Este documento apresenta notas de aula sobre dimensionamento de eixos e transmissões por engrenagens. Discute-se introdução sobre eixos, formas construtivas, dimensionamento de eixos, transmissões por engrenagens, esforços transmitidos por engrenagens e transmissões flexíveis. Inclui também roteiro de projeto de eixos e verificação da resistência mecânica sob solicitações estática e dinâmica.

1. Elementos de Máquinas I
André Ferreira Costa Vieira
andrefvieira@usp.br
Aula 06 – Dimensionamento de eixos
Notas de Aulas 2018

2. 30.10.23 2
INTRODUÇÃO
EIXOS: Elemento sobre o qual se assentam partes giratórias de uma máquina e que
recebe destas as cargas de trabalho que devem ser descarregadas na estrutura da
máquina.
Esforços Actuantes: Flexão (Mf, V), Torção (Mt), Axiais (N)
Formas construtivas
cheios secção circular articuladas
vasados secção retangular telescópicos
lisas secção hexagonal flexíveis
escalonados perfilados

3. 30.10.23 3
INTRODUÇÃO
32
)³
(
Wf
i
e d
d 


Módulo de resistência à flexão
Redução de peso e custos
Eixos mais curtos possíveis: L Mf d $
Eixos vasado permitem redução de peso:

4. 30.10.23 4
TRANSMISSÕES POR
ENGRENAGENS
Definição: A transmissão entre dois elementos tem por objetivo transferir ou transformar
os movimentos e forças em outras com direções e valores diferentes. As transmissões por
engrenagens:
- permitem a transmissão de potência entre eixos relativamente próximos um do outro;
- transmissão de torque sem deslizamento;
- razão de engrenamento constante;
Relação da transmição: relação entre a velocidade angular do eixo motriz e a velocidade
angular do eixo movido
Momento torsor (Torque): momento de uma força aplicado a elementos giratórios,
onde o ponto base do momento é o centro de rotação
Partes de uma engrenagem

5. 30.10.23 5
TRANSMISSÕES POR
ENGRENAGENS
Formas construtivas de transmissões por engrenagens (engrenagens cilindricas)
Aplicações
• eixos paralelos
• um par tem relação de
transmissão i até 4 (normal) , até
8 (extremo) e uso de mais pares 
2 pares i até 45
Características
• altas potências ( até 25.000 CV)
• rotações elevadas (até 100.000
rpm)
• altas velocidades tangenciais (até
200 m/s )
• rendimento é de 96 a 99 %
Engrenagem
cilíndrica reta
Engrenagem
interna
Cremalheira
Engrenagem
bi-helicoidal
Engrenagem
dentes V
Engrenagem
cilíndrica helicoidal
Engrenagem
planetária

6. 30.10.23 6
TRANSMISSÕES POR
ENGRENAGENS
Formas construtivas de transmissões por engrenagens (engrenagens cónicas)
Aplicações
• eixos concorrentes
• relação de transmissão i até 6
Características
• mais caras que as engrenagens cilíndricas
Engrenagem
cônica reta
Engrenagem cônica
dentes inclinados
Engrenagem cônica
de dentes helicoidais

7. 30.10.23 7
TRANSMISSÕES POR
ENGRENAGENS
Formas construtivas de transmissões por engrenagens (engrenagens descentradas)
Aplicações
• eixos reversos com pequena distância a entre
eles.
• uso típico em eixos traseiros ( diferenciais) de
veículos automotivos.
• grande capacidade de carga.
Características
• grau de recobrimento maior diminui os ruídos
de funcionamento
Engrenagem hipóide

8. 30.10.23 8
TRANSMISSÕES POR
ENGRENAGENS
Formas construtivas de transmissões por engrenagens (engrenagens reversas)
Aplicações
• eixos reversos
• carga pequena
Características
• grandes ângulos de hélice
• grau de recobrimento grande
• eficiência menor Engrenagem reversa

9. 30.10.23 9
TRANSMISSÕES POR
ENGRENAGENS
Formas construtivas de transmissões por engrenagens (parafuso e coroa sem-fim)
Aplicações
• eixos reversos
• grandes relações de transmissão , i até 30 (normal) até 100 (extremo)
Características
• coroa de bronze para grande velocidade de deslizamento
• rendimento é menor ( 45 % para i maiores, subindo até
90% para i pequenas )
• transmissão silenciosa e grande amortecimento
• para grandes relações de transmissão são mais baratas que
as eng cilíndricas
• transmite grandes torques
• potências de até 1.000 CV
• rotações até 30.000 rpm
Parafuso e coroa sem-fim

10. 30.10.23 10
ESFORÇOS TRANSMITIDOS
POR ENGRENAGENS
Nomenclatura

11. 30.10.23 11
ESFORÇOS TRANSMITIDOS
POR ENGRENAGENS
Nomenclatura
z
p
d
zp
d
c
p
c
p





 
: 



mm
dimensão
MÓDULO
m

c
p
z
.
m
d 
p
Módulo
Módulos usados em
transmissões
1,5 a 5 mm

12. 30.10.23 12
TRANSMISSÕES POR
ENGRENAGENS
Pares de
dentes em
contato
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Motora
Movida
g2
dg1
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0
Pares de dentes em contato
Linha de ação
2
1
0

13. 30.10.23 13
TRANSMISSÕES POR
ENGRENAGENS
Pares de dentes em contato

14. 30.10.23 14
ESFORÇOS TRANSMITIDOS
POR ENGRENAGENS
Pares de dentes em contato

 tg
.
F
=
F
F
F
=
tg t
r
t
r


15. 30.10.23 15
ESFORÇOS TRANSMITIDOS
POR ENGRENAGENS
Pares de dentes em contato

16. 30.10.23 16
ESFORÇOS TRANSMITIDOS
POR ENGRENAGENS
Engrenagens cilíndrica reta
No eixo a atua um força Fa2 (que contraria a
força no contato F32) e um momento torsor
Ta2 (componente tangencial de F32 x r2)
Apenas a componente
tangencial da força de contato
participa na transmissão de
potência Wt (lbf)
H (hp)
V (ft/min)
Wt (kN)
H (kW)
d (mm)
n (rpm)
Força tangencial
Momento torsor
Potência transmitida
Velocidade linear nos
diâmetros primitivos
ou:
V (ft/min)
d (mm)
n (rpm)

17. 30.10.23 17
ESFORÇOS TRANSMITIDOS
POR ENGRENAGENS
Engrenagens cónicas Força tangencial:
Força radial:
Força axial:
Apenas a componente tangencial da força
de contato participa na transmissão de
potência
Wt (lbf)
H (hp)
V (ft/min)
Wt (kN)
H (kW)
d (mm)
n (rpm)

18. 30.10.23 18
ESFORÇOS TRANSMITIDOS
POR ENGRENAGENS
Engrenagens cilíndricas helicoidais Força tangencial:
Força radial:
Força axial:
Apenas a componente tangencial da força de
contato participa na transmissão de potência
Wt (lbf)
H (hp)
V (ft/min)
Wt (kN)
H (kW)
d (mm)
n (rpm)
Força total:
Força tangencial:
Força radial:
Força axial:
Força total:

19. 30.10.23 19
ESFORÇOS TRANSMITIDOS
POR ENGRENAGENS
Parafuso e coroa sem-fim
Componentes da força de contacto Wx, Wy e Wz:
Apenas a componente tangencial da força de
contato participa na transmissão de potência
Componentes tangencial (t), radial (r) e
axial (a), do parafsuso (W) e da coroa (G) :
Força de atrito:

20. 30.10.23 20
TRANSMISSÕES FLEXIVEIS
Definição: A transmissão entre dois elementos tem por objetivo transferir ou transformar
os movimentos e forças em outras com direções e valores diferentes. As transmissões por
elementos flexíveis:
- permitem a transmissão de potência entre eixos relativamente distantes um do outro;
- baixo custo;
- permitem acionar vários eixos em simultâneo
Relação da transmissão: relação entre a velocidade angular do eixo motriz e a velocidade
angular do eixo movido
Momento torsor: momento de uma força aplicado a elementos giratórios,
onde o ponto base do momento é o centro de rotação

21. 30.10.23 21
TRANSMISSÃO POR CORREIAS
Variação da força tensora ao longo do comprimento da correia

22. 30.10.23 22
ROTEIRO GERAL DE PROJETO
DE EIXOS

23. 30.10.23 23
VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA
MECÂNICA
Cálculo de Tensão equivalente (seq ) sob Solicitação Estática para eixo circular
Cálculo perliminar do diâmetro do eixo (d) no caso de secção circular:
d
d 3
,
1
~
1
,
1


24. 30.10.23 24
VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA
MECÂNICA
Cálculo perliminar do diâmetro do eixo (d), no caso de secção circular,
considerando torção pura, e conhecendo a potência transmitida (N):
n
M
N t 


716200
1
N - HP
Mt - kgf . mm
n - rpm
n
r
F
r
n
F
N 






716200
1
1000
60
2
75

3 716200
72
,
1
716200
adm
t
n
N
d
n
N
M




 3
89
,
153
adm
n
N
d




25. 30.10.23 25
VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA
MECÂNICA
Cálculo de Tensão equivalente ( s’ ) sob Solicitação Estática
Considerando flexão e torção combinadas
²
3
2
' 
s
s 

Critério Energia Distorção (Von Mises)
²
²
3
²
²
'
t
t
f
fr
W
M
W
M


s
no caso de secção circular: t
f W
W
2
1

²
4
3
²
1
' t
fr
f
M
M
W


s
então:
3
17
,
2
adm
eq
M
d
s
 sendo: ²
4
3
² t
fr
eq M
M
M 

Cálculo perliminar do diâmetro do eixo (d) :

26. 30.10.23 26
VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA
MECÂNICA
Sob Solicitação Dinâmica Considera carragemento cíclico e dano por fadiga

27. 30.10.23 27
VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA
MECÂNICA
Critério de Soderberg
Critério de Godman
simplificado
Critério de Gerberg
Critério de ASME
Critério de Langer

28. 30.10.23 28
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
Qualquer descontinuidade geométrica num componente altera localmente a distribuição de
tensões. Estas descontinuidades geométricas são designadas de concentradores de tensões.
O coeficiente de concentração de tensões (nominal) permite relacionar a tensão máxima
local com a tensão nominal, verificada num ponto afastado da descontinuidade e calculada
recorrendo às equações de análise de tensões.

29. 30.10.23 29
COEFICIENTE DE
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
O coeficiente de concentração de tensões depende do material (Kf ou Kfs). Alguns materiais
são menos sensíveis às descontinuidades geométricas.
O coeficiente de sensibilidade q varia entre 0 (Kf=1), quando o material é insensível às
descontinuidades geométricas e 1 (Kf=Kt) quando o material é totalmente sensível:

30. 30.10.23 30
COEFICIENTE DE
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES

31. 30.10.23 31
COEFICIENTE DE
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES

32. 30.10.23 32
COEFICIENTE DE
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES

33. 30.10.23 33
VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA
MECÂNICA
Considerando o critério de Godman simplificado, e apenas momentos fletor M e torsor T, é
possivel determinar o diâmetro do eixo:

34. 30.10.23 34
VERIFICAÇÃO DA RIGIDEZ
Relação linear entre força (ou momento) e deslocamento (ou giro) na mesma
direcção no ponto de aplicação

35. 30.10.23 35
VERIFICAÇÃO DA RIGIDEZ
A grande maioria dos eixos é escalonada e é possível calcular as flexas nos pontos críticos
de diversas forma:
a) Método da Integração Gráfica
eixo diagrama Escala Integração
carregamento de Mf 1/EI gráfica

36. 30.10.23 36
VERIFICAÇÃO DA RIGIDEZ
b) Método de Madigan
A flecha e a inclinação de cada secção em separado são passadas à secção
seguinte.
c) Pelo princípio dos trabalhos virtuais considerando que

37. 30.10.23 37
VERIFICAÇÃO DA RIGIDEZ
Aplicação
Flecha
admissível
Ângulo de
inclinação [rad]
Eixo de máquinas
ferramentas com
engrenagens
0,1 m -
Motores assíncronos 0,1  -
Construções mecânicas
em geral
0,0002 L -
Eixos apoiados em
mancais hidrodinâmicos
ou de lubrificação mista
- 0,001
Eixos apoiados em
mancais de rolamento
radial fixo de esferas
- 0,008
Eixos apoiados em
mancais auto
compensadores
- 0,05
Onde:
m = módulo da engrenagem
 = entreferro do motor
elétrico
L = distância entre os
apoios do eixo

38. 30.10.23 38
VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE
CRÍTICA
Considerando uma força vertical F aplicada a meio do vão, despreza-
se: peso do eixo, inércia do eixo e momento centrífugo
 
e
y
m
r
m
a
m
Fext 



 ²
.
²
.
. 

y
l
EI
F
EI
FL
y .
³
48
48
³



k
Como:  




 e
y
m
y
k
F
Fext ²
. 
²
²
0
²
²




m
k
me
y
me
my
ky






1
²



m
k
e
y
ou
quando
e
y
m
k




 ,
1
²

 
s
d
m
k
crit /

 

m
k
N
N crit
crit
crit



30
60
2


 (rpm)

39. 30.10.23 39
VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE
CRÍTICA
Considerando um disco de inércia suportado de massa m a meio do vão (despreza-se: peso
do eixo, inércia do eixo e momento centrífugo)
k
mg
y
EI
mgl
y 


48
³
y
g
m
k


Como:
m
k
Ncrit

30
 (rpm)
y
g
Ncrit

30


NOTAS:
A dedução vale para meixo << mdisco
Ntrabalho deve estar fora da faixa 0,7 ~ 1,3 Ncrit.
Pode-se trabalhar numa rotação “A”, superior à Ncrit (correspondente ao
1º modo de vibração natural), passando-se pela Ncrit1 com potência
suficiente e amortecimento alto.

40. 30.10.23 40
VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE
CRÍTICA

41. 30.10.23 41
VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE
CRÍTICA
A velocidade do peso é dada por:
v = y0⋅ω.cos(ωt). A energia cinética atinge o
máximo quando a velocidade é máxima, isto
é, quando cos(ωt)=1. Então, a energia
cinética máxima é dada por:
Igualando as expressões da energia cinética e potencial máxima obtém-se a seguinte
relação:

42. 30.10.23 42
VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE
CRÍTICA
Método de Rayleigh
O método de Rayleigh é aplicado a um sistema multi-massas composto pelos pesos P1, P2,
etc., admitindo-se como anteriormente, uma deflexão estática de cada massa de acordo
com a equação y = y0⋅sen(ωt). As deflexões máximas são, então, y01, y02, etc., e as
velocidades v1, v2, etc. A energia potencial máxima para o sistema é:
A energia cinética máxima é:
Igualando, novamente, as expressões da energia cinética e potencial máximas, e
resolvendo em ordem a ω obtém-se:

43. 30.10.23 43
VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE
CRÍTICA
Rearranjando:

44. 30.10.23 44
VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE
CRÍTICA
Método de Dunkerley

45. 30.10.23 45
VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE
CRÍTICA
Da mesma forma que flexional, existe Ncrit torcional
especialmente para eixos d << L.
neste caso - rigidez torcional
(eixo em balanço) - inércia do disco
G - mod. Elast. Transv.
8
²
d
m
I
L
GJ
k t
t


I
kt
I
k
N t
crittorc

30


46. 30.10.23 46