O documento aborda as hipóteses clássicas do modelo de regressão linear, incluindo a homocedasticidade, covariância entre variáveis e testes de significância estatística para modelos de regressão. Também discute a importância da especificação correta do modelo e os impactos da heterocedasticidade nos estimadores e testes estatísticos. Testes como o de Breusch-Pagan e White são mencionados para verificar a presença de heterocedasticidade e a eficácia da modelagem.

1. Hipóteses ClássiCas do modelo
H0) O modelo tem que ser linear
H1) E(ui|X)=0 estabelece que não é função das observações dos regressores
não depende dos regressores.
H2)Var(ui)=σ2
estabelece que a variância das perturbações aleatórias é
constante ( hipótese da homocedasticidade)
H3) Cov(ui,uj)=0 a covariancia entre perturbações aleatórias é constante
H4) Cov (ui,xj) = 0 a variável explicativa X não é aleatória pelo que nula a
covariância entre o termo de perturbação e a variável explicativa.
H5) A variável explicativa X assume no conjunto das observações valores
não todos iguais ou seja X não é constante na amostra.
H6) ),0(~ 2
σNui
As pertubações aleatórias ui seguem
Coeficiente de determinação
SQT
SQE
R =2
;
SSRSQESQT +=
Coeficiente de determinação ajustado
kn
n
RR
−
−
×−−=
1
)1(12
∑=
−=
n
i
ii yySSR
1
)ˆ(
• Teste sobre um único Coeficiente βj
Permite testar a significância estatística da variável independente associada
a este teste:
As Hipóteses a testar são : H0: βj=0 vs Ha: βj≠0
Estatística de teste )1(~
)ˆ(
ˆ
−−= knt
jse
j
t
β
β
Regra de teste: Rejeita-se H0 quando Tobs>Test ou
{ })1(2/ −−>= knttWt α
Rejeitar H0 significa que a variável Xj é relevante na explicação do
comportamento da variável Y
• Intervalos de Confiança 





∈
−
2
/21
2
2
/2
2
2 k)s-(n
;
k)s-(n
αα χχ
σ
• Teste de significância global para um conjunto adicional de
variáveis
Permite testar se as variáveis adicionais são relevantes para a equação
Pretendemos testar se existe vantagem da inclusão de variáveis explicativas adicionais.
( Este ensaio é equivalente a testar se existe melhoria pela inclusão de variáveis
adicionais)
As Hipóteses a testar são : H0: βj+k=βj+k +1=βj+k +…0=0 vs Ha: ∃βj≠0
Estatística de teste
),1(1~ knk
SR
SRCR
F
q
kn
SQE
SQESQE
F −−−
−
×
−
= α
Regra de teste: Rejeita-se H0 se Fcalc>Fest
Não rejeitar Ho significa que não houve melhoria pelo facto de se adicionar as variáveis
• Teste da aderência global do modelo
Permite testar se o modelo é globalmente relevante para explicar as variável explicativa(
As Hipóteses a testar são : H0: β1=β2=…=βj=0 vs Ha: ∃βj≠0
Estatística de teste
)1,(12
2
~
1
1
−−−
−−
×
−
= knkF
q
kn
R
R
F α
Regra de teste: Rejeita-se H0 se Fcalc>Fest
Não rejeitar Ho corresponde a reconhecer que o modelo proposto não é adequado na sua
globalidade para descrever o comportamento da variável dependente
• Teste de Heterocedasticidade
Ocorre Heterocedasticidade quando é violada a hipótese 2 do modelo
Podemos realizar dois testes.
Ho=σ12
=σ22
=σ32
=…=σj2
versus Ha existe um σi≠σj para algum i ≠j
Teste White
1. Estimar por mínimos quadrados o modelo original e obter os quadrados dos resíduos
de estimação ui2
2. Estimar um modelo com termo independente em que a variável explicada é
...22110
2
+++= xxu δδδ
3. Obter W=nR2
é uma X (p-1) g.l
4. Regra de teste : Rejeita-se Ho quando Wobs<Wcal
5. Pode usar em alternativa p-value Prob(Wobs)<α
A rejeição da hipótese nula de serem iguais todos os coeficientes das varáveis X constitui
evidência estatística da heterocedasticidade.
Teste de Breush Pagan
1. Estimar por mínimos quadrados o modelo original e obter os quadrados dos resíduos
de estimação u2
.
2. Estimar um modelo com termo independente em que a variável explicada é
erroxxxu kk +++++= δδδδ ...ˆ 22110
2
3.Estatística de teste
),1(1~ knk
SR
SRCR
F
q
kn
SQE
SQESQE
F −−−
−
×
−
= α
)1,(12
ˆ
2
ˆ
~
1
2
2
−−−
−−
×= knk
u
u
F
k
kn
R
R
F α
Consequências da Heterocedasticidade
• O estimadores deixam de ser eficientes, embora, continuem a ser centrados
e consistentes.
• Todos os testes ( F e t deixam de ser válidos)
• Teste da boa especificação (Teste Reset)
É um teste de especificação da forma funcional do modelo
2
3322110 ˆˆ yyxxxy γγββββ +++++=
As Hipóteses a testar são
H0: Forma funcional bem especificada vs Ha: Forma funcional mal especificada.
Regra de teste: Rejeita-se H0 se Fcalc>Fest
Não rejeitar Ho corresponde a reconhecer que o modelo proposto apresenta má
especificação e como tal não deve ser usado para explicar a variável y
• Teste sobre um único Coeficiente βj
Permite testar a significância estatística da variável independente associada
a este teste:
As Hipóteses a testar são : H0:
*
jj ββ = vs Ha:
*
jj ββ ≠
Estatística de teste
)1(~
)ˆ(
*ˆ
−−
−
= kn
jj
t
jse
t
β
ββ
Regra de teste: Rejeita-se H0 quando Tobs>Test ou
{ })1(2/ −−>= knttWt α
Rejeitar H0 significa que a variável Xj é relevante na explicação do
comportamento da variável Y
• Intervalos de Confiança
] [j)tˆse(jˆ;j)tˆse(jˆ
1)-k-(n/2;1)-k-(n/2; αα βββββ −−∈j
Teste da qualidade do Modelo
Para avaliar a qualidade do modelo
usamos o coefieciente de
determinação
R2=1-SQE/SQT=i%
I% é a percentagem explicada pela
variação das variáveis explicativas
E 1-i% e a percentegem que o modelo
não explica
Um modelo bom tem i≥80%
Estimaçao pelo método mínimos
quadrados
β(estimado)=(XT
X)-1
XT
Y
R2
=SQE/SQT=(βt
xt
y-ny2
(media de
y)/(Yt
Y-nY(media de y)2
)
e’e=yt
y-yT
y)( estes últimos y são
estimados)
Estaimado(σ2
)=e’e/(n-k)
Var(β)=σ2(σestimado)
(xt
x)-1