Determinante

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Determinante

  1. 1. Determinante é uma função que associa um escalar a uma matriz quadrada. É um importante conceito matemático, usado, por exemplo, na solução de sistemas de equações lineares. Símbolos e determinantes de segunda ordem | Topo pág | Fim pág | Na forma compacta, o determinante de uma matriz quadrada A é simbolizado por det(A) #1.1#. O determinante também pode ser representado pelos elementos da matriz, com a substituição dos colchetes por barras verticais. Seja, por exemplo, uma matriz 2×2, A seguir, os símbolos mencionados e a operação aritmética que define o determinante da matriz. #A.1# O determinante acima é de segunda ordem, em razão da dimensão da matriz.
  2. 2. Determinantes de ordens superiores | Topo pág | Fim pág | Determinantes de terceira ordem ou superior podem ser calculados por decomposição. Seja uma matriz genérica 3×3: Considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz. Cada elemento dessa linha é multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e da coluna que passam pelo elemento. E o determinante da matriz 3×3 é a soma dessas parcelas, considerando sinal positivo para coluna ímpar e negativo para coluna par. Na operação acima, os determinantes de segunda ordem são calculados de acordo com fórmula do tópico anterior. Com a aplicação desse procedimento em cascata, determinantes de quaisquer ordens podem ser calculados.
  3. 3. Algumas propriedades dos determinantes | Topo pág | Fim pág | #A.1# Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas. #B.1# Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal. #C.1# Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou uma linha ou coluna é nula, o determinante é nulo (k é um número qualquer). #D.1# Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência. #E.1# Um determinante não se altera se, aos elementos de uma linha ou coluna, são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna. #F.1# det(A B) = det(A) det(B) #G.1# det(kIn) = kn . Portanto, det(kA) = kn det(A), onde A é uma matriz n×n #H.1# det(A−1 ) = [ det(A) ]−1 #I.1# det(AT ) = det(A)
  4. 4. Determinantes e equações lineares | Topo pág | Fim pág | Determinantes podem ser usados para resolver sistemas de equações lineares. Seja, como exemplo, um sistema de 3 equações e 3 incógnitas: Em termos de matrizes, ele pode ser escrito como A X = B. Ou na forma expandida: A: matriz dos coeficientes. X: matriz das incógnitas. B: matriz dos termos independentes. As matrizes A1, A2 e A3 são formadas pela substituição, na matriz A, da primeira, segunda e terceira colunas pela coluna da matriz B.
  5. 5. E a solução do sistema é: x1 = det(A1) #A.1# det(A) x2 = det(A2) #A.2# det(A) x3 = det(A3) #A.3# det(A) Naturalmente, para que o sistema tenha solução, o determinante da matriz A não pode ser nulo, isto é, det(A) ≠ 0.

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