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Capítulo 10
Momentos de inércia
slide 1

 Desenvolver um método para determinar o momento de inércia
de uma área.
 Introduzir o produto de inércia e mostrar como determinar os
momentos de inércia máximo e mínimo de uma área.
 Discutir o momento de inércia da massa.
Objetivos do capítulo

Definição de momentos de inércia para áreas
Sempre que uma carga distribuída
atua perpendicularmente a uma área
e sua intensidade varia linearmente,
o cálculo do momento da
distribuição de carga em relação a
um eixo envolverá uma quantidade
chamada momento de inércia de
área. Por exemplo:

Momento de inércia
Por definição, os momentos de inércia de uma área diferencial dA em
relação aos eixos x e y são dIx = y2 dA e dIy = x2 dA,
respectivamente. Para a área inteira A, os momentos de inércia são
determinados por integração; ou seja,

Momento de inércia
Para a área inteira, o momento de inércia polar é
Essa relação entre JO e Ix, Iy é possível porque r2 = x2 + y2.

Teorema dos eixos paralelos para uma área
O teorema dos eixos paralelos pode ser usado para determinar o
momento de inércia de uma área em relação a qualquer eixo que seja
paralelo a um eixo passando pelo centroide e em relação ao
momento de inércia é conhecido.

A primeira integral representa o momento de inércia da área em
torno do eixo centroidal. A segunda integral é zero, pois o eixo x'
passa pelo centroide C da área. Como a terceira integral representa a
área total A, o resultado final é, portanto,
Uma expressão semelhante pode ser escrita para Iy'; ou seja,

Para o momento de inércia polar, como
temos:
A forma de cada uma dessas três equações indica que o momento de
inércia para uma área em torno de um eixo é igual ao seu momento
de inércia em torno de um eixo paralelo passando pelo centroide da
área mais o produto da área e o quadrado da distância perpendicular
entre os eixos.

Raio de rotação de uma área
O raio de rotação de uma área em torno de um eixo tem unidades de
comprimento e é uma quantidade normalmente usada para projetos
de colunas na mecânica estrutural. Se as áreas e momentos de inércia
forem conhecidos, os raios de giração serão determinados pelas
fórmulas:

Procedimento para análise
 Se a curva definindo o limite da área for expressa como y = f(x),
então selecione um elemento diferencial retangular de modo que
ele tenha um comprimento finito e largura diferencial.
 O elemento deverá estar localizado de modo que cruze a curva em
um ponto arbitrário (x, y).

Momentos de inércia para áreas compostas
 Uma área composta consiste em uma série de partes ou formas
‘mais simples’ conectadas, como retângulos, triângulos e círculos.
 Se o momento de inércia de cada uma dessas partes for conhecido
ou puder ser determinado em relação a um eixo comum, então o
momento de inércia da área composta em relação ao eixo é igual à
soma algébrica dos momentos de inércia de todas as suas partes.

Partes compostas
 Usando um esboço, divida a área em suas partes compostas e
indique a distância perpendicular do centroide de cada parte até o
eixo de referência.
Teorema do eixo paralelo
 Se o eixo centroidal para cada parte não coincide com o eixo de
referência, o teorema do eixo paralelo deve ser usado para
determinar o momento de inércia da parte em relação ao eixo de
referência.

Somatório
 O momento de inércia da área inteira em relação ao eixo de
referência é determinado pela soma dos resultados de suas partes
compostas em relação a esse eixo.
 Se uma parte composta tem um ‘furo’, seu momento de inércia é
encontrado ‘subtraindo’ o momento de inércia do furo do
momento de inércia da parte inteira, incluindo o furo.

Produto de inércia para uma área
O produto de inércia da área na
figura ao lado em relação aos
eixos x e y é definido como:

Assim como o momento de inércia, o produto de inércia tem
unidades de comprimento elevadas à quarta potência, por exemplo,
m4 ou mm4. Por exemplo,
Aqui, cada elemento dA
localizado no ponto (x, y)
tem um elemento
correspondente dA
localizado em (x, –y).

Se a área for girada de um quadrante para outro, o sinal de Ixy
mudará:

Considere a área sombreada mostrada na Figura abaixo:
Teorema dos eixos paralelos

O teorema dos eixos paralelos para o produto de inércia torna-se:
É importante que os sinais algébricos para dx e dy sejam mantidos ao
se aplicar essa equação.

Momentos de inércia para uma área em relação aos
eixos inclinados
Em projeto estrutural e mecânico, às vezes é necessário calcular os
momentos e o produto de inércia Iu, Iv e Iuv para uma área em relação a
um conjunto de eixos inclinados u e v quando os valores para θ , Ix, Iy
e Ixy são conhecidos. Para fazer isso,
usaremos equações de transformação
que se relacionam às coordenadas
x, y e u, v:
u = x cos θ + y sen θ
v = y cos θ + x sen θ

Usando as identidades trigonométricas sen 2 θ = 2 sen θ cos θ e cos 2
θ = cos2 θ – sen2θ,
Momentos de inércia para uma área em torno de eixos
inclinados

Momentos principais de inércia
O conjunto de eixos u e v em particular é chamado de eixos
principais da área, e os momentos de inércia correspondentes em
relação a esses eixos são chamados momentos principais de inércia.
O ângulo que define a orientação dos eixos principais pode ser
encontrado diferenciando a primeira das equações anteriormente
apresentadas, em relação a θ e definindo o resultado como sendo
igual a zero. Portanto, em θ = θp,

Primeiro temos de achar o seno e o cosseno de 2θp1 e 2θp2. Isso pode
ser feito usando as razões dos triângulos mostrados na figura abaixo:

Substituindo cada uma das razões de seno e cosseno na primeira ou
segunda das equações 10.9 e simplificando, obtemos:
 O produto de inércia em relação aos eixos principais é zero.
 Qualquer eixo simétrico representa um eixo de inércia principal
para a área.

Círculo de Mohr para momentos de inércia
Elevando a primeira e a terceira das equações 10.9 ao quadrado e
somando, descobrimos que:
Assim, a equação acima pode ser escrita de forma compacta como:

Quando essa equação é desenhada em um conjunto de eixos que
representa o momento de inércia respectivo e o produto de inércia, o
gráfico resultante representa um círculo de raio:
O círculo assim construído é chamado de círculo de Mohr.
Círculo de Mohr para momentos de inércia

Determine Ix, Iy e Ixy.

Construa o círculo.

 Os pontos onde o círculo cruza o eixo I indica os valores dos
momentos principais de inércia Imín e Imáx. Observe que, conforme
esperado, o produto de inércia será zero nesses pontos.

Eixos principais
 Para determinar a orientação do eixo principal maior, use a
trigonometria para achar o ângulo 2θ p1, medido a partir do raio
OA até o eixo I positivo. Esse ângulo representa o dobro do
ângulo do eixo x até o eixo do momento de inércia máximo Imáx.
Tanto o ângulo no círculo, 2θp1, como o ângulo θp1, devem ser
medidos no mesmo sentido. O eixo para o momento de inércia
mínimo Imín é perpendicular ao eixo para Imáx.

Momento de inércia da massa
O momento de inércia da massa de um corpo é uma medida da
resistência do corpo à aceleração angular.
Considere o corpo rígido:

Definimos o momento de inércia da massa do corpo em torno do
eixo z como:
Se o corpo consiste em material tendo uma densidade r, então
dm = r dV.

O momento de inércia do corpo é então calculado usando-se
elementos de volume para integração; ou seja,
Para a maioria das aplicações, r será uma constante, e assim esse
termo pode ser fatorado da integral e a integração é então puramente
uma função da geometria.

Elemento de casca
 Se um elemento de casca tendo uma altura z, raio y e espessura dy
é escolhido para integração, então seu volume é dV = (2πy) (z) dy.
 Esse elemento pode ser usado nas equações 10.13 ou 10.14 para
determinar o momento de inércia Iz do corpo em torno do eixo z,
pois o elemento inteiro, devido à sua ‘estreiteza’, se encontra na
mesma distância perpendicular r = y do eixo z.

Elemento de disco
 Se um elemento de disco de raio y e espessura dz é escolhido para
integração, então seu volume é dV = (πy2) dz.
 Nesse caso, o elemento é finito na direção radial, e
consequentemente seus pontos não se encontram todos na mesma
distância radial r do eixo z. Como resultado, as equações 10.13 ou
10.14 não podem ser usadas para determinar Iz. Ao invés disso,
para realizar a integração usando esse elemento, é necessário
primeiro determinar o momento de inércia do elemento em torno
do eixo z e depois integrar esse resultado.

Se o momento de inércia do corpo em torno de um eixo que passa
pelo centro de massa do corpo for conhecido, então o momento de
inércia em torno de qualquer outro eixo paralelo pode ser determinado
usando o teorema dos eixos paralelos.

O momento de inércia em torno do eixo z é:
Raio de giração
Ocasionalmente, o momento de inércia de um corpo em torno de um
eixo especificado é relatado nos manuais usando o raio de giração, k.

 A adição algébrica é necessária porque uma parte composta deve
ser considerada uma quantidade negativa se já tiver sido incluída
em outra parte.
 Além disso, o teorema dos eixos paralelos é necessário para os
cálculos se o centro de massa de cada parte composta não está no
eixo z.
Corpos compostos

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