Os números complexos surgiram inicialmente para resolver equações de 3o grau, não de 2o grau como muitos pensam. Ao longo dos séculos, vários matemáticos como Cardano e Bombelli lidaram com raízes negativas em suas soluções, ajudando a desenvolver a compreensão dos números complexos, embora ainda fossem vistos com suspeita na época. Foi apenas no século XVIII que Wessel e Argand desenvolveram uma representação geométrica dos números complexos no plano que ajudou a legitimá-los como objetos mate
2. Como surgiram os Números
Complexos?
Quando confrontadas com esta questão, a
maioria das pessoas responde que os números
complexos surgiram para resolver as equações de 2º
grau da forma x2 + a =0, a > 0. No entanto, esta
ideia está errada!
Apesar da abordagem aprofundada dos
números complexos ter sido feita a partir do séc.
XVIII, esse problema já tinha sido percebido por
outros matemáticos antes dessa época. No entanto,
dada à incompreensão e o desconhecimento destes
números, tais matemáticos abandonaram o seu
estudo.
3. Até onde se sabe, o primeiro matemático que
enfrentou um problema envolvendo números
complexos foi Héron de Alexandria (séc. I dC) no
livro Stereometrica. Este pretendia resolver
mas como não havia o domínio atual sobre estes
números, abandonou o seu cálculo.
Por volta do ano 275 dC, ao resolver um
problema, Diophanto (200-284 aprox.) deparou-se
com a equação
24x2 - 172x + 336 = 0
Como concluiu que não tinha soluções reais,
não viu necessidade de dar sentido à raiz .
167
(81 144) ( 63)
4. Na Índia, por volta do ano 850, Mahavira (800-
870 aprox.) escrevia: "(...) como na natureza das
coisas um negativo não é um quadrado, ele não tem,
portanto, raiz quadrada." Ou seja, negou à partida, a
existência de números negativos cuja raiz quadrada
devolve um outro número.
Bhaskara(1114-1185 aprox.), um dos indianos
que mais perto chegou das ideias da álgebra moderna
(conhecia a regra "menos por menos dá mais",
trabalhava com coeficientes negativos, etc.)
reconhecia que a equação x2 - 45x = 250 era
satisfeita por dois valores x = 5 e x = -5, mas dizia
que não considerava a segunda, pois as pessoas não
"apreciavam" raízes negativas.
5. Gerônimo Cardano (1501-1576) considerava que o
aparecimento de raízes quadradas de números negativos na
resolução de um problema indicava que o mesmo não tinha
solução.
No entanto, foi Cardano que, em 1545, mencionou pela
primeira vez os números complexos. Na sua obra Ars Magna de
Cardano, falava do seguinte problema: "Determinar dois números
cuja soma seja 10 e o produto seja 40". Para tal, considerou as
expressões
Cardano ficou por aqui, não dando significado a estas
expressões, pondo de lado a "tortura mental" envolvida, mas,
teve o mérito de ter sido o primeiro a considerá-las, até porque
neste tempo os números negativos eram evitados.
5 + 15 e 5 15
6. A partir disto é possível derrubar a ideia
errada de que os números complexos surgiram com
as equações do segundo grau. Os números
complexos apareceram sim, a partir das equações
de terceiro grau.
Mas, foram preciso cerca de 25 anos para este
tema ser de novo considerado, por Raffaelle
Bombelli (1526-1572) numa obra de nome Algebra.
7. Ao resolver a equação x3 = 15x + 4, Bombelli
utilizou a "fórmula de Cardano" obtendo a seguinte
solução (em notação moderna):
Ele achou estranho este resultado porque
conhecia todas as raízes da equação, entre as
quais x = 4. Teve então a estranha ideia de
procurar a e b positivos tais que:
Com alguma manipulação algébrica, usando
as mesmas regras que usava para os números
reais, mais a propriedade , chegou ao
resultado a = 2 e b = 1, donde sai x = 4.
3 3
(2 121) (2 121)
x
3
3
a+b 1= (2 121)
a-b 1= (2 121)
2
( 1) 1
8. O próprio Bombelli não estava bem seguro do
que havia criado. Para os demais matemáticos da
época, os números complexos eram vistos com
suspeita e quanto muito tolerados, na falta de
melhor coisa.
É de referir que alguns matemáticos da época
procuraram maneiras de evitar o uso de tais
números. Entre eles, Cardano foi o que mais tentou
evitar as "torturas mentais" envolvidas no uso de
raízes quadradas de negativos. No seu livro De
Regula Aliza, de 1570, procurou artifícios que
contornassem o uso de tais raízes na resolução de
equações de 3º grau obtendo, somente, resultados
vagos.
9. Raffaelle Bombelli apresentou na sua
obra Algebra as leis algébricas que regiam os
cálculos entre números da forma .
Em particular, mostrou que as 4 operações
aritméticas sobre números complexos produzem
números desta forma. Ou seja, o conjunto dos
complexos é fechado para estas operações.
a+b 1
10. Em 1629, Albert Girard (1595-1632) utiliza,
efetivamente, o símbolo quando enuncia as relações entre
raízes e coeficientes de uma equação.
Um grande passo no estudo dos números complexos foi
a sua representação visual. Em 1797, o dinamarquês Caspar
Wessel (1745-1818) representou, pela primeira vez,
geometricamente os números complexos, estabelecendo uma
correspondência bijectiva entre estes e os pontos do
plano. Este trabalho foi levado ao esquecimento, talvez por ter
sido publicado em dinamarquês e só por volta de 1806, quando
publicado em francês por Jean Argand (1768-1822) ganhou o
devido respeito. Por este motivo, esta representação ficou,
indevidamente, ligada ao nome de Argand.
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11. O símbolo i, para a representação de , foi
criado por Leonard Euler mas, só após o seu uso
por Gauss (1777-1855), em 1801, é que foi
aceito. A expressão número complexo foi
introduzida em 1832, por Gauss.
É possível dizer que, apesar da sua história
ser recente, os números complexos envolveram o
trabalho de vários matemáticos, continuando,
ainda hoje, com muitas questões em aberto.
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