Material de Matemática

1. Matemática 1
Revisão do trabalho individual
DISCUSSÃO E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES
LINEARES
(2ª Parte)
Benedito Pinheiro

2. Exercício 2.4 - Resolva (na forma matricial), os seguintes sistemas, quando possíveis, usando o método de
eliminação de Gauss.
a)
2𝑥1 − 3𝑥2 = 5
−4𝑥1 + 6𝑥2 = 8
3𝑥1 − 2𝑥2 = 0
(A|b) =
2 −3
−4 6
3 −2
5
8
0
𝑙2 = 𝑙2 + 2𝑙1
𝑙3 = 2𝑙3 − 3𝑙1
________________
2 −3
0 0
0 5
5
18
−15
𝑙2 ↔ 𝑙3
2 −3
0 5
0 0
5
−15
18
Discussão
Car(A) = 2; Car(A|b)=3.
Car(A) < Car(A|b) ⇒ Sistema impossível.

3. b)
𝑥1 + 𝑥2 = 0
2𝑥1 + 3𝑥2 = 0
3𝑥1 − 2𝑥2 = 0
(A|b) =
1 1
2 3
3 −2
0
0
0
𝑙2 = 𝑙2 − 2𝑙1
𝑙3 = 𝑙3 − 3𝑙1
1 1
0 1
0 −5
0
0
0
𝑙3 = 𝑙3 + 5𝑙2
1 1
0 1
0 0
0
0
0
Discussão :
Car(A) = 2; Car(A|b) = 2; n = 2;
Car(A) = Car(A|b) = n ⇒ Sistema Possível Determinado;
Resolução:
𝑥1 + 𝑥2 = 0
𝑥2 = 0
⇔
𝑥1 + 0 = 0
𝑥2 = 0
⇔
𝑥1 = 0
𝑥2 = 0
Solução: (0; 0).

4. c)
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 1
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3
3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4
(A|b)
2 3 1
1 1 1
3 4 2
1
3
4
𝑙1 ↔ 𝑙2
1 1 1
2 3 1
3 4 2
3
1
4
𝑙2 = 𝑙2 − 2𝑙1
𝑙3 = 𝑙3 − 3𝑙1
1 1 1
0 1 −1
0 1 −1
3
−5
−5
𝑙3 = 𝑙3 − 𝑙2
1 1 1
0 1 −1
0 0 0
3
−5
0
Discussão
Car(A) = 2; Car(A|b) = 2; n = 3;
Car(A) = Car(A|b) < n ⇒ Sistema Possível Indeterminado;

5. Resolução: Nº de Variáveis Livres: n – Car(A) = 3 – 2 = 1;
𝑥3 = 𝛼 - Variável livre
𝑥1 𝑒 𝑥2 - Variáveis básicas
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3
𝑥2 − 𝑥3 = −5
𝑥3 = 𝛼
⇔
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3
𝑥2 − 𝛼 = −5
𝑥3 = 𝛼
⇔
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3
𝑥2 = −5 + 𝛼
𝑥3 = 𝛼
⇔
𝑥1 + (−5 + 𝛼) + 𝛼 = 3
𝑥2 = −5 + 𝛼
𝑥3 = 𝛼
⇔
𝑥1 − 5 + 𝛼 + 𝛼 = 3
𝑥2 = −5 + 𝛼
𝑥3 = 𝛼
⇔
𝑥1 = 8 − 2𝛼
𝑥2 = −5 + 𝛼
𝑥3 = 𝛼
Solução geral: (8 - 2α; -5 + α; α), α ∈ R.

6. d)
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 4
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 1
7𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 7
(A|b) =
1 −1 2
2 3 −1
7 3 4
4
1
7
𝑙2 − 2𝑙1
𝑙3 − 7𝑙1
1 −1 2
0 5 −5
0 10 −10
4
−7
−21 𝑙3 − 2𝑙2
1 −1 2
0 5 −5
0 0 0
4
−7
−7
Discussão:
Car(A) = 2; Car(A|b)=3.
Car(A) < Car(A|b) ⇒ Sistema impossível.

7. e)
−𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2
−2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 4
3𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 5
−3𝑥1 + 8𝑥2 + 5𝑥3 = 17
−1 2 −1
−2 2 1
3 2 2
−3 8 5
2
4
5
17
𝑙2 −2𝑙1
𝑙3 + 𝑙4
𝑙4 + 𝑙3
−1 2 −1
0 −2 3
0 10 7
0 10 7
2
0
22
22
𝑙3 + 5𝑙2
𝑙4 + 5𝑙2
−1 2 −1
0 −2 3
0 0 22
0 0 22
2
0
22
22
1
22
𝑙3
𝑙4 − 𝑙3
−1 2 −1
0 −2 3
0 0 1
0 0 0
2
0
1
0
Discussão:
Car(A) = 3; Car(A|b) = 3; n = 3;
Car(A) = Car(A|b) = n ⇒ Sistema Possível Determinado;

8. Resolução:
−𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2
−2𝑥2 + 3𝑥3 = 0
𝑥3 = 1
⇔
−𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2
−2𝑥2 + 3 1 = 0
𝑥3 = 1
⇔
−𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2
−2𝑥2 = −3
𝑥3 = 1
⇔
−𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2
𝑥2 =
3
2
𝑥3 = 1
⇔
−𝑥1 + 2(
3
2
) − 1 = 2
𝑥2 =
3
2
𝑥3 = 1
⇔
3 − 1 − 2 = 𝑥1
𝑥2 =
3
2
𝑥3 = 1
⇔
𝑥1 = 0
𝑥2 =
3
2
𝑥3 = 1
Solução: (0;
3
2
; 1).

9. f)
𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 1
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 2
𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 1
5𝑥1 − 8𝑥2 + 2𝑥3 = 5
1 −3 1
2 1 −1
1 4 −2
5 −8 2
1
2
1
5
𝑙2 − 2𝑙1
𝑙3 − 𝑙1
𝑙4 − 5𝑙1
1 −3 1
0 7 −3
0 7 −3
0 7 −3
1
0
0
0
𝑙3 − 𝑙2
𝑙4 − 𝑙2
1 −3 1
0 7 −3
0 0 0
0 0 0
1
0
0
0
Discussão e Resolução
Car(A) = 2; Car(A|b) = 2 ; n = 3;
Car(A) = Car(A|b) < n ⇒ Sistema Possível Indeterminado;
Nº de Variáveis Livres: n – Car(A) = 1;

10. Resolução:
𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 1
7𝑥2 − 3𝑥3 = 0
𝑥3 = 𝛼
⇔
𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 1
7𝑥2 − 3(𝛼) = 0
𝑥3 = 𝛼
⇔
𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 1
7𝑥2 = 3𝛼
𝑥3 = 𝛼
⇔
𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 1
𝑥2 =
3𝛼
7
𝑥3 = 𝛼
⇔
𝑥1 − 3(
3𝛼
7
) + 𝛼 = 1
𝑥2 =
3𝛼
7
𝑥3 = 𝛼
⇔
𝑥1 = 1 +
9𝛼
7
− 𝛼
𝑥2 =
3𝛼
7
𝑥3 = 𝛼
⇔
𝑥1 =
7 + 9𝛼 − 7𝛼
7
𝑥2 =
3𝛼
7
𝑥3 = 𝛼
⇔
𝑥1 =
2𝛼 + 7
7
𝑥2 =
3𝛼
7
𝑥3 = 𝛼
Solução: (
2𝛼+7
7
;
3𝛼
7
; 𝛼).

11. MUITO BOA NOITE A TODOS