Introdução à Amostragem Compressiva

Introdu¸cão à Amostragem Compressiva
Edmar Candeia Gurjão
Departmento de Engenharia Elétrica
Universidade Federal de Campina Grande
ecandeia@dee.ufcg.edu.br
01 de setembro de 2013

Apresenta¸cão
Professor do Departamento de Engenharia Elétrica da
Universidade Federal de Campina Grande - PB
Áreas de Interesse:
Amostragem Compressiva
Rádio Definido por Software

Sumário
1. Introdu¸cão
2. Amostragem Compressiva
3. Aplica¸cões
4. Desafios
5. Fontes de Informa¸cão

Introdu¸cão
Quantidade de dados gerada pelos seres humanos tem crescido de
forma exponencial:
A quantidade de dados gerada no mundo cresce 58% por ano
Em 2010 foram gerados 1250 bilhões de Gigabytes de dados
Mais bits que estrelas no universo.
A quantidade de armazenamento cresce a 40% ao ano.
Dependendo da resolu¸cão e do padrão de grava¸cão escolhidos,
as imagens obtidas por uma câmera digital tem pixels
descartados.
Componentes em certas frequências são eliminadas em muitos
padrões de áudio
Donoho, Candès e Tao: Porque não capturar somente os
dados de interesse (informa¸cão)?

Introdu¸cão
Teorema de Nyquist: um sinal x(t) limitado em frequência,
|X(f )| = 0, |f | > FM, é univocamente determinado por suas
amostras x(nTS ), n = 0, ±1, ±2, ... desde que Fs = 2
Ts
≥ 2FM.
Leva em considera¸cão somente o conteúdo espectral, e não a
informa¸cão contida no sinal.
Aplica-se a qualquer classe de sinais.

Introdu¸c˜ao
Alternativa para reduzir a quantidade de dados: sub-amostrar:
Pode-se perder muita informa¸c˜ao.

Introdu¸cão - Sinal Esparso
Uma representa¸cão esparsa para um sinal x de comprimento
N tem S << N coeficientes diferentes de zero.
Ex. seno: tempo × frequência
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
n
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
cos(n)
(a)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
N
−20
0
20
40
60
80
100
120
140
Amplitude
(b)

Introdu¸cão - Sinal Esparso
Ressonância Magnética e sua Transformada de Fourier

Introdu¸cão - Coerência
Dado um par de bases ortonormais, (Φ, A), tem-se
µ(Φ, A) =
√
N. max
1≤k,j≤N
|< φk, aj >|,
a medida de coerência, e µ(Φ, A) ∈ [1,
√
N].
µ = 1 matrizes incoerentes
µ =
√
N matrizes coerentes

Amostragem Compressiva - Coerˆencia
Sendo Φ e A ortonormais, vamos fazer as linhas de A iguais
as primeiras M colunas de Φ, ou seja
A =





φ1,1 φ2,1 · · · φN,1
φ1,2 φ2,2 · · · φN,2
...
...
...
...
φ1,M φ2,M · · · φN,M





e
AΦ =





1 0 0 · · ·
0 1 0 · · ·
...
...
...
0 0 1 · · ·





logo µ(Φ, A) =
√
N e as matrizes tem alta coerˆencia.

Introdu¸cão - Defini¸cão de norma de um vetor
Norma lp de um vetor ( x p)p =
N
i=1
|xi|p
A norma l0 conta o número de elementos não zero no vetor,
ou seja, o seu suporte.
Seja x = (x1, x2)
(c) Norma l1 (d) Norma l2

Introdu¸cão - Princ´ıpio da Incerteza
Seja α a representa¸cão de um vetor x na base Φ e β a sua
representa¸cão na base A, então mostra-se que
||α||0 + ||β||0 ≥
2
µ(Φ, A)
Não é poss´ıvel obter simultaneamente uma representa¸cão
esparsa do mesmo sinal em dois dom´ınios distintos.

Sinais Compress´ıveis
A melhor aproxima¸cão com S-termos de um sinal é obtida
mantendo os maiores S coeficientes, e o erro será dado por
σS = arg min
α∈σS
||x − Φα||2
Para sinais compress´ıveis
σk ≤ C2S1/2−s

Sinais Compress´ıveis
Uma representa¸cão compress´ıvel aproxima bem um sinal com
S coeficientes diferentes de zero.
(e)
0 200 400 600 800 1000 1200
N
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
PixelAmplitude (f)
Usando somente os valores e as posi¸cões diferentes de zero
pode-se obter uma representa¸cão com alta fidelidade.
Fundamento para a codifica¸cões por transformada: JPEG,
JPEG2000, MPEG, MP3, etc.

Amostragem Compressiva (Compressed Sensing, Compressed
Sampling, Compressive Sensing) surguiu como um framework
para obter representa¸cões bem mais compactas de sinais
esparsos ou compress´ıveis do que as obtidas baseando-se no
Teorema de Nyquist.
Ideia básica é fazer proje¸cões em espa¸cos de dimensões
menores e, quando necessário, recuperar usando otimiza¸cão.
Não é uma ideia nova: em outros contextos há aplica¸cões que
datam de 1795.

Sinal esparso x ∈ RN
x é S-eparso: {i : xi = 0} tem tamanho igual ou menor que S
Conjunto de medidas (proje¸cões) y dadas por
ym = x, am , m = 1, ..., M.
am vetores utilizados para as medi¸cões
Nota¸cão matricial y = Ax.





y1
y2
...
yM





=





a11 a12 · · · a1N
a21 a22 · · · a2N
...
...
...
...
aM1 aM2 · · · aMN





×





x1
x2
...
xN






Sistemas Lineares
Se ﬁzermos M = N:
y = A × x
yM
...
y2
y1
=
aM,1
...
a2,1
a1,1
. . .
. . .
. . .
aM,N
...
a2,N
a1,N
×
xN
...
x2
x1

Sistemas Lineares
Se ﬁzermos M > N:
y = A × x
yM
...
...
y2
y1
=
aM,1
...
...
a2,1
a1,1
. . .
. . .
. . .
aM,N
...
...
a2,N
a1,N
×
xM
...
x2
x1

Sistemas Lineares
Se ﬁzermos M < N:
y = A × x
yM
...
y2
y1
=
aM,1
...
a2,1
a1,1
. . .
. . .
. . .
aM,N
...
a2,N
a1,N
×
xN
...
x4
x3
x2
x1

Sistema Linear × representa¸cão de sinais
Voltemos ao sistema linear:



y1
...
yM


 =



a11 a12 · · · a1N
...
...
...
...
aM1 aM2 · · · aMN


 ×



x1
...
xN



Após a multiplica¸cão, observando somente a primeira linha:
y1 = a11x1 + a12x2 + ... + a1NxN
y1 carrega informa¸cões sobre todos os xi , ponderados pelos
respectivos a1i .
Se soubermos N pondera¸cões, podemos determinar os xi .
Se tivermos, ou pudermos fazer N > M combina¸cões,
podemos proteger os xi contra erros.
Nesses casos pode-se recuperar fazendo x = [AT A]−1AT y.

Caso de interesse M < N
Menos medidas que valores do sinal (compressão)
y = Ax tem mais incógnitas que equa¸cões
pode não ter solu¸cão, ou ter infinitas solu¸cões.
Vamos considerar que a matriz A é de rank completo, ou seja
suas colunas alcan¸cam (span) todo o espa¸co RN
,
Óraculo que indique as posi¸cões em que o vetor x é nulo,
conjunto S. Pode-se formar a matriz AS somente com as
colunas indicadas por S e resolver xS = [AT
S AS]−1AT
S y.
Sem óraculo em com x esparso: método de busca.
Solu¸cão pelo óraculo servirá de referência.

Norma lp de um vetor ( x p)p =
N
i=1
|xi|p
A norma l0 conta o número de elementos não zero no vetor,
ou seja, o seu suporte.
Pode-se recuperar o sinal x a partir das medi¸cões y resolvendo
o problema de otimiza¸cão
(P0) min
˜x∈Rn
|| ˜x ||l0 sujeito a A˜x = y,
A solu¸cão desse problema envolve uma busca nos
N
S
poss´ıveis suportes.

Busca nos
N
S
poss´ıveis suportes.
Quanto mais esparso o sinal (menor o valor de S) para um
mesmo N, pior.
Exemplo: [Livro Elad] Para M = 500 e N = 2000, se o sinal
tem S = 20 n˜ao zeros, tem-se
N
S
≈ 3, 9 × 1047
Problema NP-completo.

Alternativa ao problema P0: A norma l1 coincide com a
norma l0 dado que algumas condi¸c˜oes sejam satisfeitas.
Tomando M ≥ S log2(N/S) << N recupera-se o sinal original
resolvendo o problema
(P1) min
˜x∈Rn
|| ˜x ||l1 sujeito a A˜x = y,
Como escolher o valor de M?
Erro m´ınimo na recupera¸c˜ao: E||˜x − x||2
<
Para x = (x1, x2)
(g) Norma l1 (h) Norma l2

Espa¸co nulo de uma matriz:
N(A) = {x : Ax = 0}.
Vetores S-eparsos serão escritos como Ax, logo
x e x ambos S-esparsos deveremos ter Ax = Ax , ou ainda
A(x − x ) = 0
Como x − x pertence ao conjunto de vetores 2S-esparsos,
Condi¸cão do espa¸co nulo (Null space condition):
Para que seja poss´ıvel recuperar um vetor S-esparso a partir
de Ax, N(A) não deve conter vetores 2S-esparsos.

Caso o sinal z não seja esparso:
aplicar alguma transforma¸cão Φ e obter uma representa¸cão
x = Φz que seja esparsa
Φ ortonormal, φΦH = φHΦ = I, sendo ΦH o hermitiano
transposto
(i) Lena (j) Coeficientes DWT

Em seguida usar uma matriz A para comprimir o sinal.
Entretanto, as linhas {φj } de Φ n˜ao podem ser esparsamente
representadas pelas colunas {ai } of A (ou vice-versa).
Dado um par de bases ortonormais, (Φ, A), tem-se
µ(Φ, A) =
√
n. max
1≤k,j≤N
|< φk, aj >|,
a medida de coerˆencia, µ(Φ, A) ∈ [1,
√
N].

Matrizes Φ e A devem ser incoerentes, ou seja, µ(Φ, A) = 1
Matriz cujos elementos tem distribui¸cão Gaussiana é
incoerente a qualquer outra base.
Problema prático: como gerar a mesma matriz na compressão
e na descompacta¸cão?

Duas tarefas principais:
Projetar uma boa matriz de medi¸cão: alta compressão
mantendo a informa¸cão e criando robustez contra erros.
Projetar um bom algoritmo de reconstru¸cão: rapidez, baixo
custo computacional e robustez contra erros.

Matriz A que permite a recupera¸cão do vetor S-esparso v e
para um δS > 0 é que
(1 − δS )||v||2
2 ≤ ||Av ||2
2≤ (1 + δS )||v||2
2.
Conhecida como propriedade de isometria restrita (em inglês
restricted isometry property (RIP)).
A RIP de ordem 2S para dois sinais S-esparsos, x1 e x2:
(1 − δ2S ) ≤
Ax1 − Ax2
2
l2
x1 − x2
2
l2
≤ (1 + δ2S ). (1)

A obten¸cão de matrizes que obede¸cam a RIP ainda é objeto
de estudos
Porém selecionando as entradas de A como variáveis aleatórias
com média zero e variância 1/N, obtém-se uma matriz de
medi¸cão universal, que tem as seguintes propriedades:
é incoerente com a base Φ = I, e
é universal no sentido que Θ = ΦA será Gaussiana e i.i.d
independente da base ortonormal Φ.

Amostragem Compressiva - Ru´ıdo
Ru´ıdo atinge o sinal j´a a mostrado, ou seja, o sinal original
deve ser recuperado a partir das amostras
y = Ax + n
sendo n um ru´ıdo, ou
Ru´ıdo aparece durante a amostragem, ou seja,
y = A{x + z} + n
conhecido como noise folding.

Primeiro caso (ru´ıdo adicionado ao sinal amostrado):
Na presen¸ca de ru´ıdo y = Ax + z
(P2) min
˜x∈RN
|| ˜x ||l1 sujeito a ||A˜x − y||2 ≤ ,
Para um ru´ıdo Gaussiano com variância σ2:
Solu¸cão pelo oráculo (conhecimento das posi¸cões diferentes de
zero):
E||xOracle
− x||2
= Mσ2
.
Seletor Dantzig estima ˆxDS
com erro médio quadrático dado
por:
1
N
E ˆxDS
− x 2
2 ≥ C
S
M
log(N)σ2
(2)

Segundo caso (ru´ıdo adicionado durante amostragem):
y = A{x + z} + n (3)
n ru´ıdo de medi¸cão, z como um ru´ıdo associado ao sinal com
co-variância σ2
0I:
y = Bx + u
B uma matriz com RIP próxima ao da matriz A, e u um ru´ıdo
branco de média zero e co-variância (σ2 + N
M σ2
0)I.
Como M << N, a compressão aumenta a variância do ru´ıdo,
fato denominado de noise folding.

Amostragem Compressiva - Ferramental
Matriz Gaussiana AM×N
Obter as medidas yN = Ax.
Recupera-se os sinal usando minimiza¸cão da norma l1:
1. Relaxa¸cão convexa (Convex relaxation) utiliza¸cão um
problema de otimiza¸cão convexa para recuperar o sinal esparso.
2. Busca Gulosa: algoritmos que fazem a busca uma
aproxima¸cão esparsa pela busca de coeficientes que fornecem a
melhor representa¸cão.
3. Framework Bayesiano (Bayesian framework) assume uma
distribui¸cão a priori do sinal esparso e utilizando estima¸cão
recupera os sinal esparso.
4. Otimiza¸cão não-convexa (Nonconvex optimization) utiliza
métodos de otimiza¸cão não convexa para recuperar o sinal
esparso.
5. Combinatoriais fazem um busca sobre todos os poss´ıveis
conjuntos de suporte para determinar em quais deles estão os
coeficientes do sinal esparso.

Métodos Baseados em Otimiza¸cão Convexa
De forma geral parte-se de um fun¸cão de custo J(x) que é pequena
para x esparso, e busca-se resolver
min
ˆx
{J(ˆx) : y = Aˆx}
Usando J(x) = ||x||1 é comum usar Programa¸cão Linear. Exemplo
mais comum l1 magic.

Métodos de Otimiza¸cão
Partindo do problema básico da minimiza¸cão da norma l1 :
min
˜x∈Rn
|| ˜x ||1 sujeito a A˜x = y,
escreve-se o problema de otimiza¸cão
min
˜x∈Rn
1
2
|| A˜x − y ||2
2 +τ||bfx||1,
sendo τ um parâmetro de regulariza¸cão cujo valor governa a
esparsidade da solu¸cão, desenvolveram-se vários algoritmos: l1l s,
Fixed-Point Continuation, etc..

Dantzig Selector
Estima¸cão de um parâmetro x ∈ RN das observa¸cões ruidosas
y ∈ RM, quando M << N, e ru´ıdo Gaussiano n ∼ N(0, σ2
nIM).
min
˜y∈RN
||ˆy||l1 sujeito a ||A∗
r||l∞ = sup
i≤i≤N
|(A∗
r)i | ≤ λp · σ (4)
para algum λp > 0, e o vetor de res´ıduos r = y − A˜y.
|(A∗r)i | ≤ λN · σ for i = 1, ..., N: res´ıduos no n´ıvel de ru´ıdo.
Dado o sinal esparso S e a matriz Gaussiana com entradas i.i.d., o
número de medidas é dada por:M = S · log(p/S).

Métodos de Busca Gulosa
Método de persegui¸cão (pursuit): consiste em refinar a
estimativa de um vetor pela modifica¸cão de um ou mais de seus
componentes e escolher a modifica¸cão que melhora a
representa¸cão do sinal.
Basis Pursuit
Matching Pursuit
Orthogonal Matching Pursuit

Matching Pursuit
Dada a representa¸c˜ao compacta y, a matriz A, faz-se o res´ıduo
r0 = y e com os passos:
λk = arg max
λ
< rk, ak > ak
||ak||2
rk = rk−1 −
< rk, aλk
> aλk
||aλk
||2
e
ˆxλk
= ˆxλk
+ < rk−1, aλk
>
Crit´erio de parada: norma do res´ıduo muito pequena.

Entradas:
Uma matriz, de medi¸c˜ao Φ, N × d
Um vetor N-dimensional v de dados
O n´ıvel m de esparsidade do sinal ideal
Sa´ıdas:
Uma estimativa ˆs em Rd do sinal ideal
Um conjunto Λm contendo m elementos de {1, ..., d}
Uma aproxima¸c˜ao N dimensional am do vetor v
Um res´ıduo N dimensional rm = v − am

Inicializa¸cão:
Fa¸ca r0 = v, Λ0 = ∅, e o contador de inicializa¸cão t = 1
Itera¸cão: Enquanto t < m fa¸ca
1. Encontre o ´ındice λt que resolve o problema de otimiza¸cão
λt = arg max
j=1,...,d
< rt−1, ϕj >
2. Amplie o conjunto ´ındice e a matriz com os átomos escolhidos: Λt = Λt−1 ∪ {λt } e Ωt = [Ωt−1 ϕλt
].
Inicie com Ω0 como a matriz vazia.
3. Resolva o problema dos m´ınimos quadrados para obter a nova estimativa do sinal
xt = arg min
x
||v − Φtx||2
4. Calcule a nova aproxima¸cão dos dados e o novo res´ıduo
at = Φt xt e rt = v − at
5. Incremente t.

Métodos Combinatoriais
Análise das poss´ıveis representa¸cões dos sinais.
Complexidade maior do que os algoritmos de persegui¸cão
Dependendo da rela¸cão entre a esparsidade e o tamanho do
sinal, dão respostas mais adequadas que os demais.
Exemplo: dados N items como determinar S com defeito?
Teste de grupos: aplica-se o teste a um grupo de L elementos,
caso haja erro, esse grupo é subdividido.
Aplica¸cão na deteçcão de doen¸cas durante a guerra.
.

Métodos Combinatoriais × Algoritmos de Busca
Transi¸cão de fase (phase transition) [Donoho e Tanner]: limiar
entre a compressão obtida e a esparsidade de um sinal. Determina
região em que deve-se usar os algoritmos de busca ou
combinacionais.
(k) Observer Universality of Phase
Transition. Donho e Tanner
(l) Fonte: Nuit Blanche

Amostragem Compressiva - Hardware
Objetivo: Conversão do sinal no dom´ınio analógico para o
dom´ınio digital porém capturando apenas a informa¸cão
Conversores Analógicos para Informa¸cão, ou AIC do inglês
Analog to Information Converter.
Sinal x(t), t ∈ [0, T], um conjunto de fun¸cões teste
{φ(t)}M
j=1, e realizar M medi¸cões da forma
y[j] =
T
0
x(t)φj (t)dt. (5)
Para construir esse sistema de medi¸cão devemos ter três
componentes
hardware para gerar sinais de teste φj (t)
M correlatores que multipliquem o sinal x(t) com cada um dos
φj (t)
M integradores com um estado inicial com valor zero.

Amostragem Compressiva - Modulador Aleatório
x(t) é correlacionado com uma sequência de pulsos aleatórios ±1,
que alterna entre os valores numa taxa de Nyquist NaHz
proporcional à taxa de Nyquist de x(t).
Sinal misturado é integrado em um per´ıodo de tempo de 1/Ma e
amostrado por um ADC de taxa MaHz << NaHz, o que fornece:
y[j] =
j/Ma
(j−1)/Ma
pc(t)x(t)dt. (6)

Denotando pc[n] como a sequência de s´ımbolos ±1 usada para
gerar pc(t), temos que pc(t) = pc[n], t ∈ [(n − 1)/Na, 1/Na], e
como exemplo seja j = 1, temos
y[1] =
1/Ma
0
pc(t)x(t)dt =
Na/Ma
0
pc[n]
1/Ma
0
x(t)dt (7)
e como Na é a taxa de Nyquist de x(t) então
1/Ma
0 x(t)dt é a
média de x(t) no n-ésimo intervalo, que pode ser denotado por
x[n], o que nos leva a
y[1] =
Na/Ma
n=1
pc[n]x[n]. (8)

Amostragem Compressiva - NUS
Amostrador n˜ao uniforme (non-uniform sampler - NUS): mant´em
somente uma parte das amostras.

Amostragem Compressiva - Xampling
Baseia-se na uni˜ao de subespa¸cos para determinar em qual dos
subespa¸cos as amostras do sinal est˜ao e em seguida utilizar um
conversor AD comercial para digitalizar o sinal.

Amostragem Compressiva - Propriedades
Amostragem Aleatória A amostragem se dá pela multiplica¸cão por
uma matriz pseudo-aleatória que pode ser gerada por
uma semente, que pode ser encarada como uma
chave criptográfica.
Robustez a Erros A perda de amostras do sinal comprimido não
gera a perda total do sinal reconstru´ıdo, pois pode
ser encarada apenas como uma redu¸cão do número
de amostras do sinal.
Universalidade O projeto do codificador leva em conta a
esparsidade do sinal, e não sua banda de frequência,
sinais com o mesmo n´ıvel de esparsidade podem ser
amostrados com o mesmo codificador, independente
da natureza do sinal.
Complexidade Reversa O codificador é extremamente simples. Isso
possibilita a aplica¸cão de compressão onde existe
limita¸cão de hardware, como em redes de sensores
sem fio.

Amostragem Compressiva – Aplica¸c˜oes de maior destaque

Amostragem Compressiva – Imagens em terahertz
Ondas em Terahertz (0,3 a 10 THz,) pentram barreiras como
roupas e plástico.
Podem ser usadas em seguran¸ca para revelar, de forma não
destrutiva, objetos escondidos
Dependendo da resolu¸cão, pode levar horas para obter uma
imagem.

Amostragem Compressiva – Imagens em terahertz

Amostragem Compressiva – Corre¸cão de Erros
Vetor de informa¸cão x de tamanho N, uma matriz de
codifica¸cão AM×N e o vetor código y = Ax. No caso da
codifica¸cão para controle de erros, seré feito M > N, pois o
objetivo aqui é introduzir redundância.
O vetor código y é corrompido por um ru´ıdo e gerando o
vetor yr = Ax + e, sendo e um vetor esparso arbitrário de
tamanho M com
||e||0 ≤ ρM
sendo ρ < 1.
Para reconstruir x deve-se reconstruir e pois y = ax + e
fornece Ax e consequentemente x pois A é uma matriz de
rank completo.
Obtendo uma matriz F tal que FA = 0 pode-se fazer
y = F(Ax + e) = Fe
e o problema se reduz a reconstruir o vetor esparso e a partir
de Fe.

Amostragem Compressiva – Corre¸cão de Erros
Outra maneira é resolver o problema de otimiza¸cão
min
g∈RN
|| y − Ag ||l1 .
pois sendo g = f + h chega-se a
min
g∈RN
|| e − Ah ||l1 .
Os autores estabelecem o tamanho máximo do suporte de
vetor de erros e para o qual a minimiza¸cão é única.

Processamento de Sinais no Dom´ınio Comprimido
A opera¸cão Ax é
Linear
Obedecendo a RIP as propriedades dos sinais se mantém
Parâmetros podem ser medidos na representa¸cão comprimida,
y = Ax.
Algumas classes de processamento não necessitam recuperar o
sinal original: inferência, classifica¸cão, estima¸cão e deteçcão
de parâmetros.

Aplica¸cões da Amostragem Compressiva
Compressão de áudio
Música → MDCT → Comprimir usando Amostragem
compressiva → Recuperar → Medida de distor¸cão
Qualidade Perceptual Interpreta¸cão
-5 a -4 Diferen¸ca percept´ıvel e muito desagradável
-4 a -3 Diferen¸ca percept´ıvel e desagradável
-3 a -2 Diferen¸ca percept´ıvel e levemente desagradável
-2 a -1 Diferen¸ca percept´ıvel mas não desagradável
-1 a 0 Diferen¸ca impercept´ıvel

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
Taxa de Compressão
QualidadePerceptualMédia
Comparação entre CODECs comuns e ACS
MP2
MP3
AAC
OGG
ACS
Figura: CODECs comuns e ACS

Jhonson-Lindenstrauss Lemma: para um conjunto de N pontos em
M dimensões é poss´ıvel encontrar uma proje¸cão aleatória
f : RN×D → RN×M com M = log N
2
Considere uma cole¸cão de N objetos cada um com D dimensões
representado no instante n por uma matriz
X(n) = [x1(n) x2(n) ... xN(n)]T
e atualizados de forma ass´ıncrona com ∆(n + 1) = (i, j, vn+1) que
informa a atualiza¸cão da linha i, coluna j com o valor v.

Atualiza¸c˜oes na matriz X(n) ∈ Rn×d podem ser vistas como:
xi,j (n) = xi,j (n − 1) + vn
e em uma nota¸c˜ao matricial
X(n) = X(n − 1) + V(n)
sendo V(n) = Vmn(n) = vnδi,mδj,n.

Se considerarmos A(0) = 0 temos
A(n) =
n
i=1
V(i).
Usando a matriz R ∈ RD×M podemos escrever o esbo¸co da
matriz A(n) usando a proje¸cão
S(n) = A(n) · R
e
S(n) =
n
i=1
V(n)R.
As atualiza¸cões podem ser feitas considerando
S(n + 1) =
n+1
i=1
V(n)R =
n
i=1
V(n)R + V(n + 1)R
então para atualizar os esbo¸cos pode-se projetar a atualiza¸cão
sobre a matriz R.

Esbo¸co de uma atualiza¸cão pode ser vista como
V(n)R = [0 ...v(n) ...0]T
[r1 r2 ... rN] = v(n)








0 0 ... 0
...
... · · ·
...
rj,1 rj,2 · · · rj,k
...
... · · ·
...
0 0 ... 0








então a atualiza¸cão dos esbo¸cos consiste em multiplicar o
valore da autaliza¸cão pela linha ad matriz de proje¸cão.

Considerando dados gerados por medidores de energia elétrica
Conjunto de 400 usuários
Medida de ”similaridade”(S) entre usuários: distância entre
os vetores que representem os seus consumos.
SO similaridade calculada nos dados originais
SP similaridade calculada nos dados projetados
E = |SO −SP |
S1
.100

Erro na recupera¸c˜ao × Compress˜ao

Tempo de processamento × Compress˜ao

Fontes de Informa¸c˜ao
Nuit Blanche blog (http://nuit-blanche.blogspot.com.br/)
DSP at Rice University (http://dsp.rice.edu/cs)
An Introduction to Compressive Sensing, Connexions.

Finalmente
Obrigado!
ecandeia@dee.ufcg.edu.br

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