1. Eletricidade
Aplicada
Aulas Teóricas
Professor: Jorge Andrés Cormane
Angarita

2. Circuitos em CA
Números Complexos

3. Introdução
Um número complexo z é definido como a soma de um número real e
um número imaginário, da forma z=x+jy, onde x e y são número reais e
j=-1.
Os números complexos podem ser escritos de quatro formas diferentes
 Retangular  z = x + jy
 Polar  z = r
 Exponencial  z = rej
 Trigonométrica  z = r(cos + jsin)
3

4. Introdução
Os números complexos podem ser representados graficamente como
 Pontos em um sistema de coordenadas retangulares, conhecido
como plano complexo, que possui um eixo real e outro imaginário.
 Segmentos de reta, que ligam a origem do plano complexo ao o
ponto que representa o número complexo. O ângulo do segmento
de reta, é medido no sentido anti-horário a partir do semieixo real
positivo.
4
22
yxr 
 
 
 
 















0,0tan2
0,0tan
0,0tan
0,0tan
1
1
1
1
yx
yx
yx
yx
x
y
x
y
x
y
x
y




 zx Re
 zy Im

5. Operações
 Soma e subtração, é feita na representação retangular.
 Multiplicação e Divisão, pode ser feita na representação retangular.
5
       2121221121 yyjxxjyxjyxzz 
222111 jyxzjyxz 
      21212121221121 yyxxjyyxxjyxjyxzz 
   
 
   
2
2
2
2
21212121
22
22
22
11
22
11
2
1
yx
yxxyjyyxx
jyx
jyx
jyx
jyx
jyx
jyx
z
z











222111 jyxzjyxz 

6. Operações
 Multiplicação e Divisão, pode ser feita na representação polar.
 Conjugado
6
222111   rzrz
    2121221121   rrrrzz
21
2
1
22
11
2
1







r
r
r
r
z
z
 rjyxz*

7. Operações
 Relações úteis
7
 
 
 
 
j
ee
ee
zzzz
zzzz
zjzz
zzz
rzz
jj
jj
2
sin
2
cos
Im2
Re2
*
2
*
1
*
21
*
2
*
1
*
21
*
*
2*



















901
901
18011
011
j
j
nn
jj
jjjj
jjj
jjjj
j
jj








4
45
224
23
2
1
1
1


8. 8
Exercício A11_01 – Considere o numero complexo Z representado pelas
formas retangular, polar e exponencial, conforme abaixo.
Mostre que
Exercício A11_02 – Apresente as condições necessárias e suficientes para que
o número z  C,
com (x2+jy2)0, seja (a) real puro e (b) imaginário puro.

 j
zezjyx z
   
  

sincos
tan 122
zyezxb
eyxa x
y

 
z
22
11
jyx
jyx
z




9. 9
Exercício A11_03 – Considerando os números complexos
interprete geometricamente as operações: (a) Z1 + Z2 e (b) Z1 – Z2.
Exercício A11_04 – Mostre que para toda matriz 2x2 não singular, tem-se:
Exercício A11_05 – Determine os valores de x e y na equação
Exercício A11_06 – Determine os valores de r e θ na equação
222111   zez zz
















ac
bd
bcaddc
ba 1
1
4
20
15 j
e
jyx


   2553 jjr 

10. 10
Exercício A11_07 – Resolva as operações
Exercício A11_08 – Resolva os sistemas lineares
 
     
  
      6
3
10
43
403510
5342
435040
205040
*


j
j
ej
j
j
c
jj
j
b
ea







      
  
 
 
1
1
15
32610
453016
1043020
32208467
80603016075240




















j
jj
f
e
j
j
d
 
 


























































jx
x
x
jj
j
jj
b
e
x
x
j
jj
a
j
1
0
902
11
015
3201
015
32610
3
2
1
2
1
2
