O documento descreve a geometria analítica, especificamente a representação de pontos no plano cartesiano através de coordenadas. Introduz os conceitos de sistema de eixos cartesianos ortogonais, pares ordenados e a correspondência biunívoca entre pontos do plano e pares ordenados. Explica como calcular a distância entre dois pontos usando a fórmula que envolve a diferença das coordenadas.

1. t
Vi'ii:ü;xíïi'"--"rirculares,ond,ecadapontof,caperÍeitamehte
identif,cadopor suapoiíçã,o.Imagine que
vocêqueira índícar oncledevesercolocado
umpregonumaparede- bastadizera qae
altara eledeveestardochãoequalsuadís'
lànciaa umaparedelaLeral.Fazendoisso,
voeêestaráaplicandoewttctmenteopúncí-
pío de representaçãodospontos no pl,ano
cat'tesíat1o- a cacíaposíçã,onoplanofica
associ1.doamponto.
FoiRenéDescartes(1596-1650),filóso-
fo famosopor suafrase: "penso,logoerísto':
que,percebendoessaconespondêncía,es-
GeemefrÍoenalÍiÍca:
pantoercta
tabeleceurelaçõesentrecurvasnoplano e
equaçõesalgébricasem daas vaúáveís.As
propried.adesgeométricasdas curvasfo-
r^m,assim,'traduzidas"por meiodeequa-
çõeseosresultadosda álgebraforam ínter-
pretadxgeometrícawent4Enósganhamos
conl ísso,poístemosmaitasvezesmaisía.ci
lidadecoma Álgebraou corna Geometría
glaçasa essacomprees^o,eapa.ssa.gelnd.e
uma representação(algeb .a oageométuí-
ca)à'oatrn toma clarososconceítosmate'
mátícos.
Descartesestova,acimadetado,empe-
nhad,oemdescobrírumafórmala quedisct-
plinasseo mciocinioeunifcasseo conheci.
mento,Sua obut maisÍamosa.,o Discurso
do metodoparabemccinduzìra razàoe
procurar a verdadenas ciêÍrciagde 1637,
contémLrèsapëndicesqueilustramo "mè-
todo" com exemplospráticos. LÌtu desses
apêndices,chamadoA Geomelúra,contém
as ídéiasbásícasda Geometríaanalítica

2. (chamadaanteriormentedcGeometria
cartesiana).Ëssesimplesapéndiceécon-
sideradoporalgunsestudiososo "maioÌ
avaço, em um sópasso,11oprogresso
d.ascíêncíaseratas:
Oufroestudiosoda Matenàticaque
colúríbaiup6ríí o desenvolúmentoda
GeometrÌaanaltticaíoi ofrancèsPiene
Fefthat(1601-1665).Sua cohttibuiçào
nes.eLampoeslànumtertodenominado
lntroduçãoaoslugaresplanose sólidos
escritopot voltade1636.porémi publi-
cado14anosdepoisd,esuamorte.Assím
aomoDecartes,Fermatassocioueqaa-
çõesa curvasesuperíícíÊs,
Ernborasejacomuma idëiadeque
a Geometuíaanalítíca é uma redaçãa
da Geometriaà Algebra,osescritosde
Descartesmostramquesaapreocupa-
ção era a.cottstraçãogeométrící e a
possibílidaded,eencontrarum corres-
pondentegeométrícoàs operaçõesal-
gébricas.Já com rclação a Ferma.t,o
usodecoord,eadassurgeda aplícação
da Álgebruda Renascençaa proble-
masgeométrícosda Antíguídade.Isso
mostraqae os caminhospercorridos
por elesforam índ,ependentes,Oséculo
XVIIÍoi, assim,marcadopor umgran-
deavançona Matemátícaao seresta
desligadad,asimplesaplícaçaoàs ne-
cessídadeseconômíca,setecnológíca.s,
Começaremoso estudoda Geome-
tria analítíca, nestecapítulô,por seus
elementospúmítívos, oponto ea reta.,
obseruaqdocomoa recarsodeproces-
sosalgéb cosímprime uma precísão
qasmedídasenoscá.lcalosnãoe coL-
trada na Geometriae como,por oatro
lado,a representuçAogeométrícatorna
concfetasas expressõesalgébrícas,na
maíoríadaswzesÌãod,bstratas.
VamosÍecordafa âpicaçãodêrepresentaçãode pontosno
panocârtesiano.AlustraçãoabaixomosÍaumasaaceaua.
a)Locallzea mesaqueesténaterceiíafileka,a partirdãparede
quecontêmalousa/enaprimerãíle ra,apartiÍdêparedeque
contéma poíta,marc.ndo,acoÍì umX.
b)Representandoasmesasnump ano,deacoÍdocomoesque-
maaseguiÍ,PaLrlornãrcouasuacorna letÍap.ExplÌquecomo
estásltuadaa mesade Pauo (vocêpodetomarcornoexem
ploa maneiÍadescritanoÌterna).
c)SeconslderarmosdoiseÌxos,umcoincjdÌndocorna pãredêda
lousae outrocorÍìa parededaporta,sendosuainteÍsecçãoa
oílgerndessesisternadeêlxos,e repreçentarmosa posjçãôde
cadamesapormetodeLrrnparordenado(m,n),noquaméa
distânciadaparededaponaà mesae n adistânciadapaÍede
daÌousaà mesa,quaI parcorresponderáà posçãodarnesãde
Pauo/
d)lvlaÍque,no esquemãacÌma,a mesade Rosa,representada
poÍ(1,3)eadêMartã,repÍesentaddpor(2,4).
r
lt
tr
n
tr
tr
2e
&
trtr
trn
ntr
nn
I

3. 10 ttatemi,rka. (onterto&Aptk4ôês
ff? sistemacanesianoortogonal
Existeumacorrespondênciabiunívocaentreospontosdeumplânoeoconjuntodosparesordenãdosdenúmeros
reais,istoé,acadapontodoplanocorrespondeumúnicoparoÍdenado(x,y)eacadaparordenado(x,y)estáassociado
umúnìcopontodoplano.Arelaçãobiunívocânãoé única,dependedosjstemadeeixosonogonaisadotado.
Paraestabelecerumadessascorrespondênciasbiunívocassãousadosdoisêixosortogonais(eixoxêeixoy)que
íotmamo sistemacattesianoottogonol,Aintese<çáodoseixosx ey é o ponto O,chamadodeo/iqemdo sjstema.
Exemplo:
Aopãrordenadodenúmerosreâis:
. (0,0)estáassociadoo pontoO (origem),
. (3,2)estáassociadoo pontoÂ;
. ( 1,4)estáâssociâdoo pontoB;
. ( 2,-3)está âssociadoo pontoC;
. (2,-1) estáâssociâdoo pontoD.
Considerandoo pontoÂ(3,2),dizemosqueo número3 é a coor-
denadax ouaabacÍt9do pontoAeo númêro2 é acoordenadayou
aoidênâdado oontoA,
Observaçôês:
1.) Oseixosx ey chamam seeixoscoordenadose dividemo plânoemquâtro
regiõeschamadâsquddrontetcujaidentìÍcaçãoéfeitâconformeafìgura.
O sinalpositivoou negativoda abscissâe dâ ordenadavariadeacordo
como quadrante.
2q)Seo pontoPpertenceaoeixox,suascoordenadassáo(a,0),coma C lR.
31)Seo pontoPpertênceaoeixoy,suascoordenadâssão(0,b),comb € lR.
4ã)SeopontoPpenenceàbissetrizdosquadrantesÍmpares,suascoordenadastêmordenãdôiqualàabscissa,ou
seja,sãodotipo{â,â)comae R.
5?)SeopontoPpertenceà bìssetrizdosquadrantespares,suascoordenadastêmabscissae ordenadaopostas,òu
seja,sãodotipo(a,-a)com â c lR,
I
O pontoOtO,0l
pertenceaosdoiseixos,

4. Qpílülo1. GqgmeÍiaanalÍtka:pontoêÍeli 'tl
Exercí<iospropostos
l.obseÍÌe a ÍguÍae d"tetn ê oòporÌoso- sô,è.ce
suâscooÍdenadas
3. Nofetânguodaiigura,ÃE= 2aeBÌ = a.Dêascooroe-
nadasdosvéfticesdorcünguo
4. 0 èlo dek,.ab"roooLeo oo-.oP " . 2k pele-
ceàbss€trzdosquadÍantesímpares,é:
clc
d)D
blDtO,3)
clqt3 :2).
dt-a---tã
e)P(-1, 5l
t
a)-r. .plr "),+ dr+
5. O ÉiodacìrcunfeÉnciadaf-
glrmrnede2 undadesQuais
sãoascoordenadêsdospon
tosA,B,CeD?
"r+
2. ÍVlarquenurnsisternâdecoofdenadascartesianasorto-
gonaisospontos:
a)Atr,
-21
íl Nt0,-ìl
d ci4,4)
hlM(-4,ol
DRt3,o)
6" SabendoqueP[a b],comab> 0,emqu€quadrantes€
encontmo pontoP]
7. SabendoqueP[2m+ 1.-3rn 4] peftenceaoterceifo
quadEntedetermin€ospossiv€isvalofesfeasdem
ffil Distânciaentredoispontos
Dadosdoispontos, e B,a distânciâentreeles,que seráindicadapord(A,B),é a medidado segmentode
extremidâdesAe B,
Exemplos:
te)
d{A,B)=3 1:,
3e)
3
B(-2,4)
l.
Lot-r,,rf'' "
d(A,B)=2+4:6
d(48)=3+2:s d(A,B):4 1=3

5. 12 ÀlatemáÌ.à. ConreÌro&Ad(àóe5
ld(4,B)]']: 3':+ 2'?+d(4,B): 14J [d(4,8)]'z- 3: + 5,+ d(A,B): út
Podêmogdeterminaruma expressãoque indicaâ dìstânciãentre A e B, quaisquerque sejâmA(xa,ya)
e B(xB,yB).
OtriânguloABCé retânguloemC,logopodemosusara relaçãodePitágoras:
ld{A,B)1'?:(xB xÀ)':+ {yB- ya)'?3 d(4,B)=
úx, xJ' +(y, y^f
Obseryaçâo:Aexpressãoobtidâpâraâdìstância€ntredoispontosA eBindependedalocalizâçáodeA e B,ouseja,
valeparaA e Bquaìsquer,Vejamosno29,49e 6-Õexemplosanalisadosanteriormente:
2e)a(2,-r)eB(3,-1)rd(A,B):ú3 (r)I + (r) 1r)l' = ,6'+ C =ús:s
4q)a(2,1)eB(-2,4)+aiAel:lii2 tr2)F+(a lf ='6'+* =rç=:
6q)Â(2,2)eB(1,-3)+d(4,B):,fr( 2)F+I(-3)-2)l'=!6t+(-sf = v5t
Concluímos,então,queadistânciaentredoispontosA e Bquâisquerdoplano,talqueA(xa,ya)e B(xB,yB),é:
=arn.er= o(,,-
',t'
* tv; vJ @_,I veirìqueparaostfes I
I
ourÍosexemPros. ,,
1. Umpor'ìtoP(a,2) é eqüidstanredosponrosA[3,
B[2,4)CalcueaabscssadopontoP.
Resoluçâol
ComoPéeqüidistanted€A € B,d€vernoster:
dtP,A) = dtP,Bl =
èg 6a+/+1=4 4a+/ +4+
+-6a+4a=4+4 I t=
) 2a:-2..2a=2:+a=1
Verifcandol
= Jt3- aÍ + (r z)' = .,1t2â)'+ (4 2)'1.+
=1G-af' +r =út âf'+4=
=[3 a],+l =(2-a),+4= Então,aabscjssadopontoPé ]

6. Gpílulol. Geomeraãna/írkãrponroÊrel.
2. Demonstrcqueo ÍângLrocomvéncesA[ 2, 4].
Bi 5.ll ect-6 5)é sósceles.
Resolução:
dtA.B)= i[.t+ A' + 0 4), =
="6+s ="4ã=:ú
d(4,c) = ít-6 + 2Ì + (5 aÌ =
UrnÍánguloé isóscelesqlandotemdos adoscon
gruent€s(meddasiguaisl.Vamoscalc!af,então,as
ÍnedidasdosadosdorángLroÁBC:
=!'i6+r =fi
drB.C'- ir 6-cJ 5 -J,- 6
Comod(4,Cl = d(B Cl,o trìángutoABCé sósceres.
3. CoJìsideEndoosvéftcesAt- t, -3) Bt6,ll eCt2, 5),
vefiqueseorânguoABCé fetânguo.
Resoluçâo:
Parusertfânglofetánguoo quadradode!m ado
devesef guêlà somadosquadÉdosdosoutfosoots.
dA.Bì -JL6-D tt .3Ì - Jrg--6
=J6s= t./ãFl,=os
d(4,cl = J(2+ rl, + i 5+31, =!6+4 =
=
"/iã
+ [.,4ã],=r:
diB,c) = ii2 - 6Í + t-5 rlz = !í6-1 36 =
= Jsz.+(Jsz)"=sz
i1tg:Eqr'!@<E. Caclleadstânciaentrcospontosdados
alA{3, €Btr,a) dlMt0, 2l€N [./6,-2J
blEt3,-rl eF(3,51 elPt3, 3leqi 3,3l
cl Ht-2, 5leO(0,0l fl C(-a,0leD(0,3l
A
tgl ÁdstánciadopoJìroA[a.]JaoponroB[0,2]é guaa
" 3,CacLreovaordaâbscssãa
Corno65: I3 + 52,podernosafÍrnafqueotánguto
ABCé fetânguloemC.
4. Consdereurnpontop[x,y]ta queasLtadtstâncaaopon
toA[3,2)ésemprcduasvezesasuadstâncaaoponto
B( 4 ll. NessâscondçÕes,€ncontfeurnaequação
queselasâtisfeitacomascoordenadasdopontop.
Resolução:
Deacordocomo pÍoberna,d€vernosteÍ
d(PA) = 2d(p B) o! sejê,[dtp,A)], = 4ldtp,Bll,
. ,) -t2 ,r_4- 1-J- ll _y.1.
-=9-6x+xr+4-4y+yz=
=4fl6+8x+x,+ 1 2y+y,)=
=9.6x1'x:+4-4y+yr:
=64+32x+4xr+4 8y+4yr+
+ -3x'z- 3y,- 38x+ 4y- 55= 0+
= 3x'+ 3y'+ 38x- 4y+ 55= 0
5, A Íìredatrzdeumsegnì€ntoABéaretaforrnâdapelos
pontosqueeqüdstanìdeA€ B.Encontreumarclâção
eǹascoordenadasx ey dopontop[x,y),sabendo
queelepertenceà medatrzdo segrnentoAB,coÍn
A[3,2]e Bt-2 41.
Re6oluçào:
SeP[x,y)pedenceà medatdzdeAB,então
dtPA; = 61pBl,ouseja.ldtp All, = ldtp Bll,
t 3ì, _ t) /r _ ( ._2)) (i _ (__Jl. ,
=rxr-ox+9+yz-4y14=
=x?+4x+4+yr+By+16='
+ 2x 12y 7=A)2x+12y= Ì êunadas
Tnane|asde€xpTessafâreação€nÌrerey.
@ Quale a dstânciado ponïoA[cosa,senêJaoporìto
B(sena,-cos al?
I1. UmpontoP peftenc€âoeixod€sâbscssâse é €qüÌdis
ra'redosoonLosAL .2JeBLt { euatssÍ;oa! coo.
denadasdoporìtoP)
[?
Aaosc'"ade- r oorÌoP é -6 e s.ãdstáncEaoponro
q0 3)e J7a. DercÍn-Fd o-oelaoaoopo-ro.

7. 14 Matemátka. tomexto&Apkaçóe5
Ì 3" ConsdercumpontoP[x,y] cujadstâncÌaao ponto
A[5 3] ósempíeduasvezesadstânciadePaoponto
Bí --'. e5)dsco dçoes,escÍe/aJ 1aeq-cÉo
quedevesefsatisfeitacornascooÍdenadasdopontoP.
triângulocomvérticesA[0 5],
-21 é isósce€s e calcue o seu
l :1,Demonstfeq!e uÍn
Bt3,-21 e Ct-3,
perímetÍ0.
L,l!s!ls jlvEqr
SejamA,g ePtrêspontosdoplanocartesìano,taisquePdivideosegmentoiiBnumarazãor =
nadarazãodèseção.ObservenâfiguraâbaixoqueostÍângulosAPCePBDsãosemelhantes. PB
Então,temosì
AP XI_XP YE- Y'
pB xp -xg yp-ys
Coordenadasdo pontomédiode umsegmentode reta
Dadoum segmentode íetaABtal queA(xÀ,yÀ)e B(xB,yB),vamosdeterminarascoordênadãsde M,o ponto
médiodeA-B.
À(r"yJ
O pontomédioé o pontodivisorquedivideo segmentoemduaspârte5iguais.SendoA e Bospontosextre'
mosdo segmentoA-8,compontomédioM,teremos4 = L Ponanto:
t!18
;ì;
.#=* _+-r=
I. -) =x,-x,=xÁ-xM=2xv=x",,=*" =l!+
. g v:-&-r-
*-r- ys-yo y*.-2yu-y^-v,-y,-&+
/48 yM - yB yM ys
Coordenadasdo baricentrode umtriângulo
DôdoumtriânguloABCdevértjcesA(xa,ya,B{xB,yB)eC(xc,yc),vamosdêtêÊ
minarascoordenadasdec, bariceníodotriánguloABC.
SejaMo pontomédiodoladoBc.EntãoxM= laj-lL
"
y, = &+
SejaGobâricentrodoÍiânguloquedivideamedianãAMêmduaspartes,em
oueumaéodobrodaoutra,Nessecaso,E = z.
GM

8. CâpituloI. GeomerÍladèlítka:
Ponanto:
.lq= *, ,o
=r= ".
,o
-r"cM xc Xu xc Xu "
2xM=xÁ xcâ3xc=xa+2xM=3xo=*o+zÌo&-
=3xc:xÀ+xB+x.= xn= xot!+x.
.*:}j+-r:}
}=zv" 2yM: ya- yc+ 3yc= ya+ 2yM+ 3yc= yÀ+ 2
ys
1
y.
=+Y,-Y Y -Yt 'n z
-3yc=yo
ys- y.- y,- Y+Y32
alAi3,-21e Bi-t, 6)
blAto,7l eBi6,0l
"]
Aí1.-Lì" Bí_] ' ì
2 3) | 3/
6. Detemin€M, pontornédiodeÃ8, nossegunr€sca-
Resolução:
ConsideÉndoM[xM,yM],temos:
alx".= - ' '=1=r'22
v",= - ! -' = -:= a
'22
Mtr,-4)
bìr =i :=::?
22-
7+A
Yv
7 -1
22
"(.i)","ft.i)
t2
v.,= J r =_
'22
MÍ_]. Lì
4 2)
7, Umâdasextremdadesde urnsegmentoé o po|ro
A(7,l3) eaouÌÍaéo pontoBix,yl.SendoMt-3,2a)
0 pontornédto,deterÍnrneascoordenadâsdaextrerni_
dadeB dosegÍnento.
Resolução:
comonal!a! Y
1Y.],enuo.
zz)
-a=-r.=t**= 6ìx=_13
-. l3+v
24=-=13+y=48-y:35
LoSo,B[-]3,3b1.
8. CaculeoscornpfmentosdasmedanasdeumtfaÍrguo
devertcesA[2, 6],B(-4 2) e CtO,4l.
un triângulo
. ïodorriânguto
triângulo.
Resohrção:
ObseruandoaÍguÍa,temos:
M, é o pontornédiodo adoA-Bi
M, éo pontomédìodo adom;
M3éo pontomédodotadom
Cálcuo dascoofdenâdasd€Mjl
x= ::= l
Cálculodascoordenád€sdeM2i
0+2
*=
,-
= t
46

9. Ma$mÍka. ontexto&Apkaçõe5
Cálcuo dascoordenadasdeMs:
04
2
v= -
:3
Vâmoscacular,agorâ,oscomprmentosdasÍnedia-
lúedianeÃMs,sendoA(2,-6) e Ms(-2,3):
lvledana6M,,sendoB( 4,2)eM,(1,-l):
dtB.rvlt= 10+ 4I + l-1- 2)' =
=rr5+s=lE
i,4edianaõM| sendoC(0,4le Mi[-], -21:
9. DadosospontosA[5, ]21€ B[]5, 31,deteÍmneo
pontoPdosegmentoÂBtaquearâzãoentreâsÍnedi'
dasdeAPe PBsearouala:.
3
Resolução:
apz
PB3
FazendoP[x,y),temos:
2x^x,5x
. 3 x 15
.+2t - lb) - 3(5- x)r2x- 30= 15- 3r-
+5x=45=x=9
.1:t^ tP
- ' ^
-
3 v, v" v t 3l-
-211+3)-3(12-
y)-2i 6-36-3y ,
á5)7=30+)?=6
Logo,P(S,6).
Ì U. SeosvélKesdeur InángLlosãoospollocAf . l)
Bt 2,3l e C(-4, 2),deteÍnìneascooÍdenadasdo
bâfc€ntrcdessetâng!lo.
Resolução:
G:baricenÍo[pontod€encontrcdasmedanas]
sabernosquexc = xo + It + xc
e
3
5
I + 3 + r-2ì 2
3
Loqo,ascoôÍdenádâsdobarcenÍosão-i e : 0u
33
sep,cl -*. * I.
d(A,M3)= {(-2 -2Í + (3 + 6)'
d(c,r,1,)= ./(-r- ol'+ t-2 - 4y
{
15. DeteÍmneo pontomédiodosegmentodee*rrcmidâ-
des:
a)A[-],6) e B(-5,4l
b)A(r,-71 e B(3,-5)
c)A(-r, O e B(5,-2)
d)A( a, 2) eB(-2,-4)
16. uÍnâdase*uemìdadesde umsegÍnentoé o ponro
A[ 2,-2]. $bendoqle M[3, 2] é o pontomédio
desses€gmento,caculeas coordenâdasdo ponto
B[x,y],queéaoltm extrernidadedosêgmento.
17. Câlculeos compÍimentosdãsmedianasdo tÍiângulo
cujosvédicessãoospontosA[0,0),B(4,2)e C(2,4)
18, Numtiárìguosósceles,a aturae a med€narclátivâsà
bâsesãosegmentosconcldentes.Calculea medidãdâ
âltumrelatvaàbaseBCdeurntriânguloisóscelesdevéÊ
ucesAi5,3),Bt2,'21e Ct8,2).
19. J.r osraleog"ÍÌoABCD.M(l -2) e o oonlodee_
contrcdasdiagonaisACe BD.Sabe-sequeA[q,3) e
6(6.) sàooorsvéÍtcesco1sec-ïvos.Ura vel ilueâs
dagonàssecortammutuamenteaoÍneio,dercrmrneas
coofdenadasdosvértcesC eD.
20. DelermneascoordenadasdopontoP(x,yl quedivideo
Apl
segÍre_loA[2.0)e Br'7.20ì'ìa dzão_ -
PB4

10. (òpitülol'úeoneüiàanatrÌcà:oont0êrpÌà
'17
I .tïïli;."::.ï:",:",T:.:":.p^"::ï.1,-"-dlll"1" DeterrnineobâficenrrcdotÍiânsurodevértÌces12,3J,sê9.ìê1rodóetreTroadesl?. trêr'B jFr Ìrp.ocÍ ] , ," 6 lt,
Ès glas
Condiçãode atinlramentode trêspontos
Dizemosquetrêspontosdistintosestãoalinhados,ouquetrêspontossão
colÌredres,quandoexÍsteumaretaquepassapetostres.
A,I e Csãotrêspontosalinhados.
Vejamoso queocoffequandotrêspontosA,Be Cestãoalinhados:
PeloteoremadeTales:
AB A,B, AB x, x
AC A,C, ac
AB A,B, AB
Ac A,C, AC h - y1
ComparandoQ e@,temos:
x: xr_Y:-Y,_y:-!,
_
Yi-yj Xu X,
Yt-Yt..> Yz-lt Yr-y, =n*
X:X,X:X:X,
O
(D
+(x3- xrxy, y,) (x, x,)(yj- yr)= o+ xry,- x3y,-xJ,+ !ú
_x2,, +x,yt+xJt
lí
=o.+
+xry: - xry3+ xry3 xryr+ x3yr- x3y,: O
OprimeirotermodaiguãÍdadecorrespondeaoder"r,
"""," lï; ;; ;l
DâLpodemosdizerque: l"' y, rl
SetrêspontosA(x| y1),B(xzyJ e C(x3,yj)estãoãtinhados,então:
]"' r' t
D=lx, y, 1l:0
lx: Y: l
I L
-*"0*.0*"0*o-o-.'I+ corunadâsabs.Èsasdospontos.
Obseruação:Fâzendoocâminhoinverso,podemosverificartambémquel
l'' v' 'lSeD:]x, y, 1
J
- 0,êntãoA(xi,yr),S(x,,y,)eC(x3,yJsãopontoscotineares(recíprocadapr.priedadeanteri.r).
lx: Yr 1l
Verifìqu€queo prìmêlÍo

11. t8 Màtêníio. tunrxlo&AplloÍôer
I l.VerÍqueseospontosAi-3, 51,80, ll e C(3,-1)
estãoalinhados.
Resolução:
Usandoascoordenadas,cacuiâmoso determinante:
12. Sab€ndoqueospontosAia,-4), Bt- 1,-2) eC(2,t)
estãoainhados,câÌclleovaordea.
Rêsoluçâo:
SeospontosestãoâlÌnhados,devemosteÍ:
13 5 r
D=l r 1 1
3tl
=+15 15=0
=-3+15-l-3-5-3=
CornoD= 0,ospontosdadosestãoalinhados.
Observaçâo:
AÍguÊrlustra,geÒÍn€alcamente,queospontosdados
eÍão 1JÌa Tìesìa Íelê.oLsejd,es6o" inhddo'.Tesó
o processoanaÍtco qLregêrântea prcp edade.
2 1 :A
211
Resovendoaequáqão,teÍnos:
-2a-8-1+ / / -a=a,+
) 2a-a=8+ 1+3a= -9âa= -3
Logo,a: _3.
13. DetêmneovalofdexdemodoqueospontosA[3,]l
B[x,2] e C[-3, -]) sejaÍnosvérticesdeumnìesmo
triángLro.
Resolução:
ParaqueA, B e C sejâmosvé(jcesdeLtmtfiânguo,
eesnãodevemestaÍalinhados.
Então,
l-: r rl
I z rl^o- d-3-'+d--3,0,tl
l-3 -r rl
è x-x+3+ 3=2x+ -6+x+-3
Logo,x I -3.
.i
23.Verifqueseospontos:
alA(0,2),8t 3,l) e C[4,5] esiãoalinhados;
blAt l, 31,Bt2,aleCt-4, 10Jpodemsefosvénces
d€uÍnmesmot ângulo.
24. DeteÍmnex demaneraqueospontosAi3,51,Btl, 3l
e C(x,1)sejamosvérticesdeumt ângúlo.
25. Considerandoumafetar quepassapeospontos
A(- I, 2l eB[4,2)eintercectaoeixoy nopontoP,
detemineascoodenadasdooontoP.
Sejao â medidadoânguloquea retaÌforma como eixox.Amedidãddo ânguloéconsideradado eixoxpara
aretâÌ, nosenüdoanti-horário,e denomina-se,inclinacãoda tetaJ.
âo de umareta

12. Qpilülo1 ' Gmmetriamaítka:Fnroeera 19
Quantoà inclinaçãoderetãsnão-parâlelasaoeixox, podemoster:
0o<a<90o
Sea reta ré paralelâao eixo)ç
,
90o<o<180o
dizemosquesuainclinaçãoézêro,ouseja,d : 0..
Entáo,podemosdizerque,pârâcadaretaÍroângulo d é únìcoê talqueO.< d < 180".
Consideremosumaretarde inclinaçãod emrelaçãoaoeixox,
o coeÍicienteangularoua dêclividadedessaretaré o númerorealmqueexpressaâ tangentêt.gonomêtrica
desuaincrinaçãoa,ouseja:
m = tg,g ,
Vamosobservarosvárioscâsos,considerandoOo< a < l8O.:
4e)
Parao-0',temos
m--tg0=tg0q:0.
Para0"<a<90',
temostge>0=m>0.
Para90"< q < 'ì80',
temostg cr< 0:ì m < 0.
Parae : 90',atg a nãoé defìnida.Dizemosentão
que,quandoor= 90o,istoé,quandoa retaé verti
cal,elãnãotem declividade.
CoeÍicienteangularde umaÍeta

13. 20 Àlatemáte . Conro(o&Aplka!Õês
Vejamosagoraqueé possívelcalcularo coefìcienteangulardê umaretaa partìrdascoordenadasdedoisde
Comoparao=0'(retahorizontal)adeclividadeé0eparao:90'(retaverticât)nãohádeclividade,vamos
ânalisaroscasosde0'< a < 90'e90'< o < 180":
1r)0.<a<90"
SejãÌa ÍetadeterminadaporA(,yr)eB(x,,y:)esejaC(x,,yr).
NoÌriánguloretânguloABCG é reto),temos:
d(C.B) Av
- d(4,C) Ax xz Xr
Então:
-_v, v1
2r)90.<o<180"
A(x,,yr),B(x,,yr)ec(xtr,y1)
NotÍiânguloretánguloABC(eéreto),temos:
.l/a aÌ
^v
d(A,c) Àx
Comotg(180" o) : -tg e,vem:
v, v, Àv
tqo 4 ,ì
-m
- Ìaa-:jL= ,2 ,l
- x -x. - Ax X:-^,
Então:
Obsêrvequex,+ xÍjá quer nãoéparalelaaoeìxoy.
Podemosconcluirque,seA(xr,yr)eB(xr,yr)sãodoispontosdistintosquaisquernaretaÌ,quenãoéparalelaao
eixoy(xr+ xr),adeclividâdeouocoeficienteangulaÍdeÌ,queindìcaremosporm,édadapor:
^v
v. v,
ax x: Xr
Assim,temosduâsmaneira5deobteÍo coeficienteangulardeumareta,quandoele
existir:
. conhecendoainclinaçãoodareta,calculamosm = t9 d;
. conhecendodoispontosA(xr,yr)eB(x/yr)dareta,calculamosm : y': yr
.
x: Xr
Naprática,émaisdifÍcilobterâìnformâçáosobreã inclinàçãodareta,porissoé importantenuncaesquecerque
rn=J:-Jror.; Yr, Y:
ObseÌvaçáo:AgoravocêpodeutilizâroutrométodoparaveriÍicaro âlinhamentodetrêspontos,comparandoos
coeficientesangulâresdãsretasquepassampelospontosdoisa dois,Porexemplo,naveíiÍicâçáodo alinhamen-
to detrê5pontosA{x| yì),B(x,,yr)e c(x3,y3)podgrn65vsrifiça1ssq66rÍsf!-l]! =
:. Ficaa seucÍitério
usaressemétodoou continuarutilizandoo determinanteparaverifìcaroalinhâmentoou náodetrêspontos.

14. -
(apíülo1 ' GúmeíiâanaftìGrpoÌrroercta
21
14. Calculeo coeÍcienteangutardarctaquepassapelospontosA[2,3)e B[4,D
Resoluçâo: '
7-3 4
4'2 2
=2oum= " = a =t
242-
Oânsulooéasudo
[0'<d<90'],poìs
ConÍÌrm€aonsrrulndoa
frguÌaaomA€8.
Exercídospropostosì
:ìi:.,Determineo coefrciefteanglrlar[ou dectivìdade)da
|eraquepassâpetospontos:
al4t3,2)e Bt 3,-r)
blAt2,-3) e Bt-4,31
cl P,t3,2l e P,t3,-2)
dl Prt l, 4l ê P,t3,2l
elP(5,21e qt 2,-3)
0 4t200,100)e 8(300,801
ll: Seo éa ÍneddadaÌnclnâçãodeurnêrctae m éa sua
declivdâde(o! coeÍìcienteangLtlat,cornpletearaDeEl
Equaçãoda retaquandosãoconhecidosum ponto
Á(xo,yo)e a cieclividadem da reta
Jávimosquedoispontosdistintosdêterminam umareta,ouseja,dadosdoispontosdistintos,existeumaúnica
rètaquepâssapelosdoispontos,
Damesmaformã,umpontoA(xo,yo)eadeclividadem dêterminâmumaretâÍ.Considerandop(x,y)umponto
genérlcodessareta,veremosquesepodechegaraumaequação,devariáveisx e, apanÍrdosnúmerosxo,yoem,
que seíâchamadaequacàodarctar.
15" DetenÌin€a equaçãodaretar quepassapeloponÌo
Al4.2l etenìlnclinaçãode45..
Resoluçâo:
VarnosconsdefarLmpontop[x,y] q-uepenenceã
NotfiânguloAPC[ô é fero],temos:
ãT' Dì
UIÀ, UJ
=y-2=Ã(x-4)=y-2
=y-2 x+4=0+-x+y+2=0+
Logo,aequaçãopedidaéx y - Z = 0.
OspaÌes[x,y] quesatisfazem
eçsaisualdãd€(soluçõesda
equâçãolr€presentamos
pontosdarêtari t0,-21,[5,5J,
tlo,8l,( t _t eoütr3s.

15. 22 MatemáÌka. (omeÍro&Apkaçõe5
16, Deteffninea equaçãodarctar quepassapeo pomo
A[5,3)etemcoeícierìteangulafm = -2.
Sem = -2, entãoa Jìcinaçãoderé urnâìguoobtu,
so,ouseja.tg0 : 2.
NotrlánglloACP,retángLroeÍnC,emq!€P[x,y]éurn
p0nt0g€nófcodarcta,Ìernos:
2=i-y 3 = -2[x 5)-
{J(y yo) = fr(x to)
1y - 3= -2x+ l0 = 2x- y - 3 t0 ={ =
=2x+y t3=0
Então,aequaçãodarctaré 2x+ y - t3- 0
f
Genericãmentepodemosobterâ equaçáoda retaque passâporum pontoA(xo,yo)etem umcoefìcienteân-
gularm:
ConsiderandoumpontoP(x,y)qualquersobreareta,temos:
m- Y-Yo
-
y-y":m(x-x^)
ObseÌvaçõesl
1e)Aequaçãoy %
= m(x xo)independedem serpositivoou nêgativoe dalocalizaçãodo pontoA.
2:) Sea retaé paralelaaoeixo)çtemosm = 0 e âequaçáodaretasêrádadâpory = yo.
3ã)Sea retaé paralelââoeixoy,todosospontosdaretatêm a mesmaabscissaea equaçáosêrádãdaporx: xô,
17. Deteffninea €quaçãoda retaqle passapeloponro
A(-1, 4)eÌemcoefcienteangul€r2.
R€dução:
Usandoaequâção[y - yo]= m(x xJ,temos:
Y-4=2[x t ]ll =ry - 4 = 2(x+ 1l+
.+y - 4- 2x+ 2=. -2x+y 6:0=
= 2x y+6=0
AequaçãoprocLrmdaé 2x y + 6 = 0.
18. Dererminea eqirâçãodar€taquepassâpetospontos
- At-], -2) e Bts,2l.
R€solüção:
JásabernoscomocalcuÌarocoefrcienteangulardarcta
determinádapelospontosA[ ], -21 e B[5,2):
n=Ys-]yA
2+2
-4
2
xe-Xa 5+l 6 3
usandoo pontoA[ ], -2l,temos:
y-t /ì-^( | ll-i'2-'-t.'lJ-
=3y+€=2x+2ã2x 3y 4=0
AêqlaçãodafetaABé 2x- 3y 4 = 0.

16. :
CapÍtulo1' 6!omèÍaanâtíriGrpontoercra
outtaresolução:
Chamandode P(x,y) umpontogenéÍicodaretaAB,
podemosaímãrqLt€P,A eI estãoalnhâdos.Logoi
V]
l
l-l 2 ll:0:+-â+5y-2+10+y U=A=
5 21
=-4x+6y+8=0=
=4x-6y 8=0=2x 3y-4-0
A €quaçãodafetaABé 2x 3y- 4 = 0.
oJ
19, DeteÍmÌneaequaçãodaretanosseguintescasos:
al r passapof[4,, e é parátetaaoe]xox.
b) r passapor(4,, eé paË€taaoeixoy.
0spontosder têrnordenada7,quaquerquesejaa
Logo,aequaçãoderé y = 7.
PodemostambérnjlstiÍcarassmi seÍé pâÉelaao
€ixox temcoeftcient€anguiaÍm = 0.
Log0:
Y 7=0(Ì 4l=y 7=a+y=7
Ser é pâraleaâoeixoy,seuspontostêmabscissa
4,quaiquerquesejaâ ord€nâda.
Logo,aeqLiaçãodâfetaré x = 4
Resolução:
êJ
Exerddospropostos,
r' DetenÌìneaeqLraçãodaretaqLtesaÌisfazâssegutnt€s
condlgôes:
a)A declvdadeé 4e passapelopontoA[2,-3).
b)A nclinâçãoé de45'e passapetoponÌop(4,ll.
cJP€ssapelopontoM[-2, S]eteÍncoeíicienre€n_
gular0.
dJPassapelospontosA[3,]) e Bt-5,41.
elPassêpeopontop[-3, 4]eé pamtelaauexoy.
29, Vedftq!€seo pontop[2,3) penenceà fetaÌ quepassa
pelospontosA[ì,]l e B(0, 31.
t
Vimosquea êquaçãodaretaquepassâporumpontoA(xo,yo)comdêclividadem é dadaporl
Y-Yo:m(x_xoj
seescolhermoso pontoparticulãr(0,n),istoé,o pontoemquea retaintersectâo eixoy,parao ponto(xoryÕ),
teremos:
y- n - m(x-0)+y- n : mx+y= mx+ n
.
o númeroreaI n, queé a ordènadado ponroem queâ retaIntêrsectao eixoy, é chamadocoeficientelinear
Lcoêt5crênre tinêÍ
Lcoe6.iêntêanqúÌãÌ

17. MatemiÍieCorteÍto&Aplkàçôes
Essaformaé especialmenteimportantepoÍquepermiteobtero coeficiente
angularde umaretaa pâftirde umaequação,alémde expressarclaÍamentea
coordenãday emfunçãodex.
Éconhecidacomoformdfeduzidodãequãçáodareta.
íì
20. Detemneo coeÍcient€ângulare o co€Íìc€nt€ neaf
dafetadeequação2x+ 3y: I
Resoluçào:
2x+3V=l=3v= Zx+l:v: ?x+]
33
Logo,o coeÍcient€angLrafé rn: : e o coeÍcente
lr
3
21. Dêêrn êclo.rd .o. io" o" eo.d.aodd ."u.
passapelospontosA[],51e Bt-3, t).
Resolução:
Vârnos,incalm€nte,cacularo coefcient€anguafd€
v" v. l5-6
-3+t 2 -
Usandoo pontoA[ ].5l.temos:
Y-Yr =mtx x,l+jr 5=3[x+]l+
+y 5=3x+3+y=3x+8
Looo."
pouú!;op o( "d"ei
-3 -8.
Autu resoiuÇàt
A equaçãoÍ€duzidêdarctaé dafoÍmay : mx+ n
Cornoeapassapof[-] 5l temos:
5:m[ ]l+n
Cornoeatambérnpassapof[ 3, ]l,vern:
I =mi 3l+n
0svaofesdem en seéocaculadospelaÍ€soluçãodo
fm-n= s ['+/=s
[3m n=] lsÍl í:r
2rn:6=rn=3
SLrbstituindorn= 3 naparne|aeqLraçãoremos:
3-n=_5= n=_8=n=8
Logo,âequaçãocoffespondenteéy= 3x+ 8.
22. Detemneâequaçãofe.llzidaclar€taquecoftaosei
xosnospontos[ 5,0] e [0.3].
Resolução:
A€quaçãoédaforrnay = rnx+ ne.comoaÍetacorta
o ex0y em[0.3],ternosn = 3.
Ficân'ìosentão,comy = mx+ 3.Comoa retapassa
Ìambempeoponto[ 5,0].vern:
0 = Íìr[ 5]+3=5m=3+rn=9
5
Logoa€qìraçãopfocuÉdêéy = :x + 3.
23. Delenìlnea€qlaçãofeduzdadarctar quepassapeta
orrg€rnetemincÍìaçãode60'
Resolução:
A equâçãoÍeduzÌdader édafoffnay = mx+ n
Cornorpassapelaofgem(0,01,tenìosn = 0
Comoâ ncinaçãoéde60",então:
m=ts60'=!ã
Logo,a€qlaçãorcduzi.la.lere y = Jgx.
Façao exercÍcior€solyido2l de
umaterc€irarnanêirâ,usndoo
X Y ìI
-l 5r
3 t1
Exercício-spropostos
: Dadaaretaquet€rnaeqLração3x+ 4y= 7,detefmne
s!adecividad€.
r" Determnea eqdaçãoda fetade coeÍicent€arrgla
m = 2equeIntersectao exoy nopontoA[0, 3J
.l UínaretapassapeopontoP[ ], 5l€remcoefcien
teanglrlârrn= :-. EscrevaaequaÇãodarctanaforrna
EscfevaaeqLrâção:
al darctabssetrizdosquadrânÌesímparcs:
bl dafetabssetdzdosquadÉntespâÍesi
cl doexox;
dl doexoy.
Escr€vafa foffìraÍedu
zda a eqLraçãoda reta
que passapeos pontos
Plr-2.7)e P't-1, -51

18. (apíÌulol. 6úÍìetdâanaíÌtc:ponroerch
Snrmasegmentáriada equaçãoda reta
ConsideremosumaretaÌ quenãopâssapor(0,0),inteÍsêctao êixox no pontoA{a,QJe Intersectao eixoy no
pontoA(0,b).
Calculandoo coeíicienteangular,temos:
o_b b
. â-0 a
Usandoa foímareduziday : mx + n,emquem = !
"
n : b,u"r,
a
b
Y= - x + b+ay= -bx+ ab=bx + ay= ab
Dividindoosdoismembrosporâb (a+ 0 e b + 0),têmos:
bxâvabx
---' +
-=-
=) - +::1
aDaoabati
Estaéâformasegmenfárddaequaçãodâretaquenáopassâpor(0,0)eintersectaoseixosnospontos(ô,O)
e(0,b).
Exemplos:
1e)AfoÍmasegmentáriâdaequaçãodaretâquecorraoseixosem(5,O)e(0,_21"a .. -L = 1.
2e)AretacujaequaçãonaÍormasegmentáriaéI + I : .l(ortâoseixosem(5,0)ê(0,2).
39)Sey:2x 5éaequaçâodeumaÍetanaíormareduzidô,podemoschegaÍàformasegmentárÌa:
y = 2x- s .+ 2x- y : s = 4 - ,L : r
-
:- + I : j
55:-s
2
tssàretacorlaoseixoçem
l
- . 0J e(0, 5,
Podenoscì€gàrãom€smo
resultãdotonsiderando!m
pontogenérìcoPtx,y)e
-,"","ltãll..lobr
ì
., ......, l
24- EscrevânaíonÌasegrnentádaa equaçãodarcÌaque
passapelospontos[j, -]l e [-2, 4].
Resolução:
Determinamoso coeÍcient€angulâr:
m= =_1::
Usêndoo ponto[3, ]1,ternos:
I
y+t=-[{ 3]
^gom
vâÍnosobÌeraeqlraçâonaíormasegrnentáÍìâ:
y+l=-[x-3]=5v+5=3À 9+
ì3x qv=,r-3*-5Y -, .
-3x
5y= t4-1 :l=t=
=-!1-,L=r
14 -14
Tb
Outraresoluçao:
ConsideraÍnoso pontogenécop(x,yl efazemos:
l;ir-a
-x 4 12- 2-3y +4x= 0=
33;1-5y:14341-L=1' 14 -14
ã5

19. 26 , íftremátka.(onrexro&Artka.óes
ExeÍ(í(iospropostos
35, Escrevân€foffnasegrnentáÍiaa equaçãodaretaque
satisíazasseguintescondçô€s:
' Nafg!É dada,o pontoOéaofgerndosstemâde
coofdenadasoftogonaiseOABCéuÍnquadradode ado
4 SabendoqueM éo ponrornódiodeO*Ae N,o poJìb
médodeOC,escrevaa equaçãodarctaqlr€psssapor
C eM eaequaçãodafetaquepassaporAe IÌ.
alPassapelosponlosA(3,01e B[0,2]
blP€ss€pelospontosA(5,0.)_qtemdecliviçade2;
'c$kssapetospontoíp,3r:-3),e
p"trâs);
oìSudeq-açaoêo /,orei - -ì - 5
:i ii, NaíguÍEdâda,opontoOéaoÍigemdosistemadecooÊ
denadasorrogonaise OABCé umquâdEdode ado3.
Escre s equ€çãodarctasLrpoi€dadiagonaAC Í
ftll Equaçãogeratdareta
Todaretado plânopossuiumaequaçãodêÍormai
âx+by+c-O
naquala,becsãoconstanteseâêbnãosãosimultaneamentenulos,Elaédenomifiàdaequaçãogeraldarcta.
Exemplot
ì
.y :x - I podeserescritànàtormàgeralpor3x I ay -4=O-
xv
.
Z
t
t
= I pode1erdadanaÍormageíàlpor5x 2y 10= 0.
. y:5, queé pârâlelaaoeixoXpodeserdàdaporox+ ìy- 5 =o,
. x - 2,queé umâretavenical,podeserdadâpor1x+ 0y 2=0.
.y - 3 - 5(x- 1)podeserdadapor5x- ly - 2 : 0.
Observaçôes:
13)Vimosquea equaçãodaretapodeserescritadeváriasformas,Naresoluçãodeexercíciosdevemosescolhera
maÍsconvenienteemrelaçáoaosdadose à propostado problema.
Assim:
. nâformay-yo=m(x-xo,identifìcamosainclinaçãoddareta(m:tgC[)eumpontodareta(xo,yo);
. nâformareduziday: mx + n,jdentificamosâ inclinaçáoo(m: tg o),o pontodeinterseciãodaretacomo
eixoy (0,n)e aindâo ponto(1,m + n);
. naformasegmentàriaI + + = t, idenrificâmosospontosdeintersetçãodaretacomoseixos:(â,O)e(0,b),
b
x v tl
. quandofazemosxr y, I :0, identiíicamossemfazêrcálculosdoispontosdârêtà(xr,yr)e{x/yr),
Y, 1
. aformageralax+ by+ c:0 podeserobtidaâ partìrdequàlquerumadasantêriores.

20. Apftulol. GeoneÍiadaÌítjorp0nÌoereta
2ã)A mesmaretapodeteÍdiversasrepresentaçõesnaformâgeral,ouseja,x + 2y_ 1:O,2x+4y _2=0,
x 2y+ 1= 0 e inÍinitâsequaçõesequivarentesa essa;.pore.r" i"reo,e pr"r"riuut
"rcrever
,,obterumdequaçãogeraldareta,,a,,obìerdequacãogeraldareta,,,comonoexercícioresolvido26abaixo,porexemplo,31)Dadaumaequaçaogerardeumaretar:ax+ by+ c = o,seucoefìciente
""n"i",
o"ã"_ì"r"0,'0"rapidamente
,sanao.n.- .
ou-.
" '
ffi---
4') AÍetartalqueàx-by.c-oinrersecràoseixosnospontosf-!,0ì"Í0,_..
1. ll*,"*".,,",i-l à
'
b/
Jobservàcò€s ,,
Í
25. EscrevanasfomâsreduzÌda,segmentáfa
eq!€çãodarerâquepêssap€toporìto[],
Inctnaçãodet3b.
Resolução:
Pelosdadosdoprcblemaé maiscoJìvenienteescrcv€f
rnr"r'en,ea.c-aL:oêorndg ,,.. n.. -,r.
Uomoa = 135".então:
rÌ=tga=tgt35o= l
E,comoa retapassapor[], 6),temos:
y+6=-t[x-]l
Daiveml
| "--"
5_ |
. Ìormasegrnentãria:
y+6=-x+t=ì+y= s=-]:+{ = r
. fomao€ral:
y+6=-x+l=x+y-t+6=0+
+x+y+5=0
26, Dere-r-,ne,.o
"qur.;o9",u,o","trì*1,-o,o o",0.
e gera â
_6Je tem
pontosA[], 4)e B[3, 3)
Resolução:
VanìoscaÌcuâradectivÌdadedâfeta:
Conslderandoo pontoA[], 41,ternos:
Y-Y =mLx x j=y 4=-:[x-]l=
2-
77=y-4 =--x+_+2v-8= 7+73
=7x+2y 15=0
Auïa resaluçaa:
Corìsderamosunìporìtop[x,y] quatqlerdarctaque
passapeospontosAe B.
. EssaÌPtãreminctinaçàodeI35',passpetoponrc.
r/, ôJ€conãeixos€m[ 5,01eÍ0,_5ì.
. O^rnân€uloqu€etad€rêÍminacomoseixose!m
InangutoretànsÌrtolsóscetes.cltcutea medtdadà
ConoA,B e p estãoalÍìhados,devemostefi
]'
t
']I 4 I = 0= 4x+ 3y- 3 - 12- V+ 3x= 0=
1s-: ri
,- 7x+ 2y - 15= 0
zr. ê rgL'"ddd".o po ro O e d o.igeì oo st,, I d o-
coodeladd)otogonar e qBCDê
-n
qLèrdoo ae
èdo3J2 -s.ÍeêLnà poLêç:ogpra,oaretêdeÌetr
nâdap€os ponÌosAe D.
Resolução:
S€aÍÌgu|aé!m quadÍ€doÌemosOA= OD.
ADltdìooo eo,erêdeDttaoo.d.ro.érg-o,p€.g.
loAODtemos
fAD -rAO| OOr.- ;J. i - lo{r ! OAJ_
-
2[oA]:= 163 1941:= e = 64 =.
spnooêçcn.no is pr a d- coordenaoaso1oou,ar,
temosAt-3,01,B[0. 3].Ct3,0lDt0.3l
umaequaçãogeraldafetadeteffninâdapeiosDonÌos
AeDédadapor:
l' v tl
]-:
o I =o+-s+3y-3x=o+
lo 3 rl
=3x 3y+9=O=x-y+3=0
Loqo.LrêequeÇãoge.dtoètetae., _ j _ C
.o. LreÌe^-TrneosoofÌosdei.te.òecç;ooê et oeequd_
ção3x 2y- l2 - 0comoseixosxey
Resoluçào:
o pontodeintercecçãocomo exox t€rnordenada0.
Logo,íâzendoy = 0,temos
3x 2.0 tZ=0=3x-12=0=3x=12+
Então,aretacortro eixor noponto[4,0].

21. 26 lìatemátka. ConÌsÌo&Aplic!ôer
0 pontodeintersecaãocomo elxoy temabscissa0.
Logqfazendox= 0,t€mos:
'1 0-2y 12- O- ?r- 2 ,y -6
Então,eacortao eixoy noponlo[0,-6].
Outaresolução:
PodemospâssâÍa equaçãodafoffnagerapaÍaaseg
3x- 2y- 12= 0=3x 2y= 12..t
3*2y12xy
12 12 12 4 -6
DàequaçãosegrnentáÍiâobt€Íìrosospontosprocuru
dos[4,0]e [0, 6].
29.SeumïiángulotemcomovérÌcesospontosA(t, t),
Bt-2. -2) e Ci 3,4J,detemifea fofinageraldas
equaçôesdasretassupoftesdoslâdosdessetrìân
gulo,
Resolução:
Equaçãog€ÍâldareÌasuportedoladoAB:_,
ljl,i=0=x 2y-2+2 y+2x=O=
+3x 3y=0rx y-0
Equaçãoge|aldaretasuporredoadoAC:
" v ,l
r r 'll=0=x 3y+4+3 y 4x=0=
3 4 rl
+-3x 4y+7=0+3x+4y 7=A
Eqlaçãogeradafetasupod€doladoBc:
l" ' 'll-2
-2 I =0= 2x-3y-8-6+2y 4x=0+
13 4l
=-6x y l4:0=6x+y+14=0
t
Formaparamétricada equaçàoda rêta
Vimosqueaequâçãodeumaretapodeaparecernâsformasgeral,reduzidae segmentária,
. Existemaisumâ,conhecidacomoformaparaméfíto,Nessêcaso,ascoordenadasx e y dospontosda retasão
dadasemfunçãodeumaterceiravariável,t, pormeiodeexpressóesdo 1-'9rau.Avariávelté chamadadeparâmetro.
Exemblo:
A retaredetnida natorm" porornetri.opor.I"
t r.
- ìv :2t
[x-5+ì:6
LY:2 s:10
Logo,(6,l0)éumpontodessareta.Í4aisqueisso,qualquerpontoPdaforma(t + t, 2t)sêráumpontodessa
retaÌ. .
ObsêÍvâção:Paradeterminarumâequãçãogeraldet podemosobtêrtemumâdasequaçóesparamétricasesubs-
tituÊlonaoutral
x:t+1+t:x-Í
y:2(x 1).+y=2x-2i2x y 2 = 0(equaçãogeralder)
@_.,I Subltituàt6,l0lnà |
I
Euaçlosenld€r. ,,
30. Dadasasequaçôesder n€fomapamméüca
fx=2t-l
l. -,oeleÍÍìlne
|y=Í+z
a) âequaçãofeduzdadeÍl
bl a intersecçãoder como eixox.
Resolução:
al Deteminamostnasegundaequação:
'y=l+2=l=y_2
S!bstituindonaoltraequação:
x=h 1.-x=29-2) 1=2y 4 1=x=
-
v = 1r + ! teouacàoreduzcladerì
22'
b) Fazendoy= oftèrnos:
2x+:=0.ìx+5
0=x 5
Logo,r cortao eixoxenì[-5,0].

22. .gcu!!grr,."Iqr-!q-
38- Erncadacaso,escrevaumâequaçãogeraldaretadef-
nrdapelospontosA e B:
a)At r,6)e Bt2,-31
b)At l,8) e Bt-5, ll
cl At5,0)eBi-], 4l
dlAt3,3)e Bf, -51
'1e Seosoo"tosA{J 5' " 8, -3. 8Jde.ern-aì Jaìè,etd,
cacuieovabrd€a paraqìreo pontoC(4,al pertençs
4Ú. SeurntdânguoÌemcomovéfticesospoJìtosA[2,3]
Bt4, ll e C(6 71,determrìeumaequâçãogeÍaroa
retasLrportedaÍnedianafelatvaao adoBC.
i 4i. SabendoqueospontosA[2.O),B[0,4] e Cl4,2l são
osvêrtc€sde urntâÌìgLrlo,deterÍnne umaequação
ge€lclâsrctassuportesdosadosdessetriángulo.
{i >ê0" 0oole o porÌopfl. ì oerte.cêatetaoeequdçào
3kx+ (k ' 3)y: 4,det€mlìeovaÌordek e escieva.a
segur,umâforrnâgerdldaequaçãodessar€ta.
l!3. Naígurâ.ladâ,ABCDé umpamlelogranìo.DetermÌfe
umaequaçâog€|aldasfetassupoftesdassuasdagonats
ACe BD.
t
DuâsretasÍe s contidasnomesmoplanosãopdÍatetasouconcoÍentes,Veia:
Posi es relatÍvasde duas retas no lano
pur"l"t",Iigr"i.
(.9in.identes),seI n s = r
ldistintas,serns=U
conaorr"nr",Ip"rp"ndiculares,
ser e s determinamquarroángulosretos
loblíquas.seÍ e s determinamdoisángulosagudose doisobtusos
r e s:paralelà5distintas â e b:paràlelasigudisou
| // s,comrìs = Õ a e b:coincidêntês
â//b,coÍÌ.ìan b: aouâ- b e_tf
e êf: concorrentes
perpendiculares
p e qiconcoÍentes
oblÍquas
p1q
-veÌerÌìosâsegukcomodeterminârasposiçôesrerativasdêduâsretasdo mesmopranoâ partir,desuas
equações.
Paralelismode duasretas
,
5econsiderarmos,porexemplo,umaretârdeequação2x 3y+5=0eumâretasdeequãção4x_El=0,
qualteráaposiçãodaretaremrelâçáoàrêtas?
Notequeaprimeiraêquaçãoequivaleô4x_ 6y+ .ì0= 0.Comparandocom4x_ 6y_ I : Opeícebe.seque
nãoexisteumponto(x,y)quèpertençaares simultaneamente.Logo,re ssãoretaspar;lerasdistintas.

23. 30 Matemátka. comexto&Apkaçõer
Vejamosagoracomoessefatosecaracteriza,analisandooscoeficientesangularesdasduasretas:
. Coeficienteangularm1daretar:
2x 3y+5=O= 3y: 2x 5.-3y=2x+S=y:3111
Então,mi:;(D.
. Coeficiênteangularm2daretasl
4x-6Y-l =0= 6y: 4x+1=6y=4x 1:-y:
Entào,m-::(D.
Comparando@e@podemosverificar quemr = mr.
Sendoorâ inclinaçãodàretaÌe o, a inclinôçãodôretas,temos:
mr: mr=tg dr = tg o, ãdr : o, (ore o! eÍão€ntre0"e 180")
5easinclìnaçõessâoiguais,asretassãopâralelâs(r// s)ecomo| + -l saodistintas.
36
Vejaasfìguras,quemoíram duasretasdístìntâse nãoverticais,quesãoparalelas:
: d, (-t9 dr - tg or<ì m. = mr<.>r // s
Duasretasnãoverticaisr e s sãopâralelâsse,e somentese,seuscoefìcientesângu
laressãoiguais(mr= m,).
Obseruaçõês:
1q)Seâsduasretassáoparalelasaomesmoeixo,elassãoparalelasentresi,Nessecaso,
nãohánecessidadederecorreraocoefìcientem,
t//s à//h
Exemplos:
le)Asretasdeequaçõesx= 4ex: 1sãoparãlelâs.
2e)l{Síetâsdeequâçõe5y- 2ey - 7sãoparalelas.
4121
X _+V: X
6636
2e) UmâmôneiÍapráÌicadeverificaro paralelkmodeduasretasé compararsuasequaçóesgerais.
Dadasduasretas,Ìes,talquer:ax+ by+ c = 0e s:a'x+ b'x+ c':0, bastacompararmosâsÍazóessêguintes:
abc
^dbc.
";= n - Z,
entàotemosduã5retasparalelas€oincidentes(Í : s),ou seja,a mesmaretarepresentada
deduasformasdifeíentes,
coefìci€nteangular,elas
tpaEÌelasiguaisl.
x=.ley=2

24. CeomeÌíaanalrG:ponloereta
-abc. 5e - -
b-
.
í,
, entãotemosduasretaspàralelasdistintas.
. 5e
_ = -, entáotemosduasíetasconcorrenle.
3e)Assim,podemosdizerquesêduasretasÌ: âx+ by+ c:0 e s:ax
ab' - a'b,êntãoelâssãoparalelase vice-versa,
+ by+ c = osãotatque3 = !, * r"p,
Émuitoimportântecompreenderque,seduasretassãoditas,,paralelasiguais,,ou,,pãratetâscoÍncidentes",
signifìcaqueerassáonarearidadeumasóreta,podendoserrepresentadad! dr.,asÍormasditerentes.
4e)DuasretasdomesmoprânocomcoefÌcientesânguraresdiíerentesnãosãoparareras;rogo,sãoconcoÍentes.
Como0'< dl, o: < l8O.,temos:ar l or?c) t9 clrl tg a2ê) mr + m] <+r e5:concorrentes,
3l.Ve ìquea postçãorelatvadasrctasdadasporsuas
equaçÕes:
a)t:3x-y+2=0
s:-+1=l
b)r:v=.Zx-r
s:4X-6Y+5=0
c)r:x=8
s:y-5=3[x 4)
Resolução:
alVanìosdeteÍninaro coeÍcienleangulârde r e s,
usandoaequaçãonálorrnar€duzida:
Ì3 v-2-0- i-.3, 2r)-3, r2-
=2y=-5r+20=vj=j^+t0-
v2
5
=^,= _'
Semr* m?entãòre s sãoconcoffeni-ês.
D.v= Zr - t-r =Z'33
sr-6y-5-0-6)-!Ì5+
4.
-Y--r
' =y --:'
á'".-,
Semr= rnzentãore ssâopaÉelas.Corno
-l * :, elãssãopâmlelasedisÌintâs.
cJ r:x = I [Ì épaÉle]asoeixoyl
s:y - 5 = 3[x - 4] + m = 3 [s nãoé paratêt€a
nennurndoserxos)
Logo,re s sãoconcoffentes.
32. Dadasâsretâsdeequaçôes[k - ]lx + 3y- I = 0
e 2kx 2y+ 5 = 0,enconÌreosvalorcsdek paraos
quãisâsretassãoconcoffentes.
Resolução:
Varnosdete[ì]naroscoefcentesanguarcs:
tk- l)x+ 3y- I = O=3y= -[k_]]+ I :e
k+l Ì -r+r=y=-
3
x+ imr=---:: _
2kx 2y+ 5= a.+ 2y= 2kx+ s+y = t<,<+ I +
2
Pamque as fêks sejamconcoffentesdevernosÈr
ì /T- : /l-Jê
"_t+ _
=+klt,+k+l
4

25. 32 Mátemáìc. Conrexio&AplciÕés
33. DeteffnineumaequâçãoOeÍâldaÍetaquepâssâpeo
pontoP[2,i3] eé pameaàretadeequ€çãc
5x 2y+l=0.
Resolução:
Varnoscacularo coeÍcenteangularm da retacuja
equaçãoédada:
5x..'.2y+l=0= 2y: 5x 1=
=2v=5x+t3v=:x+-:3m=1
,?2
Deâcordocorno pÍobema,aretaprocuradadevepas-
safpeopontoP(2,-31 eteÍo mesmocoeícientean-
5
aLrlaÍdaretadada.o! seia.rn: :
2
Dâitemosl
v-v. =rní)i
^.1+v+3::rx
2ì-
2' '
)v-3 - :-l:r2V +6- 5r- t0+'22'
=5x-2y-16=0
Logo,aequaçãoprocuÉdapodesef
. 5x-2y-16=0.
Outftrcsaluçãa:
QueremosdeterminafuÍnarek paÍalelaàreta
5x- 2y+ I : 0.Enü'o,a reÌaprocuradaé daÍorrnâ
5x-.2y+c=0.
ComoP(2,-3) pertenceâela,temos:
5[2)- 2(-3) + c = 03 ]0 + 6 + c= 0+
Logo,âequâçãoprccu€daé5x 2y l6 = 0.
34.4s retasí e s,deequações2x+ (k 2ly 5 = 0 e
4x+ ky- I : 0,respectvâmente,sãopâÍalelas.Nes-
sascondiçôes,cãlculeovaordek.
Rêsolução:
PelosdadosdopÍoblemâ,devemostermr= m2.
CácLrlodem1[coefcrenteangllarde]):
2x+ [k- 2]y- 5 = 0=[k- 2Jy=-2x + 5+
âv=
_
x+ -' k-2 k-2
rn.=-----:,comk+2
k-2
Cálcuodem2[coefìcenteanguardes):
4x+ky I =0=lV=-4x+lã
4ìA
-y=--x+--m,=-
mml+0
Comomr= m,,temos:
- = --:=-2k=-4k+93
k-2 k
=-2k+4k=8=)2k:8+k=4
Como4+ 2 e 4 + 0,entãok = 4.
35. N€ Íig!É, ÂBCDé uínpa|aelogramo.Determne
equâçãodareta-suportedoladoÁ8.
Rosolução:
SendoABCDìrrìrpaÉleosrèmo,temosAB//CDèAD//m
Então,nossoproblemaconssteemdeteminarâequa-
çãodaretaquepassapeo porìtoBeé paÊelaà rcta-
suportedoladoCD.
EquâçãodaÍetasuportedo adoCDI
lx y l
i'
17 6 I =0=6x+4y+56 24 7y Ax=o=
14 8 l
+ -2x - 3y+ 32= A=t 2x+ 3y- 32= 0
Cácllodocoefcienteangulardessareta:
2x+3y 32= 0
-3y
= -2t, + 32)
2 '2
'33
t=-?
3
EquaçãodareÌáquepassaporg(8,ll etambémtem
coeÍcienteanouláÍÍn: ?
'3
y - y,= mti - x.)+y - r =
-(x
-8)-
, 1A
JV- _ :--_)3r-3--2x+ t6-t_33
=2x+3y-13=0
Logo,âequaçãodarctaproorradaé2x+ 3y- 19= 0.
d

26. (apítulol. Geomêriamalítka:Donroereta
j Èxercíciospropostos
'rr' QLraléaposéodarctar,deequa€otSx+ I0y- 3 = 0,
emr€laÉoàrctas deequação9x+ 6V- I - 0?
' Seasretâsdeeqlaçôes[a + 3]x + 4y E = 0 e
X+ ay+ I = 0 sãopa|alelas,calculeoValoroea.
. Emcaclacâso,determrìeaequaçãodaretâquepassa
peoporìtoP eé paÍaleaàÍetadaeqLraçãodaoa:
alP[],2)eBx+2y t=0
oP(2,re;++=r
c)P[2, 5] e x: 2
A fgummos!ÉurntmpézioABCD.Deteffnineaequaçao
õaretâ-supoftedabês€rn€nofdotÉpézio.
Intersecção de duas retas
Afiguraâbaixomostraduasretâs,Ìe s,queseintersectâmnopontop(a,b),
ComoPpertenceàsduasretãs,suascoordenâdasdevemsatisfazeÍ,simultâ-
neamente,asequaçóesdessasduasretas,
Logo,pâradetêrminá-las,bastaresolverosistemaíormadopelasequãçóes
oasduasretas.
Observaçáo:PelaresoluçãodesistemàspodemosveriíicâraposiçãoreJativade
duâsretasdeummesmoplano.Assim,temos:
. sistemâpossíveledeterminado(umúnicopontocomum):retâsconcorrentesj
. sistemapossíveleindeterminado(infinitospontoscomuns)tretascoincidentes;
. sistemaimpossível(nenhumpontocomum):retâsparalelâsdistintas,
36. DeteimÌneascoordenadasdopontopdeinteÍsecçãodas
retasre s,deeqLrâções3x+ 2y-7 = lex 2y-g- A,
respectvamente.
Resolução:
O nossoproblemaconsisteemÍesovero sisreTnaiof
nìadopéâs€quêçôesdasduasretas:
I3x.+ 2y-7 -0
[x zy-s=o
4x_16=034x=t6+x=4
Substitundonasegundaequaçãoporexempo,ternos:
4 2y- I = A= -2y - E.+ 2y= -E =
5
=y="7
Logo,ascoofdenadasdopontode nterc€cçâosáo4e
9 ou
"u,r,
pí+-!ìz 2)
37. Seasequaçõesdasrctassuponesdosladoso€ um
tdângulosâoy= 2x L y: Sx- 4 €x = 5,cacLtle
6scoordenâdasdosvéftrcesdoÌdâng!lo.
Resolução:
Osvértcesdotriángulosãopontosdelnt€rsÊcçãod€s
rcÌas,toÍnâdasduasaduas,Assirn:
PontodeinÌersecçãodasrctasdeequaçõesy = 2x_ .l
e
x=5:
lY=2x-l.)y =2t51-l=10-t=9
Portanto,[5,9).
Pontodeintersecçâodâsrctasdeequa@esy = 5x_ 4 e
x=5:
. )" -'
Ìy = 5x- a + y = 5t5l 4 =25 - 4= 21
Porranto,[5,2]l
Pontodeinters€cçãodas€têsdeequaçõesy = 2x- I e
Y=5x 4:
[v=zx-t
i_
Ly=5x-4
5 4- 2-'+5 2,-4 .rr-3-,
y=201 t=2_t=l
Poftanto[1,lJ.
Logo,osvértlcesdo trângulosãoos pontosCS,9),
[5,2])e tl, l)

27. 34 Mõtenátkà. ConleÍro&Apkôçôe5
[xeÍdciospropostos
i48" Determneo pontodeefcontrodasÍetâsculasequa-
çÕessão:
zLx+Zy-3=Aex-2y+7=Q
blr2x+ y - I = 0 e 3x+ 2y 4-0
c)2x+3y-8=0 e 2x 4y+ 13=0
r{qua6 saoèscoo-oe'aoasoogre-ücesoe Jì lro_gLo.
sabendoqueasequaÇõesdasrclassLrpodesdeseusa-
dossãox+2y l=0,x 2y 7=0ey-5=0?
50. D€monstfequeasreksdeequações2x+ 3y 1= 0,
3x+ 4y- I : 0ex+ y- 0 concoÍemnurnmesÍno
ponto,
5l,0s pontosA[1,]),B[5,2),C(6,5)eDt2,4)sãoosváti-
cesdeumpâralelogÍârno.VaÍnosd€sgnafpofM[a,b]o
pontodeencontrodasdÌagonaisdessepaÍalelogÉrno,
DeterrnineascooÍdenedasdoponÌoM e mostrcque
M éo pontomédodãsdiagon€is.
52, A ÍìguÍadadarnosÍâumtrapézioABCD.SendoM o
pontodeencontÍodâsdiagonaisdotmpézo,d€teÍìr-
neascoordenêdasdopontoM.
Perpendicularidadede duasretâs
m,: -1, comm,,m,+ o-ml
Então,seumaretat comcoefìcienteangularm2,éperpendiculàraumaretaÌ,
m"=-1 (comm,,m,+ o)
-m1
Reciprocamente,comoaperpendicularaumârêtâporumpontoéúnicã,êntáoumaretaquepassapeloponto
Pdaretar equetem.coefìcientêãngularm2: -L coincidecomaretaseépelpendicularaÌ.
Podemosconcluir,então,quedadâsasretasÍê s,decoêfidentesangulatesmremztemos:
-723cJV=-X -eV=--
-- 3 3 2
Íx=t q
eJY=r+3 € l
ly = Ì - r
54.
Quaé a equaçãodaretaÍ quepassapelopontodêen
controdâsrctastl et2 d€equâçõesx y + 2 = oe
3x- y + 6 = 0,respectvâmente.e é paralelaà rctas,
cujêequaçãoéy = -:x - 1?
A ÍgumdadaÍnostÍaumquadláterc0ABC.DeteÍmne
ascoordenadasdopontodeencortrcdasdlagofais.
Afìguramostraa retãÌ, de inclinaçãodr, ê a retas,de inclìnaçáo
a2,talqueÌes sãoperpêndiculares.
PelaGeometriaplana,notriân9uloAPBtemos:
d, = or - 90'+ tg o) - tg (or 901-tgar-
sen(d, + 90.) cosdi 1
cos(c + 90o) seno, t9 ar
Sâbendoquetgo, = m, e tg 0r - mj,temos:
comcoeficienteangular mt,temos:
í-Ls(3m,: ] ou , Lro.,m,: '1
Observação:lJmâmânêiÍapráticadeverifìcaroperpendìcularisÌìodêduasretasres,
dadasporsuâsêquôçóesgerais,talqueÌ:ax+ by+ c = 0es:a'x+ b'y+ c' = 0,é
verifìcarseã.a'+b.b' : 0.SeissoocoreÍ,elassêrãopêrcendiculares.
Justifìqueapassagem
senlor + 90"]
costq + 90'l -s€no1
VerlÍÌquequeâa'+ bb'= O,
.-.-.-,^-_|

28. . GeometÍÌadàlítkaiponloercta
38. Dêdd.as Íê'drde eo ãloes2 3) r - 0 e
3x 2y+ I = 0,rnostrequ€eÌassôoperpendicularcs.
Re8olução:
CálculodocoeícenteaJìgllarmr clareÌad€equaçao
2x+3y-5=0:
2x+3y-5=0+3y=-2x+S=)
-33
2
'3
CáculodocoeÍcienteanguafm2dârctadeequaçao
3x-2y+9=0:
3x-2y+9=0=-2y= 3x-g=
+zy=sx+g+v=9x+9
322
'2
Usandoa condiçãodepeÍpendicuafsrno:
rnm^=l _: ll: = _ì
' 3'2,/
Logo,asrcl€ssãopependcuiâÍes,
39. Dadaa fetaÍcomequação3x- 2y+ 4 = 0eo ponto
P(], 31,deteffnineunraequaçãodârctas qÌrepassa
pelopontoPeé pefpendculafàÍeta..
Resolução:
CáiculodocoeíÌcenteanguarmr darcÌaÍ:
3x 2y+4=0r 2y= -3x-4)
+2y=3x+4=v=1^+2
'2
3
2
Cáculodo coeÍciente€nguÌarm2da Íetâs, sendo
EquâçãodaÍetes:
y-yj = rn,(x xrl+y+3= ?tx-D=
=y*:= -?" +3 =ay + g = 2x+ 2+
=2x+3y+7=0
Logo,!Ínaequâçêodarctaprodrradaé2x+ 3y+ 7= 0.
1,)
m,= -=Ín.=
-=m-=-:Íì1. ' 1
2
40. DetemÌnea equâçãodaÍn€diatfzdosegrnentocujas
extr€ÍnrdêdessãoospontosA(3,, eB( 2, ").
Resoluçãoi
PeaGeomeÍiaplana,sabemosqle a rn€diatdzdeum
segrnemoeurnarctapefpendicuaraosegmentonos€Lr
pontomédio.NâígLrÍ€,M éo pontomédiod€A=8.
CálculodocoeÍcienteanguâfml darct€-supoat€:
Cálculodoco€íìcenteangu€fm2damedatriz:
Ín"=__L:-!'66
t
CdlcJoaêscoooe-êddooo por .oM.
l
2
O prcbleÍna,agom,fca rcduzdoa determinâfurrìa
eo-açãoda ,etaoLeoassaoetop"r" uí]. r'ì"
" '2
t"
queterncoeftcieJìteangular-i:
3l0x+l2y+7=0
L090,uma€quaçãoda med€trizdo segrnentoé
lox+l2y+7=0.
y-y, =rn,[r-x,)=y+ r= -!í,, ]ì-
- 6 2)
5/q
-y+ -. o- t- -t2y
t 2_ I0+Sr
2
2-4
y = --:-
A mediatÍzdeÃEéo tusar
Seomé$icôdospontosP[x,y]laLque
d[i A] = dtDBl,rstoe,aospontos
EüìdistantesdeA € &Fà(ao exer€tclo
rêsolvido40 usândoessaÌnfonnação.

29. lìâ1emáto.Conlexlo&Apliciões
4l- Consderandoo pontoP(4,6) e â retâr deequação
r ) - | -. 0.dete-Tir èsLoordêradrsdapro,eçâo
oftogonaldePsobrea reiâí
Resolução:
A ígurâmostrao pontoP, prcjeçãoonogonadeP
sobreaÍelâr. P éo pontod€€ncontÍodarctarcoTna
retâs,pependcllâraapelopontoP.
Cácuo docoefrcienteangularmr daÍetar:
x+y-l=0+y=-x+l
mr= -l
CácLrlodocoeÍcienteangularm2dafetasr
m,=--L= l=r
'Ínrl
EquaçãodaretaquepassâporP[4,6]eteÍncoefrcien-
tearìguaÍl:
y-yr = rn,[x- xì)=y 6 = ][x- 4)=)
=)y-6=x-4=x y+2=0
CálculodâscooÍdenadasdopontoP [ fteÍsecçâodes
comíl:
Jx+y-t=o
[x-y+2=0
2x+1=0+,x= l
2
-Lay-1=6=y:111=!
222
Logo,áscooÍdenadssdopontoP'são--L e I, ou-22
sea Pl--: : I
2 2)
42- Paraqlev€lofdoco€Íclentea asÍetasdeequaçôes
3x+y t5 = 0e4x+ ay+ 1= 0sãoperpendcu
laresenïresi?
Resolução:
CéculodocoeÍcÌenteanguâfm1darctade€quação
3x+y t5=01
3x+y l5=0+y=-3x+15
mr= 3
Cálcuodocoeícenteanguêrm2dâr€tadeequação
4x+ay+l=0:
4x+ay+l=0+ay= 4x l=
4Ìl
>Y=- â+o
aa
rn.= -,a+0
Pelacondçãodep€rpendicuafsmo,teTnos:
14141
n ----
' Ín ã -3 a 3
)a- -12
43. DeterÍnineas coordenadâsdo pontoB, sim€rnco
do ponroAí4 2ì e"ì eavàoã retsL deeq-aç;o
x+3y+10=0.
Resolução:
A ÍguÍarnostrao pontoB siÍnétÍicodo pontoA em
Íelaçãoà rctaL ousejal
. aretaBpassapoÍA e é peeendiculafà retarl
. M éo pontodeìntersecçãodasretasI e s;
. M éo pontomédodosegmenioAB.
CáculodocoeÍcìenteanguarm, dâretâÍ:
x+3y+10=0+3y=-x l0=
I 10
ãy=
ãx- 3
m.= l
CálcuodocoefcenteangulaÍm. daretaB:
. =- I = 1 ="''
t, I -
3
Equaçãodaretas:
Y y,= m,[x x)=y-2:3(-a)+
=y- 2 = 3x- l2ã3x-y- 10.=0
nãohánecêssidade

30. Gpriulol. Gêometriaàmtitka:oonÌ0eÍerà
CálculodascoordenadasdopontoM:
Jx+:y+to=o
lsx y-ro=o '631-
[x+Ví.+to=a=
lsx-it -30=0
tox_20=0310x=20:+x=2
Substituindox = 2 nasegundaequação,vem:
6 y-10=0+y= 4
Portanro,MC2,-4).
SendoM o pontomédiodeÃ8,
B(x,yli
z=-:ì4=4+x=x=0
. 2+v
-4= -:+-B=2+yãy= t0
Logo,o simétco do pontoA emreaçãoà retâr é
Bi0,-t0l
vamosdelermnar
t
ss.-oeteÍÍÍineaequâçãodarctrquepas$petopontopeé
pependidjaràreÌer €mc€dauÍndosseguntescasos,
âl P[-3, 2)eêqLraçãode]| 3x+ 4y, 4 : CÌ;
b)P[2,6]e equaçãoder: 2x- y + 3 = 0;
cJP[],4)eequaçãodeix-y - I = 0j
d)P(3,5)e equáçãoder:y - 4 : 0
56.Qualdevesero valordek paraqueasfetasr e s,dê
equaçõeÍP!+-y,+5 = 0e3x + (k+ j)y 9 = 0,
rcspectivarnente,sejarnpeÍpendicularcs?
57. Dadosa retar,deeqìraçãox - y + I =0,eoponro
P[3,2],quaÌssãoascoordenadâsdaproj€çãooÍrogo
naldePsobrcãÍeta|?
58. DetermÌn€ascoordenadâsdopontoN,sÌnìétricoâopofto
M[2,4)emre]açãoàretâÌ,deequ€Éoxy-6=0.
59. Oquad áterodafguraéumlosango,eseusvérticessão
0spontosA[a,b),B(a+ 4,b + 3],C[â + 7,b + 7) e
D[a + 3. b + 4).ÍV]osÍequeasfetâsqr.tecoftémas
dagonasdêsselosangosãopeÍpendicularcs
D
60.DescubfasobÍearetax - y + I =0um
drstantedospontosA(3,0)eqO,2).
PontoP eqü!
Fl-r
I l{{ Distânciade um pontoa umareta
Devemosrecordâr,daGeometriaplana,queâdistánciadeumpontoA àumôretaÌ éamedidâdosegmênto
deextrenidadêsemAe nasuaproJeçãoortoqonatsooreÍ,
44. Detefinineâ distànciado pontoA[3, S) à retaI, de
equaçãox+2y-8=0.
Resolução:
Aígummostraquea distânciadopontoAà retaI éa
distânciaentrcospontosA e A,, sendoqueA, é s
proleçâooftogonaldopontoAsobrca fetar
Coeíìcienteêngulafder:

31. 38 Malematn.(onrexto&Áotro(oej
x+2y-8=0+2y=
2
Equaçãodaretasrm,=
x+8+v=-lx+4'2
-L=- L=2
rn, -L
-
2
y-y,=m,[x xj]+y-5=2[x 3)=
.+y - 5:2x 6+2x-y - I = 0 [equação
geÉ daretal
Coode adasdeÃ:são€qJelasdopor.odee,cor-
fx+zy a=o
I2x-y-1=a.12)
['+zí a=o
1 ''.
- lax 7 -2=0
5x-10=0=5x=10éx=2
Substt!ndox= 2 nasegundaequação,temos:
212)-y-1=a=y=3
Poftanto,A'[2,3J.
CálcuodadistânciaentreA eA i
d= vt3-21' + [5- 3]' = Jr+4 = J5
Logo,âdistânciadopontoAàreraré.u6.
tr
Seo processousâdonoexercicioresolvido44for aplicadoparao casogenéricode um pontop(x",yo)e uma
retaÌdeequaçãoax+by+c=0,chegaremosaumafórmulaparâocálculodadistânciâddeparl
d:
fxemptol
Vejaa distânciado pontoÂ(3,5)àretârde equaçãox+ 2y- g: O,câlculadanoexercícioresotvido44:
_ 11.3l:jl_E _ l3+ 10- 8l _
1'+2'z
45. CalculeêdistâncadopontoA àretaI noscasos:
.141'-15"1Ia-L =1
43
bl Ato,0leÍ y- 4= -;tx +ll
RêsoluÉo:
€JAequâçãoder devesercoocadanaformageral:
?
+
ã
= r =3x+4y= l2)3x+ 4y- 12=a
A dslâncadeA[- ], sl aré:
. 3r-lì+4.5 12
^125 5
Í:y- 4= -3[x + 1)=3y 12= -2x- 2+
+2x+3y ,10=0
A(0,0)
._. - /2 0+3.0 ì0t l-t0l
o|^.U=_;'=TJ=ã
_ r0 _ ì0.í4ã
Jr3 13
46.Um tÍiângulotem os véfticesnos pontosA[], 21,
Bt-3, rl eC[2, 5].
Câlclle€ medidadaalturadoïângLro relativeaolado
BC.
Resolução:
Pelaf,gura,vemosquea medidêda
altulãreativâaoladoB9l iguÊlàds-
táncaenlrêopontoA earetâ-supor-
tedotadoBC. B
EquaçãodareÌasLrportedo adoBc:
xyl
]-3
-1 r] =0+-x+4/+ r5+2+3y
| 2 -5 rl
=4x+5y+17=0
Cálcuodamedidadaaltura:
|aÀ.+bv. +c lt 1+a 2+1J
d= õ .ú=r =
'l?
+b'
3rl gr srfi=F=n=
"
Logo,ameddadaalturaé1@
OJ
4'+5'.

32. GeoÌìeÍiàanaftio:pontoe€ta
47. SãodadasasÍetasres, deequaçôesz + 3y I0 = 0e
2x+ 3y- 6 = 0,respecÌivarnente.Sabendoqueessas
retassãoparalelas,caclieadstãnciâentreeas.
Resoluçâol
DaGeornetdaplana,sabernosqLreâ dÈtáncaentre
duasrctaspâmlelasé guaà distâncâd€urnpontoP
quaiquerdeLrma0easa outraÍeta.
CálcJode..oooe adasde,lr oonroP q €qrer oa
Teial:
2x+3y t0=0
Fazendo,âfbimrlêrnente,x = I, ternosl
2t-l)+3y l0=0=e-2+3y l0=0+
Poftanto,P[-],4).
CáculodadrstánciadePà fetas:
P(-l,4les:2x+3y-6=0
L
_ axP+byP+c _ 2[-D+3.4 6Ì
.!1.t
r'/iã
Logo,adisúncaentreasretasé1@
t3
t3
41 4=6=F=
Épossív€ld€monstÌãrqu€,s€dmsrctas
r:ax+ by+ q = 0es:ax+ by+ G = 0
sãoparalelas,eÌitãoadhtânciaenrrêelãsé
dàdapor:dfÌ,sl= -i!:il
"5'
* bi
VerifÌqu€no€x€rclcÌoÌlsolvldo47.
Exerdciospropostos.l
Nosseguintescasos,caculeê dstênciadopontoP à
retar:
a)P[0,3)e4x+3y+]=0
b)P[1, 5]e3x-4y-2=0
c)P[3, 2]e2x+y+6=0
d)P(6,4ley-2=0
SendoA o po_tooee con o oa-erar deeo.s(áo
x + y - 4 = 0,corno exox, deterrnneâ dstânca
dopontoA à rctâs,deeqlação3x- 4y+ l0 = 0
Sab;ndoqueasretasdeeqLraçôes4x- 3y+ I = 0 e
- 4x 3y- 6 = 0 sãopâ€eÌas,determnea distâncê
entfeasduasreÌás.
Sea distânciadopontoP(0,pJà rctar, d€equação
4x + 3y ? = 0,é gua a 2 unided€s,det€Ímnea
cooroenaoap.
í: CaculeèárcadoÍãnguoÁBCd€fgura.
'3úì Dadoo pontoP(3,21,deÌefinineadstânciadep atéa
rcur,nossegutntesc€sos:
a)r3x+4y+1=0
otI+I:t
23
c)Y=2x-4 fl v-a=:f^ 3ì' 5-
i:i.' Sea dstânca dopontoP(k,2l à fetar, deequaçao
3x+4y-40=0 é guaa4undedes,quaéovatoÍ
dacoordenadak?
Ângulode duasrelasconcorÍentes
Lembrêmosqueduasretasconcoíêntesdeterminamquatroângulosê que,conhecidoum deles,determina-
mososdemais:
Obseruemosque:
. Ìe5 sãoconcorrentêse determinamos
ângulosdêmedidascqÊ,.yeô
.a+p+f+ô:360'
. 0 = f eÊ = ô(opostospêlovénice)
. 0 + 9: Ê+"y=1 + ô = ò+a= 180.
VeremoscomodeterminarumdosângulosÍormadosporduasretascon-
correntes,Ìe s,apaftÌrdesuasequâções,Chamaremosesseángulode0,
Ser €ssãopeQÊndicuh|ls,os
qmtrcánguÌossãoÌEtos.Ser €
ssãoobÌlquas,doisânsuÌossão
agudos€dols,obtusos.

33. 40 lìaremátka. conÌèxto&Ápla{ões
la cas0
lJmâreta,r,é paràlelaâoeixoxe a outra,
s,é paralelaaoeixoy;ou,então,umatemcoe-
fìcienteangularml e â outra, m2,tal que
mr'm2= -1,
EmàmbasassituaçóestemosÍ e s per-
penclÍcularês.Logo,0 : 90".
Exemplos:
le)r:y=41' 10=90o
2ecaso
Exeftplo:
r:x = 4 (Ì paralelaâoeixoy)
t:2x + 6y - 1 = O+ 6y : -2x + 1) y :
=ri-+J: i+r-rs+o:eo.
2e)rty:2x+ 6
I
sry s:-1{x++)im'm'
lJmadasretas,Í, é parâlelaaoeixox e aoutrâ,s,temcoefìcientêanoulârm : to o.
NessecâsoÍé paralelaaoeixox eséumatransversal,Então:
rr:a+tg0:t9or:m
Considerando0oân9uloagudoformadoporaes,podemosescrever:
tg0: lm
Exemplo:
r:v:s I
-.. . ^ ".1r
e paràlelààoeixox e s temcoeÍicienteangularm = 3,
s:y-.1=J(x+4il
Loqo,o ânguloãgudo0formadoporr es étalquetg 0 = 3.
3acaso
Umadasretas,r,é paralelaaoeixoyeâ outÍô,s,temcoeficienteangìllarm,
0€osãoângulos
0 + o : 90'+0 = 90'- d+tg 0 = t9 (90'- d) : cotge =
Considerandoe ãgudo,temos:
,oe=11' lm
11
tga m
111

34. (apÍtulo1 . Geomúãamlirka:pontoercti 41
o ánguloâgudo0,ÍormâdoporÌe s,étalque:
t90:
rl^
1t -
-;l
4acaso
Asretasr es,decoeficientesangurarêsri1 e m2,nãosáopararerasãoseixos,sãoconcorentesrmasnãosâo
perpendiculares.
Então:
0+ 9=a+6 =o- B+tg0 =tg(o - B)=
Para0âgudo,temosi
tga-tgB _ m,-m,
1+tga.tgÊ 1+mrm,
t90=
Exemplol
r:y-4:3(x-5)+mr=3
Xv2xv
t.
1=,-7-'
l12x y-7)y- 2x!7:mr= 2
2
to0=l- -'
- l1+ 3(-2)
:]l :1 r;=r-e:or"
i [xeKí(iosDÍoDostosi
[ì8- DadasâsequaçõesdeÍ € s,detemine0,umdosân
gu0sÍormadosporelasl
a)r:Y=7
s:2Ì 3y+5=0
blr:Y=4x-6r
s:y 3= --[x+5]
c)Ì:5x+y-t=0
s:3x-y+7=0
dlr4x-3=0
siY= I
L_-I4Egjgf .q regiãotriangutar
Vejamoscomodeteíminara áreadê umaregiãotrjangularABCa panir
dospontosÂ, Be C.
PelaGeometriaplana,sabemosquea árêada regiãotriangulardafìgura
édadapori
1
s _(Bc).(AH)
EmGeometriaanalítica,temos:
. d(8,C),queêxpressaa medidado lôdo8Cj
. a distânciâdeAà retâ{uponedo lãdoBC,quêexpressaa medidadâalturaAH.
1+
"f"1r
eJr:}7= _5x
[x:r-3
lY=2Ï
Ìlr:-+1=l
s: lsx- 5y+2= 0
6!). Determinea equaçâoda fetaque passapeloponto
P[2.1)e fomìâuÍnângulode45.coma retãoeequa-
çãoy=5x+3.

35. 42 Mãtemárka. comexto&Apkações
48. SeurntánguloABCt€Íncornovéfticesospon@s
40.2).B J leCí0 --J.céc,"aaeaoa egáo
ÌranguEr.
CáÌcLro dadstânciaentreo véftice,t € € feta-suporte
=r2x+3y+3=0
,_laxa+byÀ+c
_ | - tl
ír3 Jt3
Cácuodaárcadafegìãotrânguaf
LogoaárcadarcgâoÍangLrâfé -:-:ou5,5undades
cearêâ
1&
""""'=lilÍL.i::
Consìdêrandoospontosnão-âlinhãdosÂ(x|yr), B(xzy2)e ((x3,y3)e seguindoaseqüênciadoexercícioresolvi-
do48,chegamosa umaigualdâdequefacilitao cálculodaáreâdâregiãotÍiangularÂBC.
seosvérticesde umtriân9ulosãoospontosA(xr,yr),B(xr,yr)eC(xr,yJ, entáoa áreâdêssãregiãotriangulaI é
oãoapor:
1
2
Notequeessedeterminanteéo mesmoqueíoiestudadonoitem4 pâraverjficaroalinhãmentodetrêspontos,
Aconexáoêntreosdoisassuntosettá nofatodeque,setrêspontosqueseriamosvénicesde umttìânguloestive-
remalinhâdos,otriângulosedêgenêranumsegmentodereta;nessecaso,é naturalquesuaáreasejazero.
Exemplo!
Vejamoscomoficao cál(ulodaáreadaregiãotriângularABCcomÁ('1,2),B(-3,1)êC(0, t),jáfeitonoexer-
cícioresolvido48:
121
D=J 3 1 1
I o -1 1
=1+3+6+1=11
s=jto =Jt.'t:).rr=l:','
Logo,âáreadaregiãotriangularé]1 ou5,5unidãdesdeárêâ.

36. (apÍtulo1 . Geonetriaanaítlo:pontoercta
49. DeterrnineaáÍeâdaregiãotdanguarABCd€dosA,B
ec.
alAi r,21,Bt3,rl eCta,0l
bl AiO 0),BiOa) e Ci 5,0l
Resolução:
blAlocaizaçãodeA,B€Cp€ffnileconcllifqueoÌrÌân-
guo é retânguo€mA, comcatetosrìredndo4 e 5
Logo:
^
4 5 __
2
=-l+4-2-6=-5
22
,..- . ì
lifl!r!19ltl0t9:Iqr
r7iì" Detennines árcadâregÌãoÍanguarquetemcomo
vénlcesospontosA(4,0),Bt r,r)eC( 3,3).
-,'l
- Âsretas-supodesdosadosde!m tfángllotêÍncomo
eqlaçÕesx+ 2y- I = 0,y- 5 = 0ex - 2y- 7 = 0.
CalcueaáreadaÍegiãotriânguâr.
72. Umtrangulot€rncomovérticesos pontosA[5, 3],
BC4,2)eC[2,k).A áreadaregãotriângularÂBCnrede
I undades.N€ssascondçôes,caculeovaloÍd€k,
7lÌ. NaígLrm,aretar temequaçãox + 2y 4=0.DeÌer-
rnneaáreadafegãotrarìglrarA0B.
ffi Aplicaçôesà Geometriaeuclidiana
74- Cacuiea árcâdo quadrlátefode véftÌcesA[4.
Bt6,2)Ct2,al e Dto,21.
75, Determnea árcado quadÍllátefode vértices[0,
t5 ,, i8,21,i3, 31.
76' A áreadaÍguracolordanodagramaabaixovale:
e) 4,5
OJ,
OJ,
EscohaurnsÌstemadeexoscoodenadosadequadoe
resova,usandoGeomeÍiãanâític3,ossegLrntesprobemâs
deGeometraeucldanâ:
50, SejaÁBCumtânguo retãngulodecatetosAB= rn,
ÁC= n€hipotenusaBC.À4ostrequeocomprlÍnento
damedanaÁf4éÌgualàmetadedahÌpotenusa.
ResoluçËo:
0 Ínas convenenteé
co|ocafos Õorscal€-
tos sobre os €ixos
coordenados;poften.
to,ovéniceAdeve
coincdrcomaoÍgem:

37. 44 Malemátka. Cont*to&Aplkaçôes
Asòrr.Al0.0r.Br0.nJê CL'ì.0llood loo-cecoê!
dosveni(-".
. M|
^. ^ | O coìp."renÌoo" hrpo
/ t J
ô .a BCêdfB. Cì Jr r Po.orp rFno
da nìedianaAN4é:
diA,lvll=
Asslrn,dtÁ,Ml =
- dtB.C),comoqLreÍíarnosrnosúaf
Sl.NunrÍeÌânguloq!âquef,consd€ÍeumpontoP per-
tencentea umdosladosdorctánguod€ladosa € b
Vos|equ. a sonddéòdrsrácêsdeP d"o"qo r-
desseÍeÌênguloéconsknte.
Resolução:
0 mas convenienteé coocêfdos ladosdoÍ€tânguo
sobrcos eixoscoordenados,cornum dosvértces
concidndocoma odgem,e o pontoP ernurndos
adosqueestãosobfeoseixos.Essesproc€drn€mos,
oLêr;o Ço obigaro,os.àpê-àq (oT J.ora r eo-
rn€trraanaÍtca parasimplillcâra rcsoluçãode um
prcb€mad€Geometraplana,dadaa berdadeque
ternoseÍìrescolherondecolocarossstemasd€exos
LoordFnâdocqlâ1doee, r;o toreì op do"p ê-
Supondoq|]eosladosdoretângìrotenhamÍnedidasa
€h,entãoosvértcesdoÍetângulosãoAiO,0l,Bt0,b),
C[a,b]e D(a,01eo pontoP(p,0l.Assirn,vamosobter
asequaçôesdasduasdiagonais:
DagonalACl
b0b
h
y - 0 = :[x - 0]=ay= bxìAC:bx- aV= 0
DiagonaBD:
b0b
y - o = --Lx - u.l+ay a0= -bx-
=ìBDbx+ay-âb=0
A distánciado pontoP(p,0Jà d€gonaÁCé dada
pof:
bD a.0+0 bol
Jb' + i-al' ./b' + a'
AdisÍâncâdopontoP[p,0]àdiagonalBDédadapor:
lbp+a.0 abJ bp-abl
,ï'
'f!o
t
4:
Corno,deacodocomosdadosnicais,teÍnos0 < p < a,
entãobp<abeassim:
bP âb = ab bp porcntoasomadr + d,é:
. bo bD-âbï
' Jb' + a' ,1b'+ a'z
_40
cornoqueàrnosmostrêr
bp+ab bp
f
ExeÍd(iospropostos
77. N4ostrequeo segmentoqueuneospontosrnédosde
doslâdosdeurntriángLro:
al é paraleÌoaoteÍceiroladol
blterncoÍnpÍirnentoigLraà metadedo cornprirnento
doterceiÍolado.
78.Dâdaumâretâr: 2x+ 3y- I : 0,obtenhaumaequa-
çãoquercpfesenleo feixedeÍetasparâlelasa r
79.Dada umafetaÍ: 2x + 3y - 1 = 0, obtenhauÍna
eqlaçâoqLrerepfesenteumfexe de retasperpend
SO.DadosopontoP(xo,yolea retaÌ:ax + by+ c = 0 com
PÉ r,obtenhaa€quaçãodarctas:
al pardlelaare quepâssapofPi
bl perpendcularaíe quepassaporP.

38. g&yrs4.'-l{l!9uq
Ì. Oponto[a.-b] perrenceao nt€Írofdo2sqladranÌe
Ospontos[-a b] e [ â,-b] p€rtencemf€specrvâ
menrc,a0sq!admnÌes:
I I. ObaficenrfodeLrrntriânguÌoé G[5 ]) € ctoisueseus
vértcessãoA[93]eB[1.2].Orerc€rcvédice.les
setnãnguoé:
.l (4.31. cl 16.al
bJt5 4l dl t7.sl.
2. Determneopontoperlencenteàbissetrizdosquaoran,
tesinrparcseqüidisÌantesdosponros[4,BJe [6,2].
3. DemonstrequeoscomprimentosdasdagorìarsoeLrnì
reiângulodelâdosâ e b sãoiguâis.[D/cá:Estabeeça
Lrmsstemade€xoscoordenadose Ìrubaheco|Ì os
veftcesdoretângulo)
4. DemonstrequeospontosAt6.- j3l,Bt-Z,2l,Ctl3.j0l
e D[2], 5l sãoosvértcesconsecLrtivoscleLr ,lua,
dÉdo.[.Sugestiio:VefiÍqueq!eosadossãocongrLr€f,
lese qle osángulossãoretos.l
5. EnconÍeLrnìaequaçãoqLres€jasaUsíetacomascoof-
0ê adàr dê crLoo.e- oo lo p.. , ctj" o. dr
" "opontoA[2.3]és€npreglraia3.
6. ConsÌdercuÍntrlângllocoÍnadosq!€ned€rna b ec
sendoa aÍìedtdado adomaof L€mbfesed€lue
. a?= b, + c,{+rânguoÍetângllo
. a,< b, + c,<+trángLroacutânglrto
. a,> b?+ c, <aÍiângutoobtusânglto
DâdosAta,-2), Bt2,3)€ C[6,6],veífq!€ o Li-,ouo
triãnguloÂBCquanloaosâdosleqüiátero,isosce€s
ouesc€enojequantoaosârg! os[feÌáng!o,êc!tân,
guloouobtlsângulol
7. Considereospontosquedividemo segrìr€ntoABenì
quâÌrcpaftestguals.sendoA[3 2] e Btt5, tOl Um
12.'"",A Brl -cí ]_ì ..,-*,,.l
l ./
ÍiânguoSeM, N ep sãoosponÌosmédiosrìosÉoos
dotrlâÍìguloÁBC.o prcduÌodascoordenadâsdobari
centfodotfrânguloÍVNpé.
13. umaferirr passapetospontosA[2,0] e B[0,4J.urnâ
0uÍ: rerâs passapetosponrosC( 4,0l e D[0 2] 0
pontode ntercecçãodasduasfetasé p[a,b].Nessas
condçõescalcue ascoofdenadasa e b cloponrop
14. Vostreque pararodososvâtofesÍeais.tea e o, os
pontosA[2r4a 3 5a],8[2,3]eC[2+4b,3 5b]
15. DadosAlt,5l eBt3, ll,detennneoponrorruquaa
rcÌaÂBintercecr6abisseÍzdosqladÉnÌesÍ pares.
16. SâbendoqLrePta,b) Ai.O,3)eBtt. 0l sãocoÌrrearese
P.C[] 2] e D[0.t] tambéÌÌìsãoconearcsderemrne
ascoofd€nadasdep
17. ConsclereosponrosAt6,21.Bt 2.t2)e Cta 6l.eô
t|áng!oABCDetemn€o co€Ícenteanguêrdafeta
quecoftémê medanaobtdâa partrdovéftic€A.
18. DeÌ€rÍnrnea equaçãodar€Ìaquesatsíazâsseg!nres
a)T€nì coefclefte angutaf
At2,-31
bl Pâssapeo poftoP[] Uleé paraleaaoexox.
cl PassapetosporìtosA[],t) e B(-2 2)
dJA incinaçãoédeto0o€ passapeaoÍrgern.
19, Nafrgufadãda,o pontoO é a ofgemdosisÌemad€
coofd€nêdasortogonaise OABCé|rrìrctânguoNes
sascondtçÕes,escrcvâa equaçãodâfetâsuponeda
allqe3,
bl4s e ls
cl 3ee lq.
dl 4-'e3
€13'q€4,
el t-5 6l
e)t 2,31
el 14
e) t8 6l
"r;
b);
";ã
o)
oi
dessespontosé:
aJt4,31. c) tt2,8).
bli5,21. dl t 3.51.
8. Atéqle ponÌoo segrnentodeextÍ€rnidad€sA[4 2J
e Bl
r
-r
]
oee s" o'o,ooooo-o .- .co qd oor"
queseLrconrprirnentotÍiplique?
I
e passapetoponto
9. O corììpfÌmentoda medÌanaAíVldo ÍtângutoAtsLì
cLrlosvédcessãoA[0,0)Bt3,r e Ct5, ]1.é
alt 6,1)
btt 5,01
a)2
bJ3.
cl t-4, rl
dl t-3 2l
c) 4.
dl 5
cÍagonaAC
lO. 0 pontoP(xoyoldvd€osegrnentoAB comAU 5l e
B 16 qt.nar"r;o
Ao I
o
',r.
ao,'..P8
guâla
a)10.
bJtl
c) 12.
dJ 13.
t

39. 20.5ec er !,1"-a.c!"ocerae E. < - 0 o" ""
peo ponloA[k.k + 3].cacle ascoofdenadâsdo
21.Na Íglra dada.o pontoO é orgenìdo sst€mâd€
cooúenadascaftesanasonogonas.0ABé urnÌfãn-
g! o eqüiLátercde adoI e BCDEé !m quadÉdode
ladoL SeM é pontomédo deOBe N é pontomédo
deD[.dpe-'ì-e Lìè eqrèéoqe-ad; erèq.epa-
saporMeil.
22. Passeaequaçãodarctadeumadasfonnasconh€cidas
4 . -^- ^.^--^ -^,..-,^.
32
bly 6=
-l-i+41
pèÍâaíoÍmdgera
c)3x+ Sy- 36= 0 paraaformasegmenúria;
- [*=3 r
0l < . Da|aaÌorrnaoeTar.
Ly=r+2
23,4s coodenâdasdospontosdeurns€grnentoderctaÍ
sãodadasoorx= 2t{l
ev=t+2.onde0<t<7.
3
Determneam€oÍdstâncispossívelentr€doispontos
25. Emcadacaso,determnea equaçãodaretaqu€passa
pelopontoPe épa€€laà retadaequaçãodada:
a)P[4,-4)ex+y-5=0
blP[-],3)e2x-5y+7=0
c)Pl-4,2)ey - 2: A
2tì.^o.aerero.ãr"rard""o.aL;o
Y
- .u"'45
terrnineâequaçãodeumaretas queéparaeaàrctaÍ
epassâpeopontoA(3,l0l.
27, Seumafetar passapeo pontoA[ ] , 2l €é pam€laâ
umâÍeÌas,det€nnnâdapelospontosBi2,3l eCt 1, al
28" NaíiguraABCDéumqLradradoDeterÍnineaequaÉo
darek suportedo adoBC.
24.Dèdoo.(âooa elaÌ oeec-a(áoI I- .,'
[.. r
p.d.iod e d s. d- poL"o;oo.r oaoo
I
-
7
l, .-5
29,Se !m tfânguolemcoínovéncesospontosA[2,]1,
BÍ.r. reC02 dee lre a eqrdç;odd pr.-
supod€dâatu|afelativaaoladoABdotrânguo
30. Encontrcaequaçãodarcìasmétcaà f€ta
2x+ 3y 8 = 0 emfelaçâaàÍelax+2y- 2= a.
3l, Seurntfânguo temcomovérticesospontosA[2,4]
B( 6 2)e C[0,-2), quaé aáÍeadotr]ânguloABC?
í ^ - - -"ôidâoe - laao.meaa"oaar.La "i " r
,
32, Lernbrandoquebssetrzdeumânguo é aÍetaíorrnâda
poftodosospontosqueeqÜdlsÌâmdosadosdoângu0
encontreaseqLraç6esdasbsseuizesdosánguosforrna
dospeâsÍetâs2x+ 3y- I = 0e3x+ 2y+ I = 0.
33, EncontÍeam€didâemgmusdoâng!oagudolonnado
pelasretâsy x = I ey + [2 - J3]x = l0
S4,SabendoqueosvédcesdeurntÍiânguosãoospontos
A[nì,m),B[rn, Í]ìle C[0,0],deteÍmn€aáreadâÍe
gâotanO!arABCemlunçãodem
35.Obtenhaâ ât!Ë ÍeatvaaoadoACdoidânguloABC,
sabendoqu€A[],2) Bt24) eCis,3l
36, Enmntreâáreadoüânglroemquessequeçõesdasretas
slponesdosadossão2x+y 6=0,x+y 8=0
37.a'gJ a.M éo portorpoiodoaaoAapN eo pol
toÌÁdodorddoBc D"ro s[e.a ait.drenF.qJeo
compÍiÍnentodo segmentoN4Né igualà metad€do
compÍìÍrìentodoiadoÂ8.
38.AfiguÍamostraLrmt ângulofetânguoABCnoquâlM
é o po_.o_ledoad- popnJ-aoroFqueoLorpl
ríìentodarnedìanareatvaà hìpot€nusâéigualàmeta
dedocornpfmentodessãhpotenusa
i

40. s1rqrqlr'ql4br
L CFEISP)A rcias é pefpendicuafà rctare a retat é
paraÌelaà reÌas. Deteffninea eqLrâçãodârcÌas e a
eqlaçãodafetat
2. [P|C-SP)Deierminea d]stárìcÌado ponÌoO[], t) è
retât,cujâ€qltaçâoéx+ y - 3 = 0.
3- [FuvesÌ-SDSejar a Íetaquepassapeopontop[3,2]
e ê pe|pendicuaf à rck s, d€equaçãoy = x + ]
qualé€dÌstánciadoponroA[3,0]à rcrar?
4: [Fuvest-SDCatculeadistÉnciaentrcarcta11,deequa
ção3y= 4x- 2,ea retar,,de€quação3y= 4x+ B,
sabendoquefr // Í,
5" (VunêsplSejaI urnaretsquepassapeloponto(0,-21.
PofdoispontosdoeÌxodasabscissas,dist€ntesenÍes
unaLrroade,traÇan.sepe-pe-dicJa^. a essFe0.
SeestêsperpêndtcularesintersectamrerndosponÌos
doprmeiroqladrantecujadistâncaé JtT unoaoes,
estabeleçaaequaçãodel
6. [UfscaÊSP)Cofsder€a fetar:
[a+ ]l,x + [a,- a]y- 4a,+a - I = 0
âl f4ostrcqlteessarêtâpassaporumponÌocujascoor
denadasnãodependerndop€râmeÍoa.
bl Deteminea demodoqueÍ selapependculaÍèrcïa
s:x I =0
7, IUFCCDA quantidadedeparesordenados(x,yJras
queI < x < y < 7,sendox ey núrnercsinteirosé:
al 15.
b)21.
cl30.
8. (Uníof-CDSeemdeterminadopontodoptanocane-
sranoaabscissaémehorqueaordenada,€ntâoo q!a-
dranteondeelenãopodeestaré:
a)prmeÍo.
b)segLrndo.
cl terceirc.
dlqu€no.
elpfirnercoutercerc.
g. (UFC-CDSejamPt2,3) e q(-4, sl doisponrosdo
planoSeo segmentope é prcongadodêseupropro
cornffmentoatéo pontoM,ques€efcontmàesqLer_
dâdeQ,erìtãoo ponloM é:
10, (UecelSe(2,5)é o pontomédodos€gmentodeex-
trernos[5,y)e [x,7],entàoovaÌordex + y é
a)i-l o,D
bl l -i-.7 1
2 )
a)]
b)2
ï l, (UecelNatigu-
Íaafetarpas_
sâpelospontos
[4,0)e [0,3] e
ABCD é !m
quadrëdocujo
vértce C está
sobrer
oí-'o.1lì
2)
'[-ï+J
cJ3.
dl 4.
0 p.nnet.ooessec €d?oo.eÌ lo€desoocoror-
a)6,4u.
bl6,8u.
'!2. (UnlíorCEIUmârcfar coTtaLlmdosexoscênesanos
noponto[0,í3] e iemdectvdadede30..OgráÍco
d)l u.

41. [Unifof-CDConsidereâ retâÍ, ÍepresentadanâíguÍa
Suaequaçãoé:
a) rfgx+y=t+Jí.
ol .,fsx-y=r-'6.
cl .fex+y= I n6.
o íax v: r+'5.
e)
'6x
+y='6.
14. [Unifof-CDSêjaÍnasÍeÌâsr es representadasnaÍgu-
Aabscssadopontodeintêrsecçãodere s é:
- :"6 s - s"6+s
-'22
15. (Uece)ljrnarctapassapeloponto[], 2l e intercepta
ossemieixospostivosfoÍmandoumtriánguloretêng!-
lo.Sea áÍeadessetriânguoé 4 unidadesdeáfea,en-
úo o coefcienteanguafdaretaél
a)-4. b) -3. c) -2. dl -1.
16. tUnlor-CElA nedidâ,emradianos,doánguloagudo
lor'Ìraoopelase€sdeequeçõesJ3r - y -' - 0 e
. g"'6+z
otz
^. s,6 7
'I 6
l7- (UecelA rciaquepassapeloponto[2,]) elonnâuÍn
ângulode45'comâreta2x+ 3y+ 4 = 0édádapea
equâçao:
al2x- y - 3 = 0. cl3x- y - 5 = 0.
bJx-3y+ I = 0. d)x-5y+3=0.
18, (UFC-CDDetermlneaáreadopamelogmmodevéd-
ces[3,0],[]5,l2),[]3.14)€ [1,2).
19. [Uniíêsp]Urnpontodoplanocafiesanoé repfesênk
dopeláscoofdenadas[x + 3y,-x y] etambémpor
[4 + y,2x+ y),emrclaçãoa !m mesmosistemade
cooÍdenâdas.Nessascondições,tyé iguala:
20. (LJFBAIUmdosvérticesde !Ín quadrcdoABCDé
A( 2, -ll. UÍnacifcunÍeréncanscftanoqLradra-
dotemcentfo[],31.A meddadad agon€doqua-
dradoé:
a)s.,ã. d+ el 10.
al 8.
bJ 6.
c_lI
dlL
22.1-rto- cq selarr y=4.^, y-0ey=2as
equaçôesdasrêtasÌ,6 et representadasnLrmsisterna
deeixoscârtesiânosortogonais,coÍnomostrao gÉfco
abaxo.
bl5. d),/it.
21.0bmec-SP)PaÍaqueospontosdopanocanesanode
coofdenadas(1,l), (a,2)ê (2,b) estejarnsobrcuma
mesmafek é necessáfoesuÍÌcenteque:
d)ab=a'z-b'z.
e)ab=4'z+b'z.
SeâsÍetasdadasnterceotam-se,duasâ d!as.nos
pontosA, BeC,aárcadoÍiânguloABC,emlnidad€s
eJab=a-b.
blab= a + b.
al6. c)12.
blL dlr4.
el 16.
23. [Unifap)EâdâsâsêquaçôesdâsretasÌ:y = x - ] e
s:4J?:2x 3
aJencontfea retat pependicuara s pâssândopelo
ponto| ; l .
blcalculeaáreadaÍguradelmitadapeasrctâsr,t eo

42. 24. [UFPBJEmumalânìnatrianguafhornogênea,comvér
trcesnospontosA[a,b],B[c,d] eCfe,I o seuue|ro
demassaé,pofdeíinição,o ponto
/, +" +. r"rr-rt
Ml -
;-
" -j : I.Seo. ,encesoe.sara
ó/
rninaestãonosponÌosA[0,0],Btl2, 0l e Cto,91,a
dstância,emunidadesdecomprtrnento,doseucenrro
de ÍìassaM à Í€ÌâquepassapelospontosB e C,
seÉ:
!r: c)tz
bl;. dl 5 t) 4.
25. lvunesp]Dadosdospontos,A e B,comcoordenadas
caftesiânas[-2 ]le[1, 2),fespectivâÍì]ente,confor
meaÍgura:
a)CalculeadistâncaentrcA e B.
b)sabendosequeascoofdenadascanesânasooDa
(, ,fcentrcdoÍiánguloABCsào[._,yJ = ] j
' . J"''
cLrleascoodenadâs[xc,yJ dovénìceCdoÌrjànglto.
26. rl r.csrSn Osoon.o"Au.61.Bft.3Je C( .yJ sào
vencesdotÍiãngLloABC.e.ìooM(.v. yv] ê Nía 5)
pontosmédiosdosladosABeAc, respectivaÍn€nte.
al CalculeadistáncaenÌr€ospontosM e N.
bl Deterrninea eqLrâçãogemdaretasuporteoo ado
BCdotdânguoABC.
27. (UFlVlc)SejamA e B dospontosdârctadeequaçao
y = 2x+ 2,qle dstamduasundadesdaorgern.Nes
secaso,a somadasabscssasdeAe B é:
28. IFGVSP)A rerax + 3y 3 = 0 dvdeo ptanodeÌeÈ
n _adooeosr,enaça."sanooeei^oseÍrdosse-1-
planosopostos.CadauÍndospontos(-2, 2l e (S,bl
estásituadoemurndessesdoisserniplânos.Umpossí-
velv€lofdeb é:
"r+ ctx. et-l442
bl] n9'4
u]1
5
q
",i
ol 1 cl 5
orI
29" tUElVlPR)ConéidereA[-1,0],80,zl €C o Donrode
nterseçâoentfeasretass:x + 3y+ I = 0 e
Í: 3x+ y - 5 = 0.Nessascondçôes,êssÌnaeoquefof
0lJ AscoodenadasdeC são[2, ]1.
021Areta1,4N,oJìdeM e N são,fespectvaÍnente,
0spontosmédiosdeBCe AC,nãoé paral€laão
ladoAB
ori ODa,ceroootr,;noL'oqeC.el/2- ]ì
- tJ 3/
08)A equaçãodaretât, parae€a AC€ quepassa
pelobaricenÍoc doÌfâlìgLrloÂBC,é
6
rlx+3Y :=0.
l 6)AáÍesdotriâng!oAGC,ondec éob€cerìtrodo
tÍránoutoÂBc.è11,ì
3
32)A árcadotÍiânglloABCéoÍplo dâárcadotriân_
guoAGC,ond€c éo barcenìrodotriânguloABC.
30. (UFS-SDOánguoagudoíoÍmadopelasrcÌasdeequa-
çÕesx y+ 2 = 0e5x+y+ 20= 0temsuamedida,
erngrEUs,comprcendidaentrc:
al 0" e 30'.
bl30"e 45.
cl 45"e 60'.
d)60' e 75'
el 75' e 90'.
3I. IFGV-SP]
a)Noplanocadesano,pamquevaoresd€m asrems
deeqLrações[Í] rnx+ 2y+ 4 = 0e
[s] mx- 4y+ 5 - 0sãopefpendcut€res?
blOJaaosldnciae-eas ed!(t)3 - ay_ 0e
[v]3x+4y+5=0?
32. (LJFPRJSlponhaqueduaspadícuasp eq sernovern
noplanocartesano,d€ÍnodoqueemcadainsranÌet a
partr'culaPês?ánoponto(21,3 - t) eapartícuâq esú
noponro[4t 3t 2].cornbasenessasinfonnaçôes,
avareasseguintesâÍmatvas:
ll Aspartículascolidemumacoma outrano Írs|anre
5
4
ll Anìbasâspartículaspassampetoponto[4,rj.
lll Noinstantet = I, a drstâncaentfeasp€rlícllasé
J5
AssnalêaalÌernâüvaconeta.
alSomenteaaffinatvâlléverdadeira.
blSornenteaaftnÌativa éverdadeirã.
cìSo_len,pasêitmatvà,e lsãoeÍoàdeÍët
OSomenteasaÍmativasl€ llisãoverdadems.
e)SornenteasafffnatvasI e I sãovedâdei|as.
33. (ufscarSP)Consrd€rea rctaÌ:
(a+ 1)?x+(a,- a)y 4a2+ a- 1= a.
aJMosÍr€queessaretapassãporLrmpontoculascoor_
d€nadasnãodependedìdopaémetroa.
b)Deteminea demodoqueÍ sejapercendcutaràretâ
s.-l=0.