1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de álgebra linear, incluindo matrizes, sistemas de equações lineares, determinantes, espaços vetoriais e transformações lineares. 2) São definidas operações com matrizes como soma, produto por escalar, transposta e produto. 3) O documento fornece exemplos e propriedades dessas operações com matrizes.

1. Instituto Superior T´cnico
e
Departamento de Matem´tica
a
c˜ ´
Sec¸ao de Algebra e An´lise
a
´
Apontamentos das Aulas Te´ricas de Algebra Linear
o
1o Semestre 2007/2008
LEAmb, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ
Paulo Pinto
http://www.math.ist.utl.pt/˜ ppinto/
Conte´ do
u
1 Sistemas de Equa¸oes Lineares e
c˜ C´lculo
a Matricial 2
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Sistemas de Equa¸oes Lineares .
c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 A matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Determinante 19
3 Espa¸os Lineares (Vectoriais)
c 23
3.1 Subespa¸os lineares – exemplos: n´ cleo, espa¸o colunas e linhas de
c u c uma matriz 26
3.2 Independencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Bases e dimens˜o de Espa¸os Lineares . . . . . . . . . . . . . . .
a c . . . . . . 33
3.4 Coordenadas de um vector numa base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Valores Pr´prios, Vectores Pr´prios e diagonaliza¸˜o de Matrizes
o o ca 40
5 Produtos Internos 47
6 Transforma¸oes Lineares
c˜ 59
6.1 Matriz mudan¸a de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c . . . . 61
6.2 Representa¸ao matricial de uma transforma¸ao linear . . . . . . . . .
c˜ c˜ . . . . 62
6.3 Transforma¸oes injectivas, sobrejectiva e bijectivas – equa¸oes lineares
c˜ c˜ . . . . 66
6.4 Valores e vectores pr´prios de transforma¸oes lineares . . . . . . . . .
o c˜ . . . . 70
7 Algumas Aplica¸oes
c˜ 71
7.1 Formas quadr´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 71
7.2 M´ınimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.3 Equa¸oes diferenciais ordin´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ a 71
1

2. 1 Sistemas de Equa¸oes Lineares e C´lculo Matricial
c˜ a
1.1 Matrizes
Defini¸˜o 1 Uma matriz A, do tipo m
ca × n (m por n), ´ uma tabela de mn n´ meros
e u
dispostos em m linhas e n colunas:
 
a11 a12 ··· a1n
 a21 a22 ··· a2n 
 
A= . . . .
 .. .
. ··· .
. 
am1 am2 · · · amn
A linha i de A ´:
e
ai1 ai2 · · · ain ,
para cada i = 1, ..., m. A coluna j de A ´:
e
 
a1j

 a2j 

 .
. 
 . 
amj
para cada j = 1, ..., n. Usa-se tamb´m a nota¸ao A = (aij )m×n na qual aij ´ a entrada (i, j)
e c˜ e
da matriz A.
Se m = n, diz-se que A ´ uma matriz quadrada do tipo n × n e as entradas a11 , a22 , ...,
e
ann formam a chamada diagonal principal de A.
Exemplo 1 As matrizes
 
4
1 −1 1 2 3 4  3 
A= , B= , C= 0 0 7 eD= 
−2 2 2 0 −2 0  2 
1
s˜o dos seguintes tipos: A ´ 2 × 2, B ´ 2 × 4, C ´ 1 × 3, A ´ 4 × 1. Tem-se, por exemplo,
a e e e e
a21 = −2, b13 = 3, c12 = 0 e d41 = 1.
Observa¸˜o 1 Uma matriz (real) A do tipo m × n ´ uma aplica¸ao:
ca e c˜
A : {1, ..., m} × {1, ..., n} −→ R
(i, j) −→ aij
Nota¸˜o 1 O conjunto de todas as matrizes reais do tipo m×n ´ denotado por Matm×n (R).
ca e
2

3. Defini¸˜o 2 Duas matrizes s˜o iguais se forem do mesmo tipo e se as entradas corres-
ca a
pondentes forem iguais, isto ´, A = (aij )m×n e B = (bij )p×q s˜o iguais se m = p, n = q e
e a
aij = bij , para i = 1, ..., m e j = 1, ..., n.
Defini¸˜o 3 A soma de duas matrizes do mesmo tipo A = (aij )m×n e B = (bij )m×n ´ a
ca e
matriz
A + B = (aij + bij )m×n .
Exemplo 2 Sejam
 
−1 √
1 4 −1 0 −3 2
A= ,B= , C =  −1/2  e D = −2 3 .
−3 2 6 4 −1 −5
2
1 1 1
Tem-se A + B = e n˜o ´ poss´ somar C com D.
a e ıvel
1 1 1
Defini¸˜o 4 O produto de um escalar (n´ mero) α por uma matriz A = (aij )m×n ´ a
ca u e
matriz:
αA = (αaij )m×n .
Nota¸˜o 2 A matriz (−1)A ser´ denotada por −A.
ca a
1 4 −1
Exemplo 3 Seja A = . Tem-se, por exemplo,
−3 2 6
−2 −8 2
−2A = .
6 −4 −12
Defini¸˜o 5 O produto AB de duas matrizes A e B s´ pode ser efectuado se o n´ mero
ca o u
de colunas da 1a matriz, A, fˆr igual ao n´ mero de linhas da 2a matriz, B. Nesse caso, o
o u
produto AB de A = (aij )m×p por B = (bij )p×n ´ definido por:
e
p
AB = aik bkj ,
k=1 m×n
isto ´,
e
   p p

a11 a12 ··· a1p   a1k bk1 ··· a1k bkn 
 . .  b11 · · · b1j · · · b1n 
 . . ··· . 
.   k=1 k=1 
   b21 · · · b2j · · · b2n  
···
p
aik bkj ···

 ai1 ai2 ··· aip   . . . = 
.  . ··· . ··· .  
 . . . . k=1

 . . ··· . 
.

 p p


bp1 · · · bpj · · · bpn amk bk1 ··· amk bkn
am1 am2 ··· amp k=1 k=1
3

4. Exemplo 4 Sejam A, B, C e D as matrizes do exemplo 2. N˜o ´ poss´ efectuar, por
a e ıvel
exemplo, AB. No entanto, tem-se:
 √ 
2 − 3
√
−5
AC = e CD =  1 − √ 3/2  .
14
−4 2 3
Observa¸˜o 2 O produto de matrizes n˜o ´ comutativo. Por exemplo, para
ca a e
0 1 0 −1 1 0 −1 0
A= eB= tem-se AB = e BA = .
1 0 1 0 0 −1 0 1
Logo AB = BA.
Defini¸˜o 6 A transposta de uma matriz A = (aij )m×n ´ a matriz
ca e
AT = (aji )n×m
que se obtem trocando as linhas com as colunas de A.
Exemplo 5 Sejam A e C as matrizes do exemplo 2. Tem-se
 
1 −3
1
AT =  4 2  e C T = −1 − 2 .
−1 6 2
Teorema 1 Sejam A, B, C e D matrizes de tipos apropriados, α e β escalares. S˜o v´lidas
a a
as seguintes propriedades para as opera¸oes matriciais.
c˜
(a) (Comutatividade da soma) A + B = B + A.
(b) (Associatividade da soma) A + (B + C) = (A + B) + C.
(c) (Elemento neutro da soma) Existe uma unica matriz 0 do tipo m×n tal que A+0 = A,
´
para toda a matriz A do tipo m × n. A ` matriz 0, cujas entradas s˜o todas iguais a zero,
a
chama-se matriz nula.
(d) (Sim´trico) Para cada matriz A existe uma unica matriz B tal que A + B = 0. Esta
e ´
matriz B denota-se por −A.
(e) (Associatividade do produto por escalares) α (βA) = (αβ) A.
(f ) (Distributividade) (α + β) A = αA + βA.
4

5. (g) (Distributividade) α (A + B) = αA + αB.
(h) (Associatividade do produto de matrizes) A (BC) = (AB) C.
(i) (Distributividade) A (B + C) = AB + AC e (B + C) D = BD + CD.
(j) α (AB) = (αA) B = A (αB).
T
(k) AT = A.
(l) (A + B)T = AT + B T .
(m) (αA)T = αAT .
(n) (AB)T = B T AT .
(o) (A1 A2 ...An )T = AT ...AT AT , com A1 , A2 , ..., An matrizes de tipos apropriados.
n 2 1
`
(p) A matriz, do tipo n × n,
 
1 0 ··· 0

 0 1 ··· 0 

I= .
. .. . 
. 
 . . .
0 0 ··· 1
chama-se matriz identidade (de ordem n) e ´ tal que
e
AI = A e IB = B,
para todas as matrizes A = (aij )m×n e B = (bij )n×m .
Defini¸˜o 7 (i) A diferen¸a entre duas matrizes A e B do mesmo tipo ´ definida por
ca c e
A − B = A + (−B),
ou seja, ´ a soma de A com o sim´trico de B.
e e
(ii) Sejam A uma matriz do tipo n × n e p ∈ N. A potˆncia p de A ´ definida por
e e
Ap = A...A e para p = 0 define-se A0 = I.
p vezes
`
(iii) A matriz do tipo n × n
 
a11 0 · · · 0

 0 a22 · · · 0 

 .
. .. .
. ,
 . . . 
0 0 · · · ann
cujas entradas fora da diagonal principal s˜o nulas, chama-se matriz diagonal.
a
5

6. Observa¸˜o 3 Tem-se: 1A = A, 0A = 0, A + A = 2A, A + . . . + A = nA.
ca
n vezes
Defini¸˜o 8 (i) Seja A = (aij )n×n uma matriz do tipo n × n. Diz-se que A ´ sim´trica se
ca e e
A = A , isto ´, se aij = aji , para i, j = 1, ..., n. Diz-se que A ´ anti-sim´trica se A = −AT ,
T
e e e
isto ´, se aij = −aji , para i, j = 1, ..., n.
e
1.2 Sistemas de Equa¸oes Lineares
c˜
Defini¸˜o 9 Uma equa¸˜o linear com n inc´gnitas x1 , x2 , ..., xn ´ uma equa¸ao da forma
ca ca o e c˜
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b,
em que a1 , a2 , ..., an e b s˜o constantes (reais ou complexos).
a
Defini¸˜o 10 Um sistema de m equa¸oes lineares com n inc´gnitas ´ um conjunto de
ca c˜ o e
equa¸oes da forma
c˜ 
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1


a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
(∗)

 ...

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
em que aij e bk s˜o constantes (reais ou complexos), para i, k = 1, ..., m e j = 1, ..., n.
a
Observa¸˜o 4 Usando o produto de matrizes definido na sec¸ao anterior, o sistema linear
ca c˜
acima pode ser escrito como uma equa¸ao matricial
c˜
AX = B,
em que
     
a11 a12 ··· a1n x1 b1

 a21 a22 ··· a2n 


 x2 


 b2 

A= .
. .
. .
. , X= .
.  e B= .
. .
 . .··· .   .   . 
am1 am2 · · · amn xn bm
A matriz A ´ a matriz dos coeficientes do sistema, X ´ a matriz coluna das inc´gnitas
e e o
e B ´ a matriz coluna dos termos independentes. Uma solu¸ao do sistema linear (∗) ´ uma
e c˜ e
matriz  
s1
 s2 
 
S= .  . 
 .
sn
6

7. tal que as equa¸oes do sistema s˜o satisfeitas quando substitu´
c˜ a ımos
x1 = s1 , x2 = s2 , ..., xn = sn .
Ao conjunto de todas as solu¸oes do sistema chama-se conjunto solu¸ao ou solu¸ao geral do
c˜ c˜ c˜
sistema.
Exemplo 6 O sistema linear de duas equa¸oes e duas inc´gnitas
c˜ o
x + 2y = 1
2x + y = 0
pode ser escrito do seguinte modo:
1 2 x 1
= .
2 1 y 0
−1/3
A solu¸ao (geral) do sistema acima ´ x = −1/3 e y = 2/3 (verifique!), isto ´, X =
c˜ e e .
2/3
Observa¸˜o 5 De modo a facilitar a resolu¸ao de um sistema linear, este pode ser sempre
ca c˜
substitu´ por outro que tenha o mesmo conjunto solu¸ao. Esse outro ´ obtido depois
ıdo c˜ e
de aplicar sucessivamente opera¸oes sobre as equa¸oes do sistema inicial que n˜o alterem a
c˜ c˜ a
solu¸ao do mesmo. As opera¸oes s˜o:
c˜ c˜ a
- Trocar a posi¸ao de duas equa¸oes do sistema;
c˜ c˜
- Multiplicar uma equa¸ao por um escalar diferente de zero;
c˜
- Somar a uma equa¸ao um m´ ltiplo escalar de outra equa¸ao.
c˜ u c˜
Estas s˜o as chamadas opera¸oes elementares. Quando aplicamos opera¸oes elementares
a c˜ c˜
as equa¸oes de um sistema linear, s´ os coeficientes e os termos independentes do sistema
` c˜ o
s˜o alterados. Assim, podemos aplicar as opera¸oes a matriz
a c˜ `
 
a11 a12 · · · a1n | b1
 a21 a22 · · · a2n | b2 
 
[A | B] =  . . . . . ,
 . . . ···
. .
. . . 
. .
am1 am2 · · · amn | bm
a qual se d´ o nome de matriz aumentada do sistema.
` a
Defini¸˜o 11 As opera¸oes elementares que podem ser aplicadas as linhas de uma matriz
ca c˜ `
s˜o as seguintes:
a
(i) Trocar a posi¸ao de duas linhas da matriz;
c˜
(ii) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
(iii) Somar a uma linha da matriz um m´ ltiplo escalar de outra linha.
u
7

8. Teorema 2 Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D s˜o tais que a matriz aumentada
a
[C | D] ´ obtida de [A | B] atrav´s de uma opera¸ao elementar, ent˜o os dois sistemas tˆm
e e c˜ a e
o mesmo conjunto solu¸ao, isto ´, s˜o equivalentes.
c˜ e a
Observa¸˜o 6 O m´todo que iremos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplica¸ao
ca e c˜
de opera¸oes elementares as linhas da matriz aumentada do sistema de modo a obter uma
c˜ `
matriz em escada de linhas em rela¸ao a qual o sistema associado seja de f´cil resolu¸ao.
c˜ ` a c˜
Defini¸˜o 12 Uma matriz A = (aij )m×n diz-se em escada de linhas se:
ca
(i) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) est˜o por baixo das linhas
a
n˜o nulas;
a
(ii) Por baixo (e na mesma coluna) do primeiro elemento n˜o nulo de cada linha e por
a
baixo dos elementos nulos anteriores da mesma linha, todas as entradas s˜o nulas. Esse
a
primeiro elemento n˜o nulo de cada linha tem o nome de pivot.
a
Defini¸˜o 13 Seja A uma matriz em escada de linhas. Ao no de pivots de A matriz, isto
ca
o
´, ao n de linhas n˜o nulas de A, d´-se o nome de caracter´
e a a ıstica de A, car A. Se A fˆr a
o
matriz em escada de linhas obtida de C atrav´s de opera¸oes elementares ent˜o diz-se que a
e c˜ a
caracter´ıstica de C ´ car A, tendo-se car C = car A. Temos que carA =carA T .
e
Exemplo 7 As seguintes matrizes est˜o em escada de linhas:
a
 
2 −1 2 1/2 0 √0
 0 0 −3 1 0 2 
4 −1 0 1 3 0  
A= , B= , C= 0 0 0 0 0 −5  .
0 0 0 0 −5 1 
 0 0

0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0
Pivot de A: 4. Pivots de B: 1, −5. Pivots de C: 2, −3, −5.
car A = 1, car B = 2 e car C = 3.
Defini¸˜o 14 O m´todo de resolver sistemas lineares que consiste em aplicar opera¸oes
ca e c˜
elementares as linhas da matriz aumentada do respectivo sistema de modo a que essa matriz
`
fique em escada de linhas, chama-se m´todo de elimina¸˜o de Gauss1 .
e ca
1
Johann Carl Friedrich Gauss 1777-1855
8

9. Exemplo 8 O sistema linear 
 x+z =3




x + 2y + 2z = 6





3y + 3z = 6
na forma matricial ´
e     
1 0 1 x 3
 1 2 2  y  =  6 .
0 3 3 z 6
Consideremos ent˜o a matriz aumentada e
a o consequente m´todo de elimina¸ao de Gauss:
e c˜
     
1 0 1 | 3 1 0 1 | 3 1 0 1 | 3
 1 2 2 | 6  −→  0 2 1 | 3  3 −→  0 2 1 | 3 .
−L1 +L2 →L2 − 2 L2 +L3 →L3 3 3
0 3 3 | 6 0 3 3 | 6 0 0 2 | 2
Logo,  
 x+z =3
  x=2


 

 
2y + z = 3 ⇔ y=1

 


 3 

 3 
2
z=2 z = 1.
Neste exemplo o sistema tem solu¸˜o unica e diz-se poss´
ca ´ ıvel e determinado.
Exemplo 9 O sistema linear

 3z − 9w = 6




5x + 15y − 10z + 40w = −45





x + 3y − z + 5w = −7
´ equivalente a
e  
 x   
0 0 3 −9  6
 5 15 −10 40   y  =  −45  .

 z 
1 3 −1 5 −7
w
Consideremos ent˜o a matriz aumentada e o consequente m´todo de elimina¸ao de Gauss:
a e c˜
   
0 0 3 −9 | 6 1 3 −1 5 | −7
 5 15 −10 40 | −45  −→  1 3 −2 8 | −9  −→
L1 ↔L3 −L1 +L2 →L2
1 3 −1 5 | −7 1
L →L2
0 0 3 −9 | 6
5 2
   
1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7
−→  0 0 −1 3 | −2  −→  0 0 −1 3 | −2  .
3L2 +L3 →L3
0 0 3 −9 | 6 0 0 0 0 | 0
9

10. Logo,  
 x + 3y − z + 5w = −7  x = −3y − 2w − 5
⇔
 
−z + 3w = −2 z = 3w + 2.
As inc´gnitas y e w s˜o livres e as inc´gnitas x e z s˜o n˜o livres. A solu¸ao geral do sistema
o a o a a c˜
´:
e    
x −3y − 2w − 5
 y   y 
X= =
 z  
,
3w + 2 
w w
para quaisquer y, w ∈ R, isto ´, o conjunto solu¸ao ´ dado por:
e c˜ e
S = {(−3y − 2w − 5, y, 3w + 2, w) : y, w ∈ R} .
Neste exemplo o sistema tem infinitas solu¸oes e diz-se poss´
c˜ ıvel e indeterminado.
Exemplo 10 Seja a ∈ R. O sistema linear

 x + 2y + z = 3




x+y−z =2





x + y + (a2 − 5) z = a
´ equivalente a
e     
1 2 1 x 3
 1 1 −1   y  =  2  .
1 1 a2 − 5 z a
Consideremos ent˜o a matriz aumentada e o consequente m´todo de elimina¸ao de Gauss:
a e c˜
     
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3
 1 1 −1 2  −→  0 −1 −2 −1  −→  0 −1 −2 −1  .
−L1 +L2 →L2 −L2 +L3 →L3
1 1 a2 − 5 a −L1 +L3 →L3 0 −1 a2 − 6 a − 3 0 0 a2 − 4 a − 2
Se a = 2, ent˜o o sistema ´ poss´ e indeterminado:
a e ıvel
 
 x + 2y + z = 3  x = 3z + 1
⇔
 
−y − 2z = −1 y = −2z + 1,
a inc´gnita z ´ livre, as inc´gnitas x e y s˜o n˜o livres e a solu¸ao geral do sistema ´
o e o a a c˜ e
   
x 3z + 1
X =  y  =  −2z + 1  ,
z z
10

11. para qualquer z ∈ R, isto ´, o conjunto solu¸ao ´ dado por:
e c˜ e
S = {(3z + 1, −2z + 1, z) : z ∈ R} .
Assim, se a = 2, o sistema tem infinitas solu¸oes e diz-se poss´
c˜ ıvel e indeterminado.
Se a = −2, o sistema n˜o tem solu¸˜o e diz-se imposs´
a ca ıvel.
Se a = −2 e a = 2, o sistema tem a solu¸˜o unica:
ca ´
   
x (a + 5)/(a + 2)
X = y = a/(a + 2) 
z 1/(a + 2)
e diz-se poss´
ıvel e determinado.
Observa¸˜o 7 Seja [A | B] a matriz aumentada associada a um sistema linear com n
ca
inc´gnitas.
o
(i) Se car A = car [A | B] = n ent˜o o sistema ´ poss´
a e ıvel e determinado (tem uma
unica solu¸ao).
´ c˜
(ii) Se car A = car [A | B] < n ent˜o o sistema ´ poss´
a e ıvel e indeterminado (tem um
no infinito de solu¸oes).
c˜
(iii) Se car A < car [A | B] ent˜o o sistema ´ imposs´
a e ıvel (n˜o tem solu¸ao).
a c˜
(iv) Podemos escolher como inc´gnitas livres (podem tomar valores arbitr´rios) do
o a
sistema aquelas que correspondem as colunas, que n˜o contenham pivots, da matriz em
` a
escada de linhas obtida de A atrav´s de opera¸oes elementares.
e c˜
(v) As inc´gnitas n˜o livres do sistema s˜o aquelas que correspondem as colunas,
o a a `
que contenham pivots, da matriz em escada de linhas obtida de A atrav´s de opera¸oes
e c˜
elementares.
(vi) car A = no de linhas n˜o nulas da matriz em escada de linhas obtida de A = no de
a
o
pivots = n de inc´gnitas n˜o livres.
o a
Teorema 3 Sejam A uma matriz do tipo m × n e B uma matriz do tipo m × 1. Se o sistema
linear AX = B tem duas solu¸oes distintas X0 e X1 (X0 = X1 ), ent˜o ter´ infinitas solu¸oes.
c˜ a a c˜
Dem. Basta verificar que Xλ = (1 − λ) X0 + λX1 ´ solu¸ao do sistema AX = B, para
e c˜
qualquer λ ∈ R.
11

12. Defini¸˜o 15 Um sistema linear da forma
ca

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0


a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = 0

 ...

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = 0
tem o nome de sistema linear homog´neo. Este sistema poder ser escrito na forma
e
AX = 0.
Todo o sistema linear homog´neo admite
e pelo menos a solu¸˜o trivial:
ca
   
x1 0
 x2   0 
   
X = .  =  . .
 ..   . .
xn 0
Assim, todo o sistema linear homog´neo tem solu¸ao. Al´m disso, ou tem apenas a solu¸ao
e c˜ e c˜
trivial ou tem infinitas solu¸oes.
c˜
Teorema 4 Se A = (aij )m×n ´ tal que m < n, ent˜o o sistema linear homog´neo AX = 0
e a e
tem infinitas solu¸oes.
c˜
Dem. Como o sistema tem menos equa¸oes do que inc´gnitas (m < n), o no de linhas
c˜ o
n˜o nulas r da matriz em escada de linhas obtida da matriz aumentada do sistema tamb´m
a e
´ tal que r < n. Assim, r pivots e n − r inc´gnitas livres as quais podem assumir qualquer
e o
valor real. Logo, o sistema linear homog´neo AX = 0 tem infinitas solu¸oes.
e c˜
Teorema 5 Sejam A = (aij )m×n e α, β ∈ R.
(i) Se X e Y s˜o solu¸oes do sistema AX = 0, ent˜o X + Y tamb´m o ´.
a c˜ a e e
(ii) Se X ´ solu¸ao do sistema AX = 0, ent˜o αX tamb´m o ´.
e c˜ a e e
(iii) Se X e Y s˜o solu¸oes do sistema AX = 0, ent˜o αX + βY tamb´m o ´.
a c˜ a e e
Teorema 6 Seja A uma matriz do tipo m × n e B = 0 uma matriz do tipo m × 1. Qualquer
solu¸ao X do sistema AX = B escreve-se na forma X = X0 + Y onde X0 ´ uma solu¸ao
c˜ e c˜
particular do sistema AX = B e Y ´ uma solu¸ao do sistema homog´neo AX = 0. Assim:
e c˜ e
solu¸ao geral de
c˜ solu¸ao particular de
c˜ solu¸ao geral de
c˜
= + .
AX = B AX = B AX = 0
Dem. Sendo X0 uma solu¸ao particular do sistema AX = B, basta escrever
c˜
X = X0 + (X − X0 )
e mostrar que X − X0 ´ solu¸ao do sistema homog´neo AX = 0.
e c˜ e
12

13. 1.3 Matrizes Elementares
Defini¸˜o 16 Uma matriz elementar do tipo n × n ´ uma matriz obtida da matriz iden-
ca e
tidade I atrav´s de uma unica opera¸ao elementar.
e ´ c˜
(i) A matriz Pij , chamada matriz de permuta¸˜o, ´ a matriz elementar obtida por
ca e
troca da linha i com a linha j da matriz I. Tem-se:
 
1 0 ··· ··· 0
 0 ... ... .
. 
 . 
 . . 
 . .. 1
 .



 0 1 
 ←i

 1 


Pij =  .. 
.
. 
 

 1 

 1 0  ←j
 
.. .
. .
 
 1 . 
 . .. .. 
 .
. . . 0 
0 ··· ··· 0 1
(ii) A matriz Ei (α) ´ a matriz elementar obtida da matriz I atrav´s do produto do escalar
e e
α = 0 pela linha i da matriz I. Tem-se:
 
1 0 ··· ··· 0
. 
 0 ... ... . 

 . . 
 . ... 
 . 1 
 
Ei (α) =  α  ←i .
 .. . 

 1 . . 
. 
 . .. .. 
 .. . . 0 
0 ··· ··· 0 1
(iii) A matriz Eij (α) ´ a matriz elementar obtida da matriz I por soma da linha j com
e
um m´ ltiplo α da linha i. Tem-se:
u
 
1 0 ··· ··· 0
 0 ... ... . 
. 
 .
 . . 
 . .. 1
.  ←i
 

Eij (α) =  .. 
.
. 
 
.. . 
. .  ←j

 α 1 .
 . .. .. 
 .
. . . 0 
0 ··· ··· 0 1
13

14. Exemplo 11 As matrizes elementares do tipo 2 × 2 s˜o:
a
0 1 α 0 1 0
P12 = P21 = , E1 (α) = , E2 (α) = ,
1 0 0 1 0 α
com α = 0,
1 0 1 α
E12 (α) = e E21 (α) = .
α 1 0 1
Teorema 7 Sejam E uma matriz elementar do tipo m × m e A uma matriz qualquer do
tipo m × n. Ent˜o, EA ´ a matriz obtida de A atrav´s da mesma opera¸ao elementar que
a e e c˜
originou E. Isto ´, aplicar uma opera¸ao elementar a uma matriz corresponde a multiplicar
e c˜
essa matriz a esquerda por uma matriz elementar.
`
Exemplo 12 Consideremos a matriz aumentada do exemplo 9:
 
0 0 3 −9 | 6
 5 15 −10 40 | −45  .
1 3 −1 5 | −7
A opera¸ao elementar:
c˜
   
0 0 3 −9 | 6 1 3 −1 5 | −7
 5 15 −10 40 | −45  −→  5 15 −10 40 | −45  ,
L1 ↔L3
1 3 −1 5 | −7 0 0 3 −9 | 6
corresponde a seguinte multiplica¸ao (`
` c˜ a esquerda):
    
0 0 1 0 0 3 −9 | 6 1 3 −1 5 | −7
 0 1 0   5 15 −10 40 | −45  =  5 15 −10 40 | −45  .
1 0 0 1 3 −1 5 | −7 0 0 3 −9 | 6
A opera¸ao elementar:
c˜
   
1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7
 5 15 −10 40 | −45  −→  1 3 −2 8 | −9  ,
1
L →L2
0 0 3 −9 | 6 5 2 0 0 3 −9 | 6
corresponde a seguinte multiplica¸ao (` esquerda):
` c˜ a
    
1 0 0 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7
 0 1/5 0   5 15 −10 40 | −45  =  1 3 −2 8 | −9  .
0 0 1 0 0 3 −9 | 6 0 0 3 −9 | 6
14

15. A opera¸ao elementar:
c˜
   
1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7
 1 3 −2 8 | −9  −→  0 0 −1 3 | −2  ,
−L1 +L2 →L2
0 0 3 −9 | 6 0 0 3 −9 | 6
corresponde a seguinte multiplica¸ao
` c˜ (` esquerda):
a
    
1 0 0 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7
 −1 1 0   1 3 −2 8 | −9  =  0 0 −1 3 | −2  .
0 0 1 0 0 3 −9 | 6 0 0 3 −9 | 6
Finalmente, a opera¸ao elementar:
c˜
   
1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7
 0 0 −1 3 | −2  −→  0 0 −1 3 | −2  ,
3L2 +L3 →L3
0 0 3 −9 | 6 0 0 0 0 | 0
corresponde a seguinte multiplica¸ao
` c˜ (` esquerda):
a
    
1 0 0 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7
 0 1 0   0 0 −1 3 | −2  =  0 0 −1 3 | −2  .
0 3 1 0 0 3 −9 | 6 0 0 0 0 | 0
Tem-se ent˜o:
a
   
0 0 3 −9 | 6 1 3 −1 5 | −7
1
E23 (3) E12 (−1) E2 P13  5 15 −10 40 | −45  =  0 0 −1 3 | −2  .
5
1 3 −1 5 | −7 0 0 0 0 | 0
1.4 A matriz inversa
Defini¸˜o 17 Uma matriz A (do tipo n × n) diz-se invert´ se existir uma matriz B (do
ca ıvel
tipo n × n) tal que
AB = BA = I.
`
A matriz B chama-se matriz inversa de A e denota-se por A−1 .
Observa¸˜o 8 Obviamente que resulta da defini¸ao de matriz inversa o seguinte facto:
ca c˜
−1 −1
sendo A a matriz inversa de A, ent˜o A ´ invert´ e a sua inversa ´ a pr´pria matriz
a e ıvel e o
−1 −1
A, isto ´, (A ) = A.
e
Exemplo 13 As seguintes matrizes s˜o a inversa uma da outra:
a
−2 1 −1/2 1/6
A= e B= .
0 3 0 1/3
15

16. Teorema 8 A inversa de uma matriz ´ unica.
e´
Dem. Sejam B e C as inversas de A. Ent˜o,
a
B = BI = B (AC) = (BA) C = IC = C.
Teorema 9 (i) Se A = (aij )n×n e B = (bij )n×n s˜o duas matrizes invert´
a ıveis, ent˜o AB ´
a e
invert´ e
ıvel
(AB)−1 = B −1 A−1 .
ıvel, ent˜o AT ´ invert´ e
(ii) Se A = (aij )n×n ´ invert´
e a e ıvel
−1 T
AT = A−1 .
Defini¸˜o 18 Uma matriz A = (aij )n×n diz-se n˜o singular se ap´s o m´todo de elimina¸ao
ca a o e c˜
de Gauss esta fˆr transformada numa matriz triangular superior (matriz cujas entradas
o
por baixo da diagonal principal s˜o todas nulas) cujas entradas da diagonal principal sejam
a
todas n˜o nulas. Uma matriz A = (aij )n×n diz-se singular se ap´s o m´todo de elimina¸ao
a o e c˜
de Gauss existir (pelo menos) uma linha nula na matriz obtida de A.
Teorema 10 Uma matriz A = (aij )n×n ´ invert´ se e s´ se ´ n˜o singular.
e ıvel o e a
Teorema 11 Toda a matriz elementar ´ invert´
e ıvel e a respectiva inversa ´ tamb´m uma
e e
matriz elementar. Tem-se:
(i) (Pij )−1 = Pij .
(ii) (Ei (α))−1 = Ei (1/α), para α = 0.
(iii) (Eij (α))−1 = Eij (−α).
Teorema 12 (Factoriza¸˜o triangular). Seja A uma matriz n˜o singular do tipo n × n.
ca a
Ent˜o ou A admite a factoriza¸ao unica A = LDU ou existe uma matriz de permuta¸ao P
a c˜ ´ c˜
tal que P A admite a factoriza¸ao unica P A = LDU , onde L e U s˜o respectivamente uma
c˜ ´ a
matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior com as entradas das diagonais
principais todas iguais a 1, e D ´ uma matriz diagonal com as entradas da diagonal principal
e
todas n˜o nulas.
a
16

17. Observa¸˜o 9 As entradas da diagonal principal da matriz D do teorema 12 s˜o os pivots
ca a
que resultam da aplica¸ao do m´todo de elimina¸ao de Gauss a matriz A.
c˜ e c˜ `
 
1 1 1
Exemplo 14 Seja A =  2 1 4 . Tem-se:
2 3 5
    
1 1 1 1 0 0 1 1 1
E23 (1)E13 (−2)E12 (−2)A =  0 −1 2  =  0 −1 0   0 1 −2  .
0 0 5 0 0 5 0 0 1
Logo,   
1 0 0 1 1 1
A = (E12 (−2))−1 (E13 (−2))−1 (E23 (1))−1  0 −1 0   0 1 −2  .
0 0 5 0 0 1
Isto ´,
e   
1 0 0 1 1 1
A = E12 (2)E13 (2)E23 (−1)  0 −1 0   0 1 −2  ,
0 0 5 0 0 1
ou ainda,
A = LDU ,
com
 
1 0 0
L = E12 (2)E13 (2)E23 (−1) =  2 1 0 ,
2 −1 1
   
1 0 0 1 1 1
D =  0 −1 0  e U =  0 1 −2  .
0 0 5 0 0 1
Observa¸˜o 10 Uma matriz A ´ invert´
ca e ıvel se e s´ se fˆr igual ao produto de matrizes
o o
elementares.
Teorema 13 Seja A uma matriz do tipo n × n.
(i) O sistema associado a AX = B tem solu¸ao unica se e s´ se A fˆr invert´
c˜ ´ o o ıvel. Neste
−1
caso a solu¸ao ´ X = A B.
c˜ e
(ii) O sistema homog´neo AX = 0 tem solu¸ao n˜o trivial se e s´ se A fˆr singular (n˜o
e c˜ a o o a
invert´
ıvel).
17

18. Teorema 14 Sejam A e B duas matrizes do tipo n × n. Se AB ´ invert´
e ıvel, ent˜o A e B
a
s˜o invert´
a ıveis.
Dem. Considere o sistema (AB) X = 0. Se B n˜o fosse invert´
a ıvel, ent˜o pelo teorema
a
13 existiria X = 0 tal que BX = 0. Logo, X = 0 seria solu¸ao n˜o trivial de ABX = 0, o
c˜ a
que contraria o teorema 13 uma vez que por hip´tese AB ´ invert´
o e ıvel. Assim, B ´ invert´
e ıvel.
−1
Finalmente, A ´ invert´ por ser o produto de duas matrizes invert´
e ıvel ıveis: A = (AB) B .
Observa¸˜o 11 (Como inverter matrizes do tipo n × n). Seja A uma matriz do tipo
ca
n × n e consideremos a equa¸ao AX = B. Se A fˆr invert´
c˜ o ıvel temos
AX = B ⇔ X = A−1 B,
isto ´,
e
AX = IB ⇔ IX = A−1 B.
Assim, para determinar a inversa de A, iremos transformar a matriz aumentada [A | I] na
matriz [I | A−1 ], por meio de opera¸oes elementares aplicadas as linhas de [A | I]. Este
c˜ `
m´todo tem o nome de m´todo de elimina¸˜o de Gauss-Jordan2 e consistir´ na conti-
e e ca a
nua¸ao do m´todo de elimina¸ao de Gauss agora aplicado a [matriz triangular superior | ∗],
c˜ e c˜
efectuando-se as elimina¸oes de baixo para cima de modo a obter-se [I | A−1 ].
c˜
 
1 1 1
Exemplo 15 (i) Seja A =  2 1 4 . Tem-se
2 3 5
   
1 1 1 | 1 0 0 1 1 1 | 1 0 0
[A | I] =  2 1 4 | 0 1 0  −→  0 −1 2 | −2 1 0  −→
−2L1 +L2 −→L2 L2 +L3 −→L3
2 3 5 | 0 0 1 −2L1 +L3 −→L3 0 1 3 | −2 0 1
   
1 1 1 | 1 0 0 1 1 1 | 1 0 0
−→  0 −1 2 | −2 1 0  1 −→  0 −1 2 | −2 1 0  −→
L3 −→L3 −2L3 +L2 −→L2
0 0 5 | −4 1 1 5 0 0 1 | −4/5 1/5 1/5 −L3 +L1 −→L1
 
1 1 0 | 9/5 −1/5 −1/5
−→  0 −1 0 | −2/5 3/5 −2/5  −→
L2 +L1 −→L1
0 0 1 | −4/5 1/5 1/5
 
1 0 0 | 7/5 2/5 −3/5
−→  0 −1 0 | −2/5 3/5 −2/5  −→
−L2 −→L2
0 0 1 | −4/5 1/5 1/5
 
1 0 0 | 7/5 2/5 −3/5
−→  0 1 0 | 2/5 −3/5 2/5  .
0 0 1 | −4/5 1/5 1/5
2
Wilhelm Jordan 1842 – 1899
18

19.  
1 2 3
(ii) Seja A =  1 1 2 . Tem-se
0 1 1
   
1 2 3 | 1 0 0 1 2 3 | 1 0 0
[A | I] =  1 1 2 | 0 1 0  −→  0 −1 −1 | −1 1 0  −→
−L1 +L2 −→L2 L2 +L3 −→L3
0 1 1 | 0 0 1 0 1 1 | 0 0 1
 
1 2 3 | 1 0 0
−→  0 −1 −1 | −1 1 0  .
0 0 0 | −1 1 1
Logo, A ´ singular e como tal n˜o ´ invert´
e a e ıvel.
2 Determinante
Defini¸˜o 19 Dados os n´ meros naturais 1, 2, ..., n chama-se permuta¸˜o desses n n´ meros
ca u ca u
a qualquer lista em em que os mesmos sejam apresentados por ordem arbitr´ria.
a
Defini¸˜o 20 Seja (i1 i2 ...in ) uma permuta¸ao dos n´ meros naturais 1, 2, ..., n. Diz-se que
ca c˜ u
um par (ij ik ) ´ uma invers˜o quando (j − k) (ij − ik ) < 0 (isto ´, quando ij e ik aparecerem
e a e
na permuta¸ao por ordem decrescente).
c˜
ca c˜ ımpar) quando o no m´ximo de in-
Defini¸˜o 21 Uma permuta¸ao (i1 i2 ...in ) diz-se par (´ a
vers˜es inclu´
o ıdas fˆr par (´
o ımpar).
Exemplo 16 A permuta¸ao (21453) ´ ´
c˜ e ımpar pois contem as invers˜es (21), (43) e (53).
o
Defini¸˜o 22 Seja A ∈ Matn×n (R). Chama-se determinante3 de A, e escreve-se |A| ou
ca
det A, o n´ mero que se obtem do seguinte modo:
u
(i) Formam-se todos os produtos poss´ıveis de n factores em que intervenha um elemento
de cada linha e, simultaneamente, um elemento de cada coluna de A.
3
O Determinante de uma matriz foi pela primeira vez considerado por Talakazu Seki 1642–1708
19

20. (ii) Afecta-se cada produto do sinal + ou do sinal − conforme as permuta¸oes (dos
c˜
n´ meros naturais 1, 2, ..., n) que figuram nos ´
u ındices de linha e de coluna tenham a mesma
paridade ou n˜o.
a
(iii) Somam-se as parcelas obtidas.
Em resumo:
|A| = (−1)σ a1j1 a2j2 ...anjn ,
(j1 j2 ...jn )
permuta¸ao de 1,2,...,n
c˜
em que 
 0 se (j1 j2 ...jn ) ´ par
e
σ=

1 se (j1 j2 ...jn ) ´ ´
e ımpar.
Observa¸˜o 12 Podemos ainda escrever de modo equivalente:
ca
|A| = (−1)σ ai1 1 ai2 2 ...ain n ,
(i1 i2 ...in )
permuta¸ao de 1,2,...,n
c˜
em que

 0 se (i1 i2 ...in ) ´ par
e
σ=

1 se (i1 i2 ...in ) ´ ´
e ımpar.
Teorema 15 Seja A ∈ Mat2×2 (R). Ent˜o
a
a11 a12
|A| = = a11 a22 − a12 a21 .
a21 a22
(ii) Seja A ∈ Mat3×3 (R). Ent˜o
a
a11 a12 a13
|A| = a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .
a31 a32 a33
Observa¸˜o 13 Se A ∈ Matn×n (R) ent˜o |A| tem n! parcelas, pelo que p.ex. se aplicarmos
ca a
a defini¸ao de determinante a uma matriz 4 × 4, teremos 4! = 24 parcelas.
c˜
20

21. Exemplo 17 (i)
1 −1
= 1(−2) − (−1)2 = 0.
2 −2
(ii)
1 2 1
3 −1 2 = 1(−1)(−3) + 3 + 8 − 1(−1)2 − 6(−3) − 2 = 32.
2 1 −3
Teorema 16 Sejam A, B ∈ Matn×n (R). Seja λ ∈ R.
(i) det (AB) = det A det B.
(ii) Se A fˆr uma matriz triangular superior ou triangular inferior ent˜o det A = produto
o a
dos elementos da diagonal principal de A.
(iii) Se A tiver uma linha nula ent˜o det A = 0.
a
(iv) Se B fˆr obtida de A multiplicando uma linha de A por um n´ mero real λ ent˜o
o u a
det B = λ det A.
(v) Se B fˆr obtida de A somando a uma linha de A um m´ ltiplo real λ de uma outra
o u
linha de A ent˜o det B = det A.
a
(vi) Se duas linhas de A forem iguais ent˜o det A = 0.
a
(vii) Se B fˆr obtida de A trocando duas linhas de A ent˜o det B = − det A.
o a
(viii) det AT = det A.
1
(ix) Se A fˆr invert´ det (A−1 ) =
o ıvel .
det A
(x) det (λA) = λn det A.
(xi) det (AB) = 0 ⇒ det A = 0 ou det B = 0.
(xii) det (AB) = det (BA).
(xiii) det(A) = 0 se e s´ se A invert´
o ıvel.
Observa¸˜o 14 Em geral, det(A + B) = det(A) + det(B).
ca
Defini¸˜o 23 Seja A = (aij ) ∈ Matn×n (R), com n > 1. Seja Aij a matriz do tipo (n −
ca
1) × (n − 1) que se obtem de A suprimindo a linha i e a coluna j de A. Chama-se a Aij o
menor-ij da matriz A.
21

22. Teorema 17 (F´rmula de Laplace4 .) Seja A ∈ Matn×n (R), com n > 1. Tem-se
o
n
det A = aij (−1)i+j det Aij .
j=1
Observa¸˜o 15 Seja A ∈ Matn×n (R), com n > 1. Tem-se
ca
n
det A = aij (−1)i+j det Aij .
i=1
Exemplo 18
1 0 −2 3
1 −2 3 1 0 −2
2 1 −1 4 3+2 3+4
= (−1)(−1) 2 −1 4 + (−2)(−1) 2 1 −1 =
0 −1 0 −2
1 −2 −3 1 0 −2
1 0 −2 −3
= (−1)(−3) + (−2)4 + 2(−2)3 − (−1)3 − (−2)2(−3) − 4(−2) + 2 [(−2) − (−2)] = −18
Defini¸˜o 24 Seja A = (aij ) ∈ Matn×n (R), com n > 1. Seja aij = (−1)i+j det Aij onde
ca
Aij ´ o menor-ij da matriz A. Chama-se a aij o cofactor-ij da matriz A e a matriz
e `
cof A = (aij ) ∈ Matn×n (R), com n > 1, a matriz dos cofactores de A.
Teorema 18 Para qualquer matriz A ∈ Matn×n (R), com n > 1, tem-se
A (cof A)T = (det A) I.
Se det A = 0 ent˜o A ´ invert´ e
a e ıvel
1
A−1 = (cof A)T .
det A
a b
Exemplo 19 Seja A = ∈ Mat2×2 (R) tal que det A = 0. Ent˜o A ´ invert´ e
a e ıvel
c d
1 d −b
A−1 = .
ad − bc −c a
(Veja por exemplo o exo 10 da ficha 2.) Note que ad − bc = det A.
(ii) Podemos usar o teorema 18 para calcular n˜o s´ a inversa de uma matriz (n˜o
a o a
singular) mas tamb´m entradas concretas dessa inversa. Seja
e
 
1 0 0
A =  4 5 6 .
7 8 9
A entrada (2, 3) da matriz A−1 ´ dada por
e
1 1 1 1 0
(A−1 )23 = (cof A)T = (−1)3+2 det A32 = − det = 2.
det A 23 det A −3 4 6
4
Pierre-Simon Laplace 1749–1827
22

23. Teorema 19 (Regra de Cramer5 .) Seja A ∈ Matn×n (R) tal que A ´ n˜o singular. Ent˜o
e a a
a unica solu¸ao do sistema de equa¸oes lineares AX = B ´ dada por
´ c˜ c˜ e
1
X = A−1 B = (cof A)T B.
det A
T T
Isto ´, sendo X =
e x1 . . . x n eB= b1 . . . bn tem-se
n
1 det Bj
xj = akj bk = ,
det A k=1
det A
onde Bj ´ a matriz obtida de A substituindo a coluna j de A pela matriz coluna B dos
e
termos independentes.
Exemplo 20 O sistema de equa¸oes lineares
c˜

 2x + y = 8




−x + 2y + 4z = 7





−x + z = 1
pode ser resolvido usando a regra de Cramer:
8 1 0 2 8 0 2 1 8
7 2 4 −1 7 4 −1 2 7
1 0 1 −1 1 1 −1 0 1
x= = 13, y= = −18 e z= = 14.
2 1 0 2 1 0 2 1 0
−1 2 4 −1 2 4 −1 2 4
−1 0 1 −1 0 1 −1 0 1
3 Espa¸os Lineares (Vectoriais)
c
No final do s´culo XIX e no come¸o do s´culo XX tornou-se claro – gra¸as a Grassmann 6 ,
e c e c
7 8
Peano e a Weyl – que o desenvolvimento axiom´tico da geometria Euclideana podia ser feito
a
apelando a estruturas matem´ticas — Espa¸os Vectoriais e Euclidianos — que desempanham
a c
um papel determinante noutras areas da matem´tica e de outras ciˆncias. O estudo das
´ a e
estruturas matem´ticas independente quer dos contextos que lhes deram origem quer dos
a
contextos em que aplicam constitui uma das ideias mais ricas da matem´tica do s´culo XX
a e
a a ´
e ´ indissoci´vel da matem´tica Emmy Noether9 . A Algebra linear ´ basicamente o estuda
e e
dessas estruturas.
5
Gabriel Cramer 1704–1752
6
Hermann Grassmann 1809–1877
7
Giuseppe Peano 1858–1932
8
Hermanm Weyl 1885–1955
9
Emmy Noether 1882–1935
23

24. Defini¸˜o 25 Um conjunto n˜o vazio V ´ um espa¸o linear (real) se existirem duas
ca a e c
opera¸oes associadas a V , uma soma de elementos de V e um produto de escalares (n´ meros
c˜ u
reais) por elementos de V , com as seguintes propriedades:
(a) (Fecho da soma). Para quaisquer u, v ∈ V tem-se u + v ∈ V .
(b) (Fecho do produto por escalares). Para quaisquer α ∈ R e u ∈ V tem-se αu ∈ V .
(c) (Comutatividade da soma). Para quaisquer u, v ∈ V , u + v = v + u.
(d) (Associatividade da soma). Para quaisquer u, v, w ∈ V , u + (v + w) = (u + v) + w.
(e) (Elemento neutro da soma). Existe um elemento de V designado por 0 tal que, para
qualquer u ∈ V , u + 0 = u.
(f ) (Sim´trico). Para cada (qualquer) u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0. A v
e
chama-se o sim´trico de u e denota-se por −u.
e
(g) (Associatividade do produto por escalares). Para quaisquer α, β ∈ R e u ∈ V ,
α (βu) = (αβ) u.
(h) (Distributividade em rela¸ao a soma de vectores). Para quaisquer α ∈ R e u, v ∈ V ,
c˜ `
α (u + v) = αu + αv.
(i) (Distributividade em rela¸ao a soma de escalares). Para quaisquer α, β ∈ R e u ∈ V ,
c˜ `
(α + β) u = αu + βu.
(j) Para qualquer u ∈ V , 1u = u.
Observa¸˜o 16 Aos elementos de V chamaremos vectores.
ca
Exemplo 21 Exemplos de espa¸os lineares:
c
(i) Rn , com as opera¸oes usuais:
c˜
(u1 , u2 , ..., un ) + (v1 , v2 , ..., vn ) = (u1 + v1 , u2 + v2 , ..., un + vn ),
α(u1 , u2 , ..., un ) = (αu1 , αu2 , ..., αun ).
(ii) Matm×n (R) (conjunto de todas as matrizes reais do tipo m × n), com as opera¸oes
c˜
(usuais): A + B e αA.
(iii) O conjunto de todas as fun¸oes reais de vari´vel real definidas num conjunto n˜o
c˜ a a
vazio S ⊆ R, com as opera¸oes usuais:
c˜
(f + g)(x) = f (x) + g(x),
24

25. (αf )(x) = αf (x).
(iv) O conjunto P de todos os polin´mios reais, com as opera¸oes usuais.
o c˜
(v) O conjunto Pn de todos os polin´mios reais de grau menor ou igual a n, com as
o
opera¸oes usuais.
c˜
Observa¸˜o 17 Um mesmo conjunto pode servir para formar espa¸os lineares diferentes:
ca c
(i) O conjunto dos n´ meros reais R, com a soma definida por
u
u v = u + v + 1,
e o produto por escalares definido por
α · u = αu + α − 1,
´ um espa¸o linear. (Neste caso o elemento neutro ´ −1.)
e c e
(ii) O conjunto dos n´ meros reais maiores do que zero, com a soma definida por
u
u v = uv,
e o produto por escalares definido por
α · u = uα ,
´ um espa¸o linear. (Neste caso o elemento neutro ´ 1.)
e c e
Observa¸˜o 18 Altera¸oes nos conjuntos considerados anteriormente podem resultar em
ca c˜
conjuntos que n˜o s˜o espa¸os lineares.
a a c
(i) O conjunto {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 e y ≥ 0}, com as opera¸oes usuais, n˜o ´ um espa¸o
c˜ a e c
linear. Por exemplo, os sim´tricos n˜o est˜o no conjunto.
e a a
(ii) O conjunto V = {a0 + a1 t + ... + an tn : a0 , a1 , ..., an ∈ R e an = 0}, com as opera¸oes
c˜
usuais, n˜o ´ um espa¸o linear. Por exemplo:
a e c
tn , −tn + t ∈ V , mas tn + (−tn + t) = t ∈ V .
/
(iii) O conjunto U = {f : R −→ R tais que f (1) = 2}, com as opera¸oes usuais, n˜o ´
c˜ a e
um espa¸o linear. Por exemplo, se f1 , f2 ∈ U ,
c
(f1 + f2 ) (1) = f1 (1) + f2 (1) = 2 + 2 = 4 = 2.
Logo, f1 + f2 ∈ U .
/
25

26. 3.1 Subespa¸os lineares – exemplos: n´ cleo, espa¸o colunas e li-
c u c
nhas de uma matriz
Defini¸˜o 26 Seja V um espa¸o linear. Diz-se que S ´ um subespa¸o de V se S ´ um
ca c e c e
subconjunto de V e se S, com as opera¸oes de V , fˆr um espa¸o linear.
c˜ o c
Observa¸˜o 19 No entanto, para mostrar que um certo conjunto S ⊂ V ´ um subespa¸o
ca e c
do espa¸o linear V , n˜o ser´ necess´rio verificar as 10 propriedades da defini¸ao 25, como se
c a a a c˜
pode ver no seguinte teorema.
Teorema 20 Um subconjunto n˜o vazio S de um espa¸o linear V ´ um subespa¸o de V se
a c e c
e s´ se:
o
(i) Para quaisquer u, v ∈ S tem-se u + v ∈ S.
(ii) Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S tem-se αu ∈ S.
Exemplo 22 Exemplos de subespa¸os:
c
(i) Os unicos subespa¸os do espa¸o linear R, com as opera¸oes usuais, s˜o {0} e R.
´ c c c˜ a
(ii) Os subespa¸os do espa¸o linear R3 , com as opera¸oes usuais, s˜o: {(0, 0, 0)}, R3 ,
c c c˜ a
todas as rectas que passam pela origem e todos os planos que passam pela origem.
(iii) O conjunto de todas as matrizes (reais) triangulares superiores (do tipo n × n) ´ um
e
subespa¸o do espa¸o linear Matn×n (R), com as opera¸oes usuais.
c c c˜
(iv) O conjunto de todas as fun¸oes reais definidas e cont´
c˜ ınuas em I ⊂ R (I ´ um
e
intervalo) ´ um subespa¸o do espa¸o linear de todas as fun¸oes f : I −→ R, com as opera¸oes
e c c c˜ c˜
usuais.
(v) Seja A uma matriz (real) do tipo m × n. O conjunto
C(A) = {b ∈ Rm : Au = b tem pelo menos uma solu¸ao u}
c˜
´ um subespa¸o do espa¸o linear Rm , com as opera¸oes usuais, ao qual se d´ o nome de
e c c c˜ a
espa¸o das colunas de A.
c
(vi) Seja A uma matriz (real) do tipo m × n. O conjunto
Nuc(A) = {u ∈ Rn : Au = 0}
´ um subespa¸o do espa¸o linear Rn , com as opera¸oes usuais, ao qual se d´ o nome de
e c c c˜ a
espa¸o nulo ou n´cleo de A.
c u
26

27. Observa¸˜o 20 (i) Se A ´ invert´ ent˜o Nuc(A) = {0}.
ca e ıvel a
(ii) Se Nuc(A) = {0} ent˜o A ´ invert´
a e ıvel.
(iii) Poderemos obter subespa¸os de um espa¸o linear atrav´s de combina¸oes lineares
c c e c˜
de vectores desse espa¸o.
c
Defini¸˜o 27 Seja S um subconjunto n˜o vazio de um espa¸o linear V . Diz-se que um vector
ca a c
u ´ combina¸˜o linear finita dos elementos de S, se existir um no finito de elementos de
e ca
S, u1 , ..., uk , e de escalares λ1 , ..., λk tais que
k
u = λ1 u1 + ... + λk uk = λ i ui .
i=1
Ao cojunto de todas as combina¸oes lineares finitas de elementos de S chama-se expans˜o
c˜ a
linear de S e designa-se por L(S). Se S ´ o conjunto vazio ∅, escreve-se L(∅) = {0}.
e
Teorema 21 Seja S um subconjunto n˜o vazio de um espa¸o linear V . A expans˜o linear
a c a
L(S) de S ´ o menor subespa¸o de V que cont´m S. Deste modo, a L(S) tamb´m se chama
e c e e
o subespa¸o gerado por S, e diz-se que S gera L(S).
c
Observa¸˜o 21 Seja S e T dois subconjuntos n˜o vazios de um espa¸o linear V , com S ⊂ T .
ca a c
Se L(S) = V ent˜o L(T ) = V .
a
Exemplo 23 (i) O espa¸o linear R2 ´ gerado por qualquer dos seguintes conjuntos de vec-
c e
tores:
{(1, 0), (0, 1)}, {(1, 2), (−1, 11)} e {(23, 8), (6, 14)}.
(ii) O subespa¸o {(x, y) ∈ R2 : y = 2x} do espa¸o linear R2 ´ gerado por qualquer dos
c c e
seguintes conjuntos de vectores:
{(1, 2)}, {(−2, −4)} e {(77, 154)}.
(iii) O espa¸o linear Pn de todos os polin´mios de grau menor ou igual a n, ´ gerado
c o e
por qualquer dos seguintes conjuntos de vectores:
2 n 2 n t t2 tn
{1, t, t , ..., t }, {1, 1 + t, (1 + t) , ..., (1 + t) } e {1, , , ..., }.
1! 2! n!
(iv) O espa¸o linear P de todos os polin´mios, ´ gerado pelo conjunto infinito de vectores:
c o e
{1, t, t2 , ...}.
27

28. (v) O espa¸o linear V de todas as fun¸oes f : R → R diferenci´veis tais que f (x) = af (x)
c c˜ a
ax
´ gerado pela fun¸ao f1 (x) = e , i.e. V = L({f1 }).
e c˜
(vi) Seja A uma matriz (real) do tipo m × n. O espa¸o das colunas de A,
c
C(A) = {b ∈ Rm : Au = b tem pelo menos uma solu¸ao u} ,
c˜
´ o subespa¸o (do
e c espa¸o linear Rm ) gerado pelas colunas de A, uma vez que:
c
          
b1 a11 a12 · · · a1n u1 a11 a12 a1n
 b2   a21 a22 · · · a2n  
  u2   a21   a22   a2n 
         
 . = .
.   . .
. ··· .   .  = u1  .  + u2  .  + ... + un  .
.  .  .  .  .
 . . . . .  .  .  .. 
bm am1 am2 · · · amn un am1 am2 amn
(vii) Seja A uma matriz (real) do tipo m × n. Ao subespa¸o linear de Rn gerado pelas
c
linhas de A d´-se o nome de espa¸o das linhas de A e designa-se por L(A).
a c
(viii) Sejam
   
1 −3 1 −1 2
0 0 0 2 0
A= , B =  0 0 7  , C =  2 −4  e D= .
0 0 0 0 −1
0 0 0 −2 4
Tem-se
C(A) = {(0, 0)}, Nuc(A) = R3 e L(A) = {(0, 0, 0)}.
C(B) = L ({(1, 0, 0) , (1, 7, 0)}) , Nuc(B) = L ({(3, 1, 0)}) e L(B) = L ({(1, −3, 1) , (0, 0, 7)}) .
C(C) = L ({(−1, 2, −2)}) , Nuc(C) = L ({(2, 1)}) e L(C) = L ({(−1, 2)}) .
C(D) = L ({(2, 0) , (0, −1)}) , Nuc(D) = {(0, 0)} e L(D) = L ({(2, 0) , (0, −1)}) .
(ix) Seja U = {A ∈ Mat3×2 (R) : a12 = a21 = a32 = 0 e a11 + 2a31 = 0}. Tem-se, para
A ∈ U,
       
a11 a12 −2a31 0 −2 0 0 0
A=  a21 a22  =  0 a22  = a31  0 0  + a22  0 1  ,
a31 a32 a31 0 1 0 0 0
com a31 , a22 ∈ R. Logo,
   
 −2 0 0 0 
U = L  0 0 , 0 1  .
 
1 0 0 0
(x) Seja U = {p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 ∈ P2 : p(1) = p(0)}. Tem-se, para p(t) ∈ U ,
p(1) = p(0) ⇐⇒ a0 + a1 + a2 = a0 ⇐⇒ a1 + a2 = 0 ⇐⇒ a1 = −a2 .
Logo,
p(t) = a0 − a2 t + a2 t2 = a0 1 + a2 −t + t2 ,
com a0 , a2 ∈ R. Assim,
U =L 1, −t + t2 .
28

29. Teorema 22 Se U e V s˜o subespa¸os do espa¸o linear W , ent˜o:
a c c a
(i) O conjunto U ∩ V ´ um subespa¸o linear de W .
e c
e c ´
(ii) O conjunto U + V = {u + v : u ∈ U e v ∈ V } ´ um subespa¸o de W . E o menor
subespa¸o de W que cont´m U ∪ V . O conjunto U ∪ V em geral n˜o ´ um subespa¸o. Tem-se
c e a e c
U + V = L(U ∪ V ).
Exemplo 24 (i) Em R3 , considere os subespa¸os:
c
U = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y − 2z = 0} e V = L ({(1, 1, −1), (1, 2, 1)}) .
Seja v ∈ V , ent˜o
a
v = α(1, 1, −1) + β(1, 2, 1) = (α + β, α + 2β, −α + β),
com α, β ∈ R. Para que v esteja tamb´m em U ´ preciso que:
e e
(α + β) + (α + 2β) − 2 (−α + β) = 0.
A ultima equa¸ao ´ equivalente a 4α + β = 0 ⇐⇒ β = −4α. Logo,
´ c˜ e
U ∩ V = {(−3α, −7α, −5α) : α ∈ R} = {α(−3, −7, −5) : α ∈ R} = L ({(3, 7, 5)}) .
(ii) Em R3 , considere os subespa¸os:
c
U = L ({(1, −1, 1), (1, 2, 2)}) e V = L ({(2, 1, 1), (−1, 1, 3)}) .
Seja v ∈ U , ent˜o
a
v = α(1, −1, 1) + β(1, 2, 2) = (α + β, −α + 2β, α + 2β),
com α, β ∈ R. Para que v esteja tamb´m em V ´ preciso que:
e e
(α + β, −α + 2β, α + 2β) = λ(2, 1, 1) + µ(−1, 1, 3) =
= (2λ − µ, λ + µ, λ + 3µ) ,
com λ, µ ∈ R. Deste modo, 
 α + β = 2λ − µ




−α + 2β = λ + µ





α + 2β = λ + 3µ.
Considerando a matriz aumentada tem-se
     
1 1 | 2λ − µ 1 1 | 2λ − µ 1 1 | 2λ − µ
 −1 2 | λ + µ  −→  0 3 | 3λ  −→  0 3 | 3λ 
L1 +L2 →L2 − 1 L2 +L3 →L3
1 2 | λ + 3µ −L1 +L3 →L3 0 1 | −λ + 4µ 3 0 0 | −2λ + 4µ
29