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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 6
TORÇÃO
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Torção
A torção se refere ao giro de uma barra retilínea
quando carregada por momentos (ou torques) que tendem a
produzir a rotação ao redor do eixo longitudinal da barra. Por
exemplo, quando você gira uma chave de fenda (Figura 1.a)
sua mão aplica um torque ‘T’ no cabo (Figura 1.b) e gira a
haste da chave de fenda.
Figura s 1.a e 1.b
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Torção
Momentos que produzem giro da barra, como os
momentos ‘T1’ e ‘T2’ na Figura 1.C, são chamados de
torques ou momentos torçores. Membros submetidos a
torques que transmitem potência através de rotação são
chamados de eixos, como por exemplo, o virabrequim de
um automóvel ou o eixo propulsor de um navio.
Figura 1.c
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Deformações de torção
Considerando uma barra prismática de seção
transversal circular girada por torques ‘T’ agindo nas
extremidades (Figura 2.a). Uma vez que toda seção
transversal da barra é idêntica e que toda ela está submetida
ao mesmo torque ‘T’, dizemos que a barra está em torção
pura. Considera-se então que todas as seções transversais
permanecem planas e circulares e que todos os raios per-
Figura 2.a
manecem retos.
Além disso, se o
ângulo de rotação
for pequeno, nem
o comprimento da
barra e nem seu
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Para ajudar a visualizar a deformação, imagine que a
extremidade esquerda (Fig. a) da barra esteja fixa. Então,
sob a ação do torque ‘T’, a extremidade direita irá rotacionar
(com relação à extremidade esquerda) através de um
pequeno ângulo Φ, connhecido como ângulo de torção (ou
ângulo de rotação). Por causa dessa rotação, uma linha
longitudinal retilínea pq na superfície da barra se tornará
uma curva helicoidal pq’, onde q’ é a posição do ponto q
depois que a seção transversal na extremidade rotacionou
ao
redor do ângulo Φ (Figura 2.b)..
Figura 2.b
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O ângulo de torção varia ao longo do eixo da barra, e
nas seções transversais intermediárias ele terá um valor Φ(x)
que está entre zero na extremidade esquerda até Φ na
extremidade direita. Se toda a seção transversal da barra
tem o mesmo raio e está submetida ao mesmo torque
(torção pura), o ângulo Φ(x) varia linearmente entre as
extremidades.
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Deformações de cisalhamento na
superfície externa
Considere agora um elemento da barra entre duas
seções transversais distantes dx uma da outra (Figura 3.a).
Esse elemento está ampliado na Figura 3.b. Em sua
suoerfície externa identificamos um pequeno elemento abcd,
com lados ab e cd que são inicialmente paralelos ao eixo
longitudinal.
Figura 3.a
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superfície externa
Durante o giro da barra, a seção transversal direita
rotaciona em relação à extremidade esquerda em um
pequeno ãngulo de torção dΦ, de forma que os pontos b e c
movem-se para b’ e c’, respectivamente. Os comprimentos
dos lados do elemento, que agora é o elemento ab’c’d não
variam durante essa pequena
rotação.
Figuras 3.b e 3.c
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superfície externa
Entretanto, os ângulos nos cantos do elemento (Fig.
3.b) não são iguais a 90º. O elemento, portanto, está em um
estado de cisalhamento puro, o que significa que o
elemento está submetido a deformações de cisalhamento,
mas não a deformações normais. A grandeza da deformação
de cisalhamento γmáx é igual à diminuição no ângulo no
ponto a, isto é, a diminuição no ângulo bad. Na figura 3.b
vemos que a diminuição nesse ângulo é:
γmáx = bb’ (a)
ab
Em que γmáx é medido em radianos, bb’ é o deslocamento
do ponto e ab é o comprimento do elemento (igual a dx).
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superfície externa
Com r denotando o raio da barra, podemos expressar
a distância bb’ como r·dΦ, em que dΦ também é medido em
radianos. Dessa forma a equação anterior (a) fica:
γmáx = r·dΦ (b)
dx
Essa equação relaciona a deformação de
cisalhamento na superfície externa da barra ao ângulo de
torção.
A quantidade dΦ/dx é a razão da variação do ângulo
de torção Φ em relação à distância x medida ao longo do
eixo da barra. Vamos denotar dΦ/dx pelo símbolo θ e nos
referiremos a ela como a razão de torção ou o ângulo de
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superfície externa
θ = dΦ (1.1)
dx
Com essa notação, podemos agora escrever a
equação para a deformação de cisalhamento na superfície
externa (equação b) da seguinte forma:
γmáx = r·dΦ = r · θ (1.2)
dx
Por conveniência, discutimos uma barra em torção
pura para deduzir as equações (1.1) e (1.2), porém, ambas
as equações, são válidas para casos mais gerais de torção,
como quando a razão de torção θ não é constante, mas varia
com a distância x ao longo do eixo da barra.
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superfície externa
No caso especial da torção pura, a razão de torção é
igual ao ângulo de torção total Φ dividido pelo comprimento
L, ou seja, θ = Φ/L. Assim, apenas para a torção pura temos:
γmáx = r · θ = r · Φ (1.3)
L
Esta equação pode ser obtida diretamente a partir da
geometria da figura 3.a, notando que γmáx é o ângulo entre
as linhas pq e pq’, isto é γmáx é o ângulo qpq’. Portanto,
γmáx é igual a distância qq’ na extremidade da barra. Mas
uma vez que a distância qq’ também é igual a r · Φ (Figura
3.b), obtemos
r · Φ = γmáx · L
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Deformações de cisalhamento no
interior da barra
As deformações de cisalhamento no interior da barra
podem ser encontradas pelo método usado para encontrar a
deformação de cisalhamento γmáx na superfície. Como os
raios nas seções transversais permanecem retos e não
distorcidos durante durante o giro, vemos que a discussão
anterior para um elemento abcd na superfície externa
(Figura 3.b) também se aplica a um elemento similar situado
na superfície de um cilindro interno de raio ρ (Figura 3.c).
Desta forma, elementos internos também estão em
cisalhamento puro com as deformações de cisalhamento
correspondentes dadas pela equação: γ = ρ · θ = ρ · γmáx
(1.4)
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Deformações de cisalhamento no
interior da barra
Esta equação mostra que as deformações de
cisalhamento em uma barra circular variam linearmente com
a distância radial ρ a partir do centro, com a deformação
sendo zero no centro e alcançando valor máximo γmáx na
superfície externa. Figura 4 (3.b e 3.c repetidas)
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Tubos circulares
Uma revisão das discussões anteriores mostrará que
as equações para as deformações de cisalhamento
(equações 1.2 e 1.4) aplicam-se a tubos circulares (Figura
5), bem como para barras circulares sólidas. A Figura 5
mostra a variação linear na deformação de cisalhamento
entre a deformação máxima na superfície externa e a
deformação mínima na superfície interna.
Figura 5 – Deformações de
cisalhamento em um tubo
circular
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Tubos circulares
As equações para essas deformações são as
seguintes:
γmáx = r2 · Φ ; γmín = r1 · γmáx = r1 · Φ
(1.5 a e b)
L r2 L
Em que r1 e r2 são os raios interno e externo,
respectivamente, do tubo.
Todas as equações anteriores para as deformações
em uma barra circular foram baseadas apenas nos conceitos
geométricos e não envolvem as propriedades dos materiais.
Por isso, as equações são válidas para qualquer material,
tanto para comportamento elástico ou inelástico. Entretanto,
as equações limitam-se a barras submetidas a pequenos
ângulos de rotação e deformações pequenas.
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Barras circulares de mat. elásticos
Agora que investigamos as deformações de
cisalhamento em uma barra circular em torção, podemos
determinar as direções e magnitudes das tensões de
cisalhamento correspondentes. As direções das tensões
podem ser determinadas por
observação, como
ilustrado na
Figura 6.a.
Figura 6.a, b e c
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Barras circulares de materiais elásticos
Vemos que o torque ‘T’ tende a rotacionar a
extremidade direita da barra no sentido anti-horário quando
vista pela direita. Por isso, as tensões de cisalhamento Τ
(tau) agindo em um elemento de tensão localizado na
superfície da barra terão as direções ilustradas na figura 6.a.
O elemento ilustrado na Figura 6.a está aumentado na
Figura 6.b, em que tanto a deformação de cisalhamento
quanto as tensões de cisalhamento estão representadas.
As intensidades das tensões de cisalhamento podem
ser determinadas a partir das deformações usando a relação
tensão-deformação para o material da barra (Lei de Hooke
em cisalhamento):
Τ = G · γ (1.6)
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Onde:
G: é o módulo de elasticidade de cisalhamento; e
γ: é a deformação de cisalhamento (em radianos).
Combinando essa equação com as equações para as
deformações de cisalhamento (1.2 e 1.4), temos:
Τmáx = G · r · θ e Τ = G · ρ · θ = ρ · Τmáx
(3.7.a e 3.7.b)
r
Onde:
Τmáx = tensão de cisalhamento na superfície externa da
barra raio r);
Τ = tensão de cisalhamento em um ponto interior (raio ρ);
θ = razão de torção (em radianos por unidade de
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As equações (3.7.a e 3.7.b) mostram que as tensões
de cisalhamento variam linearmente com a distância do
centro da barra, como ilustrado na Figura 6.c. Essa variação
linear de tensão é uma consequência da Lei de Hooke
(variação linear).
As tensões de cisalhamento agindo em um plano
transversal são acompanhadas pelas tensões de
cisalhamento de mesma intensidade agindo em planos
longitudinais (Figura 7).
Figura 7 – Tensões de cisalha-
mento longitudinal e transver-
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Essa conclusão segue do fato de que tensões de
cisalhamento iguais sempre existem em planos mutuamente
perpendiculares. Se o material da barra é mais frágil em
cisalhamento em planos longitudinais que em planos
transversais, como é tipíco da madeira quando os veios
correm paralelamente ao eixo da barra, as primeiras trincas
devido à torção aparecerão na direção longitudinal da
superfície.
O estado de cisalhamento puro na superfície de uma
barra (Figura 6.b) é equivalente a iguais tensões de
compressão e tração agindo sobre um elemento orientado à
45º. Por isso, um elemento retangular com lados a 45º do
eixo será submetido a tensões de compressão e tração,
como ilustrado na Figura 8.
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Figura 8 – Tensões
de
compressão e tração
agindo em um
elemento de tensão
orientado a 45º do
eixo longitudinal.
Se uma barra de torção é feita de um material mais
frágil em tração do que em cisalhamento, a falha ocorrerá
em tração ao longo de uma hélice de 45º ao longo do eixo,
como podemos verificar torcendo um pedaço de giz.
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A Fórmula da Torção
Continuando a análise, iremos determinar a relação
entre as tensões de cisalhamento e o torque ‘Τ’. Feito isso,
podemos calcular as tensões e as deformações em uma
barra devido a qualquer conjunto de torques aplicados.
A distribuição das tensões de cisalhamento agindo em
uma seção transversal é representada nas Figuras 6.c e 7.
Como essas tensões agem continuamente ao redor da
seção transversal, têm uma resultante na forma de um
momento, igual ao torque ‘Τ’ agindo na barra. Para
determinar esta resultante, consideremos um elemento de
área dA localizado à distância radial ρ do eixo da barra
(Figura 9). A força cortante agindo nesse elemento é igual a
Τ·dA, onde Τ é a tensão de cisalhamento no raio ρ.
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Figura 9 – Determinação da
resultante das tensões de
cisalhamento agindo em
uma seção transversal
O momento dessa força sobre o eixo da barra é igual
à força vezes a sua distância ao centro, ou Τ · ρ · dA.
Substituindo para a tensão de cisalhamento Τ da equação
3.7.b, teremos:
dM = Τ · ρ · dA = Τmáx · ρ2 · dA
r
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O momento resultante (igual ao torque T) é a soma de
todos os momentos elementares sobre a área da seção
transversal.
T = ∫A dM = Τmáx · ∫A ρ2 · dA = Τmáx · Ip (3.8)
r r
Em que:
Ip = ∫A ρ2 · dA
(3.9)
E Ip é o momento de inércia polar da seção transversal
circular.
Para um círculo de raio r e diâmetro d, o momento de
inércia polar é:
I = π · r4 = π · d4 (3.10)
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Uma expressão para a tensão de cisalhamento
máxima pode ser obtida remanejando a equação (3.8) da
seguinte forma
Τmáx = T · r (3.11)
Ip
Essa equação é conhecida como fórmula de torção,
e mostra que a tensão de cisalhamento máxima é
proporcional ao torque aplicado T e inversamente
proporcional ao momento de inércia polar.
As unidades a seguir são tipicamente usadas com a
fórmula de torção. No SI, o torque T é usualmente expresso
em Newton – metro (N·m), o raio r em metros (m), o
momento de inércia polar em metros na quarta (m4) e a
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Substituindo r = d/2 e Ip = π · d4/32 na fórmula de
torção, obtemos a equação a seguir para a tensão máxima:
Τmáx = 16 · T
(3.12)
π · d3
Essa equação (3.12) mostra que a tensão de
cisalhamento é inversamente proporcional ao cubo do
diâmetro. Dessa forma, se o diâmetro for duplicado, a tensão
será reduzida por um fator de oito.
A tensão de cisalhamento à distância ρ do centro da
barra é:
Τ = ρ · Τmáx = T · ρ (3.13)
r Ip
Que é obtida combinando-se a equação (3.7b) e a
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Ângulo de Torção
O ângulo de torção de uma barra de material elástico
linear pode ser relacionado ao torque aplicado T, por:
θ = T (3.14)
G · Ip
Em que θ é dado em radianos por unidade de
comprimento. Essa equação mostra que a razão de torção θ
é diretamente proporcional ao torque T e inversamente
proporcional ao produto G · Ip, conhecido como rigidez de
torção da barra.
Para uma barra em torção pura, o ângulo de torção
total ϕ, igual a razão de torção vezes o comprimento da barra
(ou seja, ϕ = θ· L), é:
ϕ = T · L (ϕ medido em radianos) (3.15)
G · Ip
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Ângulo de Torção
A quantidade (G· Ip)/L, chamada de rigidez à torção
linear da barra, é o torque necessário para produzir um
ângulo de rotação unitário. A flexibilidade à torção é a
recíproca de rigidez, ou L / G · Ip e é definida como o ângulo
de rotação produzido por um torque unitário. Dessa forma,
temos as expressões:
kr = G · Ip e fr = L
,
L G· Ip
Onde: kr é a rigidez radial da barra; e
fr é a flexibiliade radial da barra
A equação para o ângulo de torção (3.15) fornece
uma maneira conveniente para determinar o módulo de
elasticidade de cisalhamento G para um material.
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EXERCÍCIOS
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