Fluid Mechanics Pipe Flow

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA E GESTÃO
INDUSTRIAL

Mecânica dos Fluidos
Escoamentos no interior de condutas

Álvaro Aguiar n.º 4253
José Onofre n.º 4458
Rui Portela n.º 4052

5/01/2004

ÍNDICE

1. RESUMO 1

2. INTRODUÇÃO 1

3. DESCRIÇÃO DA INSTALAÇÃO E PROCEDIMENTOS 2

4. CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS 3

4.1. Escoamentos interiores 3
4.1.1. Escoamento em regime laminar 4
4.1.2. Escoamento em regime turbulento 5

4.2. Equação de Bernoulli 6

4.3. Análise dimensional de uma conduta 6

5. RESULTADOS 9

5.1. Trajecto 1 9
5.1.1. Determinação da velocidade de escoamento 9
5.1.2. Determinação da perda de carga por atrito na conduta 10
5.1.3. Representação gráfica 11

5.2. Trajecto 2a 12
5.2.1. Determinação da velocidade de escoamento 12
5.2.2. Determinação das perdas localizadas na expansão 12
5.2.2.1. Desprezando as perdas por atrito 12
5.2.2.2. Considerando as perdas de carga por atrito 13
5.2.2.2.1. Determinação da perda de carga por atrito na conduta de menor diâmetro 14
5.2.2.2.2. Determinação da perda de carga por atrito na conduta de maior diâmetro 14
5.2.3. Valores teóricos das perdas localizadas na expansão 15

6. CONCLUSÕES 15

7. NOMENCLATURA 16

8. REFERÊNCIAS 16

Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu

DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial

1. Resumo

Este trabalho tem como objectivo o estudo experimental de escoamentos no interior de
condutas. Desta forma, serão aplicados e, consequentemente, demonstrados os conhecimentos
adquiridos ao caso prático do escoamento no interior de condutas com diâmetros diferentes e
através de alguns acessórios. Para o efeito, recorreu-se a uma bancada hidráulica.
Assim, para um dos trajectos considerados, pretende-se determinar a perda de carga por
atrito na conduta e representar graficamente os valores obtidos utilizando os grupos
adimensionais mais adequados. Para o segundo trajecto em análise, pretende-se determinar as
perdas de carga localizadas na expansão, bem como o respectivo coeficiente de perda localizada.

2. Introdução

O escoamento em condutas a várias velocidades, de vários fluidos e em vários formatos de
condutas, é um problema fulcral da Mecânica dos Fluidos.
Sistemas de tubagens são encontrados em quase todos os projectos de engenharia e, por isso,
foram e têm sido estudados extensivamente. Contudo, o problema básico das tubagens consiste
em saber qual a melhor conjugação de factores necessária para permitir o escoamento, sabendo
que depende da geometria dos condutas, dos seus componentes adicionais, do caudal, das
propriedades do fluido e das quedas de pressão.
Tendo como objectivo o estudo de escoamentos interiores, torna-se importante definir
escoamento interior de um fluido como um escoamento interno limitado por paredes, no qual o
escoamento propriamente dito é dado pelo movimento das partículas que compõem o fluido. No
entanto, não existe uma análise geral que possa ser aplicada ao estudo de escoamentos, mas sim
soluções particulares em que se admitem simplificações de equações fundamentais, resultados da
simulação numérica e resultados experimentais. A inexistência de soluções gerais deve-se, em
grande parte, ao aparecimento de um fenómeno denominado turbulência. Logo, um escoamento
nem sempre ocorre de igual forma.
Deste modo, ao longo deste trabalho caracterizar-se-ão as diferenças entre os regimes em que
poderá ocorrer o escoamento no interior de uma conduta, tendo em conta a forma do perfil de
velocidades, a perda de carga e a influência da rugosidade, entre outros factores. Para além disso,
deduzir-se-á uma expressão que relaciona a variação de pressão e a perda de carga numa conduta
circular, considerando, para tal, a existência de perdas de carga localizadas situadas entre as
tomadas de pressão e ainda, o desnível entre as mesmas.

Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt
1



O recurso à análise dimensional reveste-se de um papel fundamental, já que, com esta
ferramenta pode proceder-se ao estudo experimental de um escoamento e efectuar extrapolações
para um escoamento semelhante. Assim, atendendo às propriedades da conduta, podem obter-se
todos os grupos adimensionais importantes para o dimensionamento da mesma.

3. Descrição da instalação e procedimentos

Material utilizado:

• Água;
• Bancada hidráulica;
• Reservatório graduado;
• Cronómetro.

Procedimento experimental:

Após um breve contacto com a bancada hidráulica da figura 1, procedeu-se à realização da
experiência.
Inicialmente, verificou-se se as tubagens se encontravam devidame nte ligadas e se as
válvulas de globo estavam fechadas de modo a obter o trajecto desejado.
Posteriormente, ligou-se a bomba e, progressivamente, abriu- se a válvula reguladora de
modo a obter um determinado caudal. Seguidamente, ligaram-se os manómetros às respectivas
tomadas de pressão, tendo o cuidado prévio de abrir as válvulas de purga de ar, situadas na parte
superior do manómetro, e de fechar as válvulas de drenagem de água, situadas na parte inferior
do manómetro.
Para cada trajecto, obteve-se o caudal através da medição do volume debitado (com o auxílio
de um reservatório graduado) e do tempo (com o auxílio de um cronómetro).
Para o trajecto 1, uma conduta com 17 mm de diâmetro e 800 mm de comprimento,
efectuaram-se leituras das variações de pressão para três caudais diferentes.
Para o trajecto 2a, efectuaram-se leituras das variações de pressão para três caudais
diferentes, sabendo que a distância entre as tomadas de pressão é de 150 mm, o diâmetro menor
de 17 mm e o diâmetro maior de 28.6 mm.

2



Figura 1 – Bancada hidráulica.

4. Considerações teóricas

4.1. Escoamentos interiores

Nos escoamentos interiores as características hidrodinâmicas do escoamento são controladas
pela fronteira exterior do escoamento que é a constituída por paredes. Daqui resulta que o
escoamento se dá sobre pressão, isto é, no interior da conduta a pressão não está relacionada com
pressão do exterior, porque as suas forças são compensadas pelas forças viscosas.
Os escoamentos no interior de condutas podem ocorrer em regime laminar, turbulento ou
num terceiro regime dito de transição. A transição do escoamento laminar para escoamento
turbulento depende de um parâmetro adimensional que se denomina número de Reynolds (Re):
ρ ⋅V ⋅ d
Re d = (1.1)
µ
Para isso, basta apenas saber que a transição de laminar para turbulento verifica-se para
Re transição ≈ 2300 . Posto isto, se Re presente < Retransição , então o escoamento é laminar. Se pelo

contrário, Re presente > Retransição , então o escoamento é turbulento.

Para a realização de um estudo de escoamentos de condutas é necessário saber-se a
constituição física da conduta e, para tal, utiliza-se o coeficiente de atrito de Darcy, designado
por f, que permite calcular as perdas de carga por atrito ao longo da conduta. Para tal, recorre-se
à equação de Darcy-Weisbach que é válida para escoamentos interiores de qualquer secção,
aplicando-se quer a escoamentos laminares quer a turbulentos:
3



2
L V
hf = f ⋅ ⋅ (1.2)
d 2g
Uma rede para escoamento de um fluido não é apenas constituída pela tubagem, também é
necessariamente constituída por válvulas, joelhos, reduções, derivações, etc. Estes acessórios
produzem perdas de carga por vezes importantes que podem ser calculadas por:
2
V
hl = K . (sendo K o coeficiente de perda) (1.3)
2g
Uma análise de volume de controlo entre a secção de expansão e o final da zona de
separação fornece uma perda teórica. Como a saída é para um tubo de tamanho finito, é chamada
de expansão brusca (EB).
Vem, então, que:
2
 d2  h
K EB = 1− 2  = 2 l (1.4)
 D  V
2g

4.1.1. Escoamento em regime laminar

Um exemplo comum de um escoamento em regime laminar, é o da água à saída de uma
torneira: para baixos caudais observa-se um fio de água estável, com uma superfície lisa, em que
as partículas do fluido se movem segundo linhas paralelas. Junto às paredes da conduta, num
fluido viscoso, origina-se um gradiente de velocidades: a velocidade varia desde o valor nulo na
parede até à velocidade não perturbada pelo efeito da parede. Criam-se, assim, duas zonas de
escoamento, como mostra a figura 2, uma junto à parede, denominada camada limite, onde existe
um gradiente de velocidades e onde se fazem sentir as tensões viscosas; outra camada, exterior,
onde o perfil de velocidades é constante e onde as tensões viscosas são nulas, podendo o
escoamento ser tratado como invíscido.
Num escoamento laminar a troca de quantidade de movimento deve-se às tensões viscosas.

Figura 2 – Representação do perfil de velocidades de um regime laminar.

4



O coeficiente de atrito de Darcy em regime laminar é dado por:
64
f = (1.5)
Re
A rugosidade superficial afecta a resistência ao atrito. Todavia, em escoamentos laminares a
perda de carga distribuída não é dependente da rugosidade da parede das condutas, na medida
em que, o efeito de atrito, devido exclusivamente ao gradiente de velocidade, está distribuído por
toda a secção de escoamento.

4.1.2. Escoamento em regime turbulento

Este tipo de regime é caracterizado pelo movimento desordenado das partículas do fluido, ou
seja, não se verifica um padrão bem definido no movimento.
A troca de quantidade de movimento para um escoamento turbulento deve-se às tensões
viscosas e às tensões de Reynolds. Devido a estes factores, neste escoame nto, o perfil de
velocidades é mais homogéneo, como mostra a figura 3, encontrando-se o valor da velocidade
média e da velocidade máxima mais próximos relativamente ao que acontece em regime laminar.

Figura 3 – Representação do perfil de velocidades de um regime turbulento.

O coeficiente de atrito de Darcy em regime turbulento pode ser obtido por dois processos:
i) Equação de Colebrook –White:

1 ε 2,51 
≈ −2,0 log⋅  d +  (1.6)
f  3,7 Re d ⋅ f 
 
ii) Diagrama de Moody.

O primeiro processo tem a grande vantagem de apresentar maior veracidade e exactidão nos
resultados obtidos, tendo como único senão o facto de ser um processo mais moroso
relativamente ao outro processo referido.
Pelo diagrama de Moody a obtenção do valor do coeficiente de atrito de Darcy é feito de
modo imediato, na medida em que, precisa-se apenas do valor do número de Reynolds e da
5



rugosidade relativa do tubo. Apesar de ser um processo mais directo é, contudo, menos preciso.

Os escoamentos turbulentos são bastante afectados pela rugosidade da parede das condutas,
já que, o efeito do gradie nte se encontra muito próximo da parede. Após determinado ponto
inicial, o atrito turbulento aumenta monotonamente com a rugosidade relativa ε d . Assim, para

qualquer valor de ε d , o factor de atrito torna-se constante (totalmente rugoso) a altos números
de Reynolds.

4.2. Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli relaciona pressão, velocidade e cota. Para utilizar correctamente esta
equação, devem considerar-se escoamentos em regime permanente, de atrito desprezável,
incompressíveis, invíscidos e sem trans ferência de calor ou trabalho. É traduzida por:
2 2
p1 V 1 p V2
+ + z1 + hB = 2 + + z2 + hT + ht (1.7)
ρ g 2g ρg 2g

Onde, tem-se que: ht = h f + ∑ hl

Caso não existam bombas ou turbinas na situação em estudo, a equação surge simplificada:
2 2
p1 V 1 p V2
+ + z1 = 2 + + z2 + ht (1.8)
ρ g 2g ρ g 2g
Estando o escoamento desenvolvido nas condições atrás impostas, o seu perfil de velocidade

é igual em qualquer secção, ou seja, V 1 = V 2 . Pode então, recorrendo à expressão (1.3),
relacionar-se a variação de pressão entre dois pontos de uma secção circular, com a perda de
carga, tendo também em conta as perdas localizadas e o desnível entre esses dois pontos:
∆P
ht = + ∆z (1.9)
ρg

4.3. Análise dimensional de uma conduta

O dimensionamento de uma conduta para o transporte de um líquido tem por base as quedas
de pressão provocadas por vários factores: o diâmetro da conduta; natureza do fluido escoado

6



(peso específico, viscosidade); velocidade do escoamento; características da parede (rugosidade);
comprimento das condutas e quantidade de conexões e acessórios e regime de escoamento
(laminar ou turbulento).
Então, a perda de pressão será dada pela seguinte função:

(
∆P = F d , ρ , µ, V , ε , ∆l ) (1.10)

A análise dimensional para as perdas de carga vai ser realizada pelo método dos π’s de

Buckingham. Como se pode constatar, o nº de variáveis, n, neste caso são 7: d, ?, µ, V , e, ?l e
?P.
Sendo o número de dimensões i=3, têm-se k grupos adimensionais ou π’s, traduzindo-se em
k = n - i = 7 - 3 = 4.
Através do quadro seguinte, vai obter-se uma base para a determinação dos π’s:

∆P V d ∆l ρ µ ε
M L-1 T-2 L T-1 L L M L-3 M L-1 T-1 L

Tabela 1 – Listagem das dimensões de cada variável.

Para a escolha da base é necessário ter em conta que : nela devem constar todas as dimensões
presentes; a variável a explicitar não pode pertencer à base e, para além disso, é conveniente que
uma das variáveis contenha apenas uma dimensão, de forma a garantir que os elementos da base
não formem um grupo adimensional.

Portanto, a base escolhida, entre outras possibilidades, é ( d , V , ρ ) . Contudo, há ainda que
verificar se a base escolhida não é adimensional, ou seja, que esta apresenta solução trivial:

( MLT ) 0 = ( L) a ( LT −1 ) b ( ML−3 )c

0 = c c = 0
 
 0 = a + b − 3c ⇔ a = 0 , logo a solução é trivial.
 0 = −b b = 0
 

7



Determinação dos π’s :
b b
π 1 = ∆P1 d a V ρ c π 2 = ∆l 1 d a V ρ c

( MLT ) = ( ML−1T −2 ) ( L ) ( LT −1 ) ( ML−3 ) ( MLT )0 = ( L )1 ( L) a ( LT −1 ) ( ML )
0 1 a b c b −3 c

0 = c c = 0
0 = 1 + c c = − 1  
  0 = 1 + a + b − 3c ⇔  a = −1
0 = −1 + a + b − 3c ⇔  a = 0 0 = −1b b = 0
0 = −2 − 1b b = − 2  
 
∆P ∆l
π2 =
π1 = 2 d
ρ ⋅V

b b
π 3 = µ 1d a V ρ c π 4 = ε 1d a V ρ c

( MLT ) = ( ML−1T −1 ) ( L ) ( LT −1 ) ( ML−3 ) ( MLT ) = ( L ) ( L) ( LT −1 ) ( ML−3 )
0 1 a b c 0 1 a b c

0 = 1 + c c = − 1 0 = c c = 0
   
 0 = − 1 + a + b − 3c ⇔  a = − 1 0 = 1 + a + b − 3c ⇔  a = −1
0 = −1 − 1b b = − 1 0 = −1b b = 0
   
µ ε
π3 = π4 =
ρ ⋅V ⋅ d d

Como π 1 = F (π 2 ,π 3 , π 4 ) , inverte-se π3 , obtendo-se:

2∆P  ∆l d ⋅V ⋅ ρ ε 
= F , ,  (1.11)
µ
2
ρV d d

Sabe-se que o comprimento e o diâmetro são constantes para uma dada região da conduta,
pelo que, ∆l / d é constante, podendo passar-se para fora da função. Sabe-se ainda que,
ρ ⋅V ⋅ D
corresponde ao número de Reynolds:
µ

2∆ P ∆l  ε
= F  Re,  (1.12)
ρ ⋅V
2
d  d

ε
Finalmente, é prático designar a função F  Re,  como factor de atrito, utilizando-se para
 
 d
o efeito a notação f. Deste modo, a fórmula final destas considerações dimensionais equivale à
expressão (1.2).

8



A introdução do número 2, nas equações anteriores, corresponde à inclusão de um factor de
correcção de energia cinética, α , que assume o valor referido para um escoamento laminar
totalmente desenvolvido. Refira-se que, para um escoamento turbulento numa conduta o valor do
factor de correcção assume valores na gama de 1.4 a 1.11, sendo usualmente aproximado a 1.

5. Resultados

5.1. Trajecto 1

Características da conduta: Propriedades da água ( T = 2 0 º C ):
d = 17 mm ρ = 998 kg m3
ε = 0,001 mm µ = 1, 0 × 10−3 kg ( m ⋅ s )
L = 800 mm

V  m3 
  ∆t [s] h1 [ m] h2 [ m]
1 0,02 35 0,925 0,585
2 0,01 20 0,813 0,624
3 0,004 34 0,692 0,670

Tabela 2 – Dados registados durante o trabalho experimental.

5.1.1. Determinação da velocidade de escoamento

O caudal do escoamento obtém-se a partir da equação

& V
V= (1.13)
∆t
A velocidade calcula-se a partir do caudal e da área de secção da conduta, através da relação

V&
V= (1.14)
A
π 2
onde A = d .
4

Fazendo-se as devidas substituições, obtêm-se os valores apresentados na tabela 3.

9



&
V m 3 s  V [m s]
 
1 5,71× 10− 4 2,52
2 5,00 × 10−4 2,20
3 1,18× 10−4 0,518

Tabela 3 – Caudais e velocidades dos escoamentos.

5.1.2. Determinação da perda de carga por atrito na conduta

Considerando a viscosidade dinâmica da água µ = 1, 0 × 10−3 kg ( m ⋅ s ) e a massa volúmica

ρ = 998 kg m3 , calcula-se o número de Reynolds do escoamento

ρVd 998 ⋅ 2,52 ⋅ 17 × 10−3
Re d = = = 42754,3
µ 1, 0 × 10−3
A rugosidade relativa para o PVC ( ε = 0,001 mm ) é
ε 0,001
= = 5,88 × 10−5
d 17
Com o número de Reynolds do escoamento e a rugosidade relativa da conduta, retira-se, do
diagrama de Moody, um valor para o coeficiente de atrito de Darcy: f ; 0,022 .
De outra forma, pode-se determinar o coeficiente de atrito de Darcy pela equação de
Colebrook-White (1.6)

1  5,88 × 10−5 2,51 
; −2,0 ⋅ log  + 
 3,7 42754,3 ⋅ f 
f  
obtendo-se um coeficiente de atrito de Darcy f ; 0,022 .
A perda de carga por atrito de um escoamento calcula-se pela equação (1.2)
800 ×103 2,52 2
h f = 0,022 ⋅ ⋅ ; 0,34 m
17 × 103 2 ⋅ 9,81

Outro método para calcular a perda de carga por atrito, é através da equação (1.9), deduzida
a partir da equação de Bernoulli. Considera-se ∆z = 0 , porque a conduta é horizontal, e ht = hf ,

uma vez que não se consideram as perdas de carga localizadas
∆P ρ ⋅ g ⋅ ( h1 − h2 )
hf = =
ρ.g ρ⋅g
logo,

10



h f = ( h1 − h2 ) = ( 0,925 − 0,585) = 0,34 m

Efectuam-se os mesmos cálculos para determinar as perdas de carga por atrito para os outros
dois escoamentos. Os resultados são apresentados na tabela 4.

&
V m 3 s  V [m s] Red f h f [ m]
 
1 5,71× 10− 4 2,52 42754,3 0,0220 0,34
2 5,00 × 10−4 2,20 37325,2 0,0225 0,26
3 1,18× 10−4 0,518 8788,4 0,0320 0,022

Tabela 4 – Resultados obtidos para as perdas de carga por atrito nos escoamentos.

5.1.3. Representação gráfica

0,04
0,035
0,03
0,025
f 0,02
0,015
0,01
0,005
0
0 10000 20000 30000 40000 50000

Re d

Gráfico 1 – Coeficiente de Darcy em função do número de Reynolds para três escoamentos
com diferentes caudais.

0,4
0,35
0,3
0,25
h f [ m] 0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

V [m s ]

Gráfico 2 – Perdas de carga por atrito em função da velocidade de escoamento.
11



5.2. Trajecto 2a

Características da conduta: Propriedades da água ( T = 2 0 º C ):
d = 17 mm ρ = 998 kg m3
D = 28,6 mm µ = 1, 0 × 10−3 kg ( m ⋅ s )
ε = 0,001 mm
L = 150 mm

V  m3 
  ∆t [s] h1 [ m] h2 [ m]
1 0,01 19 0,805 0,774
2 0,01 25 0,750 0,738
3 0,003 39 0,717 0,716

Tabela 5 – Dados registados durante o trabalho experimental.

5.2.1. Determinação da velocidade de escoamento

A partir da equação (1.13) calcula-se o caudal. Com o valor do caudal determina-se a
velocidade para cada um dos diâmetros da expansão, através da equação (1.14); obtêm-se os
valores apresentados na tabela 6.

&
V m 3 s  Vd [m s] VD [ m s ]
 
1 5,26 × 10− 4 2,32 0,82
2 4,00 × 10−4 1,76 0,62
3 7,69 × 10−5 0,34 0,12

Tabela 6 – Caudais e velocidades dos escoamentos.

5.2.2. Determinação das perdas localizadas na expansão

5.2.2.1. Desprezando as perdas por atrito

Pela equação de Bernoulli determina-se a perda de carga total do sistema (considera-
se ∆z = 0 , porque a conduta é horizontal)
2 2
p1 V 1 p V2
+ + z1 = 2 + + z2 + ht
ρ g 2g ρ g 2g

12



Sabendo que V1 = Vd e V2 = VD , vem

ρ g ( h1 − h2 ) Vd2 − VD
2
ht = +
ρg 2g
logo
Vd2 − VD
2
ht = ( h1 − h2 ) + (1.15)
2g
Fazendo-se as devidas substituições, calcula-se a perda localizada na expansão
2,322 − 0,822
ht = ( 0,805 − 0,774 ) + = 0,27 m
2 ⋅ 9,81
Como se desprezam as perdas de carga por atrito, ht = hl . Assim pela equação (1.3), vem o
coeficiente de perda localizada
hl 0,27
K= = = 0,98
V 2 g 2,32 2 ⋅ 9,81
2 2

Efectuam-se os mesmos cálculos para determinar as perdas de carga localizadas para os
outros dois escoamentos. Os resultados são apresentados na tabela 7.

&
V m 3 s  Vd [m s] VD [ m s ] hl [ m] K
 
1 5,26 × 10− 4 2,32 0,82 0,27 0,98
2 4,00 × 10−4 1,76 0,62 0,15 0,95
3 7,69 × 10−5 0,34 0,12 0,0061 1,03

Tabela 7 – Resultados obtidos para as perdas de carga localizadas nos três escoamentos.

5.2.2.2. Considerando as perdas de carga por atrito

Nesta situação, a perda de carga total do sistema vai depender, para além das perdas
localizadas na expansão, das perdas de carga por atrito na conduta de menor diâmetro e na
conduta de maior diâmetro. Assim
ht = h fd + h fD + hl (1.16)

A distância entre as tomadas de pressão é L = 150 mm . Considerando que a expansão se

localiza a uma distância L 2 das tomadas de pressão, o comprimento da conduta de menor

diâmetro será Ld = 75 mm e o comprimento da conduta de maior diâmetro será LD = 75 mm .

13



5.2.2.2.1. Determinação da perda de carga por atrito na conduta de menor diâmetro

Considerando a viscosidade dinâmica da água µ = 1, 0 × 10−3 kg ( m ⋅ s ) e a massa volúmica

ρ = 998 kg m3 , calcula-se o número de Reynolds do escoamento

ρVd 998 ⋅ 2,32 ⋅17 ×10−3
Re d = = = 39361,12
µ 1, 0 ×10−3
A rugosidade relativa para o PVC ( ε = 0,001 mm ) é

ε 0,001
= = 5,88 × 10−5
d 17
Determina-se o coeficiente de atrito de Darcy pela equação de Colebrook-White:

1  5,88 ×10−5 2,51 
; −2,0 ⋅ log  + 
 3,7 39361,12 ⋅ f 
f  
Obtém-se, um coeficiente de atrito de Darcy f ; 0,022 .

A perda de carga por atrito de um escoamento calcula-se pela equação (1.2), sendo
L = Ld = 75 mm

75 ×103 2,32 2
h fd = 0,022 ⋅ ⋅ ; 0,027 m
17 × 103 2 ⋅ 9,81

5.2.2.2.2. Determinação da perda de carga por atrito na conduta de maior diâmetro

Calcula-se da mesma forma que o anterior, para D = 28,6 mm , V = VD = 0,82 m s e

L = LD = 75 mm . Obtém-se uma perda de carga por atrito h f D = 0,0025 m .

Assim, pela equação (1.16), determina-se a perda localizada na expansão
hl = 0,27 − ( 0,027 + 0,0025 ) = 0,24 m

e consequentemente, através da equação (1.3) calcula-se o coeficiente de perda localizada
hl 0,24
K= = = 0,87
V 2 g 2,32 2 ⋅ 9,81
2 2

Efectuam-se os mesmos cálculos para determinar as perdas de carga localizadas para os
outros dois escoamentos. Os resultados são apresentados na tabela 7.

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&
V m 3 s  Vd [m s] VD [ m s ] hfd [ m] h f D [ m] hl [ m] K
 
1 5,26 × 10− 4 2,32 0,82 0,027 0,0025 0,24 0,87
2 4,00 × 10−4 1,76 0,62 0,017 0,0014 0,13 0,82
3 7,69 × 10−5 0,34 0,12 9,36 × 10−4 8,1× 10− 5 0,0051 0,87

Tabela 8 – Resultados obtidos para as perdas de carga localizadas nos três escoamentos.

5.2.3. Valores teóricos das perdas localizadas na expansão

Os valores teóricos para as perdas localizadas numa expansão são calculados pela equação
(1.4).

&
V m 3 s  V [m s ] hl [ m] K
 
1 5,26 × 10− 4 2,32 0,12 0,42
2 4,00 × 10−4 1,76 0,066 0,42
3 7,69 × 10−5 0,34 0,0025 0,42

Tabela 9 – Valores teóricos das perdas localizadas.

6. Conclusões

No trajecto 1 determinaram-se as perdas de carga por atrito numa conduta, para três caudais
diferentes. Verifica-se que as perdas de carga diminuem à medida que o caudal é reduzido.
Comprova-se assim, que as perdas de carga por atrito, para uma conduta com comprimento,
rugosidade e diâmetro constantes, dependem apenas da velocidade, e são tanto maiores quanto
maior a velocidade.
Verifica-se também que o coeficie nte de atrito de Darcy não varia significativamente com o
número de Reynolds, uma vez que se tratam de escoamentos em regime turbulento.
No trajecto 2a determinaram-se as perdas de carga localizadas na expansão. As perdas
localizadas dependem, de igual forma, da velocidade.
As perdas localizadas na expansão são muito superiores às perdas de carga devidas ao atrito.
Por isso, os resultados obtidos, com perdas por atrito e sem perdas por atrito, não são muito
diferentes. Quando se desprezam as perdas devidas ao atrito, o coeficiente de perda localizada é
um pouco mais elevado, uma vez que todas as perdas na expansão são contabilizadas como
sendo localizadas.
Na prática os valores obtidos para as perdas localizadas são maiores que os valores teóricos,
calculados a partir de uma relação entre os diâmetros das condutas.
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7. Nomenclatura

A Área, m 2
d Diâmetro menor, m
D Diâmetro maior, m
f Coeficiente de atrito de Darcy, adimensional
g Aceleração da gravidade, m s 2
h Altura manométrica, m
hB Perda de carga na bomba, m
hf Perda de carga por atrito, m
hl Perda de carga localizada, m
ht Perda de carga total, m
hT Perda de carga na turbina, m
K Coeficiente de perda de carga localizada, adimensional
L Comprimento, m
p Pressão, Pa
Re Número de Reynolds, adimensional
V Volume, m 3
V& Caudal volúmico, m3 s
V Velocidade, m s
z Cota, m

Alfabeto grego

α Factor de correcção de energia cinética, adimensional
ε Rugosidade, m
µ Viscosidade dinâmica, kg ⋅ m −1 ⋅ s −1
ρ Massa volúmica, kg m3

8. Referências

[1] White, Frank M., Mecânica dos Fluidos, 4ª Edição, McGraw-Hill, 2002;

[ 2] Potter, Merle C. & Wiggert, David C., Mechanics of Fluids, Second Edition, Prentice

Hall, 1997;
[ 3] Shames, Irving H., Mechanics of Fluids, Third Edition, McGraw-Hill, 1992.

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