Exercícios Matemática Financeira

Exercícios
de
Matemática Financeira
e
Informática de Gestão
Autor
Vítor M. Matos
–––––––––––––— Docentes: –––––––––––––—
Pedro Cosme Vieira Vítor M. Matos
pcosme@fep.up.pt vmatos@fep.up.pt
Matemática Financeira e Informática de Gestão
Curso de Gestão
Faculdade de Economia da Universidade do Porto
Outubro de 2009

1 Taxa de Juros, Capitalização, Desconto e Rendas
1.1 Enunciado dos Exercícios da Secção 1
Exercício 1 Admita que uma instituição de crédito ao consumo (i) prevê uma inflação de 2,3% ao
ano; (ii) pretende uma taxa anual de remuneração de 2,5%; (iii) e cobra uma taxa anual de juros de
15%. Calcule qual a probabilidade de incumprimento estimada pela instituição.
Exercício 2 Uma dívida de 1000€ capitalizada durante dois anos à taxa de 10% ao ano atinge um
valor: a) Inferior a 1200€; b) Igual a 1200€; c) Superior a 1200€.
Exercício 3 Uma dívida de 1000€ capitalizada durante seis meses à taxa de 10% ao ano atinge um
valor: a) Inferior a 1050€; b) Igual a 1050€; c) Superior a 1050€.
Exercício 4 Calcule o valor que 1000€ terão daqui a dois anos e meio admitindo uma taxa de juro
de 4% ao ano.
Exercício 5 Calcule a taxa de juro implícita num empréstimo de 1000€ o qual será saldado com
apenas um pagamento de:
a) 1105€ passado um ano;
b) 1105€ passado dois anos e três meses.
Exercício 6 Calcule quanto terá que depositar hoje para obter 1200€ daqui a 5 anos a uma taxa de
juro de 4% ao ano.
Exercício 7 Considere que receberá um prémio daqui a 4 anos no valor de 5000€ e outro daqui a 6
anos no valor de 10000€. Para uma taxa de juro de 3% ao ano, calcule o valor actual do conjunto
dos dois prémios.
Exercício 8 Se alguém considera que receber 1000€ hoje é equivalente a receber 2000€ daqui a 10
anos, calcule a taxa de juro anual implícita na avaliação que indivíduo faz. O que pode dizer da taxa
de inflação?
Exercício 9 Considere que, a título de empréstimo, recebe hoje 1250€ e outros 1250€ daqui a seis
meses. Sabendo que saldará a dívida com apenas um pagamento daqui 30 meses, calcule o valor do
pagamento sabendo que taxa de juro é 5% por ano.
Exercício 10 Considere que deposita numa conta, no fim de cada mês, 100€ durante 15 meses.
Calcule o valor em conta no final dos 15 meses admitindo que é remunerado à taxa de juro de 4% ao
ano.
Repita os cálculos para depósitos efectuados no início de cada mês.
Exercício 11 Considere que aluga um terreno vitaliciamente a 1800€ anuais, postecipados. Ad-
mitindo uma taxa de juro de 9% ao ano, calcule o valor do terreno.
Exercício 12 Considere que contraiu um empréstimo no valor de 10000€ a uma taxa de juro de 8%
ao ano e que salda a dívida efectuando pagamentos mensais, constantes e postecipados durante 10
anos.
a) Calcule o valor das mensalidades;
b) encontre uma expressão algébrica a dívida ao fim de n ∈ [1, 120] meses, Dn;
c) Faça o gráfico de Dn em função de n. (Compare com outros, por exemplo, aumente o juro para
20% anual; mude de 10 para 30 anos de contrato, o que acontece?)
Exercício 13 Considere que para comprar um bem no valor de 1000€ aceita efectuar 13 pagamentos
de 85€. O primeiro no acto da compra e os seguintes em intervalos de um mês. Portanto, leva
exactamente um ano a saldar a sua dívida.
a) Calcule a taxa de juro implícita no contrato;
b) Compare o resultado da alínea (a) com o obtido no Exercício 5.a. Comente a diferença das
taxas apesar de, nos dois casos, o valor pago ser o mesmo, 1105€, assim como o tempo de duração
do contrato, 1 ano .
2

Exercício 14 Considere que contrai uma dívida no valor de 2000€ a uma taxa de juro de 9% ao
ano. Pelo contrato paga uma prestação anual (postecipada) constante durante n anos, sem que salde
a dívida, pelo que no fim do contrato continuará devendo. Calcule o valor em dívida ao fim desses n
anos se:
a) A prestação é de 200€ anuais e n = 10.
b) A prestação é de 180€ anuais e n qualquer.
Exercício 15 Considere que recebe de um banco um empréstimo mensal, postecipado, no valor de
200€ durante 3 anos. Após esses 3 anos, pagará uma renda de 200€ mensais, também postecipada,
durante 4 anos. Calcule a taxa de juro implícita no contrato (use o Excel).
Exercício 16 Considere que recebe de um banco um empréstimo mensal, postecipado, no valor de
200€ durante 3 anos. Calcule a taxa de juro implícita no contrato se após esses 3 anos pagar
postecipada (use técnicas analíticas, evitando ao máximo usar um computador):
a) Uma renda perpétua de 200€ mensais;
b) Uma renda de 200€ durante outros 3 anos;
c) Uma renda de 200€ durante 4 anos (note que este é o Exercício 15).
Exercício 17 (*) Considere que concede um empréstimo sobre o qual receberá juros ao fim de dois
anos. Contudo, haverá duas capitalizações compostas, a primeira ao fim de um ano e a outra ao
fim de dois anos. Admita que o contrato lhe permite escolher as taxas de juro anuais praticadas em
ambos os anos, desde que satisfaçam a restrição da soma ser 10% ao ano. Diga que as taxas anuais
escolheria.
Exercício 18 Considere o depósito Sempre a Abrir, DSA, e o depósito Mais do Mesmo, DMM,
ambos com capitalização mensal e sem possibilidade de levantamento do dinheiro antes do fim do
contrato, que dura um ano. Na tabela abaixo são apresentadas as taxas anuais efectivas usadas em
cada mês, para ambos os depósitos. Podemos constatar que a taxa média anual é igual a 3% ao ano
nos dois casos. Diga qual o depósito mais vantajoso para o depositante.
Taxas de juro anuais efectivas
Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
DSA 0.5% 0.5% 1.0% 1.0% 1.0% 1.0% 1.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0%
D 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0%
Exercício 19 Considere o seguinte contrato de crédito automóvel:
Valor do automóvel: 37000€;
Entrada: 12000€;
Taxa de abertura de processo: 175€ (pago no acto da compra);
Doze mensalidades de 600€ postecipadas seguidas de outras vinte e quatro de 800€;
Taxa administrativa anual: 75€ no final de cada um dos três anos do contrato;
No final do contrato existirá um do saldo remanescente em dívida no valor de 2500€.
Calcule a TAEG do contrato.
1.2 Resolução dos Exercícios da Secção 1
Exercício 1:
Temos 1 + i =
(1 + π)(1 + r)
1 − p
⇔ p = 1 −
(1 + π)(1 + r)
1 + i
⇔
⇔ p = 1 −
1.023 × 1.025
1.15
= 0.088 = 8.8%.
O risco de incumprimento é calculado em 8.8% ao ano.
Exercício 2:
A resposta correcta é a alínea c) pois (1 + i)n
> 1 + ni para n > 1.
Exercício 3:
A resposta correcta é a alínea a) pois (1 + i)n
< 1 + ni para 0 < n < 1.
Exercício 4:
V2.5 = V0(1 + 4%)2.5
= 1000 × 1.042.5
= 1103€.
3

O valor daqui a 2 anos e meio será 1103€.
Exercício 5:
Vn = V0 (1 + i)
n
⇔ i =

Vn
V0
1
n
− 1
a) n = 1, V1 = 1105, V0 = 1000 logo i =

1105
1000
1
1
− 1 = 0.105 = 10.5% ao ano.
b) n = 2.25, V1 = 1300, V0 = 1000 logo i =

1105
1000
1
2.25
− 1 = 0.04 54 = 4.54% ao ano.
Exercício 6:
Vn = V0 (1 + i)
n
⇔ V0 = Vn (1 + i)
−n
Com Vn = 1200 e n = 5 obtemos V0 = 1200 × (1.04)
−5
= 986.31€.
O valor actual dos 1200€ é de 940.23€.
Exercício 7:
V0 = 5000 × (1.03)
−4
+ 10000 × (1.03)−6
= 12817€.
O valor actual dos dois prémios é de 12817€.
Exercício 8:
• Resolução 1 (Valor Futuro):
O valor futuro de 1000€, daqui a 10 anos, é 1000 × (1 + i)
10
que deverá igual o valor os 2000€,
logo: 1000 × (1 + i)10
= 2000 ⇔ i = 21/10
− 1 = 7.2% ao ano.
• Resolução 2 (Valor Actual):
O valor actual dos 2000€ é 2000 × (1 + i)−10
que deverá igual a 1000€, logo:
2000 × (1 + i)
−10
= 1000 ⇔ i =
1
2
−1/10
− 1 = 7.2% ao ano.
Podemos concluir que o indivíduo espera que a inflação média dos 10 anos seguintes seja inferior
à taxa de juro (7, 2% anuais).
Exercício 9:
• Resolução 1 (Valores Futuros):
Cálculo do valor dos empréstimos no mês 30 (i.e., no instante 30
12 = 2.5 anos).
1o
empréstimo será capitalizado 30 meses: V F1 = 1250 × (1.05)
30/12
= 1412.20
2o
empréstimo será capitalizado 24 meses: V F2 = 1250 × (1.05)24/12
= 1378.10
Soma dos valores futuros dos empréstimos: V F1 + V F2 = 2790. 30
O pagamento deverá ser de 2790.30 de forma a saldar a dívida.
• Resolução 2 (Valores Actuais):
Cálculo do valor actual dos empréstimos e do pagamento (P).
1o
empréstimo: V A1 = 1250
2o
empréstimo será descontado 6 meses: V A2 = 1250 × (1.05)−6/12
= 1219.90
O pagamento será descontado 30 meses: PA = P × (1.05)−30/12
Soma dos valores actuais dos empréstimos: V A1 + V A2 = 2469. 90
O valor actual do pagamento terá que ser PA = 2469. 90 de forma a saldar a dívida, pelo que:
PA = P × (1.05)−30/12
⇔ P = 2469. 90 × (1.05)30/12
= 2790. 30
O pagamento deverá ser de 2790.30 de forma a saldar a dívida.
Exercício 10:
• Primeiro problema proposto:
• Resolução usando computador:
Vamos calcular os valores futuros de cada depósito.
A2 := 1 A3 := 2 Copiar até à linha 16
B2 := 100 Copiar até à linha 16
C2 := 15 − A2 Copiar até à linha 16
E2 := 0, 04 (ou 4%)
F2 := (1 + E2)ˆ(1/12) − 1
D2 := B2 ∗ (1 + $F$2)ˆC2 Copiar até à linha 16
D17 := SOMA(D2 : D16)
O valor em conta ao fim dos 15 meses será 1534,87€.
4

• Resolução usando duas rendas perpétuas:
Se ianual = 4% então imensal = (1 + ianual)1/12
− 1 = 0, 3274% ao mês.
O valor descontado, início do primeiro mês, da totalidade das 15 prestações de 100€ é
100 × (1 + 0, 3274%)
−1
+ 100 × (1 + 0, 3274%)
−2
+ ... + 100 × (1 + 0, 3274%)
−15
= V0
onde V0 =
100
0, 003274

1 − (1, 003274)−15

= 1461, 43 — pela soma de duas rendas perpétuas.
Para sabermos o valor das 15 prestações ao fim dos 15 meses, basta capitalizarmos,
V15 = V0(1 + 0, 003274)15
= 1534, 87.
• Variação ao problema proposto:
• Resolução usando computador:
Única alteração: C2 := 16 − A2 que resulta num valor de 1539,89€.
• Resolução usando duas rendas perpétuas:
Repare que o valor obtido pela fórmula V = P
i

1 − (1 + i)
−N

é a soma dos valores das N
prestações descontadas a um período antes da primeira prestação.
Portanto, é necessário capitalizar 16 vezes o valor obtido pelas duas rendas perpétuas (V0), dado
que o intervalo de tempo que medeia entre um mês antes da primeira prestação e o final do 15o
mês são
16 meses. Assim, ao fim do 15o
mês, com prestações antecipadas, temos 1461, 43×(1+0, 003274)16
=
1539, 89€.
Exercício 11:
Para rendas perpétuas temos V = P
i , logo V = 1800
0.09 = 20000€.
Exercício 12:
a) cálculo da prestação:
• Resolução usando uma renda limitada.
V = P
i

1 + (1 + i)−n

⇔ P = iV ×

1 − (1 + i)−n
−1
.
Com V = 10000, n = 120 e i = (1 + 0.08)1/12
− 1 = 0.6434% temos
P = 0.006434 × 10000 ×

1 − (1 + 0.006434)
−120
−1
= 119. 86
Logo a prestação mensal é de 119.86€.
• Resolução usando Excel usando valores actuais.
D2 := 10000
F2 := 100 (Ou outro valor)
G2 := 0, 08 (ou 8%)
B2 := $F$2 ∗ (1 + $G$2)ˆ(−A2/12) Copiar até à linha 121
C2 := SOMA(B2 : B121)
E2 := C2 − D2
Ferramenta Objectivo
Definir célula E2
Para valor 0
Por alteração da célula F2
5

• Resolução usando Excel usando conta corrente.
B2 := 10000 B3 := E2 Copiar até à linha 122
G2 := 0, 08 (ou 8%)
F2 := (1 + G2)ˆ(1/12) − 1
H2 := 100 (Ou outro valor)
C2 := B2 ∗ $F$2 Copiar até à linha 121
D2 := $H$2 Copiar até à linha 121
E2 := B2 + C2 − D2 Copiar até à linha 121
Definir célula E121
Para valor 0
Por alteração da célula G2
Pelo que obtemos uma prestação de 119,86€ mensais.
b) Vamos calcular o valor da dívida inicial e o valor das primeiras n prestações daqui a n meses.
Temos V dívida inicial
n = 10000(1 + 8%)n/12
e V p
n = 119,86
1.081/12−1

1 − (1 + 8%)
−n/12

(1 + 8%)
n/12
.
Logo, Dn = V dívida inicial
n −V p
n = 10000(1+8%)n/12
− 119,86
1.081/12−1

1 − (1 + 8%)−n/12

(1 + 8%)n/12
⇔
⇔ Dn = 18629, 07 − 8629, 07 × (1 + 8%)
n/12
.
c) Podemos usar a expressão da alínea (b) ou os valores da conta corrente da alínea (a), B2:B122.
Fazendo as devidas alterações obtemos os outros dois gráficos. Notamos que aumentando o juro
ou o tempo de contrato a dívida começa por diminuir mais lentamente, sendo sempre superior à
anterior; mesmo quando, perto do final do contrato, a dívida decresce mais rapidamente.
6

Exercício 13:
a)
• Resolução usando valores actuais.
Calculamos o valor actual de todas as parcelas para uma taxa de juro qualquer e computamos a
sua soma.
Descobrimos a taxa de juros implícita variando a taxa de juro de forma a que a soma dos valores
actuais seja igual à dívida inicial.
C2 := A2 Copiar até à linha 14
E2 := 0, 30 (ou outro valor qualquer)
D2 := B2 ∗ (1 + $E$2)ˆ(−C2/12) Copiar até à linha 14
D17 := SOMA(D2 : D14)
Definir célula D15
Para valor 1000
Por alteração da célula E2
Descobre-se uma taxa implícita de 22,6% ao ano.
• Resolução usando conta corrente.
Período a período iremos calcular o valor em dívida.
G2 := 0 G3 := 1 Copiar até à linha 14
H2 := 1000
I2 := 85 Copiar até à linha 14
J2 := H2 − I2
K2 := 0, 30 (ou outro valor qualquer)
J3 := J2 ∗ (1 + $K$2)ˆ(1/12) − I3 Copiar até à linha 14
Definir célula J14
Para valor 0
Por alteração da célula K2
Descobre-se uma taxa implícita de 22,6% ao ano.
7

• Resolução usando duas rendas perpétuas.
85
i

1 − (1 + i)13

é a soma do valor das parcelas um mês antes do primeiro pagamento.
85
i

1 − (1 + i)13

(1 + i) é a soma do valor das parcelas no momento do primeiro pagamento, ou
seja, no início do primeiro mês.
Temos que resolver em ordem a i a equação 85
i ×

1 − (1 + i)−13

× (1 + i) = 1000. Esta equação
não tem solução algébrica, pelo que necessitamos resolvê-la numericamente. Podemos usar o excel
conforme a figura a baixo para confirmar a taxa mensal de 1,71% e anual de 22,6%.
b) No exercício 5.a a taxa anual é bastante menor, 10,5% contra 22,6%. Isto acontece porque no
Exercício 5.a efectua-se apenas um pagamento no futuro, o que vale menos que um pagamento no
presente, ou seja, corresponde uma taxa de juro menor.
Exercício 14:
a) Vamos calcular os valores ao fim de 10 anos.
Dívida inicial: D10 = 2000 × 1.0910
= 4734, 73€.
Valor das 10 prestações de 200: V10 = 200
0.09 ×

1 − 1, 09−10

× 1, 0910
= 3038, 59€.
O saldo daqui a 10 anos será D10 − V10 = 1696, 14€.
b) De forma idêntica:
= 4734, 73€.
0.09 ×

1 − 1, 09−10

× 1, 0910
= 2734, 73€.
O saldo daqui a 10 anos será D10 − V10 = 2000€.
Concluímos que a dívida ao fim de 10 anos é igual à inicial. Mas isto não é estranho, pelo contrário,
dado que 2000 × 9% = 180 a prestação iguala o juro, ou seja, estamos na presença de uma renda
perpétua. Portanto, a dívida mantêm-se em 2000€ no fim de cada período.
Note que esta alínea é identica ao Exercício 11, apenas com valores 10 vezes inferiores.
c) De forma idêntica:
= 4734, 73€.
0.09 ×

1 − 1, 09−10

× 1, 0910
= 2278, 94€.
O saldo daqui a 10 anos será D10 − V10 = 2455, 70€.
Como pagamos menos que o juro a dívida aumenta.
Exercício 15:
Vamos basear a resolução no valor actual de todas as parcelas, sendo negativas as que se recebe
do banco e positivas as que se entregam ao banco.
B2 := −200 Copiar até à linha 37
E2 := 0.01 (Ou outro valor)
C2 := B2 ∗ (1 + $E$2)ˆ(−A2/12) Copiar até à linha 85
8

D2 := SOMA(C2 : C85)
Definir célula D2
Para valor 0
Por alteração da célula E2
Pelo que a taxa de juro é de 8,63% ao ano.
Exercício 16:
Representamos a taxa de juros anual por i e a taxa mensal por j, logo j = (1 + i)1/12
− 1, ou,
i = (1 + j)12
− 1. Nos cálculos vamos usar j.
No primeiro passo da resolução vamos calcular o valor da dívida acumulada após se receber as 36
prestações do empréstimo, chamaremos essa dívida de D36.
Nota: Geralmente usamos o instante inicial como o tempo de referência para todas as capitaliza-
ções/descontos; neste exercício vamos tomar como referência o fim do 36o
mês.
Valor actual da totalidade dos empréstimos recebidos é V Empr
Actual = 200
j

1 − (1 + j)−36

.
O valor da dívida no fim do 36o
mês é D36 = V Empr
Actual (1 + j)36
= 200
j

1 − (1 + j)−36

(1 + j)36
.
a) Sabemos que a partir do fim do 37o
mês pagamos uma prestação mensal perpétua de 200€,
logo temos D36 = 200
j .
Das duas expressões para D36 tiramos
200
j

1 − (1 + j)
−36

(1 + j)
36
= 200
j ⇔ (1 + j)
36
− 1 = 1 ⇔ j = 21/36
− 1 = 1. 944%.
Logo a taxa anual é i = (1 + 0, 01944)12
− 1 = 26, 0 %.
b) Pagamos 36 prestações de 200€ a partir do final do 37o
mês, então o valor destas prestações
no fim do 36o
mês é dado por:
V 36prest
36 = 200
j

1 − (1 + i)
−36

Dado que saldamos a dívida temos:
D36 = V 36prest
36 ⇔ 200
j

1 − (1 + j)−36

(1 + j)36
= 200
j

1 − (1 + j)−36

⇔ (1 + j)36
= 1 ⇔
⇔ j = 11/36
− 1 = 0.
Portanto, também i = 0%.
Este resultado não é surpreendente, dado que, apesar do desfasamento temporal, paga-se um valor
exactamente igual ao que se recebeu, 36×200€, o que só acontece com juros nulos. Mas surpreendente
é o facto de obtermos o resultado certo com uma resolução errada, pois para j = 0 as expressões de
D36 e V 36prest
36 não fazem sentido dado que incluem uma divisão por zero. Quando o juro é zero o
valor actual e futuro é sempre o mesmo, por isso, n prestações P valem nP em qualquer instante
presente ou futuro. Pelo que a resolução correcta para j = 0 é D36 = V 36prest
36 pois D36 = 36 × 200 e
V 36prest
36 = 36 × 200.
c) Pagamos 48 prestações de 200€ a partir do final do 37o
mês, então o valor destas prestações
no fim do 36o
mês é dado por:
V 48prest
36 = 200
j

1 − (1 + j)−48

Dado que saldamos a dívida temos:
D36 = V 48prest
36 ⇔ 200
j

1 − (1 + j)−36

(1 + j)36
= 200
j

1 − (1 + j)−48

⇔
⇔ (1 + j)
36
+ (1 + j)
−48
= 2 ⇔ (1 + i)
3
+ (1 + i)
−4
= 2.
Esta equação não tem solução algébrica, pelo que a solução só pode ser encontrada numericamente,
por exemplo, usando Excel. Mas há um problema adicional, existem mais de uma solução para
(1 + i)
3
+ (1 + i)−4
= 2, vejamos:
• Escolhendo A2 := 2%
A1 := (1 + $A$2)ˆ3 + (1 + $A$2)ˆ(−4)
9

Definir célula A1
Para valor 2
Por alteração da célula A2
De onde obtemos i = 0% — este resultado não é válido, apesar de claramente (1 + 0)3
+
(1 + 0)−4
= 2. Repare que se j = 0% deveríamos usar D36 = 36×200 = 7200 e V 36prest
36 = 48×200 =
9600, de onde fica claro que D36 = V 36prest
36 .
• Escolhendo A2 := 20% e voltando a fazer
Definir célula A1
Para valor 2
Por alteração da célula A2
obtemos i = 8, 63%, tal como no Exercício 15.
Nota: Existe ainda uma solução de juro negativo inferior a −100% (i = −179, 5%) que obviamente
não tem relevância financeira. Repare que se capitalizar uma vez uma dívida com um juro inferior
a −100% a dívida transforma-se em crédito (porque troca de sinal), o que não tem qualquer sentido
económico. Contudo, a Matemática capta este absurdo.
Exercício 17:
A capitalização ao fim de 2 anos será C2anos = (1 + i1) (1 + i2) = 1 + i1 + i2 + i1 × i2.
Temos i1 + i2 = 0.1, ou seja i2 = 0.1 − i1.
Substituindo obtemos C2anos = 1.1 + i1 (0.1 − i1) =
i=i1
1.1 + 0.1i − i2
.
Dado que C2anos é uma parábola voltada para baixo, o seu máximo de ocorre quando C′
2 = 0,
i.e., 0.1 − 2i2
= 0 ⇔ i = 0.05.
Portanto, o mais vantajosas seriam ter duas taxas iguais a 5% ao ano, i.e., i1 = i2 = 5%/ano.
A maior taxa final é obtida com o maior equilíbrio entre as taxas, por exemplo:
- para i1 = 5%/ano e i2 = 5%/ano obtemos uma taxa de juro (1 + 0.05)2
− 1 = 0.102 5 = 10.25%;
- para i1 = 7%/ano e i2 = 3%/ano obtemos uma taxa de juro (1 + 0.07)(1 + 0.03) − 1 =
0.102 1 = 10.21%;
- para i1 = 10%/ano e i2 = 0%/ano obtemos uma taxa de juro (1 + 0.1)(1 + 0) − 1 = 0.10 = 10%;
- para i1 = 20%/ano e i2 = −10%/ano obtemos uma taxa de juro (1 + 0.2)(1 − 0.1) − 1 =
0.08 = 8%.
Exercício 18:
Para o DSA temos um juro anual de:
(1.005)
2/12
(1.01)5/12
(1.02)1/12
(1.04)1/12
(1.06)1/12
(1.08)1/12
(1.10)1/12
− 1 = 2. 95%.
Para o DMM temos um juro anual de (1 + 0.03)12/12
− 1 = 3, 00%.
10

Exercício 19:
Vamos calcular o valor actual de todos os pagamentos, abatimentos à dívida e taxas. O total
desses valores actuais tem que ser igual à dívida (valor do automóvel).
B2 := 12000 C2 := 175
C14 := 75 C26 := 75 C38 := 75
D2 := B2 + C2 Copiar até à linha 38
J2 := 0.01 (Ou outro valor)
I2 := (1 + J2)ˆ12 − 1
E2 := D2 ∗ (1 + $J$2)ˆ(−A2) Copiar até à linha 37
F2 := SOMA(E2 : E85)
G2 := 2500 ∗ (1 + $J$2)ˆ(−36)
H2 := 37000 − F2 − G2
Definir célula H2
Para valor 0
Por alteração da célula J2
A TAEG aparece na célula G2, logo é 9,8%.
2 Preços Constantes e Correntes, VAL, TIR e q de Tobin
2.1 Enunciado dos Exercícios da Secção 2
Exercício 20 Comente a consistência da tabela abaixo que apresenta o preço de um bem entre 2005
e 2008 em preços constantes de 2005 e 2007.
Ano 2005 2006 2007 2008
Base 2005, Pn
2005 100 120 140 160
Base 2007, Pn
2007 60 80 100 120
Exercício 21 Considere a evolução do preço de um bem tal como dado pela tabela com dois tramos
apresentada abaixo. Construa a tabela de base 100 para o ano 2008.
Ano 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Base 1999 100 103 105 108
Base 2003 97 100 105 104 106 109 115
Exercício 22 Considere que, num certo país, o índice de preços (IP) e o preço de um certo bem em
euros (PB) seguem a tabela abaixo.
a) Calcule a taxa de inflação acumulada entre Janeiro de 2008 e Agosto de 2008.
b) Calcule a taxa de inflação homóloga de todos os meses de 2008.
c) Calcule a taxa de inflação média de 2008.
d) Determine o preço real do bem em Dezembro de 2008 na base de Janeiro 2007, P
12/2008
1/2007 .
11

e) Determine o preço real do bem em Janeiro 2007 na base de Dezembro de 2008, P
1/2007
12/2008.
2007 Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
IP 112.3 112.4 113.0 112.9 113.1 113.4 113.6 113.9 113.8 114.2 114.8 115.2
PB (€) 80.30 80.50 80.30 81.00 81.90 82.60 84.10 84.60 84.70 85.20 85.80 86.90
2008 Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
IP 116.0 116.1 116.3 116.4 117.0 117.2 117.8 118.3 118.6 118.9 119.5 120.2
PB (€) 88.20 89.40 90.20 91.20 93.70 95.20 97.00 97.80 98.40 98.90 99.10 99.40
Exercício 23 Com base na tabela (fictícia) de Índice de Preços apresentada abaixo, calcule:
a) a taxa de inflação média de 2005; b) Taxa de inflação acumulada de 2005.
IP Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
2004 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161
2005 161 161 161 161 161 161 161 161 161 161 161 161
Exercício 24 Considere a tabela abaixo onde temos o IPC numa dada base (desconhecida) e o preço
de um bilhete de comboio. Complete a tabela preenchendo os espaços em branco e ignorando os que
estão cortados.
2006 2007 2008
IPC 157,0 168,0 184,8
Inflação –—
Preço Corrente 8,00 8,80 10,12
% de Aumento do Preço Corrente –—
Preço Constante Base 2006
Preço Constante Base 2008
% de Aumento do Real Preço –— –—
Exercício 25 Considere que em 2009 fez um planeamento de investimento dado pela tabela abaixo,
cujos valores estão em milhares de euros em preços correntes.
a) Para uma taxa de juro de 5% ao ano, calcule o VAL do investimento.
b) Considere que lhe propõem que abdique do seu plano de investimento a troco de dois pagamen-
tos de 2000€, um em 2012 e outro em 2015. Sabendo que não tem mais nenhuma prespectiva de
investimento confiável, diga, justificando, se aceitaria a oferta.
Ano 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Entregas 10 15 10 5 0 0
Recebimentos 0 0 5 15 15 15
Exercício 26 Considere que em 2009 fez um planeamento de investimento dado pela tabela do Exer-
cício 25, mas agora admita que os valores estão em milhares de euros em preços constantes de 2009.
Calcule o VAL do investimento para uma inflação de 3% ao ano e:
(a) uma taxa de juro anual de 3% + 5% = 8%; (b) uma taxa de juro anual i tal que 1 + i =
(1 + 3%) (1 + 5%).
Exercício 27 Suponha o plano de investimento do Exercício 25 e calcule o TIR do investimento.
Exercício 28 Considere um projecto multianual em que o valor actual dos investimentos é de 150
milhões de euros enquanto que o valor actual das receitas previstas é de 180 milhões de euros.
Exercício 29 Considere que investe hoje um valor V e que receberá no final de cada um dos cinco
anos seguinte 1000€ (preços correntes). Para uma taxa de juro de 8% ao ano e um q de Tobin igual
a 1.12, calcule o valor V .
Exercício 30 Considere a tabela abaixo onde I são os valores programados de investimento, R são
os valores dos recebimentos estimados, ambos a preços constantes de 2009, e Inf é a taxa de inflação
esperada.
a) Calcule o valor dos investimentos e recebimentos em valores correntes.
b) Considere que uma equipa de estudos estima que, para se cobrir o risco, a taxa de juro terá que
ser de 15%. Encontre o q de Tobin levando em conta a estimativa feita pela equipa.
c) Calcule o TIR do investimento.
12

Investimentos e Recebimentos em 1000€
Ano 2010 2011 2012 2013 2014 2015
I 23 32 40 15 8 3
R 4 8 17 35 47 48
Inf 3.1% 4.3% 5.0% 2.9% 1.7% 1.3%
2.2 Resolução dos Exercícios da Secção 2
Exercício 20:
• Em qualquer tabela, os valores entre duas bases têm que manter uma proporção constante. Na
deste exercício também, logo, qualquer que seja o ano n a razão
Pn
2005
Pn
2007
tem que ser a mesma. Podemos
verificar que isso não acontece, note:
i)
P2005
2005
P2005
2007
= 100
60 = 1, 67; ii)
P2006
2005
P2006
2007
= 120
80 = 1, 50; iii)
P2007
2005
P2007
2007
= 140
100 = 1, 40; iv)
P2008
2005
P2008
2007
= 160
120 = 1, 33.
Logo a tabela está toda errada.
• Uma forma equivalente de identificar o erro basea-se no cálculo do valor de um tramo baseado
no valor outro tramo. Por exemplo, temos P2006
2005 = 120. Então, 120 teria que ser o valor obtivo em
P2006
2005 = P2006
2007
Pk
2005
Pk
2007
para qualquer ano k, contudo P2006
2007
P2005
2005
P2005
2007
= 133. 33 = 120 (só para k = 2006
bateria certo, por cancelamento).
• Uma terceira forma. Tomemos os anos de 2005 e 2006, pela base 2005 houve um aumento de
20% entre os dois anos, de 100 para 120. Contudo, na base 2007 o aumento foi de 60 para 80, que
resulta em 80−60
60 = 33.3%. Qualquer outro par de anos resulta em absurdo semelhante na taxa de
crescimento.
Exercício 21:
A tabela dá-nos os valores Pn
1999 para n ∈ {1999, ..., 2002} e Pn
2003 para n ∈ {2002, ..., 2008}.
Queremos saber Pn
2005 para n ∈ {1999, ..., 2008}.
Primeiro, completamos a tabela para uma das bases. Há menos cálculos a fazer para a base 2003.
Os valores entre as bases de 2003 e 1999 têm que manter a proporção constante, ou seja, qualquer
que seja o ano n a razão
Pn
2003
Pn
1999
tem que ser a mesma. Dado que só conhecemos esta razão para
2002, temos
Pn
2003
Pn
1999
=
P2002
2003
P2002
1999
⇔ Pn
2003 =
P2002
2003
P2002
1999
Pn
1999. Ou seja, os valores da base de 1999 têm que ser
multiplicados por
P2002
2003
P2002
1999
= 97
108 para se obter os da base 2003.
Assim, para n ∈ {1999, ..., 2001} fazemos:
P1999
2003 = 97
108 × 100 = 89.8; P2000
2003 = 97
108 × 103 = 92. 5; P2001
2003 = 97
108 × 105 = 94. 3.
Agora acerta-se o 100 para o ano 2005, i.e.,
Pn
2005
Pn
2003
=
P2005
2005
P2005
2003
⇔ Pn
2005 =
P2005
2005
P2005
2003
Pn
2003 = 100
104 Pn
2003.
Temos:
Ano 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Base 2003 89.8 92.5 94.3 97 100 105 104 106 109 115
Base 2005 86.3 88.9 90.7 93.3 96.2 101.0 100.0 101.9 104.8 110.6
Exercício 22:
a) A inflação acumulada até Agosto de 2008 é πac =
IPAgo/2008
IPDez/2007
− 1 = 118.3
115.2 − 1 = 2. 69%.
b) Tabela das inflações homólogas de 2008:
Jan: 116.0
112.3 − 1 = 3.29% Fev: 116.1
112.4 − 1 = 3. 29% Mar: 116.3
113 − 1 = 2.92% Abr: 116.4
112.9 − 1 = 3.10%
Mai: 117.0
113.1 − 1 = 3.45% Jun: 117.2
113.4 − 1 = 3.35% Jul: 117.8
113.6 − 1 = 3.70% Ago: 118.3
113.9 − 1 = 3.86%
Set: 118.6
113.8 − 1 = 4.22% Out: 118.9
114.2 − 1 = 4.12% Nov: 119.5
114.8 − 1 = 4.09% Dez: 120.0
115.2 − 1 = 4.17%
c) Pela alínea (b) sabemos as inflações homólogas, logo, a inflação média é:
π =
3.29 + 3.29 + 2.92 + 3.10 + 3.45 + 3.35 + 3.70 + 3.86 + 4.22 + 4.12 + 4.09 + 4.17
12
= 3.63%
13

d) P
12/2008
1/2007 = P12/2008
×
IP1/2007
IP12/2008
= 99.40 × 112.3
120.2 = 92.87€, pelo que em Dez/2008 está mais
caro do que em Janeiro de 2007 cujo preço era 80.30€.
e) P
1/2007
12/2008 = P1/2007
×
IP12/2008
IP1/2007
= 80.30 ×
112.3
120.2
−1
= 85.95€, pelo que em Jan/2007 estava
mais barato do que em Dezembro de 2008 cujo preço era 99.40€.
Exercício 23:
Copiamos a tabela para o computador conforme a figura.
B4 := B3/B2 − 1 Copiar até à coluna M
B5 := B3/$M$3 − 1 Copiar até à coluna M
N4 := Média(B4:M4) Ou N4 := AV ERAGE(B4:M4)
Comentário: A taxa de inflação média relaciona o ano de 2005 com o de 2004, por isso o seu valor
é positivo. Por outro lado, a taxa de inflação acumulada apenas traduz o crescimento durante o ano
de 2005 que, neste caso fictício, não existiu, logo obtemos 0% de taxa acumulada.
Exercício 24:
––––––––––– π2007 = 168
157 − 1 = 0, 070 π2008 = 184,8
168 − 1 = 0, 100
––––––––––– i2007 = 8,80
8,00 − 1 = 0, 100 i2008 = 10,12
8,80 − 1 = 0, 150
P2006
2006 = 8, 00 × 157,0
157,0 = 8, 00 P2007
2006 = 8, 80 × 157,0
168,0 = 8, 22 P2008
2006 = 10, 12 × 157,0
184,8 = 8, 60
P2006
2008 = 8, 00 × 184,8
157,0 = 9, 42 P2007
2008 = 8, 80 × 184,8
168,0 = 9, 68 P2008
2008 = 10, 12 × 184,8
184,8 = 10, 12
Por fim, r = 1+i
1+π − 1 = 1,10
1,07 − 1 = 0, 00275.
Ou, o que é equivalente,
P2007
2006
P2006
2006
− 1 = 8,22
8,00 − 1 = 0, 00275, ou ainda por
P2007
2008
P2006
2008
− 1.
Seria um erro pensar que o aumento do preço real de 2006 para 2007 seria 10% − 7% = 3%,
subtraindo a inflação do aumento do preço corrente.
2006 2007 2008
IPC 157,0 168,0 184,8
Inflação (%/ano) –— 7,0 10,0
Preço Corrente 8,00 8,80 10,12
% de Aumento do Preço Corrente –— 10,0 15,0
Preço Constante Base 2006 8,00 8,22 8,60
Preço Constante Base 2008 9,42 9,68 10,12
% de Aumento do Real Preço –— 2,75 –—
Exercício 25:
a) Vamos calcular os valores actuais dos saldos anuais.
Copiar a tabela para o Excel conforme mostrado abaixo.
H2 := 0.05
B4 := B3 − B2 Copiar até à coluna G
B5 := 1 Preencher série +1 até à coluna G
B6 := B4 ∗ (1 + $H$2)ˆ(−B5) Copiar até à coluna G
H6 := SOMA(B6 : G6)
O VAL do investimento é 3720€.
14

b) Os dois pagamentos têm valor actual 2000 × 1.05−3
+ 2000 × 1.05−6
= 3220. 10€, pelo valem
menos do que o investimento. Não seria de aceitar.
Exercício 26:
a) Usamos a planilha do Exercício 25, inserimos uma nova coluna A, eliminamos a linha 6.
I2 := 0.08 J2 := 0.03
C6 := C4 ∗ (1 + $J$2)ˆC5 Copiat até à coluna H
C7 := C6 ∗ (1 + $I$2)ˆ(−C5) Copiar até à coluna H
I7 := SOMA(C6 : H6)
Obtemos um VAL de 3880€, valor maior do que o obtido no Exercício 25.
b) 1 + i = (1 + 3%) (1 + 5%) ⇔ 1 + i = 1 + 0.03 + 0.05 + 0.03 × 0.05 ⇔ i = 8.15%
A resolução é idêntica à da alínea (a) excepto na célula I2 := 0.0815.
Obtemos um VAL de 3720€, valor igual ao obtido no Exercício 25.
Exercício 27:
Usando a mesma folha do Exercício 25 de Excel faz-se:
Definir célula H6
Para valor 0
Por alteração da célula H2
Obtêm-se uma taxa de juro anual de 9,1% ao ano.
Exercício 28:
q de Tobin é
180
150
= 1.20.
Exercício 29:
Para calcular o valor actual dos recebimentos, V AR, podemos usar a expressão da renda de
duração limitada: V AR = 1000
0.08 ×

1 − (1 + 0.08)
−5

= 3992.71
Como só existe uma entrega, feita no instante inicial, temos que o valor actual dos investimentos
é o próprio V . Assim, qTobin =
V AR
V
⇔ V =
V AR
qTobin
=
3992.71
1.12
= 3564. 92
Exercício 30:
Copiar a tabela para o computador.
a)
15

C5 := 1 + C4
D5 := C5 ∗ (1 + D4) Copiar até à coluna H
C6 := C2 ∗ C5 Copiar até à coluna H
C7 := C3 ∗ C5 Copiar até à coluna H
Os valores correntes aparecem nas linhas 6 e 7.
b)
K9 := 0.15
C8 := C1 − 2009 Copiar até à coluna H
C9 := C6 ∗ (1 + $K$9)ˆ(−C8) Copiar até à coluna H
C10 := C7 ∗ (1 + $K$9)ˆ(−C8) Copiar até à coluna H
I9 := SOMA(C9:H9)
I10 := SOMA(C10:H10)
J9 := I10/ I9
O valor do q de Tobin é 1.063.
c)
Definir célula J9
Para valor 1
Por alteração da célula K10
O TIR do investimento é de 18,8% ao ano.
16

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