grande importância para a sua formação profissional: a trigonometria. A trigonometria ou método trigonométrico é uma maneira de determinar os elementos incógnitos do triângulo, quando a geometria elementar, sozinha, não é capaz. A própria palavra trigonometria – do grego: medir triângulos – deixa claro qual o seu principal objetivo: resolver triângulos. Durante os seus estudos, anote suas dúvidas e busque esclarecimentos com o professor tutor sempre que tiver necessidade. Sinta-se à vontade e bons estudos.
OBJETIVOS E ementa Objetivo Geral Possibilitar ao aluno a oportunidade de construir competências e habilidades■■ para investigar, observar, compreender, analisar e obter conclusões dos principais conceitos da trigonometria e suas aplicações. Ementa Trigonometria: razões trigonométricas no triângulo retângulo, relações■■ métricas num triângulo qualquer: leis do seno e cosseno, equações trigonométricas. Ciclo trigonométrico e as funções trigonométricas. Identidades trigonométricas. Funções trigonométricas inversas.
FundamentosdaMatemáticaI 11 unidade 1 Trigonometria no triângulo OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Identificar as razões trigonométricas num triângulo retângulo.■■ Resolver problemas aplicando as razões trigonométricas no triângulo■■ retângulo. Aplicar as leis dos senos e dos cossenos na resolução de problemas.■■ ROTEIRO DE ESTUDOS SEÇÃO 1 - Aspectos históricos da trigonometria■■ SEÇÃO 2 - Razões trigonométricas no triângulo retângulo■■ SEÇÃO 3 - Relações métricas num triângulo qualquer: leis do seno e cosseno■■ UNIDADEI
UniversidadeAbertadoBrasil 12 unidade 1 PARA INÍCIO DE CONVERSA Prezado(a) acadêmico(a): Ao elaborarmos este material tivemos a preocupação de, inicialmente, dar a você a oportunidade de conhecer um pouco da história da trigonometria, a fim de facilitar o seu entendimento de alguns porquês de certos conteúdos e conceitos dentro da trigonometria. Em seguida, você estudará as razões trigonométricas num triângulo retângulo e as relações métricas num triângulo qualquer, tendo oportunidade de visualizar e resolver vários problemas práticos. É importante você ter em mente que a trigonometria tem uma linda história na evolução da Humanidade, tem como objetivo principal o estudo das relações entre lados e ângulos de um triângulo e constitui instrumento indispensável na resposta a necessidades da Astronomia e ainda da navegação, da cartografia e da topografia. Durante os seus estudos, nesta unidade, anote suas dúvidas, como de costume, e busque esclarecimentos com o professor tutor sempre que tiver necessidade. Desejamos que você aproveite bem seus estudos. seção 1 Aspectos históricos da trigonometria A trigonometria, como os outros ramos da matemática, não foi obra de um só homem ou nação. Teoremas sobre as razões entre lados de triângulos semelhantes tinham sido conhecidos e usados pelos antigos egípcios e babilônios. Dada a não existência, no período pré-helênico, do conceito de medida de ângulo, tal estudo seria melhor chamado “trilaterometria”, ou medida de polígonos de três lados “triláteros” do que “trigonometria”, a medida de partes de um triângulo. Apalavratrigonometriatemorigem,naGrécia,dapalavratrigonos(triângulo)+ metrûm (medida). Etimologicamente, trigonometria significa medida de triângulos. No entanto, o termo trigonometria apareceu pela primeira vez no livro “Thesaurus”, de Bartholomeu Pitiscus (1561–1613), publicado em 1613. Por vezes pensa-se que a origem da trigonometria está exclusivamente ligada à resolução de situações de medição de terrenos ou determinação de
FundamentosdaMatemáticaI 13 unidade 1 medidas sobre a superfície da terra. No entanto, enquanto ramo do conhecimento científico, é impossível separar a Trigonometria da Astronomia. Daí que o seu desenvolvimento como ciência exata viesse a exigir medições e cálculos de grande precisão. É nesse contexto que o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (180–125 a.C.) foi considerado o fundador da trigonometria. Foi ele quem introduziu as medidas sexagesimais em Astronomia e elaborou a primeira tabela trigonométrica. Hiparco utilizou a trigonometria para fazer medições, prever eclipses, fazer calendários e na navegação. A Hiparco seguiram-se outros no estudo e desenvolvimento da trigonometria, como, por exemplo, Ptolomeu (100?–180? d.C.), que expôs em seu livro “O Almagesto” métodos usados na construção de tabelas trigonométricas, as quais durante catorze séculos serviram de orientação para os astrônomos. No século III, os indianos e os árabes deram nova dimensão à trigonometria, ao introduzirem a trigonometria esférica. O estabelecimento de certas relações que hoje chamamos fórmulas fundamentais da trigonometria deve-se aos matemáticos hindus, do século V ao século XII. Dentre eles destaca-se Aryabhata (século VI), um astrônomo indiano, tendo já nessa altura associado o seno de um ângulo central à medida da corda correspondente e elaborado também uma tábua de valores do seno. Matemáticos árabes, depois de traduzirem as obras deixadas pelos hindus, desenvolveram o estudo das razões trigonométricas em triângulos retângulos e estabeleceram, para qualquer triângulo, o chamado teorema ou lei dos senos. Atrigonometria começa a afirmar-se como ciência autônoma a partir do século XI, quando Al-Biurine reúne todas as demonstrações, quer de origem grega, quer de origem indiana, até então conhecidas e usadas em trigonometria. Deve-se ainda aos árabes a introdução dessa ciência na Europa Ocidental. Na Europa, a instituição da trigonometria como ciência autônoma em relação à Astronomia é iniciada através da tradução e publicação dos manuscritos clássicos, bem como da elaboração de uma introdução completa à trigonometria. No século XVI, François Viète (1540– 1603) estabeleceu várias relações trigonométricas, tendo-as associado às soluções de equações do 3º grau - é a ligação da trigonometria à Álgebra. Viète introduziu novos teoremas que permitiram relacionar lados e ângulos de triângulos não retângulos. Neper e Briggs usaram o cálculo logarítmico para estabelecerem novas fórmulas trigonométricas (século VII). No século XIX, a trigonometria atinge o seu ponto máximo, ficando ligada à análise através das séries.
UniversidadeAbertadoBrasil 14 unidade 1 Caso você queira ampliar e aprofundar detalhes sobre a História da Trigonometria, recomendamos a leitura de livros de História da Matemática, citados na referência. Você pode também fazer uma pesquisa na internet, em um site de busca, utilizando, por exemplo, as palavras-chaves “História da Trigonometria”. Com certeza encontrará varias sugestões de leituras interessantes. É um exercício que vale a pena fazer! Bom trabalho! seção 2 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Na seção anterior você fez um breve estudo da história da trigonometria. Nesta seção você estudará as razões trigonométricas num triângulo retângulo, as quais servirão de embasamento para o estudo das funções trigonométricas. 2.1 Triângulo Retângulo Você já estudou, no ensino fundamental, que em todo triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, e os outros dois são chamados de catetos. Na figura 1.1 abaixo, o triângulo ABC é retângulo e o ângulo  é reto (mede 90º), conforme você pode observar:Lembre-se: triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. Figura 1.1 - Triângulo retângulo
FundamentosdaMatemáticaI 15 unidade 1 Lembre-se de que, além do triângulo retângulo, temos ainda o triângulo acutângulo, quando todos os seus ângulos são agudos (menores que 90º), e o triângulo obtusângulo, quando possui um ângulo obtuso (maior que 90º). Os nomes cateto e hipotenusa são usados apenas em triângulos retângulos. Para esses triângulos devemos recordar ainda o Teorema de Pitágoras: “Em todo triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”. De acordo com a nossa notação, pelo teorema de Pitágoras temos: 2 2 2 a b c= + Recomendamos que você visite o site http://www.mat.ufg.br/docentes/ jhcruz/ensino/Pitagoras.htm ou o site http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/ trigonom/trigon1/mod114.htm#trig02 para verificar como se demonstra o Teorema de Pitágoras. Você encontrará várias sugestões de demonstrações interessantes. É importante que você faça uma análise crítica das demonstrações apresentadas. É um excelente exercício, que vale a pena fazer! Bom trabalho!
UniversidadeAbertadoBrasil 16 unidade 1 2.2 Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da trigonometria está associado à descoberta de constantes nas relações entre os lados de um triângulo retângulo. Você sabe responder o que são figuras semelhantes? Podemos afirmar que duas figuras são semelhantes se possuem lados correspondentes proporcionais e ângulos homólogos congruentes (ângulos correspondentes com a mesma medida). Por exemplo, na figura abaixo, os triângulos retângulos ABC, ADE e AFG são semelhantes entre si, pois têm dois ângulos congruentes. Tomando as medidas dos lados desses triângulos retângulos e considerando que o ângulo  mede α, podemos estabelecer as seguintes razões: 1) Razões entre os catetos opostos a  e as hipotenusas: 3 ; 5 BC AC = 6 3 10 5 DE AE = = ; 9 3 15 5 FG AG = = O número 5 3 assim obtido é chamado seno do ângulo agudo α. Assim: Num triângulo retângulo, a razão entre o cateto oposto a um ângulo α e a hipotenusa é uma constante chamada seno de α. Figura 1.2 - Triângulos semelhantes
FundamentosdaMatemáticaI 17 unidade 1 Você sabia que a palavra seno tem origem na palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta, portanto, não têm nada a ver com o conceito matemático. Trata-se de uma tradução errada que dura até os nossos dias. A palavra que deveria ser traduzida é jiba que significa um arco de caça ou de guerra. Na tradução do árabe para o latim as consoantes jb foram traduzidas para sinus e para a nossa língua seno. 2) Razões entre os catetos adjacentes a  e as hipotenusas: 4 8 4 12 4 ; ; 5 10 5 15 5 AB AD AF AC AE AG = = = = = O número 4 5 assim obtido é chamado cosseno do ângulo agudo α. Assim: Num triângulo retângulo, a razão entre o cateto adjacente a um ângulo α e a hipotenusa é uma constante chamada cosseno de α. 3) Razões entre os catetos opostos a  e os catetos adjacentes a Â: 3 6 3 9 3 ; ; 4 8 4 12 4 CB ED GF AB AD AF = = = = = O número 3 4 assim obtido é chamado tangente do ângulo agudo α. Assim: Num triângulo retângulo, a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um ângulo α é uma constante chamada tangente de α.
UniversidadeAbertadoBrasil 18 unidade 1 Considerando as razões que você estudou até aqui, representando simbolicamente, podemos resumir: sen α = cateto oposto a hipotenusa α cos α = cateto adjacente a hipotenusa α tg α = cateto oposto a cateto adjacente a α α Por serem razões entre os lados dos triângulos, os números seno, cosseno e tangente são denominados de razões trigonométricas. Dado o triângulo retângulo ABC de catetos b = 12 cm e c = 5 cm e hipotenusa a = 13 cm, temos para os ângulos agudos C e B que: Figura 1.3 - Triângulo retângulo 5 sen 13 c C a = = 12 sen 13 b B a = = 12 cos 13 b C a = = 5 cos 13 c B a = = 5 tg 12 c C b = = 12 tg 5 b B c = =
FundamentosdaMatemáticaI 19 unidade 1 Se considerarmos um triângulo retângulo, conforme figura 1.4, de hipotenusa igual a 1 (uma) unidade de comprimento, podemos estabelecer os seguintes resultados: Figura 1.4 - Triângulo retângulo com hipotenusa unitária cos cos 1 sen sen 1 c c b b α = ⇒ α = α = ⇒ α = logo Figura 1.5 - Triângulo retângulo Então, podemos estabelecer, a partir do triângulo acima que: tg α = cateto oposto a cateto adjacente a α α sen cos α = α , ou seja, tg α sen cos α = α E nesse mesmo triângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos: sen2 α + cos2 α = 1 conhecida como a “Identidade Trigonométrica Fundamental”.
UniversidadeAbertadoBrasil 20 unidade 1 2.3 Razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º Para obtermos os valores do seno, do cosseno e da tangente de 45º partimos de um quadrado de lado “x”, no qual traçamos uma das suas diagonais dividindo-o em dois triângulos retângulos isósceles. sen 45º = 1 2 2 x x = , que racionalizando obtemos: sen 45º = 2 2 cos 45º = 1 2 2 x x = , que racionalizando vem: cos 45º = 2 2 tg 45º = x x e simplificando obtemos: tg 45º = 1 Para obtermos os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º partimos de um triângulo eqüilátero no qual traçamos uma altura, obtendo um triângulo retângulo cujos ângulos medem 30º e 60º. Aplicando as razões trigonométricas para o ângulo de 45º, temos: Figura 1.6 - Quadrado de lado x Figura 1.7 - Triângulo equilátero
FundamentosdaMatemáticaI 21 unidade 1 Para encontrarmos a altura h do triângulo retângulo, aplicamos o teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 2 2 2 2 33 2 4 4 2 xx x x x h h x h h   = + ⇒ = − ⇒ = ⇒ =    Vamos aplicar as razões trigonométricas inicialmente para 30º. sen 30º = 2 x x = 1 . 2 x x , que simplificando vem: sen 30º = 1 2 cos 30º = 3 2 x x = 3 1 . 2 x x , que simplificando vem: cos 30º = 3 2 tg 30º = 2 3 2 x x = 2 . 2 3 x x , que simplificando vem: tg 30º = 3 3 Finalmente, apliquemos as razões trigonométricas para 60º. sen 60º = 3 2 x x = 3 1 . 2 x x , que simplificando vem: sen 60º = 3 2 cos 60º = 2 x x = 1 . 2 x x , que simplificando vem: cos 60º = 1 2 tg 60º = 3 2 2 x x = 3 2 . 2 x x , que simplificando vem: tg 60º = 3
UniversidadeAbertadoBrasil 22 unidade 1 Os valores obtidos do seno, cosseno e tangente de 30º, 45º e 60º podem ser resumidos no quadro abaixo: ângulos razões 30º 45º 60º seno 1 2 2 2 3 2 cosseno 3 2 2 2 1 2 tangente 3 3 1 3 Observando o quadro anterior, perceba que o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do complemento desse ângulo e vice-versa, ou seja: sen θ = cos (90º – θ) cos θ = sen (90º – θ) A seguir, vamos resolver alguns exemplos aplicando as razões trigonométricas.
FundamentosdaMatemáticaI 23 unidade 1 1) Uma pessoa está distante 80 m da base de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 16º em relação à horizontal. Qual a altura do prédio? Resolução: a partir dos dados do problema e chamando de h a altura do prédio, temos a seguinte figura: Figura 1.8 Na figura 1.8, a altura do prédio indicada por h e a distância conhecida de 80 m constituem os catetos do triângulo retângulo. Para relacionar esses catetos com o ângulo conhecido, vamos usar a razão trigonométrica tangente. Assim, temos: tg 16 80 o h = Usando a calculadora científica, disponível no sistema operacional do seu computador, obtemos o valor da tangente de 16º que é 0,29 (arredondado para duas casas decimais) e encontramos: 0,29 = 80 h ⇔ h = 0,29 . 80 ⇔ h = 23,2 m Logo, a altura do prédio é aproximadamente igual a 23,2 m. 2) Uma árvore, partida pelo vento, mantém seu tronco perpendicular ao solo, formando com ele um triângulo retângulo. Se a parte quebrada faz um ângulo de 60º com o solo e se o topo da árvore está agora distanciado 2,6 m da sua base, qual era a altura da árvore? Resolução: a partir dos dados do problema temos a figura 1.9: Figura 1.9
UniversidadeAbertadoBrasil 24 unidade 1 Trabalhando com o ângulo conhecido e os lados indicados na figura 1.9, aplicando a razão trigonométrica seno, temos: 2,6 sen 60º x = e como 3 sen 60º 2 = então 3 2,6 2 x = ⇔ 2,6. 2 3 x = ⇔ 3x ≅ m Logo, a altura da árvore era 2,6 + 3 = 5,6 m 3) Um observador, situado num ponto A, enxerga uma montanha segundo um ângulo α. Caminhando 400 m em direção à montanha, ele passa a enxergá-la segundo um ângulo β. Desprezando a altura do observador, calcule a altura da montanha, sabendo que: tg α = 1 2 e tg β = 5 6 . Resolução: pelos dados do problema temos a seguinte figura: Podemos identificar na figura 1.10 dois triângulos retângulos distintos: ACD e BCD. Aplicando a razão trigonométrica tangente em cada um desses triângulos, temos: tg 400 h x α = + e tg h x β = Substituindo os valores de tg α = 1 2 e tg β = 5 6 e isolando h nas razões acima, teremos: 1 (400 ) 2 h x= + e 5 . 6 h x= Figura 1.10
FundamentosdaMatemáticaI 25 unidade 1 Por comparação: 1 5 (400 ) . 2 6 x x+ = 5 200 . 2 6 x x+ = ⇔ x = 600 m Como 5 . 6 h x= e x = 600 m então 5 . 600 500 6 h = = . Logo, a altura da montanha é de 500 m. 4) Três casas A, B e C estão posicionadas de tal forma que do telhado da casa B, vê-se a casa A exatamente na direção leste e a casa C exatamente na direção sul. A distância entre as casas A e B é 320 m e entre B e C é 460 m. Qual a distância entre as casas A e C? Resolução: Nesse problema não conhecemos nenhum dos ângulos do triângulo, por isso não é possível utilizar as razões trigonométricas. Usamos, então, o teorema de Pitágoras. Indicando a distância pedida por x, obtemos: x2 = 3202 + 4602 x2 = 102400 + 211600 x2 = 314000 ⇔ x ≅ 560 m A distância entre as casas A e C é 560 m. Figura 1.11 x
UniversidadeAbertadoBrasil 26 unidade 1 seção 3 Relações métricas num triângulo qualquer: leis dos senos e dos cossenos Na seção anterior você estudou as razões trigonométricas que são válidas apenas quando o triângulo é retângulo. Nesta seção você estudará relações envolvendo o seno e o cosseno que são válidas em quaisquer triângulos, retângulos ou não. 3.1 Lei dos cossenos Num triângulo qualquer ABC com lados a, b e c respectivamente opostos aos ângulos α, β e γ, vale a relação: 2 2 2 2 cosc a b ab= + − γ Essa igualdade, que é chamada lei dos cossenos, pode ser enunciada em palavras como segue: Figura 1.12 - Triângulo Escaleno Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado. A lei dos cossenos se aplica a qualquer dos lados do triângulo, isto é, podemos também escrever: 2 2 2 2 cosb a c ac= + − β 2 2 2 2 cosa b c bc= + − α
FundamentosdaMatemáticaI 27 unidade 1 Vamos demonstrar a lei dos cossenos para o ângulo γ utilizando a figura 1.13. Nessa figura, utilizando a definição de cosseno no triângulo da esquerda, temos: cos γ = x a e portanto x = a cos γ. Nesse mesmo triângulo, utilizando o Teorema de Pitágoras, temos: a2 = x2 + H2 e portanto H2 = a2 - x2 . No triângulo retângulo da direita temos: c2 = H2 + (b - x)2 , que substituindo, temos: c2 = a2 - x2 + b2 – 2 a b cos γ + x2 2 2 2 2 cosc a b ab= + − γ , que é a lei dos cossenos para o ângulo γ. Figura 1.13
UniversidadeAbertadoBrasil 28 unidade 1 1) Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 9 cm e formam um ângulo de 60º. Calcule o outro lado. Resolução: Fazendo A = 60º, b = 6 cm e c = 9 cm e substituindo na lei dos cossenos temos: 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 6 9 2 6 9 cos 60o a = + − ⋅ ⋅ 2 1 36 81 108 2 a = + − ⋅ 2 63a = ⇔ 63a = cm 2) Determine a medida do cosseno do ângulo B do triângulo dado na figura 1.14. Resolução: Na figura 1.14 observamos que: a = 3, b = 4 e c = 2. Como queremos determinar o cosseno do ângulo B, vamos aplicar a lei dos cossenos relativa ao lado b: 2 2 2 2 cosb a c a c B= + − Substituindo os valores, temos: 42 = 32 + 22 – 2 . 3 . 2 . cos B 16 9 4 12 cos B= + − 12.cos B = 13 – 16 ⇔ 1 cos 4 B = − Figura 1.14 Talvez você tenha estranhado e quem sabe até não entendeu o valor negativo para o cosseno do ângulo, mas isso ocorre porque o ângulo é obtuso, ou seja, maior que 90º. Não se preocupe, pois na próxima unidade você estudará as funções trigonométricas, quando esse assunto será tratado com maiores detalhes.
FundamentosdaMatemáticaI 29 unidade 1 Outra importante relação entre os comprimentos dos lados e os ângulos de um triângulo qualquer é a lei dos senos, cuja demonstração ficará como exercício para você. 3.2 Lei dos senos Para um triângulo ABC qualquer, da figura 1.15, de lados a, b e c respectivamente opostos aos ângulos α, β e γ, vale a relação: sen sen sen a b c = = α β γ A lei dos senos pode ser enunciada em palavras como segue: Figura 1.15 - Triângulo escaleno Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles.
UniversidadeAbertadoBrasil 30 unidade 1 1) Calcule o lado b de um triângulo ABC no qual a = 5 cm, A = 30º e B = 45º. Resolução: Aplicando a lei dos senos na figura 1.16, temos: sen sen a b A B = 5 sen 30 sen 45o o b = 5 1 2 2 2 b = 1 2 5 2 2 b⋅ = ⋅ ⇔ 5 2b = cm 2) Num triângulo ABC são dados A = 40º, B = 35º e AB = 10 cm. Calcule o ângulo C e os lados AC e BC . Dados: sen 40º = 0,643, sen 35º = 0,574 e sen 105º = 0,966. Resolução: Inicialmente vamos calcular a medida do ângulo C . Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, então A + B + C = 180º. Substituindo os valores dados: 40º + 35º + C = 180º ⇔ C = 105º Figura 1.16
FundamentosdaMatemáticaI 31 unidade 1 Na figura abaixo estão indicados os dados do problema: Cálculo do lado AC = b Pela lei dos senos, temos: sen sen b c B C = 10 sen 35 sen 105o o b = 10 0,574 0,966 b = 0,966. 10.0,574b = ⇔ 5,942b = cm Cálculo do lado BC = a Pela lei dos senos, temos: sen sen a c A C = 10 sen 40 sen105o o a = 10 0,643 0,966 a = 0,966. 10.0,643a = ⇔ 6,656a = cm Portanto, AC = 5,942 cm e BC = 6,656 cm. Figura 1.17
UniversidadeAbertadoBrasil 32 unidade 1 Nesta unidade você estudou a trigonometria no triângulo e pôde perceber que a principal aplicação das razões trigonométricas está na resolução de problemas (situações práticas) que recaem em triângulos retângulos nos quais são conhecidos os ângulos e um dos lados. Pela aplicação do seno, cosseno ou tangente de um dos ângulos, podemos determinar os demais lados do triângulo. Para um triângulo qualquer, você conheceu as leis do seno e do cosseno, que também são utilizadas na resolução de problemas práticos. Ao finalizar esta unidade, você com certeza conseguirá visualizar situações práticas que podem ser resolvidas com os conteúdos abordados. Na próxima unidade você estudará o ciclo trigonométrico e as funções trigonométricas. Mas só prossiga depois de realizar as atividades e esclarecer suas dúvidas com o professor tutor. 1) Uma escada de bombeiro pode ser estendida até um comprimento máximo de 25 m, formando um ângulo de 70º com a base, que está apoiada sobre um caminhão, a 2 m do solo. a) Qual á a altura máxima que a escada atinge? b) Qual a distância do pé da escada até a parede? 2) Um observador vê um prédio mediante um ângulo visual α. Afastando- se do prédio a uma distância de 2 m, o observador vê o prédio mediante um ângulo visual β. Dados α = 45º e tg β = 5/6, determine a altura do prédio. ATIVIDADES DA SEÇÃO 2
FundamentosdaMatemáticaI 33 unidade 1 ATIVIDADES DA SEÇÃO 3 1) Num triângulo ABC, calcule: a) a, dados b = 8,  = 60o e ˆB = 45o b) a e b, dados  = 105o , C = 45o e c = 10 c) o ângulo C , dados b = 2 , c = 2 e o ângulo ˆB = 30o 2) Um observador está em A e necessita calcular sua distância até o ponto B, mas este ponto é inacessível a ele. No entanto, ele conta com os dados mostrados na figura 1.18: Figura 1.18 Calcule a distância AB. 3) Qual a medida do maior ângulo de um triângulo cujos lados medem 3 cm, 5 cm e 7 cm?
UniversidadeAbertadoBrasil 34 unidade 1 4) Demonstre a lei dos senos, enunciada na seção 3, item 3.2. Para aprofundar os seus estudos, analisar mais exemplos resolvidos e resolver outros exercícios, você deve ir até a biblioteca do polo de seu município e consultar o livro de Fundamentos de Matemática Elementar, Volume 3, Trigonometria, de Gelson Iezzi.
FundamentosdaMatemáticaI 35 unidade 2 Funções Trigonométricas OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Estabelecer relações entre as unidades de medidas de ângulos.■■ Calcular a menor determinação positiva de um arco.■■ Definir e analisar as funções trigonométricas.■■ Reduzir arcos ao primeiro quadrante.■■ Determinar o valor de funções trigonométricas inversas.■■ ROTEIRO DE ESTUDOS SEÇÃO 1 -■■ Ciclo trigonométrico SEÇÃO 2 -■■ Funções trigonométricas SEÇÃO 3 -■■ Funções trigonométricas inversas UNIDADEII
UniversidadeAbertadoBrasil 36 unidade 2 PARA INÍCIO DE CONVERSA Prezado(a) acadêmico(a): Na unidade anterior você estudou a trigonometria do triângulo retângulo e as relações métricas num triângulo qualquer: leis do cosseno e do seno. Acreditamos que você tenha estudado muito e resolvido todas as atividades propostas. Nesta unidade, vamos retomar as razões trigonométricas estudadas no triângulo retângulo e rediscutir esses conceitos no ciclo trigonométrico. É importante que você visualize a relação entre essas duas abordagens para entender as funções trigonométricas. Em seguida, você estudará as funções trigonométricas inversas. Durante os seus estudos, nesta unidade, anote suas dúvidas, como de costume, e busque esclarecimentos com o professor tutor sempre que tiver necessidade. Desejamos que você aproveite bem seus estudos. Nesta seção você vai estudar o que é o ciclo trigonométrico, as duas unidades mais importantes para medir arcos de circunferências ou ângulos, a redução de um ângulo qualquer ao primeiro quadrante e também algumas aplicações práticas desta teoria. 1.1 Arcos e ângulos Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, você pode perceber na figura 2.1 e na figura 2.2 que esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessas partes, que incluem A e B, é denominada de arco de circunferência. seção 1 Ciclo trigonométrico Figuras 2.1 e 2.2 - Arco de circunferência
FundamentosdaMatemáticaI 37 unidade 2 Assim, no sentido anti-horário temos o arco AB e no sentido horário temos o arco BA, sendo que os pontos A e B são chamados extremidades dos arcos. Se os pontos A e B coincidem, eles determinam os seguintes arcos: o arco AB , denominado arco de uma volta, que é a própria circunferência; e o arco BA, denominado arco nulo, que corresponde a um ponto da circunferência. Figura 2.3 Consideremos agora uma circunferência de centro O e os pontos A e B pertencentes a ela. Figura 2.4 Unindo os pontos A e B ao centro da circunferência, obtemos o ângulo central AO B . Você lembra o que é um ângulo central? Em rápidas palavras, podemos dizer que ângulo central é todo ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. Neste caso, o arco AB subentende o ângulo central AO B , sendo que a medida desse ângulo AO B é igual à medida do arco AB . É importante observar que dois arcos com a mesma medida podem apresentar comprimentos diferentes. Considere o desenho abaixo. Sejam as circunferências de mesmo centro O e dois ângulos centrais: AO B e CO D . Figura 2.5
UniversidadeAbertadoBrasil 38 unidade 2 O arco AB subentende o ângulo central AO B , e o arco CD subentende o ângulo central CO D . Medida ( AO B ) = medida ( AB ) = medida ( CD ) = medida ( CO D ) O comprimento do arco CD é maior que o comprimento do arco AB . Uma vez que a medida de um arco é diferente do seu comprimento, como medir esse arco? E como calcular o seu comprimento? Para respondermos a essas perguntas torna-se necessário estudarmos as unidades de medidas. 1.2 Unidades de medidas A unidade mais comum para medir ângulo é o grau; entretanto, a unidade padrão é o radiano. Mas o que é o grau? Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual a 1 360 da circunferência que contém o arco. Então, uma circunferência ou arco de uma volta mede 360º. Na figura 2.5, os arcos AB e CD possuem a mesma medida α, mas não possuem o mesmo comprimento. Assim, você pode perceber que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco. Na mesma figura 2.5, ainda, é possível observar que cada arco determina um ângulo e cada ângulo determina um arco. Por isso, as unidades utilizadas para medir arcos são as mesmas utilizadas para medir ângulos. Essas observações podem ser resumidas no quadro abaixo:
FundamentosdaMatemáticaI 39 unidade 2 Figura 2.6 – Ângulo de 1º Existem duas importantes subunidades para o grau: o minuto e o segundo. Não se sabe bem quando se deu o início na matemática do uso do círculo de 360º, mas parece dever-se em grande parte a Hiparco, através de sua tabela de cordas. É possível que ele a tenha tomado de Hipsicles, que anteriormente tinha dividido o ano em 360 partes. Ptolomeu utilizou a base sexagesimal, o mesmo que fez Hiparco. Além disso, Ptolomeu subdividiu seus graus em sessenta partae minutae primae, que significa as primeiras menores partes, cada uma das quais era dividida em sessenta partae minutae secundae, que significa as segundas menores partes. Daí a origem dos termos minutos e segundos para as subdivisões do grau que utilizamos hoje. Atualmente o minuto corresponde a 1 60 do grau e o segundo corresponde a 1 60 do minuto. Essas grandezas são assim representadas: o grau por (º), o minuto por (’) e o segundo por (’’). Ou ainda: a) Minuto (de arco): 1º = 60’ b) Segundo (de arco): 1’ = 60” A partir desses conhecimentos é possível representar um arco de 27,43º, por exemplo, em graus e seus submúltiplos, da seguinte maneira: A parte inteira é de 27º e a parte decimal de 0,43º é representada em minutos e segundos mediante uma regra de três simples.
UniversidadeAbertadoBrasil 40 unidade 2 graus minutos 1 60 0,43 x Ou seja: 1.x = 0,43 . 60 x = 25,8 Aparte inteira é de 25’e a parte decimal é representada em segundos novamente mediante uma regra de três simples. minutos segundos 1 60 0,8 x Ou seja: 1.x = 0,8 . 60 x = 48 Portanto, 27,43º = 27º 25’ 48’’. Agora que você já sabe que é grau, vamos aprender o que é radiano. Um radiano (representado por rad) é definido como a medida do ângulo central que subentende um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. Isso significa que, se pudéssemos “desentortar” o arco e medir o comprimento, obteríamos como resultado o raio da circunferência. Sabemos que o comprimento da circunferência de raio “r” é 2πr, onde π é aproximadamente igual a 3,141592... Isso significa que “desentortando” a circunferência, obtemos um segmento de medida 2π vezes o raio. Como a cada raio corresponde 1 rad, concluímos que a circunferência possui um arco de 2π rad. Figura 2.7
FundamentosdaMatemáticaI 41 unidade 2 Figura 2.8 - Comprimento da circunferência Agora as perguntas já formuladas - Uma vez que a medida de um arco é diferente do seu comprimento, como medir esse arco? E como calcular o seu comprimento? - podem ser respondidas. A medida do arco pode ser feita através de um instrumento apropriado denominado transferidor, o qual fornece a medida do arco em graus. O comprimento de um arco  pode ser obtido medindo-se o comprimento do arco retificado (arco retificado é o arco transformado em um segmento de reta). Figura 2.9 Entretanto, nem sempre é possível realizar esse procedimento. Podemos então determinar o comprimento do arco  , conhecendo o ângulo central α correspondente. Figura 2.10
UniversidadeAbertadoBrasil 42 unidade 2 Sabemos que uma circunferência tem comprimento igual a 2πr, ao mesmo tempo que apresenta um ângulo de 2π rad. Portanto, um arco de ângulo α terá um comprimento  , obtido mediante uma regra de três simples: 2 2r rad rad π → π → α ⇔ 2 2 r rad rad π ⋅ α = π  ⇔ r= ⋅ α Por outro lado, conhecendo o comprimento do arco, podemos determinar a medida do ângulo central correspondente do seguinte modo: 2 2r rad rad π → π → α ⇔ 2 2 r π⋅ α = π  ⇔ rad r α =  Uma vez que você sabe determinar o valor de α, é possível estabelecer as seguintes relações. Como a circunferência tem comprimento 2C r= π , o ângulo central de 360º pode ser expresso por: 2 2 rC r r π θ = = = π radianos, temos: 2π rad = 360º π rad = 180º 1 rad = 180º p ≅ 57,296º ≅ 57º 17’ 45’’ Da mesma forma: 360º = 2π rad 1º = 2 360 π rad = 180 π rad 1º ≅ 0,0175 rad π
FundamentosdaMatemáticaI 43 unidade 2 Relação entre as unidades:• Tabela 2.1 1) Converta 15º para radianos. Utilizando uma regra de três simples, vem: graus radianos 180 π 15 x Assim, 180 x = 15 π → x = 15 180 π , que simplificando, obtemos: x = 12 π rad 2) Converta 27 4 π rad para graus. Utilizando uma regra de três simples, vem: radianos graus π 180 27 4 π x Logo, π x = 27 4 π . 180, de onde simplificando, obtemos: x = 1215º.
UniversidadeAbertadoBrasil 44 unidade 2 1.3 Ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica Podemos definir, de forma simples, que o ciclo trigonométrico é toda circunferência de raio unitário, centro na origem do sistema cartesiano, sendo orientada com um sentido positivo no sentido anti-horário e com sentido negativo no sentido horário. Figura 2.11 - Ciclo trigonométrico O ponto A de coordenadas (1,0) da circunferência é chamado de origem dos arcos trigonométricos. A circunferência possui 360° ou 2π rad ≅ 6,28 rad, se tomarmos π ≅ 3,14. A circunferência é dividida em quatro partes iguais chamadas de 1º quadrante, 2º quadrante, 3º quadrante e 4º quadrante, com as seguintes variações em graus e radianos: Figura 2.12 - Ciclo trigonométrico e seus quadrantes
FundamentosdaMatemáticaI 45 unidade 2 1.4 Arcos côngruos ou congruentes Seja a circunferência trigonométrica abaixo na qual está representado um arco de 50º, cuja origem está na origem dos arcos, ou seja, A e cuja extremidade é B. Figura 2.13 - Ciclo trigonométrico com arco AB Observe os arcos de medidas: 410º = 50º + 1 . 360º, 770º = 50º + 2 . 360º, 1130º = 50º + 3 . 360º,     βº = 50º + k . 360º Esses arcos diferenciam-se entre si apenas pelos números 1, 2, 3,..., k que, neste caso, representam o número de voltas completas que cada um tem. Ao mesmo tempo, observe que todos eles têm a mesma origem, ou seja,Ae a mesma extremidade B, correspondente a 50º, que é chamada de menor determinação positiva do arco ou primeira determinação positiva do arco. Os arcos que apresentam essa característica são chamados de arcos côngruos. Assim, podemos definir que Dois arcos são côngruos ou congruentes quando têm a mesma extremidade e se diferem apenas pelo número de voltas inteiras.
UniversidadeAbertadoBrasil 46 unidade 2 Os arcos côngruos são representados de uma forma generalizada em graus e também em radianos. Se um arco mede• α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por αo + k . 360o , onde k ∈ Z. Se um arco mede• α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por α + 2kπ, onde k ∈ Z. 1) Um atleta corre, durante certo tempo, numa pista circular, percorrendo um arco de 2620º. Quantas voltas completas ele deu e qual é o menor arco que tem a mesma extremidade que 2620º? Resolução: Para resolver esse problema, inicialmente devemos realizar a seguinte divisão: 2620 360 100 7 Então, temos: 2620º = 100º + 7 . 360º. Portanto, temos como resposta: 7 é o número de voltas completas percorridas pelo atleta. 100º é o menor arco (ou menor determinação positiva) que tem a mesma extremidade que 2620º. 2) Um móvel desloca-se segundo uma trajetória circular, percorrendo um arco de 32 5 π rad. Quantas voltas completas percorreu e em que quadrante parou? Resolução: Efetuando a divisão, temos: 32 5 2 6 π π π
FundamentosdaMatemáticaI 47 unidade 2 Ou seja: 32 2 6 5 5 π π = + π Ou ainda: 32 2 3. 2 5 5 π π = + π Portanto: 3 é o número de voltas completas. 2 5 rad π = 72º corresponde a um arco do primeiro quadrante (a menor determinação positiva). 3) Determine o quadrante em que está a extremidade de um arco de –1905º. Resolução: efetuando a divisão: 1905 360 105 5 Então, temos: 1905º = 105º + 5 . 360º – 1905º = –105º + 5 . (–360º) Como 360º – 105º = 255º e 255º está no 3º quadrante, temos que o arco de –1905º tem sua extremidade no 3º quadrante. 4) Calcular a 1ª determinação positiva e escrever a expressão geral dos arcos côngruos a 169 12 π − rad Resolução: 169 12 14 π π π Então, temos: 169 14 12 12 π π − = − − π Ou ainda: 169 7.( 2 ) 12 12 π π − = − + − π Portanto: A primeira determinação positiva é 23 2 12 12 π π π − = rad. A expressão geral é: α = 23 12 π + 2kπ, onde k ∈ Z.
UniversidadeAbertadoBrasil 48 unidade 2 seção 2 Funções trigonométricas Nesta seção você vai estudar as funções trigonométricas. Essas funções são importantes por modelarem problemas físicos para diversas áreas, entre as quais podemos citar a Engenharia, a Química e a Matemática. Mas você sabe, primeiramente, o que é uma função? Antes de iniciar o estudo das funções trigonométricas, vamos fazer um estudo rápido sobre funções, uma vez que elas serão estudadas com mais profundidade e detalhes em Fundamentos da Matemática II e também em Cálculo Diferencial e Integral I. As funções aparecem com freqüência em situações em que o valor de uma variável depende do valor de uma outra variável. Por exemplo: a área de um círculo depende da medida do seu raio;• a procura por uma marca de arroz pode depender do seu preço;• a poluição de um rio depende dos moradores da região por onde o rio• passa.
FundamentosdaMatemáticaI 49 unidade 2 Em várias situações reais, o valor de uma variável pode depender do valor de duas ou mais variáveis, como, por exemplo, o volume de um prisma de base quadrangular depende da medida do lado da base e da altura. Nesses casos definem-se as funções de várias variáveis, que serão objeto de estudo do Cálculo Diferencial e Integral III. Para modelar essas situações, utilizamos geralmente funções da forma y = f(x), onde x é a variável independente e y a variável dependente. 2.1 Definição de função Sejam A e B subconjuntos não vazios dos números reais. Uma função f : A → B é uma lei que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Você deve ter percebido que para definir funções precisamos de dois conjuntos e uma lei ou regra de correspondência ou associação entre esses conjuntos. O primeiro conjunto é chamado de domínio da função e o segundo conjunto é o contradomínio. O conjunto imagem de uma função é um subconjunto de B, formado pelos valores de B que correspondem aos valores de A. Por exemplo, dada a função f: A → B, onde f(x) = 2x e os conjuntos A={1,2} e B={2,4,6}. Como f(1) = 2 e f(2) = 4 então representando no diagrama, temos: onde f(x) = 2x é a lei de associação ou correspondência, A = {1,2} é o domínio da função, B={2,4,6} o contradomínio e o conjunto formado pelos elementos 2 e 4 é a imagem da função dada, ou seja, {2,4}. Antes de estudarmos as funções trigonométricas, vamos retomar as razões trigonométricas, mas agora utilizando o ciclo trigonométrico. 2.2 Razões trigonométricas no ciclo trigonométrico Premido por suas necessidades, o homem cria suas ferramentas e, quando estas se mostram eficientes, o próprio uso delas gera o seu aperfeiçoamento. Assim também acontece com as ferramentas matemáticas. A trigonometria foi criada para resolver um determinado problema e hoje encontra muitas outras aplicações. Para que isso fosse possível, as suas idéias iniciais foram obrigadas a evoluir. Na seção 2 da Unidade I, você já estudou as razões trigonométricas definidas num triângulo retângulo: sen x, cos x e tg x, onde x representa a medida de um ângulo agudo, Figura 2.14 – Diagrama de Venn
UniversidadeAbertadoBrasil 50 unidade 2 ou seja, 0º x 90º. Mas será possível ampliar essas noções para o caso em que x representa a medida de um ângulo maior que 90º? A resposta a essa pergunta é afirmativa; antes, porém, convém definir e discutir alguns conceitos utilizando o ciclo trigonométrico. No plano cartesiano, considere uma circunferência de centro (0,0) e raio um. Sejam P um ponto de coordenadas (x,y) do 1º quadrante, “t” a reta tangente a circunferência no ponto A de coordenadas (1,0), Q a projeção sobre o eixo x do ponto P. Considere o arco AP do ciclo trigonométrico com extremidade P e o ângulo central A O P de medida α. No triângulo retângulo OQP da figura 2.15, considerando o ângulo agudo α e lembrando que 1OP = , teremos: sen α = medida do cateto oposto medida da hipotenusa 1 PQ PQ PQ OP = = = = y que corresponde à ordenada do ponto P. Ou seja, chamamos de seno do arco α a ordenada desse ponto P. No triângulo retângulo OQP da figura 2.15, considerando o ângulo agudo α e lembrando que 1OP = , teremos: cos α = medida do cateto adjacente medida da hipotenusa 1 OQ OQ OQ OP = = = = x que corresponde à abscissa do ponto P, ou seja, chamamos de cosseno do arco α a abscissa desse ponto P. Figura 2.15 - Ciclo trigonométrico e a reta tangente
FundamentosdaMatemáticaI 51 unidade 2 No triângulo retângulo OQP da figura 2.15, considerando o ângulo agudo α, teremos: tg α = medida do cateto oposto sen medida do cateto adjacente cos PQ y xOQ α = = = α ou ainda, no triângulo retângulo OAT da figura 2.15, considerando o ângulo agudo α e lembrando que 1OA = , teremos: tg α = medida do cateto oposto medida do cateto adjacente 1 AT AT AT OA = = = que corresponde à ordenada do ponto T, ou seja, chamamos de tangente do arco α a ordenada desse ponto T. As ampliações das noções de seno, cosseno e tangente de um ângulo devem ser feitas mantendo-se estas idéias. Figura 2.16 Figura 2.17 Com o ponto P localizado no 2º Q Com o ponto P localizado no 3º Q
UniversidadeAbertadoBrasil 52 unidade 2 Figura 2.18 Com o ponto P localizado no 4º Q Observando essas figuras e lembrando que, no ciclo trigonométrico, o valor do seno é representado pela medida da ordenada do ponto P e o valor do cosseno é representado pela medida da abscissa do ponto P, podemos estabelecer os sinais do seno e do cosseno nos quatro quadrantes, conforme segue: Figura 2.19 - Sinais do seno e cosseno Como a tangente é definida como a razão entre o seno e o cosseno, então ela é positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes. O quadro abaixo resume os valores do seno, cosseno e tangente para alguns arcos notáveis. α 0° 90° 180º 270° 360° sen α 0 1 0 -1 0 cos α 1 0 -1 0 1 tg α 0 ∃/ 0 ∃/ 0 Você pode observar também pela figura 2.20: Figura 2.20 - Seno e cosseno de arcos simétricos
FundamentosdaMatemáticaI 53 unidade 2 sen α = − sen (− α) cos α = cos (− α) 2.3 Redução ao 1º quadrante O estudo da redução ao 1º quadrante é fundamental, uma vez que conhecendo o seno, o cosseno e a tangente, para valores entre 0º e 90º, todos os arcos do segundo, terceiro ou quarto quadrantes podem ser determinados. 2.3.1 Redução do 2º quadrante ao 1º É uma forma de determinar seno, cosseno e tangente de ângulos do 2º quadrante, relacionando-os com ângulos do 1° quadrante. Figura 2.21 - Redução do 2º ao 1º quadrante Como exemplo, vamos determinar o cosseno do ângulo de 135º que tem extremidade no 2º quadrante. Como θ = 135°∈ 2º Q então x = 180° − θ, isto é, x = 180° − 135° e, portanto x = 45°. Logo como 135° ∈ 2º Q e o cosseno no 2º quadrante é negativo, temos que: cos 135°= − cos 45° = 2 2 −
UniversidadeAbertadoBrasil 54 unidade 2 2.3.2 Redução do 3º quadrante ao 1º Considere um ângulo θ, tal que 180° θ 270°, P a imagem de θ no ciclo trigonométrico e P’ o simétrico de P em relação ao centro do ciclo. Figura 2.22 - Redução do 3º ao 1º quadrante Como exemplo, apresentamos um ângulo de 240º que tem extremidade no 3º quadrante. Para você determinar o valor do seno 240º, deve proceder da seguinte forma: Como θ = 240°∈ 3º Q então x = θ − 180°, isto é, x = 240° − 180° e, portanto, x = 60°. Logo, como 240° ∈ 3º Q e o seno no 3º quadrante é negativo, temos que: sen 240°= − sen 60° = 3 2 −
FundamentosdaMatemáticaI 55 unidade 2 2.3.3 Redução do 4º quadrante para o 1º Considere um ângulo θ, tal que 270° θ 360°, P a imagem de θ no ciclo trigonométrico e P’ o simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos. Figura 2.23 - Redução do 4º ao 1º quadrante Como exemplo, determine sen 300º e cos 300º. Como θ = 300° ∈ 4º Q, x = 360º – 300º = 60º e o seno no 4º quadrante é negativo, temos que: sen 300° = − sen 60° = 3 2 − . E como o cosseno no 4º quadrante é positivo, temos que: cos 300° = cos 60° = 1 2 . 2.4 Funções trigonométricas Considerando o ciclo trigonométrico e o conjunto dos números reais, podemos associar para cada x∈ R um ponto P do ciclo. Esse ponto é a extremidade do arco AP e x é a medida desse arco em radianos. Essa associação nos permite definir algumas funções reais no ciclo trigonométrico, denominadas funções trigonométricas. As funções seno e cosseno são definidas a partir do ciclo trigonométrico e as demais em função dessas duas. As funções trigonométricas têm como característica o fato de serem periódicas.
UniversidadeAbertadoBrasil 56 unidade 2 Você sabe o que é uma função periódica? Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, podemos exemplificar com os dias da semana, que de 7 em 7 dias se repetem. Chamamos esse fato de periódico, e o período é 7. Assim, formalmente, uma função f(x) é chamada de periódica se existe uma constante real p ≠ 0 tal que f(x) = f(x+p) para todo x no domínio de f. 2.4.1 Função seno Considere x um número real, que representa a medida em radianos do ângulo central, desenhado no ciclo trigonométrico da figura 2.24 abaixo. Chama-se função seno a toda função de R em R que, para todo arco de medida x, associa a ordenada y do ponto P e indica-se por f(x) = sen x. Figura 2.24 - Ciclo trigonométrico e o ponto P
FundamentosdaMatemáticaI 57 unidade 2 Utilizando os dados da tabela abaixo, a representação gráfica da função seno é dada pela figura 2.25: x sen x 0 0 π/6 0,5 π/3 0,866 π/2 1 2π/3 0,866 5π/6 0,5 π 0 7π/6 -0,5 4π/3 -0,866 3π/2 -1 5π/3 -0,866 11π/6 -0,5 2π 0 Figura 2.25 - Gráfico da função seno – senóide Observando o gráfico da figura 2.25, podemos concluir que: I- Como é possível determinar o sen x, para todo arco de medida x ∈ R, então o domínio da função seno é o conjunto dos números reais. II- Como o raio do ciclo trigonométrico é 1, então a imagem da função seno é o intervalo fechado [−1,1], isto é, −1 ≤ sen x ≤ 1. III- A função seno é periódica de período 2π, pois sen (x+2π) = sen x. IV- A função seno tem intervalos de crescimento e decrescimento.
UniversidadeAbertadoBrasil 58 unidade 2 ATIVIDADE COMPUTACIONAL Na internet procure o aplicativo livre Graphmat, salve em seu computador e desenvolva as atividades computacionais a seguir. Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.25. Faça o gráfico da função y = sen x (função mãe) e a partir dele analise as situações a seguir: a) y = a⋅sen x, onde “a” é um número real; b) y = b + a⋅sen x, mantendo “a” constante e variando “b”; c) y = sen (x + a), onde “a” é um número real; d) y = sen (ax), onde “a” é um número real; e) y = c + d⋅sen (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais. 2.4.2 Função cosseno Considere x um número real, que representa a medida em radianos do ângulo central, desenhado no ciclo trigonométrico da figura 2.24. Chama-se função cosseno toda função de R em R que, para todo arco de medida x, associa a abscissa x do ponto P e indica-se por ( ) cosf x x= . Utilizando os dados da tabela abaixo, a representação gráfica da função cosseno é dada pela figura 2.26. x cos x 0 1 π/6 0,866 π/3 0,5 π/2 0 2π/3 -0,5 5π/6 -0,866 π -1 7π/6 -0,866 4π/3 -0,5 3π/2 -1 5π/3 0,5 11π/6 0,866 2π 1 Figura 2.26 - Gráfico da função cosseno – cossenóide
FundamentosdaMatemáticaI 59 unidade 2 Observando o gráfico da figura 2.26, podemos concluir que: I- Como para todo arco de medida x ∈ R é possível determinar o cos x, então o domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais. II- Como o raio do ciclo trigonométrico é 1, então a imagem da função cosseno é o intervalo fechado [−1,1], isto é − 1 ≤ cos x ≤ 1. III- A função cosseno é periódica de período 2π, pois cos (x+2π) = cos x. IV- A função cosseno tem intervalos de crescimento e decrescimento. Uma importante característica da função seno e da função cosseno está relacionada com a paridade. Para todos os números reais vale, conforme você já estudou: Figura 2.27 - Simetrias do seno e cosseno sen α = − sen (− α) e cos α = cos (− α) Lembre-se de que uma função f(x) é par se, para todo x no seu domínio, tivermos f(x) = f(−x). Uma função é ímpar se, para todo x no seu domínio, tivermos f(x) = − f(−x). De acordo com essas igualdades, podemos afirmar que a função seno é uma função ímpar, e a função cosseno é uma função par.
UniversidadeAbertadoBrasil 60 unidade 2 ATIVIDADE COMPUTACIONAL No aplicativo Graphmat, desenvolva as atividades computacionais a seguir. Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.26. Faça o gráfico da função y = cos x (função mãe) e, a partir dele, analise as situações a seguir: a) y = a⋅cos x, onde “a” é um número real; b) y = b + a⋅cos x, mantendo “a” constante e variando “b”; c) y = cos (x + a), onde “a” é um número real; d) y = cos (ax), onde “a” é um número real; e) y = c + d⋅cos (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais. 2.4.3 Função tangente É toda função de {x ∈ R | x ≠ 2 k π + π , k ∈ Z} em R, que, para todo arco AP de medida x, associa a ordenada do ponto T, obtido pela interseção do prolongamento do raio OP com o eixo t das tangentes. Temos assim que f(x) = tg x. Figura 2.28 - Ciclo trigonométrico e a reta tangente
FundamentosdaMatemáticaI 61 unidade 2 Como você já estudou, temos também que tg x = sen ; cos x x cos x ≠ 0, ou seja, 2 x k p p≠ + e k∈Z. O gráfico da função tangente tem a seguinte forma: Figura 2.29 - Gráfico da função tangente Analisando o gráfico da figura 2.29, você pode observar que, quando o x se aproxima de 2 π , pela esquerda o valor da tangente cresce até infinito e quando x tende a 2 π pela direita o valor da tangente decresce até infinito, sendo que para x = 2 π a tangente não está definida, isto é, não existe. Observando o gráfico da figura 2.29, podemos concluir que: I- Como para todos os valores de x = 2 k π + π , com k ∈ Z a tangente não está definida, então o domínio da função tangente é o conjunto {x ∈ R | 2 x k π ≠ + π, k Z∈ }. II- A imagem da função tangente é o conjunto dos números reais. III- A função tangente é periódica de período π, pois tg (x + π) = tg x. IV- A função tangente é sempre crescente. V- A função tangente é uma função ímpar, pois se trata de uma razão entre uma função par e uma função ímpar. π π
UniversidadeAbertadoBrasil 62 unidade 2 ATIVIDADE COMPUTACIONAL No Graphmat, desenvolva as atividades a seguir. Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.29. Faça o gráfico da função y = tg x (função mãe) e, a partir dele, analisando as situações a seguir: a) y = a⋅tg x, onde “a” é um número real; b) y = b + a⋅tg x, mantendo “a” constante e variando “b”; c) y = tg (x + a), onde “a” é um número real; d) y = tg (ax), onde “a” é um número real; e) y = c + d⋅tg (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais. 2.4.4 Função cotangente Definimos a cotangente como sendo a relação expressa por: cos cotg sen x x x = . Como a relação apresenta um seno no denominador, temos que assegurar que esse seno nunca seja zero, caso contrário teríamos uma operação proibida na matemática, que é a divisão por zero. Você estudou que o seno é zero apenas nos ângulos da forma kπ, com k ∈ Z. Assim, podemos dizer que o domínio da função cotangente é definido para todos os reais, exceto nos ângulos que zeram o seno. Logo, dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de função cotangente a função que associa a cada x k≠ π, k ∈ Z, o número cotg x ∈ R, e indicamos: f(x) = cotg x onde cotg x = cos ; sen 0 sen x x ≠ , ou seja, x k≠ π, k ∈ Z.
FundamentosdaMatemáticaI 63 unidade 2 Gráfico da função cotangente: Figura 2.30 - Gráfico da função cotangente Observando o gráfico da figura 2.30, podemos concluir que: I- Como para todos os valores de x = kπ, com k ∈ Z a cotangente não está definida, então o domínio da função cotangente é o conjunto {x ∈ R | x ≠ kπ, k Z∈ }. II- A imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais. III- A função cotangente é periódica de período π, pois cotg (x + π) = cotg x. IV- A função cotangente é sempre decrescente. V- A função cotangente é uma função ímpar, pois se trata de uma razão entre uma função par e uma função ímpar. ATIVIDADE COMPUTACIONAL No Graphmat, desenvolva as atividades a seguir. Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.30. Faça o gráfico da função y = cotg x (função mãe) e, a partir dele, analise as situações a seguir: a) y = a⋅cotg x, onde “a” é um número real; b) y = b + a⋅cotg x, mantendo “a” constante e variando “b”; c) y = cotg (x + a), onde “a” é um número real; d) y = cotg (a x), onde “a” é um número real; e) y = c + d⋅cotg (a x + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais.
UniversidadeAbertadoBrasil 64 unidade 2 2.4.5 Função secante Definimos a secante como sendo a relação expressa por: 1 sec cos x x = . Como a relação apresenta um cosseno no denominador, temos que assegurar que esse cosseno nunca seja zero, pois não é permitida a divisão por zero. Você estudou que o cosseno é zero apenas nos ângulos da forma kπ+ 2 π , com k ∈ Z. Assim, podemos dizer que o domínio da função secante é definido em todos os reais, exceto nos ângulos que zeram o cosseno. Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de função secante, a função que associa a cada x , 2 k k z π ≠ + π ∈ o número sec x ∈ R e indicamos por: f(x) = sec x onde sec x = 1 cos x ; cos x ≠ 0, ou seja, x , 2 k k Z π ≠ + π ∈ . Graficamente temos: Figura 2.31 - Gráfico da função secante Observando o gráfico da figura 2.31, podemos concluir que: I. Como para todos os valores de x = kπ + 2 π , com k ∈ Z a secante não está definida, então o domínio da função secante é o conjunto {x ∈ R | x , 2 k k z π ≠ + π ∈ }. II. A imagem da função secante é o conjunto R − ]−1,1[. III. A função secante é periódica de período 2π, pois sec (x+2π) = sec x. IV. A função secante é par, pois é proporcional ao inverso do cosseno, que é uma função par. , 2 k k Z π ≠ + π ∈ , 2 k k Z π ≠ + π ∈
FundamentosdaMatemáticaI 65 unidade 2 2.4.6 Função cossecante Definimos a cossecante como sendo a relação expressa por: 1 cossec sen x x = . Como a relação apresenta um seno no denominador, temos que assegurar que esse seno nunca seja zero, para não ocorrer a divisão por zero. Você estudou que o seno é zero apenas nos ângulos da forma kπ, com k ∈ Z. Assim, podemos dizer que o domínio da função cossecante é definido em todos os reais exceto nos ângulos que zeram o seno. Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de função cossecante a função que associa a cada x k≠ π, k Z∈ , o número cossec x ∈ R, e indicamos: f(x) = cossec x onde cossec x = 1 sen x ; sen x ≠ 0, ou seja, x k≠ π, k Z∈ . ATIVIDADE COMPUTACIONAL No Graphmat, desenvolva as atividades a seguir. Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.31. Faça o gráfico da função y = sec x (função mãe) e, a partir dele, analisando as situações a seguir: a) y = a⋅sec x, onde “a” é um número real; b) y = b + a⋅sec x, mantendo “a” constante e variando “b”; c) y = sec (x + a), onde “a” é um número real; d) y = sec (ax), onde “a” é um número real; e) y = c + d⋅sec (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais.
UniversidadeAbertadoBrasil 66 unidade 2 Graficamente teremos Figura 2.32 - Gráfico da função cossecante Observando o gráfico da figura 2.32, podemos concluir que: I. Como para todos os valores de x = kπ, com k Z∈ a cossecante não está definida, então o domínio da função cossecante é o conjunto {x ∈ R | pkx ≠ , k ∈ Z}. II. A imagem da função cossecante é o conjunto R−]−1,1[. III. A função cossecante é periódica de período 2π, pois cossec (x + 2π) = cossec x. IV. A função cossecante é uma função ímpar, pois é proporcional ao inverso do seno, que é uma função ímpar. ATIVIDADE COMPUTACIONAL No Graphmat, desenvolva as atividades a seguir. Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.32. Faça o gráfico da função y = cossec x (função mãe) e, a partir dele, analise as situações a seguir: a) y = a⋅cossec x, onde “a” é um número real; b) y = b + a⋅cossec x, mantendo “a” constante e variando “b”; c) y = cossec (x + a), onde “a” é um número real; d) y = cossec (ax), onde “a” é um número real; e) y = c + d⋅cossec (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais. π
FundamentosdaMatemáticaI 67 unidade 2 Pelo que você estudou até aqui, temos a certeza de que sabe responder onde medimos o seno, o cosseno e a tangente no ciclo trigonométrico. Mas onde a cotangente, a secante e a cossecante são medidas no ciclo trigonométrico? Então, vamos analisar o ciclo trigonométrico da figura 2.33. Figura 2.33 - Ciclo trigonométrico com o eixo da cotangente Na figura 2.33, seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B de coordenadas (0,1). Essa reta é perpendicular ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intercepta a reta tangente s no ponto S de coordenadas (s',1). A abscissa s' desse ponto é definida como a cotangente do arco AM correspondente ao ângulo a. Assim, a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: cotg a = cotg (a+2kπ) = BS = s’, onde k ∈ Z. Os triângulos OBS e ONM são semelhantes, logo: BS ON OB MN = Como a circunferência é unitária 1OB = , ON = cos a e MN = sen a, então cotg a = cos a sen a , que é equivalente a cotg a = 1 tg a . Você pode perceber que a cotangente de ângulos do primeiro e terceiro quadrantes é positiva e no segundo e quarto quadrantes é negativa. Quando a = 0 e a = π, a cotangente não existe, pois as retas s e OM se tornam paralelas. Na figura 2.34, seja a reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M de coordenadas (x',y'). Essa reta é perpendicular à reta que contém o segmento OM . A interseção da reta r com o eixo OX determina o ponto V de coordenadas
UniversidadeAbertadoBrasil 68 unidade 2 (v,0). A abscissa do ponto V é definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a. Figura 2.34 - Ciclo trigonométrico com o eixo da secante e cossecante Assim a secante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações por: sec a = sec (a+2kπ) = OV = v. De forma análoga, a interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U de coordenadas (0,u). A ordenada do ponto U é definida como a cossecante do arco AM correspondente ao ângulo a. Então a cossecante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: cossec a = cossec (a+2kπ) = OU = u. Os triângulos OMV e Ox'M são semelhantes. Deste modo, ' OV OM OM Ox = pode ser escrito como sec a = 1 cos a , desde que o cos a seja diferente de zero. Os triângulos OMU e Ox'M são semelhantes, logo: ' OU OM OM x M = pode ser escrito como cossec a = 1 sen a , desde que o sen a seja diferente de zero.
FundamentosdaMatemáticaI 69 unidade 2 Vamos listar abaixo algumas propriedades da secante e da cossecante: Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, você pode constatar as seguintes propriedades: 1. Como os pontos U e V sempre estão no exterior da circunferência trigonométrica, as suas distâncias até o centro da circunferência são sempre maiores ou iguais à medida do raio unitário. Daí segue que: sec (a) −1 ou sec (a) 1 e cossec (a) −1 ou cossec (a) 1 2. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivo no 1º e no 4º quadrantes e negativo no 2º e no 3º quadrantes. 3. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivo no 1º e no 2º quadrantes e negativo no 3º e no 4º quadrantes. 4. Não existe a secante de ângulos da forma a = k 2 π + π, onde k é um número inteiro, pois nesses ângulos o cosseno é zero. 5. Não existe a cossecante de ângulos da forma a = kπ, onde k é um número inteiro, pois são ângulos cujo seno é zero. arco xº sen(x) cos(x) tg(x) cotg(x) sec(x) cossec(x) 0 0º 0 1 0 não existe 1 não existe 6 π 30º 1 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 4 π 45º 2 2 2 2 1 1 2 2 3 π 60º 3 2 1 2 3 3 3 2 2 3 3 2 π 90º 1 0 não existe 0 não existe 1 2 3 π 120º 3 2 1 2 − 3− 3 3 − − 2 2 3 3 Resumo dos valores de alguns ângulos notáveis
UniversidadeAbertadoBrasil 70 unidade 2 arco xº sen(x) cos(x) tg(x) cotg(x) sec(x) cossec(x) 3 4 π 135º 2 2 2 2 − −1 −1 2− 2 5 6 π 150º 1 2 3 2 − 3 3 − 3− 2 3 3 − 2 π 180º 0 −1 0 não existe −1 não existe 7 6 π 210º 1 2 − 3 2 − 3 3 3 2 3 3 − −2 5 4 π 225º 2 2 − 2 2 − 1 1 2− 2− 4 3 π 240º 3 2 − 1 2 − 3 3 3 − 2 2 3 3 − 3 2 π 270º −1 0 não existe 0 não existe −1 5 3 π 300º 3 2 − 1 2 3− 3 3 − 2 2 3 3 − 7 4 π 315º 2 2 − 2 2 −1 −1 2 2− 11 6 π 330º 1 2 − 3 2 3 3 − 3− 2 3 3 − 2 2π 360º 0 1 0 não existe 1 não existe
FundamentosdaMatemáticaI 71 unidade 2 1) Sabendo que 2 x π = , calcule o valor de 3 tg 2 sec 2 5 cotg cossec 3 x x y x x − = + . Resolução: Para resolver esse exemplo, basta substituirmos o valor de x na igualdade dada, ou seja, 3 tg 2 sec 2 3 tg sec 3 0 ( 1)2 2 , 5 0 ( 1) 5 cotg cossec 3 5 cotg cossec 3 2 2 2 2 y π π − π − π ⋅ − − = = = π π π π ⋅ + − + + e portanto: y = −1. 2) Determine os quadrantes onde estão os ângulos α, β e γ, tais que: a) sen α 0 e cos α 0 b) cos β 0 e tg β 0 c) sen γ 0 e cotg γ 0 Resolução: a) Como o sen α 0 e o cos α 0, então o ângulo α pertence ao terceiro quadrante. b) Como o cos β 0 e a tg β 0, então o ângulo β pertence ao segundo quadrante. c) Como o sen γ 0 e a cotg γ 0, então o ângulo γ pertence ao primeiro quadrante. Resumindo, temos que: α ∈ 3º Q, β ∈ 2º Q e γ ∈ 1º Q.
UniversidadeAbertadoBrasil 72 unidade 2 seção 3 Funções trigonométricas Inversas Antes de iniciar o seu estudo das funções trigonométricas inversas, responda às perguntas: Você sabe o que é uma função inversa? Ou quando uma função possui inversa? Consideramos que é necessária uma rápida retomada do que é uma função inversa e de quando essa função possui inversa. Não se preocupe, pois um estudo mais detalhado sobre as funções inversas será feito em Fundamentos de Matemática II e também em Cálculo Diferencial e Integral I. 3.1 Função inversa Ao definirmos uma função y = f(x) na forma f: A→ B, ressaltamos que se trata de uma lei ou regra que a cada elemento de A se faz corresponder um único elemento de B. Em algumas funções para cada y ∈ B existe exatamente um valor de x ∈ A tal que y = f(x). Nesses casos, dizemos que f é bijetora e define-se uma função g: B → A na forma x = g(y). A função g é dita inversa de f, e é representada por 1 f − . Nem todas as funções possuem inversa. As funções do segundo grau, por exemplo, não possuem inversas, a não ser que seja feita uma restrição conveniente no seu domínio e contradomínio. Agora que você já revisou rapidamente as funções inversas, vamos analisar a existência das funções trigonométricas inversas. Vamos lá? Você retomou que uma função f, em domínio D, possui inversa se e somente se f for bijetora e por esse motivo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas funções que possuam inversas. Vamos tomar como exemplo a função f(x) = sen x, que não é bijetora em seu domínio de definição, o conjunto dos números reais, conforme você já estudou, pois
FundamentosdaMatemáticaI 73 unidade 2 para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Se y = 0, sen x = 0, podemos tomar x = 0, x = 2π, x = 4π, x = −2π, etc., isto é, x = 2k π, onde k é um número inteiro; isso quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x) = sen x em seu domínio. Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora. Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos em que elas são bijetoras. É usual escolher como domínio intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem. Vamos ver como devemos definir a função arco-seno. 3.2 Função arco-seno Considerando a função f(x) = sen x, vamos redefinir o seu domínio no intervalo , 2 2 π π  −    e imagem no intervalo [−1,1].Afunção inversa de f(x) = sen x, denominada função arco seno, definida por 1 f − : [−1, 1] → , 2 2 π π  −    , é denotada por 1 f − (x) = arc sen x. Assim y = arc sen x ⇔ sen y = x. Gráfico das funções seno e arco-seno : Figura 2.35 - Gráfico da função seno e da função arco-seno Observe o gráfico da função arco-seno, na figura 2.35, para identificar as seguintes características: O domínio da função é [• −1, 1]; A imagem da função é• , 2 2 π π  −    ; A função é sempre crescente.•
UniversidadeAbertadoBrasil 74 unidade 2 Figura 2.36 - Gráfico da função arco-cosseno Observando o gráfico da função arco-cosseno, na figura 2.36, podemos identificar as seguintes características: O domínio da função é [• −1, 1]; A imagem da função é [0,• p] ; A função é sempre decrescente.• 3.4 Função arco-tangente Dada a função f(x) = tg x, com domínio restrito , 2 2 π π  −    e imagem em R, a função inversa de f, denominada função arco tangente, é definida por 1 f − : R → , 2 2 π π  −    e denotada por 1 f − (x) = arc tg x. 3.3 Função arco-cosseno Seja a função g(x) = cos x, com domínio restrito [0,p] e imagem [−1,1]. A função inversa de g, denominada função arco cosseno, é definida por 1− g : [−1, 1]→ [0,p] e denotada por 1− g : (x) = arc cos x. Assim y = arc cos x ⇔ cos y = x. Gráfico da função arco-cosseno:
FundamentosdaMatemáticaI 75 unidade 2 Gráfico da função arco-tangente: Figura 2.37 - Gráfico da função arco-tangente Observando, na figura 2.37, o gráfico da função arco-tangente, podemos identificar as seguintes características: O domínio da função são todos os reais;• A imagem da função é• , 2 2 π π  −    ; A função é sempre crescente.• 3.5 Função arco-cotangente Considerando a função f(x) = cotg x, com domínio restrito (0,π) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-cotangente, é definida por 1 f − : R → (0,π) e denotada por 1 f − (x) = arc cotg x. Gráfico da função arco-cotangente: Figura 2.38 - Gráfico da função arco-cotangente
UniversidadeAbertadoBrasil 76 unidade 2 Observando, na figura 2.38, o gráfico da função arco-cotangente, podemos identificar as seguintes características: O domínio da função são todos os reais;• A imagem da função é (0,• π); A função é sempre decrescente.• Como exercício, tente agora você definir as funções arco-secante e arco- cossecante e em seguida trace os seus gráficos. Determine o valor de1) y: a) y = arc sen 1 2       Resolução: Usando a equivalência y = arc sen x ⇔ sen y = x temos que sen y = 1 2 . Como y ∈ , 2 2 π π  −    e x 0, então y = 6 π . b) y = arc cos 2 2   −     Resolução: Pela definição temos que cos y = 2 2 − . Como y ∈ [0,p] e x 0, então y = 3 4 π . c) y = arc tg 3 Resolução: Como tg y = 3 , y ∈ , 2 2 π π  −    e x 0, então y = 3 π .
FundamentosdaMatemáticaI 77 unidade 2 2) Dado que θ = arc sen 1 2   −    , calcule o valor do cos θ, tg θ, cotg θ, sec θ e cossec θ. Resolução: Como θ = arc sen 1 2   −    , então sen θ = 1 2 − e, portanto, θ = 11 6 π . Vamos agora calcular o valor de: cos θ = cos 11 6 π = 3 2 − , tg θ = tg 11 6 π = 3 3 − , cotg θ = cotg 11 6 π = 3− , sec θ = sec 11 6 π = 2 3 3 − e cossec θ = cossec 11 6 π = − 2 3) Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões: arc sen 1a) − arc sen (−1) Resolução: Fazendo a = arc sen 1 e b = arc sen (−1), temos que sen a = 1, sen b = −1 e, portanto, a = 2 π e b = 2 π − . Logo, arc sen 1 − arc sen (−1) = 2 π 2 π  − − = π    arc tg 1b) − arc tg (−1) Resolução: Fazendo a = arc tg 1 e b = arc tg (−1), temos que tg a = 1, tg b = −1 e, portanto, a = 4 π e b = 4 π − . Logo, arc tg 1 − arc tg (−1) = 4 π 4 π  − −    = 2 p c) arc sen (sen 5 6 π ) Resolução: Temos que sen 5 1 6 2 π = . 2 π
UniversidadeAbertadoBrasil 78 unidade 2 Nesta unidade você estudou as funções trigonométricas, as quais constituem um tema importante da matemática, tanto por suas aplicações (que vão desde as mais elementares, no dia-a-dia, até as mais complexas, na Ciência e na alta tecnologia) como pelo papel central que desempenham na área de Análise Real. Uma propriedade fundamental das funções trigonométricas é que elas são periódicas. Por isso são especialmente adaptadas para descrever os fenômenos de natureza periódica, oscilatória ou vibratória, como, por exemplo: movimento de planetas, som, corrente elétrica alternada, batimentos cardíacos. Todos os conceitos de trigonometria estudados até aqui você vai aplicar na próximaunidadeparademonstraridentidades,efetuartransformaçõestrigonométricas e resolver equações trigonométricas. Por isso não prossiga antes de resolver as atividades e sanar todas as suas dúvidas com o seu professor tutor. Assim, arc sen (sen 5 6 π ) = arc sen 1 2       Fazendo a = arc sen 1 2       temos, portanto, que: a = 6 π .
FundamentosdaMatemáticaI 79 unidade 2 1) Expresse 350º em radianos. 2) Expresse 8 rad π em graus. 3) Um móvel, partindo da origem dos arcos, percorre um arco de – 2135º. Quantas voltas completas ele deu e em que quadrante parou? 4) Determine o quadrante onde está a extremidade do arco de 2356 4 rad π . 5) Verifique se são côngruos os arcos de 2630º e – 1460º. ATIVIDADES DA SEÇÃO 2 Reduza ao primeiro quadrante e determine o valor de:1) a) sen 330º b) cos 210º c) tg (3π/4) d) sen 450º e) sen (−390º) f) sen (61π/6) g) cos 1500º h) cos (25π/3) i) tg (−10π/3) Calcule o valor da expressão dada por:2) 3 sen 90º 2 sen 180º cos 270º 4 tg 135º 5cos 0º 3cos 90º − + + + . Determine os quadrantes onde estão os ângulos α, β e γ, tais que:3) sen α 0 e cos α 0 sec β 0 e cotg β 0 cossec γ 0 e tg γ 0 Sabendo que4) x é um arco com extremidade no 3º quadrante, determine apenas o sinal da expressão y, dada por: a) 2 2 3cos tg 4 sen tg x x y x x ⋅ = ⋅ b) 3 2 3 sen cos sen cos tg x x y x x x ⋅ = ⋅ ⋅ ATIVIDADES DA SEÇÃO 1
UniversidadeAbertadoBrasil 80 unidade 2 Utilizando um software qualquer, trace o gráfico e determine o período de cada5) uma das seguintes funções: a) y = 3 sen x b) f(x) = 1 + cos x c) y = cos 2θ d) f(x) = sen x − 1 e) g(x) = −2 + tg x f) y = sen 2 θ ATIVIDADES DA SEÇÃO 3 1) Sabendo que θ = arc tg 3 , calcule o valor do sen θ, cos θ, cotg θ, sec θ e cossec θ. 2) Determine o valor de y: a) y = arc sen 2 2   −     b) y = arc cos 3 2        c) y = arc tg 3 3   −     3) Calcule o valor do arc tg 3 4 tg  π  −      . 4) Obtenha o valor de x, tal que, 2x + arc tg 1 = 2 π .
FundamentosdaMatemáticaI 81 unidade 2 Para aprofundar os seus estudos, analisar mais exemplos resolvidos e resolver outros exercícios, você deve ir até a biblioteca do polo de seu município e consultarolivrodeFundamentosdeMatemáticaElementar,Volume3,Trigonometria, de Gelson Iezzi.
UniversidadeAbertadoBrasil 82 unidade 2
FundamentosdaMatemáticaI 83 unidade 3 Identidades, Transformações e Equações Trigonométricas OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Resolver problemas envolvendo as relações trigonométricas.■■ Demonstrar identidades trigonométricas.■■ Aplicar as transformações trigonométricas na resolução de■■ problemas. Resolver equações trigonométricas.■■ ROTEIRO DE ESTUDOS SEÇÃO 1 -■■ Identidades trigonométricas SEÇÃO 2 -■■ Transformações trigonométricas SEÇÃO 3 -■■ Equações trigonométricas UNIDADEIII
UniversidadeAbertadoBrasil 84 unidade 3 PARA INÍCIO DE CONVERSA Prezado(a) acadêmico(a): Nesta unidade, inicialmente, você vai estudar as identidades trigonométricas. Em seguida deduzirá algumas das transformações trigonométricas e aplicará na resolução de vários problemas. Na última seção desta unidade, você resolverá algumas equações trigonométricas. Além disso, você vai ter a oportunidade de refletir sobre alguns elementos da trigonometria e utilizar as funções trigonométricas em alguns problemas. Muitos conceitos aqui citados serão retomados no decorrer do seu curso em outras disciplinas como, por exemplo, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e Instrumentação para o Ensino de Matemática. Durante os seus estudos, anote, como de costume, suas dúvidas e busque esclarecimentos com o professor tutor sempre que tiver necessidade. Bons estudos! Nesta seção, você vai retomar algumas identidades já provadas nas unidades anteriores e deduzirá outras identidades. Em seguida você verá como deve proceder para provar uma identidade trigonométrica qualquer. 1.1 Relações trigonométricas As seguintes relações, entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco, que você já estudou nas unidades I e II, são chamadas relações trigonométricas fundamentais. seção 1 Identidades trigonométricas
FundamentosdaMatemáticaI 85 unidade 3 2 2 sen cos 1x x+ =1. tg2. x = sen cos x x ; cos x ≠ 0 cotg3. x = cos sen x x ; sen x ≠ 0 sec4. x = 1 cos x ; cos x ≠ 0 cossec5. x = 1 sen x ; sen x ≠ 0 cotg6. x = 1 tg x ; tg x ≠ 0 Vamos demonstrar agora mais duas relações que decorrem dessas. Considerando a relação 2 2 sen cos 1x x+ = e dividindo os dois membros por 2 2 cos (cos 0)x x ≠ , temos: 2 2 sen cos 1x x+ = (÷ cos2 x) 2 2 tg 1 secx x+ = Esta relação é válida para todo 2 x k p p≠ + 2 π 2 π
UniversidadeAbertadoBrasil 86 unidade 3 Considerando a relação 2 2 sen cos 1x x+ = e dividindo os dois membros por 2 2 sen (sen 0)x x ≠ , temos: 2 2 sen cos 1x x+ = (÷ sen2 x) 2 2 1 + cotg cossecx x= Esta relação é válida para todo x k≠ π. Em seguida, vamos resolver alguns exemplos que envolvem as relações acima. 1) Sabendo que sen x = 1 4 , com 2 x π π , determine: a) cos x b) tg x Resolução: a) Substituindo o valor dado na relação 2 2 sen cos 1x x+ = , temos: 2 21 cos 1 4 x   + =    ⇔ 2 1 cos 1 16 x = − ⇔ 2 15 cos 16 x = Como x é um arco do 2º quadrante, o valor do cosseno é negativo.
FundamentosdaMatemáticaI 87 unidade 3 Portanto: 15 cos 16 x = − , ou seja, 15 cos 4 x = − . b) sen tg cos x x x = ⇔ 1 14tg 15 15 4 x = = − − ⇔ 15 tg 15 x = − 2) Se a é um arco do 4º quadrante e cotg a = –2, calcule: a) cossec a b) sec a Resolução: a) Substituindo cotg a = –2 em 1 + cotg2 a = cossec2 a, temos: 1 + (–2)2 = cossec2 a ⇔ cossec2 a = 5 ⇔ cossec a = 5± Como a é um arco do 4º quadrante, o valor da cossecante é negativo. Portanto: cossec a = 5− b) De tg a = 1 cotg a , obtemos tg a = 1 2 − . Substituindo em tg2 a + 1 = sec2 a, temos: 2 21 1 sec 2 a   + − =    ⇔ 2 1 sec 1 4 a = + ⇔ 2 5 sec 4 a = ⇔ 5 sec 2 a = ± Como a é um arco do 4º quadrante, o valor da secante é positivo. Portanto: 5 sec 2 a =
UniversidadeAbertadoBrasil 88 unidade 3 1.2 Identidades trigonométricas Dadas as funções trigonométricas f(x) e g(x), dizemos que a igualdade f(x) = g(x) é uma identidade trigonométrica se ela é válida para qualquer valor de x para os quais f(x) e g(x) existem. Por exemplo: A igualdade sen• 2 x = 1 – cos2 x é válida para qualquer x real; logo, é uma identidade trigonométrica. A igualdade• 1 cotg tg x x = é válida para todo 2 x k π ≠ + π; logo, é uma identidade trigonométrica. Um bom caminho para provar que uma identidade trigonométrica é verdadeira consiste em transformar o membro que apresenta expressão mais complicada na expressão do outro membro. Para isso utilizamos as relações trigonométricas já estudadas (e que também são identidades) e as regras usuais da álgebra. Caso os dois membros apresentem expressões igualmente complicadas, podemos transformar cada um deles em uma mesma expressão mais simples que as anteriores. Veja os exemplos: 1) Demonstre a identidade: 2 tg sen sec1 tg x x xx = + Vamos transformar o 1º membro procurando expressar as funções em sen x ou cos x: 2 2 2 2 sen sen cos costg sen cos sen sen cos 1 cos 1 sec1 tg sec cos x x x xx x x x x x x xx x x = = = ⋅ = ⋅ = + Como chegamos ao 2º membro, a identidade está demonstrada.
FundamentosdaMatemáticaI 89 unidade 3 2) Demonstre a identidade: tg a . cossec2 a = tg a + cotg a Neste caso vamos transformar o 1º e o 2º membros, expressando as funções em sen a e cos a: tg a . cossec2 a = tg a + cotg a 2 cossen 1 sen cos cos sensen aa a a a aa ⋅ = + 2 2 1 1 sen cos cos sen cos sen a a a a a a + ⋅ = ⋅ Como sen2 a+ cos2 a= 1, temos: 1 1 cos sen cos sena a a a = ⋅ ⋅ e assim está demonstrada a identidade. seção 2 Transformações trigonométricas Pela propriedade distributiva da álgebra, sabemos que, se x, a e b são números reais, as igualdades a seguir são verdadeiras. x (a + b) = xa + xb x (a − b) = xa − xb Entretanto, ao contrário do que se possa imaginar à primeira vista, a igualdade sen (a + b) = sen a + sen b é falsa. Por exemplo: ( )o o o 3 sen 90 30 sen 120 2 + = = o o 1 3 sen 90 sen 30 1 2 2 + = + = Nesta seção vamos estudar como calcular as funções trigonométricas de arcos da forma (a + b), (a – b) e 2a.
UniversidadeAbertadoBrasil 90 unidade 3 2.1 Fórmulas da adição Cosseno da soma: cos (a + b)• Na figura 3.1 temos: - medida do arco AB é a - medida do arco BC é b - medida do arco AC é (a + b) - medida do segmento OC é 1 Considerando os triângulos retângulos ONC, ODC, DEC e OMD e as razões trigonométricas neles definidas, temos: cos (a + b) = ON OC , como ON OM MN= − então cos (a + b) = OM MN OC − e como MN ED= , temos: cos (a + b) = OM ED OC − , isto é, cos (a + b) = OM ED OCOC − cos (a + b) = OM OD ED CD OCOC OD CD ⋅ − ⋅ Figura 3.1 - Soma de dois arcos
FundamentosdaMatemáticaI 91 unidade 3 cos (a + b) = OM OD ED CD CDOD OC OC ⋅ − ⋅ Logo, cos (a + b) = cos a . cos b − sen a . sen b Cosseno da diferença: cos (a – b)• Fazendo: cos (a – b) = cos [a + (–b)], aplicamos a fórmula da soma: cos (a – b) = cos [a + (–b)] = cos a . cos (–b) – sen a . sen (–b) Lembrando que: sen (–b) = –sen b e cos (–b) = cos b, podemos escrever: cos (a − b) = cos a . cos b + sen a . sen b Seno da soma: sen (a + b)• Já estudamos que: sen a cos a 2 cos a sen a 2 π  − =      → π  − =     arcos complementares Então, podemos escrever: sen(a + b) = cos (a b) 2 π  − +    sen (a + b) = cos a b 2 π  − −    sen (a + b) = cos a b 2  π  − −      Utilizando a fórmula cos (a + b) = cos a . cos b − sen a . sen b, temos: sen (a+b) = cos a cos( b) sen a sen ( b) 2 2 π π    − ⋅ − − − ⋅ −        sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
UniversidadeAbertadoBrasil 92 unidade 3 Seno da diferença: sen (a – b)• Fazendo: sen (a – b) = sen [a + (–b)], aplicamos a fórmula da soma: sen (a – b) = sen [a + (–b)] = sen a . cos (–b) + sen (–b) . cos a Lembrando que: sen (–b) = –sen b e cos (–b) = cos b, podemos escrever: sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a Tangente da soma: tg (a + b)• Como já determinamos o seno e o cosseno da soma, podemos também obter a tangente da soma. Sabemos que sen (a b) tg (a b) cos (a b) + + = + Aplicando as fórmulas calculadas anteriormente no 2º membro, temos: sen a cos b sen b cos a tg (a b) cos a cos b sen a sen b ⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ Dividindo o numerador e o denominador da última expressão por “cos a . cos b”, temos: sen a cos b sen b cos a cos a cos b cos a cos btg (a b) cos a cos b sen a sen b cos a cos b cos a cos b ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅+ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ , simplificando obtemos: sen a sen b cos a cos btg (a b) sen a sen b 1 cos a cos b + + = − ⋅ Como sen a tg a cos a = e sen b tg b cos b = , temos: tg a tg b tg (a b) 1 tg a tg b + + = − ⋅
FundamentosdaMatemáticaI 93 unidade 3 Tangente da diferença: tg (a – b)• Lembrando que tg (– b) = – tg b, obtemos a fórmula: tg a tg b tg (a b) 1 tg a tg b − − = + ⋅ Vamos agora estudar algumas aplicações das fórmulas de adição. 1) Calcule sen 75º. Resolução: Como o sen 75o = sen (30o + 45o ), aplicando a fórmula sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a, onde a = 30º e b = 45º, temos: sen 75o = sen (30o + 45o ) = sen 30o . cos 45o + sen 45o . cos 30o portanto, sen 75º = 1 2 2 3 2 2 2 2 ⋅ + ⋅ , ou seja, sen 75º = 2 6 4 + . 2) Mostre que ( )cos x cos xπ − = − . Resolução: Aplicando a fórmula ( )cos a b cos a cos sen a senbb− = ⋅ + ⋅ , onde a = π e b = x, temos: ( )cos x cos . cos x sen sen xπ − = π + π ⋅ e, portanto: ( )cos x 1 . cos x 0 sen xπ − = − + ⋅ , isto é, ( )cos x cos xπ − = − 3) Dado 3 sen a 5 = , 0 a 2 π , calcule: a) sen a 6 π  −   
UniversidadeAbertadoBrasil 94 unidade 3 Primeiramente vamos calcular cos a: Utilizando a identidade trigonométrica sen2 a + cos2 a = 1 e substituindo 3 sen a 5 = , temos: 2 2 2 23 9 16 4 cos a = 1 cos a = 1 cos a = cos a 5 25 25 5   + ⇒ − ⇒ ⇒ = ±    Como 0 a 2 π , então 4 cos a 5 = . Aplicando a fórmula do seno da diferença, com b = 6 π , temos: sen a sen a cos sen cos a 6 6 6 π π π  − = ⋅ − ⋅    3 3 1 4 sen a 6 5 2 2 5 π  − = ⋅ − ⋅    3 3 4 3 3 4 sen a 6 10 10 10 p −  − = − =    b) tg a + 4 π      Vamos calcular tangente de a: Como 3 sen a 35tg a tg a tg a 4cos a 4 5 = ⇒ = ⇒ = Aplicando a fórmula da tangente da soma, com b = 4 π , vem: 3 7 tg a tg 1 4 4 4tg (a + ) = = tg a 7 3 14 4 1 tg a tg 1 1 4 4 4 π + + π π  = ⇒ + = π  − ⋅ − ⋅ tg a + 4 π     
FundamentosdaMatemáticaI 95 unidade 3 2.2 Fórmulas do arco duplo Para deduzir as fórmulas de sen 2a, cos 2a e tg 2a, basta fazer b = a nas fórmulas da soma (a+b) de dois arcos. Acompanhe com atenção: Seno do arco duplo• sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a, fazendo b = a, vem: sen (a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a sen 2a = 2 sen a . cos a Cosseno do arco duplo• cos (a + b) = cos a . cos b − sen a . sen b, fazendo a = b, temos: cos (a + a) = cos a . cos a − sen a . sen a cos 2a = cos2 a − sen2 a Tangente do arco duplo• tg a tg b tg(a b) 1 tg a tg b + + = − ⋅ , fazendo a = b tg a tg a tg(a a) 1 tg a tg a + + = − ⋅ 2 2 tg a tg 2a 1 tg a = −
UniversidadeAbertadoBrasil 96 unidade 3 Veja agora alguns exemplos aplicando as fórmulas do arco duplo. Sabendo que sen x = 4 5 e que x é um arco do 2º quadrante, determine: a) sen 2x b) cos 2x c) tg 2x Resolução: Sabendo o valor do sen x, vamos calcular o cos x. Utilizando a identidade sen2 x + cos2 x= 1 e substituindo sen x por 4 5 , temos: 2 2 2 24 16 9 3 cos x = 1 cos x 1 cos x cos x 5 25 25 5   + ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ±    Como x é um arco do 2º quadrante, então: 3 cos x 5 = − No caso a: 4 3 24 sen 2x 2 sen x cos x 2 sen 2x 5 5 25   = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⇒ = −    . No caso b: 2 2 2 2 3 4 9 16 7 os 2x = cos x - sen x = = cos 2x 5 5 25 25 25 c     − − − ⇒ = −        No caso c, antes de calcular o valor da tg 2x, precisamos calcular o valor da tg x. Mas 4 sen x 45tg x tg x 3cos x 3 5 = = ⇒ = − − 2 2 4 8 82 2 tg x 243 3 3tg 2x tg 2x 16 7 71 tg x 4 11 9 93   ⋅ − − −   = = = = ⇒ = −   − −− −   
FundamentosdaMatemáticaI 97 unidade 3 seção 3 Equações trigonométricas Nesta seção vamos estudar alguns tipos de equações trigonométricas e ver como você deve proceder para resolvê-las. 3.1 Equações trigonométricas Podemos definir uma equação trigonométrica como toda equação que envolve funções trigonométricas com arco desconhecido. Assim, são equações trigonométricas: 2 sen x = 1; tg cotg 4 x x π  = +    ; cos2 x + cos x – 2 = 0. Como você já estudou na disciplina de Matemática Básica, resolver uma equação significa encontrar os valores da incógnita, caso existam, que tornam a igualdade verdadeira. O mesmo ocorre com as equações trigonométricas. Em sua maioria, as equações trigonométricas podem ser transformadas (utilizando as relações já aprendidas) em outras mais simples, chamadas equações fundamentais: sen x = sen a cos x = cos a tg x = tg a Vejamos cada um desses casos, separadamente. 1º Caso: Resolução de equações do tipo sen x = sen a.
UniversidadeAbertadoBrasil 98 unidade 3 Observe os exemplos abaixo: 1) Resolva a equação 1 sen 2 x = . Figura 3.2 Pela figura 3.2 observamos que 1 sen 2 x = corresponde a um arco x pertencente ao 1º ou ao 2º quadrantes. No 1º quadrante: 6 x π = , pois 1 sen 6 2 π = . No 2º quadrante: 5 6 6 x π π = π − = . Observe, na figura 3.2, que todos os arcos com extremidade em M ou em M1 são soluções da equação dada, pois cada um desses pontos será extremidade de infinitos arcos trigonométricos, chamados arcos côngruos, após k voltas na circunferência trigonométrica. Dessa forma, a solução geral da equação é: 5 2 ou 2 6 6 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = + π    , com k Z∈ 2) Resolva a equação 2 sen 2 x = − .
FundamentosdaMatemáticaI 99 unidade 3 Pela figura 3.3 observamos que 2 sen 2 x = − corresponde a um arco x pertencente ao 3º ou ao 4º quadrantes. Figura 3.3 No 3º quadrante 5 4 x π = No 4º quadrante 5 4 4 x π π = π − = − Logo, a solução geral da equação é: 5 2 ou 2 4 4 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = − + π    , com k Z∈ 3) Resolva a equação sen x = 0. Pela figura 3.4 verificamos que sen x = 0 se, e somente se, o arco de medida x (em radianos) termina em A ou em A’. Figura 3.4
UniversidadeAbertadoBrasil 100 unidade 3 Portanto, a solução geral da equação é { }kS x R x= ∈ = π , com k Z∈ 4) Resolva a equação sen x = −1 Figura 3.5 Pela figura 3.5: 3 1 sen 2 π − = Portanto, 3 2 x π = e a solução geral da equação é: 3 2 2 S x R x k π  = ∈ = + π    , com k Z∈ . A partir dos exemplos anteriores, podemos concluir que: De modo geral o conjunto solução de uma equação do tipo sen x = sen a é: { }2 ou 2S x R x a k x a k= ∈ = + π = π − + π , com k Z∈ 5) Resolva a equação sen sen 5 x π = Temos que: 2k 5 x π = + π ou 4 2k 2k 5 5 x x π π = π − + π ⇒ = + π
FundamentosdaMatemáticaI 101 unidade 3 Portanto: 4 2 ou 2 5 5 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = + π    , com k Z∈ Considerando as equações dadas, que são da forma sen x = sen a, vamos resolver, agora, as seguintes equações trigonométricas: 1) Resolva a equação: sen 2x = 1. Como 1 sen 2 π = , podemos escrever: sen 2x sen 2 π = . Daí: 2 2k k 2 4 x x π π = + π ⇒ = + π E a solução geral da equação é: 4 S x R x k π  = ∈ = + π    , com k Z∈ . 2) Resolva a equação: 2 sen 3 2x = . Figura 3.6
UniversidadeAbertadoBrasil 102 unidade 3 Temos que: 2 sen 3 2 x = . Pela figura 3.6 observamos que: 2 sen 2 4 π = ou 2 sen 2 4 π  = π −    . Logo: sen 3 sen 4 x π = ou 3 sen 3 sen 4 x π = . Então: 2k 3 2k 4 12 3 x x π π π = + π ⇒ = + ou 3 2k 3 2k 4 4 3 x x π π π = + π ⇒ = + E a solução geral da equação é 2 2 ou 12 3 4 3 k k S x R x x π π π π  = ∈ = + = +    , com k Z∈ . 3) Resolva a equação: ( ) 3 sen 3 2 x − π = . Figura 3.7
FundamentosdaMatemáticaI 103 unidade 3 Pela figura 3.7 observamos que: 3 sen 2 3 π = ou 3 sen 2 3 π  = π −    . Logo: ( )sen 3 sen 3 x π − π = ou ( ) 2 sen 3 sen 3 x π − π = . Então: 4 4 2k 3 2k 3 2k 3 2k 3 3 3 9 3 x x x x π π π π π − π = + π ⇒ = π + + π ⇒ = + π ⇒ = + ou 2 2 5 5 2k 3 2k 3 2k 3 2k 3 3 3 9 3 x x x x π π π π π − π = + π ⇒ = π + + π ⇒ = + π ⇒ = + . E a solução geral da equação é 4 2 5 2 ou 9 3 9 3 k k S x R x x π π π π  = ∈ = + = +    , com k Z∈ 2º Caso: Resolução de equações do tipo cos x = cos a. Estas equações são resolvidas de forma semelhante às do 1º caso. Observe os exemplos: 1) Resolva a equação 2 cos 2 x = . Figura 3.8
UniversidadeAbertadoBrasil 104 unidade 3 Pela figura 3.8 observamos que 2 cos 2 x = corresponde a um arco x pertencente ao 1º ou ao 4º quadrantes. No 1º quadrante: 4 x π = , pois 2 cos 4 2 π = . No 4º quadrante: 4 x π = − . Observe na figura 3.8 que todos os arcos com extremidade em M ou em M1 são soluções da equação dada. Dessa forma, a solução geral da equação é: 2 ou 2 4 4 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = − + π    , com k Z∈ ou 2 4 S x R x k π  = ∈ = ± + π    , com k Z∈ . 2) Resolva a equação 3 cos 2 x = − . Pela figura 3.9 observamos que 3 cos 2 x = − corresponde a um arco x pertencente ao 2º ou ao 3º quadrantes. Figura 3.9 No 2º quadrante, 5 6 x π = . No 4º quadrante, 5 6 x π = − . Logo, a solução geral da equação é: 5 2 6 S x R x k π  = ∈ = ± + π    , com k Z∈ .
FundamentosdaMatemáticaI 105 unidade 3 3) Resolva a equação cos x = 0. Pela figura 3.10 verificamos que cos x = 0 se, e somente se, o arco de medida x (em radianos) termina em B ou em B’. Figura 3.10 Portanto, a solução geral da equação é: k 2 S x R x π  = ∈ = + π    , com k Z∈ . A partir dos exemplos anteriores, podemos concluir que: De modo geral o conjunto solução de uma equação do tipo cos x = cos a é: { }2S x R x a k= ∈ = ± + π , com k Z∈ . 4) Resolva a equação 3 cos cos 8 x π = . Temos que: 3 2k 8 x π = + π ou 3 2k 8 x π = − + π Portanto: 3 2 8 S x R x k π  = ∈ = ± + π    , com k Z∈
UniversidadeAbertadoBrasil 106 unidade 3 5) Resolva a equação: 1 cos 5 2 x π  − =    . Pela figura 3.11 observamos que: 1 cos 2 3 π = ou 1 cos 2 3 π  = −    . Logo: cos cos 5 3 x π π  − =    ou cos cos 5 3 x π π    − = −        . Então: 8 2k 2k 2k 5 3 5 3 15 x x x π π π π π − = + π ⇒ = + + π ⇒ = + π ou 2 2k 2k 2k 5 3 5 3 15 x x x π π π π π − = − + π ⇒ = − + π ⇒ = − + π E a solução geral da equação é: 8 2 2k ou 2 15 15 S x R x x k π π  = ∈ = + π = − + π    , com k Z∈ Figura 3.11
FundamentosdaMatemáticaI 107 unidade 3 3º Caso: Resolução de equações do tipo tg x = tg a. Observe os exemplos: 1) Resolva a equação tg x = 3 . Figura 3.12 Pela figura 3.12: 3 tg 3 π = . Portanto: k 3 x π = + π. A solução geral da equação é: k 3 S x R x π  = ∈ = + π    , com k Z∈ Podemos concluir que: De modo geral o conjunto solução de uma equação do tipo tg x = tg a, 2 a k π ≠ + π é { }S x R x a k= ∈ = + π , com k Z∈ .
UniversidadeAbertadoBrasil 108 unidade 3 2) Resolva a equação 3 tg 3 0x + = . Temos que: 3 tg 3 x = − ou 5 tg tg 6 x π = . Daí: 5 6 x π = , e a solução geral da equação é: 5 k 6 S x R x π  = ∈ = + π    , com k Z∈ 3) Resolva a equação tg 4 tgx x= . Temos que: k 4 k 3 k 3 x x x x π = + π ⇒ = π ⇒ = . Portanto, a solução geral da equação é 3 k S x R x π  = ∈ =    , com k Z∈ .
FundamentosdaMatemáticaI 109 unidade 3 Nessa unidade você estudou as identidades trigonométricas, demonstrou as fórmulas do arco soma, do arco diferença e do arco produto, as quais constituem um tema importante da matemática, por suas aplicações. Em seguida você identificou e estudou três casos importantes de equações trigonométricas. Se você quiser se aprofundar neste tema, recomendamos que consulte as referências indicadas ao final deste livro. Você percebeu que todos os conceitos de trigonometria estudados nas unidades anteriores foram aplicados nesta unidade para demonstrar identidades, efetuar transformações trigonométricas e resolver equações trigonométricas. Por isso não deixe de resolver as atividades e sanar todas as suas dúvidas com o seu professor tutor. ATIVIDADES DA SEÇÃO 1 Determine o que se pede em cada caso:1) a) cossec x, sabendo que x é um arco do 2º quadrante e que sec x = –3. b) tg x, sabendo que 2 cotg 3 x = . c) sen x e tg x, sabendo que x é um arco do 2º quadrante e que 3 cos 4 x = − . d) cossec x, sendo tg x = 5 e 0 2 x π . e) cos x e sen x, sendo 5 tg 3 x = e 3 2 x π π .
UniversidadeAbertadoBrasil 110 unidade 3 Demonstre as identidades trigonométricas:2) a) cos sec 1x x⋅ = b) tg cos sena a a⋅ = c) tg cotg sec cossecx x x x+ = ⋅ d) ( ) ( )2 2 1 tg 1 sen 1x x+ ⋅ − = e) 2 tg cossec tg cotga a a a⋅ = + f) 2 2 2 2 tg cos sec senx x x x+ = − g) cos sen 1 sec cossec x x x x + = h) 1 sen sec tg 1 sen x x x x   ⋅ − = −    i) sen tg sen tg cotg cossec a a a a a a + = ⋅ + j) ( ) ( )2 2 2 1 tg 1 tg 2secx x x+ + − = ATIVIDADES DA SEÇÃO 2 1) Calcule seno, cosseno e tangente de 105o . 2) Calcule sen (a + b), sabendo que α e β são ângulos agudos e que 3 sen 5 α = e 5 sen 13 β = . 3) Demonstre as seguintes identidades, usando as fórmulas de adição e subtração: a) ( )cos cosπ + α = − α b) ( )sen senπ + α = − α c) 3 cos sen 2 π  − α = − α    d) sen cos 2 π  + α = α   
FundamentosdaMatemáticaI 111 unidade 3 e) cos sen 2 π  − α = α    f) ( )tg tgπ + α = α 4) Calcule cos 4x , sabendo que 3 cos x 4 = e x é um arco do 1º quadrante. 5) Calcule o valor da expressão: y = sen 15º + cos 15º. 6) Calcule o valor do sen (arc sen 1 2 + arc cos 1 3 ). ATIVIDADES DA SEÇÃO 3 1) Resolva as seguintes equações trigonométricas: a) 2 sen x 2 = b) sen 4x 1= c) sen x 0 4 π  − =    d) sen x sen 10 π = e) 2 sen 3x 8 2 π  + = −    f) 2 cos 3x 2 = − g) cos 1 0x + = h) 3 cos x 6 2 π  + =    i) cos x cos 5 π = j) 2 cos 2x 4 2 π  − = −    k) tg x 1= l) 3 tg 2x 3 =
UniversidadeAbertadoBrasil 112 unidade 3 m) tg x tg 8 π = n) tg 2x tg x= o) ( )tg 3x 1p− = − Para aprofundar os seus estudos, analisar mais exemplos resolvidos e resolver outros exercícios, você deve ir até a biblioteca do polo de seu município e consultarolivrodeFundamentosdeMatemáticaElementar,Volume3,Trigonometria, de Gelson Iezzi. sen x 0 4 π  − =   
FundamentosdaMatemáticaI 113 unidade 3
UniversidadeAbertadoBrasil 114 unidade 3
FundamentosdaMatemáticaI 115 PALAVRAS FINAIS PALAVRAS FINAIS Caro(a) acadêmico(a) Parabéns por concluir o estudo desta disciplina; esperamos que você tenha alcançado os objetivos da nossa proposta de trabalho. Acreditamos que você está preparado para refletir e discutir situações que envolvam a trigonometria. Os conteúdos estudados constituem alicerces básicos para outras disciplinas, além de contribuir de forma decisiva para a sua formação como professor de matemática. Você aprendeu conceitos novos e resolveu vários exercícios. Este livro poderá ser uma fonte de consulta constante, para que você retome suas reflexões sempre que se deparar com assuntos relativos aos temas estudados. Para finalizar, colocamo-nos à sua disposição para contatos posteriores, uma vez que dos estudos aqui iniciados ainda podem surgir dúvidas, exigindo de você maiores aprofundamentos. Desejamos-lhe sucesso no curso e no exercício profissional. Siga em frente!
FundamentosdaMatemáticaI 117 REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS BOYER, Carl B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. CARMO, Manfredo Perdigão; MORGADO, Augusto Cesar; WAGNER, Eduardo. Trigonometria. Números Complexos. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1992. EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Campinas: Ed. da Unicamp, 1995. GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática. v. 2. São Paulo: FTD, 1992. IEZZI, G., MURAKAMI, C., MACHADO, N.J. Fundamentos de matemática elementar. v. 3. São Paulo: Atual, 1983. LEDUR, Berenice S.; ENRICONI, Maria Helena S.; SEIBERT, Tânia E.. Trigonometria por meio da construção de conceitos. São Leopoldo: UNISINOS, 2003. LIMA, E. L., CARVALHO, P. C., WAGNER, E., MORGADO, A.C. A Matemática do Ensino Médio. v.1. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998.
FundamentosdaMatemáticaI 119 AUTOR NOTAS SOBRE OS AUTORES Carmen Lúcia Valgas Formada em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Ponta Grossa. Especialista em Fundamentos para o Ensino da Matemática e mestre em Educação pela UEPG. Professora do Departamento de Matemática e Estatística da UEPG. Além das atividades de ensino, coordena projetos de extensão desenvolvidos em escolas de Ensino Fundamental e Médio da comunidade. Elisabete Ferreira Silva Licenciada em Matemática pela Universidade Estadual de Ponta Grossa,comespecializaçãoemMetodologiadoEnsinoSuperioremestrado em Educação pela UEPG. Foi professora de Ensino Fundamental e Médio até 1995 e professora do Departamento de Matemática e Estatística da UEPG até 2008. Ministra aulas em cursos de especialização, orientando trabalhos relacionados ao ensino-aprendizagem de Matemática na Educação Básica.
José Trobia Licenciado em Matemática e especialista em Metodologia do Ensino Superior pela Universidade Estadual de Ponta Grossa, mestre em Matemática pela Universidade Federal de São Carlos. É professor do Departamento de Matemática e Estatística da UEPG e foi professor de Ensino Fundamental até 1994. Além das atividades de ensino, coordena projetos de extensão e participa de projeto de pesquisa, orienta acadêmicos de cursos de especialização e professores da Educação Básica em projetos governamentais. Foi coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática Presencial, chefe do Departamento de Matemática e atualmente está na coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática - UAB.
FundamentosdaMatemáticaI 121 unidade 5 121 respostas RESPOSTAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
UniversidadeAbertadoBrasil 122 Respostas UNIDADE 1 Seção 2 a) 25,5 m1) b) 8,5 m 10 m2) Seção 3 1) a) a = 4 6 b) a = 13,66, b = 5 2 c) ^ C = 45o 2) AB = 91,65 m 3) 120o UNIDADE 2 Seção 1 1) 35 18 π rad 2) 22,5o ou 22o 30’ 3) 5 voltas, 1º quadrante 4) Está sobre o eixo x entre o 2º e 3º quadrantes 5) Não Seção 2 1) a) 1 2 − b) 3 2 − c) – 1 d) 1 e) 1 2 − f) 1 2 g) 1 2 h) 1 2 i) 3− 2) 1 5 − 3) α : 4º quadrante; β: 3º quadrante; γ: 1º quadrante 4) a) Negativo b) Negativo
FundamentosdaMatemáticaI 123 unidade 5 123 respostas UNIDADE 3 Seção 3 1) arctg 3θ = tg 3 60o ⇒ θ = ⇒ θ = o 3 sen 60 2 = o 1 cos60 2 = o 3 cotg 60 3 = o sec60 2= o 2 3 cossec 60 3 = a) y = 3152) o ou 225º b) y = 30o ou 330º c) y = 330o ou 150º 3) y = arc tg 3 tg 4 p   −      ⇒y = arc tg 1 ⇒ y = 45o 4) ð x 8 = Seção 1 1) a) 3 2 cossec 4 x = b) 3 tg 2 x = c) 7 sen 4 x = e 7 tg 3 x = − d) 26 cossec 5 x = e) 3 14 cos 14 x = − e 70 sen 14 x = − 35 18 π 35 18 π
UniversidadeAbertadoBrasil 124 Respostas 2) a) cos sec 1x x⋅ = 1 cos 1 cos x x ⋅ = ⇒ 1 = 1 b) tg cos sena a a⋅ = sen cos sen cos a a a a ⋅ = ⇒ sen sena a= c) tg cotg sec cossecx x x x+ = ⋅ sen cos 1 1 cos sen cos sen x x x x x x + = ⋅ 2 2 sen cos 1 cos sen cos sen x x x x x x + = ⋅ ⋅ 1 1 cos sen cos senx x x x = ⋅ ⋅ d) ( ) ( )2 2 1 tg 1 sen 1x x+ ⋅ − = 2 2 sec cos 1x x⋅ = 2 2 1 cos 1 cos x x ⋅ = ⇒ 1 = 1 e) 2 tg cossec tg cotga a a a⋅ = + 2 sen 1 sen cos cos cos sensen a a a a a aa ⋅ = + 2 2 sen cos 1 cos sen cos sen a a a a a a + = ⋅ ⋅ 1 1 cos sen cos sena a a a = ⋅ ⋅ f) 2 2 2 2 tg cos sec senx x x x+ = − 2 2 2 2 sec 1 1 sen sec senx x x x− + − = − 2 2 2 2 sec sen sec senx x x x− = − g) cos sen 1 sec cossec x x x x + =
FundamentosdaMatemáticaI 125 unidade 5 125 respostas 1 1 cos sen 1 sec cossec x x x x ⋅ + ⋅ = cos cos sen sen 1x x x x⋅ + ⋅ = 2 2 cos sen 1x x+ = ⇒ 1 = 1 h) 1 sen sec tg 1 sen x x x x   ⋅ − = −    1 sen sec sen tg 1 sen x x x x x ⋅ − ⋅ = − 1 sen 1 tg 1 cos x x x ⋅ − = − tg 1 tg 1x x− = − i) sen tg =sen tg cotg cossec a a a a a a + ⋅ + sen sen cos sen tg cos 1 sen sen a a a a a a a a + = ⋅ + sen cos sen cos sen tg cos 1 sen a a a a a a a a ⋅ + = ⋅ + sen (cos + 1) sen sen tg cos cos 1 a a a a a a a ⋅ = ⋅ + sen tg sen tga a a a⋅ = ⋅ j) ( ) ( )2 2 2 1 tg 1 tg 2secx x x+ + − = 2 2 2 1 2tg tg 1 2 tg tg 2secx x x x x+ + + − + = 2 2 2 2tg 2secx x+ = 2 2 2(1 tg ) 2secx x+ = 2 2 2sec 2secx x=
UniversidadeAbertadoBrasil 126 Respostas Seção 2 1)sen 105o = sen(45o +60o ) = sen45o .cos60o + sen60o .cos45o = 2 6 4 + cos 105o = 2 6 4 − tg 105o = o o sen 105 2 6 cos105 2 6 + = − 2) 4 cos 5 α = e 12 cos 13 β = 56 sen( ) 65 α + β = 3) a) cos( ) cos .cos sen . sen 1.cos 0.sen cosπ + α = π α − π α = − α − α = − α b) sen( ) sen .cos sen .cos 0.cos sen .( 1) senπ + α = π α + α π = α + α − = − α c) 3 3 3 cos( ) cos .cos sen . sen 0.cos ( 1). sen sen 2 2 2 π π π − α = α + α = α + − α = − α d) sen( ) sen .cos sen .cos 1.cos sen . 0 cos 2 2 2 π π π + α = α + α = α + α = α e) cos( ) cos .cos sen . sen 0.cos 1. sen sen 2 2 2 π π π − α = α + α = α + α = α f) tg tg 0 tg tg( ) tg 1 tg .tg 1 0.tg π + α + α π + α = = = α − π α − α 4) 3 cos 4 x = e 7 sen 4 x = 2 2 9 7 1 1 cos 2 cos sen 16 16 16 8 x x x= − = − = = 7 3 3 7 sen 2 2.sen .cos 2. . 4 4 8 x x x= = = 2 2 1 63 62 31 cos 4 cos(2.2 ) cos 2 sen 2 64 64 64 32 x x x x= = − = − = − = − 2
FundamentosdaMatemáticaI 127 unidade 5 127 respostas 5) o o o 6 2 sen 15 sen(60 45 ) 4 − = − = o o o 2 6 cos15 cos(60 45 ) 4 + = − = 6 2 2 6 2 6 6 4 4 2 y − + + = = = 6) 1 1 arc sen sen 2 2 a a= ⇒ = 1 1 arc cos cos 3 3 b b= ⇒ = 2 2 sen 3 b = 3 cos 2 a = sen( ) sen .cos sen .cosa b a b b a+ = + 1 1 2 2 3 sen( ) . . 2 3 3 2 a b+ = + 1 2 6 1 2 6 sen( ) 6 6 6 a b + + = + = Seção 3 a) 3 2 ou 2 4 4 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = + π    , com Zk ∈ b) 8 2 k S x R x  π π = ∈ = +    , com Zk ∈ c) 4 S x R x k π  = ∈ = + π    , com Zk ∈ d) 9 2 ou 2 10 10 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = + π    , com Zk ∈ e) 3 2 2 ou 8 3 8 3 k k S x R x x π π π π  = ∈ = + = − +    , com Zk ∈ f) 2 4 3 k S x R x π π  = ∈ = ± +    , com Zk ∈ g) { }2S x R x k= ∈ = π + π , com Zk ∈ h) 2 ou 2 3 S x R x k x k π  = ∈ = π = − + π    , com Zk ∈
UniversidadeAbertadoBrasil 128 unidade 6 i) 2 5 S x R x k π  = ∈ = ± + π    , com Zk ∈ j) ou 2 4 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = − + π    , com Zk ∈ k) 4 S x R x k π  = ∈ = + π    , com Zk ∈ l) 12 2 k S x R x π π  = ∈ = +    , com Zk ∈ m) 8 S x R x k π  = ∈ = + π    , com Zk ∈ n) { }S x R x k= ∈ = π , com Zk ∈ o) 4 3 k S x R x π π  = ∈ = +    , com Zk ∈

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Fundamentos matematica Elementar

  • 1.
    Carmen Lúcia Valgas ElisabeteFerreira Silva José Trobia pONTA gROSSA - PARANÁ 2011 Matemática Licenciatura em EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Fundamentos da Matemática I
  • 2.
    UNIVERSIDADE ESTADUAL DEPONTA GROSSA Núcleo de Tecnologia e Educação Aberta e a Distância - NUTEAD Av. Gal. Carlos Cavalcanti, 4748 - CEP 84030-900 - Ponta Grossa - PR Tel.: (42) 3220-3163 www.nutead.uepg.br 2009 Todos os direitos reservados ao Ministério da Educação Sistema Universidade Aberta do Brasil Ficha catalográfica elaborada pelo Setor de Processos Técnicos BICEN/UEPG. Pró-Reitoria de Assuntos Administrativos Ariangelo Hauer Dias - Pró-Reitor Pró-Reitoria de Graduação Graciete Tozetto Góes - Pró-Reitor Divisão de Educação a Distância e de Programas Especiais Maria Etelvina Madalozzo Ramos - Chefe Núcleo de Tecnologia e Educação Aberta e a Distância Leide Mara Schmidt - Coordenadora Geral Cleide Aparecida Faria Rodrigues - Coordenadora Pedagógica Sistema Universidade Aberta do Brasil Hermínia Regina Bugeste Marinho - Coordenadora Geral Cleide Aparecida Faria Rodrigues - Coordenadora Adjunta José Trobia - Coordenador de Curso Mary Ângela Teixeira Brandalise - Coordenadora de Tutoria Colaborador Financeiro Luiz Antonio Martins Wosiak Colaboradora de Planejamento Silviane Buss Tupich Projeto Gráfico Anselmo Rodrigues de Andrade Júnior Colaboradores em EAD Dênia Falcão de Bittencourt Jucimara Roesler Colaboradores de Informática Carlos Alberto Volpi Carmen Silvia Simão Carneiro Adilson de Oliveira Pimenta Júnior Juscelino Izidoro de Oliveira Júnior Osvaldo Reis Júnior Kin Henrique Kurek Thiago Luiz Dimbarre Thiago Nobuaki Sugahara Colaboradores de Publicação Luiz Renato Bittencourt - Revisão Luan Dione Rein - Diagramação Paulo Sérgio Schelesky - Ilustração Colaboradores Operacionais Edson Luis Marchinski Joanice Kuster de Azevedo João Márcio Duran Inglêz Kelly Regina Camargo Mariná Holzmann Ribas CRÉDITOS João Carlos Gomes Reitor Carlos Luciano Sant’ana Vargas Vice-Reitor V169f Valgas, Carmen Lúcia Fundamentos da matemática I./ Carmen Lúcia Valgas, Elisabete Ferreira Silva e José Trobia. Ponta Grossa : UEPG/ NUTEAD, 2009. 130p. il. Licenciatura em Matemática - Educação a Distância. 1. Trigonometria. 2. Ciclo trigonométrico. 3. Equaçőes trigonométricas. I. Silva, Elisabete Ferreira. II. Trobia, José. III. T. CDD : 516.24
  • 3.
    APRESENTAÇÃO INSTITUCIONAL Prezado estudante Inicialmentequeremos dar-lhe as boas-vindas à nossa instituição e ao curso que escolheu. Agora, você é um acadêmico da Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG), uma renomada instituição de ensino superior que tem mais de cinqüenta anos de história no Estado do Paraná, e participa de um amplo sistema de formação superior criado pelo Ministério da Educação (MEC) em 2005, denominado Universidade Aberta do Brasil (UAB). O Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB) não propõe a criação de uma nova instituição de ensino superior, mas sim, a articulação das instituições públicas já existentes, possibilitando levar ensino superior público de qualidade aos municípios brasileiros que não possuem cursos de formação superior ou cujos cursos ofertados não são suficientes para atender a todos os cidadãos. Sensível à necessidade de democratizar, com qualidade, os cursos superiores em nosso país, a Universidade Estadual de Ponta Grossa participou do Edital de Seleção UAB nº 01/2006-SEED/MEC/2006/2007 e foi contemplada para desenvolver seis cursos de graduação e quatro cursos de pós-graduação na modalidade a distância. Isso se tornou possível graças à parceria estabelecida entre o MEC, a CAPES e as universidades brasileiras, bem como porque a UEPG, ao longo de sua trajetória, vem acumulando uma rica tradição de ensino, pesquisa e extensão e se destacando também na educação a distância. A UEPG é credenciada pelo MEC, conforme Portaria nº 652, de 16 de março de 2004, para ministrar cursos superiores (de graduação, seqüenciais, extensão e pós- graduação lato sensu) na modalidade a distância. Os nossos programas e cursos de EaD, apresentam elevado padrão de qualidade e têm contribuído, efetivamente, para a democratização do saber universitário, destacando- se o trabalho que desenvolvemos na formação inicial e continuada de professores. Este curso não será diferente dos demais, pois a qualidade é um compromisso da Instituição em todas as suas iniciativas. Os cursos que ofertamos, no Sistema UAB, utilizam metodologias, materiais e mídias próprios da educação a distância que, além de facilitarem o aprendizado, permitirão constante interação entre alunos, tutores, professores e coordenação. Este curso foi elaborado pensando na formação de um professor competente, no seu saber, no seu saber fazer e no seu fazer saber. Também foram contemplados aspectos éticos e políticos essenciais à formação dos profissionais da educação. Esperamos que você aproveite todos os recursos que oferecemos para facilitar o seu processo de aprendizagem e que tenha muito sucesso na trajetória que ora inicia. Mas, lembre-se: você não está sozinho nessa jornada, pois fará parte de uma ampla rede colaborativa e poderá interagir conosco sempre que desejar, acessando nossa Plataforma Virtual de Aprendizagem (MOODLE) ou utilizando as demais mídias disponíveis para nossos alunos e professores. Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo, pois a sua aprendizagem é o nosso principal objetivo. EQUIPE DA UAB/UEPG
  • 5.
    SUMÁRIO PALAVRAS DOs PROFESSO■■Res 7 OBJETIVOS E ement■■ a 9 Trigonometria no triângulo 11 SEÇÃO■■ 1- Aspectos históricos da trigonometria 12 SEÇÃO 2-■■ Razões trigonométricas no triângulo retângulo 14 SEÇÃO 3-■■ Relações métricas num triângulo qualquer: leis do seno e cosseno 26 Ciclo Trigonométrico e Funções Trigonométricas 35 SEÇÃO■■ 1- Ciclo trigonométrico 36 SEÇÃO 2-■■ Funções trigonométricas 48 SEÇÃO 3-■■ Funções trigonométricas inversas 72 Identidades, Transformações e Equações Trigonométricas 83 SEÇÃO■■ 1- Identidades trigonométricas 84 SEÇÃO 2-■■ Transformações trigonométricas 89 SEÇÃO 3-■■ Equações trigonométricas 97 PALAVRAS FINAI■■ S 115 REFERÊNCIAS■■ 117 NOTAS SOBRE OS AUTO■■ RES 119 RESPOSTAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 121■■
  • 7.
    PALAVRAS DOs PROFESSOREs Prezado(a)aluno(a): Em primeiro lugar queremos cumprimentá-lo por estar iniciando mais uma disciplina do curso de Licenciatura em Matemática. Desenvolvemos este livro didático com o cuidado de que você possa avançar no conteúdo de forma gradativa, de modo que - partindo de conceitos mais simples - consiga atingir conceitos mais complexos. Nesta disciplina, vamos abordar um conteúdo de grande importância para a sua formação profissional: a trigonometria. A trigonometria ou método trigonométrico é uma maneira de determinar os elementos incógnitos do triângulo, quando a geometria elementar, sozinha, não é capaz. A própria palavra trigonometria – do grego: medir triângulos – deixa claro qual o seu principal objetivo: resolver triângulos. Durante os seus estudos, anote suas dúvidas e busque esclarecimentos com o professor tutor sempre que tiver necessidade. Sinta-se à vontade e bons estudos.
  • 9.
    OBJETIVOS E ementa ObjetivoGeral Possibilitar ao aluno a oportunidade de construir competências e habilidades■■ para investigar, observar, compreender, analisar e obter conclusões dos principais conceitos da trigonometria e suas aplicações. Ementa Trigonometria: razões trigonométricas no triângulo retângulo, relações■■ métricas num triângulo qualquer: leis do seno e cosseno, equações trigonométricas. Ciclo trigonométrico e as funções trigonométricas. Identidades trigonométricas. Funções trigonométricas inversas.
  • 11.
    FundamentosdaMatemáticaI 11 unidade 1 Trigonometria notriângulo OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Identificar as razões trigonométricas num triângulo retângulo.■■ Resolver problemas aplicando as razões trigonométricas no triângulo■■ retângulo. Aplicar as leis dos senos e dos cossenos na resolução de problemas.■■ ROTEIRO DE ESTUDOS SEÇÃO 1 - Aspectos históricos da trigonometria■■ SEÇÃO 2 - Razões trigonométricas no triângulo retângulo■■ SEÇÃO 3 - Relações métricas num triângulo qualquer: leis do seno e cosseno■■ UNIDADEI
  • 12.
    UniversidadeAbertadoBrasil 12 unidade 1 PARA INÍCIODE CONVERSA Prezado(a) acadêmico(a): Ao elaborarmos este material tivemos a preocupação de, inicialmente, dar a você a oportunidade de conhecer um pouco da história da trigonometria, a fim de facilitar o seu entendimento de alguns porquês de certos conteúdos e conceitos dentro da trigonometria. Em seguida, você estudará as razões trigonométricas num triângulo retângulo e as relações métricas num triângulo qualquer, tendo oportunidade de visualizar e resolver vários problemas práticos. É importante você ter em mente que a trigonometria tem uma linda história na evolução da Humanidade, tem como objetivo principal o estudo das relações entre lados e ângulos de um triângulo e constitui instrumento indispensável na resposta a necessidades da Astronomia e ainda da navegação, da cartografia e da topografia. Durante os seus estudos, nesta unidade, anote suas dúvidas, como de costume, e busque esclarecimentos com o professor tutor sempre que tiver necessidade. Desejamos que você aproveite bem seus estudos. seção 1 Aspectos históricos da trigonometria A trigonometria, como os outros ramos da matemática, não foi obra de um só homem ou nação. Teoremas sobre as razões entre lados de triângulos semelhantes tinham sido conhecidos e usados pelos antigos egípcios e babilônios. Dada a não existência, no período pré-helênico, do conceito de medida de ângulo, tal estudo seria melhor chamado “trilaterometria”, ou medida de polígonos de três lados “triláteros” do que “trigonometria”, a medida de partes de um triângulo. Apalavratrigonometriatemorigem,naGrécia,dapalavratrigonos(triângulo)+ metrûm (medida). Etimologicamente, trigonometria significa medida de triângulos. No entanto, o termo trigonometria apareceu pela primeira vez no livro “Thesaurus”, de Bartholomeu Pitiscus (1561–1613), publicado em 1613. Por vezes pensa-se que a origem da trigonometria está exclusivamente ligada à resolução de situações de medição de terrenos ou determinação de
  • 13.
    FundamentosdaMatemáticaI 13 unidade 1 medidas sobrea superfície da terra. No entanto, enquanto ramo do conhecimento científico, é impossível separar a Trigonometria da Astronomia. Daí que o seu desenvolvimento como ciência exata viesse a exigir medições e cálculos de grande precisão. É nesse contexto que o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (180–125 a.C.) foi considerado o fundador da trigonometria. Foi ele quem introduziu as medidas sexagesimais em Astronomia e elaborou a primeira tabela trigonométrica. Hiparco utilizou a trigonometria para fazer medições, prever eclipses, fazer calendários e na navegação. A Hiparco seguiram-se outros no estudo e desenvolvimento da trigonometria, como, por exemplo, Ptolomeu (100?–180? d.C.), que expôs em seu livro “O Almagesto” métodos usados na construção de tabelas trigonométricas, as quais durante catorze séculos serviram de orientação para os astrônomos. No século III, os indianos e os árabes deram nova dimensão à trigonometria, ao introduzirem a trigonometria esférica. O estabelecimento de certas relações que hoje chamamos fórmulas fundamentais da trigonometria deve-se aos matemáticos hindus, do século V ao século XII. Dentre eles destaca-se Aryabhata (século VI), um astrônomo indiano, tendo já nessa altura associado o seno de um ângulo central à medida da corda correspondente e elaborado também uma tábua de valores do seno. Matemáticos árabes, depois de traduzirem as obras deixadas pelos hindus, desenvolveram o estudo das razões trigonométricas em triângulos retângulos e estabeleceram, para qualquer triângulo, o chamado teorema ou lei dos senos. Atrigonometria começa a afirmar-se como ciência autônoma a partir do século XI, quando Al-Biurine reúne todas as demonstrações, quer de origem grega, quer de origem indiana, até então conhecidas e usadas em trigonometria. Deve-se ainda aos árabes a introdução dessa ciência na Europa Ocidental. Na Europa, a instituição da trigonometria como ciência autônoma em relação à Astronomia é iniciada através da tradução e publicação dos manuscritos clássicos, bem como da elaboração de uma introdução completa à trigonometria. No século XVI, François Viète (1540– 1603) estabeleceu várias relações trigonométricas, tendo-as associado às soluções de equações do 3º grau - é a ligação da trigonometria à Álgebra. Viète introduziu novos teoremas que permitiram relacionar lados e ângulos de triângulos não retângulos. Neper e Briggs usaram o cálculo logarítmico para estabelecerem novas fórmulas trigonométricas (século VII). No século XIX, a trigonometria atinge o seu ponto máximo, ficando ligada à análise através das séries.
  • 14.
    UniversidadeAbertadoBrasil 14 unidade 1 Caso vocêqueira ampliar e aprofundar detalhes sobre a História da Trigonometria, recomendamos a leitura de livros de História da Matemática, citados na referência. Você pode também fazer uma pesquisa na internet, em um site de busca, utilizando, por exemplo, as palavras-chaves “História da Trigonometria”. Com certeza encontrará varias sugestões de leituras interessantes. É um exercício que vale a pena fazer! Bom trabalho! seção 2 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Na seção anterior você fez um breve estudo da história da trigonometria. Nesta seção você estudará as razões trigonométricas num triângulo retângulo, as quais servirão de embasamento para o estudo das funções trigonométricas. 2.1 Triângulo Retângulo Você já estudou, no ensino fundamental, que em todo triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, e os outros dois são chamados de catetos. Na figura 1.1 abaixo, o triângulo ABC é retângulo e o ângulo  é reto (mede 90º), conforme você pode observar:Lembre-se: triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. Figura 1.1 - Triângulo retângulo
  • 15.
    FundamentosdaMatemáticaI 15 unidade 1 Lembre-se deque, além do triângulo retângulo, temos ainda o triângulo acutângulo, quando todos os seus ângulos são agudos (menores que 90º), e o triângulo obtusângulo, quando possui um ângulo obtuso (maior que 90º). Os nomes cateto e hipotenusa são usados apenas em triângulos retângulos. Para esses triângulos devemos recordar ainda o Teorema de Pitágoras: “Em todo triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”. De acordo com a nossa notação, pelo teorema de Pitágoras temos: 2 2 2 a b c= + Recomendamos que você visite o site http://www.mat.ufg.br/docentes/ jhcruz/ensino/Pitagoras.htm ou o site http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/ trigonom/trigon1/mod114.htm#trig02 para verificar como se demonstra o Teorema de Pitágoras. Você encontrará várias sugestões de demonstrações interessantes. É importante que você faça uma análise crítica das demonstrações apresentadas. É um excelente exercício, que vale a pena fazer! Bom trabalho!
  • 16.
    UniversidadeAbertadoBrasil 16 unidade 1 2.2 RazõesTrigonométricas no Triângulo Retângulo Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da trigonometria está associado à descoberta de constantes nas relações entre os lados de um triângulo retângulo. Você sabe responder o que são figuras semelhantes? Podemos afirmar que duas figuras são semelhantes se possuem lados correspondentes proporcionais e ângulos homólogos congruentes (ângulos correspondentes com a mesma medida). Por exemplo, na figura abaixo, os triângulos retângulos ABC, ADE e AFG são semelhantes entre si, pois têm dois ângulos congruentes. Tomando as medidas dos lados desses triângulos retângulos e considerando que o ângulo  mede α, podemos estabelecer as seguintes razões: 1) Razões entre os catetos opostos a  e as hipotenusas: 3 ; 5 BC AC = 6 3 10 5 DE AE = = ; 9 3 15 5 FG AG = = O número 5 3 assim obtido é chamado seno do ângulo agudo α. Assim: Num triângulo retângulo, a razão entre o cateto oposto a um ângulo α e a hipotenusa é uma constante chamada seno de α. Figura 1.2 - Triângulos semelhantes
  • 17.
    FundamentosdaMatemáticaI 17 unidade 1 Você sabiaque a palavra seno tem origem na palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta, portanto, não têm nada a ver com o conceito matemático. Trata-se de uma tradução errada que dura até os nossos dias. A palavra que deveria ser traduzida é jiba que significa um arco de caça ou de guerra. Na tradução do árabe para o latim as consoantes jb foram traduzidas para sinus e para a nossa língua seno. 2) Razões entre os catetos adjacentes a  e as hipotenusas: 4 8 4 12 4 ; ; 5 10 5 15 5 AB AD AF AC AE AG = = = = = O número 4 5 assim obtido é chamado cosseno do ângulo agudo α. Assim: Num triângulo retângulo, a razão entre o cateto adjacente a um ângulo α e a hipotenusa é uma constante chamada cosseno de α. 3) Razões entre os catetos opostos a  e os catetos adjacentes a Â: 3 6 3 9 3 ; ; 4 8 4 12 4 CB ED GF AB AD AF = = = = = O número 3 4 assim obtido é chamado tangente do ângulo agudo α. Assim: Num triângulo retângulo, a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um ângulo α é uma constante chamada tangente de α.
  • 18.
    UniversidadeAbertadoBrasil 18 unidade 1 Considerando asrazões que você estudou até aqui, representando simbolicamente, podemos resumir: sen α = cateto oposto a hipotenusa α cos α = cateto adjacente a hipotenusa α tg α = cateto oposto a cateto adjacente a α α Por serem razões entre os lados dos triângulos, os números seno, cosseno e tangente são denominados de razões trigonométricas. Dado o triângulo retângulo ABC de catetos b = 12 cm e c = 5 cm e hipotenusa a = 13 cm, temos para os ângulos agudos C e B que: Figura 1.3 - Triângulo retângulo 5 sen 13 c C a = = 12 sen 13 b B a = = 12 cos 13 b C a = = 5 cos 13 c B a = = 5 tg 12 c C b = = 12 tg 5 b B c = =
  • 19.
    FundamentosdaMatemáticaI 19 unidade 1 Se considerarmosum triângulo retângulo, conforme figura 1.4, de hipotenusa igual a 1 (uma) unidade de comprimento, podemos estabelecer os seguintes resultados: Figura 1.4 - Triângulo retângulo com hipotenusa unitária cos cos 1 sen sen 1 c c b b α = ⇒ α = α = ⇒ α = logo Figura 1.5 - Triângulo retângulo Então, podemos estabelecer, a partir do triângulo acima que: tg α = cateto oposto a cateto adjacente a α α sen cos α = α , ou seja, tg α sen cos α = α E nesse mesmo triângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos: sen2 α + cos2 α = 1 conhecida como a “Identidade Trigonométrica Fundamental”.
  • 20.
    UniversidadeAbertadoBrasil 20 unidade 1 2.3 Razõestrigonométricas de 30º, 45º e 60º Para obtermos os valores do seno, do cosseno e da tangente de 45º partimos de um quadrado de lado “x”, no qual traçamos uma das suas diagonais dividindo-o em dois triângulos retângulos isósceles. sen 45º = 1 2 2 x x = , que racionalizando obtemos: sen 45º = 2 2 cos 45º = 1 2 2 x x = , que racionalizando vem: cos 45º = 2 2 tg 45º = x x e simplificando obtemos: tg 45º = 1 Para obtermos os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º partimos de um triângulo eqüilátero no qual traçamos uma altura, obtendo um triângulo retângulo cujos ângulos medem 30º e 60º. Aplicando as razões trigonométricas para o ângulo de 45º, temos: Figura 1.6 - Quadrado de lado x Figura 1.7 - Triângulo equilátero
  • 21.
    FundamentosdaMatemáticaI 21 unidade 1 Paraencontrarmos a altura h do triângulo retângulo, aplicamos o teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 2 2 2 2 33 2 4 4 2 xx x x x h h x h h   = + ⇒ = − ⇒ = ⇒ =    Vamos aplicar as razões trigonométricas inicialmente para 30º. sen 30º = 2 x x = 1 . 2 x x , que simplificando vem: sen 30º = 1 2 cos 30º = 3 2 x x = 3 1 . 2 x x , que simplificando vem: cos 30º = 3 2 tg 30º = 2 3 2 x x = 2 . 2 3 x x , que simplificando vem: tg 30º = 3 3 Finalmente, apliquemos as razões trigonométricas para 60º. sen 60º = 3 2 x x = 3 1 . 2 x x , que simplificando vem: sen 60º = 3 2 cos 60º = 2 x x = 1 . 2 x x , que simplificando vem: cos 60º = 1 2 tg 60º = 3 2 2 x x = 3 2 . 2 x x , que simplificando vem: tg 60º = 3
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    UniversidadeAbertadoBrasil 22 unidade 1 Os valoresobtidos do seno, cosseno e tangente de 30º, 45º e 60º podem ser resumidos no quadro abaixo: ângulos razões 30º 45º 60º seno 1 2 2 2 3 2 cosseno 3 2 2 2 1 2 tangente 3 3 1 3 Observando o quadro anterior, perceba que o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do complemento desse ângulo e vice-versa, ou seja: sen θ = cos (90º – θ) cos θ = sen (90º – θ) A seguir, vamos resolver alguns exemplos aplicando as razões trigonométricas.
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    FundamentosdaMatemáticaI 23 unidade 1 1) Umapessoa está distante 80 m da base de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 16º em relação à horizontal. Qual a altura do prédio? Resolução: a partir dos dados do problema e chamando de h a altura do prédio, temos a seguinte figura: Figura 1.8 Na figura 1.8, a altura do prédio indicada por h e a distância conhecida de 80 m constituem os catetos do triângulo retângulo. Para relacionar esses catetos com o ângulo conhecido, vamos usar a razão trigonométrica tangente. Assim, temos: tg 16 80 o h = Usando a calculadora científica, disponível no sistema operacional do seu computador, obtemos o valor da tangente de 16º que é 0,29 (arredondado para duas casas decimais) e encontramos: 0,29 = 80 h ⇔ h = 0,29 . 80 ⇔ h = 23,2 m Logo, a altura do prédio é aproximadamente igual a 23,2 m. 2) Uma árvore, partida pelo vento, mantém seu tronco perpendicular ao solo, formando com ele um triângulo retângulo. Se a parte quebrada faz um ângulo de 60º com o solo e se o topo da árvore está agora distanciado 2,6 m da sua base, qual era a altura da árvore? Resolução: a partir dos dados do problema temos a figura 1.9: Figura 1.9
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    UniversidadeAbertadoBrasil 24 unidade 1 Trabalhando como ângulo conhecido e os lados indicados na figura 1.9, aplicando a razão trigonométrica seno, temos: 2,6 sen 60º x = e como 3 sen 60º 2 = então 3 2,6 2 x = ⇔ 2,6. 2 3 x = ⇔ 3x ≅ m Logo, a altura da árvore era 2,6 + 3 = 5,6 m 3) Um observador, situado num ponto A, enxerga uma montanha segundo um ângulo α. Caminhando 400 m em direção à montanha, ele passa a enxergá-la segundo um ângulo β. Desprezando a altura do observador, calcule a altura da montanha, sabendo que: tg α = 1 2 e tg β = 5 6 . Resolução: pelos dados do problema temos a seguinte figura: Podemos identificar na figura 1.10 dois triângulos retângulos distintos: ACD e BCD. Aplicando a razão trigonométrica tangente em cada um desses triângulos, temos: tg 400 h x α = + e tg h x β = Substituindo os valores de tg α = 1 2 e tg β = 5 6 e isolando h nas razões acima, teremos: 1 (400 ) 2 h x= + e 5 . 6 h x= Figura 1.10
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    FundamentosdaMatemáticaI 25 unidade 1 Por comparação: 15 (400 ) . 2 6 x x+ = 5 200 . 2 6 x x+ = ⇔ x = 600 m Como 5 . 6 h x= e x = 600 m então 5 . 600 500 6 h = = . Logo, a altura da montanha é de 500 m. 4) Três casas A, B e C estão posicionadas de tal forma que do telhado da casa B, vê-se a casa A exatamente na direção leste e a casa C exatamente na direção sul. A distância entre as casas A e B é 320 m e entre B e C é 460 m. Qual a distância entre as casas A e C? Resolução: Nesse problema não conhecemos nenhum dos ângulos do triângulo, por isso não é possível utilizar as razões trigonométricas. Usamos, então, o teorema de Pitágoras. Indicando a distância pedida por x, obtemos: x2 = 3202 + 4602 x2 = 102400 + 211600 x2 = 314000 ⇔ x ≅ 560 m A distância entre as casas A e C é 560 m. Figura 1.11 x
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    UniversidadeAbertadoBrasil 26 unidade 1 seção 3 Relaçõesmétricas num triângulo qualquer: leis dos senos e dos cossenos Na seção anterior você estudou as razões trigonométricas que são válidas apenas quando o triângulo é retângulo. Nesta seção você estudará relações envolvendo o seno e o cosseno que são válidas em quaisquer triângulos, retângulos ou não. 3.1 Lei dos cossenos Num triângulo qualquer ABC com lados a, b e c respectivamente opostos aos ângulos α, β e γ, vale a relação: 2 2 2 2 cosc a b ab= + − γ Essa igualdade, que é chamada lei dos cossenos, pode ser enunciada em palavras como segue: Figura 1.12 - Triângulo Escaleno Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado. A lei dos cossenos se aplica a qualquer dos lados do triângulo, isto é, podemos também escrever: 2 2 2 2 cosb a c ac= + − β 2 2 2 2 cosa b c bc= + − α
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    FundamentosdaMatemáticaI 27 unidade 1 Vamos demonstrara lei dos cossenos para o ângulo γ utilizando a figura 1.13. Nessa figura, utilizando a definição de cosseno no triângulo da esquerda, temos: cos γ = x a e portanto x = a cos γ. Nesse mesmo triângulo, utilizando o Teorema de Pitágoras, temos: a2 = x2 + H2 e portanto H2 = a2 - x2 . No triângulo retângulo da direita temos: c2 = H2 + (b - x)2 , que substituindo, temos: c2 = a2 - x2 + b2 – 2 a b cos γ + x2 2 2 2 2 cosc a b ab= + − γ , que é a lei dos cossenos para o ângulo γ. Figura 1.13
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    UniversidadeAbertadoBrasil 28 unidade 1 1) Doislados de um triângulo medem 6 cm e 9 cm e formam um ângulo de 60º. Calcule o outro lado. Resolução: Fazendo A = 60º, b = 6 cm e c = 9 cm e substituindo na lei dos cossenos temos: 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 6 9 2 6 9 cos 60o a = + − ⋅ ⋅ 2 1 36 81 108 2 a = + − ⋅ 2 63a = ⇔ 63a = cm 2) Determine a medida do cosseno do ângulo B do triângulo dado na figura 1.14. Resolução: Na figura 1.14 observamos que: a = 3, b = 4 e c = 2. Como queremos determinar o cosseno do ângulo B, vamos aplicar a lei dos cossenos relativa ao lado b: 2 2 2 2 cosb a c a c B= + − Substituindo os valores, temos: 42 = 32 + 22 – 2 . 3 . 2 . cos B 16 9 4 12 cos B= + − 12.cos B = 13 – 16 ⇔ 1 cos 4 B = − Figura 1.14 Talvez você tenha estranhado e quem sabe até não entendeu o valor negativo para o cosseno do ângulo, mas isso ocorre porque o ângulo é obtuso, ou seja, maior que 90º. Não se preocupe, pois na próxima unidade você estudará as funções trigonométricas, quando esse assunto será tratado com maiores detalhes.
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    FundamentosdaMatemáticaI 29 unidade 1 Outra importanterelação entre os comprimentos dos lados e os ângulos de um triângulo qualquer é a lei dos senos, cuja demonstração ficará como exercício para você. 3.2 Lei dos senos Para um triângulo ABC qualquer, da figura 1.15, de lados a, b e c respectivamente opostos aos ângulos α, β e γ, vale a relação: sen sen sen a b c = = α β γ A lei dos senos pode ser enunciada em palavras como segue: Figura 1.15 - Triângulo escaleno Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 30 unidade 1 1) Calculeo lado b de um triângulo ABC no qual a = 5 cm, A = 30º e B = 45º. Resolução: Aplicando a lei dos senos na figura 1.16, temos: sen sen a b A B = 5 sen 30 sen 45o o b = 5 1 2 2 2 b = 1 2 5 2 2 b⋅ = ⋅ ⇔ 5 2b = cm 2) Num triângulo ABC são dados A = 40º, B = 35º e AB = 10 cm. Calcule o ângulo C e os lados AC e BC . Dados: sen 40º = 0,643, sen 35º = 0,574 e sen 105º = 0,966. Resolução: Inicialmente vamos calcular a medida do ângulo C . Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, então A + B + C = 180º. Substituindo os valores dados: 40º + 35º + C = 180º ⇔ C = 105º Figura 1.16
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    FundamentosdaMatemáticaI 31 unidade 1 Nafigura abaixo estão indicados os dados do problema: Cálculo do lado AC = b Pela lei dos senos, temos: sen sen b c B C = 10 sen 35 sen 105o o b = 10 0,574 0,966 b = 0,966. 10.0,574b = ⇔ 5,942b = cm Cálculo do lado BC = a Pela lei dos senos, temos: sen sen a c A C = 10 sen 40 sen105o o a = 10 0,643 0,966 a = 0,966. 10.0,643a = ⇔ 6,656a = cm Portanto, AC = 5,942 cm e BC = 6,656 cm. Figura 1.17
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    UniversidadeAbertadoBrasil 32 unidade 1 Nesta unidadevocê estudou a trigonometria no triângulo e pôde perceber que a principal aplicação das razões trigonométricas está na resolução de problemas (situações práticas) que recaem em triângulos retângulos nos quais são conhecidos os ângulos e um dos lados. Pela aplicação do seno, cosseno ou tangente de um dos ângulos, podemos determinar os demais lados do triângulo. Para um triângulo qualquer, você conheceu as leis do seno e do cosseno, que também são utilizadas na resolução de problemas práticos. Ao finalizar esta unidade, você com certeza conseguirá visualizar situações práticas que podem ser resolvidas com os conteúdos abordados. Na próxima unidade você estudará o ciclo trigonométrico e as funções trigonométricas. Mas só prossiga depois de realizar as atividades e esclarecer suas dúvidas com o professor tutor. 1) Uma escada de bombeiro pode ser estendida até um comprimento máximo de 25 m, formando um ângulo de 70º com a base, que está apoiada sobre um caminhão, a 2 m do solo. a) Qual á a altura máxima que a escada atinge? b) Qual a distância do pé da escada até a parede? 2) Um observador vê um prédio mediante um ângulo visual α. Afastando- se do prédio a uma distância de 2 m, o observador vê o prédio mediante um ângulo visual β. Dados α = 45º e tg β = 5/6, determine a altura do prédio. ATIVIDADES DA SEÇÃO 2
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    FundamentosdaMatemáticaI 33 unidade 1 ATIVIDADES DASEÇÃO 3 1) Num triângulo ABC, calcule: a) a, dados b = 8,  = 60o e ˆB = 45o b) a e b, dados  = 105o , C = 45o e c = 10 c) o ângulo C , dados b = 2 , c = 2 e o ângulo ˆB = 30o 2) Um observador está em A e necessita calcular sua distância até o ponto B, mas este ponto é inacessível a ele. No entanto, ele conta com os dados mostrados na figura 1.18: Figura 1.18 Calcule a distância AB. 3) Qual a medida do maior ângulo de um triângulo cujos lados medem 3 cm, 5 cm e 7 cm?
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    UniversidadeAbertadoBrasil 34 unidade 1 4) Demonstrea lei dos senos, enunciada na seção 3, item 3.2. Para aprofundar os seus estudos, analisar mais exemplos resolvidos e resolver outros exercícios, você deve ir até a biblioteca do polo de seu município e consultar o livro de Fundamentos de Matemática Elementar, Volume 3, Trigonometria, de Gelson Iezzi.
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    FundamentosdaMatemáticaI 35 unidade 2 Funções Trigonométricas OBJETIVOSDE APRENDIZAGEM Estabelecer relações entre as unidades de medidas de ângulos.■■ Calcular a menor determinação positiva de um arco.■■ Definir e analisar as funções trigonométricas.■■ Reduzir arcos ao primeiro quadrante.■■ Determinar o valor de funções trigonométricas inversas.■■ ROTEIRO DE ESTUDOS SEÇÃO 1 -■■ Ciclo trigonométrico SEÇÃO 2 -■■ Funções trigonométricas SEÇÃO 3 -■■ Funções trigonométricas inversas UNIDADEII
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    UniversidadeAbertadoBrasil 36 unidade 2 PARA INÍCIODE CONVERSA Prezado(a) acadêmico(a): Na unidade anterior você estudou a trigonometria do triângulo retângulo e as relações métricas num triângulo qualquer: leis do cosseno e do seno. Acreditamos que você tenha estudado muito e resolvido todas as atividades propostas. Nesta unidade, vamos retomar as razões trigonométricas estudadas no triângulo retângulo e rediscutir esses conceitos no ciclo trigonométrico. É importante que você visualize a relação entre essas duas abordagens para entender as funções trigonométricas. Em seguida, você estudará as funções trigonométricas inversas. Durante os seus estudos, nesta unidade, anote suas dúvidas, como de costume, e busque esclarecimentos com o professor tutor sempre que tiver necessidade. Desejamos que você aproveite bem seus estudos. Nesta seção você vai estudar o que é o ciclo trigonométrico, as duas unidades mais importantes para medir arcos de circunferências ou ângulos, a redução de um ângulo qualquer ao primeiro quadrante e também algumas aplicações práticas desta teoria. 1.1 Arcos e ângulos Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, você pode perceber na figura 2.1 e na figura 2.2 que esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessas partes, que incluem A e B, é denominada de arco de circunferência. seção 1 Ciclo trigonométrico Figuras 2.1 e 2.2 - Arco de circunferência
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    FundamentosdaMatemáticaI 37 unidade 2 Assim, nosentido anti-horário temos o arco AB e no sentido horário temos o arco BA, sendo que os pontos A e B são chamados extremidades dos arcos. Se os pontos A e B coincidem, eles determinam os seguintes arcos: o arco AB , denominado arco de uma volta, que é a própria circunferência; e o arco BA, denominado arco nulo, que corresponde a um ponto da circunferência. Figura 2.3 Consideremos agora uma circunferência de centro O e os pontos A e B pertencentes a ela. Figura 2.4 Unindo os pontos A e B ao centro da circunferência, obtemos o ângulo central AO B . Você lembra o que é um ângulo central? Em rápidas palavras, podemos dizer que ângulo central é todo ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. Neste caso, o arco AB subentende o ângulo central AO B , sendo que a medida desse ângulo AO B é igual à medida do arco AB . É importante observar que dois arcos com a mesma medida podem apresentar comprimentos diferentes. Considere o desenho abaixo. Sejam as circunferências de mesmo centro O e dois ângulos centrais: AO B e CO D . Figura 2.5
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    UniversidadeAbertadoBrasil 38 unidade 2 O arcoAB subentende o ângulo central AO B , e o arco CD subentende o ângulo central CO D . Medida ( AO B ) = medida ( AB ) = medida ( CD ) = medida ( CO D ) O comprimento do arco CD é maior que o comprimento do arco AB . Uma vez que a medida de um arco é diferente do seu comprimento, como medir esse arco? E como calcular o seu comprimento? Para respondermos a essas perguntas torna-se necessário estudarmos as unidades de medidas. 1.2 Unidades de medidas A unidade mais comum para medir ângulo é o grau; entretanto, a unidade padrão é o radiano. Mas o que é o grau? Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual a 1 360 da circunferência que contém o arco. Então, uma circunferência ou arco de uma volta mede 360º. Na figura 2.5, os arcos AB e CD possuem a mesma medida α, mas não possuem o mesmo comprimento. Assim, você pode perceber que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco. Na mesma figura 2.5, ainda, é possível observar que cada arco determina um ângulo e cada ângulo determina um arco. Por isso, as unidades utilizadas para medir arcos são as mesmas utilizadas para medir ângulos. Essas observações podem ser resumidas no quadro abaixo:
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    FundamentosdaMatemáticaI 39 unidade 2 Figura 2.6– Ângulo de 1º Existem duas importantes subunidades para o grau: o minuto e o segundo. Não se sabe bem quando se deu o início na matemática do uso do círculo de 360º, mas parece dever-se em grande parte a Hiparco, através de sua tabela de cordas. É possível que ele a tenha tomado de Hipsicles, que anteriormente tinha dividido o ano em 360 partes. Ptolomeu utilizou a base sexagesimal, o mesmo que fez Hiparco. Além disso, Ptolomeu subdividiu seus graus em sessenta partae minutae primae, que significa as primeiras menores partes, cada uma das quais era dividida em sessenta partae minutae secundae, que significa as segundas menores partes. Daí a origem dos termos minutos e segundos para as subdivisões do grau que utilizamos hoje. Atualmente o minuto corresponde a 1 60 do grau e o segundo corresponde a 1 60 do minuto. Essas grandezas são assim representadas: o grau por (º), o minuto por (’) e o segundo por (’’). Ou ainda: a) Minuto (de arco): 1º = 60’ b) Segundo (de arco): 1’ = 60” A partir desses conhecimentos é possível representar um arco de 27,43º, por exemplo, em graus e seus submúltiplos, da seguinte maneira: A parte inteira é de 27º e a parte decimal de 0,43º é representada em minutos e segundos mediante uma regra de três simples.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 40 unidade 2 graus minutos 160 0,43 x Ou seja: 1.x = 0,43 . 60 x = 25,8 Aparte inteira é de 25’e a parte decimal é representada em segundos novamente mediante uma regra de três simples. minutos segundos 1 60 0,8 x Ou seja: 1.x = 0,8 . 60 x = 48 Portanto, 27,43º = 27º 25’ 48’’. Agora que você já sabe que é grau, vamos aprender o que é radiano. Um radiano (representado por rad) é definido como a medida do ângulo central que subentende um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. Isso significa que, se pudéssemos “desentortar” o arco e medir o comprimento, obteríamos como resultado o raio da circunferência. Sabemos que o comprimento da circunferência de raio “r” é 2πr, onde π é aproximadamente igual a 3,141592... Isso significa que “desentortando” a circunferência, obtemos um segmento de medida 2π vezes o raio. Como a cada raio corresponde 1 rad, concluímos que a circunferência possui um arco de 2π rad. Figura 2.7
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    FundamentosdaMatemáticaI 41 unidade 2 Figura 2.8- Comprimento da circunferência Agora as perguntas já formuladas - Uma vez que a medida de um arco é diferente do seu comprimento, como medir esse arco? E como calcular o seu comprimento? - podem ser respondidas. A medida do arco pode ser feita através de um instrumento apropriado denominado transferidor, o qual fornece a medida do arco em graus. O comprimento de um arco  pode ser obtido medindo-se o comprimento do arco retificado (arco retificado é o arco transformado em um segmento de reta). Figura 2.9 Entretanto, nem sempre é possível realizar esse procedimento. Podemos então determinar o comprimento do arco  , conhecendo o ângulo central α correspondente. Figura 2.10
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    UniversidadeAbertadoBrasil 42 unidade 2 Sabemos queuma circunferência tem comprimento igual a 2πr, ao mesmo tempo que apresenta um ângulo de 2π rad. Portanto, um arco de ângulo α terá um comprimento  , obtido mediante uma regra de três simples: 2 2r rad rad π → π → α ⇔ 2 2 r rad rad π ⋅ α = π  ⇔ r= ⋅ α Por outro lado, conhecendo o comprimento do arco, podemos determinar a medida do ângulo central correspondente do seguinte modo: 2 2r rad rad π → π → α ⇔ 2 2 r π⋅ α = π  ⇔ rad r α =  Uma vez que você sabe determinar o valor de α, é possível estabelecer as seguintes relações. Como a circunferência tem comprimento 2C r= π , o ângulo central de 360º pode ser expresso por: 2 2 rC r r π θ = = = π radianos, temos: 2π rad = 360º π rad = 180º 1 rad = 180º p ≅ 57,296º ≅ 57º 17’ 45’’ Da mesma forma: 360º = 2π rad 1º = 2 360 π rad = 180 π rad 1º ≅ 0,0175 rad π
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    FundamentosdaMatemáticaI 43 unidade 2 Relação entreas unidades:• Tabela 2.1 1) Converta 15º para radianos. Utilizando uma regra de três simples, vem: graus radianos 180 π 15 x Assim, 180 x = 15 π → x = 15 180 π , que simplificando, obtemos: x = 12 π rad 2) Converta 27 4 π rad para graus. Utilizando uma regra de três simples, vem: radianos graus π 180 27 4 π x Logo, π x = 27 4 π . 180, de onde simplificando, obtemos: x = 1215º.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 44 unidade 2 1.3 Ciclotrigonométrico ou circunferência trigonométrica Podemos definir, de forma simples, que o ciclo trigonométrico é toda circunferência de raio unitário, centro na origem do sistema cartesiano, sendo orientada com um sentido positivo no sentido anti-horário e com sentido negativo no sentido horário. Figura 2.11 - Ciclo trigonométrico O ponto A de coordenadas (1,0) da circunferência é chamado de origem dos arcos trigonométricos. A circunferência possui 360° ou 2π rad ≅ 6,28 rad, se tomarmos π ≅ 3,14. A circunferência é dividida em quatro partes iguais chamadas de 1º quadrante, 2º quadrante, 3º quadrante e 4º quadrante, com as seguintes variações em graus e radianos: Figura 2.12 - Ciclo trigonométrico e seus quadrantes
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    FundamentosdaMatemáticaI 45 unidade 2 1.4 Arcoscôngruos ou congruentes Seja a circunferência trigonométrica abaixo na qual está representado um arco de 50º, cuja origem está na origem dos arcos, ou seja, A e cuja extremidade é B. Figura 2.13 - Ciclo trigonométrico com arco AB Observe os arcos de medidas: 410º = 50º + 1 . 360º, 770º = 50º + 2 . 360º, 1130º = 50º + 3 . 360º,     βº = 50º + k . 360º Esses arcos diferenciam-se entre si apenas pelos números 1, 2, 3,..., k que, neste caso, representam o número de voltas completas que cada um tem. Ao mesmo tempo, observe que todos eles têm a mesma origem, ou seja,Ae a mesma extremidade B, correspondente a 50º, que é chamada de menor determinação positiva do arco ou primeira determinação positiva do arco. Os arcos que apresentam essa característica são chamados de arcos côngruos. Assim, podemos definir que Dois arcos são côngruos ou congruentes quando têm a mesma extremidade e se diferem apenas pelo número de voltas inteiras.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 46 unidade 2 Os arcoscôngruos são representados de uma forma generalizada em graus e também em radianos. Se um arco mede• α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por αo + k . 360o , onde k ∈ Z. Se um arco mede• α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por α + 2kπ, onde k ∈ Z. 1) Um atleta corre, durante certo tempo, numa pista circular, percorrendo um arco de 2620º. Quantas voltas completas ele deu e qual é o menor arco que tem a mesma extremidade que 2620º? Resolução: Para resolver esse problema, inicialmente devemos realizar a seguinte divisão: 2620 360 100 7 Então, temos: 2620º = 100º + 7 . 360º. Portanto, temos como resposta: 7 é o número de voltas completas percorridas pelo atleta. 100º é o menor arco (ou menor determinação positiva) que tem a mesma extremidade que 2620º. 2) Um móvel desloca-se segundo uma trajetória circular, percorrendo um arco de 32 5 π rad. Quantas voltas completas percorreu e em que quadrante parou? Resolução: Efetuando a divisão, temos: 32 5 2 6 π π π
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    FundamentosdaMatemáticaI 47 unidade 2 Ou seja: 322 6 5 5 π π = + π Ou ainda: 32 2 3. 2 5 5 π π = + π Portanto: 3 é o número de voltas completas. 2 5 rad π = 72º corresponde a um arco do primeiro quadrante (a menor determinação positiva). 3) Determine o quadrante em que está a extremidade de um arco de –1905º. Resolução: efetuando a divisão: 1905 360 105 5 Então, temos: 1905º = 105º + 5 . 360º – 1905º = –105º + 5 . (–360º) Como 360º – 105º = 255º e 255º está no 3º quadrante, temos que o arco de –1905º tem sua extremidade no 3º quadrante. 4) Calcular a 1ª determinação positiva e escrever a expressão geral dos arcos côngruos a 169 12 π − rad Resolução: 169 12 14 π π π Então, temos: 169 14 12 12 π π − = − − π Ou ainda: 169 7.( 2 ) 12 12 π π − = − + − π Portanto: A primeira determinação positiva é 23 2 12 12 π π π − = rad. A expressão geral é: α = 23 12 π + 2kπ, onde k ∈ Z.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 48 unidade 2 seção 2 Funçõestrigonométricas Nesta seção você vai estudar as funções trigonométricas. Essas funções são importantes por modelarem problemas físicos para diversas áreas, entre as quais podemos citar a Engenharia, a Química e a Matemática. Mas você sabe, primeiramente, o que é uma função? Antes de iniciar o estudo das funções trigonométricas, vamos fazer um estudo rápido sobre funções, uma vez que elas serão estudadas com mais profundidade e detalhes em Fundamentos da Matemática II e também em Cálculo Diferencial e Integral I. As funções aparecem com freqüência em situações em que o valor de uma variável depende do valor de uma outra variável. Por exemplo: a área de um círculo depende da medida do seu raio;• a procura por uma marca de arroz pode depender do seu preço;• a poluição de um rio depende dos moradores da região por onde o rio• passa.
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    FundamentosdaMatemáticaI 49 unidade 2 Em várias situaçõesreais, o valor de uma variável pode depender do valor de duas ou mais variáveis, como, por exemplo, o volume de um prisma de base quadrangular depende da medida do lado da base e da altura. Nesses casos definem-se as funções de várias variáveis, que serão objeto de estudo do Cálculo Diferencial e Integral III. Para modelar essas situações, utilizamos geralmente funções da forma y = f(x), onde x é a variável independente e y a variável dependente. 2.1 Definição de função Sejam A e B subconjuntos não vazios dos números reais. Uma função f : A → B é uma lei que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Você deve ter percebido que para definir funções precisamos de dois conjuntos e uma lei ou regra de correspondência ou associação entre esses conjuntos. O primeiro conjunto é chamado de domínio da função e o segundo conjunto é o contradomínio. O conjunto imagem de uma função é um subconjunto de B, formado pelos valores de B que correspondem aos valores de A. Por exemplo, dada a função f: A → B, onde f(x) = 2x e os conjuntos A={1,2} e B={2,4,6}. Como f(1) = 2 e f(2) = 4 então representando no diagrama, temos: onde f(x) = 2x é a lei de associação ou correspondência, A = {1,2} é o domínio da função, B={2,4,6} o contradomínio e o conjunto formado pelos elementos 2 e 4 é a imagem da função dada, ou seja, {2,4}. Antes de estudarmos as funções trigonométricas, vamos retomar as razões trigonométricas, mas agora utilizando o ciclo trigonométrico. 2.2 Razões trigonométricas no ciclo trigonométrico Premido por suas necessidades, o homem cria suas ferramentas e, quando estas se mostram eficientes, o próprio uso delas gera o seu aperfeiçoamento. Assim também acontece com as ferramentas matemáticas. A trigonometria foi criada para resolver um determinado problema e hoje encontra muitas outras aplicações. Para que isso fosse possível, as suas idéias iniciais foram obrigadas a evoluir. Na seção 2 da Unidade I, você já estudou as razões trigonométricas definidas num triângulo retângulo: sen x, cos x e tg x, onde x representa a medida de um ângulo agudo, Figura 2.14 – Diagrama de Venn
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    UniversidadeAbertadoBrasil 50 unidade 2 ou seja,0º x 90º. Mas será possível ampliar essas noções para o caso em que x representa a medida de um ângulo maior que 90º? A resposta a essa pergunta é afirmativa; antes, porém, convém definir e discutir alguns conceitos utilizando o ciclo trigonométrico. No plano cartesiano, considere uma circunferência de centro (0,0) e raio um. Sejam P um ponto de coordenadas (x,y) do 1º quadrante, “t” a reta tangente a circunferência no ponto A de coordenadas (1,0), Q a projeção sobre o eixo x do ponto P. Considere o arco AP do ciclo trigonométrico com extremidade P e o ângulo central A O P de medida α. No triângulo retângulo OQP da figura 2.15, considerando o ângulo agudo α e lembrando que 1OP = , teremos: sen α = medida do cateto oposto medida da hipotenusa 1 PQ PQ PQ OP = = = = y que corresponde à ordenada do ponto P. Ou seja, chamamos de seno do arco α a ordenada desse ponto P. No triângulo retângulo OQP da figura 2.15, considerando o ângulo agudo α e lembrando que 1OP = , teremos: cos α = medida do cateto adjacente medida da hipotenusa 1 OQ OQ OQ OP = = = = x que corresponde à abscissa do ponto P, ou seja, chamamos de cosseno do arco α a abscissa desse ponto P. Figura 2.15 - Ciclo trigonométrico e a reta tangente
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    FundamentosdaMatemáticaI 51 unidade 2 Notriângulo retângulo OQP da figura 2.15, considerando o ângulo agudo α, teremos: tg α = medida do cateto oposto sen medida do cateto adjacente cos PQ y xOQ α = = = α ou ainda, no triângulo retângulo OAT da figura 2.15, considerando o ângulo agudo α e lembrando que 1OA = , teremos: tg α = medida do cateto oposto medida do cateto adjacente 1 AT AT AT OA = = = que corresponde à ordenada do ponto T, ou seja, chamamos de tangente do arco α a ordenada desse ponto T. As ampliações das noções de seno, cosseno e tangente de um ângulo devem ser feitas mantendo-se estas idéias. Figura 2.16 Figura 2.17 Com o ponto P localizado no 2º Q Com o ponto P localizado no 3º Q
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    UniversidadeAbertadoBrasil 52 unidade 2 Figura 2.18 Como ponto P localizado no 4º Q Observando essas figuras e lembrando que, no ciclo trigonométrico, o valor do seno é representado pela medida da ordenada do ponto P e o valor do cosseno é representado pela medida da abscissa do ponto P, podemos estabelecer os sinais do seno e do cosseno nos quatro quadrantes, conforme segue: Figura 2.19 - Sinais do seno e cosseno Como a tangente é definida como a razão entre o seno e o cosseno, então ela é positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes. O quadro abaixo resume os valores do seno, cosseno e tangente para alguns arcos notáveis. α 0° 90° 180º 270° 360° sen α 0 1 0 -1 0 cos α 1 0 -1 0 1 tg α 0 ∃/ 0 ∃/ 0 Você pode observar também pela figura 2.20: Figura 2.20 - Seno e cosseno de arcos simétricos
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    FundamentosdaMatemáticaI 53 unidade 2 sen α= − sen (− α) cos α = cos (− α) 2.3 Redução ao 1º quadrante O estudo da redução ao 1º quadrante é fundamental, uma vez que conhecendo o seno, o cosseno e a tangente, para valores entre 0º e 90º, todos os arcos do segundo, terceiro ou quarto quadrantes podem ser determinados. 2.3.1 Redução do 2º quadrante ao 1º É uma forma de determinar seno, cosseno e tangente de ângulos do 2º quadrante, relacionando-os com ângulos do 1° quadrante. Figura 2.21 - Redução do 2º ao 1º quadrante Como exemplo, vamos determinar o cosseno do ângulo de 135º que tem extremidade no 2º quadrante. Como θ = 135°∈ 2º Q então x = 180° − θ, isto é, x = 180° − 135° e, portanto x = 45°. Logo como 135° ∈ 2º Q e o cosseno no 2º quadrante é negativo, temos que: cos 135°= − cos 45° = 2 2 −
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    UniversidadeAbertadoBrasil 54 unidade 2 2.3.2 Reduçãodo 3º quadrante ao 1º Considere um ângulo θ, tal que 180° θ 270°, P a imagem de θ no ciclo trigonométrico e P’ o simétrico de P em relação ao centro do ciclo. Figura 2.22 - Redução do 3º ao 1º quadrante Como exemplo, apresentamos um ângulo de 240º que tem extremidade no 3º quadrante. Para você determinar o valor do seno 240º, deve proceder da seguinte forma: Como θ = 240°∈ 3º Q então x = θ − 180°, isto é, x = 240° − 180° e, portanto, x = 60°. Logo, como 240° ∈ 3º Q e o seno no 3º quadrante é negativo, temos que: sen 240°= − sen 60° = 3 2 −
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    FundamentosdaMatemáticaI 55 unidade 2 2.3.3 Reduçãodo 4º quadrante para o 1º Considere um ângulo θ, tal que 270° θ 360°, P a imagem de θ no ciclo trigonométrico e P’ o simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos. Figura 2.23 - Redução do 4º ao 1º quadrante Como exemplo, determine sen 300º e cos 300º. Como θ = 300° ∈ 4º Q, x = 360º – 300º = 60º e o seno no 4º quadrante é negativo, temos que: sen 300° = − sen 60° = 3 2 − . E como o cosseno no 4º quadrante é positivo, temos que: cos 300° = cos 60° = 1 2 . 2.4 Funções trigonométricas Considerando o ciclo trigonométrico e o conjunto dos números reais, podemos associar para cada x∈ R um ponto P do ciclo. Esse ponto é a extremidade do arco AP e x é a medida desse arco em radianos. Essa associação nos permite definir algumas funções reais no ciclo trigonométrico, denominadas funções trigonométricas. As funções seno e cosseno são definidas a partir do ciclo trigonométrico e as demais em função dessas duas. As funções trigonométricas têm como característica o fato de serem periódicas.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 56 unidade 2 Você sabeo que é uma função periódica? Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, podemos exemplificar com os dias da semana, que de 7 em 7 dias se repetem. Chamamos esse fato de periódico, e o período é 7. Assim, formalmente, uma função f(x) é chamada de periódica se existe uma constante real p ≠ 0 tal que f(x) = f(x+p) para todo x no domínio de f. 2.4.1 Função seno Considere x um número real, que representa a medida em radianos do ângulo central, desenhado no ciclo trigonométrico da figura 2.24 abaixo. Chama-se função seno a toda função de R em R que, para todo arco de medida x, associa a ordenada y do ponto P e indica-se por f(x) = sen x. Figura 2.24 - Ciclo trigonométrico e o ponto P
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    FundamentosdaMatemáticaI 57 unidade 2 Utilizando osdados da tabela abaixo, a representação gráfica da função seno é dada pela figura 2.25: x sen x 0 0 π/6 0,5 π/3 0,866 π/2 1 2π/3 0,866 5π/6 0,5 π 0 7π/6 -0,5 4π/3 -0,866 3π/2 -1 5π/3 -0,866 11π/6 -0,5 2π 0 Figura 2.25 - Gráfico da função seno – senóide Observando o gráfico da figura 2.25, podemos concluir que: I- Como é possível determinar o sen x, para todo arco de medida x ∈ R, então o domínio da função seno é o conjunto dos números reais. II- Como o raio do ciclo trigonométrico é 1, então a imagem da função seno é o intervalo fechado [−1,1], isto é, −1 ≤ sen x ≤ 1. III- A função seno é periódica de período 2π, pois sen (x+2π) = sen x. IV- A função seno tem intervalos de crescimento e decrescimento.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 58 unidade 2 ATIVIDADE COMPUTACIONAL Na internet procure o aplicativo livre Graphmat, salve em seu computador e desenvolva as atividades computacionais a seguir. Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.25. Faça o gráfico da função y = sen x (função mãe) e a partir dele analise as situações a seguir: a) y = a⋅sen x, onde “a” é um número real; b) y = b + a⋅sen x, mantendo “a” constante e variando “b”; c) y = sen (x + a), onde “a” é um número real; d) y = sen (ax), onde “a” é um número real; e) y = c + d⋅sen (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais. 2.4.2 Função cosseno Considere x um número real, que representa a medida em radianos do ângulo central, desenhado no ciclo trigonométrico da figura 2.24. Chama-se função cosseno toda função de R em R que, para todo arco de medida x, associa a abscissa x do ponto P e indica-se por ( ) cosf x x= . Utilizando os dados da tabela abaixo, a representação gráfica da função cosseno é dada pela figura 2.26. x cos x 0 1 π/6 0,866 π/3 0,5 π/2 0 2π/3 -0,5 5π/6 -0,866 π -1 7π/6 -0,866 4π/3 -0,5 3π/2 -1 5π/3 0,5 11π/6 0,866 2π 1 Figura 2.26 - Gráfico da função cosseno – cossenóide
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    FundamentosdaMatemáticaI 59 unidade 2 Observando ográfico da figura 2.26, podemos concluir que: I- Como para todo arco de medida x ∈ R é possível determinar o cos x, então o domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais. II- Como o raio do ciclo trigonométrico é 1, então a imagem da função cosseno é o intervalo fechado [−1,1], isto é − 1 ≤ cos x ≤ 1. III- A função cosseno é periódica de período 2π, pois cos (x+2π) = cos x. IV- A função cosseno tem intervalos de crescimento e decrescimento. Uma importante característica da função seno e da função cosseno está relacionada com a paridade. Para todos os números reais vale, conforme você já estudou: Figura 2.27 - Simetrias do seno e cosseno sen α = − sen (− α) e cos α = cos (− α) Lembre-se de que uma função f(x) é par se, para todo x no seu domínio, tivermos f(x) = f(−x). Uma função é ímpar se, para todo x no seu domínio, tivermos f(x) = − f(−x). De acordo com essas igualdades, podemos afirmar que a função seno é uma função ímpar, e a função cosseno é uma função par.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 60 unidade 2 ATIVIDADE COMPUTACIONAL No aplicativo Graphmat, desenvolva as atividades computacionais a seguir. Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.26. Faça o gráfico da função y = cos x (função mãe) e, a partir dele, analise as situações a seguir: a) y = a⋅cos x, onde “a” é um número real; b) y = b + a⋅cos x, mantendo “a” constante e variando “b”; c) y = cos (x + a), onde “a” é um número real; d) y = cos (ax), onde “a” é um número real; e) y = c + d⋅cos (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais. 2.4.3 Função tangente É toda função de {x ∈ R | x ≠ 2 k π + π , k ∈ Z} em R, que, para todo arco AP de medida x, associa a ordenada do ponto T, obtido pela interseção do prolongamento do raio OP com o eixo t das tangentes. Temos assim que f(x) = tg x. Figura 2.28 - Ciclo trigonométrico e a reta tangente
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    FundamentosdaMatemáticaI 61 unidade 2 Como vocêjá estudou, temos também que tg x = sen ; cos x x cos x ≠ 0, ou seja, 2 x k p p≠ + e k∈Z. O gráfico da função tangente tem a seguinte forma: Figura 2.29 - Gráfico da função tangente Analisando o gráfico da figura 2.29, você pode observar que, quando o x se aproxima de 2 π , pela esquerda o valor da tangente cresce até infinito e quando x tende a 2 π pela direita o valor da tangente decresce até infinito, sendo que para x = 2 π a tangente não está definida, isto é, não existe. Observando o gráfico da figura 2.29, podemos concluir que: I- Como para todos os valores de x = 2 k π + π , com k ∈ Z a tangente não está definida, então o domínio da função tangente é o conjunto {x ∈ R | 2 x k π ≠ + π, k Z∈ }. II- A imagem da função tangente é o conjunto dos números reais. III- A função tangente é periódica de período π, pois tg (x + π) = tg x. IV- A função tangente é sempre crescente. V- A função tangente é uma função ímpar, pois se trata de uma razão entre uma função par e uma função ímpar. π π
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    UniversidadeAbertadoBrasil 62 unidade 2 ATIVIDADE COMPUTACIONAL No Graphmat, desenvolva as atividades a seguir. Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.29. Faça o gráfico da função y = tg x (função mãe) e, a partir dele, analisando as situações a seguir: a) y = a⋅tg x, onde “a” é um número real; b) y = b + a⋅tg x, mantendo “a” constante e variando “b”; c) y = tg (x + a), onde “a” é um número real; d) y = tg (ax), onde “a” é um número real; e) y = c + d⋅tg (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais. 2.4.4 Função cotangente Definimos a cotangente como sendo a relação expressa por: cos cotg sen x x x = . Como a relação apresenta um seno no denominador, temos que assegurar que esse seno nunca seja zero, caso contrário teríamos uma operação proibida na matemática, que é a divisão por zero. Você estudou que o seno é zero apenas nos ângulos da forma kπ, com k ∈ Z. Assim, podemos dizer que o domínio da função cotangente é definido para todos os reais, exceto nos ângulos que zeram o seno. Logo, dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de função cotangente a função que associa a cada x k≠ π, k ∈ Z, o número cotg x ∈ R, e indicamos: f(x) = cotg x onde cotg x = cos ; sen 0 sen x x ≠ , ou seja, x k≠ π, k ∈ Z.
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    FundamentosdaMatemáticaI 63 unidade 2 Gráfico dafunção cotangente: Figura 2.30 - Gráfico da função cotangente Observando o gráfico da figura 2.30, podemos concluir que: I- Como para todos os valores de x = kπ, com k ∈ Z a cotangente não está definida, então o domínio da função cotangente é o conjunto {x ∈ R | x ≠ kπ, k Z∈ }. II- A imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais. III- A função cotangente é periódica de período π, pois cotg (x + π) = cotg x. IV- A função cotangente é sempre decrescente. V- A função cotangente é uma função ímpar, pois se trata de uma razão entre uma função par e uma função ímpar. ATIVIDADE COMPUTACIONAL No Graphmat, desenvolva as atividades a seguir. Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.30. Faça o gráfico da função y = cotg x (função mãe) e, a partir dele, analise as situações a seguir: a) y = a⋅cotg x, onde “a” é um número real; b) y = b + a⋅cotg x, mantendo “a” constante e variando “b”; c) y = cotg (x + a), onde “a” é um número real; d) y = cotg (a x), onde “a” é um número real; e) y = c + d⋅cotg (a x + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 64 unidade 2 2.4.5 Funçãosecante Definimos a secante como sendo a relação expressa por: 1 sec cos x x = . Como a relação apresenta um cosseno no denominador, temos que assegurar que esse cosseno nunca seja zero, pois não é permitida a divisão por zero. Você estudou que o cosseno é zero apenas nos ângulos da forma kπ+ 2 π , com k ∈ Z. Assim, podemos dizer que o domínio da função secante é definido em todos os reais, exceto nos ângulos que zeram o cosseno. Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de função secante, a função que associa a cada x , 2 k k z π ≠ + π ∈ o número sec x ∈ R e indicamos por: f(x) = sec x onde sec x = 1 cos x ; cos x ≠ 0, ou seja, x , 2 k k Z π ≠ + π ∈ . Graficamente temos: Figura 2.31 - Gráfico da função secante Observando o gráfico da figura 2.31, podemos concluir que: I. Como para todos os valores de x = kπ + 2 π , com k ∈ Z a secante não está definida, então o domínio da função secante é o conjunto {x ∈ R | x , 2 k k z π ≠ + π ∈ }. II. A imagem da função secante é o conjunto R − ]−1,1[. III. A função secante é periódica de período 2π, pois sec (x+2π) = sec x. IV. A função secante é par, pois é proporcional ao inverso do cosseno, que é uma função par. , 2 k k Z π ≠ + π ∈ , 2 k k Z π ≠ + π ∈
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    FundamentosdaMatemáticaI 65 unidade 2 2.4.6 Funçãocossecante Definimos a cossecante como sendo a relação expressa por: 1 cossec sen x x = . Como a relação apresenta um seno no denominador, temos que assegurar que esse seno nunca seja zero, para não ocorrer a divisão por zero. Você estudou que o seno é zero apenas nos ângulos da forma kπ, com k ∈ Z. Assim, podemos dizer que o domínio da função cossecante é definido em todos os reais exceto nos ângulos que zeram o seno. Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de função cossecante a função que associa a cada x k≠ π, k Z∈ , o número cossec x ∈ R, e indicamos: f(x) = cossec x onde cossec x = 1 sen x ; sen x ≠ 0, ou seja, x k≠ π, k Z∈ . ATIVIDADE COMPUTACIONAL No Graphmat, desenvolva as atividades a seguir. Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.31. Faça o gráfico da função y = sec x (função mãe) e, a partir dele, analisando as situações a seguir: a) y = a⋅sec x, onde “a” é um número real; b) y = b + a⋅sec x, mantendo “a” constante e variando “b”; c) y = sec (x + a), onde “a” é um número real; d) y = sec (ax), onde “a” é um número real; e) y = c + d⋅sec (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 66 unidade 2 Graficamente teremos Figura2.32 - Gráfico da função cossecante Observando o gráfico da figura 2.32, podemos concluir que: I. Como para todos os valores de x = kπ, com k Z∈ a cossecante não está definida, então o domínio da função cossecante é o conjunto {x ∈ R | pkx ≠ , k ∈ Z}. II. A imagem da função cossecante é o conjunto R−]−1,1[. III. A função cossecante é periódica de período 2π, pois cossec (x + 2π) = cossec x. IV. A função cossecante é uma função ímpar, pois é proporcional ao inverso do seno, que é uma função ímpar. ATIVIDADE COMPUTACIONAL No Graphmat, desenvolva as atividades a seguir. Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.32. Faça o gráfico da função y = cossec x (função mãe) e, a partir dele, analise as situações a seguir: a) y = a⋅cossec x, onde “a” é um número real; b) y = b + a⋅cossec x, mantendo “a” constante e variando “b”; c) y = cossec (x + a), onde “a” é um número real; d) y = cossec (ax), onde “a” é um número real; e) y = c + d⋅cossec (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais. π
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    FundamentosdaMatemáticaI 67 unidade 2 Pelo quevocê estudou até aqui, temos a certeza de que sabe responder onde medimos o seno, o cosseno e a tangente no ciclo trigonométrico. Mas onde a cotangente, a secante e a cossecante são medidas no ciclo trigonométrico? Então, vamos analisar o ciclo trigonométrico da figura 2.33. Figura 2.33 - Ciclo trigonométrico com o eixo da cotangente Na figura 2.33, seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B de coordenadas (0,1). Essa reta é perpendicular ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intercepta a reta tangente s no ponto S de coordenadas (s',1). A abscissa s' desse ponto é definida como a cotangente do arco AM correspondente ao ângulo a. Assim, a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: cotg a = cotg (a+2kπ) = BS = s’, onde k ∈ Z. Os triângulos OBS e ONM são semelhantes, logo: BS ON OB MN = Como a circunferência é unitária 1OB = , ON = cos a e MN = sen a, então cotg a = cos a sen a , que é equivalente a cotg a = 1 tg a . Você pode perceber que a cotangente de ângulos do primeiro e terceiro quadrantes é positiva e no segundo e quarto quadrantes é negativa. Quando a = 0 e a = π, a cotangente não existe, pois as retas s e OM se tornam paralelas. Na figura 2.34, seja a reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M de coordenadas (x',y'). Essa reta é perpendicular à reta que contém o segmento OM . A interseção da reta r com o eixo OX determina o ponto V de coordenadas
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    UniversidadeAbertadoBrasil 68 unidade 2 (v,0). Aabscissa do ponto V é definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a. Figura 2.34 - Ciclo trigonométrico com o eixo da secante e cossecante Assim a secante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações por: sec a = sec (a+2kπ) = OV = v. De forma análoga, a interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U de coordenadas (0,u). A ordenada do ponto U é definida como a cossecante do arco AM correspondente ao ângulo a. Então a cossecante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: cossec a = cossec (a+2kπ) = OU = u. Os triângulos OMV e Ox'M são semelhantes. Deste modo, ' OV OM OM Ox = pode ser escrito como sec a = 1 cos a , desde que o cos a seja diferente de zero. Os triângulos OMU e Ox'M são semelhantes, logo: ' OU OM OM x M = pode ser escrito como cossec a = 1 sen a , desde que o sen a seja diferente de zero.
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    FundamentosdaMatemáticaI 69 unidade 2 Vamos listarabaixo algumas propriedades da secante e da cossecante: Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, você pode constatar as seguintes propriedades: 1. Como os pontos U e V sempre estão no exterior da circunferência trigonométrica, as suas distâncias até o centro da circunferência são sempre maiores ou iguais à medida do raio unitário. Daí segue que: sec (a) −1 ou sec (a) 1 e cossec (a) −1 ou cossec (a) 1 2. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivo no 1º e no 4º quadrantes e negativo no 2º e no 3º quadrantes. 3. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivo no 1º e no 2º quadrantes e negativo no 3º e no 4º quadrantes. 4. Não existe a secante de ângulos da forma a = k 2 π + π, onde k é um número inteiro, pois nesses ângulos o cosseno é zero. 5. Não existe a cossecante de ângulos da forma a = kπ, onde k é um número inteiro, pois são ângulos cujo seno é zero. arco xº sen(x) cos(x) tg(x) cotg(x) sec(x) cossec(x) 0 0º 0 1 0 não existe 1 não existe 6 π 30º 1 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 4 π 45º 2 2 2 2 1 1 2 2 3 π 60º 3 2 1 2 3 3 3 2 2 3 3 2 π 90º 1 0 não existe 0 não existe 1 2 3 π 120º 3 2 1 2 − 3− 3 3 − − 2 2 3 3 Resumo dos valores de alguns ângulos notáveis
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    UniversidadeAbertadoBrasil 70 unidade 2 arco xºsen(x) cos(x) tg(x) cotg(x) sec(x) cossec(x) 3 4 π 135º 2 2 2 2 − −1 −1 2− 2 5 6 π 150º 1 2 3 2 − 3 3 − 3− 2 3 3 − 2 π 180º 0 −1 0 não existe −1 não existe 7 6 π 210º 1 2 − 3 2 − 3 3 3 2 3 3 − −2 5 4 π 225º 2 2 − 2 2 − 1 1 2− 2− 4 3 π 240º 3 2 − 1 2 − 3 3 3 − 2 2 3 3 − 3 2 π 270º −1 0 não existe 0 não existe −1 5 3 π 300º 3 2 − 1 2 3− 3 3 − 2 2 3 3 − 7 4 π 315º 2 2 − 2 2 −1 −1 2 2− 11 6 π 330º 1 2 − 3 2 3 3 − 3− 2 3 3 − 2 2π 360º 0 1 0 não existe 1 não existe
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    FundamentosdaMatemáticaI 71 unidade 2 1) Sabendoque 2 x π = , calcule o valor de 3 tg 2 sec 2 5 cotg cossec 3 x x y x x − = + . Resolução: Para resolver esse exemplo, basta substituirmos o valor de x na igualdade dada, ou seja, 3 tg 2 sec 2 3 tg sec 3 0 ( 1)2 2 , 5 0 ( 1) 5 cotg cossec 3 5 cotg cossec 3 2 2 2 2 y π π − π − π ⋅ − − = = = π π π π ⋅ + − + + e portanto: y = −1. 2) Determine os quadrantes onde estão os ângulos α, β e γ, tais que: a) sen α 0 e cos α 0 b) cos β 0 e tg β 0 c) sen γ 0 e cotg γ 0 Resolução: a) Como o sen α 0 e o cos α 0, então o ângulo α pertence ao terceiro quadrante. b) Como o cos β 0 e a tg β 0, então o ângulo β pertence ao segundo quadrante. c) Como o sen γ 0 e a cotg γ 0, então o ângulo γ pertence ao primeiro quadrante. Resumindo, temos que: α ∈ 3º Q, β ∈ 2º Q e γ ∈ 1º Q.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 72 unidade 2 seção 3 Funçõestrigonométricas Inversas Antes de iniciar o seu estudo das funções trigonométricas inversas, responda às perguntas: Você sabe o que é uma função inversa? Ou quando uma função possui inversa? Consideramos que é necessária uma rápida retomada do que é uma função inversa e de quando essa função possui inversa. Não se preocupe, pois um estudo mais detalhado sobre as funções inversas será feito em Fundamentos de Matemática II e também em Cálculo Diferencial e Integral I. 3.1 Função inversa Ao definirmos uma função y = f(x) na forma f: A→ B, ressaltamos que se trata de uma lei ou regra que a cada elemento de A se faz corresponder um único elemento de B. Em algumas funções para cada y ∈ B existe exatamente um valor de x ∈ A tal que y = f(x). Nesses casos, dizemos que f é bijetora e define-se uma função g: B → A na forma x = g(y). A função g é dita inversa de f, e é representada por 1 f − . Nem todas as funções possuem inversa. As funções do segundo grau, por exemplo, não possuem inversas, a não ser que seja feita uma restrição conveniente no seu domínio e contradomínio. Agora que você já revisou rapidamente as funções inversas, vamos analisar a existência das funções trigonométricas inversas. Vamos lá? Você retomou que uma função f, em domínio D, possui inversa se e somente se f for bijetora e por esse motivo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas funções que possuam inversas. Vamos tomar como exemplo a função f(x) = sen x, que não é bijetora em seu domínio de definição, o conjunto dos números reais, conforme você já estudou, pois
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    FundamentosdaMatemáticaI 73 unidade 2 para umvalor de y correspondem infinitos valores de x. Se y = 0, sen x = 0, podemos tomar x = 0, x = 2π, x = 4π, x = −2π, etc., isto é, x = 2k π, onde k é um número inteiro; isso quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x) = sen x em seu domínio. Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora. Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos em que elas são bijetoras. É usual escolher como domínio intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem. Vamos ver como devemos definir a função arco-seno. 3.2 Função arco-seno Considerando a função f(x) = sen x, vamos redefinir o seu domínio no intervalo , 2 2 π π  −    e imagem no intervalo [−1,1].Afunção inversa de f(x) = sen x, denominada função arco seno, definida por 1 f − : [−1, 1] → , 2 2 π π  −    , é denotada por 1 f − (x) = arc sen x. Assim y = arc sen x ⇔ sen y = x. Gráfico das funções seno e arco-seno : Figura 2.35 - Gráfico da função seno e da função arco-seno Observe o gráfico da função arco-seno, na figura 2.35, para identificar as seguintes características: O domínio da função é [• −1, 1]; A imagem da função é• , 2 2 π π  −    ; A função é sempre crescente.•
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    UniversidadeAbertadoBrasil 74 unidade 2 Figura 2.36- Gráfico da função arco-cosseno Observando o gráfico da função arco-cosseno, na figura 2.36, podemos identificar as seguintes características: O domínio da função é [• −1, 1]; A imagem da função é [0,• p] ; A função é sempre decrescente.• 3.4 Função arco-tangente Dada a função f(x) = tg x, com domínio restrito , 2 2 π π  −    e imagem em R, a função inversa de f, denominada função arco tangente, é definida por 1 f − : R → , 2 2 π π  −    e denotada por 1 f − (x) = arc tg x. 3.3 Função arco-cosseno Seja a função g(x) = cos x, com domínio restrito [0,p] e imagem [−1,1]. A função inversa de g, denominada função arco cosseno, é definida por 1− g : [−1, 1]→ [0,p] e denotada por 1− g : (x) = arc cos x. Assim y = arc cos x ⇔ cos y = x. Gráfico da função arco-cosseno:
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    FundamentosdaMatemáticaI 75 unidade 2 Gráfico dafunção arco-tangente: Figura 2.37 - Gráfico da função arco-tangente Observando, na figura 2.37, o gráfico da função arco-tangente, podemos identificar as seguintes características: O domínio da função são todos os reais;• A imagem da função é• , 2 2 π π  −    ; A função é sempre crescente.• 3.5 Função arco-cotangente Considerando a função f(x) = cotg x, com domínio restrito (0,π) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-cotangente, é definida por 1 f − : R → (0,π) e denotada por 1 f − (x) = arc cotg x. Gráfico da função arco-cotangente: Figura 2.38 - Gráfico da função arco-cotangente
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    UniversidadeAbertadoBrasil 76 unidade 2 Observando, nafigura 2.38, o gráfico da função arco-cotangente, podemos identificar as seguintes características: O domínio da função são todos os reais;• A imagem da função é (0,• π); A função é sempre decrescente.• Como exercício, tente agora você definir as funções arco-secante e arco- cossecante e em seguida trace os seus gráficos. Determine o valor de1) y: a) y = arc sen 1 2       Resolução: Usando a equivalência y = arc sen x ⇔ sen y = x temos que sen y = 1 2 . Como y ∈ , 2 2 π π  −    e x 0, então y = 6 π . b) y = arc cos 2 2   −     Resolução: Pela definição temos que cos y = 2 2 − . Como y ∈ [0,p] e x 0, então y = 3 4 π . c) y = arc tg 3 Resolução: Como tg y = 3 , y ∈ , 2 2 π π  −    e x 0, então y = 3 π .
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    FundamentosdaMatemáticaI 77 unidade 2 2) Dadoque θ = arc sen 1 2   −    , calcule o valor do cos θ, tg θ, cotg θ, sec θ e cossec θ. Resolução: Como θ = arc sen 1 2   −    , então sen θ = 1 2 − e, portanto, θ = 11 6 π . Vamos agora calcular o valor de: cos θ = cos 11 6 π = 3 2 − , tg θ = tg 11 6 π = 3 3 − , cotg θ = cotg 11 6 π = 3− , sec θ = sec 11 6 π = 2 3 3 − e cossec θ = cossec 11 6 π = − 2 3) Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões: arc sen 1a) − arc sen (−1) Resolução: Fazendo a = arc sen 1 e b = arc sen (−1), temos que sen a = 1, sen b = −1 e, portanto, a = 2 π e b = 2 π − . Logo, arc sen 1 − arc sen (−1) = 2 π 2 π  − − = π    arc tg 1b) − arc tg (−1) Resolução: Fazendo a = arc tg 1 e b = arc tg (−1), temos que tg a = 1, tg b = −1 e, portanto, a = 4 π e b = 4 π − . Logo, arc tg 1 − arc tg (−1) = 4 π 4 π  − −    = 2 p c) arc sen (sen 5 6 π ) Resolução: Temos que sen 5 1 6 2 π = . 2 π
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    UniversidadeAbertadoBrasil 78 unidade 2 Nesta unidadevocê estudou as funções trigonométricas, as quais constituem um tema importante da matemática, tanto por suas aplicações (que vão desde as mais elementares, no dia-a-dia, até as mais complexas, na Ciência e na alta tecnologia) como pelo papel central que desempenham na área de Análise Real. Uma propriedade fundamental das funções trigonométricas é que elas são periódicas. Por isso são especialmente adaptadas para descrever os fenômenos de natureza periódica, oscilatória ou vibratória, como, por exemplo: movimento de planetas, som, corrente elétrica alternada, batimentos cardíacos. Todos os conceitos de trigonometria estudados até aqui você vai aplicar na próximaunidadeparademonstraridentidades,efetuartransformaçõestrigonométricas e resolver equações trigonométricas. Por isso não prossiga antes de resolver as atividades e sanar todas as suas dúvidas com o seu professor tutor. Assim, arc sen (sen 5 6 π ) = arc sen 1 2       Fazendo a = arc sen 1 2       temos, portanto, que: a = 6 π .
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    FundamentosdaMatemáticaI 79 unidade 2 1) Expresse350º em radianos. 2) Expresse 8 rad π em graus. 3) Um móvel, partindo da origem dos arcos, percorre um arco de – 2135º. Quantas voltas completas ele deu e em que quadrante parou? 4) Determine o quadrante onde está a extremidade do arco de 2356 4 rad π . 5) Verifique se são côngruos os arcos de 2630º e – 1460º. ATIVIDADES DA SEÇÃO 2 Reduza ao primeiro quadrante e determine o valor de:1) a) sen 330º b) cos 210º c) tg (3π/4) d) sen 450º e) sen (−390º) f) sen (61π/6) g) cos 1500º h) cos (25π/3) i) tg (−10π/3) Calcule o valor da expressão dada por:2) 3 sen 90º 2 sen 180º cos 270º 4 tg 135º 5cos 0º 3cos 90º − + + + . Determine os quadrantes onde estão os ângulos α, β e γ, tais que:3) sen α 0 e cos α 0 sec β 0 e cotg β 0 cossec γ 0 e tg γ 0 Sabendo que4) x é um arco com extremidade no 3º quadrante, determine apenas o sinal da expressão y, dada por: a) 2 2 3cos tg 4 sen tg x x y x x ⋅ = ⋅ b) 3 2 3 sen cos sen cos tg x x y x x x ⋅ = ⋅ ⋅ ATIVIDADES DA SEÇÃO 1
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    UniversidadeAbertadoBrasil 80 unidade 2 Utilizando umsoftware qualquer, trace o gráfico e determine o período de cada5) uma das seguintes funções: a) y = 3 sen x b) f(x) = 1 + cos x c) y = cos 2θ d) f(x) = sen x − 1 e) g(x) = −2 + tg x f) y = sen 2 θ ATIVIDADES DA SEÇÃO 3 1) Sabendo que θ = arc tg 3 , calcule o valor do sen θ, cos θ, cotg θ, sec θ e cossec θ. 2) Determine o valor de y: a) y = arc sen 2 2   −     b) y = arc cos 3 2        c) y = arc tg 3 3   −     3) Calcule o valor do arc tg 3 4 tg  π  −      . 4) Obtenha o valor de x, tal que, 2x + arc tg 1 = 2 π .
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    FundamentosdaMatemáticaI 81 unidade 2 Para aprofundaros seus estudos, analisar mais exemplos resolvidos e resolver outros exercícios, você deve ir até a biblioteca do polo de seu município e consultarolivrodeFundamentosdeMatemáticaElementar,Volume3,Trigonometria, de Gelson Iezzi.
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    FundamentosdaMatemáticaI 83 unidade 3 Identidades, Transformações eEquações Trigonométricas OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Resolver problemas envolvendo as relações trigonométricas.■■ Demonstrar identidades trigonométricas.■■ Aplicar as transformações trigonométricas na resolução de■■ problemas. Resolver equações trigonométricas.■■ ROTEIRO DE ESTUDOS SEÇÃO 1 -■■ Identidades trigonométricas SEÇÃO 2 -■■ Transformações trigonométricas SEÇÃO 3 -■■ Equações trigonométricas UNIDADEIII
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    UniversidadeAbertadoBrasil 84 unidade 3 PARA INÍCIODE CONVERSA Prezado(a) acadêmico(a): Nesta unidade, inicialmente, você vai estudar as identidades trigonométricas. Em seguida deduzirá algumas das transformações trigonométricas e aplicará na resolução de vários problemas. Na última seção desta unidade, você resolverá algumas equações trigonométricas. Além disso, você vai ter a oportunidade de refletir sobre alguns elementos da trigonometria e utilizar as funções trigonométricas em alguns problemas. Muitos conceitos aqui citados serão retomados no decorrer do seu curso em outras disciplinas como, por exemplo, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e Instrumentação para o Ensino de Matemática. Durante os seus estudos, anote, como de costume, suas dúvidas e busque esclarecimentos com o professor tutor sempre que tiver necessidade. Bons estudos! Nesta seção, você vai retomar algumas identidades já provadas nas unidades anteriores e deduzirá outras identidades. Em seguida você verá como deve proceder para provar uma identidade trigonométrica qualquer. 1.1 Relações trigonométricas As seguintes relações, entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco, que você já estudou nas unidades I e II, são chamadas relações trigonométricas fundamentais. seção 1 Identidades trigonométricas
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    FundamentosdaMatemáticaI 85 unidade 3 2 2 sencos 1x x+ =1. tg2. x = sen cos x x ; cos x ≠ 0 cotg3. x = cos sen x x ; sen x ≠ 0 sec4. x = 1 cos x ; cos x ≠ 0 cossec5. x = 1 sen x ; sen x ≠ 0 cotg6. x = 1 tg x ; tg x ≠ 0 Vamos demonstrar agora mais duas relações que decorrem dessas. Considerando a relação 2 2 sen cos 1x x+ = e dividindo os dois membros por 2 2 cos (cos 0)x x ≠ , temos: 2 2 sen cos 1x x+ = (÷ cos2 x) 2 2 tg 1 secx x+ = Esta relação é válida para todo 2 x k p p≠ + 2 π 2 π
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    UniversidadeAbertadoBrasil 86 unidade 3 Considerando arelação 2 2 sen cos 1x x+ = e dividindo os dois membros por 2 2 sen (sen 0)x x ≠ , temos: 2 2 sen cos 1x x+ = (÷ sen2 x) 2 2 1 + cotg cossecx x= Esta relação é válida para todo x k≠ π. Em seguida, vamos resolver alguns exemplos que envolvem as relações acima. 1) Sabendo que sen x = 1 4 , com 2 x π π , determine: a) cos x b) tg x Resolução: a) Substituindo o valor dado na relação 2 2 sen cos 1x x+ = , temos: 2 21 cos 1 4 x   + =    ⇔ 2 1 cos 1 16 x = − ⇔ 2 15 cos 16 x = Como x é um arco do 2º quadrante, o valor do cosseno é negativo.
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    FundamentosdaMatemáticaI 87 unidade 3 Portanto: 15 cos 16 x =− , ou seja, 15 cos 4 x = − . b) sen tg cos x x x = ⇔ 1 14tg 15 15 4 x = = − − ⇔ 15 tg 15 x = − 2) Se a é um arco do 4º quadrante e cotg a = –2, calcule: a) cossec a b) sec a Resolução: a) Substituindo cotg a = –2 em 1 + cotg2 a = cossec2 a, temos: 1 + (–2)2 = cossec2 a ⇔ cossec2 a = 5 ⇔ cossec a = 5± Como a é um arco do 4º quadrante, o valor da cossecante é negativo. Portanto: cossec a = 5− b) De tg a = 1 cotg a , obtemos tg a = 1 2 − . Substituindo em tg2 a + 1 = sec2 a, temos: 2 21 1 sec 2 a   + − =    ⇔ 2 1 sec 1 4 a = + ⇔ 2 5 sec 4 a = ⇔ 5 sec 2 a = ± Como a é um arco do 4º quadrante, o valor da secante é positivo. Portanto: 5 sec 2 a =
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    UniversidadeAbertadoBrasil 88 unidade 3 1.2 Identidadestrigonométricas Dadas as funções trigonométricas f(x) e g(x), dizemos que a igualdade f(x) = g(x) é uma identidade trigonométrica se ela é válida para qualquer valor de x para os quais f(x) e g(x) existem. Por exemplo: A igualdade sen• 2 x = 1 – cos2 x é válida para qualquer x real; logo, é uma identidade trigonométrica. A igualdade• 1 cotg tg x x = é válida para todo 2 x k π ≠ + π; logo, é uma identidade trigonométrica. Um bom caminho para provar que uma identidade trigonométrica é verdadeira consiste em transformar o membro que apresenta expressão mais complicada na expressão do outro membro. Para isso utilizamos as relações trigonométricas já estudadas (e que também são identidades) e as regras usuais da álgebra. Caso os dois membros apresentem expressões igualmente complicadas, podemos transformar cada um deles em uma mesma expressão mais simples que as anteriores. Veja os exemplos: 1) Demonstre a identidade: 2 tg sen sec1 tg x x xx = + Vamos transformar o 1º membro procurando expressar as funções em sen x ou cos x: 2 2 2 2 sen sen cos costg sen cos sen sen cos 1 cos 1 sec1 tg sec cos x x x xx x x x x x x xx x x = = = ⋅ = ⋅ = + Como chegamos ao 2º membro, a identidade está demonstrada.
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    FundamentosdaMatemáticaI 89 unidade 3 2) Demonstrea identidade: tg a . cossec2 a = tg a + cotg a Neste caso vamos transformar o 1º e o 2º membros, expressando as funções em sen a e cos a: tg a . cossec2 a = tg a + cotg a 2 cossen 1 sen cos cos sensen aa a a a aa ⋅ = + 2 2 1 1 sen cos cos sen cos sen a a a a a a + ⋅ = ⋅ Como sen2 a+ cos2 a= 1, temos: 1 1 cos sen cos sena a a a = ⋅ ⋅ e assim está demonstrada a identidade. seção 2 Transformações trigonométricas Pela propriedade distributiva da álgebra, sabemos que, se x, a e b são números reais, as igualdades a seguir são verdadeiras. x (a + b) = xa + xb x (a − b) = xa − xb Entretanto, ao contrário do que se possa imaginar à primeira vista, a igualdade sen (a + b) = sen a + sen b é falsa. Por exemplo: ( )o o o 3 sen 90 30 sen 120 2 + = = o o 1 3 sen 90 sen 30 1 2 2 + = + = Nesta seção vamos estudar como calcular as funções trigonométricas de arcos da forma (a + b), (a – b) e 2a.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 90 unidade 3 2.1 Fórmulasda adição Cosseno da soma: cos (a + b)• Na figura 3.1 temos: - medida do arco AB é a - medida do arco BC é b - medida do arco AC é (a + b) - medida do segmento OC é 1 Considerando os triângulos retângulos ONC, ODC, DEC e OMD e as razões trigonométricas neles definidas, temos: cos (a + b) = ON OC , como ON OM MN= − então cos (a + b) = OM MN OC − e como MN ED= , temos: cos (a + b) = OM ED OC − , isto é, cos (a + b) = OM ED OCOC − cos (a + b) = OM OD ED CD OCOC OD CD ⋅ − ⋅ Figura 3.1 - Soma de dois arcos
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    FundamentosdaMatemáticaI 91 unidade 3 cos (a+ b) = OM OD ED CD CDOD OC OC ⋅ − ⋅ Logo, cos (a + b) = cos a . cos b − sen a . sen b Cosseno da diferença: cos (a – b)• Fazendo: cos (a – b) = cos [a + (–b)], aplicamos a fórmula da soma: cos (a – b) = cos [a + (–b)] = cos a . cos (–b) – sen a . sen (–b) Lembrando que: sen (–b) = –sen b e cos (–b) = cos b, podemos escrever: cos (a − b) = cos a . cos b + sen a . sen b Seno da soma: sen (a + b)• Já estudamos que: sen a cos a 2 cos a sen a 2 π  − =      → π  − =     arcos complementares Então, podemos escrever: sen(a + b) = cos (a b) 2 π  − +    sen (a + b) = cos a b 2 π  − −    sen (a + b) = cos a b 2  π  − −      Utilizando a fórmula cos (a + b) = cos a . cos b − sen a . sen b, temos: sen (a+b) = cos a cos( b) sen a sen ( b) 2 2 π π    − ⋅ − − − ⋅ −        sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
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    UniversidadeAbertadoBrasil 92 unidade 3 Seno dadiferença: sen (a – b)• Fazendo: sen (a – b) = sen [a + (–b)], aplicamos a fórmula da soma: sen (a – b) = sen [a + (–b)] = sen a . cos (–b) + sen (–b) . cos a Lembrando que: sen (–b) = –sen b e cos (–b) = cos b, podemos escrever: sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a Tangente da soma: tg (a + b)• Como já determinamos o seno e o cosseno da soma, podemos também obter a tangente da soma. Sabemos que sen (a b) tg (a b) cos (a b) + + = + Aplicando as fórmulas calculadas anteriormente no 2º membro, temos: sen a cos b sen b cos a tg (a b) cos a cos b sen a sen b ⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ Dividindo o numerador e o denominador da última expressão por “cos a . cos b”, temos: sen a cos b sen b cos a cos a cos b cos a cos btg (a b) cos a cos b sen a sen b cos a cos b cos a cos b ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅+ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ , simplificando obtemos: sen a sen b cos a cos btg (a b) sen a sen b 1 cos a cos b + + = − ⋅ Como sen a tg a cos a = e sen b tg b cos b = , temos: tg a tg b tg (a b) 1 tg a tg b + + = − ⋅
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    FundamentosdaMatemáticaI 93 unidade 3 Tangente dadiferença: tg (a – b)• Lembrando que tg (– b) = – tg b, obtemos a fórmula: tg a tg b tg (a b) 1 tg a tg b − − = + ⋅ Vamos agora estudar algumas aplicações das fórmulas de adição. 1) Calcule sen 75º. Resolução: Como o sen 75o = sen (30o + 45o ), aplicando a fórmula sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a, onde a = 30º e b = 45º, temos: sen 75o = sen (30o + 45o ) = sen 30o . cos 45o + sen 45o . cos 30o portanto, sen 75º = 1 2 2 3 2 2 2 2 ⋅ + ⋅ , ou seja, sen 75º = 2 6 4 + . 2) Mostre que ( )cos x cos xπ − = − . Resolução: Aplicando a fórmula ( )cos a b cos a cos sen a senbb− = ⋅ + ⋅ , onde a = π e b = x, temos: ( )cos x cos . cos x sen sen xπ − = π + π ⋅ e, portanto: ( )cos x 1 . cos x 0 sen xπ − = − + ⋅ , isto é, ( )cos x cos xπ − = − 3) Dado 3 sen a 5 = , 0 a 2 π , calcule: a) sen a 6 π  −   
  • 94.
    UniversidadeAbertadoBrasil 94 unidade 3 Primeiramente vamoscalcular cos a: Utilizando a identidade trigonométrica sen2 a + cos2 a = 1 e substituindo 3 sen a 5 = , temos: 2 2 2 23 9 16 4 cos a = 1 cos a = 1 cos a = cos a 5 25 25 5   + ⇒ − ⇒ ⇒ = ±    Como 0 a 2 π , então 4 cos a 5 = . Aplicando a fórmula do seno da diferença, com b = 6 π , temos: sen a sen a cos sen cos a 6 6 6 π π π  − = ⋅ − ⋅    3 3 1 4 sen a 6 5 2 2 5 π  − = ⋅ − ⋅    3 3 4 3 3 4 sen a 6 10 10 10 p −  − = − =    b) tg a + 4 π      Vamos calcular tangente de a: Como 3 sen a 35tg a tg a tg a 4cos a 4 5 = ⇒ = ⇒ = Aplicando a fórmula da tangente da soma, com b = 4 π , vem: 3 7 tg a tg 1 4 4 4tg (a + ) = = tg a 7 3 14 4 1 tg a tg 1 1 4 4 4 π + + π π  = ⇒ + = π  − ⋅ − ⋅ tg a + 4 π     
  • 95.
    FundamentosdaMatemáticaI 95 unidade 3 2.2 Fórmulasdo arco duplo Para deduzir as fórmulas de sen 2a, cos 2a e tg 2a, basta fazer b = a nas fórmulas da soma (a+b) de dois arcos. Acompanhe com atenção: Seno do arco duplo• sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a, fazendo b = a, vem: sen (a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a sen 2a = 2 sen a . cos a Cosseno do arco duplo• cos (a + b) = cos a . cos b − sen a . sen b, fazendo a = b, temos: cos (a + a) = cos a . cos a − sen a . sen a cos 2a = cos2 a − sen2 a Tangente do arco duplo• tg a tg b tg(a b) 1 tg a tg b + + = − ⋅ , fazendo a = b tg a tg a tg(a a) 1 tg a tg a + + = − ⋅ 2 2 tg a tg 2a 1 tg a = −
  • 96.
    UniversidadeAbertadoBrasil 96 unidade 3 Veja agoraalguns exemplos aplicando as fórmulas do arco duplo. Sabendo que sen x = 4 5 e que x é um arco do 2º quadrante, determine: a) sen 2x b) cos 2x c) tg 2x Resolução: Sabendo o valor do sen x, vamos calcular o cos x. Utilizando a identidade sen2 x + cos2 x= 1 e substituindo sen x por 4 5 , temos: 2 2 2 24 16 9 3 cos x = 1 cos x 1 cos x cos x 5 25 25 5   + ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ±    Como x é um arco do 2º quadrante, então: 3 cos x 5 = − No caso a: 4 3 24 sen 2x 2 sen x cos x 2 sen 2x 5 5 25   = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⇒ = −    . No caso b: 2 2 2 2 3 4 9 16 7 os 2x = cos x - sen x = = cos 2x 5 5 25 25 25 c     − − − ⇒ = −        No caso c, antes de calcular o valor da tg 2x, precisamos calcular o valor da tg x. Mas 4 sen x 45tg x tg x 3cos x 3 5 = = ⇒ = − − 2 2 4 8 82 2 tg x 243 3 3tg 2x tg 2x 16 7 71 tg x 4 11 9 93   ⋅ − − −   = = = = ⇒ = −   − −− −   
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    FundamentosdaMatemáticaI 97 unidade 3 seção 3 Equaçõestrigonométricas Nesta seção vamos estudar alguns tipos de equações trigonométricas e ver como você deve proceder para resolvê-las. 3.1 Equações trigonométricas Podemos definir uma equação trigonométrica como toda equação que envolve funções trigonométricas com arco desconhecido. Assim, são equações trigonométricas: 2 sen x = 1; tg cotg 4 x x π  = +    ; cos2 x + cos x – 2 = 0. Como você já estudou na disciplina de Matemática Básica, resolver uma equação significa encontrar os valores da incógnita, caso existam, que tornam a igualdade verdadeira. O mesmo ocorre com as equações trigonométricas. Em sua maioria, as equações trigonométricas podem ser transformadas (utilizando as relações já aprendidas) em outras mais simples, chamadas equações fundamentais: sen x = sen a cos x = cos a tg x = tg a Vejamos cada um desses casos, separadamente. 1º Caso: Resolução de equações do tipo sen x = sen a.
  • 98.
    UniversidadeAbertadoBrasil 98 unidade 3 Observe osexemplos abaixo: 1) Resolva a equação 1 sen 2 x = . Figura 3.2 Pela figura 3.2 observamos que 1 sen 2 x = corresponde a um arco x pertencente ao 1º ou ao 2º quadrantes. No 1º quadrante: 6 x π = , pois 1 sen 6 2 π = . No 2º quadrante: 5 6 6 x π π = π − = . Observe, na figura 3.2, que todos os arcos com extremidade em M ou em M1 são soluções da equação dada, pois cada um desses pontos será extremidade de infinitos arcos trigonométricos, chamados arcos côngruos, após k voltas na circunferência trigonométrica. Dessa forma, a solução geral da equação é: 5 2 ou 2 6 6 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = + π    , com k Z∈ 2) Resolva a equação 2 sen 2 x = − .
  • 99.
    FundamentosdaMatemáticaI 99 unidade 3 Pela figura3.3 observamos que 2 sen 2 x = − corresponde a um arco x pertencente ao 3º ou ao 4º quadrantes. Figura 3.3 No 3º quadrante 5 4 x π = No 4º quadrante 5 4 4 x π π = π − = − Logo, a solução geral da equação é: 5 2 ou 2 4 4 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = − + π    , com k Z∈ 3) Resolva a equação sen x = 0. Pela figura 3.4 verificamos que sen x = 0 se, e somente se, o arco de medida x (em radianos) termina em A ou em A’. Figura 3.4
  • 100.
    UniversidadeAbertadoBrasil 100 unidade 3 Portanto, asolução geral da equação é { }kS x R x= ∈ = π , com k Z∈ 4) Resolva a equação sen x = −1 Figura 3.5 Pela figura 3.5: 3 1 sen 2 π − = Portanto, 3 2 x π = e a solução geral da equação é: 3 2 2 S x R x k π  = ∈ = + π    , com k Z∈ . A partir dos exemplos anteriores, podemos concluir que: De modo geral o conjunto solução de uma equação do tipo sen x = sen a é: { }2 ou 2S x R x a k x a k= ∈ = + π = π − + π , com k Z∈ 5) Resolva a equação sen sen 5 x π = Temos que: 2k 5 x π = + π ou 4 2k 2k 5 5 x x π π = π − + π ⇒ = + π
  • 101.
    FundamentosdaMatemáticaI 101 unidade 3 Portanto: 4 2ou 2 5 5 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = + π    , com k Z∈ Considerando as equações dadas, que são da forma sen x = sen a, vamos resolver, agora, as seguintes equações trigonométricas: 1) Resolva a equação: sen 2x = 1. Como 1 sen 2 π = , podemos escrever: sen 2x sen 2 π = . Daí: 2 2k k 2 4 x x π π = + π ⇒ = + π E a solução geral da equação é: 4 S x R x k π  = ∈ = + π    , com k Z∈ . 2) Resolva a equação: 2 sen 3 2x = . Figura 3.6
  • 102.
    UniversidadeAbertadoBrasil 102 unidade 3 Temos que: 2 sen3 2 x = . Pela figura 3.6 observamos que: 2 sen 2 4 π = ou 2 sen 2 4 π  = π −    . Logo: sen 3 sen 4 x π = ou 3 sen 3 sen 4 x π = . Então: 2k 3 2k 4 12 3 x x π π π = + π ⇒ = + ou 3 2k 3 2k 4 4 3 x x π π π = + π ⇒ = + E a solução geral da equação é 2 2 ou 12 3 4 3 k k S x R x x π π π π  = ∈ = + = +    , com k Z∈ . 3) Resolva a equação: ( ) 3 sen 3 2 x − π = . Figura 3.7
  • 103.
    FundamentosdaMatemáticaI 103 unidade 3 Pela figura3.7 observamos que: 3 sen 2 3 π = ou 3 sen 2 3 π  = π −    . Logo: ( )sen 3 sen 3 x π − π = ou ( ) 2 sen 3 sen 3 x π − π = . Então: 4 4 2k 3 2k 3 2k 3 2k 3 3 3 9 3 x x x x π π π π π − π = + π ⇒ = π + + π ⇒ = + π ⇒ = + ou 2 2 5 5 2k 3 2k 3 2k 3 2k 3 3 3 9 3 x x x x π π π π π − π = + π ⇒ = π + + π ⇒ = + π ⇒ = + . E a solução geral da equação é 4 2 5 2 ou 9 3 9 3 k k S x R x x π π π π  = ∈ = + = +    , com k Z∈ 2º Caso: Resolução de equações do tipo cos x = cos a. Estas equações são resolvidas de forma semelhante às do 1º caso. Observe os exemplos: 1) Resolva a equação 2 cos 2 x = . Figura 3.8
  • 104.
    UniversidadeAbertadoBrasil 104 unidade 3 Pela figura3.8 observamos que 2 cos 2 x = corresponde a um arco x pertencente ao 1º ou ao 4º quadrantes. No 1º quadrante: 4 x π = , pois 2 cos 4 2 π = . No 4º quadrante: 4 x π = − . Observe na figura 3.8 que todos os arcos com extremidade em M ou em M1 são soluções da equação dada. Dessa forma, a solução geral da equação é: 2 ou 2 4 4 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = − + π    , com k Z∈ ou 2 4 S x R x k π  = ∈ = ± + π    , com k Z∈ . 2) Resolva a equação 3 cos 2 x = − . Pela figura 3.9 observamos que 3 cos 2 x = − corresponde a um arco x pertencente ao 2º ou ao 3º quadrantes. Figura 3.9 No 2º quadrante, 5 6 x π = . No 4º quadrante, 5 6 x π = − . Logo, a solução geral da equação é: 5 2 6 S x R x k π  = ∈ = ± + π    , com k Z∈ .
  • 105.
    FundamentosdaMatemáticaI 105 unidade 3 3) Resolvaa equação cos x = 0. Pela figura 3.10 verificamos que cos x = 0 se, e somente se, o arco de medida x (em radianos) termina em B ou em B’. Figura 3.10 Portanto, a solução geral da equação é: k 2 S x R x π  = ∈ = + π    , com k Z∈ . A partir dos exemplos anteriores, podemos concluir que: De modo geral o conjunto solução de uma equação do tipo cos x = cos a é: { }2S x R x a k= ∈ = ± + π , com k Z∈ . 4) Resolva a equação 3 cos cos 8 x π = . Temos que: 3 2k 8 x π = + π ou 3 2k 8 x π = − + π Portanto: 3 2 8 S x R x k π  = ∈ = ± + π    , com k Z∈
  • 106.
    UniversidadeAbertadoBrasil 106 unidade 3 5) Resolvaa equação: 1 cos 5 2 x π  − =    . Pela figura 3.11 observamos que: 1 cos 2 3 π = ou 1 cos 2 3 π  = −    . Logo: cos cos 5 3 x π π  − =    ou cos cos 5 3 x π π    − = −        . Então: 8 2k 2k 2k 5 3 5 3 15 x x x π π π π π − = + π ⇒ = + + π ⇒ = + π ou 2 2k 2k 2k 5 3 5 3 15 x x x π π π π π − = − + π ⇒ = − + π ⇒ = − + π E a solução geral da equação é: 8 2 2k ou 2 15 15 S x R x x k π π  = ∈ = + π = − + π    , com k Z∈ Figura 3.11
  • 107.
    FundamentosdaMatemáticaI 107 unidade 3 3º Caso:Resolução de equações do tipo tg x = tg a. Observe os exemplos: 1) Resolva a equação tg x = 3 . Figura 3.12 Pela figura 3.12: 3 tg 3 π = . Portanto: k 3 x π = + π. A solução geral da equação é: k 3 S x R x π  = ∈ = + π    , com k Z∈ Podemos concluir que: De modo geral o conjunto solução de uma equação do tipo tg x = tg a, 2 a k π ≠ + π é { }S x R x a k= ∈ = + π , com k Z∈ .
  • 108.
    UniversidadeAbertadoBrasil 108 unidade 3 2) Resolvaa equação 3 tg 3 0x + = . Temos que: 3 tg 3 x = − ou 5 tg tg 6 x π = . Daí: 5 6 x π = , e a solução geral da equação é: 5 k 6 S x R x π  = ∈ = + π    , com k Z∈ 3) Resolva a equação tg 4 tgx x= . Temos que: k 4 k 3 k 3 x x x x π = + π ⇒ = π ⇒ = . Portanto, a solução geral da equação é 3 k S x R x π  = ∈ =    , com k Z∈ .
  • 109.
    FundamentosdaMatemáticaI 109 unidade 3 Nessa unidadevocê estudou as identidades trigonométricas, demonstrou as fórmulas do arco soma, do arco diferença e do arco produto, as quais constituem um tema importante da matemática, por suas aplicações. Em seguida você identificou e estudou três casos importantes de equações trigonométricas. Se você quiser se aprofundar neste tema, recomendamos que consulte as referências indicadas ao final deste livro. Você percebeu que todos os conceitos de trigonometria estudados nas unidades anteriores foram aplicados nesta unidade para demonstrar identidades, efetuar transformações trigonométricas e resolver equações trigonométricas. Por isso não deixe de resolver as atividades e sanar todas as suas dúvidas com o seu professor tutor. ATIVIDADES DA SEÇÃO 1 Determine o que se pede em cada caso:1) a) cossec x, sabendo que x é um arco do 2º quadrante e que sec x = –3. b) tg x, sabendo que 2 cotg 3 x = . c) sen x e tg x, sabendo que x é um arco do 2º quadrante e que 3 cos 4 x = − . d) cossec x, sendo tg x = 5 e 0 2 x π . e) cos x e sen x, sendo 5 tg 3 x = e 3 2 x π π .
  • 110.
    UniversidadeAbertadoBrasil 110 unidade 3 Demonstre asidentidades trigonométricas:2) a) cos sec 1x x⋅ = b) tg cos sena a a⋅ = c) tg cotg sec cossecx x x x+ = ⋅ d) ( ) ( )2 2 1 tg 1 sen 1x x+ ⋅ − = e) 2 tg cossec tg cotga a a a⋅ = + f) 2 2 2 2 tg cos sec senx x x x+ = − g) cos sen 1 sec cossec x x x x + = h) 1 sen sec tg 1 sen x x x x   ⋅ − = −    i) sen tg sen tg cotg cossec a a a a a a + = ⋅ + j) ( ) ( )2 2 2 1 tg 1 tg 2secx x x+ + − = ATIVIDADES DA SEÇÃO 2 1) Calcule seno, cosseno e tangente de 105o . 2) Calcule sen (a + b), sabendo que α e β são ângulos agudos e que 3 sen 5 α = e 5 sen 13 β = . 3) Demonstre as seguintes identidades, usando as fórmulas de adição e subtração: a) ( )cos cosπ + α = − α b) ( )sen senπ + α = − α c) 3 cos sen 2 π  − α = − α    d) sen cos 2 π  + α = α   
  • 111.
    FundamentosdaMatemáticaI 111 unidade 3 e) cossen 2 π  − α = α    f) ( )tg tgπ + α = α 4) Calcule cos 4x , sabendo que 3 cos x 4 = e x é um arco do 1º quadrante. 5) Calcule o valor da expressão: y = sen 15º + cos 15º. 6) Calcule o valor do sen (arc sen 1 2 + arc cos 1 3 ). ATIVIDADES DA SEÇÃO 3 1) Resolva as seguintes equações trigonométricas: a) 2 sen x 2 = b) sen 4x 1= c) sen x 0 4 π  − =    d) sen x sen 10 π = e) 2 sen 3x 8 2 π  + = −    f) 2 cos 3x 2 = − g) cos 1 0x + = h) 3 cos x 6 2 π  + =    i) cos x cos 5 π = j) 2 cos 2x 4 2 π  − = −    k) tg x 1= l) 3 tg 2x 3 =
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    UniversidadeAbertadoBrasil 112 unidade 3 m) tgx tg 8 π = n) tg 2x tg x= o) ( )tg 3x 1p− = − Para aprofundar os seus estudos, analisar mais exemplos resolvidos e resolver outros exercícios, você deve ir até a biblioteca do polo de seu município e consultarolivrodeFundamentosdeMatemáticaElementar,Volume3,Trigonometria, de Gelson Iezzi. sen x 0 4 π  − =   
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    FundamentosdaMatemáticaI 115 PALAVRAS FINAIS PALAVRAS FINAIS Caro(a)acadêmico(a) Parabéns por concluir o estudo desta disciplina; esperamos que você tenha alcançado os objetivos da nossa proposta de trabalho. Acreditamos que você está preparado para refletir e discutir situações que envolvam a trigonometria. Os conteúdos estudados constituem alicerces básicos para outras disciplinas, além de contribuir de forma decisiva para a sua formação como professor de matemática. Você aprendeu conceitos novos e resolveu vários exercícios. Este livro poderá ser uma fonte de consulta constante, para que você retome suas reflexões sempre que se deparar com assuntos relativos aos temas estudados. Para finalizar, colocamo-nos à sua disposição para contatos posteriores, uma vez que dos estudos aqui iniciados ainda podem surgir dúvidas, exigindo de você maiores aprofundamentos. Desejamos-lhe sucesso no curso e no exercício profissional. Siga em frente!
  • 117.
    FundamentosdaMatemáticaI 117 REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS BOYER, Carl B.História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. CARMO, Manfredo Perdigão; MORGADO, Augusto Cesar; WAGNER, Eduardo. Trigonometria. Números Complexos. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1992. EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Campinas: Ed. da Unicamp, 1995. GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática. v. 2. São Paulo: FTD, 1992. IEZZI, G., MURAKAMI, C., MACHADO, N.J. Fundamentos de matemática elementar. v. 3. São Paulo: Atual, 1983. LEDUR, Berenice S.; ENRICONI, Maria Helena S.; SEIBERT, Tânia E.. Trigonometria por meio da construção de conceitos. São Leopoldo: UNISINOS, 2003. LIMA, E. L., CARVALHO, P. C., WAGNER, E., MORGADO, A.C. A Matemática do Ensino Médio. v.1. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998.
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    FundamentosdaMatemáticaI 119 AUTOR NOTAS SOBRE OSAUTORES Carmen Lúcia Valgas Formada em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Ponta Grossa. Especialista em Fundamentos para o Ensino da Matemática e mestre em Educação pela UEPG. Professora do Departamento de Matemática e Estatística da UEPG. Além das atividades de ensino, coordena projetos de extensão desenvolvidos em escolas de Ensino Fundamental e Médio da comunidade. Elisabete Ferreira Silva Licenciada em Matemática pela Universidade Estadual de Ponta Grossa,comespecializaçãoemMetodologiadoEnsinoSuperioremestrado em Educação pela UEPG. Foi professora de Ensino Fundamental e Médio até 1995 e professora do Departamento de Matemática e Estatística da UEPG até 2008. Ministra aulas em cursos de especialização, orientando trabalhos relacionados ao ensino-aprendizagem de Matemática na Educação Básica.
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    José Trobia Licenciado emMatemática e especialista em Metodologia do Ensino Superior pela Universidade Estadual de Ponta Grossa, mestre em Matemática pela Universidade Federal de São Carlos. É professor do Departamento de Matemática e Estatística da UEPG e foi professor de Ensino Fundamental até 1994. Além das atividades de ensino, coordena projetos de extensão e participa de projeto de pesquisa, orienta acadêmicos de cursos de especialização e professores da Educação Básica em projetos governamentais. Foi coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática Presencial, chefe do Departamento de Matemática e atualmente está na coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática - UAB.
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    UniversidadeAbertadoBrasil 122 Respostas UNIDADE 1 Seção 2 a)25,5 m1) b) 8,5 m 10 m2) Seção 3 1) a) a = 4 6 b) a = 13,66, b = 5 2 c) ^ C = 45o 2) AB = 91,65 m 3) 120o UNIDADE 2 Seção 1 1) 35 18 π rad 2) 22,5o ou 22o 30’ 3) 5 voltas, 1º quadrante 4) Está sobre o eixo x entre o 2º e 3º quadrantes 5) Não Seção 2 1) a) 1 2 − b) 3 2 − c) – 1 d) 1 e) 1 2 − f) 1 2 g) 1 2 h) 1 2 i) 3− 2) 1 5 − 3) α : 4º quadrante; β: 3º quadrante; γ: 1º quadrante 4) a) Negativo b) Negativo
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    FundamentosdaMatemáticaI 123 unidade 5 123 respostas UNIDADE 3 Seção3 1) arctg 3θ = tg 3 60o ⇒ θ = ⇒ θ = o 3 sen 60 2 = o 1 cos60 2 = o 3 cotg 60 3 = o sec60 2= o 2 3 cossec 60 3 = a) y = 3152) o ou 225º b) y = 30o ou 330º c) y = 330o ou 150º 3) y = arc tg 3 tg 4 p   −      ⇒y = arc tg 1 ⇒ y = 45o 4) ð x 8 = Seção 1 1) a) 3 2 cossec 4 x = b) 3 tg 2 x = c) 7 sen 4 x = e 7 tg 3 x = − d) 26 cossec 5 x = e) 3 14 cos 14 x = − e 70 sen 14 x = − 35 18 π 35 18 π
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    UniversidadeAbertadoBrasil 124 Respostas 2) a) cossec 1x x⋅ = 1 cos 1 cos x x ⋅ = ⇒ 1 = 1 b) tg cos sena a a⋅ = sen cos sen cos a a a a ⋅ = ⇒ sen sena a= c) tg cotg sec cossecx x x x+ = ⋅ sen cos 1 1 cos sen cos sen x x x x x x + = ⋅ 2 2 sen cos 1 cos sen cos sen x x x x x x + = ⋅ ⋅ 1 1 cos sen cos senx x x x = ⋅ ⋅ d) ( ) ( )2 2 1 tg 1 sen 1x x+ ⋅ − = 2 2 sec cos 1x x⋅ = 2 2 1 cos 1 cos x x ⋅ = ⇒ 1 = 1 e) 2 tg cossec tg cotga a a a⋅ = + 2 sen 1 sen cos cos cos sensen a a a a a aa ⋅ = + 2 2 sen cos 1 cos sen cos sen a a a a a a + = ⋅ ⋅ 1 1 cos sen cos sena a a a = ⋅ ⋅ f) 2 2 2 2 tg cos sec senx x x x+ = − 2 2 2 2 sec 1 1 sen sec senx x x x− + − = − 2 2 2 2 sec sen sec senx x x x− = − g) cos sen 1 sec cossec x x x x + =
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    FundamentosdaMatemáticaI 125 unidade 5 125 respostas 1 1 cossen 1 sec cossec x x x x ⋅ + ⋅ = cos cos sen sen 1x x x x⋅ + ⋅ = 2 2 cos sen 1x x+ = ⇒ 1 = 1 h) 1 sen sec tg 1 sen x x x x   ⋅ − = −    1 sen sec sen tg 1 sen x x x x x ⋅ − ⋅ = − 1 sen 1 tg 1 cos x x x ⋅ − = − tg 1 tg 1x x− = − i) sen tg =sen tg cotg cossec a a a a a a + ⋅ + sen sen cos sen tg cos 1 sen sen a a a a a a a a + = ⋅ + sen cos sen cos sen tg cos 1 sen a a a a a a a a ⋅ + = ⋅ + sen (cos + 1) sen sen tg cos cos 1 a a a a a a a ⋅ = ⋅ + sen tg sen tga a a a⋅ = ⋅ j) ( ) ( )2 2 2 1 tg 1 tg 2secx x x+ + − = 2 2 2 1 2tg tg 1 2 tg tg 2secx x x x x+ + + − + = 2 2 2 2tg 2secx x+ = 2 2 2(1 tg ) 2secx x+ = 2 2 2sec 2secx x=
  • 126.
    UniversidadeAbertadoBrasil 126 Respostas Seção 2 1)sen 105o =sen(45o +60o ) = sen45o .cos60o + sen60o .cos45o = 2 6 4 + cos 105o = 2 6 4 − tg 105o = o o sen 105 2 6 cos105 2 6 + = − 2) 4 cos 5 α = e 12 cos 13 β = 56 sen( ) 65 α + β = 3) a) cos( ) cos .cos sen . sen 1.cos 0.sen cosπ + α = π α − π α = − α − α = − α b) sen( ) sen .cos sen .cos 0.cos sen .( 1) senπ + α = π α + α π = α + α − = − α c) 3 3 3 cos( ) cos .cos sen . sen 0.cos ( 1). sen sen 2 2 2 π π π − α = α + α = α + − α = − α d) sen( ) sen .cos sen .cos 1.cos sen . 0 cos 2 2 2 π π π + α = α + α = α + α = α e) cos( ) cos .cos sen . sen 0.cos 1. sen sen 2 2 2 π π π − α = α + α = α + α = α f) tg tg 0 tg tg( ) tg 1 tg .tg 1 0.tg π + α + α π + α = = = α − π α − α 4) 3 cos 4 x = e 7 sen 4 x = 2 2 9 7 1 1 cos 2 cos sen 16 16 16 8 x x x= − = − = = 7 3 3 7 sen 2 2.sen .cos 2. . 4 4 8 x x x= = = 2 2 1 63 62 31 cos 4 cos(2.2 ) cos 2 sen 2 64 64 64 32 x x x x= = − = − = − = − 2
  • 127.
    FundamentosdaMatemáticaI 127 unidade 5 127 respostas 5) oo o 6 2 sen 15 sen(60 45 ) 4 − = − = o o o 2 6 cos15 cos(60 45 ) 4 + = − = 6 2 2 6 2 6 6 4 4 2 y − + + = = = 6) 1 1 arc sen sen 2 2 a a= ⇒ = 1 1 arc cos cos 3 3 b b= ⇒ = 2 2 sen 3 b = 3 cos 2 a = sen( ) sen .cos sen .cosa b a b b a+ = + 1 1 2 2 3 sen( ) . . 2 3 3 2 a b+ = + 1 2 6 1 2 6 sen( ) 6 6 6 a b + + = + = Seção 3 a) 3 2 ou 2 4 4 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = + π    , com Zk ∈ b) 8 2 k S x R x  π π = ∈ = +    , com Zk ∈ c) 4 S x R x k π  = ∈ = + π    , com Zk ∈ d) 9 2 ou 2 10 10 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = + π    , com Zk ∈ e) 3 2 2 ou 8 3 8 3 k k S x R x x π π π π  = ∈ = + = − +    , com Zk ∈ f) 2 4 3 k S x R x π π  = ∈ = ± +    , com Zk ∈ g) { }2S x R x k= ∈ = π + π , com Zk ∈ h) 2 ou 2 3 S x R x k x k π  = ∈ = π = − + π    , com Zk ∈
  • 128.
    UniversidadeAbertadoBrasil 128 unidade 6 i) 2 5 Sx R x k π  = ∈ = ± + π    , com Zk ∈ j) ou 2 4 S x R x k x k π π  = ∈ = + π = − + π    , com Zk ∈ k) 4 S x R x k π  = ∈ = + π    , com Zk ∈ l) 12 2 k S x R x π π  = ∈ = +    , com Zk ∈ m) 8 S x R x k π  = ∈ = + π    , com Zk ∈ n) { }S x R x k= ∈ = π , com Zk ∈ o) 4 3 k S x R x π π  = ∈ = +    , com Zk ∈