Movimento Curvilineo

Mecânica II.
Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br

Mecânica II
Parte II

Análise vetorial: Movimento curvilíneo de um ponto material, derivadas vetoriais,
movimentos de projeteis.

Referências:
[1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, Mecânica, 4ª ed., LTC – Livros
Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1996.
[2] P. A. Tripler, Física, vol 1, Guanabara Dois., Rio de Janeiro, 1978.
[3] F. P. Beer, E R. Johnston Jr., Mecânica Vetorial para Engenheiros, Cinemática e Dinâmica,
ed. 5º, Makron Books editora, Rio de Janeiro, 1991.
[4] J. L. Meriam, L. G. Kraige, Mecânica Dinâmica, 4ª ed., LTC – Livros Técnicos e Científicos
Editora S. A., Rio de Janeiro, 1999.
[5] George Arfken, Mathematical Methods for Physics, 3ed., Academic Press, Inc. San Diego,
1985.

Movimento curvilíneo de um ponto material. (Coordenadas cartesianas)

Quando um ponto descola-se em uma curva, dizemos que está em movimento curvilíneo.

r
Vetor posição  .
 j∣=∣ 
Vetor posição em termos dos vetores unitários cartesianos  ,  e k , isto é, ∣∣=∣  k∣ .
i j i
Observe que estas são linearmente independentes e formam uma base para o espaço cartesiano.

i j 
 =x  y  z k
r
∣∣=r=  x   y j z k ⋅ x   y jz k 
r i  i 
r=  x  y  z
2 2 2

Velocidade de um ponto material (coordenadas retangulares).

˙  d 
r r
 = = lim
v r =
 t 0  t dt
d  dx dy dz 
˙
r j 
 =  x i  y  z k =    i ˙ i ˙ j ˙ 
j k = x  y  z k
dt dt dt dt
∣ ∣
r
v = lim
 s ds
t  0  t
= = lim
dt t  0  t ∣
= lim

t  0  t
r
= ∣∣ ∣
dr
dt
=∣∣
˙
r

v= x 2 y 2 z 2
˙ ˙ ˙
dx
Obs.: sempre que temos derivadas temporais podemos usar a nomenclatura x =
˙ ,
dt
2
d xi
xi =
¨ 2
,onde x i é uma variável qualquer de um sistema de coordenas.
dt

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Aceleração de um ponto material (coordenadas retangulares).
2
˙  d  d 
v v r
 =  = lim
a v = = 2
 t 0  t dt dt
d  dx dy  dz 
˙ ˙ ˙
 =  x i  ˙  z k =
¨
r ˙ y j ˙  i j ¨ i ¨ j ¨ 
k = x  y  z k
dt dt dt dt
2
a r
 = =¨ d = d 
v r
dt dt 2
a=∣∣= x 2  y 2 y 2
¨
r ¨ ¨ ¨

Movimento relativo.

Seja S e S ' dois referenciais com movimento relativo entre si. Observe a figura abaixo:

r
Posição relativa  A/ B
r r r
 B= A  B / A

v
Velocidade relativa  A/ B
d d
 B =   A  B / A 
r r r
dt dt
˙
r r r˙ ˙ v v v
 B= A B / A ⇒  B = A B / A

a
Aceleração relativa  A / B
¨ B= A B / A ⇒  B= A B / A
 r
r ¨ r ¨ a a a

Exercícios.

1. Dispara-se um projétil de uma colina de y 0=150 m , ˙ 0=v cos θ =180 cos 30º  m/s 
y
150 m de altura, com uma velocidade inicial 1
y= y 0 ˙ 0 t g t 2
y
de 180 m/ s , num ângulo de 30º com a 2
horizontal. Desprezando-se a resistência do ar,
determinar (a) distância horizontal da arma ao 2
0=2y 02 ˙ 0 tg t ⇒ t=
y
˙  2
−2 y 0 ±  2 y 0  −4g  2y0 
˙
2g
ponto onde o projétil atinge o solo, (b) a altura
t=19,9 s tempo de queda da bala.
máxima que o projétil alcança em relação ao
solo.
Movimento na horizontal (direção x).
x 0=0, x 0 =v sen =180 sen 30º m / s
˙
x= x0  x 0 t ⇒ x=3,10 km
˙

(b) Elevação máxima

Quando a elevação é máxima temos um ponto
de retorno da variável y , sendo que ˙ =0 ,
y
assim, temos:
Resposta:
Consideremos separadamente o movimento − y0
˙
y = y 0 g t ⇒0= y 0g t ⇒ t=
˙ ˙ ˙
vertical e horizontal. g
(a) Movimento vertical (direção y ). 1
y= y 0 y0 t g t 2 ⇒
˙
2

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2
y0 1 − y0
˙
y max= y 0 − ˙ 0  g
y
g 2  
g
˙
= y 0−
y2
˙0
2g
y max=413 m

Outro método mais direto seria pela equação de
Torricelli.
2 2 2
˙ = y 0 2g  y− y 0  ⇒ 0= y 0 2g  y max − y0 
y ˙ ˙
2 Movimento relativo de B em relação à A .
y
˙0
y max = y 0 − =413 m Determinando o triangulo correspondente à
2g r r r
equação vetorial  B = A B / A , obteremos o
modulo, direção e sentido do vetor B em
2. Um automóvel A está trafegando para leste relação à A .
com uma velocidade constante de 25 km/ h . r A/ B =37,8 m ⇒ =23,4 º
Quando passa pelo cruzamento ilustrado na
figura, um automóvel B , que estava parado a
Procedendo de forma análoga temos:
30 m ao norte dirige-se para o sul com uma
v A/ B =9,17 m/ s ⇒ =40,8 º
aceleração constante de 1,2 m/ s 2 . Determine 2
a posição, velocidade e aceleração de B a A/ B =1,2 m / s 
relativos à A 5,0 s após A passar pelo
cruzamento.

3. O movimento de um ponto material é dado
2
pelas equações x=2t −4t e
Resposta: 2
y=2  t−1  −4  t−1  , onde x e y são dados
Escolhemos a origem no cruzamento das duas em metros e t em segundos. Determinar (a) o
ruas com os sentidos, para leste e norte. mínimo valor da velocidade escalar do ponto e
Movimento do automóvel A . (b) o instante, a posição e a direção da
x A =0, x A =6,94 m / s , x A = x 0A x t =6,94 t
˙ ˙ velocidade correspondente.
Para t =5 s , temos: x A=6,94 t=34,7 m
4. Um ponto material descreve uma elipse de
Movimento do automóvel B . equação:  = Acos  t  Bsen  t  . Mostre
r i j
a B=1,3 m/ s 2 , y B= y 0B a B t=−1,2 t ,
˙ ˙ que a aceleração (a) aponta para a origem e (b)
1 1 r
é proporcional a  .
y B= y 0B  y 0 t a B t 2=30−  1,2  t 2
˙
2 2

Para t =5 s , temos ˙ B=6 m/ s , y B =15 m
y

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5. As equações dadas definem o movimento de 9. Descarrega-se areia do ponto A de uma
2 −2
um ponto material:  =2  t 1   2  t1   ,
r i j esteira horizontal, com velocidade inicial v 0 .
onde r é dado em metros e t em segundos. Determine o intervalo de valores de v 0 para os
Mostrar que a trajetória do ponto é o segmento quais a areia entrara no tubo vertical.
de hipérbole mostrado na figura abaixo e
determinar a aceleração quando (a) t = 0 e (b)
t = 5s .

10. Uma bomba localiza-se na barreira de uma
plataforma. O bocal A expele uma água a uma
6. O movimento vibratório de um ponto velocidade inicial de 7,6 m/ s formando um
material é definido pela equação ângulo de 50º com a vertical. Determine o
  , onde r é dado
 =4 sin  t  i−cos  2 t  j
r intervalo de alturas h para as quais a água
em metros e t em segundos. (a) Determinar a atinge a abertura BC .
velocidade e a aceleração em t=1 s e (b)
mostre que a trajetória limita-se a um arco de
parábola:

11. Considerando-se que a esteira se move com
7. O movimento tridimensional de um ponto
material é definido por velocidade constante v 0 , (a) determinar o
 =R sen
r  t   
ict jR cos 
 t  k . Determinar valor mínimo de v 0 para o qual a areia pode
os módulos da velocidade e da aceleração do ser depositada em B . Determina também o
ponto (A curva descrita pelo ponto é um correspondente valor de  .
hélice).

8. Um jogador de handebol atira uma bola do
ponto A , com velocidade horizontal v 0 . A
distância d vale 6,1 m . Determine (a) o valor
de v 0 para o qual a bola atingira o vértice C e
(b) o intervalo de valores de v 0 para os quais a
bola atingira a região BCD .

12. Os instrumentos de um avião indicam que
ele está se movendo para o norte com
velocidade de 500 km/h , em relação ao ar.
Simultaneamente, um radar terrestre indica que

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o avião se move com velocidade de 530 km/h 16. Dois aviões A e B coando a uma mesma
numa direção que faz um ângulo de 5º voltado altitude; o avião A está voando para o leste a
para o leste. Determina a magnitude e a direção uma velocidade constante de 900 km/h ,
da velocidade do ar. enquanto B está coando para sudoeste a uma
velocidade constante de 600 km/h .
13. Dispara-se um projétil com velocidade Determine a mudança de posição de B
inicial v 0 , a um ângulo de 20º com a relativamente a A, que ocorre durante um
horizontal. Determine v 0 para o projétil atingir intervala de 2 min .
(a) B (b) C.
17. No instante t=0 , a cunha A põe-se em
movimento em movimento para a direita, com
aceleração constante de 100 mm / s2 e o bloco
B, por sua vez, põe-se em movimento ao longo
da cunha, indo para a esquerda com uma
aceleração de 150 mm / s2 relativamente a
cunha. Determine (a) a aceleração do bloco B e
14. Num dado instante, a peça A tem (b) sua velocidade no instante t=4 s .
velocidade de 16 mm /s e uma aceleração de
2
24 mm/ s , ambas para baixo. Determina (a)
velocidade do bloco B e (b) sua aceleração,
no mesmo instante.

18. Esguicha-se água de A com velocidade
inicial de 12 m/ s , atingindo-se uma série de
pás em B. Sabendo-se que as pás se movem
para baixo com velocidade constante de
1,5 m/ s , determine a velocidade e a
aceleração em relação à pá em B.

15. Um jogador atira uma bola com velocidade
v 0 =15 m/s , de um ponto A localizado a
1,5 m do solo. Sabendo-se que o pé direito do
ginásio de esportes mede 6,0 m , determine a
máxima altura do ponto B que pode ser
atingida pela bola.

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Movimento curvilíneo de um ponto material (Coordenadas generalizadas).

Um pouco de calculo vetorial:

Seja  um vetor de um espaço vetorial qualquer, com a seguinte restrição:
A
 
A⋅A=constante
Seja q uma coordenada do espaço que define  : temos: A
d    ⋅d  
 A⋅A =0 ⇒ d A⋅ A A =2  d A =0
A A⋅
dq dq dq dq
dA dA
⇒ ⋅
A =0 ⇔  ⊥A
dq dq
Logo para qualquer vetor de norma constante tem sua derivada em relação em relação a
uma de suas coordenadas como um vetor perpendicular ao mesmo.
Seja e q um vetor unitário,  e q⋅ q =ij  onde ij =
 i
 e i j
1 se i= j
0 se i≠ j
, na direção da coordenada{
qi , assim temos
d d eq d eq
  d eq
 d eq

e q⋅ q =1⇒
 e i i
dq j
e q⋅ q =0 ⇒ e q⋅ dq  dq ⋅ q =2 eq⋅ dq =0 ⇔ e q ⊥ dq
 e i i
 i
e  i
 i

i i
i

i
i

j j j j
Logo podemos definir e q como o vetor unitário que orienta a coordenada q j da forma:
 j

1 d eq

eq =
 . i

k dq j j

onde k =
∣ ∣
d eq

dq j
i
é conhecido como curvatura da curva.

Sendo o espaço tridimensional devemos ter um trio de vetores unitários que orientam os
vetores nesse espaço. Assim devemos obter vetor unitário na direção e q que orienta a terceira
 k

coordenada, chamemos de coordenada q k . Esse vetor deve ser construído de tal forma que forme
um conjunto linearmente independente com e q e e q . Podemos construir esse vetor eq da
  i j
ˆ k

forma:
eqk = eqi × eq j
ˆ ˆ ˆ
Observe que
  e
k i

∣e q ∣=∣e q × q ∣=∣eq ∣e q ∣sen
 ∣
2
=1 j i j 
Esta é uma receita básica para criação de um espaço vetorial tridimensional qualquer.

Movimento curvilíneo de um ponto material em um plano.

Seja um ponto material em um movimento plano dado por:
 = s ,t 
r r
Assim se desejamos calcular a velocidade do ponto material temos:
v r
==˙ d  = ds d  =v et , com et = d 
r r
 
r
dt dt ds ds
d
r
onde et é o vetor unitário na direção tangencial ao vetor deslocamento. Observe que o vetor

ds
é unitário.
Calculando a aceleração temos:
˙ d  = d  v e t = v e tv ˙t = v e t v ds d e t =v e t v 2 d e t = v e t  v  n , com e n= 1 d e t
2
v   
a v
 = =  ˙ e ˙ ˙ ˙ e 
dt dt dt ds ds   ds

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Mecânica II.
2
v
a ˙
 = v e t e

 n
onde = ∣ ∣
d et

ds
é a curvatura da curva  =  s ,t  . Os vetores et e e n formam um plano que
r r  

contem o vetor aceleração da partícula. Este plano recebe o nome de plano osculador.


2

 
2
O modulo da aceleração a=∣∣= v  v
a ˙
2
.


Exercícios.

1. Para atravessar uma depressão seguida de Uma vez que o raio de curvatura é infinito em
uma elevação na estrada, o motorista de um um ponto de reflexão, pode-se facilmente
carro aplica os freios para produzir uma calcular a n =0 e:
desaceleração uniforme. Sua velocidade é de a=a t=−2,41 m/s
2

100 km/h no ponto A da depressão e de
50 km/h no ponto C no topo da elevação, (c) Condição em C
que se encontra 120 m de A ao longo da v2 13,89 2
pista. Se os passageiros do carro a n = ⇒ a n= =1,286 m/ s 2
 150
experimentam uma desaceleração total de
2
3 m/ s em A e se o raio de curvatura da
a=a n e na t e t =−1,286 e n2,41  t  m/s 2 
   e
elevação em C é de 150 m , calcule (a) o
a= a n a t =2,73 m/s
2 2 2
raio de curvatura  em A , (b) a aceleração
no ponto de inflexão B e (c) a aceleração
total em C . 2. Um carro a uma velocidade constante v 0
encontra-se numa rampa circular de um trevo,
movendo-se no sentido de A para B . O
odômetro do carro indica uma distância de
0,6 km entre o ponto A e o ponto B .
Determine v 0 para que a componente normal da
aceleração seja 0,08 g .

Resposta
v A=100 km/h=27 ,8 m/s
vC = 50 km h = 13,89 m s
Calculo da desaceleração uniforme ao longo
da trajetória:
1 2
∫ vdv=∫ a t ds ⇒ 2  vC −v 2 =a t s
A

1
a t =  v 2 −v 2 =−2,41 m/s 2
2s C A
(a) Condição em A Resposta:
=0.6 ⇒≈191 m
a 2 =at2a 2 ⇒ a 2 =a 2 −a 2 =3 2−2,412 =3,19
n n t
v2
a 2 =3, 19 ⇒a n =1, 785 m/ s 2
n
a n = 0 ¿ ⇒ v 2= a n =191⋅0.08g≈150
0

v2 v 2 27,82 ⇒ v 0=12,25 m/ s
a n = ⇒ = = =432 m
 a n 1,785
3. Uma fita de computador move-se sobre dois
(b) Condição em B tambores, a uma velocidade v 0 . A componente
normal da aceleração da porção da fita em

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contato com o tambor B é 122 m/ s 2 . 100 km/h , e diminui a velocidade com uma
Determinar (a) a velocidade v 0 e (b) a desaceleração constante para 50 km/h em
componente normal da aceleração da porção 12 s . Um acelerômetro montado dentro do trem
da fita em contato como o tambor A . grava a aceleração horizontal de 2 m s 2
quando o trem já está há 6 s na curva. Calcule
o raio de curvatura  dos trilhos nesse instante.

7. Um satélite irá se manter em orbita circular
em torno da Terra, desde que a componente
normal de sua aceleração seja igual a g  R /r  2 ,
onde g =9,81 m/ s2 , R=6,37⋅103 km e r
distância entre o satélite e o centro da Terra.
Determine a altitude de um satélite para que ele
4. Um ônibus parte do repouso descrevendo possa orbitar a uma velocidade de
uma circunferência de 250 m de raio. Sua 2,65⋅10 4 km/ h .
aceleração a t constante é igual a 0,6 m/ s 2 .
Determinar (a) o tempo necessário para que o
módulo da aceleração total do ônibus atinja
2
0,75 m/ s . Determinar (b) também à
distância percorrida nesse tempo.

Resposta:
a t =0,6 m/ s 2 , r=250 m , v 0=0,
(a)
a  t=?  =0,75 m/s 2 , s t=?=?
v2
a 2 =at2a 2 ⇒ a n = =  a 2−a 2
n t 7. A velocidade de um carro aumenta
r
uniformemente com o tempo de 50 km/h em

v = r  a 2 −a 2
t A para 100 km/h em B durante 10 s . O raio

v =v 0 a t t ⇒ r  a 2 −a t =a t t de curvatura da elevação em A é de 40 km . Se
o módulo da aceleração total do centro de massa
⇒t=
 r  a −a2 2
t do carro é o mesmo em B e em A , determine o
at raio de curvatura  B da depressão na estrado em
B . O centro de massa do carro está a 0,6 m da
1 r  a −a t
2 2
1 2
(b) s=v 0 t a t t ⇒ s= estrada.
2 2 at

5. A velocidade inicial do jato d’água na
figura é 7,62 m/ s . Determine o raio de
curvatura do jato (a) na saída A e (b) no seu
ponto de máxima.

Resposta:  B=163,0 m

8. O carro C aumenta sua velocidade a uma
taxa constante de 1,5 m/ s 2 conforme percorre a
curva mostrada. Se o módulo da aceleração total
do carro é 2,5 m/s 2 no ponto A , onde o raio
6. Um trem entra em uma seção curva de curvatura é de 200 m , determine a
horizontal dos trilhos a uma velocidade de velocidade v do carro nesse ponto.

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Resposta: (a) y =r sen  , y =r  2 cos 
˙ ¨
(b) y =0, y =r sen 
˙ ¨

9. O pino P da manivela PO conecta-se a
ranhura horizontal na guia C que controla
seu movimento sobre a haste vertical fixa.
Determine a velocidade y e a aceleração y
˙ ¨
da guia C para um dado valor do ângulo 
˙ ¨ ˙ ¨
se (a) = e =0 (b) =0 e = .

Movimento em coordenadas polares:

Em um sistema de coordenadas polares  r ,  temos como escrever a posição da partícula
por   r ,  da forma:
r
x=r cos  , y=r sen 
i j=r cos   sen    cos  
 =x  y 
r ir j=r isen   =r 
j r

r =cos  isen  j
 
Calculando a velocidade temos:
v r ˙ d
 = = [ r  cos   sen  ]= r r r  −sen   cos   
i j ˙ ˙ i j
dt
 = r r r  
v ˙ ˙
 d  =−sen  i cos   .
onde  =
r  j
d
Observe também que

r =−

dθ
,  d
θ=
r
d d
Calculando a aceleração temos:
 
a v ˙ d ˙ ˙  ¨  ˙ d r  θ d  r θ  r θ d θ =r   r dθ d r  θ d  r θ  r θ dθ d θ
 = =  r r r θ θ = r r r
  ˙ ˙ ¨r ˙
  ˙ ˙
dt dt dt dt dt dθ dt dt dθ
 = r r r θ θ θ  r θr θ  −r θ 2 r
a ¨ ˙˙  ˙ ˙ ¨ ˙ 
 = r −r θ 2  r  r θ2 r θ  θ
a ¨ ˙  ¨ ˙˙ 
Tendo como módulos:

v = r 2 rθ 
˙
2

a=  r¨ −r θ˙   r θ¨ 2 r˙ θ˙ 
2 2 2

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Movimento em coordenadas cilíndricas:

Em movimentos cilíndricos temos:


 =x i y jz k =r cos θ irsen θ 
r 
jz k
v r ˙
˙ ˙ ˙
 = = r r r θ θ z k
 = r −r θ  r  r θ2 r θ  θ  z k
2
a ¨ ˙  ¨ ˙˙  ¨

Tendo como módulos:
 2
v = r 2 rθ   z 2
˙ ˙
a= ( − rθ ) + (rθ + 2rθ )
r 2 2

2
+ 2
z
Exercícios.

1. O braço OA de 0,9 m comprimento gira  = −0,4− 0,9−0,2 t   0,30 t   
2 2
a r
ao redor de O e seu movimento está
  0,9−0,2 t  0,302  −0,4 t    0,30 t    
2

definido pela relação =0,15 t 2 onde  e
expresso em radianos e t em segundos. O  =−0,4−0,081 t 2 0,018 t 4  r
a 
  0,27−0,06 t −0,24 t  
2 2
curso B desliza ao longo do braço, sendo o 
seu deslocamento em relação a O dado por  =−0,4−0,081 t 2 0,018 t 4  r
a 
r =0,9−0,2 t 2 , onde r está em metros e t 2
 0,27−0,30 t   
em segundos. Determine a velocidade e a
Para =30º
aceleração do curso B após ter girado por
2 30  
30º . =0,15 t = = ⇒ t=1,867 s
180 6
Assim:
v  
 =−0,747 r 4,41   m/ s 
 2 2
v = −0,747   4,41  =4,72  m/ s 

 =−0,464  −0,775   m/s 2 
a r 
 2 2
a=  −0,464  −0,775  =0.903  m/ s 2 

2. O movimento de um ponto material é definido
Resposta:
por r =2b cos  t  , =t , onde b e  são
=0,15 t 2  rad ⇒ =0,30 t  rad / s 
˙
constantes positivas. Determine (a) a velocidade
⇒ =0,30  rad / s 2 
¨ e a aceleração do ponto e (b) o raio de curvatura
2
r =0,9−0,2 t  m  ⇒ r =−0,4 t  m/ s 
˙ de sua trajetória. Que conclusão pode tirar sobre
⇒ r =−0,4  m/ s 
¨
2 a trajetória do ponto material.
Velocidade:
˙
 = r r r  
v ˙ 3. A trajetória de um ponto P é uma espiral de
Arquimedes. As relações r =10t e =2  t
 = −0,4 t    0.90,2 t 2   0.3t  
v r 
3 definem o ponto P , onde r é expresso em
 =−0,4 t  r  0.27t0,6 t  
v  
metros e t em segundos. e  radianos.
Aceleração:
 = r −r  2 r  r 2 r  
a ¨ ˙  ¨ ˙˙ 
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Mecânica II.

Determine a velocidade e a aceleração do velocidade e da aceleração do ponto, em função
ponto, nos instantes (a) t=0 e (b) t=0,25 s do tempo t .

4. O pino B pode deslizar livremente pela
abertura circular DE e também pela abertura
feita na barra OC . A barra OC gira
˙
uniformemente a uma razão  (a) Mostre 6. O movimento tridimensional de um ponto é
que a aceleração de B tem módulo constante definido por R= A , =2 t , e
e (b) determine sua direção. z =Asen 2  2 t  . Determine a (a) velocidade e a
(b) aceleração, em modulo.

v ˙ ˙e ˙
 = R e r R     z k
a ¨ ˙  ¨ ˙ ˙  ¨
 = R−R 2 e r  R 2 R  eθ  z k
2 sen  x  cos  x =sen  2x 

Resposta
˙
R= A⇒ R=0, R=0 ¨
˙
=2 t ⇒ =2 , =0 ¨
2
z =Asen  2 t  ⇒ z =2A  2sen  2 t  cos  2 t  
˙
2
Resposta, Usando a lei dos senos ou dos z =2A sen  4 t ⇒ z =8A  cos 4 t 
˙ ¨
cosenos, temos:
˙ v  
(a)  =2A  e 2A sen  4  t  k
r =2b cos ⇒ r =−2b  sen ⇒
˙
r =−2b sen −2b  cos ⇒ r =−2b 2 cos 
¨ ¨ ˙ 2
¨ ˙  2 2
v = 4  A  4  A  sin 2  4 t 
=t ˙ ˙ ¨
˙ ⇒ =⇒ θ=0 v =2A   1sen 2  4 t 

 = r −r     r 2 r   
a ¨ ˙2 r ¨ ˙˙  (b)  = R−R θ  e r  R θ2 R θ  e θ  z k
a ¨ ˙2  ¨ ˙ ˙  ¨
 = −2b  cos −2b  cos   r −2⋅2b  sen  
2 2 2 
a ˙ ˙  ˙
v ˙ ˙ ˙
 = R e r R θ eθ  z k
 =−4b 2  sen  r cos  
a ˙  

 =0 e r 2A  e θ 2Aπ sen  4 t  k
v  
Porem sabemos que: 2
 =cos  
r isen  
j a  
 = A  2   e r 8A 2 cos  4 t  k

=−sen   cos  
i j 
(
a = 4 Aπ 2 er + cos(4π t )k
ˆ ˆ )
Assim temos: 
a = 4 Aπ 2
1 + cos ( 4π t )
2
 j
sen  r cos  = 

2 
a ˙ ˙2
 =−4b  j ⇒ a=4b  =const. 7. O movimento tridimensional de um ponto é
definido por R= A  1−e−t  , =2  t , e
5. O movimento de um ponto material sobre
a superfície de um cone circular reto é z =B  1−e−t  . Determine a (a) velocidade e (b)
definido por R=ht tg  , =2 t e z =ht , a aceleração, em modulo, para t=0 e t  ∞ .
onde  é o ângulo do vértice do cone e h é
o avanço em altura que o ponto sofre em cada Respostas:
volta completa. Determine os módulos da R= A  1−e−t  ⇒ R= Ae−t , R=−Ae−t
˙ ¨

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Mecânica II.

˙
=2 t ⇒ =2 , =0¨  2 2 2 b
v=  b b  = 2  12
z =B  1−e  ⇒ z = Be−t , z =−Be−t
−t
˙ ¨ 2 

v ˙ ˙ ˙
(a)  = R e r R θ e θ  z k 9. Um elétron sobre a ação de um campo
v   
 = Ae−t e r 2A 1−e −t  e θ Be−t k magnético espacialmente não uniforme o
b
movimento em um espiral r =r 0 e , mostrado
 2
v = A2 e −2t 4A 2 2  1−e−t  B 2 e−2t na figura abaixo. Sabendo-se que θ=0 . ¨
Determine o modulo da aceleração em termos de
Para t=0 v = A2 B 2 ˙
b , r e =

Para t  ∞ v =2A  .

(b)  = R−R θ  e r  R θ2 R θ  e θ  z k
a ¨ ˙2  ¨ ˙ ˙  ¨
2
 =−A  e 4π 1−e  e r 4π Ae e θ −Be k
−t −t −t −t 
a  
a   
Para t=0  =− A e r 4πA e θ − B k
a=  A2 B 216 A2 π 2
 
Para t → ∞ a = − 4 Aπ 2er .
a= 16 A2 π 4 =4Aπ 2 b
Respostas: r =r 0 e
8. Um elétron sobre a ação de um campo r =r 0 b  e b=r 0 bωe b
˙ ˙
magnético espacialmente não uniforme o r =r 0 b  e b=r 0 b2  2 eb 
¨ ˙
movimento em um espiral hiperbólico
r =b , mostrado na figura abaixo.  = r 0 b2 2 e b−r 0  2 e b  e r  2r 0 b 2 e b  e 
a  
Determine o modulo da velocidade em
˙
termos de b ,  e = [
 =r 0 2 e b  b2 −1  e r 2b e 
a   ]
a= 2 r  b −1  4b = r  b −2b 14b
2 2 2 2 4 2 2

a= r  b 2b 1= r   b 1 
2 4 2 2 2 2

a= r  b 1 
2 2

9. Uma partícula realiza um movimento
obedecendo a equação
b   t =a  t −t ' cos   t  a t −t '  sen  t   −b t −t '  
r i j j
Respostas: r = onde a ,b ,  e t ' são constantes. (a) Esboce
θ
b ˙ b um gráfico tridimensional xyz a trajetória da
r =−
˙ 2
=− 2  , partícula no intervalo de 0≤t≤t ' , (b) e calcule
 
˙ o módulo de sua aceleração.
(a)  = r e r r  e 
v ˙
b 10. Uma partícula realiza um movimento
 = 2  e r r  e 
v  
 obedecendo a equação

 b2   t =at cos t  i
r 
 at sen  t  jbt k , onde e
v = 4 2 r 2  2= 2  b 2r 2 4 a ,b e  são constantes. (a) Esboce um gráfico
 
tridimensional xyz a trajetória da partícula, (b)
e calcule o módulo de sua aceleração.

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