O documento discute a cinemática diferencial de manipuladores seriais, abordando o Jacobiano direto e inverso, que relacionam as velocidades das juntas com as velocidades do efetuador final. Também apresenta exemplos de singularidades, situações nas quais o Jacobiano inverso não está definido e velocidades infinitas seriam necessárias para manter velocidades no espaço de trabalho.

1. ROBÓTICA (ROB74) – AULA 5
CINEMÁTICA DIFERENCIAL DE
MANIPULADORES SERIAIS
PROF.: Michael Klug

2. PROGRAMA
• CINEMÁTICA DIFERENCIAL DE
MANIPULADORES SERIAIS
– Problemática da Cinemática Diferencial
– Jacobiano Direto– Jacobiano Direto
– Jacobiano Inverso
– Exemplos
– Singularidades

3. Problemática
• Qual a relação existente entre as derivadas
(velocidades, aceleração, jerk) dos eixos de
juntas em relação as derivadas das
coordenadas do efetuador final?
• Se a extremidade da mão deve descrever um
certo deslocamento (incremento) no espaço a
seis coordenadas durante um dado intervalo
de tempo, que deslocamentos (incrementos)
devem ter as diversas juntas?

4. Caminho e Trajetória
• No controle de robôs é mais simples definir
“caminhos” do que “trajetórias”!!!
• CAMINHO: Conjunto de pontos no espaço
(operacional ou das juntas) que deve ser(operacional ou das juntas) que deve ser
percorrido em uma determinada ordem;
• TRAJETÓRIA: Define um caminho levando em
conta restrições temporais, ou seja, são
definidos intervalos de tempo para a evolução
entre duas configurações sucessivas;

5. Jacobiano
• Relaciona as velocidades no espaço das juntas
com velocidades no espaço cartesiano

6. Jacobiano
• EX: cinemática direta robô 6DOF – denominada h

7. Jacobiano
OBS: não é uma
função constante, é
função de q!!!!

8. Jacobiano
• Na cinemática direta

9. Jacobiano – EX: two links planar

10. Jacobiano - Interpretação
• Contribuição individual da velocidade de cada
junta para a velocidade no efetuador final

11. Jacobiano - Interpretação
• A matriz jacobiana pode ser decomposta da
seguinte forma:
• JPi(3x1) representa a parcela de contribuição de
cada junta qi na velocidade linear;
• JOi(3x1) representa a parcela de contribuição de
cada junta qi na velocidade angular

12. Jacobiano
• Também pode ser obtido geometricamente
por:
• Sendo:
– zi-1 é a terceira coluna de 0Ri-1
– p é o vetor posição da matriz 0Tn
– pi-1 é o vetor posição da matriz 0Ti-1

13. Jacobiano – EX: two links planar

14. Jacobiano
• Resolvendo os produtos vetoriais, tem-se:
• E o Jacobiano será:• E o Jacobiano será:

15. Jacobiano Inverso
• Simplesmente a matriz inversa do Jacobiano?
– OBS: nem sempre é verdade, porque o jacobiano
pode não ser quadrado (muito comum)!!!
• Três Alternativas:
– Diferenciação da cinemática inversa– Diferenciação da cinemática inversa
– Inversa Comum:
– Pseudo-Inversa:

16. Jacobiano Inverso – EX: RR planar e RR 3D
• Pela Inversa (RR planar):
• Diferenciação Cin. Inversa (RR 3D):• Diferenciação Cin. Inversa (RR 3D):

17. Singularidades
• O Jacobiano inverso mesmo quando identificado por
uma expressão analítica, pode nem sempre ficar
definido para todos os valores das variáveis de junto
(configurações do manipulador)!!!
• EX:• EX:

18. Singularidades
• Exemplos:

19. Singularidades
• Fisicamente: é uma situação (configuração do
robô) na qual seria necessário impor
velocidades infinitamente altas numa ou mais
juntas para manter determinadas velocidades
no espaço operacional.no espaço operacional.
• Se o Jacobiano Inverso não tem definição
numérica então o Jacobiano Direto é singular
(terá determinante nulo)!!!

20. Singularidades
• As singularidade apresentadas para o caso RR
planar e RR 3D dizem respeito a situações
limites do espaço de trabalho, porém ...
• OBS: para manipuladores com mais graus de• OBS: para manipuladores com mais graus de
liberdade é possível encontrar singularidades no
interior do espaço de trabalho – normalmente dizem
respeito a alinhamento de elos interiores, como
cotovelos, por exemplo.
ESTAS SINGULARIDADES REPRESENTAM SÉRIOS
PROBLEMAS NO CONTROLE DE MANIPULADORES!!!!