Aula de Equações no sétimo ano

1. Permitir a solução de problemas matemáticos que
envolvam números desconhecidos.
Desde o tempo dos faraós até nossos dias, o objetivo básico da álgebra
Desde o tempo dos faraós até nossos dias, o objetivo básico da álgebra
continua o mesmo:
continua o mesmo:

2. Para desenvolver o problema e mantê-lo
Para desenvolver o problema e mantê-lo
inalterável, enquanto as manipulações
inalterável, enquanto as manipulações
procuram simplificá-lo, deve-se traduzir a
procuram simplificá-lo, deve-se traduzir a
relação entre números conhecidos e
relação entre números conhecidos e
desconhecidos por meio de uma
desconhecidos por meio de uma equação
equação.
.

3. Muitas pessoas, depois que deixam a escola, atravessam a vida inteira
Muitas pessoas, depois que deixam a escola, atravessam a vida inteira
sem precisar resolver uma só equação algébrica, mas no mundo em que
sem precisar resolver uma só equação algébrica, mas no mundo em que
vivem, tais equações são indispensáveis para reduzir problemas
vivem, tais equações são indispensáveis para reduzir problemas
complexos a termos simples.
complexos a termos simples.

4. Hoje, as equações são usadas em muitos campos diferentes. Resolvemos
Hoje, as equações são usadas em muitos campos diferentes. Resolvemos
equações para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma
equações para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma
aplicação financeira, para projetar aviões e naves espaciais, para encontrar as
aplicação financeira, para projetar aviões e naves espaciais, para encontrar as
correntes de uma rede elétrica, para fazer a previsão do tempo etc..
correntes de uma rede elétrica, para fazer a previsão do tempo etc..

5. Os processos da álgebra levados para a vida moderna são decisivos muitas
Os processos da álgebra levados para a vida moderna são decisivos muitas
vezes, para resumir experiências realizadas ou desenvolver roteiros que
vezes, para resumir experiências realizadas ou desenvolver roteiros que
nos levam até a entender mistérios da natureza.
nos levam até a entender mistérios da natureza.
Tente responder as questões abaixo:
Tente responder as questões abaixo:
1) Queremos cortar um pedaço
1) Queremos cortar um pedaço
de barbante de 30 cm de
de barbante de 30 cm de
comprimento em
comprimento em duas partes
duas partes não
não
necessariamente iguais. Quanto
necessariamente iguais. Quanto
deverá medir cada parte?
deverá medir cada parte?
2) Agora se quer cortar um pedaço de
2) Agora se quer cortar um pedaço de
barbante, também com 30 cm de
barbante, também com 30 cm de
comprimento, em
comprimento, em duas partes
duas partes de forma
de forma
que uma dessas partes meça o
que uma dessas partes meça o dobro
dobro da
da
outra. Quanto deverá medir cada parte?
outra. Quanto deverá medir cada parte?
3) O que se deseja é dividir um pedaço de
3) O que se deseja é dividir um pedaço de
barbante de 35 cm de comprimento em
barbante de 35 cm de comprimento em
quatro partes
quatro partes de modo que uma dessas
de modo que uma dessas
parte seja igual ao
parte seja igual ao triplo
triplo de uma das
de uma das
outras três, quanto deverá medir cada
outras três, quanto deverá medir cada
parte?
parte?
4) Ache um número que:
4) Ache um número que:
a) adicionado ao seu
a) adicionado ao seu triplo
triplo
resulte
resulte 20
20.
.
b) somado com o seu
b) somado com o seu quadrado
quadrado
resulte
resulte 30
30.
.

6. A maneira como a matemática se desenvolveu fez com que os matemáticos
A maneira como a matemática se desenvolveu fez com que os matemáticos
passassem a usar as letras dos alfabetos mais conhecidos para representar uma
passassem a usar as letras dos alfabetos mais conhecidos para representar uma
expressão matemática.
expressão matemática.
Assim, por exemplo, a soma de dois números
racionais quaisquer pode ser representada por:

7. Começam a surgir, então, as sentenças matemáticas, ou seja, duas expressões
Começam a surgir, então, as sentenças matemáticas, ou seja, duas expressões
matemáticas ligadas por um verbo. Por exemplo:
matemáticas ligadas por um verbo. Por exemplo:
a área do retângulo é igual ao produto da
a área do retângulo é igual ao produto da
medida da base pela altura
medida da base pela altura

8. Com isso, surgiram as sentenças matemáticas com o sinal =, que
Com isso, surgiram as sentenças matemáticas com o sinal =, que
indica uma igualdade. Quando a igualdade apresenta um ou mais
indica uma igualdade. Quando a igualdade apresenta um ou mais
elementos desconhecidos, chama-se
elementos desconhecidos, chama-se equação
equação.
.
Para encontrar a solução de um
Para encontrar a solução de um
problema utilizamos os
problema utilizamos os
conhecimentos e as habilidades
conhecimentos e as habilidades
de cálculo que possuímos. Mas,
de cálculo que possuímos. Mas,
conhecimentos e técnicas de
conhecimentos e técnicas de
cálculo apenas não são
cálculo apenas não são
suficientes: raciocínio, lógica e
suficientes: raciocínio, lógica e
imaginação são também
imaginação são também
necessários quando procuramos
necessários quando procuramos
o caminho que nos levará mais
o caminho que nos levará mais
fácil e rapidamente a resposta
fácil e rapidamente a resposta
correta.
correta.

9. Sabe-se pouco sobre Diofanto, um
Sabe-se pouco sobre Diofanto, um
matemático grego que viveu no séc III d.C.
matemático grego que viveu no séc III d.C.
Ele ficou conhecido como “pai da álgebra”,
Ele ficou conhecido como “pai da álgebra”,
pois foi o primeiro a usar símbolos com
pois foi o primeiro a usar símbolos com
significados próprios ao trabalhar problemas.
significados próprios ao trabalhar problemas.
A obra de Diofanto comportava símbolos
A obra de Diofanto comportava símbolos
e abreviações semelhantes que hoje usamos.
e abreviações semelhantes que hoje usamos.
Sua principal obra foi encontrar soluções para
Sua principal obra foi encontrar soluções para
equações indeterminadas cujas raízes são
equações indeterminadas cujas raízes são
números inteiros, ou seja, estudava soluções
números inteiros, ou seja, estudava soluções
para problemas do tipo:
para problemas do tipo:
Neusa tem
Neusa tem o dobro mais uma
o dobro mais uma
laranja que Emílio. Quantas laranjas
laranja que Emílio. Quantas laranjas
tem cada um?
tem cada um?

10. Esse problema se equaciona na forma:
Esse problema se equaciona na forma:
Este problema é indeterminado, pois:
Este problema é indeterminado, pois:
Neusa pode ter 3 laranjas e Emílio 1.
Neusa pode ter 3 laranjas e Emílio 1.
Neusa pode ter 5 laranjas e Emílio 2; e assim por diante.
Neusa pode ter 5 laranjas e Emílio 2; e assim por diante.
Esse fato caracteriza que o problema admite mais que uma solução, portanto
Esse fato caracteriza que o problema admite mais que uma solução, portanto
chama-se
chama-se indeterminado
indeterminado.
.
Equações destes tipos recebem o nome de equações
Equações destes tipos recebem o nome de equações Diofantinas
Diofantinas.
.
Neusa
Neusa Emílio
Emílio

11. Vamos treinar a tradução para a linguagem matemática, utilizando
Vamos treinar a tradução para a linguagem matemática, utilizando
apenas símbolos matemáticos, escreva as seguintes expressões:
apenas símbolos matemáticos, escreva as seguintes expressões:
c) O quádruplo de um número resulta 90.
c) O quádruplo de um número resulta 90.
d)
d) A diferença entre um número e dois faz 36.
A diferença entre um número e dois faz 36.
a) O triplo de um número é igual a 10.
a) O triplo de um número é igual a 10. 3x = 10
3x = 10
b) A soma de um número com três é igual a 15.
b) A soma de um número com três é igual a 15. x + 3 = 15
x + 3 = 15
4x = 90
4x = 90
x - 2 = 36
x - 2 = 36
e)
e) A terça parte de um número é igual a 66.
A terça parte de um número é igual a 66.
f)
f) Os três quartos de um número é igual a 20.
Os três quartos de um número é igual a 20.

12. i) A quinta parte de um número é 46.
i) A quinta parte de um número é 46.
j)
j) A décima parte de um número faz 78.
g) A soma de um número com sua metade
g) A soma de um número com sua metade
resulta 45.
resulta 45.
h) A soma de cinco com o triplo de um número
h) A soma de cinco com o triplo de um número
é igual a 67.
é igual a 67.
5 + 3x = 67
5 + 3x = 67
k)
k) O dobro de um número somada ao triplo de
O dobro de um número somada ao triplo de
outro número é igual a 96.
outro número é igual a 96.
x
x
__
__
10
10
= 78
= 78
2x + 3y = 96
2x + 3y = 96
f)
f) A soma de três números resulta 123.
A soma de três números resulta 123. x + y + z = 123
x + y + z = 123

13. Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de dois braço
Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de dois braço
em equilíbrio!
em equilíbrio!
1) Qual é o peso do cachorro?
x + 16 = 25
9kg
2) Desenvolva a Equação.

14. 3) Os dois sacos tem pesos iguais.
Quanto pesa cada saco?
2x = 12
6kg
4) Desenvolva a Equação.

15. 5) As 3 caixas possuem o mesmo
peso. Qual o peso de cada caixa?
3x = 18
6kg
6) Desenvolva a Equação.

16. 7) Qual o peso do coelho?
x + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2kg
8) Desenvolva a Equação. x + 3 = 5

17. 9) As bolsas são iguais. Qual o peso de
cada uma?
2x = x + 3 + 2
5kg
10) Desenvolva a Equação. 2x = x + 5

18. 11) A balança não está em posição de equilíbrio.
Represente simbolicamente esta situação.
13 < 18
Fique atento às próximas atividades para que você possa tirar algumas
Fique atento às próximas atividades para que você possa tirar algumas
conclusões importante!
conclusões importante!

19. Considere uma balança com os pratos em
Considere uma balança com os pratos em
equilíbrio.
equilíbrio.
Se acrescentarmos elementos de
Se acrescentarmos elementos de
mesmo peso em cada um dos pratos
mesmo peso em cada um dos pratos
Se trocarmos os pratos
Se trocarmos os pratos O equilíbrio se mantém.
O equilíbrio se mantém.
O equilíbrio
O equilíbrio
se
se
mantém.
mantém.

20. Considere outra balança com os pratos em
Considere outra balança com os pratos em
equilíbrio.
equilíbrio.
Se retirarmos elementos de mesmo peso
Se retirarmos elementos de mesmo peso
de cada um dos pratos
de cada um dos pratos
O equilíbrio se
O equilíbrio se
mantém.
mantém.

21. Se duas balanças estão em
Se duas balanças estão em
equilíbrio:
equilíbrio:
Podemos somar o conteúdo dos pratos
Podemos somar o conteúdo dos pratos
do mesmo lado.
do mesmo lado.
O equilíbrio se
O equilíbrio se
mantém.
mantém.

22. As Equações de Copo de Feijão
Este material representa as técnicas de resolução de equações de 1º. Grau
Este material representa as técnicas de resolução de equações de 1º. Grau
com uma incógnita, chamando a atenção para a “
com uma incógnita, chamando a atenção para a “mudança de membro na equação
mudança de membro na equação”.
”.
Nas primeiras vezes em que for usado deve-se considerar como principio
Nas primeiras vezes em que for usado deve-se considerar como principio
fundamental o equilíbrio dos membros da equação. Nestes primeiros casos deve-se
fundamental o equilíbrio dos membros da equação. Nestes primeiros casos deve-se
perceber que retirar ou acrescentar números iguais a cada membro da equação
perceber que retirar ou acrescentar números iguais a cada membro da equação
corresponde a mudá-los de membro da tal forma que realizem a
corresponde a mudá-los de membro da tal forma que realizem a operação inversa
operação inversa. Só
. Só
então é que o procedimento de passar de um membro na equação pode se tornar
então é que o procedimento de passar de um membro na equação pode se tornar
automático.
automático.
Neste material cada copo representa a
incógnita x, os feijões brancos unidades
positivas, os feijões pretos unidades negativas
e os copos invertidos, o inverso aditivo da
incógnita (-x).

23. A seguir representamos algumas sugestões, gradativamente mais elaboradas,
A seguir representamos algumas sugestões, gradativamente mais elaboradas,
acompanhadas da equação correspondente:
acompanhadas da equação correspondente:
1º Exemplo:

24. 2º Exemplo:

25. 3º Exemplo:

26. 4º Exemplo:

27. 5º Exemplo:

28. 6º Exemplo: