Apostila - Mecanismos - Capítulo 5.pdf

MECANISMOS CAPÍTULO 5
109
5. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS CORRIGIDOS
Embora muitos livros texto de cinemática evitem tratar de engrenagens não padronizadas, esse assunto é
uma extensão natural e importante da teoria de engrenagens padronizadas. A maioria das engrenagens
utilizadas em automóveis e aviões não são padronizadas. Em muitas situações de projeto, uma determinada
relação de transmissão só pode ser obtida com a utilização de engrenagens não padronizadas. Em outros
casos, pode ser possível melhorar a suavidade de operação ou aumentar a capacidade de carga da
engrenagem pela utilização de engrenagens não padronizadas. O conhecimento básico da teoria de
engrenagens não padronizadas aumenta a habilidade dos engenheiros produzirem um projeto de qualidade
superior.
5.1. Teoria das Engrenagens de Dentes Retos Corrigidos. O defeito mais grave do sistema de
engrenamento evolvental é a possibilidade de interferência entre a extremidade dos dentes da engrenagem
com os flancos do pinhão, quando o número de dentes deste último é menor do que o mínimo para o sistema
pinhão-engrenagem.
Quando ocorre interferência, o metal em excesso é removido do flanco do pinhão pela ferramenta que
gera os dentes. Esta remoção de metal pela ferramenta é conhecida como adelgaçamento e normalmente
ocorre, a menos que sejam tomadas providências para preveni-la. Se a ferramenta não removesse este metal,
as duas engrenagens não girariam quando montadas porque a engrenagem, devido à interferência, tenderia a
penetrar no flanco do pinhão. Na realidade, entretanto, as engrenagens poderão girar livremente porque o
flanco do pinhão foi adelgaçado. Mas isto não só enfraquece o dente do pinhão como também pode remover
uma pequena parte da evolvente adjacente à circunferência de base, o que pode causar séria redução no
comprimento de transmissão.
A tentativa para eliminar a interferência e seu conseqüente adelgaçamento levou ao desenvolvimento de
vários sistemas não padronizados de engrenamento, alguns dos quais requerem ferramentas especiais. Dois
desses sistemas tiveram êxito e têm larga aplicação porque podem ser usadas ferramentas normalizadas para
gerar os dentes. No primeiro método, quando o pinhão está sendo cortado, a ferramenta é afastada de uma
certa distância da peça, de modo que a linha de cabeça da cremalheira básica passe pelo ponto de
interferência do pinhão. Isto elimina o adelgaçamento, mas a espessura do dente ficará aumentada com o
correspondente decréscimo no vão. Isto está ilustrado na Fig. 5.1, onde (a) mostra os dentes adelgaçados e (b)
os dentes resultantes quando a ferramenta foi afastada. Montando-se este pinhão (Fig. 5.1b) com sua
engrenagem, nota-se que a distância entre eixos aumenta devido ao decréscimo do vão do dente. Ela não
pode mais ser calculada diretamente do diametral pitch e do número de dentes e então é considerada não
normalizada. O ângulo de pressão em que as engrenagens operam também aumenta. Este processo de
eliminar a interferência é conhecido como o sistema de distância entre eixos aumentada.
Figura 5.1
O afastamento da ferramenta não precisa limitar-se ao pinhão, mas pode ser aplicado a ambos, pinhão e
engrenagem, se as condições permitirem.
Uma variação desse sistema é a prática de avançar a ferramenta na engrenagem a mesma quantidade
que será afastada no pinhão. Isto resultará em uma saliência aumentada para o pinhão e em uma
profundidade diminuída para a engrenagem; o acréscimo na saliência do pinhão igualará o decréscimo na
profundidade da engrenagem. As saliências também se modificarão em ambos de maneira que a altura de
trabalho será a mesma de uma engrenagem sem correção. A distância entre eixos permanece a de referência,
bem como o ângulo de pressão. Este sistema é conhecido como o sistema de saliências diferentes.
Devido à modificação nas proporções do dente, a espessura do dente da engrenagem da circunferência
primitiva é reduzida e a do pinhão aumentada. Devido ao fato de que os dentes do pinhão são mais fracos do

110
que os dentes da engrenagem, quando ambos são feitos do mesmo material, o sistema de saliências
diferentes tende a igualar a resistência dos dentes. O sistema de saliências diferentes só pode ser aplicado
quando a interferência ocorre em uma engrenagem de um par. Este sistema não pode ser aplicado quando as
engrenagens são iguais ou aproximadamente iguais em tamanho, porque a interferência seria eliminada em
uma engrenagem e aumentada na outra.
Estes dois métodos foram desenvolvidos inicialmente para eliminar a interferência, entretanto, são
usados também largamente para melhorar a razão frontal de transmissão, para modificar a forma do dente, a
fim de aumentar a sua resistência, mesmo se não houver interferência, e para montar engrenagens em
distâncias entre eixos diferentes da de referência.
Os dois sistemas podem ser aplicados a engrenagens de dentes retos, helicoidais e cônicas. De fato, o
sistema para engrenagens cônicas é um sistema de saliências diferentes.
Agora serão desenvolvidas fórmulas para a aplicação destes dois sistemas a engrenagens de dentes retos
usinadas com ferramenta fresa.
5.2. Sistema de Distância Entre Eixos Aumentada. A Fig. 5.2a mostra em linha cheia uma cremalheira
cortando um pinhão que tem menos dentes do que o mínimo permitido para evitar a interferência. A
cremalheira e o pinhão estão montados à distância entre eixos de referência, com a linha primitiva da
cremalheira tangenciando a circunferência primitiva de referência do pinhão. A linha de cabeça da cremalheira
passa acima do ponto de interferência E do pinhão de modo que os flancos dos dentes do pinhão ficam
adelgaçados conforme mostrado. Para o dente da cremalheira eliminar a folga necessária na raiz do dente do
pinhão, sua altura teria que ser aumentada. Para simplificar o esquema, esta altura adicional é mostrada
tracejada em um só dente. A mesma disposição pode ser usada para ilustrar a ação de uma ferramenta fresa
cortando o pinhão, porque cinematicamente os dentes de uma cremalheira e de uma fresa são idênticos.
Figura 5.2
Para evitar adelgaçamento afasta-se a cremalheira de uma distância xm de modo que sua linha de cabeça
passe pelo ponto de interferência E. Esta situação é mostrada pontilhada na Fig. 5.2a, e resulta no corte de um
pinhão com dentes mais largos do que antes. Quando a cremalheira é afastada, o raio de cabeça do pinhão
também deve ser aumentado (usinando-se um disco maior), para permitir a manutenção da folga entre as
extremidades dos dentes do pinhão e as raízes dos dentes da cremalheira. A mesma folga é usada tratando-se
de engrenagem normalizada ou não. Para mostrar mais claramente a modificação nos dentes do pinhão, a
cremalheira da Fig. 5.2a foi afastada para baixo e para a direita objetivando manter o mesmo perfil esquerdo
do dente em ambos os casos. Quando duas engrenagens, em que uma ou ambas forem geradas com a
ferramenta afastada, forem montadas, a distância entre eixos será maior do que a de referência. Além disso, o
ângulo de pressão em que operarão será maior do que o ângulo de pressão da ferramenta.

111
Como mencionado previamente, quando um pinhão normalizado é gerado pela cremalheira, a linha
primitiva de referência da cremalheira tangencia a circunferência primitiva de corte do pinhão. Neste caso, a
linha primitiva de referência é também a linha primitiva de corte. Quando a cremalheira é afastada uma
distância xm, chamada de correção, a linha primitiva de referência não será mais tangente à circunferência
primitiva de corte do pinhão, portanto não será mais a linha primitiva de corte. Uma nova linha na cremalheira
atuará como tal. A Fig. 5.2b mostra mais claramente as duas linhas primitivas na cremalheira quando ela está
cortando um dente não normalizado. Da Fig. 5.2a pode ser visto que a circunferência primitiva de corte no
pinhão permanece a mesma, independentemente do pinhão ser normalizado ou não.
A espessura do dente do pinhão, aumentada em sua circunferência primitiva de corte, pode ser
determinada a partir do vão do dente da cremalheira em sua linha primitiva de corte. Da Fig. 5.2b, esta
espessura pode ser expressa pela seguinte equação:
= 2tan +

2
5.1
A Eq. 5.1 pode então ser usada para calcular a espessura do dente na circunferência primitiva de
referência ou de corte de uma engrenagem gerada por uma ferramenta afastada de uma distância xm: xm será
negativa se a ferramenta avançar sobre o disco da engrenagem. Esta equação pode também ser usada para
determinar quanto uma ferramenta deve avançar em um disco de engrenagem para resultar um jogo primitivo
especificado.
Na Fig. 5.2 a cremalheira foi afastada de uma distância suficiente para que a linha de cabeça passasse pelo
ponto da interferência do pinhão. É possível desenvolver uma equação tal que a correção xm possa ser
determinada para satisfazer esta condição.
= + −
=

+ cos −
= cos
=
2
Então,
=

− 1 − cos²
=
1

−
2
#$%
U. S. A 5.2
= 1 −
2
#$%
métrico 5.2
Há duas equações que foram desenvolvidas na seção 4.2 (Capítulo 4) que encontram aplicação particular
no estudo de engrenagens não normalizadas:
cos . =
/
.
cos/ 5.3
. = 2. 1
/
2/
+ 23 / − 23 .4 5.4
Através destas equações é possível determinar o ângulo de incidência frontal e a espessura de dente em
qualquer raio rB se ambos são conhecidos em outro raio rA. Para engrenagens não normalizadas, a espessura
de referência que corresponde à espessura sA na Eq. 5.4 é a espessura de dente na circunferência primitiva de
corte, que pode ser calculada para qualquer afastamento da ferramenta pela Eq. 5.1. O ângulo de incidência
frontal de referência que corresponde a αA é o ângulo de pressão da ferramenta. O raio neste ângulo de
pressão é o raio da circunferência primitiva de corte.
Quando duas engrenagens, engrenagem 1 e engrenagem 2, que foram usinadas com correções xm1 e xm2
respectivamente, forem montadas, operarão em novas circunferências primitivas de raios 6
7
e %
7
e com um
novo ângulo de pressão α'. As espessuras dos dentes nas circunferências primitivas de funcionamento podem

112
ser expressas como 6
7
e %
7
e podem ser facilmente calculadas com a Eq. 5.4. Estas dimensões são mostradas
na Fig. 5.3 juntamente com a espessura dos dentes s1 e s2 nas circunferências primitivas de raios r1 e r2.
Agora será desenvolvida uma equação para determinar o ângulo de pressão ′ em que estas duas
engrenagens operarão.
9%
96
=
6
%
=
6
7
%
7 5.5
e
6
7
+ %
7
=
2:6
7
6
=
2:%
7
%
5.6
Figura 5.3
Ao substituirmos 6
7
e %
7
na Eq. 5.4,
26
7
=
6
26
+ 23 − 23 7= + 2%
7

%
2%
+ 23 − 23 7= =
2:6
7
6
Ao dividirmos por 2%
7
,

6
26
+ 23 − 23 ′= +
%
7
6
7
%
2%
+ 23 − 23 ′= =
:
6
6
26
+
%
7
6
7
%
2%
=
:
6
+ 1 +
%
7
6
7? 23 − 23 ′
Ao usarmos a Eq. 5.5 e fazermos 2 = /,
6
6
+
%
6
%
%
=
:
6
+
6 + %
6
23 ′ − 23
Ao multiplicarmos por 6
⁄ ,
6 + % =
:

+
6 + %

23 7
− 23
Com a utilização da Eq. 5.1 para s1 e s2,
26 tan +

2
+ 2% tan +

2
=
:

+
6 + %

23 7
− 23
2 tan 6 + % +
=
:

+
6 + %

23 7
− 23

113
Por substituir
= :
⁄ pt e resolver para 23 7
,
23 7
= 23 +
26 + % tan
6 + %
5.7
ou
6 + % =
6 + %23 7
− 23
2 tan
U. S. A 5.7D
6 + % =
6 + %23 7
− 23
2 tan
métrico 5.7D
Com a utilização da Eq. 5.7 é possível determinar o ângulo de pressão ′ em que as duas engrenagens
operarão depois de terem sido cortadas por uma fresa afastada de xm1 e xm2, respectivamente. Para calcular o
acréscimo na distância entre eixos (sobre a distância de referência C) devido ao ângulo de pressão
aumentado, a Eq. 4.15 pode ser usada e é repetida aqui:
∆F = F
cos
cos ′
− 1 5.8
Frequentemente é necessário projetar engrenagens para serem montadas com uma distância entre eixos
predeterminada. Neste caso, o ângulo de pressão é fixado pelas condições do problema e é necessário
determinar as correções xm1 e xm2 da ferramenta. A soma (xm1 + xm2) pode ser determinada pela Eq. 5.7a.
Entretanto, deve ser observado que a soma de xm1 e xm2 não é igual ao acréscimo na distância entre eixos em
relação à distância entre eixos de referência. Infelizmente não há maneira de determinar racionalmente xm1 e
xm2 independentemente. Por isto, os valores são usualmente selecionados supondo um deles através de
alguma relação empírica tal como variá-los inversamente (ou diretamente se xm1 + xm2 é negativo) com o
número de dentes nas engrenagens, em uma tentativa de reforçar os dentes do pinhão. Entretanto, este
método de selecionar xm1 e xm2 geralmente não leva os dentes do pinhão e engrenagem a terem resistências
próximas. Em uma tentativa para corrigir esta situação, Walsh e Mabie desenvolveram um método para
determinar a correção xm1 da ferramenta a partir do valor de xm1 + xm2 para um par de engrenagens de
dentes retos projetado para operar a uma distância entre eixos diferente da de referência. Usando um
computador digital, foi possível ajustar xm1 e xm2 para várias relações de velocidades e variações na distância
entre eixos de modo que a tensão nos dentes do pinhão fosse aproximadamente igual a nos dentes da
engrenagem.
Devido à complexidade do problema, os resultados tiveram que ser apresentados em forma de gráficos.
Estes mostram curvas de xm1/(xm1 + xm2) versus z2/(z1 + z2) para várias alterações na distância entre eixos.
Estes gráficos foram desenvolvidos para um ângulo de pressão da ferramenta α de 20°, dentes normais (k = 1)
e passo frontal grande. Embora as curvas tenham sido plotadas para dados baseados em um passo diametral
igual a um, elas podem ser usadas para qualquer passo diametral até 19,99 (limite do passo frontal grande). As
curvas foram também plotadas para z1 = 18 e z2 de 18 a 130 dentes. Quando z1 toma outros valores, introduz-
se um erro muito pequeno (menos de 4%). Um exemplo está apresentado na Fig. 5.4 para alterações na
distância entre eixos de ∆C = 1,175 a 1,275 pol. para Pd = 1.
Exemplo 5.1. Um pinhão e uma engrenagem de 20 e 30 dentes, respectivamente, devem ser cortados por um
fresa de ângulo de pressão 20°, passo diametral 5, para operar em uma distância entre eixos de 5,25 pol., sem
jogo primitivo. Determine os valores de xm1 e xm2 de modo que sejam obtidos dentes com espessura
adequada para que a resistência dos dentes do pinhão seja aproximadamente igual à dos dentes da
engrenagem. A distância entre eixos de referência é dada por:
F =
6 + %
2
=
20 + 50
2 × 5
= 5,00 pol
Ângulo de pressão de funcionamento:
cos7
=
F
F′
cos =
5,00
5,25
cos 20°
7
= 26,50°

114
Figura 5.4
Alteração na distância entre eixos:
∇F = F7
− F = 5.25 − 5.00 = +0,25 pol
O valor de ∇F deve ser multiplicado pelo diametral pitch porque as curvas são baseadas em = 1.
∆F = ∇F × = 0,25 × 5 = 1,25 pol
Também
%
6 + %
=
30
20 + 30
= 0,60
Então da Fig. 5.4,
6
6 + %
= 0,543
Ao calcularmos o valor de xm1 + xm2 da Eq. 5.7a,
6 + % =
6 + %23 7
− 23
2 tan
=
20 + 3023 26,5° − 23 20°
2 × 5 tan 20°
= 0,29073 pol
Ao combinarmos estes resultados,
6 = 0,5436 + %
= 0,5430,29073
OPQ = R, QSTUT VWX
OPY = R, QZYU[ VWX

115
Embora não seja prático acompanhar todos os cálculos necessários para encontrar as tensões nos dentes
do pinhão e da engrenagem, é interessante observar que:
6 =
9,952]
^
_
lb/pol. ²
% =
10,18]
^
_
lb/pol. ²
onde
Wn = carga normal na extremidade do dente (lb)
F = espessura da face do dente (pol.)
Figura 5.5
Em adição as cartas para alterações positivas na distancia entre centros, conforme ilustrado na Fig. 5.4, o
artigo de Walsh Mabie também fornece uma serie de cartas para alterações negativas na distancia entre
centros.
É trabalhoso calcular as tensões nos dentes de engrenagens não padronizadas devido a alteração das
dimensões padronizadas causadas pelos deslocamentos da fresa xm1 e xm2. Neste sentido, foram
desenvolvidas curvas para fornecer fatores de tensão (SF/Wn) como função do coeficiente z2/(z1 + z2) para
várias alterações na distancia entre centros e passo diametral. Entretanto, não foi possível desenvolver cartas
para passo diametral Pd = 1, como foi feito no caso das curvas para deslocamento da fresa mostradas na Fig.
5.4. As figuras 5.5 e 5.6 mostram curvas de fatores de tensão para pinhão e coroa para passo diametral Pd = 5
do Exemplo 5.1. Uma comparação entre os fatores de tensão para os dados do Exemplo 5.1 é mostrada na
tabela abaixo, obtida a partir de cálculos detalhados em umas das referências e das curvas das Fig. 5.5 e 5.6.
Outro método para solução do problema da determinação de xm1 e xm2 foi desenvolvido por Siegel
Mabie. Por este método, xm1 e xm2 são selecionados para uma aplicação particular a fim de serem obtidas
proporções de dentes que levem a uma relação máxima entre comprimentos de afastamento e de
aproximação e, ao mesmo tempo, a uma razão frontal de transmissão εα de 1,20 ou maior. Este sistema é
baseado no fato de que um par de engrenagens funciona mais suavemente saindo de contato do que
entrando em contato. Portanto, é mais vantajoso ter uma relação entre comprimentos de afastamento e de
aproximação tão alta quanto possível, especialmente para engrenagens para aplicação em instrumentos.

116
Figura 5.6
Tabela 5.1 Fatores de Tensão (Exemplo 5.1)
Cálculo Manual Cartas de Projeto
Pinhão 9,952 pol.-1
10,00 pol.-1
(Fig. 5.5)
Coroa 10,18 pol.-1
10,00 pol.-1
(Fig. 5.6)
Não é possível calcular saliência e profundidade de uma engrenagem com a distância entre eixos
aumentada a menos que estejam disponíveis informações sobre a engrenagem com que ela deve se engrenar.
A Fig. 5.5 mostra duas engrenagens que devem se acoplar a uma dada distância entre eixos F′. As engrenagens
devem ser cortadas com uma fresa que é afastada xm1 no pinhão e xm2 na coroa. É necessário calcular o
diâmetro de cabeça de cada engrenagem e a profundidade de corte. A linha central da engrenagem 2 foi
deslocada para a direita de forma que um dente da ferramenta possa ser mostrado acoplado com cada disco.
Sabendo-se a distância entre eixos, os raios das circunferências primitivas, as correções, a forma do dente e o
passo diametral da ferramenta, é possível escrever as equações para os raios de cabeça, como se segue:
ab
= F7
− % − % +

U. S. A 5.9D
ab
= F7
− % − % + métrico 5.9D
ac
= F7
− 6 − 6 +

U. S. A 5.9d
ac
= F7
− 6 − 6 + métrico 5.9d

117
Figura 5.7
Deve ser notado na figura que as alturas de cabeça das duas engrenagens não são iguais entre si, nem são
iguais ao
⁄ da ferramenta.
Uma equação para a profundidade de corte pode também ser facilmente desenvolvida a partir da Fig. 5.5.
ℎf = ab
+ ac
− F7
+ g 5.10
onde c é obtido nas Tabelas 4.1 ou 4.2.
5.3. Sistema de Saliências Diferentes. Se a ferramenta avança no disco da engrenagem a mesma
distância que é afastada do pinhão, xm2 = -xm1 e, da Eq. 5.7, α' = α. Assim o ângulo de pressão em que as
engrenagens operarão é o mesmo em que foram usinadas. Como não há alteração no ângulo de pressão,
6
7
= 6 e %
7
= %, e as engrenagens operarão na distância entre eixos de referência.
A saliência do pinhão é aumentada para
⁄ + e a saliência da engrenagem é reduzida para
−
⁄ . A espessura de dente na circunferência primitiva de corte pode ser prontamente calculada pela
Eq. 5.1, mantendo-se em mente que a espessura de dente da coroa diminui da mesma quantidade de que
aumenta a espessura do dente do pinhão. Como foi mencionado previamente, há condições em que este
sistema não funciona adequadamente. A fim de que este sistema tivesse sucesso, o professor M. F. Spotts da
Northwestern University, determinou que para engrenagens com ângulo de pressão de 14,5°, a soma dos
números de dentes deve ser pelo menos 64 e para engrenagens com ângulo de pressão 20° pelo menos 34.
Para ângulo de pressão de 25°, o valor mínimo da soma é 24.
As proporções das engrenagens usinadas por uma ferramenta pinhão para quaisquer destes dois sistemas
não serão as mesmas que quando cortadas por uma ferramenta fresa. As fórmulas precedentes aplicam-se só
a engrenagens cortadas por uma ferramenta fresa ou por uma ferramenta cremalheira. Entretanto, podem ser
desenvolvidas fórmulas para engrenagens cortadas por ferramentas pinhão usando os princípios acima.
Exemplo 5.2. Duas engrenagens de dentes retos de 12 e 15 dentes, respectivamente, devem ser cortadas por
uma fresa com ângulo de pressão 20°, dentes normais, passo diametral 6, e não devem apresentar
adelgaçamento. Determine a distância entre eixos em que devem operar as engrenagens.
6 =
1

−
6
2
#$%

118
6 =
1
6
11 −
12
2
#$² 20°4
6 = 0,04968 pol
% =
1

−
%
2
#$%

% =
1
6
11 −
15
2
#$² 20°4
% = 0,02045 pol
23 7
= 23 +
26 + % tan
6 + %
23 7
= 0,01490 +
2 × 60,04968 + 0.02045 tan 20°
12 + 15
23 7
= 0,02624
Da tabela de funções evolventais,
7
= 23,97°
6
7
=
6 cos
cos ′
=
1,00 × 0,9397
0,9135
= 1,0286 pol
%
7
=
% cos
cos′
=
1,25 × 0,9397
0,9135
= 1,2858 pol
e
F7
= 6
7
+ %
7
= 1,0286 + 1,2858
h7
= Y, ZQii VWX
Exemplo 5.3. Duas engrenagens de 32 e 48 dentes normais, ângulo de pressão de 14,5°, módulo 3, operam à
distância entre eixos de 120 mm. A fim de alterar a relação de velocidades, deseja-se substituir a engrenagens
de 32 dentes por uma de 31. Deve-se manter a espessura de dente na circunferência primitiva de corte da
engrenagem de 48 dentes, assim como a distância entre centros de eixos de 120 mm. Determine o valor de
xm1 que dará a espessura adequada de dente para engrenamento com engrenagem de 48 dentes.
6 =
6
2
=
31 × 3
2
= 46,500 mm
% =
%
2
=
48 × 3
2
= 72,000 mm
6
7
= 1
6
6 + %
4 F7
=
31
31 + 48
× 120,00 = 47,089 mm
%
7
= 1
%
6 + %
4 F7
=
48
31 + 48
× 120,00 = 72,911 mm
cos 7
=
6 cos
6
7 =
46,500 cos 20°
47,089
7
= 21,88°
6 + % =
6 + %23 7
− 23
2 tan
6 + % =
331 + 4823 21,88° − 23 20°
2 tan 20°
6 + % = 1,5660 mm
Para % = 0, OPQ = Q, S[[R jj.

119
5.4. Engrenagens de Ação de Afastamento. Outro tipo interessante de engrenagens não padronizadas é
o de engrenagens de ação de afastamento, assim chamadas porque a maior parte ou toda a ação entre os
dentes acontece durante a fase de afastamento do contato. O sistema de saliências diferentes é uma forma de
engrenagens de ação de afastamento. Sabe-se que a região de afastamento no contato de um par de
engrenagens é muito mais suave que a região da aproximação. Foi baseado nisto que foram desenvolvidas as
engrenagens de ação de afastamento e foi constatado que estas engrenagens duram mais e operam com
menos atrito, vibração e barulho do que as engrenagens com dentes de proporções normalizadas.
Engrenagens de ação de afastamento podem ser usinadas usando ferramentas fresa e pinhão
normalizadas e sua forma de dente é igual à dos dentes de engrenagens padronizadas e são montadas na
mesma distância entre eixos. Então, um par de engrenagens de ação de afastamento pode ser usado para
substituir um par de engrenagens de dentes retos padronizados sem alterar a distância entre eixos.
A resistência das engrenagens de ação de afastamento é aproximadamente a mesma que para as
engrenagens normalizadas. Entretanto, uma engrenagem deste tipo deve ser projetada para operar ou como
motora ou como movida; ela não pode ser projetada para operar como ambas. Entretanto, um pinhão de ação
de afastamento pode impelir uma engrenagem em qualquer direção, isto é, ele pode mudar a direção de
rotação durante um ciclo de operação. As engrenagens podem ser usadas para uma caixa de multiplicação ou
redução, mas a potência deve fluir sempre na mesma direção. Se o fluxo de potência muda de direção durante
a operação, ocorre um escoamento, na área de contato dos dentes, que resulta em atrito e desgaste. Devido a
estas limitações, engrenagens de ação no afastamento não podem ser usadas como intermediárias operando
em distâncias padronizadas.
Há dois tipos de engrenagens de ação de afastamento: (a) ação de afastamento completa, onde todo o
contato é realizado no afastamento (b) ação de semi-afastamento. A fim de que um par de engrenagens de
ação de afastamento tenha uma razão frontal de transmissão adequada, e pouco ou nenhum adelgaçamento,
e os dentes não sejam pontudos, os de afastamento completo têm que ter no mínimo 20 dentes na
engrenagem motora e 27 na movida. Para engrenagens de semi-afastamento, entretanto, o número mínimo
de dentes na motora é reduzido para 10 e na movida para 20. As de ação de afastamento completo devem ser
preferidas porque toda a ação é realizada na região de afastamento. Entretanto, o grande número de dentes
necessários muitas vezes limita seu emprego e devem então ser usadas as de ação de semi-afastamento.
A Tabela 5.2 mostra as proporções para os dois sistemas de engrenagens de ação de afastamento. Para
possibilitar uma comparação entre estas e as engrenagens padronizadas, são mostrados na Fig. 5.8 a altura de
cabeça, o passo, a circunferência de base e o comprimento de transmissão para (a) engrenagens padronizadas
(b) engrenagens de ação de afastamento completo (c) engrenagens de ação de semi-afastamento. Na Fig. 5.8b
para o sistema (b) a circunferência primitiva da engrenagem movida (engrenagem 2) torna-se a circunferência
de cabeça porque a saliência é zero. Então, o comprimento de aproximação é zero, e todo o comprimento de
transmissão está na região de afastamento. A Fig. 5.8c para o sistema (c) mostra a região de afastamento
consideravelmente maior do que a região de aproximação para este sistema.
Tabela 5.2 Proporções dos dentes de engrenagens de ação de afastamento (ângulo de pressão α
α
α
α = 20°)
Ação de Semi-afastamento Ação de Afastamento completo
Motora Movida Motora Movida
Saliência (ha) 1,500

0,500

2,000

0
Profundidade (hf) 0,796

1,796

0,296

2,296

Diâmetro primitivo (d)

Raio de cabeça (ra) + 3
2
+ 1
2
+ 4
2
2
Espessura do dente (s) 1,9348

1,2068

2,2987

0,8429

120
Figura 5.8a
Figura 5.8b

121
Figura 5.8c
5.5. Engrenagens não padronizadas usinadas por ferramenta pinhão. A teoria para produção de
engrenagens cilíndricas de dentes retos usinadas por uma ferramenta de corte tipo pinhão para uma distancia
entre centros estendida é bem mais complicada do que para engrenagens usinadas por fresa ou ferramenta
tipo cremalheira. Quando uma fresa é usada para usinar uma engrenagem não padronizada, o círculo primitivo
de corte e o ângulo de pressão de corte são os mesmos como se a engrenagem fosse padronizada. Este fato
simplifica muito a análise, como foi visto até aqui. Entretanto, quando a usinagem é feita por uma ferramenta
tipo pinhão, e o pinhão é deslocado de uma distância xm, um novo círculo primitivo de corte é definido na
engrenagem e na ferramenta pinhão. Em adição, um novo ângulo de pressão de corte é desenvolvido. Essas
alterações tornam a análise muito mais complexa. Essa condição é mostrada na Fig. 5.9.
Figura 5.9 Corte de engrenagem padronizada versus não padronizada

122
A Fig. 5.9a mostra o caso de uma ferramenta pinhão a gerar uma engrenagem em uma distância padrão.
A equação para a distancia entre centros de corte padrão é
Fkf =
+ l
2
U. S. A 5.11
Fkf =
+ l
2
métrico 5.11
onde
z = número de dentes a serem cortados na engrenagem
zc = número de dentes na ferramenta de corte
Pd = passo diametral
m = módulo
Essa equação também pode ser expressa como
Fkf =
+ l

2: cos l
5.12
onde
pb = passo de base
αc = ângulo de pressão padrão da ferramenta de corte
A Fig. 5.9b mostra o caso onde a distancia do centro de corte é acrescida de um valor xm. Como o raio do
círculo de base permanece inalterado, o ângulo de pressão de geração m é dado por
cos m =
+ l

2:Fkf +
5.13
onde
xm = deslocamento da ferramenta de corte
A equação da evolventemetria para a espessura sB do dente de uma engrenagem evolvental em quaisquer
raios e os ângulos de pressão correspondentes é dada por
. = 2. 1
/
2/
+ 23 / − 23 .4 5.14
onde
αA = ângulo de pressão evolvental no raio rA
αB = ângulo de pressão evolvental no raio rB
Essa equação também pode ser expressa como
. = /
cos /
cos .
+
2
cos .
23 / − 23 . 5.15
onde
= raio do círculo de base = / cos / = . cos .
A partir da Eq. 5.15 é possível escrever uma equação para a espessura m do dente de uma ferramenta pinhão
no círculo primitivo de geração
mn
=
l cos l
cosm
+
2
cos l
o23 l − 23 mp 5.16
onde
l = espessura do dente do pinhão de corte no círculo primitivo padrão
l 2
⁄ , sendo
l o passo
circunferencial padrão do dente

123
n
= raio do círculo de base do pinhão de corte
A espessura do dente do pinhão de corte dado pela Eq. 5.16 é igual a largura do espaço na engrenagem no
círculo primitivo de geração. Portanto, a espessura m do dente da engrenagem no círculo primitivo de geração
é o passo circunferencial no círculo primitivo menos a largura do espaço. Isso é dado pela equação:
m =

cos m
−
l cos l
cos m
−
2n
cosm
o23 l − 23 mp 5.17
Quando a engrenagem é montada com uma segunda engrenagem, é obtido um círculo primitivo de operação.
Pela Eq. 5.15, a espessura do dente q de uma engrenagem sobre o círculo primitivo de operação é
determinado por:
q = m
cos m
cosq
−
2
cos q
o23 m − 23 qp 5.18
onde
q = ângulo de pressão de operação
= raio de base da engrenagem
Ao ser substituída a Eq. 5.17 na Eq. 5.18 é obtido
q =

gr q
−
lgr l
gr q
−
2n
gr q
o23 l − 23 mp + +
2
gr q
o23 m − 23 qp 5.19
e
23 m =
q cos q −
+ l gr l + 2n
23 l + 223 q
2n
+
5.20
O ângulo de pressão de geração que uma engrenagem deve ser cortada para se obter uma determinada
espessura de dente em um ângulo de pressão de operação pode ser calcula pela Eq. 5.20. O deslocamento da
ferramenta de corte requerido para fornecer esse ângulo de pressão pode então ser calculado pela Eq. 5.13.
Quando as engrenagens 1 e 2 foram usinadas com uma ferramenta de corte tipo pinhão para se obter uma
distância entre centros estendida, podem ser escritas equações a partir da Eq. 5.19 para calcular a espessura
do dente de cada engrenagem no círculo primitivo de operação.
qb
=

− l cos l − 2n
23 l − 23 mb
+ 2b
23 mb
− 23 q
cos q
5.21D
qc
=

− l cos l − 2s
23 l − 23 mc
+ 2c
23 mc
− 23 q
cos q
5.21d
O diâmetro primitivo de operação da engrenagem 1 é
tqb
=
2 6
6 + %
F + ∆F 5.22
Onde ∆F é o acréscimo na distancia entre centros padrão entre as duas engrenagens. Entretanto, o passo
circunferencial no círculo primitivo de operação é
:tqb
6
=
2:F + ∆F
6 + %
5.23
e
2:F + ∆F
6 + %
= qb
+ qc
5.24
para pares de engrenagens sem folga diametral. Ao substituir qb
e qb
(Eq. 5.21) na Eq. 5.24 e simplificar, é
obtido
23 mb
os
+ b
p + 23 mc
os
+ c
p = 2s
23 u + 23 qob
+ c
p 5.25

124
A Eq. 5.25 pode ainda ser simplificada por expressar n
, b
e c
em termos do número de dentes, ângulo de
pressão da ferramenta de corte, e diâmetro primitivo, conforme segue
6 + l23 mb
+ % + l23 mc
= 2 l23 l + 6 + %23 q 5.26
Pela Eq. 5.26 pode ser observado que não há como determinar mb
e mc
independentemente um do outro;
além disso, xm1 e xm2 não podem ser calculados diretamente pela Eq. 5.13. Para vencer essa dificuldade, uma
segunda correlação entre xm1 e xm2 foi desenvolvida pela equalização das tensões de flexão estática nos
dentes das duas engrenagens.
Um programa de computador foi escrito para balancear as tensões nos dentes por ajustar os
deslocamentos da ferramenta pinhão utilizado para cortar as engrenagens. O sistema de engrenagens foi
definido pelo número de dentes no pinhão e na coroa, o diâmetro primitivo e o passo diametral da ferramenta
de corte, e a distancia entre centros que as engrenagens deverão operar. O sistema foi utilizado para produzir
uma gama de cartas de projeto para determinar os valores de xm1 e xm2 como função de % 6
⁄ para vários
valores de ∆F. As cartas são baseadas em um ângulo de pressão de corte de 20° e um pinhão de 20 dentes.
Infelizmente não é possível utilizar as cartas para obter deslocamentos em conjuntos de engrenagens com
pinhões contendo significativamente mais ou menos que 20 dentes assumidos para gerar as figuras. Exemplos
das cartas são mostrados nas Fig. 5.10 e 5.11 para determinar xm1 e xm2, respectivamente, para um passo
diametral 10, diâmetro primitivo do pinhão de corte igual a 4 pol, para alterações na distancia entre centros
∆F = 0,010 a 0,100 pol. A Tabela 5.3 mostra a faixa de passos diametrais utilizada para desenvolver as cartas.
Tabela 5.3 Abrangência das Cartas de Projetoa
Passo Diametral da
Ferramenta de Corte, pol.
Passo Diametral
4 6 8 10 12
3 X X X
4 X X X X X
5 X X X X X
6 X X X
a
6 = 20, = 20°, 1 ≤ % 6 ≤ 6.
⁄
Figura 5.10 Deslocamento da ferramenta de corte

125
Figura 5.11 Deslocamento da ferramenta de corte
A partir das cartas, pode ser observado que as curvas para cada valor de DC, exceto para DC = 0, tem uma
descontinuidade na inclinação em algum ponto ao longo do seu comprimento. A mudança na inclinação marca
o ponto onde o projeto dos dentes da engrenagem deixa de ser resultado do balanço das tensões nos dentes
passa a ser governado pela necessidade de evitar adelgaçamento. Isto é conseguido por limitar a profundidade
do corte feito nas engrenagens à profundidade admissível para um pinhão de corte padronizado. O segmento
à esquerda da descontinuidade representa a faixa sobre a qual as tensões nos dentes foram balanceados.
Figura 5.12 Raio externo e profundidade de corte para engrenagens não padronizadas
Muitas outras equações são requeridas para completar a definição da geometria do sistema de
engrenagens. Pela Fig. 5.12, os raios externos das duas engrenagens são
wb
= F7
− oFkfc
+ %p + ws
− g 5.27

126
wc
= F7
− oFkfb
+ 6p + ws
− g 5.28
onde
c = folga entre os dentes
A profundidade de corte requerida é
ℎf = D6 + D% + g
ou
ℎf = wb
+ wc
− F7
+ g 5.29
A equação para o raio externo pode ser mais reduzida ao ser reconhecido que
wn
= l +

+ g U. S. A
wn
= l + + g métrico
Então,
wb
= F7
− % − % +

U. S. A 5.30
wb
= F7
− % − % + métrico 5.30
wc
= F7
− 6 − 6 +

U. S. A 5.31
wc
= F7
− 6 − 6 + métrico 5.31
e assim as equações para o raio externo de corte de engrenagens não padronizadas usinadas por ferramenta
tipo pinhão podem ser colocadas na mesma forma das equações correspondentes de engrenagens não
padronizadas usinadas por fresa.
Finalmente, o raio de fundo dos dentes (dedendo) para engrenagens não padronizadas pode ser calculado
pelas seguintes expressões:
b
= wb
− ℎf 5.32
c
= wc
− ℎf 5.33
Pode ser desenvolvida uma equação para determinar o deslocamento da ferramenta para marcar o início
do adelgaçamento. Com o uso da lei dos cossenos, pode ser notado pelo triângulo l266 da Fig. 5.13 que
ows
p² = Fkf + ² + ob
p
%
− 2b
Fkf + cos m 5.34
no ponto de início do adelgaçamento. Da Eq. 5.13,
Fkf + cosm =
6 + l

2:
que, quando substituída na Eq. 5.34, fornece
∗
= yows
p² − ob
p
%
+ b
6 + l

:
− Fkf
onde xm* é o deslocamento mínimo para evitar adelgaçamento.
Para o caso especial de engrenagens de saliências diferentes, a alteração da distancia entre centros ∆F é
igual a zero. Para engrenagens fresadas, pela Eq. 5.7a foi visto que xm1 = – xm2. Para engrenagens não
padronizadas usinadas por ferramenta pinhão esta simplificação não ocorre, e a relação entre xm1 e xm2
permanece altamente não linear, com xm1 diferente de xm2 negativo. Portanto, engrenagens de saliências
diferentes não podem ser usinadas por ferramentas pinhão padronizadas.

127
Figura 5.13 Limite
Exemplo 5.4. É necessário projetar um pinhão de 20 dentes e uma coroa de 40 dentes para operar a uma
distancia entre centros de 3,100 pol. sem folga (jogo primitivo). As engrenagens devem ser usinadas por uma
ferramenta pinhão com passo diametral Pd = 10, ângulo de pressão 20°, e diâmetro primitivo 4,00 pol.
Determine o valor de xm1 e xm2 para equilibrar aproximadamente as tensões de flexão nos dentes do pinhão e
da coroa.
Solução
F =
6 + %
2
=
20 + 40
210
= 3,000 pol.
∆F = F7
− F = 3,100 − 3,000 = 0,100 pol.
%
6
=
40
20
= 2
Portanto, pela Fig. 5.10,
6 = 0,063 pol.
e pela Fig. 5.11,
% = 0,042 pol.
As tensões são calculadas para serem
6 = 22,85
]
^
_
lb/pol²
e
% = 22,87
]
^
_
lb/pol²
onde

128
Wn = força normal na extremidade do dente
F = largura da face do dente
Figura 5.14 Fator de tensão no dente
Figura 5.15 Fator de tensão no dente
Como no caso de engrenagens não padronizadas usinadas por fresa, é um trabalho muito entediante
calcular as tensões nos dentes de engrenagens não padronizadas usinadas por ferramenta pinhão. Por isso,
foram desenvolvidas curvas para fornecer fatores de tensão _ ]z
⁄ como função de % 6
⁄ para várias
alterações na distância entre centros. As figuras 5.14 e 5.15 mostram curvas de fatores de tensão para pinhão
e coroa com passo diametral 10 do Exemplo 5.4. Uma comparação dos fatores de tensão para os dados do
Exemplo 5.4 é mostrado na tabela abaixo, obtidos a partir de cálculos detalhados em uma das referências e
das curvas apresentadas nas Fig. 5.14 e 5.15.

129
Tabela 5.4. Fatores de Tensão (Exemplo 5.4)
Cálculos Manuais Cartas de Projeto
Pinhão 22,85 pol.-1
22,90 pol.-1
(Fig. 5.14)
Coroa 22,87 pol.-1
22,90 pol.-1
(Fig. 5.15)
Exemplo 5.5. Duas engrenagens de 32 e 48 dentes usinadas por uma ferramenta pinhão com passo diametral
8, ângulo de pressão de 20°, foram montadas sem folga a uma distancia entre centros padrão de 5,00 pol. Para
alterar a relação de transmissão é necessário substituir o pinhão de 32 dentes por outro de 31 dentes. A
espessura do dente no círculo primitivo de corte da coroa de 48 dentes e a distancia entre centros de 5,00 pol.
devem permanecer inalteradas. Determine o valor de xm1 que fornecerá dentes com espessura apropriada
para acoplar com a coroa de 48 dentes. A ferramenta pinhão tem zc = 24 dentes e diâmetro primitivo 3,00 pol.
Solução
6 =
6
2
=
31
28
= 1,9375 pol.
% =
%
2
=
48
28
= 3,000 pol.
F =
6 + %
2
=
31 + 48
28
= 4,938 pol.
F7
= 5,000 pol.
cos 7
=
F cos u
F′
=
4,938 cos20°
5,000
7
= 21,87° = q
Como xm2 = 0, o ângulo de pressão de geração da coroa mc
= 20°, e a Eq. 5.26 pode ser facilmente resolvida
para mc
:
6 + l23 mb
+ % + l23 mc
= 2 l23 l + 6 + %23 q
31 + 2423 mb
+ 48 + 2423 20° = 22423 20° + 31 + 4823 21,87°
Portanto,
23 mb
= 0,021773
e
mb
= 22,59°
Pela Eq. 5.13
6 =
6 + l

2: cosmb
− Fkf
(Cstd = distancia entre centros padrão entre o pinhão 1 e a ferramenta pinhão de usinagem.)

=
gr l =
:
8
cos 20° = 0,3690 pol.
Fkf =
6 + l
2
=
31 + 24
28
= 3,4375 pol.
6 =
31 + 240,3690
2: cos 22,59°
− 3,4375
OPQ = R, R[R|[ VWX.

130
Exemplo 5.6. Um pinhão de 14 dentes deve ser usinado por uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão
14,5°, módulo 2,5 mm. (a) Calcule a distância mínima que a ferramenta terá que ser afastada para evitar o
adelgaçamento; (b) Calcule o raio da circunferência primitiva de corte; (c) Calcule a espessura do dente nesta
circunferência.
Solução
(a) Pela Eq. 5.2
= −
2
#$%

Como os dentes são normais
= 1,0
= 2,5 11,0 −
14
2
#$%
14,5°4
OP = Q, iRZ jj
(b) A circunferência primitiva de corte no pinhão permanece a mesma, independentemente do pinhão ser
normalizado ou não e, portanto
=
t
2
=

2
=
2,514
2
} = QT, S jj
(c) Pela Eq. 5.1
= 2 tan +

f
2
onde

f =
2:
=
23,14217,5
14

f = 7,855 mm
Logo
= 21,403tan14,5° +
7,855
2
~ = i, [SZ jj
Exemplo 5.7. Uma engrenagem de 26 dentes deve ser usinada por uma fresa de dentes normais, ângulo de
pressão 20°, passo diametral 7. (a) Calcule a distância máxima que a ferramenta pode avançar no disco da
engrenagem sem causar adelgaçamento; (b) Calcule o raio da circunferência primitiva de corte; (c) Calcule a
espessura de dente nesta circunferência.
Solução
(a) Pela Eq. 5.2 modificada para avanço da ferramenta, ou seja, xm negativo,
− =
2
#$² −
= 1,0
Então
− = 3,5 1
26
2
#$%20° − 1,04
OP = −Q, UYY jj

131
=
t
2
=

2
=
3,526
2
} = iS, SR jj
(c) Pela Eq. 5.1,
= 2 tan +

f
2
onde

f =
2:
=
23,14245,50
26

f = 10,996 mm
Logo,
= 2−1,822tan 20° +
10,996
2
~ = i, QTQ jj
Exemplo 5.8. Uma engrenagem de 20 dentes é cortada por uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão
14,5°, módulo 6,0 mm, que foi afastado de 2,5 mm. (a) Determine se este afastamento é suficiente para
eliminar o adelgaçamento; (b) Se assim for, calcule a espessura do dente na circunferência primitiva de corte e
(c) na circunferência de base.
Solução
(a) Pela Eq. 5.2
= −
2
#$%

= 1,0
Então
í^ = 6,0 11,0 −
20
2
#$%
14,5°4
OPPí = Y, YZ| jj
Como xm = 2,5 mm xmmínimo, não ocorrerá adelgaçamento dos dentes da engrenagem.
=
t
2
=

2
=
6,020
2
= 60,00 mm
Pela Eq. 5.1
= 2 tan +

f
2
onde

f =
2:
=
23,14260,00
20

f = 18,85 mm
Logo,
= 22,5tan14,5° +
18,85
2

132
~ = QR, TY jj
(c) Pela Eq. 4.3
= 2 ‚

2
+ 23 − 23 ƒ
onde
= gr
= 60cos14,5°
= 58,09
e
= 0°
Então
= 258,09
10,72
260
+ 23 14,5° − 0=
~„ = QQ, RY jj

133
Problemas
5.1. Um pinhão de 16 dentes deve ser usinado por uma fresa de módulo 2,5 e ângulo de pressão 20°. Calcule
a distância mínima que a fresa deve ser deslocada para evitar adelgaçamento. Calcule o raio do círculo
primitivo de corte e a espessura do dente no círculo primitivo de corte.
5.2. Uma engrenagem de 26 dentes deve ser usinada por uma fresa de dentes normais com passo diametral
7 e ângulo de pressão 20°. Calcule a distância máxima que a ferramenta deve avançar no disco da engrenagem
sem causar adelgaçamento. Calcule o raio da circunferência primitiva de corte e a espessura do dente na
circunferência primitiva de corte.
5.3. Um pinhão de 16 dentes deve ser usinado por uma fresa módulo 6 e ângulo de pressão 20°, deslocada
0,5 mm em relação a posição padrão. Determine se o deslocamento da fresa é suficiente para eliminar
adelgaçamento. Em caso afirmativo, calcule a espessura do dente na circunferência primitiva de corte e na
circunferência de base.
5.4. Uma engrenagem de 35 dentes deve ser usinada por uma fresa módulo 6 e ângulo de pressão 20°.
Calcule a alteração na posição da ferramenta em relação a posição padrão de forma que o dente tenha
espessura de 10,20 mm em um círculo onde o ângulo de pressão é 20°.
5.5. Um pinhão de 20 dentes deve ser usinado por uma fresa com passo diametral 6 e ângulo de pressão
20°. Qual deve ser a alteração na posição da ferramenta em relação a posição padrão de forma que o dente
tenha uma espessura de 0,274” em um círculo onde o ângulo de pressão é 14,5°?
5.6. Um pinhão de 20 dentes deve ser usinado por uma fresa módulo 4 e ângulo de pressão 20°. Calcule a
espessura mínima do dente que pode ser produzido em círculo onde o ângulo de pressão é 14,5° de forma que
o dente não tenha adelgaçamento.
5.7. Um pinhão de 11 dentes e uma coroa de 14 dentes devem ser usinados por uma fresa módulo 3 e
ângulo de pressão 20°. Para evitar adelgaçamento, a fresa foi deslocada 1,0698 mm no pinhão e 0,5434 mm na
coroa. Calcule o ângulo de pressão e a distancia entre centros que essas engrenagens deverão operar quando
trabalharem juntas. Determine a diferença entre a distância entre centros de operação e distancia de centros
padrão, e compare com xm1 + xm2.
5.8. Um pinhão de 15 dentes e uma coroa de 21 dentes devem se usinados por uma fresa com passo
diametral 6 e ângulo de pressão 14,5°, para operar com uma distância entre centros de 3,20 pol. Verifique se
essas engrenagens podem ser usinadas sem adelgaçamento para operar nessa distância entre centros.
5.9. Um pinhão de 13 dentes e uma coroa de 24 dentes devem ser usinados por uma fresa módulo 6 e
ângulo de pressão 20°, para operar com uma distância entre centros de 115,9 mm. Calcule o ângulo de
pressão que as engrenagens deverão operar e o valor de xm1 e xm2. Faça xm1 e xm2 variar inversamente ao
número de dentes e verifique se xm1 é suficiente para evitar adelgaçamento. Determine o raio externo dos
discos a serem usinados, a profundidade de corte, e a razão frontal de transmissão.
5.10. Um pinhão de 12 dentes tem uma espessura de 0,2608” no círculo primitivo de corte. Uma coroa de 32
dentes que trabalha com o pinhão tem uma espessura de 0,1880” no círculo primitivo de corte. Se ambas as
engrenagens foram usinadas por uma fresa com passo diametral 7, ângulo de pressão 20°, calcule o ângulo de
pressão que elas operam.
5.11. Um pinhão de 11 dentes deve operar com uma coroa de 23 dentes a uma distancia entre centros de
54,0 mm. Se as engrenagens devem ser usinadas por uma fresa módulo 3 e ângulo de pressão 20°, calcule o
valor de xm1 e xm2 para que o início do contato durante o corte do pinhão ocorra no ponto de interferência do
pinhão.
5.12. Um pinhão de 20 dentes que foi usinado por uma fresa módulo 2,5 e ângulo de pressão 20° opera com
uma coroa de 30 dentes a uma distância entre centros de 62,50 mm. É necessário substituir essas engrenagens
por um par que forneça uma relação de transmissão de 1b
…
:1 sem alterar a distância entre centros. Com a
utilização da mesma fresa das engrenagens originais, selecione um par de engrenagens para o trabalho com a
menor alteração possível em relação às engrenagens originais. Determine os deslocamentos da fresa, os raios
externos, a profundidades de corte, e a razão frontal de transmissão.

134
5.13. É necessário conectar dois eixos cuja distância entre centros é de 99,06 mm com um par de
engrenagens cilíndricas com relação de transmissão 1,25:1. Com a utilização de uma fresa módulo 2,5 e ângulo
de pressão 20°, recomende um par de engrenagens para o serviço de forma a ser obtida uma relação de
transmissão mais próxima possível de 1,25:1 sem que ocorra adelgaçamento. Calcule os deslocamentos da
ferramenta, os diâmetros externos, a profundidade de corte, e a razão frontal de transmissão.
5.14. Um par de engrenagens de saliências diferentes de 18 e 28 dentes, respectivamente, foram usinadas
com uma fresa com passo diametral 4 e ângulo de pressão 20° que foi deslocada 0,060 pol. Compare a razão
frontal de transmissão dessas engrenagens com a razão frontal de transmissão de um par de engrenagens
padronizadas com o mesmo passo diametral e número de dentes.
5.15. Um pinhão de 20 dentes, módulo 3 e ângulo de pressão 20°, engrena com uma coroa de 40 dentes a
uma distancia entre centros de 90,52 mm. Se a fresa é afastada 0,2271 mm quando usina o pinhão e 0,1096
mm quando usina a coroa, calcule a jogo primitivo produzido.
5.16. Um pinhão de 18 dentes, módulo 2 e ângulo de pressão 20°, engrena com uma coroa de 42 dentes. Se
as engrenagens são de ação de semi-afastamento, calcule a razão entre a ação de afastamento e a ação de
aproximação.
5.17. Um par de rodas dentadas de ação de afastamento deve ser projetado para engrenar sem jogo
primitivo. O pinhão deve ter 20 dentes e a coroa 44 dentes, e devem ser usinadas por uma fresa com passo
diametral 8 e ângulo de pressão 20°. Determine se uma razão frontal de transmissão de 1,40 pode ser
conseguida com a utilização de ação de afastamento, ação de semi-afastamento, ou com ambas.
5.18. Uma engrenagem de 24 dentes deve ser usinada por uma ferramenta pinhão de módulo 2,5 e ângulo de
pressão 20°, zc = 30 e dc = 75 mm. Calcule a distância mínima que a ferramenta deve ser deslocada para evitar
adelgaçamento. Calcule o raio primitivo de corte e a espessura do dente no raio primitivo de corte.
5.19. Um engrenagem de 20 dentes deve ser usinada por uma ferramenta pinhão de módulo 6 e ângulo de
pressão 20°, zc = 18 e dc = 108 mm. Se a ferramenta for afastada 2,54 mm, determine se o deslocamento é
suficiente para evitar adelgaçamento. Em caso afirmativo, calcule a espessura do dente na circunferência
primitiva de corte e na circunferência de base.
5.20. Um pinhão de 20 dentes deve ser usinado por uma ferramenta pinhão com passo diametral 6 e ângulo
de pressão 20°, zc = 36 e dc = 6 pol. Qual deve ser o deslocamento da ferramenta em relação a posição padrão
para que a espessura do dente seja de 0,274” em uma circunferência cujo ângulo de pressão é 14,5°?
5.21. Um pinhão de 11 dentes e uma coroa de 14 dentes são usinadas por uma ferramenta pinhão de módulo
3 e ângulo de pressão 20°, zc = 26 e dc = 78 mm. Para evitar adelgaçamento, a ferramenta foi afastada 1,0698
mm no pinhão e 0,5434 mm na coroa. Calcule o ângulo de pressão e a distância entre centros que essas
engrenagens deverão operar quando trabalharem juntas. Determine a diferença entre a distancia entre
centros calculada no item anterior e a distância entre centros padrão, e compare com xm1 + xm2.
5.22. Duas engrenagens, de 12 e 15 dentes, devem ser usinadas por uma ferramenta pinhão de módulo 4 e
ângulo de pressão 20°, zc = 26 e dc = 104 mm. Determine a distância entre centros que elas deverão operar de
forma a evitar interferência. Calcule o raio externo dos discos a serem usinados, a profundidade de corte, e a
razão frontal de transmissão.
5.23. Um pinhão de 11 dentes deve engrenar com uma coroa de 24 dentes a uma distância entre centros de
2,000 pol. Se as engrenagens devem ser usinadas por uma ferramenta pinhão com passo diametral 10 e
ângulo de pressão 20°, zc = 40 e dc = 4”, calcule o valor de xm1 e xm2 de forma que o início do contato durante a
usinagem do pinhão ocorre no ponto de interferência do pinhão.
5.24. É necessário conectar dois eixos cuja distância entre centros é de 99,06 mm com um par de
engrenagens com uma relação de transmissão de 1,25:1. Com a utilização de uma ferramenta pinhão de
módulo 2,5 e ângulo de pressão 20°, zc = 30 e dc = 75 mm, recomende um par de engrenagens para o serviço
de forma a ser obtida uma relação de transmissão mais próxima possível de 1,25:1 sem que ocorra
adelgaçamento. Calcule os deslocamentos da ferramenta, os diâmetros externos, a profundidade de corte, e a
razão frontal de transmissão.

135
Respostas dos exercícios
5.1. xm = 0,1604 mm; rc = 20,000 mm; sc = 4,0438 mm
5.2. xm = –0,0744 pol; r = 1,8571 pol.; s = 0,1702 pol.
5.3. xmmín = 0,3851 mm; s = 9,7887 mm; sb = 10,543 mm
5.4. xm = 1,0650 mm
5.5. xm = –0,1872 pol.
5.6. s = 6,3454 mm
5.7. α = 25,153°; C = 38,930 mm; ∆C = 1,4301 mm ≠ xm1 + xm2 = 1,6132 mm
5.8. 6 = 0,1607 pol. ; % = 0,1148 pol.
5.9. α' = 25,847°; xm1 = 3,6418 mm; xm2 = 1,9727 mm; ab
= 47,927 mm; a%
= 79,258 mm; ht = 12,287 mm;
εα = 1,22
5.10. xm1 = 0,0500 pol.; xm2 = -0,0500 pol; α' = 20°
5.11. xm1 = 1,0699 mm; xm2 = 2,4917 mm
5.12. z1 = 18 (arbitrado); z2 = 24; xm1 = 1,4232 mm; xm2 = 1,0674 mm; ab
= 26,433 mm; a%
= 41,077 mm; ht
= 5,4269 mm; εα = 1,36
5.13. z1 = 36 (arbitrado); z2 = 45; xm1 = -1,1086 mm; xm2 = -0,8869 mm; ab
= 46,197 mm; a%
= 57,669 mm; ht
= 5,2230 mm; εα = 1,91
5.14. εα = 1,558; εα = 1,584
5.15. jt = 0,1423 mm
5.16. Afastamento/aproximação = 2,326
5.17. εα = 1,546 (semi-afastamento); εα = 1,369 (afastamento)
5.18. xm* = –0,927 mm; rg = 29,588 mm; sg = 3,523 mm
5.19. xm* = –1,381 mm (sem adelgaçamento); sg = 10,600 mm, sb = 12,410 mm
5.20. xm = –0,0149 pol.
5.21. αr = 25,38°; C’ = 39,003 mm; (xm1 + xm2) = 1,07∆C
5.22. C’ = 55,585 mm; ab
= 29,130 mm; a%
= 34,373 mm; ht = 8,919 mm; εα = 1,305
5.23. xm1 = xm* = 0,0433 pol.; xm2 = 0,2430 pol.
5.24. z1 = 36 (arbitrado); z2 = 45; xm1 = –0,500 mm (arbitrado); xm2 = –1,620 mm; tab
= 93,86 mm; ta%
=
114,12 mm; ht = 5,555 mm; εα = 1,93
Bibliografia
Mabie, H. H.; Reinholz, C. F.; Mechanisms and Dynamincs of Machinery. John Wiley Sons, 4th
Edition, 1987.

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