Ipaee capitulo 6_slides

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010

EXPERIMENTOS
FATORIAIS


OBJETIVO:

Verificar o efeito conjuntos de dois ou mais fatores sobre
uma dada resposta

SITUAÇÃO:

Tratamentos em estudos são resultados das combinações
dos valores dos diferentes níveis dos fatores em estudo

EXPERIMENTOS FATORIAIS


EXEMPLO:

Deseja-se verificar o ganho de peso de animais de diferentes
raças considerando-se diferentes tipos de ração

Fatores: Raça do animal e Tipo de ração.

Tratamentos: Combinações entre as diferentes raças a serem
utilizadas e os diferentes tipos de rações.



IMPORTANTE:

Um experimento fatorial pode ser conduzido tanto num
experimento completamente aleatorizado, quanto num
experimento aleatorizado em blocos, ou quadrado latino,
entre outros.

PROBLEMA:
Quando o número de fatores cresce, cresce o número de
combinações entre níveis dos fatores dificultando, muitas
vezes, a instalação do experimento.



ESTRUTURA ENTRE FATORES:

FATORES: CRUZADOS

EFEITOS: FIXOS



EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS

CARACTERÍSTICA:
Os níveis de um fator são combinados com todos os níveis do
outro (dos outros) fator(es).
F a to r A A1 A2 A3
Exemplo:
Fator A : Raça do Animal A1, A2, A3
Fator B : Tipo de Ração B1, B2
F a to r B B1 B2

Tratamentos: A1B1, A1B2, A2B1,A2,B2, A3B1,A3B2


EFEITOS FATORIAIS UMA SITUAÇÃO
F2
Fator 1 : A1, A2 F1 Total
B1 B2
Fator 2 : B1, B2 A1 20 30 50
A2 40 52 92
Total 60 82 142

QUESTÕES:
Os fatores F1 e F2 apresentam efeito conjunto ou são “independentes”?
O Fator F1 apresenta efeito significativo?
O Fator F2 apresenta efeito significativo?



RESPOSTA:

Estudo dos efeitos do modelo:

Efeito de Interação

Efeito Principal de F1 (1º Fator)

Efeito Principal de F2 (2º Fator)



QUESTÃO:

Como identificar/interpretar estes efeitos?



GEOMETRICAMENTE

F2
F1 Total
B1 B2
A1 20 30 50
A2 40 52 92
Total 60 82 142



F2 EFEITOS PRINCIPAIS:
F1 Total
B1 B2
A1 20 30 50 Efeito específico de cada fator,
A2 40 52 92 ou ainda, alteração que ocorre
Total 60 82 142 na variável resposta a partir da
troca de níveis do fator.
A = [(40+52)/2] – [(30+20)/2] = 21
B = [(30+52)/2] – [(40+20)/2] = 11

A mudança do nível A1 para o nível A2 do fator 1
produz um acréscimo de 21 unidades na variável
resposta.
A mudança do nível B1 para o nível B2 do fator 2
produz um acréscimo de 11 unidades na variável
resposta.


EFEITOS INTERAÇÃO
F2
F1 Total
B1 B2 Alteração produzida na variável
A1 20 30 50 resposta a partir da mudança de
A2 40 52 92
Total 60 82 142 níveis de um fator dentro dos
diferentes níveis do outro fator.

Comportamento de um fator é praticamente o
mesmo nos diferentes níveis do outro fator, isto
é: A(B1) = 20 22 = A(B2), por outro lado,
B(A1) = 10 12 = B(A2).



CONCLUSÃO:
Não existe interação Um
fator não influência nos
resultados obtidos pelo outro
fator. O efeito principal de A
é [(20+22)/2] = 21
desconsiderando o fator B e o
efeito de B é [(10+12)/2]= 11
independente do efeito de A.

F2
F1 Total
B1 B2
A1 20 30 50
A2 40 52 92
Total 60 82 142 EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS


SEGUNDA SITUAÇÃO
F2
F1 Total
B1 B2
A1 20 30 50
A2 40 52 92
Total 60 82 142

F2
Total
F1 B1 B2
A1 20 40 60
A2 50 12 62
Total 70 52 122



SEGUNDA SITUAÇÃO Efeitos Principais:
F2 A = [(50+12)/2] – [(20+40)/2] = 1
Total B = [(40+12)/2] – [(50+20)/2] = -9
F1 B1 B2
A1 20 40 60
Efeito da Interação:
A2 50 12 62
A (B1) = 50 – 20 = 30
Total 70 52 122
A (B2) = 12 – 40 = -28
B (A1) = 40 – 20 = 20
B (A2) = 12 – 50 = -38

O comportamento de um fator
não é o mesmo para os



GEOMETRICAMENTE

F2
Total
F1 B1 B2
A1 20 40 60
A2 50 12 62
Total 70 52 122



COMPARANDO:

curvas paralelas não existe interação curvas não paralelas existe interação



IMPORTANTE

Os gráficos de interação podem apresentar diferentes
comportamentos. Em geral, quando as retas são paralelas,
não existe interação. Quando as retas se cruzam ou não são
paralelas, pode ser que exista interação. Tudo depende da
magnitude da interação e do erro experimental.

Nem sempre retas cruzadas indicam interação.



ALGUMAS
DIFERENTES
SITUAÇÃO:



EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES

TWOWAY



EXEMPLO:
Um agrônomo está interessado em investigar o efeito da
adubação nitrogenada em dois niveis (N0 e N1) e fostatada
também em dois níveis (P1 e P2) numa determinada cultura. Os
resultados do experimento são apresentados na tabela abaixo:

Fosfato
Nitrogênio P0 P1
N0 1.00 1.60 3.20 4.50
1.20 1.30 5.60 5.50
1.30 4.40
N1 1.50 2.30 3.80 5.00
1.10 1.40 6.00 6.20
1.60 4.80

EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS


OBSERVANDO OS DADOS:



INTERAÇÃO: Questões:
1. O rendimento da cultura dado um
nível de nitrogênio independe do
nível de fosfato?
2. Existe efeito de nitrogênio e de
fosfato no rendimento da cultura?

Do ponto de vista estatístico:
1. . Existe interação entre os
fatores?
2. Os efeitos principais são
significativos?



CASO GERAL
Consideremos
Fator A a níveis ì = 1, ..., a
Fator B b níveis i = 1, ..., b
nij = número de observações para cada nível i do fator A e j do
fator B

nij = n ij experimento balanceado



CASO GERAL
Fator B
Fator A 1 2 … b
1 y111, y121, … y1b1,
y112,…,y11n y122,…,y12n y1b2,…,y11n
2 Y211, Y221, … Y2b1,
y212,…,y21n y222,…,y22n y2b2,…,y2bn
… … … … …
a Ya11, Ya21, … Yab1,
ya12,…,ya1n ya22,…,ya2n yab2,…,yabn

A mesma estrutura de um experimento com um fator
aleatorizado em blocos. Porém temos objetivos e
interpretações diferentes.



EFEITOS
Fator Efeito Efeito Efeito
A Fixo Aleatório Fixo Aleatório
B Fixo Aleatório Aleatório Fixo
Modelo I Modelo II Modelo III
Modelo Efeitos Efeitos
Efeitos Mistos
Fixos Aleatórios



MODELO DE EFEITOS FIXOS
yijk = + i + j +( )ij + ijk
onde:
yijk= variável resposta de comparação
= efeito comum independente dos fatores
i = efeito principal do i-ésimo nível de A: i = 1, ..., a
j = efeito principal do j-ésimo nível de B: j = 1, ..., b
( )ij = efeito da ij-ésima interação: i = 1, ..., a; j = 1, ..., b
ijk = erro aleatório: i = 1, ..., a; j = 1, ..., b; k = 1,2,...n

Suposição: 2
ijk ~ N(0, )



Modelo na presença de blocos:

yijk = + i + j +( )ij + k + ijk

k = efeito do k-ésimo bloco k: i = 1, ..., k

Obs: Considerando uma observação por tratamento por bloco;



HIPÓTESES DE INTERESSE:
Efeito de Interação:

Efeitos Principais:



HIPÓTESES DE INTERESSE: Procedimento de Análise:

Efeito de Interação: 1. Analisar inicialmente o efeito
de interação do modelo:

SIGNIFICANTE: verificar o efeito
Efeitos Principais: de um fator dentro dos
Efeitos principais devem ser
desconsiderados.

NÃO SIGNIFICANTE: Analisar os
efeitos principais.



ANÁLISE DE VARIÂNCIA:
PARTIÇÃO DA SOMA DE QUADRADOS:

SQT = SQM + SQE = SQA + SQB + SQAB + SQE



GRAUS DE LIBERDADE

Componente GL
Total abn-1
A a-1
B b-1
AB (a-1)(b-1)
Erro ab(n-1)


TABELA ANOVA
Fonte de Graus de Soma de Quadrados E(QM)* F
Variação Liberdade Quadrados Médios
Modelo ab-1 SQM SQM/ab-1
A a-1 SQA

B b-1 SQB

AB (a-1)(b-1) SQAB

Erro N-a SQE
Total N-1 SQT - -


ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS
Estimadores:

(valor predito para ijk-ésima das observações é a média das n
observações nas combinações i e j).



ADEQUABILIDADE DO MODELO

Gráfico Normal Probabilístico (normalidade)
Gráfico de Resíduos x Predito (homocedasticidade e aleatoriedade)
Gráfico de Resíduos x Fatores (aleatoriedade)



ANÁLISE DE VARIÂNCIA: COMPARAÇÕES MULTIPLAS
1. Quando rejeitado Ho, como identificar diferenças?

Interação não significativa não rejeito Ho

Analisar cada um dos efeitos principais, considerando os
procedimentos de um experimento de 1 fator.

Interação significativa rejeito Ho

alternativas:
1. comparar as médias de um fator dentro dos níveis do outro fator;
2. aplicar comparações múltiplas para as combinações dos tratamentos


ANÁLISE DE VARIÂNCIA: EXEMPLO
Um agrônomo está interessado em investigar o efeito da adubação
nitrogenada em dois níveis (N0 e N1) e fosfatada também em dois
níveis (P1 e P2) numa determinada cultura. Os resultados do
experimento são apresentados na tabela abaixo:
Fosfato
Nitrogênio P0 P1
N0 1.00 1.60 3.20 4.50
1.20 1.30 5.60 5.50
1.30 4.40
N1 1.50 2.30 3.80 5.00
1.10 1.40 6.00 6.20
1.60 4.80



Sum of
Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F

Model 3 61.10550000 20.36850000 37.98 <.0001

Error 16 8.58000000 0.53625000

Corrected
19 69.68550000
Total

R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean

0.876875 23.13715 0.732291 3.165000




Mean
Source DF Type I SS Square F Value Pr > F

Nitrogênio 1 0.84050000 0.84050000 1.57 0.2286

Fosfato 1 60.20450000 60.20450000 112.27 <.0001

Nitro*Potas 1 0.06050000 0.06050000 0.11 0.7413

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

Nitrogênio 1 0.84050000 0.84050000 1.57 0.2286

Fosfato 1 60.20450000 60.20450000 112.27 <.0001

Nitrogênio*Fosfato 1 0.06050000 0.06050000 0.11 0.7413



Y
Level of
Nitrogênio N Mean Std Dev
1 10 2.96000000 1.89220624
2 10 3.37000000 2.01717624

Y
Level of
Fosfato N Mean Std Dev
1 10 1.43000000 0.36530049
2 10 4.90000000 0.95916630




Há necessidade da realização de comparações múltiplas?

Y
Level of
Fosfato N Mean Std Dev
1 10 1.43000000 0.36530049
2 10 4.90000000 0.95916630



EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL:

SITUAÇÃO:
O número de fatores a serem investigados no experimento é
maior que 2. Todos estes fatores são cruzados, isto é, níveis de um
fator “combinam” com os níveis de todos os demais fatores. As
diferentes combinações obtidas definem os “tratamentos” a serem
aleatorizados as unidades experimentais. O número de tratamentos
é dado pelo produto do número de níveis de cada fator.



A : 2 níveis = a1,a2
B : 3 níveis = b1,b2,b3 Fatorial 2 x 3 x 2
C : 2 níveis = c1, c2

Tratamentos = 12
a1b1c1, a1b1c2, a1,b2,c1, a1b2,c2, a1b3c1,a1b3c2
a2b1c1, a2,b1c2, a2b2c1, a2b2c2, a2b3c1, a2b3c2




Efeitos Principais A, B, C
Efeitos de interação de 2 fatores AB, AC, BC
Efeito de interação de 3 fatores ABC




NÚMERO DE EFEITOS:

Efeitos com a presença de j fatores:

Caso anterior:

j = 1 Efeitos Principais: 3 Efeitos Principais:

j = 2 Efeitos Interações 2: 3 interações 2 fatores

j = 3 Efeitos Interações 2: 1 interação 3 fatores



PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE

Iniciar o teste dos efeitos sempre pelos efeitos com a
presença de um maior número de fatores (interação de
maior ordem):

Rejeição Ho : não devem ser observados os efeitos com
menor número de fatores;

Não-rejeição Ho : testar efeitos com menor número de
fatores.



EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL: MODELO DE EFEITOS FIXOS:
SITUAÇÃO:
Todos os fatores presentes no estudo apresentam efeito fixo,
isto é, a inferência a ser realizada esta restrita aos níveis dos fatores
utilizados no experimento.

ANOVA:
A análise de variância é feita de forma usual, com a devida
partição da variabilidade total e com as estatísticas F tendo como
denominador o QME

Adequabilidade do Modelo, Comparações Múltiplas e Estimação
dos Parâmetros:
Também seguem os procedimentos vistos para o caso de dois
fatores (twoway). EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS


Modelo:

yijkl = + i + j + ( )ij + k +( )ik + ( )jk + ( )ijk + ijkl

yijk= variável resposta de comparação
= efeito comum independente dos fatores
i = efeito principal do i-ésimo nível de A: i = 1, ..., a
j = efeito principal do j-ésimo nível de B: j = 1, ..., b
( )ij = efeito ij-ésima interação de AB: i = 1, ..., a; j = 1, ..., b
k = efeito principal do k-ésimo nível de C: k= 1, ..., c
( )ik = efeito da ik-ésima interação de AC. i = 1, ...,a; k = 1, ...,c
( )jk = efeito da jk-ésima interação de BC. j = 1, ...,b; k = 1, ...,c
( )ijk = efeito da ijk-ésima interação de ABC. i = 1, ...,a; j = 1, ...,b; k= 1, ...,c
ijk = erro aleatório: i = 1, ..., a; j = 1, ..., b; k = 1, ...,c; l = 1, ...,n


Suposição:
2
ijk ~ N(0, )

Modelo com blocos:

yijkl = + l + i + j +( )ij + k +( )ik + ( )jk + ( )ijk + ijkl

l = efeito do l-ésimo bloco k: i = 1, ..., l



HIPÓTESES:


Exemplo:
Certa indústria química está estudando uma dada reação. Três fatores são
considerados importantes na composição desta reação: Temperatura,
Concentração e Catalisador. Um experimento fatorial, completamente
aleatorizado com fatores cruzados, foi realizado para se verificar o efeito
destes fatores na qualidade final da reação. Em função de estudos
anteriores os seguintes níveis dos fatores foram fixados: Temperatura 160
e 180 oC; Concentração 20 e 40%; Catalisador C1 e C2. O tempo de reação
para duas reações de cada uma das combinações dos níveis dos fatores
foi observado e os resultados obtidos São apresentados na tabela abaixo.
Quanto menor o tempo de reação melhor é a qualidade da reação.


Temperatura Concentração Catalisador Y
C1 59 61
20
C2 50 64
160
C1 50 58
40
C2 46 44
C1 74 70
20
C2 81 85
180
C1 69 67
40
C2 79 81



Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 7 2635.000 376.42857 47.05 <.0001

Error 8 64.00000 8.000000

Corrected
15 2699.000
Total



R-Square Coeff Var Root MSE y Mean

0.976288 4.402221 2.828427 64.25000

Mean
Source DF Type I SS Square F Value Pr > F

temp 1 2116.000000 2116.000000 264.50 <.0001

conc 1 100.000000 100.000000 12.50 0.0077

temp*conc 1 9.000000 9.000000 1.13 0.3198

cata 1 9.000000 9.000000 1.13 0.3198

temp*cata 1 400.000000 400.000000 50.00 0.0001

conc*cata 1 0.000000 0.000000 0.00 1.0000

temp*conc*cata 1 1.000000 1.000000 0.13 0.7328



y LSMEAN
temperatura cata LSMEAN Number

160 C1 57.000 1

160 C2 48.500 2

180 C1 70.000 3

180 C2 81.500 4


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