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2Variação de temperatura durante a construção das barragensO calor liberado durante a reação de hidratação do cimento (que...
3Mais tarde passou-se a utilizar água gelada (até agregados refrigerados) para inibir a subida datemperatura durante a hid...
4simplicidade com o traçado das linhas isotérmicas (caso de campo bidimensional, ou campo 2D) ou dassuperfícies isotérmica...
5§02 – HIPÓTESES ADOTADAS.- Ponto fixo e sistema global de referência.A estrutura (total ou parcial) de um bloco de uma ba...
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10medianas e bimedianas de um tetraedro concorrem no seu baricentro G, o qual se encontra à meiadistância dos pontos médio...
11Assim, um “balanço de energia térmica”, a ser verificado em cada tetraedro, deve também serverificado para cada hexaedro...
12calorífica interna intenE desse elemento é dm c dT/dt. Como T não varia com o ponto na massa dm, éconveniente a represe...
13Mostraremos agora que para a determinação do campo de temperaturas no corpo da estrutura, éconveniente conhecer-se o que...
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20APÊNDICE 1VETORES RECÍPROCOSSejam a, b, ...vetores e A, B ... escalares. Suporemos conhecidas as operações de adição dev...
21Denotando-se por D o vetor área da face oposta ao vértice comum ao terno a, b e c, podecomprovar-se que:0 DCBA ,isto...
22APÊNDICE 2TETRAEDRO DE VOLUME ¼ DO VOLUME DE OUTRO
23Cálculo cartesiano dos vetores recíprocos de cada tetraedro.Vamos listar os vértices de cada tetraedro em que foi subdiv...
24iwiwkwkwj1ZYZY21A  ,iwiwkwkwj2ZXZX21A  eiwiwkwkwj3YXYX21A  .jwjwiwiwk1ZYZY21A  ,jwjwiwiwk2ZXZX21A  ejwjwiwiwk3YX...
25Expressões análogas a (5.01) podem ser escritas para os deslocamentos dos demais nós, já expressos emfunção dos vetores ...
26Somando esses vetores, e expressando essa soma em forma matricial, vem: wlkjiwlwkwjwiwlwkwjwiwTTT...
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  1. 1. 1DETERMINAÇÃO DOS CAMPOS 3D DETEMPERATURAS E DESLOCAMENTOSEM ESTRUTURAS DE CONCRETO MASSA FRESCO,COM ELEMENTOS FINITOS TETRAÉDRICOS1 – INTRODUÇÃO (AOS CÁLCULOS TÉRMICOS)Os aglomerantes são os principais os componentes de um concreto, destacando-se entre esses o cimento.A água de amassamento do concreto hidrata o cimento por reação química transformando o conjunto(cimento, água e agregados), inicialmente pastoso nos instantes iniciais - quando é denominado concretofresco - em um esqueleto de natureza sólida poucas horas mais tarde, quando então é denominadoconcreto endurecido. Eis ai um fenômeno sobre o qual se deitam prosas e se articulam sinais com oobjetivo de prever-se o comportamento do concreto quando utilizado como um material de construção; epelo menos três períodos de vida podem ser destacados: as primeiras horas ou dias (concreto jovem), osprimeiros meses ou anos (maturidade) e a velhice.O variar dos elementos componentes do concreto, em quantidade e natureza, altera-lhesubstancialmente as propriedades ao longo do tempo. Algumas dessas propriedades em geral sãodesejáveis, como: resistência, impermeabilidade etc. que aumentam desde tenra idade e se prestam bem acertas aplicações; outras em geral são indesejáveis, como: a dilatação térmica, decorrente da reação(exotérmica) de hidratação do cimento e a retração hidráulica, decorrente da secagem do concretoquando exposto a umidade abaixo da condição de saturação.Concretos relativamente pobres em quantidade de cimento, mas usados em grandes volumes –ditos concretos massa – têm larga aplicação na construção de barragens, em fundações de pontes, grandesedifícios, cais de portos e outras obras. Outros concretos, relativamente ricos em quantidade de cimento eaplicados em pequenos volumes para moldar corpos de pequenas dimensões (elementos estruturais) –ditos concretos de alto desempenho – são utilizados em estruturas relativamente esbeltas. Em ambos oscasos pode ocorrer a fissuração do concreto como conseqüência da dilatação térmica.De outro lado, concretos fabricados com agregados inadequados podem perder resistência aolongo da vida, verificada de forma apreciada na maturidade e na velhice; é motivada pela reação vagarosados sulfetos e outros compostos, presentes nesses agregados, com os álcalis constituintes do cimento; masdesse fenômeno não nos ocuparemos aqui.As barragens de concretoAs barragens de concreto, em geral devido à sua grande altura e volume, são moldadas em“blocos” contíguos, havendo os “blocos do vertedouro”, os “blocos da tomada d’água”, os “blocos dosmuros de transição” etc. Tais blocos têm comumente a forma aproximada de um prisma de geratrizeshorizontais (paralelas ao eixo da barragem) com 10 a 20 m de comprimento e seção vertical em trapézio.Esse trapézio (a seção da barragem) em geral é um trapézio retângulo, a distância entre seus ladosparalelos sendo dita a altura da barragem. Os blocos são moldados em camadas sucessivas sensivelmentehorizontais com até 2m de espessura (ou altura) podendo, em dado instante durante a construção, umbloco estar mais alto que outro, seja este vizinho ou distante do primeiro, tudo dependendo doplanejamento de concretagens elaborado.Do ponto de vista construtivo, as camadas são escolhidas, em geral e em princípio, um tantoaleatoriamente, ao sabor do desejo do planejador e mais tarde, em função dos acontecimentos enecessidades detectadas durante a construção, o que implica mudanças até freqüentes nos planos deconcretagem dos vários blocos.Cada alteração de plano de concretagem acarreta um modo de manifestação das dilataçõestérmicas e seus efeitos.
  2. 2. 2Variação de temperatura durante a construção das barragensO calor liberado durante a reação de hidratação do cimento (que ocorrerá durante alguns dias)provoca aumento de temperatura na massa de concreto que se vai formando (para moldar o sólidodesejado). Assim, para dada massa de concreto já posto nas formas que moldam o sólido em construção(operação denominada por vezes de cofragem), a temperatura variará de uma região para outra a todoinstante. De fato, porque parte do calor de reação poderá ser dissipado desigualmente na atmosfera sejapelo ar, através das formas, por contato com concreto já existente e, geralmente, com a rocha defundação.Nas barragens as chamadas camadas de concreto têm espessuras L não maiores que 2,5m evolumes V entre 1.000 e 2.000m3. A reação de hidratação do cimento já acontece no instante em que seinicia a fabricação do concreto e em geral este é lançado nas formas em até 20 minutos durante os quaisse despreza, sem erro apreciável, o calor dissipado pelas caçambas dos transportadores. Em outraspalavras: no tocante a perda de calor, concreto fabricado é, praticamente, concreto lançado nas formas.A operação de concretagem de uma camada – lançamento de V m3de concreto nas formas – éfeita pelo lançamento de camadas sucessivas (sub-camadas) de espessura e de cerca de 20 a 30 cm e podedemorar um tempo t em torno de 10 horas. Durante esse período boa quantidade Q do calor gerado podeser dissipada na atmosfera. Uma hipótese que pode ser adotada em um modelo para previsões de evoluçãoda temperatura, sem erro apreciável, consiste em admitir: 1 - que cada sub-camada de concreto sejalançada instantaneamente, logo, sem perda alguma quantidade q de calor; 2 - que entre duas camadassucessivas ocorra um tempo de lançamento fictício durante o qual a mesma quantidade q de calor serádissipada em condições próximas daquelas ocorridas durante o lançamento (e que são de simulação fácil).Para V=1.500m3com L=2,0m, por exemplo, t=8 horas, e=25cm e um bloco de 15mx50m com750m2de área, cada subcamada terá um volume de 187,5m3que ficará exposto ao ar em torno de umahora até ser coberta pela sub-camada seguinte. Ao final da segunda hora após o início da concretagem daprimeira as condições de dissipação do calor ainda em geração na primeira camada são outras. E assimsucessivamente até a última camada. A concretagem de uma segunda grande camada de, digamos,L=1,7m sobre a primeira, poderá ocorrer algumas horas depois ou até alguns dias depois. Vê-se, por ai,que o quadro "variação de temperatura" em um ponto qualquer de uma estrutura em construção pode serextremamente variável e só pode ser previsível depois de fixadas algumas das variáveis envolvidas.Efeitos da variação da temperaturaConsideremos uma camada de concreto em execução e nela, a certa profundidade h, um cuboimaginário (do mesmo concreto) com um par de faces horizontais. Esse cubo deve ter dimensõesadequadas de forma que suas propriedades sejam estatisticamente as mesmas do concreto em lançamento.Inicialmente as tensões verticais (de compressão) sobre as faces consideradas, devidas exclusivamente aopeso próprio do concreto, poderiam ser estimadas pela expressão h uma vez que o concreto ainda é bemfluido. À medida que o concreto endurece (formando o esqueleto) e a temperatura cresce, as mencionadastensões aumentam de valor porque além do peso próprio do concreto (que não foi substancialmentealterado) a expansão térmica atua empurrando o cubo para cima. O mesmo “empurrão” acontece emqualquer direção. Em tenra idade o concreto apresenta pequeno módulo de elasticidade e grande fluência(deformação sobre carga constante); a tensão de compressão que ocorre durante certo tempo, associadacom a temperatura em elevação, é pequena. Entretanto, quando a temperatura começar a diminuir (porexemplo, por queda da temperatura exterior ao sólido), mesmo depois de o módulo ter aumentado eatingido certo valor, poderão ocorrer tensões de tração. Estas tensões são as “tensões térmicas” - comosão chamadas ordinariamente as tensões de origem térmica – e devem ser controladas, pois se elevadasacima da capacidade do concreto de resisti-las (por tração), provocam fissuras no interior do mesmo. Éfácil entender que tais fissuras podem comprometer seriamente, de alguma forma, o desempenho daestrutura ao longo do tempo; por exemplo: provocando perda de resistência do concreto, diminuindo suaimpermeabilidade e facilitando a corrosão de armaduras.Os métodos de dosagem dos concretos vêm sendo desenvolvidos desde a sua descoberta. Ocombate ao fenômeno bem idoso da fissuração do concreto jovem, decorrente de tensões de origemtérmica, já vem sendo executado desde os anos 1930 pela adição de certas pozolanas (cinzas) à mistura.
  3. 3. 3Mais tarde passou-se a utilizar água gelada (até agregados refrigerados) para inibir a subida datemperatura durante a hidratação, com isso conseguindo-se variação relativamente pequena detemperatura e, conseqüentemente, tensões térmicas de tração suportáveis pelo concreto nessas idades.Todas essas ações de combate aos efeitos térmicos, entretanto, podem ser bastante onerosas, o que poderestringir o uso desse material de construção.A aplicação dos concretos sem estudos preliminares pormenorizados, criteriosos e ajuizadospodem resultar em economias momentâneas ilusórias. O tempo mostrará as conseqüências fatídicas daaventura adotada e serão reveladas, na melhor das hipóteses, pelos altos custos materiais dos reparos.As bases dos cálculos térmicosUm sólido em “estado de concretagem” é, pois, um campo transiente de temperaturas1. Porhipótese (que se verifica experimentalmente para as condições habituais) esse sólido é elástico a todoinstante, isto é, ele se comporta a todo instante como o sólido da Teoria da Elasticidade. Como seuspontos se deslocam (desigualmente) no espaço, é também um campo de deslocamentos, logo um campode deformações e, portanto, sendo válida a lei de Hooke, um campo de tensões. Assim, o maior valorprincipal de tração do tensor das tensões num ponto de tal sólido é que deverá ser utilizado para verificarse ali poderá ocorrer ou não fissura. Esses campos podem e devem ser calculados com a finalidade deprever situações; a esses cálculos dá-se o nome genérico de cálculos térmicos.O problema dos cálculos térmicos é, a princípio, algo complexo, pois depende das condições detrabalho do elemento estrutural em moldagem. Observe-se, entretanto, que, em geral, durante um temporelativamente grande pós concretagem, além das tensões térmicas atuam tensões apenas devidas ao pesopróprio do concreto (o sólido ainda não está desempenhando suas funções normais como a de resistir aempuxo hidrostático e cargas diversas). Vê-se, assim, que o problema é mais simples uma vez que avertical é uma direção principal do tensor (instantâneo) das tensões em qualquer ponto. Além disso, comoem nenhum instante o sólido trabalha além do seu limite de elasticidade, podem somar-se(algebricamente, em forma tensorial) as tensões decorrentes dos vários esforços solicitantes.As barragens, entretanto, devido à sua grande altura e volume de concreto, são moldadas em“blocos”, havendo os “blocos do vertedouro”, os “blocos da tomada d’água”, os “blocos dos muros detransição” etc. Tais blocos têm comumente a forma aproximada de um prisma com quatro geratrizeshorizontais (paralelas ao eixo da barragem) com 10 a 20 m de comprimento e seção vertical em trapézio.Esse trapézio (a seção da barragem) em geral é um trapézio retângulo, a distância entre seus ladosparalelos sendo dita a “altura” da barragem. Os blocos são moldados em camadas sucessivassensivelmente horizontais de até 2m de espessura (ou altura) podendo, em dado instante durante aconstrução, um bloco estar mais alto que outro, seja este vizinho ou distante do primeiro, tudodependendo do planejamento de concretagens elaborado. Do ponto de vista construtivo, estas camadassão escolhidas, em geral e em princípio, um tanto aleatoriamente, ao sabor do desejo do planejador e maistarde, em função dos acontecimentos e necessidades detectadas durante a construção, o que implicamudanças até freqüentes nos planos de concretagem dos vários blocos. Essas alterações de curso deconcretagem, por implicarem diferentes condições de dissipação de calor, acarretam novos cálculostérmicos que têm sempre as mesmas finalidades, a cada situação correspondendo um campo detemperaturas, logo um campo de tensões.Do ponto de vista dos cálculos previsores, há que se considerar a grande variabilidade nageometria adota em um planejamento qualquer de concretagens. Assim, deve ser considerado que ascamadas possam ter espessuras diferentes, ter formas irregulares e podem ser executadas com concretosdiferentes; o que influi fortemente nos resultados finais. Uma camada pode apresentar todas as facesplanas, constituindo um tronco de prisma, ou um tronco de pirâmide; e/ou ter as faces curvas,constituindo um tronco de cilindro (uma abertura de seção circular horizontal como um poço, ou verticalcomo uma galeria), ou parte plana e parte curva (como uma galeria com paredes planas e teto cilíndrico).Para além dos cálculos térmicos existe o problema da forma de apresentação dos resultados quevise ao perfeito e rápido entendimento da solução encontrada. Para tal, a experiência mostra que éinteressante uma apresentação gráfica do campo de temperaturas que, por si só, já indica os pontos, ouregiões, onde possam ocorrer as indesejáveis fissuras de origem térmica. O campo todo é visto com muita1Campo é qualquer região do espaço a cada ponto da qual está associada uma propriedade (seja esta escalar, vetorial ou tensorial deordem elevada). Se a propriedade varia com o tempo, o campo é transiente; se não, é estacionário, ou permanente.
  4. 4. 4simplicidade com o traçado das linhas isotérmicas (caso de campo bidimensional, ou campo 2D) ou dassuperfícies isotérmicas (caso de campos tridimensionais, ou 3D). A apresentação do caso 2D érelativamente simples a atende um bom bocado de situações reais; a do caso 3D é mais complexa, porémnão tão freqüente quanto a primeira. O caso 1D consiste apenas do traçado do gráfico “temperatura versusdistância do ponto” onde é calculada a temperatura. Devem ser desenvolvidos alguns programascomputacionais para essa finalidade.Essas informações têm efeito didático sensível muito embora, na prática, venha interessar maisdestacadamente o ponto (ou região) de maior temperatura e o valor desta. De fato, pois se o concretoresistir aos esforços térmicos nessa região, oriundos de quedas de temperatura, certamente resistirá emqualquer outra.Do ponto de vista construtivo, por outro lado, é necessária certa velocidade de obtenção e deapresentação dos resultados para a definição do rumo do novo plano de concretagens. Esse é umproblema computacional que merece atenção especial em vista da dinâmica do processo construtivo quevisa aumento de produção de concretagens e diminuição de custos.Praticamente nada do que se pretende conseguir é possível sem: 1) – o perfeito entendimentoquímico e físico do fenômeno térmico em consideração; 2) - a formulação matemática real do campo, oumelhor, do sólido, com todas as suas particularidades, e das leis físicas regentes do fenômeno; aqui,química, física e matemática serão unidas mais uma vez para a resolução de um problema real; 3) –eficiência computacional, o que se consegue com as melhores linguagens de programação ecomputadores adequadamente configurados.Em vista das condições possíveis de exposição de uma camada de concreto, quais sejam: contatocom a rocha de fundação, com outra camada de concreto, contato com o ar e com a radiação solar, devemser estudadas e formuladas matematicamente as leis de transferência (ou troca) de calor por condução, porconvecção e por radiação. Mais tarde, estando cheio o reservatório, haverá ainda transferência de calorpor convecção entre o concreto da barragem e a água do reservatório, quando então novos campostérmicos serão estabelecidos na mesma. Nessa época, entretanto, alem dos deslocamentos devidos àvariação de temperatura (deslocamentos esses já bem suaves) deverão ser considerados aqueles devidosao empuxo das águas e à sub-pressão.Deste ponto em diante, ou seja, barragem com reservatório cheio, todos os campos (o térmico, o dedeslocamentos, o de deformações e o de tensões) deverão apresentar-se aproximadamente de acordo comum quadro teoricamente previsível durante o desenvolvimento conceitual do projeto. Mas isso só seráverificado se a obra for instrumentada, isto é, munida de instrumentos nela previamente instalados em“pontos” escolhidos adequadamente. Esses pontos são ditos pontos instrumentados. Os instrumentos vãofornecer informações convertíveis em valores de temperatura e deformações em geral. As fórmulas daTeoria da Elasticidade (ou Plasticidade etc) completarão as informações pelo cálculo de deslocamentos etensões naqueles pontos. É evidente que os pontos instrumentados pertencem a algumas camadas,constam de um projeto de instrumentação e surgirão durante a construção. Por isso mesmo, essesinstrumentos poderão ser usados também para confirmar os cálculos realizados para aquela época daconstrução. Os termômetros, particularmente, poderão confirmar as previsões dos cálculos térmicos.
  5. 5. 5§02 – HIPÓTESES ADOTADAS.- Ponto fixo e sistema global de referência.A estrutura (total ou parcial) de um bloco de uma barragem deve ter pelo menos um ponto fixo (docontrário poderia deslocar-se pelo espaço quando sujeita à ação de alguma força). Podemos adotar: esseponto O por origem de eixos, uma paralela ao eixo da barragem por eixo OZ ou OX3, suposto retilíneo, epor plano coordenado XY, ou X1X2, perpendicular a OZ (logo, um plano paralelo a uma seção plana dabarragem, com abscissa Z=X3=constante2). Os vetores unitários de base associados a esses eixos serãodenotados por iˆ ou 1ˆe , jˆ ou 2ˆe e kˆ ou 3ˆe . O sistema fixo de referência O-XYZ, ou O-X1X2X3 comseus vetores de base ({ iˆ , jˆ , kˆ }, ou { 1ˆe , 2ˆe , 3ˆe }) será dito “sistema global de referência”.- O corpo da barragem como um conjunto de elementos enumeráveisUtilizaremos aqui o método dos elementos finitos (MEF) e a Mecânica do Contínuo (MC) para aresolução do problema proposto. Esse método, aproximado por natureza, mas suficientemente exato paraos nossos propósitos práticos. Ele consiste em substituir o corpo “contínuo” de infinitos pontos da MC, nasua configuração de referência (no instante inicial), em um corpo ainda contínuo, mas composto pormilhares de pequenos elementos (logo, enumeráveis) de dimensões e formas adequadas – aqui, tetraedroscom ângulos diedros em geral menores que 90– ligados uns aos outros pelas faces. Esse problema –também dito “de geração de malha” - será aqui considerado satisfatoriamente resolvido de antemão pormeio de algum programa dedicado a essa finalidade.Com esse procedimento torna-se possível enumerar (a partir de 1) todos os vértices dos tetraedros,ditos os nós da estrutura, bem como todos os elementos tetraédricos (elementos finitos) que a compõem.Esses dois números em geral são grandes, mas depende da natureza do problema a resolver e de váriosoutros fatores. Com isso, é possível obter-se uma lista de todos os elementos numerados seqüencialmentee os números dos nós que os definem. É evidente, assim, que um nó dado ao acaso poderá pertencer avários elementos. Num dado instante durante a construção, cada elemento poderá estar vazio oupreenchido com um concreto de certa composição (traço) lançado em época conhecida, logo com certaidade na época em que se faz a análise. Essas primeiras observações sobre o corpo que está sendomoldado em concreto – um bloco de uma barragem – já permitem vislumbrar a complexidade doproblema em apreço: a previsão do “comportamento mecatérmico3” instantâneo (em qualquer instante)desse bloco.- Tetraedro e sistema local de referência.Vamos considerar um elemento tetraédrico qualquer dentre aqueles todos que, em número finito,compõem aproximadamente corpo da estrutura, tetraedro esse supostoconhecido pelas coordenadas dos seus nós (na configuração dereferência) em relação ao sistema global de referência O-X1X2X3ou O-XYZ. Vamos denotar esses nós por 1, 2, 3 e 4 e imaginar esses númerosdispostos nesta seqüência sobre uma circunferência e no sentido horário;as seqüências 123, 234, 341 e 412 e suas cíclicas são ditas positivas; asdemais (321, 432, 341 e 214) e suas cíclicas, negativas. O tetraedro serádito positivamente orientado (Figura 2.1) quando, olhando-se uma face –um triângulo - desde o vértice oposto de índice par (ou ímpar), aoimaginar-se o perímetro do triangulo percorrido no sentido horário, seusvértices sejam encontrados em alguma seqüência cíclica positiva (ou negativa).Elejamos, no instante t, o nó 4, por exemplo, de um tetraedro positivamente orientado, 4-123,como origem de um sistema local (não ortogonal) de coordenadas cartesianas, 4-xyz ou 4-x1x2x3, sendo4x14x dirigido segundo 41, 4x24y segundo 42 e 4x34z segundo 43 (Figura 2.1). Os vetores de origemem 4 e extremidades em 1, 2 e 3, denotados por r1, r2 e r3, serão adotados como vetores de base dessesistema. O ponto genérico R, interior ao tetraedro 4-123 e de vetor posicional r poderá, então, ser escritona forma em função das suas coordenadas xiem relação aos vetores da base local,2Não é difícil adotar um sistema adequado quando o eixo da estrutura é curvilíneo.3Contração de mecânico e térmico. Influências da temperatura na própria reação que a gera – implicando efeitos secundários nocomportamento do bloco - serão discutidas em publicações futuras.
  6. 6. 6ii332211xxxxR4 rrrrr  4, sendo, ainda, iix r.r , (i=1,2,3) (2.1),os riconstituindo os vetores recíprocos dos vetores da base local (ver Apêndice 1).Escreveremos ainda, em relação à base global:kk332211ˆXˆXˆXˆXˆZˆYˆXOR eeeekjiR  , (k=1,2,3) (2.1)1,ekkˆXˆZˆYˆXOR ekjiR   , (=1,2,3,4; k=1,2,3) (2.1)2.Então, observando-se que rr ˆˆ ee  porque a base { 1ˆe , 2ˆe , 3ˆe } é ortonormada, tem-se:jjrr4rjjrrrrx)ˆ(XˆxˆO4ˆ)4RO4(ˆX .ree.re.e.eR.  (r,j=1,2,3).Para r=1,2,3, podemos escrever, em forma matricial:321332313322212312111343242141xxxˆˆˆˆˆˆˆˆˆXXXXXX..re.re.re.re.re.re.re.re.re, (2.1)3,expressão pela qual podemos passar das coordenadas locais de um ponto para as coordenadas globais domesmo ponto. Sendo r4rjrj XXˆ e.r , tem-se também:321343334323431242324222421141314121411343242141xxxXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX. , (2.1)4.Modelos lineares para os campos.- Ao ponto genérico R de um elemento qualquer de uma camada qualquer podem estar associadaspropriedades: escalares, como a temperatura T interessada; vetoriais, como o deslocamento u; diádicas,como os tensores de tensões e deformações,  e e; triádicas etc. O corpo parcial da barragem (emqualquer época) é, pois, campo transiente dessas grandezas supostas definidas por funções de n-ésimaclasse, isto é, ela e suas n primeiras derivadas são funções unívocas e contínuas do ponto.- Vamos adotar modelos lineares de variação das grandezas no interior do elemento genérico enum instante qualquer. Isto significa que:para o campo de temperatura: 4TT  r.a , (2.2),com T=T4 para r=o e a vetor constante à determinar;para o campo de deslocamentos: 44. u.ruru   , (2.3);com u=u4 para r=o e  à determinar.Assim, T e u são, respectivamente, as transformações lineares (TL) de r mediante as constantes àdeterminar a e , no instante t.§03 – CONSIDERAÇÕES GEOMÉTRICAS E TÉRMICAS.Como o ponto genérico R é não exterior ao tetraedro 4-123, então, a todo instante, o volume (rrjrk)5, paraj,k=1,2,3 e jk, é nulo se r tem extremidade sobre o lado jk, ou igual a seis vezes o volume V do tetraedrose r=ri e ijk ou, ainda, é menor que (r1r2r3)=6V se r é interior ao triângulo 123. Por exemplo,conforme (2.1), no instante t,4Expressões monômias contendo índices repetidos representam somas cujas parcelas são obtidas dando ao índice repetido todos osvalores do seu campo de variação previamente estabelecido.5Ver Apêndice I sobre “Vetores”.
  7. 7. 7)()()(x32132321321rrrrrrrrrrr.r  ;logo 0x11 porque o volume VR423=(rr2r3) do tetraedro de vértices (R,4,2,3) é menor que o volumeV=(r1r2r3) do tetraedro de arestas (4,1,2,3). Em resumo:1VVx0 R4231 .Como esses mesmos resultados são válidos para os outros dois tetraedros de vértices (R,4,3,1) e (R,4,1,2),de volumes VR431=(rr3r1) e VR412=(rr1r2), respectivamente,1x0 ii r.r , (i=1,2,3) (3.1)1,sendo, ademais1x031ii31ii rr. , (3.1)2,pois:VR423+VR431+VR412+VR123=V, (3.1)3.Então, se pusermos, por definição, x4=VR123/V, virá, em vista de (3.1)3:1x41, (3.1)4.Os números reais xsão denominadas em Geometria as coordenadas tetraédricas do ponto R.Denotando-se por Ao vetor área da face (triangular) oposta ao vértice  do tetraedro, apontandopara o exterior do tetraedro (Figura 3.1, para =4), e lembrando que2A1=-r2r3, ..., escrevemos:3Vii Ar  , (i=1,2,3) (3.1)5.Sendo, ainda13322121234)()(21232 rrrrrrrrrrA  ,resulta:oAAAA  4321, (3.1)6,A soma das coordenadas tetraédricas instantâneas xdos pontos da face 123 é igual a 1 porque em(3.1)3 é VR123=0. Para os pontos interiores ao tetraedro, a soma (3.1)4 - sempre menor que 1, conforme(3.1)2 - é igual à projeção de r sobre a normal à face 123.Determinação das constantes nas leis linearesSuponhamos conhecidas, para =1,2,3,4, as temperaturas T e os deslocamentos u nodais numinstante qualquer de evolução dos respectivos campos. Nesse instante, o vetor a e o diádico  sãodeterminados com facilidade. De fato, como (2.2) e (2.3) são válidas para todo r não exterior a 4-123,podemos aplicá-las aos nós, sendo, então, no instante t:4ii TT  r.a e 4ii ur.u  , para i=1,2,3, (3.2),donde
  8. 8. 8i4i )TT( ra  e i4i )( ruu  , (i=1,2,3), (3.3),ou, considerando (3.1)5 e (3.1)6:Aa T3V1 , e  Au3V1 (=1,2,3,4) (3.3)1.Gradiente de temperaturas e deslocamentosNo instante t as superfícies isotérmicas no interior do tetraedro são planos paralelos, pois (2.2) dáT0-T4=a.r=constante. A normal comum a esses planos tem a direção do vetor T que apontará no sentidoem que a temperatura cresce. Assim, por exemplo, se a todo instante T4, digamos, é maior que as demais,então T, calculado num ponto P, apontará sempre para o semi-espaço (definido pelo plano isotérmicoque passa por P) em que se encontra o vértice 4.Considerando ainda (2.2), lembrando que r e o 4T , tem-se:aT , (3.4),vetor esse – dito doravante, o vetor gradiente das temperaturas - que pode ser imaginado aplicado, porexemplo, no centro de massa do tetraedro, com a finalidade de exibir a direção e o sentido do crescimentoda temperatura em cada elemento tetraédrico.Sendo, ainda, para k=1,2,3,4kkk4 TT)T(T  a.r.r ,ou, simplificando a notação pela lembrança de que o campo de temperaturas é transiente:)T(T||1ˆˆ)T(T 4kkkk4 rra.r. , (3.5).Vê-se por (3.5) que a projeção do vetor gradiente de temperaturas na direção de uma aresta do tetraedroconcorrente em 4, é diretamente proporcional à diferença de temperatura dos nós correspondentes à arestae inversamente proporcional ao comprimento dessa aresta (o que é fisicamente intuitivo).Analogamente, obtém-se o diádico gradiente de deslocamentos:u , (3.6),seus autovalores e autovetores (todos constantes no elemento) fornecendo os (mesmos) valoresextremados instantâneos dos deslocamentos nos pontos e as direções correspondentes em que estasocorrem. Como se tenha também, de (2.3), no elemento e no instante t,)(||1ˆˆ)( 4kkkk4 uurr.r.uu   , (3.7),vê-se que a projeção do diádico gradiente de deslocamentos na direção de uma aresta do tetraedroconcorrente em 4, é um vetor paralelo ao vetor diferença de deslocamentos dos nós correspondentes àaresta por unidade de medida dessa aresta.Em vista de (3.6) o tensor de deformações, , é o mesmo em todos os pontos do elemento, sendoigual à parte simétrica de , sim. Os autovalores e os autovetores de sim darão os valores extremados dasdeformações e as direções em que ocorrem.
  9. 9. 9Distribuição de T e u num elementoConsiderando (3.1)1 escrevemos:)TTT.(xTxTxT 332211332211 rrrr  .Vamos somar a parcela T4x4a ambos os membros dessa expressão. No primeiro membro teremos a somaxT com =1,2,3,4. Vamos substituir no segundo membro x4pela soma dos demais x e substituir essasoma pela consideração de (3.1)2. Obtém-se:)(TT)T.(Tx31i44iiααirr.rr para i=1,2,3, ou 4i4iiααT)TT(Tx  rrr. .Considerando que dentro dos parênteses está subentendida uma somatória em i podemos escrever:4i4iααT)TT(Tx  rr. . Finalmente, considerando (3.3) e em seguida (2.2) resulta, em relação aoreferencial local: TxT , =1,2,3,4, (3.6).Similarmente ao caso das temperaturas, podemos deduzir: uu x , =1,2,3,4, (3.7).Vê-se que as temperaturas e os deslocamentos seguem leis de distribuição análogas, (3.6) e (3.7),respectivamente. As coordenadas tetraédricas (locais) xdo ponto genérico R do campo são funções deinterpolação quando estas grandezas devam ser expressas como funções lineares das temperaturas edeslocamentos nodais. Elas definem os quinhões (percentuais porque a soma delas é igual a 1) com quecada temperatura ou deslocamento nodal entra na composição de T ou u no ponto R.*§04 – BALANÇO DE ENERGIA.O fluxo de calor pelo corpo da estrutura em construção varia com o elemento tetraédrico considerado ecom o tempo (§1). Em cada elemento:1) - calor será gerado pela reação de hidratação do cimento;2) - calor circulará por condução porque o concreto do elemento está em contato com oconcreto de outro elemento, circulará por convecção se alguma face do elemento estiver em contato comalgum fluido (ar e água, geralmente) e circulará por irradiação se o elemento estiver exposto ao sol;3) - calor será retido no elemento, aumentando sua energia interna.Como essas quantidades de calor postas em jogo são variáveis com o tempo, devemos considerar,num instante qualquer, as taxas (quantidade de calor por unidade de tempo) com que esses diversoscalores deverão entrar num balanço instantâneo conduzido respeitando-se a lei da conservação daenergia. A realização desse balanço é um problema complexo do ponto de vista geométrico e seráresolvido a seguir. Do ponto de vista físico bastará utilizar as leis de transferência de calor estudadas naFísica, as quais serão revistas no parágrafo seguinte.§04.01 - Uma geometria conveniente para o balançoConsideremos um nó qualquer da estrutura, digamos o nó 4, e todos os P tetraedros que têm essenó comum; esses P tetraedros serão referidos doravante como os 4-tetraedros. Uma face de um dessestetraedros poderá ser comum a algum outro ou pertencer à fronteira do corpo. Suporemos que por algumprocedimento computacional já tenhamos detectado os P tetraedros dos 4-tetraedros e dentre esses, os pdeles que tenham faces comuns e os P-p que tenham faces na fronteira do corpo.Pretendemos encontrar geometricamente um hexaedro que, tendo apenas o nó 4 comum com otetraedro 4-123, tenha ¼ do seu volume.Recordemos inicialmente que medianas de um tetraedro são os segmentos que ligam cada vérticeao baricentro da face oposta e que bimedianas são os segmentos que ligam os pontos médios dos seuslados opostos. Um tetraedro tem, pois, quatro medianas e três bimedianas. É sabido que todas as
  10. 10. 10medianas e bimedianas de um tetraedro concorrem no seu baricentro G, o qual se encontra à meiadistância dos pontos médios dos lados opostos e aos ¾ das medianas a partir dos vértices (Figura 4.1).Denotemos por ij o ponto médio do lado ij e por ijk o baricentro da face ijk (para i,j=1,2,3,4). Podedemonstrar-se que o hexaedro (Figura 4.2) cujas faces são os quadriláteros (4,14,412,24), (4,24,234,31) e(4,14,341,31) - com áreas equivalentes a 1/3 da área de cada face de 4-123 – e suas respectivas opostas:(31,341,G,234), (14,412,G,341), (24,412,G,234), tem ¼ do volume V de 4-123 (ver Ap.2). Por seremestas faces definidas por baricentros (de lados ou de faces do tetraedro), serão denominadas facesbaricêntricas do hexaedro. As três faces com G comum serão sempre internas ao tetraedro 4-123.Procedendo-se da mesma forma com todos os tetraedros dos 4-tetraedros, seja 4 um nó de fronteiraou não, teremos definido um poliedro, “envolvendo” o nó 4, cujas faces (quadriláteros) são os tercetos defaces internas a cada um dos P tetraedros dos 4-tetraedros; e cujo volume é igual a ¼ da soma dosvolumes dos 4-tetraedros. Tal poliedro6será referido como o 4-poliedro relativo ao nó 47e terá 3P facesquadriláteras no máximo. Este nó será interior ao seu poliedro se ele não pertencer à fronteira daestrutura; ou será a interseção de três ou mais das faces do poliedro se ele pertencer à fronteira.Por conseqüência da construção geométrica realizada, a cada nó da estrutura corresponderá um eapenas um poliedro e o conjunto desses será equivalente a toda a estrutura. A soma dos volumes de todosos poliedros e a soma das áreas de suas faces na fronteira será igual, respectivamente, ao volume de toda aestrutura considerada e à área de toda a sua fronteira.§04.02 – A equação do balanço de energia.Consideremos as quantidades de calor postas em jogo relativamente ao tetraedro 4-123 (um do Ptetraedros definidores do 4-tetraedro).A taxa de calor externo ao tetraedro 4-123 - calor que entra (vindo de fora do elemento), somadacom o gerado internamente – e a taxa de calor interno, ou calor nele armazenado, devem ser repartidasem quatro partes iguais (pois são proporcionais ao volume), cabendo uma parte para cada hexaedro que ocompõe (ver §04.01). Logo, essas taxas de calor interno e externo, relativas ao poliedro que envolve o nó4 são iguais a ¼ da soma das taxas dos calores que entram ou são gerados em cada um dos P tetraedrocom nó 4 comum.Entretanto, cada taxa de calor que sai do 4-poliedro, cada uma relativa a um hexaedro,corresponde à soma das taxas correspondentes relativas a cada face baricêntrica desse hexaedro,existindo, pois, até 3P parcelas. No tetraedro 4-123 essas faces são: (34,341,G,234), (24,412,G,234) e(14,412,G,341); e por serem sempre internas à estrutura, por elas o calor circulará de dentro para fora dohexaedro, sendo necessário os cálculos das taxas correspondentes.6Não convexo, em geral, porque o plano do quadrilátero de uma face de um hexaedro pode não deixar os demais planos dosquadriláteros das faces dos outros hexaedros em um mesmo semi-espaço.7A cada vértice do tetraedro corresponde um hexaedro com ¼ do volume do tetraedro.
  11. 11. 11Assim, um “balanço de energia térmica”, a ser verificado em cada tetraedro, deve também serverificado para cada hexaedro de um nó, a saber:quantidade de calor gerado no hexaedro(por hidratação do cimento), na unidade de tempo+quantidade q de calor que entra num hexaedro através de suas faces baricêntricas, por condução(proveniente de tetraedros vizinhos), na unidade de tempo=quantidade de calor q + Δq que sai do hexaedro através das faces baricêntricas, por condução ou radiação,na unidade de tempo+variação de energia interna da massa de concreto no hexaedro, na unidade de tempo.§04.01 – Energia gerada pelo concreto.Se Qh é a quantidade de calor gerada exclusivamente pela hidratação de certa massa  de cimentoao longo de certo tempo, qh= Qh/ é a quantidade de calor gerada pela hidratação de uma massa unitáriado mesmo cimento, em outro tempo, sendo evidente que qh depende apenas da natureza do cimento e dotempo (mas não do ponto, pois o fenômeno é idêntico em todos os pontos). Havendo geração de calor, hátambém variação de temperatura.A quantidade de calor necessária para elevar-se de 1C, em processo adiabático, a temperatura deuma massa unitária de um cimento, entendido este como um corpo termicamente homogêneo, é o seu“calor específico”, c; logo, dqh=c dT e a taxa de calor necessária serátT(t)ct(t)qh,justificando-se a derivada parcial pela observação já feita de que o fenômeno é idêntico em todos ospontos da massa.O ensaio dito “ensaio de calor de hidratação” permite determinar a funçãot(t)qh. Para elevar-se adiabaticamente de TC certa massa  de cimento, a taxa de calor necessáriat(t)Qhserá:)tT(t)c(tT(t)ctQ(t),sendo adequado, e até conveniente, escrever-se o último membro naquela forma. De fato, porque adeterminação da expressão entre parênteses pode ser conseguida experimentalmente pelo chamado“ensaio de elevação adiabática de temperatura” da massa , escrevendo-se, para lembrar isto:tT(t)tTad.Assim,t)t(TctQ(t) ad, (4.1).A quantia tTad  , por representar a variação (aumento) de temperatura do concreto com o tempo(em processo adiabático), é dita elevação adiabática da temperatura do concreto.§04.02 – Energia armazenada no concreto (variação de energia interna).A energia (quantidade de calor) necessária para elevar de TC a temperatura (interna) de umamassa elementar dm de concreto é dm c T; logo a taxa dessa energia, isso é, a taxa de variação da energia
  12. 12. 12calorífica interna intenE desse elemento é dm c dT/dt. Como T não varia com o ponto na massa dm, éconveniente a representação da taxa de calor por tTcdm  . Como dm= dV, resulta:dVtTcE int.en , (4.3).§04.03 – Transferência de calor por condução.Esta é a transferência de calor entre o maciço de concreto (termicamente isotrópico) e algum corpo(outro corpo de concreto, a rocha de fundação da estrutura), sem movimento relativo de massas. No pontocorrente R da superfície S de contato entre os corpos, é válido escrever-se (lei diferencial de Fourier):dSˆTkdq n. , (4.4),onde K o coeficiente (constante) de condutividade térmica do concreto (em cal/m.s.C) (ver Ap. I) e dq aquantidade de calor (em cal) que atravessa a área elementar dS (em m2) perpendicular ao vetor unitárionˆ , na unidade de tempo (s).É sabido que T é um vetor que aponta para o sentido do crescimento da temperatura em R edSˆn é o vetor área no ponto, ortogonal a S. Como o calor flui dos pontos de temperatura mais alta paraaqueles de temperaturas mais baixas, o ângulo dos mencionados vetores deve ser sempre obtuso; o quejustifica o sinal negativo da lei (4.4) para que seja dq>0.§04.04 – Transferência de calor por convecção.É a transferência de calor entre o maciço de concreto e o(s) fluido(s) que o envolvam (água e/ouar). Escreve-se, para o ponto R do maciço em contato:)T-(TdShdq c  , (4.5),sendo:hc = coeficiente de transferência de calor do concreto, por convecção (em cal/m2C),(ver Ap.I),dS = área ( em m2) da superfície do maciço de concreto, à volta de R, pela qual flui aquantidade de calor dq (em cal);T = temperatura (em C) da superfície do maciço em R;T = temperatura do meio que circunda o maciço em R.§04.05 – Transferência de calor por radiação.É o processo de emissão, pelo concreto do maciço, no ponto R, de energia radiante, cujaquantidade e qualidade dependem de sua temperatura:)T(TdSdq 44 , (Boltzmann) (4.6),sendo:dq = quantidade de calor (em cal) emitida pelo concreto na unidade de tempo (em s); = constante de Boltzmann; = emissividade da superfície do concreto (ver Ap.I);dS = área da superfície do maciço (em m2), à volta de R, pela qual flui a quantidade decalor dq;T = temperatura absoluta da superfície do maciço à volta de R (=273,18+C);T = temperatura absoluta do ambiente que envolve o maciço, em R.§04.06 – Equação do balanço para os nós do tetraedro.Balanço para um poliedro (que envolve um nó)
  13. 13. 13Mostraremos agora que para a determinação do campo de temperaturas no corpo da estrutura, éconveniente conhecer-se o que se passa termicamente em torno de cada nó da estrutura, por recorrência aum balanço de energia aplicado a cada poliedro que envolve esse nó. Vamos considerar o nó 4 como umnó genérico da estrutura, bem como o tetraedro 4-123 do 4-poliedro.Os P tetraedros do 4-tetraedro terão Q pares de faces comuns com 4123 se 4 não pertencer àfronteira da estrutura. Ao efetuar-se o balanço de energia no poliedro relativo ao nó 4, dever-se-áconsiderar fluxo por condução pelas faces baricêntricas de cada hexaedro que o compõe, e fluxo porcondução e radiação se 4 pertencer à fronteira, pois nesse caso alguma face do poliedro será coincidentecom parte da fronteira da estrutura.Assim, se no elemento hexaédrico e, pertencente ao tetraedro e de volume Ve, a temperatura noponto genérico é Te, devemos escrever (lembrando que seu volume é igual a ¼Ve):eeeeeeeaeeeVtTcρ41)hexaedrodofacesastodasdeárea(.TkVtTcρ41 e, com e=1,2,...,P, (4.7),e somar membro a membro as equações relativas a todos os hexaedros para obter a equação final dobalanço. Como os vetores área das faces dos hexaedros, internas ao poliedro, se destroem aos pares (porserem vetores opostos) a somatória indicada no segundo membro de (4.7) fica reduzida à soma dosvetores área das faces baricêntricas dos hexaedros, ou seja: P1eeP1eee qtF41, (4.7)1,comFe=eVece=mece e aeee TT  , (4.7)2,e )decasbaricêntrifacesárea.(Tkq ee4e e , (4.7)3.O escalar q4e é a quantidade de calor que sai do hexaedro e pelas faces baricêntricas, por condução, naunidade de tempo.*Convém observar, considerando (4.7)3, que no segundo membro de (4.7)1 estão estabelecidas duassomas: uma (em e) para todos os elementos e outra (soma dos vetores área) em cada elemento. Impõe-se,assim, no momento, o cálculo da soma dos vetores área dessas faces, ou seja, das faces: (34,341,G,234),(24,412,G,234) e (14,412,G,341) do tetraedro 4123 cuja expressão poderá ser aplicada a qualquerhexaedro e. Temos:- vetor área da face (14,412,G,341)= )14341()14412(341,14412,14  .Sendo:)(31412 421 rrr  , )(2114 14 rr  , e )(31341 431 rrr  ,com r4=o (o nó 4 foi tomado como origem do sistema local), resultam:)(31412 21 rr  , 12114 r , )(31341 31 rr  ,logo,21316114412 rr  e 31316114341 rr  .Assim:
  14. 14. 14área da face (14,412,G,341)=  )3161()3161( 3121 rrrr)2(18)()2(181 321321211332 rrrrrrrrrrrr  .Expressões análogas podem ser obtidas para as duas outras faces; tem-se:área da face (24,412,G,234)= )2(18)( 321321rrrrrreárea da face (34,341,G,234)= )2(18)( 321321rrrrrr .A soma dos vetores área é, então:  i32118)(4areas rrrr,donde, considerando (3.1)5,:494areas A  , (4.8).Aplicando esse resultado para o elemento e, escrevemos:)94.(kq e4ee4e Aa , (4.9),A4e sendo o vetor área da face oposta ao nó 4 do tetraedro e.*Lembrando (3.4) e a expressão de a dada pela primeira das igualdades (3.3)1, a expressão (4.7)1pode, agora, ser escrita em função dos 4P vetores áreas das faces dos 4-tetraedros (ou elementos), dosvolumes desses tetraedros e das temperaturas dos seus vértices (nós), na forma:   P1e4e41eeeeP1eee ]).T(Vk[2716tF AA , (e=1,2,...,P) (4.10).ou, em forma matricial:   4e3e2e1e24e3e4e2e4e1e4eP1e eePP21TTTT)(Vk2716tF...FF .A.AA.AA.AA. , (4.11).*Por outro lado, lembrando (3.1)5 e a primeira das igualdades (3.3) que desenvolvida torna-see4iieeiiee T)(T  rra ,escrevemos (4.09) na forma]T)()T.[(Vk34q e4231iieei31iieieee4e  rrr , (4.12).
  15. 15. 15Assim, podemos escrever a equação (4.07)1 de equilíbrio em função dos vetores recíprocos das baseslocais dos 4-tetraedros na forma  P1ee4i2ieeiiei*eeeP1eee ]T)(T).[(Vk316tF rrr ,ou, em forma matricial:    P1e4e3e2e1ei2ieiie3eiie2eiie1eeeP21P21TTTT)(...Vk316...tF...FF .rrrrrrr. , (4.13).Caso particularSe todos os elementos tetraédricos são preenchidos com o mesmo concreto as equações (4.11)1 e(4.13) ficam reduzidas a    P1e4e3e2e1e24e3e4e2e4e1e4ee2PP21TTTT)(V1h2716tV...VV .A.AA.AA.AA. , (4.14).e    P1e4e3e2e1ei2ieiie3eiie2eiie1ee2P21P21TTTT)(...Vh316...tV...VV .rrrrrrr. , (4.15).em queckh2 , (4.16).§04.06 – Equação do balanço de calor para todos os nós.Os quinhões de calor de todos os nósA igualdade (4.7)1 aplica-se a qualquer nó da estrutura e seu segundo membro foi reduzido aosegundo membro da expressão (4.11), ou ao segundo membro da (4.14). Vamos representar essessegundos membros por Q1, Q2, ..., QN em que N é o número total de nós da estrutura. Vale dizer que parao nó de índice w, envolvido por um poliedro cujas faces são definidas por P tetraedros o segundo membrode (4.14) é escrito na formawP1e4e3e2e1ei2ieiie3eiie2eiie1eee QTTTT)(...Vk316 .rrrrrrr , (4.17),e que o conjunto de todas essas igualdades pode ser escrita de forma única pela expressão matricial
  16. 16. 16Nkjiw1NNNkNjNiNmN1kNkkkjkikmk1jNjkjjjijmj1iNikijiiimi1wNwkwjwiwww11N1k1j1i1m11Nkjiw1T...T...T...T...T...T.C...C...C...C...C...C........................C...C...C...C...C...C........................C...C...C...C...C...C........................C...C...C...C...C...C..................C...C...C...C...C...C..................C...C...C...C...C...CQ...Q...Q...Q...Q...Q, (4.18),cujas matrizes têm o significado que passamos a expor.O elemento genérico Qw da matriz coluna do primeiro membrorepresenta a quantidade de calor que sai pelas faces do seu w-poliedro.Os elementos da matriz coluna do segundo membro são as temperaturasdos nós da estrutura. Para mostrar como são constituídos os elementosCrs da matriz quadrada NxN são necessárias várias considerações.*Inicialmente vamos aplicar a equação (4.17) para o caso de um nów interior à estrutura em que os w-tetraedros estejam definidos pelos nósi, j, k, l (Figura 4.4), sendo: o de número 1, w-ijk, o de número 2, w-jkl, ode número 3, w-kli e o de número 4, w-lij. É prudente observar-se que o tetraedro ijkl não é um elementotetraédrico.As temperaturas serão:T11=Ti, T21=Tj, T31=Tk, T41=Tw, para o elemento 1,T12=Tj, T22=Tk, T32=Tl, T42=Tw, para o elemento 2,T13=Tk, T23=Tl, T33=Ti, T43=Tw, para o elemento 3,T14=Ti, T24=Tj, T34=Tk, T44=Tw, para o elemento 4.Observa-se que as temperaturas nodais que participarão da escrita da equação de equilíbrio relativa ao w-poliedro são as correspondentes a cada um dos nós dos w-tetraedros, quais sejam: Ti, Tj, Tk, Tl e Tw. Asconstantes k dos concretos correspondentes a cada tetraedro serão denotadas por: kijk para o tetraedro 1,kjkl para o tetraedro 2, kkli para o tetraedro 3 e klij para o tetraedro 4; os volumes dos tetraedroscorrespondentes serão denotados por Vijk para o tetraedro 1 etc.. Tem-se, então, de (4.17): wlkjiwwwwwwTTTTT.JHGML316Q , (4.19),com: 31liji4lijlij31klii3klikli31ijki1ijkijkw VkVkVkL r.rr.rr.r , 31lijj4lijlij31jklj2jkljkl31ijkj1ijkijkw VkVkVkM r.rr.rr.r , 31klik3klikli31jklk2jkljkl31ijkk1ijkijkw VkVkVkG r.rr.rr.r ,
  17. 17. 17 31lijl4lijlij31klil3klikli31jkll2jkljklw VkVkVkH r.rr.rr.r ,231lijlijlij231jkljkljkl312ijkijkijkw )(Vk)(Vk)(VkJ   rrr .A inserção desses resultados para o nó w em (4.18) agora é simples; tem-se:Nkjiw1wkwjwiwww1Nkjiw1T...T...T...T...T...T.0...0...0...0...0...0........................0...0...0...0...0...0........................0...0...0...0...0...0........................0...0...0...0...0...0..................0...G...M...J...J...H..................0...0...0...0...0...0Q...Q...Q...Q...Q...Q, (4.20),devendo notar-se que: 1) - tendo sido w o primeiro nó a considerar no balanço térmico, apenas oselementos dos postos wl, ww, wi, wj e wk da matriz [C] são diferentes de zero; 2) - cada um desseselementos é uma soma de quatro parcelas porque temos quatro tetraedros a considerar, mas uma dasparcelas é nula necessariamente (o que se contata facilmente pelo cálculo de Qw com (4.17)).À medida que efetuamos o balanço de energia (por aplicação de (4.14)) para o poliedro de cada nóda estrutura, nos postos da matriz [C] vão se acumulando valores (positivos ou negativos, dados porparcelas do mesmo tipo que as de Lw, Mw etc.) tudo dependendo de cada nó, dos vértices dos tetraedrosque lhes correspondem e dos concretos que os preenchem.A matriz [C] especificada, embora dependa fortemente da geometria da discretização, édenominada simplesmente de matriz de condutividade térmica da estrutura.Consideração da troca de calor por convecção e radiaçãoExistirão novas parcelas nas expressões de Mw, Gw, ..., caso uma face de algum w-tetraedro sejauma porção da fronteira da estrutura e caso haja possibilidade de troca de calor por ela. Suponhamos, paraexemplificar, que na Figura 4.4 a face ijk esteja em contato com algum fluido e/ou exposta à radiaçãosolar, logo havendo trocas de calor.Devemos integrar (4.5) e (4.6), considerando a lei linear (2.2).)STdST(hq 123123cconv   e )STdST(q 12341234rad   .A distribuição de T pela face 123 é linear, isso é, o segmento ortogonal ao plano 123 conduzidopelo ponto genérico R (extremidade do vetor r) e com medida T pertence ao plano  que contem asextremidades dos segmentos ortogonais a 123 conduzidos por 1, 2 e 3 com as medidas T1, T2 e T3,respectivamente. Assim, a 123dST representa o volume do tronco de prisma de base 123 e face oposta ,ou sejaTSdST 123123 com )TTT(31T 321  , (4.20).Logo,)TT(Shq 123cconv  , (4.21).Da mesma forma poderemos escrever:
  18. 18. 18)TT(Sq 44123rad  , (4.22),em que 4T é a media das quartas potências das temperaturas T1, T2 e T3.Como se vê, por algum procedimento computacional se deverão conhecer quais faces de quaiselementos tetraédricos são fronteira da estrutura para que se possa, por meio de (4.21) e (4.22), calcular ascorrespondentes quantidades de calor cedidas aos meios.Na construção de barragens (no Brasil, com seu clima predominantemente tropical) as quantidadesde calor cedidas por convecção por uma estrutura, e recebidas por irradiação, em geral são pequenasquando comparadas com as cedidas por condução; nesse caso podem ser desprezadas. Em algumassituações desprezam-se apenas as quantidades de calor absorvidas por radiação.*Um só concretoEm muitas aplicações um só tipo de concreto ocupa todos os elementos tetraédricos; o que acarretaapenas uma pequena simplificação às expressões. De fato, todos os concretos têm o mesmo k, mas isto émuito pouco porque os elementos tetraédricos da estrutura não foram alterados. Para o exemploapresentado, relativo à Figura 4.4, as expressões de Lw, Mw ...em (4.19) serão as seguintes, nada muitomais simples que as anteriores:)VVk(VL31liji4lij31klii3kli31ijki1ijkw   r.rr.rr.r ,)VVk(VM31lijj4lij31jklj2jkl31ijkj1ijkw   r.rr.rr.r , etc..Isto permite que concluamos serem os problemas térmicos muito mais complexos e trabalhosos do pontode vista geométrico do que do ponto de vista físico, pois em geral os elementos tetraédricos definidoresda estrutura são diferentes (embora parecidos).*Consideração do membro transienteA equação (4.13) é válida para o 4-poliedro que é definido por P tetraedros. A mesma equação éaplicável com as devidas mudanças para um w-poliedro qualquer, sendo, porém, P=P(w). Seja  avariável que conta os nós da estrutura e  a que conta os seus elementos tetraédricos, o querepresentaremos por:N1  e E1  ,sendo, evidentemente N o número total de nós da estrutura e E o numero total de elementos tetraédricosda mesma. Por meio de algum procedimento computacional deveremos conhecer os nós que definem oelemento .Em vista desses critérios de numeração, vamos definir a seguinte variável: ,elementodonóénãose0,elemento;dessenóése,elementodocmFbe com ela montar a matriz NxE de elemento genérico F. Vamos denominar essa matriz de matriz mc daestrutura e com ela escrever o primeiro membro de (4.13) para toda a estrutura. Tem-se, então:
  19. 19. 19Ew21NENwN2N1wEwww2w12E2w22211E1w1211Nw21......tF...F...FF.........F...F...FF.........F...F...FFF...F...FFQ...Q...QQ. , (4.21).Equação finalResulta para equação final do balanço de energia para toda a estrutura e expressão[C].{T}}tF].{[ , (4.22),em que [F] é a matriz NxE dos mc da estrutura (que contempla massas de concretos nos tetraedros devolume V e seus calores específicos), [C] é a matriz, quadrada de ordem N, de condutividade térmica daestrutura (que contempla as condutividades térmicas dos concretos utilizados, dos meios com que aestrutura esta em contato e a geometria dos tetraedros), }t{é a coluna das taxas de variação datemperatura em relação à temperatura adiabática de cada elemento e {T} é coluna das temperaturasnodais.
  20. 20. 20APÊNDICE 1VETORES RECÍPROCOSSejam a, b, ...vetores e A, B ... escalares. Suporemos conhecidas as operações de adição devetores, multiplicação de vetor por escalar e as multiplicações escalar, vetorial e mista de vetores; e estasserão denotadas, respectivamente, por: a+b, Aa, a.b, ab e (abc).O produto vetorial ab é um vetor cujo módulo é igual à área do paralelogramo construído sobreos vetores a e b. Assim, imaginados os vetores aplicados coinicialmente num mesmo ponto, o módulo deab é igual ao dobro da área do triângulo cujos vértices são esse ponto comum e suas extremidades.Se a, b e c são vetores não coplanares, então quando aplicados coinicialmente num mesmo pontodo espaço, esse ponto e suas extremidades definem um tetraedro – dito tetraedro associado ao terno -cujo volume V é tal que 6V)( abc . Logo, a condição necessária e suficiente para que três vetores a, b ec sejam não coplanares é que o produto misto deles seja diferente de zero: 0)( abc .Chamam-se vetores recíprocos do terno a, b e c de vetores não coplanares, e se os denotam por a*,b*e c*, os vetores:)(abccba)(abcacb)(abcbac.Esses vetores gozam das seguintes propriedades:1. aa , 1. bb , 1. cce0..  caba , 0..  cbab , 0..  bcac ,das quais podemos deduzir, ainda:1))(( cbaabcDessas duas propriedades podemos deduzir que se a*, b*e c*é o terno recíproco de a, b e c, então a, b e cé o terno recíproco de a*, b*e c*, pois)( cbacba)( cbaacb)( cbabac ;ou seja, qualquer terno é recíproco do outro. Diz-se que a*e a são homólogos, bem como b*e b e c*e c.O ângulo definido por vetores homólogos é sempre agudo (bastando isso para que eles sejam diferentesem geral).Os vetorescbA 21, acB 21e baC 21são denominados os vetores área das faces que definem no tetraedro e apontam para o exterior domesmo. Então:3VAa ,3VBb e3VCc ,isto é, os vetores recíprocos de um terno são paralelos aos vetores área das faces do tetraedro associado aesse terno.
  21. 21. 21Denotando-se por D o vetor área da face oposta ao vértice comum ao terno a, b e c, podecomprovar-se que:0 DCBA ,isto é: é nula a soma dos vetores área das faces de um tetraedro.Todos os ternos de vetores não coplanares são linearmente independentes, isso é, não existenenhuma combinação linear entre eles, do tipo Xa+Yb+Zc=o, sem que X, Y e Z sejam simultaneamentenão nulos; o que significa que (abc)0. Vetores linearmente independentes servem de referência paraquaisquer outros vetores do espaço; são ditos, por isso, vetores de base. Nesse sentido, qualquer vetor doespaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de base. Pode ser comprovado que: ccvbbvaavccvbbvaavvabccbav ).().().().().().(:0)(com,,, ,mas avav .. ,  bvbv .. e  cvcv .. .A expressão acima é denominada a decomposição cartesiana de v na base a, b, c e os escalares v.a*, v.b*e v.c*as coordenadas cartesianas contravariantes do vetor v em relação à base a, b, c. Da mesma forma,v.a, v.b e v.c são as coordenadas cartesianas covariantes do vetor v em relação à base a*, b*, c*.Sejam u, v e w vetores quaisquer (coplanares ou não) cujas decomposições cartesianas na base a,b e c e sua recíproca a*, b*e c*são: cbacbau cbacbaUUUUUU , cbacbav cbacbaVVVVVV cbacbaW cbacbaWWWWWW .Então:cbacbacbacbaVVVUUU)(VVVUUU)(cbacbacbaabcvu ecbacbacbacbAcbacbaWWWVVVUUU)(WWWVVVUUU)()(  cbaabcuvwQuando os vetores de base a, b e c são vetores unitários e ortogonais entre si, a base que lhescorresponde é dita ortonormada; e estas são denotadas em geral por iˆ , jˆ e kˆ sendo 1)ˆˆˆ( kji . As basesortonormadas são idênticas às suas recíprocas e as coordenadas covariantes e contravariantes de qualquervetor são idênticas. Então, pondo:kjiu ˆUˆUˆU 321  , kjiv ˆVˆVˆV 321  e kjiw ˆWˆWˆW 321 vem321321VVVUUUˆˆˆ kjivu  e321321321WWWVVVUUU)( uvw .
  22. 22. 22APÊNDICE 2TETRAEDRO DE VOLUME ¼ DO VOLUME DE OUTRO
  23. 23. 23Cálculo cartesiano dos vetores recíprocos de cada tetraedro.Vamos listar os vértices de cada tetraedro em que foi subdividido o corpo da estrutura e adotararbitrariamente um desses vértices como referência (em cada tetraedro). Ordenemos os outros trêsvértices numa seqüência tal que o triedro definido por eles seja positivo. Seja então w-123 o elementotetraédrico genérico com um sistema local de origem w; os vetores da base direta local serão r1, r2 e r3.Denotemos por Rv (v=1,2,...,N) o vetor posicional do nó de índicev da estrutura (ou de todos os elementos tetraédricos) e ponhamos:kjiR ˆZˆYˆX v3v2v1v  ,em relação ao referencial global. Em relação ao sistema local (de origemw):kjiRRr wˆ)ZZ(ˆ)YY(ˆ)XX( wiwiwiii  , (i=1,2,3),ou, pondoiwwi XXX  , iwwi YYY  e iwwi ZZZ  para i,=1,2,3 com iwkjir ˆZˆYˆX iwiwiwi  , (i=1,2,3).O produto misto (rirjrk) é numericamente igual ao volume do paralelepípedo construído sobre osvetores; e este é igual a 6 vezes o volume do tetraedro w-ijk, como temos acentuado. Então:V61ZYX1ZYX1ZYX1ZYXZYXZYXZYX)(wwwkkkjjjiiikwkwkwjwjwjwiwiwiwkji rrr .Com a ordenação adotada para os vértices do tetraedro, o produto misto (rirjrk) é positivonecessariamente.Sabendo-se que)( kjikjirrrrrr ,)( kjiikjrrrrrr)( kjijikrrrrrr ,vem:ikwkwkwjwjwjwkj 2ZYXZYXˆˆˆAkjirr  ,jiwiwiwkwkwkwik 2ZYXZYXˆˆˆAkjirr  , kjwjwjwiwiwiwji 2ZYXZYXˆˆˆAkjirr  .Pondo, ainda:kjiA ˆAˆAˆA s3s2s1s (s=i,j,k),resultam:kwkwjwjwi1ZYZY21A  ,kwkwjwjwi2ZXZX21A  ekwkwjwjwi3YXYX21A  .
  24. 24. 24iwiwkwkwj1ZYZY21A  ,iwiwkwkwj2ZXZX21A  eiwiwkwkwj3YXYX21A  .jwjwiwiwk1ZYZY21A  ,jwjwiwiwk2ZXZX21A  ejwjwiwiwk3YXYX21A  .e, por conseqüência,k1j1i1w1AAAA  , k2j2i2w2AAAA  e k3j3i3w3AAAA  .É conveniente observar-se que, em vista de (4.7)3, de (3.3)1 e (3.1)5, o valor do quinhão q4e decalor cabível ao vértice m do tetraedro m-123 depende apenas do concreto que o preenche, das áreas desuas faces e dos ângulos diedros que a face 123 define com as outras três.§05 – CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS NODAIS.Consideremos o tetraedro genérico de número e , 4-123, pertencente ao conjunto dos P tetraedroscom nó 4 comum. Por hipótese são conhecidas as temperaturas nos seus nós no instante inicial: T40, T10..., quando suas arestas têm comprimentos conhecidos (as coordenadas iniciais dos nós são conhecidas).Num instante qualquer t as temperaturas nesses nós, T4, T1, ... são calculadas como expostoanteriormente, pretendendo-se agora calcular os novos comprimentos das arestas e suas novas direções noespaço.Vamos denotar por a , para (,=1,2,3,4) e , os vetores arestas iniciais de 4-123 com sentidodo vértice  para o vértice . Dentre os vetores a , três quaisquer concorrentes num mesmo vértice sãoindependentes. Mas observando que   aa , vê-se que ao se adotar por terno de vetores de basequalquer um dentre os concorrentes num vértice, digamos a41, a42, e a43, os outros três vetores – no caso,a12, a23 e a31 - são coplanares na face oposta a este vértice. Então:0))(( 434241123123 aaaaaa , ou, 0000421241124331413143234223.aa.aa.aa.aa.aa.aa.Algum recurso computacional nos permite conhecer, dentre os P tetraedros com nó 4 comum,quais aqueles que têm a aresta a também comum. Entre o instante inicial e o instante t, a aresta a foitransformada em a e esta transformação será operada por uma superposição de dois estágios.Num primeiro estágio, o comprimento de a variou de uma quantidade igual ao produto damédia  dos coeficientes de dilatação térmica dos concretos que preenchem os tetraedros que têm acomum, pela variação de temperatura dos nós que a definem: )TT(   a . O vetor d=a, paracerto  e certo , representa a variação de comprimento da aresta a na sua própria direção, por unidadede variação de temperatura entre os vértices, o que permite escrever a variação de comprimento de a naforma )TT(  d . Neste estágio, cada um dos nós,  e , foi deslocado da metade da variação docomprimento na direção de a .Num segundo estágio deveremos considerar os deslocamentos que  e  sofreram como nóspertencentes a arestas de outros tetraedros, tal como considerado anteriormente. Esta é uma formaaproximada de definir a posição de cada vértice no espaço e no instante t: considerar que as arestasconcorrentes nesse vértice sofreram as mencionadas variações de comprimento nas suas próprias direçõese somar os vetores correspondentes. Assim, denotando por 4 o vetor deslocamento no instante t do nó 4,escrevemos:)TT()TT()TT(2 4334422441144  ddd , (5.01).
  25. 25. 25Expressões análogas a (5.01) podem ser escritas para os deslocamentos dos demais nós, já expressos emfunção dos vetores da base local e dos vetores arestas da face oposta à origem local. Tem-se,:4114311321121 )TT()TT()TT(2 ddd   ,)TT()TT()TT(2 2112244223322  ddd ,e)TT()TT()TT(2 3223311334433  ddd .Lembrando que d=-d podemos escrever:1414131312121 )TT()TT()TT(2 ddd  ,)TT()TT()TT(2 2112242423232  ddd ,)TT()TT()TT(2 3223311334343  ddd ,e)TT()TT()TT(2 4334422441144  ddd .Tem-se, então, para expressão da matriz coluna dos vetores deslocamentos dos vértices doelemento tetraédrico em apreço:}T].{[}{ eee A , (5.02),com4321e 2}{ ,4321eTTTT}T{ , (5.03),e342414342414343423132313242324231212141312141312e ][ddddddddddddddddddddddddA , (5.04).A matriz 4x4 [Ae] é degenerada, pois a soma dos vetores de qualquer coluna é igual a zero, bemcomo a soma dos vetores de qualquer linha. Por ser d=a, o vetor da quarta linha e quarta coluna é ooposto da soma dos produtos dos vetores arestas concorrentes em 4 pelas médias dos coeficientes dedilatação e eles associados; os demais elementos da diagonal principal têm igual interpretação.*Ainda a título de aplicação devemos estender a expressão (5.01) para o nó w da Figura 4.4; e ofaremos como habitualmente, aplicando (5.01) para cada elemento tetraédrico com nó w comum. Essevetor é a soma dos 4 vetores seguintes, cada um relativo a um tetraedro:- para w-ijk: ])TT()TT()TT[(21wkwkwjwjwiwiwijk ddd - para w-jkl: ])TT()TT()TT[(21wlwlwkwkwjwjwjkl ddd - para w-kli: ])TT()TT()TT[(21wiwiwlwlwkwkwkli ddd - para w-lij: ])TT()TT()TT[(21wjwjwiwiwlwlwlij ddd  .
  26. 26. 26Somando esses vetores, e expressando essa soma em forma matricial, vem: wlkjiwlwkwjwiwlwkwjwiwTTTTT)(23.dddddddd .Devemos agora escrever as expressões dos vetores deslocamentos de todos os nós que definem ow-tetraedro da Figura 4.4, pela aplicação de (5.02) para cada tetraedro. Teremos:- para o tetraedro w-ijk:wkjikwjwiwkwjwiwkwkwjkikjkikjwjkjwjkijijiwikijiwikijwkjiTTTT.2dddddddddddddddddddddddd;- para o tetraedro w-jkl:wlkjlwkwjwlwkwjwlwlwkljlkljlkwklkwkljkjkjwjljkjwjljkwlkjTTTT.2dddddddddddddddddddddddd;- para o tetraedro w-kli:wilkiwlwkwiwlwkwiwiwlikilikilwlilwliklklkwkiklkwkiklwilkTTTT.2dddddddddddddddddddddddd,- para o tetraedro w-lij:wjiljwiwlwjwiwlwjwjwijljijljiwijiwijlililwljlilwljliwjilTTTT.2dddddddddddddddddddddddd,Vamos denotar por d, para =i,j,k,l,w, a soma dos vetores com origem no nó  e extremidadenos demais nós, isso é:iwilikiji ddddd  , jwjljkjij ddddd  , etc.Então, por superposição dos efeitos, as quatro expressões matriciais escritas podem ser resumidas naúnica seguinte:wlkjiwlwlwkwjwiwlwlwlkljlilkwklkwkjkikjwjljkjwjijiwilikijiwiwlkjiTTTTT33d3333d22223222232222322222 .dddddddddddddddddddddddddddd, (5.05).
  27. 27. 27

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