asdsad

1. ANÁLISE MULTIVARIADA
DE DADOS
DOCENTE: CARLA OLIVEIRA SILVA

2. Teste Paramétrico / Parametric Test Teste Não Paramétrico
Teste T uma amostra / One sample T test
1 variável quantitativa
H0: =a ou ≤a ou ≥a
H1: ≠a ou >a ou <a
Wilcoxon (h=0,95)
1 variável quantitativa ou 1 var. qualitativa
ordinal
H0: mediana=a ou mediana≤a ou mediana≥a
H1: mediana≠a ou mediana>a ou mediana<a
Teste T amostras Indep / 2 indep. Samples
1 var quantit + 1 var qualit. nom
H0: 1=2 ou 1≤2 ou 1≥2
H1: 1≠2 ou 1>2 ou 1<2
Mann Whitney (h=0,95)
1 var quantit. /qual. ordin + 1 var qualit. nom
H0: med1=med2 ou med1≤med2 ou
med1≥med2
H1: med1≠med2 ou med1>med2 ou
med1<med2
Teste T amostras empar / 2 pair samples
2 var quantitativas
H0: d=0 ou d≤0 ou d≥0
H1: d≠0 ou d>0 ou d<0
Wilcoxon (h=0,95) / Signals (h=0,63)
2 quant ou 2 qualit ordin.
H0: medd=0 ou medd≤0 ou medd≥0
H1: medd≠0 ou medd>0 ou medd<0
ANOVA Analysis of Variance
1 var quantit + 1 var qualit. nom
H0: 1=2=3
H1: pelo menos uma  é ≠
Kruskal-Wallis (h=0,95)
1 var quantit. /qual. ordin + 1 var qualit. nom
H0: med1=med2=med3
H1: pelo menos uma mediana é ≠
Dizer que um teste tem uma eficiência de 0,95 ou de 95% significa que só em
95% dos casos em que um teste T rejeitaria H0 é que o seu equivalente não
paramétrico a rejeita.

3. COMPARAÇÃO DE 3 OU MAIS MÉDIAS
COMPARING 3 OR MORE MEANS
Comparação de 3 ou mais
médias
Comparing 3 or more means
Shapiro Wilk or
Kolmogorov Smirnov
F(x)=N(,s)?
Variâncias homogéneas?
Homogeneous
variances?
Anova
F de Welch (Fw) or F de
Brown & Forsythe (FBF)
Kruskal Wallis
Não / No
Sim / Yes
Não / No
Sim / Yes

4. ANÁLISE DA VARIÂNCIA
ANALYSIS OF VARIANCE
ANOVA
é um método para testar a igualdade de
três ou mais médias populacionais
através da análise das variâncias
amostrais
Usa a distribuição F, que é:
contínua
assimétrica à direita
Tem valores 0 ou positivos (jamais
negativos)
existe uma distribuição F diferente para
cada par de graus de liberdade
(dFnumerador, dFdenominador.)
Homenagem a /
Tribute to
Ronald Aylmer
Fisher &
George Waddel
Snedecor
A distribuição F mede a razão
entre 2 distribuições qui-
quadrado.
F distribution measures the rate
between 2 Qui-square
distributions
ANOVA
Is a method to test the equality of 3 or
more population means, trough the
analysis of variances.
Uses F distribution, which is:
continuous
asymmetrical on the right
values of F are 0 or positive (never
negative)
there is a different F distribution for each
pair of degrees of freedom (dFfactor dFerror)

5. Teste Anova
Compara duas estimativas distintas da
variância comum de duas populações
diferentes:
Variância entre amostras
Variância dentro das amostras
Anova a um fator
Permite verificar qual o efeito de uma
variável independente, de natureza
qualitativa (fator), numa variável
dependente ou de resposta, cuja
natureza é quantitativa.
Fator ou tratamento é uma propriedade
ou característica que nos permite
distinguir as diferentes populações umas
das outras
H0: 1=2=3
H1: 1≠2 ou 2≠3 ou 1≠3 ou 1≠2≠3
O teste Anova permite verificar a
igualdade de três ou mais médias
Anova allows to compare 3 or more
means
Em alternativa: alternatively
H1: pelo menos uma média é diferente / at
least one mean is different
ANOVA = ANALYSIS OF VARIANCE
Test Anova
Compares two distinct estimates of the
common variance of two different
populations:
Variance between samples
Variance within the samples
One Way Anova
It allows to test the effect of an
independent variable, of qualitative
nature (factor), in a dependent or
response variable, whose nature is
quantitative.
Factor is a property or characteristic that
allows us to distinguish different
populations from one another

6. Requisitos:
Todas as populações têm distribuições
que são aproximadamente normais –
exigência leve
As populações têm variâncias
homogéneas* (homocedasticidade) –
exigência leve (se os tamanhos amostrais
forem idênticos, a maior variância pode
ser até 9x superior à menor.
As amostras são aleatórias simples
As amostras são independentes
As diferentes amostras são categorizadas
por um único fator.
* Quando a variável dependente tem
distribuição normal e as variâncias são
heterogéneas existem duas estatísticas
alternativas: F de Welch ou Fw e F de
Brown & Forsythe ou FBF.
* When the dependent variable has a
normal distribution and the variances
are heterogeneous, one of two
alternative statistics must be used: F de
Welch (Fw) ou F de Brown Forsythe
(FBF).
Requirements:
All populations have distributions that
are approximately normal - light
requirement
Populations have homogeneous
variances * (homoscedasticity) - light
requirement (if sample sizes are
identical, the largest variance can be
up to 9x higher than the lowest.
Samples are randomly selected
Samples are independent
The different samples are categorized
by a single factor.
ANOVA
H0: 1=2=….=m
H1: pelo menos uma das médias é ≠ / at least one mean is ≠

7. SSf – Squares Sumfactor – soma dos quadrados do fator:
variação entre as amostras
Sse –Squares Sumerror – soma dos quadrados do erro:
variação dentro das amostras
SSt –Squares Sumtotal – soma dos quadrados total em
torno de 𝑥 em todos os dados amostrais combinados
ONE-WAY ANOVA
2
2
2
2
2
1
1 )
(
...
)
(
)
( x
x
n
x
x
n
x
x
n
SS k
k
f 






2
2
2
2
2
1
1 )
1
(
...
)
1
(
)
1
( k
k
e s
n
s
n
s
n
SS 






e
f
t SS
SS
SS 

H0: 12=…=k
H1: pelo menos uma das médias é distinta / at least one mean is
different.

8. ANOVA A UM FATOR / ONE-WAY ANOVA
MSfactor – Mean Squarefactor – variância entre amostras
MSerror – Mean Squareerror – variância dentro da amostra
MStotal – Mean Squaretotal– variância total
error
factor
MS
MS
F 
factor
factor
factor
dF
SS
MS 
error
erro
error
dF
SS
MS 
total
total
total
dF
SS
MS 
Estatística do Teste:
Test statistic:
Comparação
de médias
Comparing
means
Qual o valor de F?
Which is the F
statistic?
F pequeno / small
F grande / big
P-valor é grande. Não se rejeita
H0.
P-value is big. Don't reject H0.
P-valor é pequeno. Rejeita-se H0.
P-value is small. Reject H0.
dFfactor=k-1
dFerror=N-k
dFtotal=N-1

9. ONE-WAY ANOVA:
Group 1 Group 2 Group 3
7 6 4
3 5 7
6 5 6
7 6 7
6 8 8
n1=5 n2=5 n3=5
Média1=5,8 Média2=6,0 Média3=6,4
S1
2=2,7 S2
2=1,5 S3
2=2,3
Variância dentro das amostras
Variance inside samples
p-valor=1-cdf.F(0.215,2,12)=0,809
215
,
0
167
,
2
467
,
0



error
factor
MS
MS
F
𝑆𝑆𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 = 𝑛1(𝑥1 − 𝑥)2
+ 𝑛2(𝑥2 − 𝑥)2
+ 𝑛3(𝑥3 − 𝑥)2
= 5 × 5,8 − 6,07 2
+ 5 × 6,0 − 6,07 2
+
+5 × 6,4 − 6,07 2
= 0,933
26
3
,
2
)
1
5
(
5
,
1
)
1
5
(
7
,
2
)
1
5
(
)
1
(
)
1
(
)
1
( 2
3
3
2
2
2
2
1
1















 s
n
s
n
s
n
SSerror
467
,
0
2
933
,
0



factor
factor
factor
dF
SS
MS 167
,
2
12
26



error
error
error
dF
SS
MS
Soma de Quadrados entre amostras:
Square sum between samples:
Média das Médias Amostrais
Mean of samples means:
Gl entre amostras: dF / betweeen samples:
Variância entre amostras
variance between samples:
Soma de Quadrados dentro das amostras:
Square sum of inside samples:
GL dentro amostras / dF freedom inside samples
Não se rejeita H0!
𝑑𝐹𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 = 𝑘 − 1 = 3 − 1 = 2
dFerror=N-k=15-3=12
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =
5,8 + 6,0 + 6,4
3
= 6,07

10. ONE-WAY ANOVA
ANOVA UM FATOR Tal como no caso de
duas amostras
independentes, é
testada a
homogeneidade
das variâncias,
através do Teste de
Levene
Analisar
Analize
Comparar
Médias
Compare
Means
Análise da
variância
unidirecional
Ane-way Anova
SSTotal=SSFactor+SSError=(N-1)xS’2
Soma dos Quadrados Totais:
As in the case of
two independent
samples, the
variances
homogeneity is
tested through
Levene test

11. ONE WAY ANOVA
985
,
70
167
,
2
8
,
153



error
factor
MS
MS
F
     
6
,
307
4
,
9
4
,
6
4
4
,
9
0
,
6
4
4
,
9
8
,
15
5
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1















 x
x
n
x
x
n
x
x
n
SSfactor
26
3
,
2
)
1
5
(
5
,
1
)
1
5
(
7
,
2
)
1
5
(
)
1
(
)
1
(
)
1
( 2
3
3
2
2
2
2
1
1















 s
n
s
n
s
n
SSerror
8
,
153
2
6
,
307



factor
factor
factor
dF
SS
MS
167
,
2
12
26



error
error
error
dF
SS
MS
Rejeita-se H0!
p-valor=1-cdf.F(70.985,2,12)=0,000
Group 1 Group 2 Group 3
17 6 4
13 5 7
16 5 6
17 6 7
16 8 8
n1=5 n2=5 n3=5
Média1=15,8 Média2=6,0 Média3=6,4
S1
2=2,7 S2
2=1,5 S3
2=2,3
Example 2:
𝑑𝐹𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 = 𝑘 − 1 = 3 − 1 = 2
dFerror=N-k=15-3=12
Média das Médias Amostrais
Mean of samples means:
GL entre amostras /dF between samples:
Soma de Quadrados entre amostras:
Square sum between samples:
Variância entre amostras
variance between samples:
Graus de liberdade dentro das amostras:
Degrees of freedom inside samples
Soma de Quadrados dentro das amostras:
Square sum of inside samples:
Variância dentro das amostras
Variance inside samples
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =
15,8 + 6,0 + 6,4
3
= 9,4

12. ANOVA A UM FATOR /
ONE WAY ANOVA
Analisar
Analize
Comparar Médias
Compare Means
Anova
Soma dos Quadrados Totais:
SSTotal=SSFactor+SSError=
(N-1)xS’2
Para o 2.º conjunto de dados os
resultados da Anova são:

13. COMPARAÇÕES À POSTERIORI
POST HOC MULTIPLE COMPARISONS
Quando se rejeita H0 na Anova é
necessário identificar a ou as
populações com média distinta.
Para o efeito usam-se as
comparações múltiplas à
posteriori.
When H0 is rejected in an Anova
Test, the populations with different
means must be identified. To do so
we use Post Hoc Multiple
Comparisons
Muito embora não haja consenso sobre o
teste mais apropriado, o teste de Tukey é
um dos mais robustos para desvios à
normalidade quando há homogeneidade
das variâncias e o Bonferroni um dos mais
potentes para amostras pequenas.
Although there is no consensus on the
most appropriate test, the Tukey test is
one of the most robust for deviations to
normality and homogeneous variances
and Bonferroni is one of the most

14. TESTES ROBUSTOS DE IGUALDADE DAS MÉDIAS
ROBUST TESTS OF EQUALITY OF MEANS
Testes incluídos nas opções da Anova
Tests included in Anova options
O teste de Welch tem melhor performance.
Welch test has a better performance
Quando as variâncias são heterogéneas
devem-se usar as opções das estatísticas de
Brown & Forstythe, ou a estatística de Welch.
When the variances are heterogeneous
Brown & Forstythe statistic or Welch
statistic must be used.

15. KRUSKAL WALLIS TEST
Requisitos:
três ou mais amostras independentes
selecionadas aleatoriamente
n≥5 em todos os grupos
Notação:
n: número total de observações em todas as
amostras combinadas
k: número de grupos
Rj: ordenações da categoria j
ti: n.º de empates de cada categoria i
Teste não paramétrico aplicável:
. variáveis ordinais
. variáveis quantitativas, alternativa à Anova
Utiliza ordens de dados amostrais de três ou mais
populações independentes. É usado para testar a H0
de que as amostras independentes provêm de
populações com a mesma mediana.
H0: med1=med2=…=medk
H1: pelo menos uma mediana é diferente
Non parametric test used to:
. ordinal variables
. quantitative variables, alternative to Anova
Uses data orders of three or more independent
populations. Is used to test H0 the equality of three
or more medians.
H0: med1=med2=…=medk
H1: at least one median is different
Requirements:
three or more randomly selected independent
samples
n≥5 in all groups
Notation:
n: total number of observations in all samples
combined
k: number of groups
Rj: orders of category j
ti: number of tied observations of each

16. KRUSKAL-WALLIS
Group 1 Group 2 Group 3
Value Ranking Value Ranking Value Ranking
7 11,5 6 7 4 2
3 1 5 3,5 7 11,5
6 7 5 3,5 6 7
7 11,5 6 7 7 11,5
6 7 8 14,5 8 14,5
n1=5 n2=5 n3=5
Mean ranking =
6,0
Mean ranking =
6,375
Mean ranking =
7,125
R1=38 R2=35,5 R3=46,5
R1
2=1444 R2
2=1260,25 R3
2=2162,25
2 empates duplos
1 empate quádruplo
1 empate quíntuplo
)
1
(
3
)
1
(
12
3
2
3
2
2
2
1
2
1














 n
n
R
n
R
n
R
n
n
H
665
,
0
16
3
5
25
,
2162
5
25
,
1260
5
1444
16
15
12














H
705
,
0
15
15
)
5
5
(
)
4
4
(
)
2
2
(
2
1
665
,
0
)
(
1
3
3
3
3
3
3















n
n
t
t
H
H k
i
i
i
E
Sem correção para empates!
No tie corrected
Com correção para
empates!
Tie corrected
2 double ties
1 quadruple tie
1 quintuple tie
P-valor=1-Cdf.Chisq(0.705,2)=0,703

17. TESTE DE KRUSKAL-WALLIS
Analisar
Analyse
Testes Não Paramétricos
Nonparametric Tests
amostras independentes
independent samples
P-valor=1-Cdf.Chisq(0.705,2)=0,703