O documento discute limites e continuidade em cálculo, introduzindo o conceito de limite como investigar como uma função se comporta quando sua variável independente se aproxima de um valor. Também aborda o problema de encontrar a inclinação e equação de uma reta tangente calculando limites de inclinações de retas secantes.

1. Limite
Turma Engenharias 2018.1
Professor Alex Cabral - Aula 01

2. Limites e Continuidade
Vocês irão constatar nos próximos capítulos, o cálculo é um ramo
extremamente rico da matemática, com um grande número de aplicações,
como a plotagem de curvas, a otimização de funções, a análise de taxas de
variação e a determinação de áreas e volumes. O que torna o cálculo
poderoso e distingue da álgebra é a noção de limites.

3. Limites e Continuidade
Em termos simples, calcular um limite é investigar de que forma uma
função f(x) se comporta quando a variável independente x se aproxima de
um certo número c(que não pertence necessariamente ao domínio de f(x).
Para ilustrar o conceito de limites...

4. Limites e Continuidade
Como exemplo inicial podemos imaginar uma placa metálica
quadrada que se expande uniformemente porque está sendo
aquecida.

5. Limites e Continuidade
Se x é o comprimento do lado, a área da placa é dada por A = x2. É
fácil entender que quanto mais x se avizinha de 3, a área A tende a 9
cm2. Expressamos isso dizendo que quando x se aproxima de 3,x2 se
aproxima de 9 como um limite. Simbolicamente escrevemos:

6. Limites e Continuidade

7. Limites e Continuidade
Do gráfico do slide anterior, podemos ver claramente que se x tende a 3, o valor da
função f(x) tende a 9 como um limite. Generalizando, se f é uma função e a é um
número, entende-se a notação

8. Limites e Continuidade
Outra aplicação, suponha que, de acordo com as informações colhidas pelo
gerente de uma fábrica, quando x% da capacidade de produção estão sendo
usados, o custo total de funcionamento é C centenas de milhares de reais,
onde:

9. Limites e Continuidade
A empresa tem uma política de manutenção preventiva que procura
assegurar que a fábrica esteja sempre funcionando a 80% da capacidade
máxima. Que custo o gerente deve esperar quando a fábrica está
funcionando neste nível de produção ideal?

10. Limites e Continuidade
Não é possível responder a esta pergunta simplesmente calculando o valor
de C(80), porque ao se fazer x = 80 na equação do custo, obtemos a fração
0/0, que não tem um valor definido.

11. Limites e Continuidade
Entretanto, podemos calcular C(x) para valores que se aproximam de x
. Pela direita (x > 80), o que significa que a fábrica está funcionando acima
do nível ideal;
. Pela esquerda (x < 80), o que significa que a fábrica está funcionando
abaixo do nível ideal.
A tabela a seguir mostra alguns desses valores.

12. Limites e Continuidade
Os valores C(x) mostrados na linha inferior da tabela sugerem que C(x) se
aproxima do número 7 quando x se aproxima de 80. Assim é razoável que o
gerente espere um custo de R$ 700.000,00, quando a fábrica está
funcionando a 80% da capacidade máxima.

13. Limites e Continuidade
O problema da tangente
A palavra tangente vem da palavra latina tangens, que significa “tocando”.
Assim, uma tangente a uma curva é uma reta que toca a curva. Como tornar
precisa essa ideia? Para um círculo poderíamos simplesmente seguir
Euclides e dizer que tangente é uma reta que intercepta o círculo uma única
vez, conforme a figura 1.

14. Limites e Continuidade
O problema da tangente
Para curvas mais complicadas, essa definição é inadequada. A figura abaixo
mostra uma reta passando por um ponto de tangência, porém intercepta em
outro ponto a mesma curva

15. Limites e Continuidade
O problema da tangente
Para sermos objetivos, vamos examinar no exemplo a seguir o problema de
encontrar uma reta tangente t tangente à parábola y = x2.
Se soubermos como encontrar a inclinação m seremos capazes de encontrar
uma equação da reta tangente t.

16. Limites e Continuidade
O problema da tangente
A dificuldade está em termos somente um ponto P, sobre T, enquanto para
calcular a inclinação serão necessários dois pontos. Observe, porém, que
podemos calcular uma aproximação de m escolhendo um ponto próximo Q
(x, x2) sobre a parábola, como a figura 2, e computando a inclinação mpq da
reta secante PQ.
https://math.stackexchange.com/questions/1748162/problem-with-basic-
definition-of-a-tangent-line
.

17. Limites e Continuidade
O problema da tangente
Figura 2

18. Limites e Continuidade
O problema da tangente
Solução: Vamos escolher x ≠ 1 de tal forma que Q ≠ P. Então:
Por exemplo, para o ponto Q(1,5;2,25), temos:

19. Limites e Continuidade
O problema da tangente
Solução(continuação):
As tabelas mostram os valores de mpq para vários valores de x próximos de 1.
Quanto mais próximo Q estiver de P, mais próximo x estará de 1, e fica evidente que
mpq estará mais próximo de 2.

20. Limites e Continuidade
O problema da tangente
Solução(continuação):
Isso sugere que a inclinação da reta tangente t deva ser m = 2. Dizemos que
a inclinação da reta tangente é o limite das inclinações das retas secantes, e
expressamos isso simbolicamente escrevendo que:

21. Limites e Continuidade
O problema da tangente
Solução(continuação): Supondo que a inclinação da reta tangente
realmente seja 2, podemos usar a forma ponto inclinação da equação de uma
reta para escrever a equação da tangente no ponto P (1,1) como:

22. Limites e Continuidade
O problema da tangente

23. Limites e Continuidade
Trabalharemos com os exercícios do livro
“Cálculo” – Vol.I
4ª Edição – James Stewart
1) Exercícios (2.1) Questões:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7