Este documento apresenta os princípios da teoria dos grafos e sua aplicação na análise combinatória. Inicialmente, descreve o problema das sete pontes de Königsberg que deu origem à teoria dos grafos. Em seguida, define os conceitos fundamentais de grafos como vértices e arestas e apresenta exemplos de aplicações dos grafos em outras áreas como física e química. Por fim, discute a metodologia do estudo que inclui questionários diagnósticos e de verificação para explorar as propriedades da ad

1. APRESENTAÇÃO DOS PRINCÍPIOS ADITIVOS E MULTIPLICATIVO
RECORRENDO AO USO DOS GRAFOS
Ana Paula Matias de Souza da Silva
FUNESO/PE
pr.hermes@bol.com.br
Mariza Hermes do Carmo
FUNESO /PE
pr.hermes@bol.com.br.
José Roberto da Silva
UPE; FAINTVISA/PE; FUNESO/PE
jrobertosilva@bol.com.br
Luciana Pessoa da Silva
FUNESO/PE
lulupessoa@globo.com
Introdução
Sabemos que a principal função social e política da escola são garantir a
apropriação, produção e socialização do conhecimento científico sistematizado.
Nesta direção alunos, professores e instituição buscam avanços qualitativos
objetivando constatar, implementar, compreender, explicar e intervir na realidade social.
Nesta perspectiva, dentre varias formas possíveis para atingir os objetivos educacionais
gerais anteriores, faz-se necessário investir continuamente na melhora da prática
pedagógica do professor. Dessa forma o professor poderá orientar eficazmente na
atitude do aluno, e assim poderá intervir significamente na estruturação das habilidades
e competência conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’S,1996),
contribuir eficazmente para os já citados avanços qualitativos.
Por outro lado, o que estamos presenciando nos dias atuais em educação não tem
apontado ainda caminhos seguros em termos das qualidades que se busca atingir. Os
fatores que tem contribuído para a falta de alcance eficiente na qualidade da educação
são vários e dentre alguns, podemos citar a falta de informações ou inter-relações em
termos de concatenação entre as várias áreas do conhecimento sistematizado. Um
enfoque dessa forma entre os conhecimentos, sobre boa parte dos conteúdos abordados

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ainda apresentam muitas dificuldades, seja isto entre os chamados conhecimentos
científicos e não científico, isto pode ser observado a partir dos recursos didáticos
utilizados, por exemplo livros didáticos.
Este estudo irá se deter mais no que diz respeito na falta de informação que em
muitos casos chega a ser absurdo, por exemplo, quando nos foi atribuído um desafio na
disciplina de combinatória à cerca do princípio de contagem (aditivo e multiplicativo)
envolvendo a teoria dos grafos. Achávamos que seria fácil de lidar com tais idéias ; pelo
fato de se tratar de um assunto já abordado no nível secundarista.
O que mais nos surpreendeu diante da possibilidade apresentada pelo professor
de recorrer a Teoria dos Grafos para resolver situações de contagem, foi na falta de
conhecimento e informação de pessoas que estudam ou lidam com o ensino de
matemática ou mesmo outras áreas como a química, física, biologia, etc. Não souberam
se quer o que são Grafos, apesar das suas várias aplicações.
A pesar de estarmos cursando o 2º período de matemática devido ao nosso
fascínio começamos a “inventar” informações sobre assunto, e as respostas eram cada
vez mais surpreendentes. Por exemplo, a começar por nós mesmo que no início se quer
sabíamos o nome correto do assunto e o chamamos de “Teoria dos Gráficos”. Veja a
que ponto se pode chegar no que diz respeito na falta de informações. Mas, mesmo
assim nessa busca preliminar continuamos até que
encontramos um dos nossos
professores do curso de Licenciatura Plena em Matemática da Instituição de Ensino
Superior (IES) que nos falou que o nome correto era “Teoria dos Grafos” e não “Teoria
dos gráficos”.
Neste momento você ao estar lendo este texto pode esta até sorrindo, pois tal
situação parece jocosa. Outro professor também do curso de Licenciatura Plena em
Matemática da mesma IES, acrescentou a informação que um dos motivos do assunto
Teoria dos Grafos ser pouco enfocado é que muitos professores não gostam de ensinar
analise combinatória. Ao continuarmos com o levantamento dessas informações
observamos algo interessante que nos chamou a atenção, é que mesmo sem nunca ter
ouvido falar em Grafos os alunos do 1º e 2º grau às vezes já os utilizam
despercebidamente.
Diante do argumento anterior você pode esta se perguntando, como é que
utilizado essa teoria no Ensino Fundamental e Ensino Médio? De modo abrangente se
pode afirmar, que no caso da matemática em torno dos conjuntos, quando tratamos das
relações entre conjuntos, na geometria euclidiana, quando caracterizamos por dois

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pontos passa uma única reta; no caso da física quando trabalhamos no campo da
elétrica, na química quando lidamos com o campo da química orgânica, em biologia
quando trabalhamos com genética.
Cabe informar que neste estudo o mais interessante, inicialmente é apresentar
que os Grafos podem ser aplicados na análise combinatória. O nosso grande problema
portanto é que não dispomos de livros didáticos tratando deste assunto no Ensino
Fundamenta (E.F) e Ensino Médio (E.M) e que alem disso os professores por sua vez
não têm recorrido a essa técnica que pode promover um certo avanço em termos dos
conhecimentos.
Fundamentos Teóricos
Esta parte deste estudo, foi feito na intenção de apresentar de forma clara as
idéias básicas que estão subjacentes ao conceito de Grafos para que os interessados na
utilização deste campo do conhecimento matemático possam usufruir dele de forma
mais adequada possível conforme suas necessidades.
A forma de abordagem escolhida para a apresentação mencionada acima foi
perseguida a partir de duas das possíveis maneiras de explora-se a aquisição conceitual
na busca de uma aprendizagem com qualidade. A primeira delas diz respeito à
“aprendizagem mecânica”, onde as informações serão tratadas admitindo-se
inicialmente que o individuo possa ou não conhecer nada, ou quase nada, sobre o novo
que lhe vai ser apresentado. No segundo tipo se busca a partir das informações inicias
apresentadas (aprendizagem mecânica) anteriormente auxiliadas por algumas das
concepções iniciais dos aprendizes,estabelecer o maximo possível de relação entre as
idéias novas apresentadas com aquilo que o aprendiz já sabe, caracterizando a
“aprendizagem significativa”. Nos dois casos anteriores, ou seja, na aprendizagem
mecânica , ou na aprendizagem significativa estas serão tratadas seguindo os
referenciais teóricos estabelecidos por Ausubel diz que: “A aprendizagem significativa
ocorre quando a tarefa de aprendizagem implica relacionar, de forma não arbitrária e
substantiva , não literal, uma nova informação a outro com os quais o aluno já esteja
familiarizado e quando o aluno adota uma estratégia correspondente para assim
proceder.” .(Ausubel, citado por Rabelo p.61. 1998)
Para Ausubel os conhecimentos anteriores são fundamentais para a
compreensão e internalização de novos significados de palavras e de conceitos, e o fator
mais importante da a aprendizagem é aquilo que o aprendiz já conhece.

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O breve embasamento teórico educacional apresentado anteriormente, além do
que foi dito, cabe acrescentar que mesmo correndo o risco de críticas por excesso de
reducionismo dentre as características que podem demarcar os dois tipos de
aprendizagem citados acima estas serão observadas segundo dois aspectos neste estudo.
A aprendizagem mecânica, no caso será levada em consideração o que os
aprendizes já sabem, enquanto que o aspecto correspondente à aprendizagem
significativa, torna-se necessário considerar o que o aprendiz já sabe.
A apresentação das informações sobre Grafos neste trabalho, portanto, em
todas as etapas se iniciará com um enfoque em uma aprendizagem mecânica e em
seguida uma aprendizagem significativa.
Metodologia
Este estudo será realizado da seguinte forma, inicialmente faremos um
levantamento diagnostico através de um questionário; logo após iremos fazer uma
intervenção pedagógica e por fim aplicar um questionário de verificação de
aprendizagem. Na intenção de recorrer à teoria dos grafos buscando-se explorar
adequadamente através de significados subjacentes as propriedades fundamentais da
adição e da multiplicação, com isto trazer uma compreensão sobre a necessidade de tais
propriedades em si. Alem disso, vamos também buscar caracterizar a importância de
tais propriedades para a aquisição de noções conceituais básicas que possam
fundamentar o campo da combinatória
Na etapa seguinte será apresentada uma espécie de princípio da teoria dos
grafos, bem como da própria topologia a partir do formoso problema das sete pontes de
KÖNIGSBERG.
1- As Pontes de Königsberg
O primeiro e mais famoso problema em teoria de gráfos, resolvido por Euler em
1735, na cidade de Königsberg, consiste em achar um caminho, alongo do qual um
pedestre, partindo de uma das margens do rio Pregel (figura 1) ou de qualquer das ilhas,
percorra toda as pontes, sem passar mais de uma vez por qualquer uma delas. No qual
havia duas ilhas ligadas entre si por sete pontes, conforme a ilustrado (LIMA,1988).

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Fig.1: Pontes de Königsberg
2- Apresentando Conceitos Fundamentais Sobre Grafos.
2.1- O que são Grafos?
Esta parte deste estudo foi feito na intenção de apresentar de forma clara as
idéias básicas que estão subjacentes ao conceito de Grafos para que os interessados na
utilização deste campo do conhecimento matemático possam usufruir dele de forma
mais adequada possível conforme suas necessidades.
Para Szwarcfiter (Algoritmos e Grafos: Uma introdução, p. 28.1982).“Um Grafo
G(V,E) é um conjunto finito não vazio V e um conjunto E de pares não ordenados de
elementos distintos de V. G é chamado trivial quanto I V I = 1. Quando necessário, se
utiliza o termo Grafo não direcionado, para designar Grafo. Os elementos de V são os
Vértices e os pares de E são as Arestas de G, respectivamente cada aresta e e E será
denotado pelo par de vértices e = (v,w) que a forma. Neste caso, os vértices v,w são os
extremos da aresta e , sendo denominados adjacentes. A aresta e è dita incidente
ambos v,w. Duas aresta que possuem um extremo comum são chamados de incidentes.
É usual se utilizar à notação : M= IVI e m = IEI.
Um grafo pode ser visualizado através de uma representação geométrica , na
qual seus vértices correspondem a pontos distintos do plano, em posições arbitrárias,
enquanto que a cada aresta (v,w) é associada uma linha arbitrária unindo os pontos
correspondentes a v,w (figura 2). Para maior facilidade de exposição, é usual
confundir-se um grafo com a sua representação geométrica . Isto é , no decorrer do
texto será utilizado o termo Grafo, significando também a sua representação
geométrica. V= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E= {(1,2),(1,3), (3,2),(3,6),(5,3),(5,1),(5,6),(4,6),(4,5),(6,1),(6,2),(3,4)}
4
5
3
6
1
2

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Fig. 2: Um grafo (V,E) é uma representação geométrica do mesmo”.
Para MERAYO,Felix Garcia (na obra Matemática Discreta na página 291,
capítulo VII,2001) define grafo: “Definición 7.1. Sea V un conjunto finito no Vacío
formado por elementos denominados vértices o nodos Y sea Ε ⊆ V × V otro conjunto
formado por elemento arcos. Entonces,el par (V, E) recibe el nombre de grafo dirigido
o dígrafo sobre V, y se indica por G =(V, E). G está formado por elementos vértices de
V y por elementos arcos de E que son pares ordenados de los elementos de V. Por
ejemplo, la figura 3 que sigue constituye un ejemplo de dígrafo sobre V = {a, b, c, d, e }
cuyos arcos son los elementos del conjunto de pares ordenados. E = {(a, a),(a, b),(a,
d),(b, c)}
b
e
c
Fig 3:
a
d
3- Algumas Aplicações de Grafos em outras Áreas
Embora pouco divulgado o grafo pede ser usado em diversas áreas como: a
física, a química, a biologia como citamos anteriormente. de forma que o aluno poderia
utilizar, se antes houvesse conhecimento do assunto abordado nas séries iniciais.
Deste modo indicaremos algumas aplicações de grafos em outras áreas.
3.1- Na Física
A primeira pilha foi construída pelo italiano Alessandro Volta, em 1792. Era
constituída por disco de cobre e zinco, separados por uma substancia porosa embebida
em uma solução de ácido sulfúrico, com a disposição
de uma pilha. As pilhas
produzem energia químicas parte dela, porem, geralmente se transforma em calor,
observe a figura 4: (SOARES, José Luís,1993)

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Fig 4:
+
Note que podemos tratar a figura 4 como sendo um grafo, fazendo a seguinte
analogia:
1) Chamamos de vértices os pólos da pilha e a lâmpada.
2) Chamamos de aresta o caminho (fios) que percorre a corrente gerada pela pilha até
chegar à lâmpada, fazendo com que ela acenda
1
2
3
3.2- Na Química
Em 1858 KeKulé estabeleceu a letra de valência do carbono. Em sua concepção
ele imaginou as quatro valências num mesmo plano. Deste modo o metano(CH4) seria
representado na figura 5: (FEITRE, 1974)
H
H
C
H
Fig 5:
Com a descoberta de novos fenômenos como a Hisomeria óptica obrigou os
cientistas a reformularem essa idéia. Deste modo, Lebel e Van’tHoff lançaram, em
1874, a idéia do carbono tetraédrico (figura 6), no qual o átomo de carbono ocupa o
centro de um tetraedro regular imaginário e dirige suas valências para os quatro vértices
do tetraedro: (FEITRE, 1974)
109º2
C
Fig 6:

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Agora observe (figura 7) a projeção da molécula de CH4 (metano):
(FEITRE,1974) Note que as valências podem circular de um vértice a outro por
diferentes caminhos
Desta forma estamos associando cada carbono a um hidrogênio diferente. É o
que chamamos de grafos, ou seja, cada molécula representa um nó e as ligações entre os
átomos arcos.
H
H
C
H
H
Fig 7:
3.3- Na Biologia
Genética é a ciência que estuda o material hereditário e os mecanismos de sua
transmissão ao longo das gerações.
Os primeiros trabalhos realmente importantes no campo da genética foram
realizados num convento na Áustria, por volta de 1866, por um monge chamado Gregor
Mendel.
Para resolvermos problemas de genética, como por exemplo os tipos de
sementes que serão geradas através do cruzamento entre uma planta pura e que produz
apenas sementes rugosas, com outra planta pura, mas que produz apenas sementes lisas.
Tomando a característica rugosa como inibidora da característica lisa, obtemos uma
planta que produz sementes rugosas. Não cabe a nós explicarmos mecanismos de
transmissão genética, mas apenas exemplificarmos.Observe as figuras 8 e 9:
(LOPES,1997)
RR
Rugosa
rr
lisa
Rr
Rugosa
Legenda:
X
Cruzamento
RR Planta Rugosa
rr
Planta Lisa

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9
Rr
P
F1
Nova Planta
Pais
Nova Planta
Fig 8:
Onde também podemos representar como grafo, bastando para isso, tomar o
grafo orientado com as arestas no sentido de pai para filho e os vértices, representando
as plantas
V = {p/p é um pé de ervilha} => V= {RR, rr, Rr}
A = {{V, W} < V é pai de W >}=> A = {(RR, Rr), (rr, Rr)}
Representação: Neste caso temos RR.(Rugosa) e rr (lisa) como sendo Fonte de
RR transmitindo um R, e rr transmitindo um r, com um sumidouro com um R e um r .
(LOPES,1997)
rr
Lisa
RR
rugos
Rr
Rugosa
Fig 9:
Proposta Didática: Apresentação dos Princípios Aditivo e Multiplicativo
recorrendo ao uso da teoria dos grafos
De acordo com a nossa evolução iremos mostrar a aplicação de grafos na área de
matemática com relação à combinatória.
Como a matemática é uma ciência inter-relacionada em outras áreas, o nosso
objetivo é fazer com que o aluno veja não só na matemática, mas também na biologia,
na química na física a junção entre a matemática e as outras áreas citadas. Incentivar o
aluno na área de pesquisa e informações para o seu desenvolvimento.
Propor um material didático com mais clareza e mostrar que podemos resolver
vários exercícios de maneira mais prática sem que seja necessário o uso mecânico.
Queremos com o estudo da teoria dos grafos tentar facilitar o entendimento prático e
objetivo do assunto que vamos abordar neste conteúdo que é a Combinatória e em
especial, o principio aditivo e o multiplicativo, a partir daí vamos definir combinatória
como sendo: um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos
diferentes, formado por um número finito de elementos de um conjunto sob certas
circunstâncias. Na maior partes das vezes se podem tomar um conjunto z com m

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elementos e os grupos formados com os elementos de z terão p elementos distintos,onde
p será a taxa do agrupamento, com p < m. Cabe ressaltar como afirma Merayo (2001, p.
229), que: “A análise Combinatória é a técnica de saber quantos objetos há em um
conjunto sem realmente ter que contá-los, porque essa técnica não necessita listar ou
enumerar todos os elementos que formam o conjunto.”
É muito freqüente encontrarmos na literatura inclusive, do E.M abordagem sobre
os termos arranjo, combinação e permutação, mas estas formas de abordagens
geralmente esquecem de mencionar que todas essas formas não mais são que uma forma
de contar.
Idéias básicas sobre Combinatória.
Os problemas de combinatória normalmente são muito difíceis mas, eles podem
ser resolvidos através de duas regras básicas: A regra da soma e a regra da multiplicação
ou produto.
Regra da soma (ou princípio aditivo)
A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e
um outro pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um outro elemento se
realiza de m + n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma
das escolhas de um elemento pode coincidir com a escolha do outro.
As propriedades da adição são
Comutativa: Numa adição, a ordem das parcelas não interfere no resultado, isto é se A
e B são números naturais: A + B = B + A
A
B
A
=
B
A
=
B
Associativa : Numa adição , a maneira de agrupar as parcelas não altera a soma. Isto é,
se A, B e C são números naturais então: (A + B) + C = B + (A + C).
Esta propriedade permite a eliminação dos parentes.
(A + B) + C = B + (A + C) = A + B + C
A
B
A
=
C
A
B
B
=
C
C

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Elemento Neutro: Na adição temos como elemento neutro o número zero, desta forma
podemos demonstrar o seguinte termo: A + B + 0 = R
A
B
A
B
R
R
=
0
0
Regra do produto (ou principio multiplicativo)
A regra do produto diz que se um elemento h pode ser escolhido de m formas
diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas. Um outro elemento m pode ser
escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H, M) nesta ordem poderá ser
realizada de m vezes n formas.
As propriedades da Multiplicação são
Comutativa: Numa multiplicação , a ordem dos fatores não altera o produto. Isto é A e
B são números naturais, então: A x B = B x A
A
B
=
B
A
=
A
B
Associativa: Numa multiplicação de três fatores, podemos associa-los de forma
diferente, que o produto não se altera. Se A, B e C são números naturais então:
(A x B) x C = B x (A x C)
Nesta Propriedade podemos eliminar os parênteses:(A x B) x C = B x (A x C) = A x B x
C
A
C
=
A
B
A
B
C
=
B
C

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Elemento Neutro: O número um (1) é o elemento neutro, pois 1 multiplicado por
qualquer número natural, e qualquer ordem, da por produto o mesmo número. A x B x 1
=R
A
A
B
B
R
R
=
1
1
Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: O produto de um número por
uma soma é obtido multiplicando-se o número por cada um dos termos da soma.
Α × (Β + C ) = A× B + A× C
B×( A+ C) = B× A+ B×C
A
B
B
A
=
C
C
Palavras chaves: Conceitos, propriedades,grafos
Bibliografia
FEITRE, R. Química Orgânica. V. 2. São Paulo: Moderna. 1974.
GIOVANNI, J. ; JR. Giovanni, J. Aprendizagem e Educação Matemática. 5ªserie. São
Paulo: FTD. 1990.
LIMA, E.. Alguns Problemas Classicos sobre Grafos. Resvita do Profesor de
Matemática, Nº 12, 1º Semestre. SPEC/CAPES/MEC/PADCT. 1988
LOPES, S. Bio. Volume Único. São Paulo: Saraiva. 1994
LUIS, S. Algoritmo e Grafos: Uma introdução. Terceira Escola de Computação. Rio de
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13. Anais do VIII ENEM – Minicurso
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Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares Nacionais.
Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1996.
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