Matemática Financeira e Comercial

Matemática
Financeira e
Comercial
Carlos Eduardo
Epprecht; Roberto
Minello
CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
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Título: Matemática Financeira e Comercial
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
Editora: CopyMarket.com, 2000
Matemática Financeira e Comercial
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
Conteúdo Programático
Capítulo 1 - Razão
1 - Introdução
2 - Razão
2.1 - Razões inversas.
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 2 - Proporção
1 - Introdução
2 - Proporção
2.1 - Definição
2.2 - Propriedade fundamental das proporções
2.3 - Outras propriedades das proporções
2.4 - Quarta proporcional.
2.5 - Proporção contínua
2.6 - Terceira Proporcional.
Capítulo 3 - Grandezas proporcionais e Divisão proporcional.
1 - Introdução
2 - Grandezas diretamente proporcionais.
3 - Grandezas inversamente proporcionais.
Capítulo 4 - Regra de Sociedade
1 - Introdução
2 - Casos de Regra de Sociedade.

ii
Capítulo 5 - Regra de três simples
1 - Introdução
2 - Tipos de grandezas
2.1 - Grandezas diretamente proporcionais
2.2 - Grandezas inversamente proporcionais.
Capítulo 6 - Regra de três composta
1 - Introdução
Capítulo 7 - Médias
1 - Introdução
2 - Tipos de Médias.
2.1 - Média Aritmética
2.2 - Média Geométrica
2.3 - Média ponderada
2.4 - Média harmônica
Capítulo 8 - Porcentagem.
1 - Introdução
2 - Elementos de cálculo percentual.
Capítulo 9 - Operações sobre mercadorias
1 - Introdução
2 - Vendas com lucro
2.1 - Sobre o preço de custo
2.2 - Sobre o preço de venda
3 - Vendas com prejuízo
3.1 - Sobre o preço de custo
3.2 - Sobre o preço de venda.
Capítulo 10 - Juros Simples.
1 - Introdução
2 - Regime de capitalização
2.1 - Regime de capitalização simples.
3 - Cálculo de juros simples e montante.
4 - Taxas proporcionais
iii
5 - Taxas equivalentes
6 - Prazo médio.
7 -Taxa Média
Capítulo 11 - Descontos Simples
1 - Introdução
2 - Tipos de descontos
2.1 - Descontos comercial, bancário ou por fora
2.2 - Valor atual comercial
2.3 - Desconto racional ou desconto por dentro
2.4 - Valor atual racional
2.5 - Relação entre desconto comercial e o desconto racional.
3 - Taxa de juros simples e taxa de descontos simples.
3.1 - Taxa de juro simples
3.2 - Taxa de desconto simples
4 - Fluxo de caixa e Equivalência de capitais.
4.1 - Fluxo de caixa.
4.2 - Equivalência de capitais.
Capítulo 12 - Logaritmos.
1 - Introdução
2 - Definição
3 - Propriedades dos logaritmos
4 - Mudança de base
5 - Função logarítmica
6 - Logaritmos decimais
6.1 - Característica
6.2 - Mantissa
Capítulo 13 - Juros compostos.
1 - Introdução
2 - Taxas equivalentes
3 - taxa efetiva e nominal
3.1 - Taxa nominal
3.2 - Cálculo de taxa efetiva
Exercício de fixação
Exercício propostos.

iv
Capítulo 14 - Desconto Composto
1 - Introdução
2 - Desconto racional composto
Capítulo 15 - Capitalização e Amortização
1 - Introdução
2 - Capitalização Composta
2.1 - Rendas imediatas
2.1.1 - Fórmula do montante de uma renda imediata
2.2 - Rendas antecipadas
2.2.1 - Fórmula de um montante de uma renda antecipada.
3 - Amortização Composta
3.1 - Renda imediata
3.1.1 - Fórmula do valor atual de uma renda imediata
3.2 - Renda Antecipada
3.2.1 - Fórmula do valor atual de uma renda antecipada
3.3 - Rendas diferidas
Capítulo 16 - Empréstimos.
1 - Introdução
2 - Sistema Francês
2.1 - Montagem de uma planilha de amortização
2.1.1 - Tabela Price
2.2 - Sistema de amortização constante
2.2.1- Cálculo do saldo devedor
2.3 - Sistema de amortização misto
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1. Razão
1. Introdução
Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos.
Esporte No
de alunos
Judô 50
Futebol 150
Natação 200
Handebol 50
Basquete 60
Nenhum esporte 90
Vamos analisar os dados da tabela acima através de alguns quocientes:
a) número de alunos que praticam natação
número de alunos da escola
Significado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natação.
b) número de alunos que praticam judô
número de alunos que jogam futebol
Significado: O número de alunos que jogam futebol é triplo do número de alunos que praticam judô.
c) número de alunos que praticam esporte
número de alunos da escola
Significado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes.
2. Razão
Dados dois números racionais a e b, com b 0, chamamos de razão ao quociente de a para b.
Indicamos razão por
b
a
ou a : b, onde a é o antecedente e b é o conseqüente.
2.1. Razões inversas
Duas razões são denominadas de inversas, quando o produto entre elas é igual a um.
3
1
600
200
3
1
150
50
20
17
600
510

Exemplo: 1
2
1
1
2
2
1
e
1
2
Exercícios resolvidos
1) Estabeleça as razões entre os números abaixo:
2 e 10; 0,1 e 0,01;
4
3
e
2
1
Solução:
A razão entre 2 e 10 é
5
1
10
2
A razão entre 0,1 e 0,01 é 10
01,0
1,0
A razão entre
3
2
6
4
3
4
2
1
4
3
2
1
é
4
3
e
2
1
2) Calcule a velocidade média de um trem que percorre 120km em 3h.
Solução:
Chamamos de velocidade média ao quociente entre a variação de espaço e a variação de tempo.
hKmVm
t
S
m /40
3
120
V
Significado: em cada 1 hora o trem percorre 40Km.
4) (L.A.O.-SP) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas.
Escala Medida do desenho Medida real
1:250 10cm 25m
1:400 25cm x
1:600 y 75m
As medidas x e y são respectivamente:
Solução:
Escala = comprimento no desenho
comprimento real
x
25
400
1
x = 25 400
x = 10.000cm ou
x = 100m
75600
1 y
600y = 75
ou125,0
600
75
myy
cmy 5,12
5) O estado de Goiás tem uma área aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991 esse
estado tinha uma população, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual é a densidade demográfica
desse estado?
Solução:
densidade demográfica = número de habitantes
área
densidade demográfica 2
76,11
289.341
562.012.4
km
hab
1) Calcule a razão entre os números:
a) 3 e 21 b) 0,333 ... e 2,1 c)
3
1
e
2
1
2) Determine a razão entre a terça parte de 0,12 e o dobro de 0,1.
3) Determinar a razão entre 4cm2 e 2dm2.
4) (Unifor-CE) Se a razão entre dois números é
5
3
, a razão entre o quíntuplo do primeiro e a terça
parte do segundo é igual a:
a)
9
1
b)
3
1
c) 1 d) 9 e) n.r.a.
5) Calcule a razão entre os volumes de dois cubos de aresta de medida 1cm e 2cm, respectivamente.

6) (UDF) Um estado brasileiro tem a população de 10 milhões de habitantes e uma média de 40
hab/km2. Qual é a sua superfície?
a) 100.000km2
b) 250.000km2
c) 500.000km2
d) 1.000.000km2
e) n.r.a.
7) (TRF) Uma estrada está representada por 15 cm num mapa de escala
000.20
1
. O comprimento real
dessa estrada é:
a) 3km b) 30km c) 300m d) 3.000cm e) 30.000dam
8) (ESPCEX) Um trem com a velocidade de 45 km/h, percorre certa distância em 3,5h. Nas mesmas
condições com a velocidade de 60km/h, quanto gastará para percorrer a mesma distância?
9) (Fatec-96) Um terreno retangular tem 170m de perímetro. Se a razão entre as medidas é 0,7, então a
área desse terreno, em metros quadrados, é igual a:
10) (IBGE) Observe o mapa de um sítio na escala 1:10.000
O proprietário do sítio pretende cercá-lo com três voltas de arame. A quantidade de arame que ele vai
gastar é igual a:
a) 1.800m b) 2.000m c) 3.600m d) 4.200m e) 5.400m
Exercícios propostos
1) Determine a razão entre os números.
a) 2 e 6 b) 1,2 e 0,02 c) 0,333 ... e 0,666 ... d)
3
5
e
3
1
2) (E.E.Aer) O produto de duas razões inversas é igual a:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n.r.a.
3) Num concurso público, havia 6.000 candidatos. Tendo sido aprovados 1.200, a razão entre o número
de reprovados e o número de candidatos é de:
4) Multipliquei o antecedente de uma razão por 5 e dividi seu conseqüente por 2. A razão ficou:
a) dividida por 2 d) multiplicada por 10
b) multiplicada por 5 e) n.r.a.
c) dividida por 10
5) (EPCAR) Chama-se densidade demográfica a razão entre o número de habitantes de uma região e a
área da mesma. Assim sendo, se a área do Distrito Federal for de 5.800km2
aproximadamente e sua
densidade demográfica for de 203 hab/km2
, então o número de habitantes deverá ser:
a) superior a 1,5 106
d) exatamente a 1,3 106
b) inferior a 1,1 106
e) aproximadamente 1,2 106
c) superior a 1,3 106
6) (TTN) Num mapa, cuja escala é
000.000.3
1
, a estrada Belém-Brasília tem 67cm. Calcular, em km, a
distância real.
7) (TTN) Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo Horizonte, de 729km, em 7h e 30min.
Qual a sua velocidade média?
8) (UFMG) Dois caminhões-tanque carregam o mesmo volume de misturas de álcool e gasolina. A
mistura de um contém 3% de álcool, e a do outro, 5% de álcool. Os dois caminhões descarregam suas
cargas em um reservatório que estava vazio. A razão do volume de álcool para o de gasolina na mistura
formada no reservatório, após os caminhões terem descarregado:
a)
25
1
b)
24
1
c)
16
1
d)
12
1
e) n.r.a.
9) O proprietário de um terreno de 1.000m2
deseja construir uma horta com 4 canteiros de 50dm2
cada
qual. A que fração do terreno corresponde a área total ocupada pela horta?
a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) n.r.a.
400 500 50 40
10) Dois números inteiros são tais que um deles é igual à quarta parte do outro. A razão entre o menor
desses números e a soma dos dois números pode ser expressa pela fração:
a)
5
1
b)
3
1
c)
4
3
d)
3
2
e) n.r.a.

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) a)
3
1
6
2
b) 60
2
10100
.
10
612
100
2
10
12
0,02
1,2
c)
2
1
2
3
3
1
3
2
3
1
9
6
9
3
0,666...
0,333...
d)
5
1
5
3
3
1
3
5
3
1
2) b
3) Como no concurso haviam 6000 candidatos, sendo 1200 aprovados. O número de reprovados será:
6000 – 1200 = 4800, logo a razão será:
5
4
k
6000
4800
k
4) 10
25
2
5
.
b
a
k
b
a
k
b
a
k
b
a
k a alternativa correta é a d
5)
eaécorretaaalternativa
1.177.400habitantesde2035800habitantesde
5800
habitantesdenúmero
203
área
habitantesdenúmero
ademográficdensidade
oo
nn
6)
km010.2x
ou
cm000.000.201x
000.000.367x
x
67
000.000.3
1
realocompriment
desenhonoocompriment
escala
7)
h
km
20,97mV
15
2729
mV
2
15
729
mV
t
s
mV
8) caminhão A: 3% de álcool e 97% de gasolina
caminhão B: 5% de álcool e 95% de gasolina
8% de álcool e 192% de gasolina
24
1
k
%192
%8
k
b
a
k
a alternativa correta é a b
9) 1000 m2 = 100.000 dm2
500
1
k
000.100
200
k
000.100
504
k
10)
aaécorretaaalternativ
5
1
5
1
4
4
4
1
a
k
a
a
k
aa
a
k
ba
a
k
abba

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2. Proporção
1. Introdução
A proporção é assunto de muita importância na matemática, como também, na vida.
Todo o estudo de aritmética que fazemos tem por base a razão e a proporção, mostrando ao
aluno suas aplicações práticas.
2. Proporção
2.1. Definição
Chama-se de proporção a toda sentença que indica uma igualdade entre duas razões.
Podemos representar as proporções das seguintes maneiras:
com (a, b, c, d racionais, não nulos).
Lê-se: “a está para b assim como c está para d ”
2.2. Propriedade fundamental das proporções
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e vice-versa.
d
c
b
a
)0;;;( dcbadacb
Numa proporção os termos são a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c são os meios e a e d
são os extremos.
Exemplo:
6
4
3
2
3 4 = 2 6
produto produto
dos meios dos extremos
ou a : b = c : d ou a : b :: c : d
d
c
b
a
1) Calcular o valor de x na proporção:
10
12
5
x
Solução: 6
10
60
12510 xxx
Resposta: 6x
2) Determinar o valor de y na igualdade:
6
5
2
3 y
Solução 14
2
28
y822y10182y1810-2y635)-2(y: y
Resposta: 14y
3) Obter o valor de x na proporção:
x
2
3
1
2
1
3
Solução:
9
5
18
10
3
1
6
10
1
3
6
10
6
10
3
6
5
23
2
6
5
32
6
23
3
xxxxxx
xx
1) (ETAM-81) A proporção
d
c
b
a
pode também ser escrita:
a)
d
b
c
a
b)
c
d
b
a
c)
d
c
a
b
d)
b
a
c
d
e) n.r.a.
2) Calcule o valor de x na proporção:
a)
3
1
2
x
b)
x
1
2
5,0
c)
x
4
3
1
2
1
d)
4
12
3
1
2
1
x
3) O valor de x na proporção
2
5
4
1
3
3
1
2
x
é ?

1) (PUC) Qual das seguintes equivalências é verdadeira:
a)
c
dc
a
ba
d
c
b
a
b) bdac
d
c
b
a
c) dbca
d
c
b
a
d)
cd
dc
db
ca
d
c
b
a
2) Calcule o termo desconhecido nas proporções abaixo:
a)
25,25
1 x
b)
x
4
2
1
2
1
1
c)
3
1
2
3
2
1
2
x
3) Determinar valor de M na proporção:
12 (0,25)1/2
M 0,666...
=
2.3. Outras propriedades das proporções:
P1 - Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos
conseqüentes, assim como um antecedente qualquer está para o respectivo conseqüente.
d
c
db
ca
b
a
db
ca
d
c
b
a
ou 0;;; dcba
d
c
db
ca
b
a
db
ca
d
c
b
a
ou 0;;; dcba
P2 - Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o 1o ou para o 2o,
assim como a soma dos dois últimos termos está para o 3o ou 4o termo.
0;;;ou dcba
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba
d
c
b
a
0;;;ou dcba
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba
d
c
b
a
P3 - Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim
como o quadrado de um antecedente qualquer está para o quadrado do respectivo conseqüente.
0;;;ou
2
2
2
2
dcba
d
c
bd
ac
b
a
bd
ac
d
c
b
a

Proporções múltiplas:
Quando temos uma igualdade de três ou mais razões, dizemos que se trata de uma proporção múltipla.
Consideremos a série de razões iguais:
,
h
g
f
e
d
c
b
a
então temos que:
hfdb
geca
h
g
f
e
d
c
b
a
Exemplo:
9
6
6
4
3
2
é uma proporção múltipla pois:
9
6
6
4
3
2
963
642
ou
ou
De fato
9
6
18
12
6
4
18
12
3
2
18
12
e
18
12
963
642
ou
ou
Generalizando, dada a série de razões iguais:
f
e
d
c
b
a
e observando as propriedades P1 e P2, podemos escrever:
1)
f
e
d
c
b
a
fdb
eca
2)
f
e
d
c
b
a
fdb
eca
3)
f
e
d
c
b
a
fdb
eca
4)
f
e
d
c
b
a
fdb
eca
1) Calcule x e y na proporção
32
yx
, sabendo que x + y = 15.
Solução:
Aplicando a propriedade P1, temos:
9455
35
15
332
6305
25
15
232
32
yy
yyyx
xx
xxyx
yx
Resposta: x = 6 e y = 9
2) Calcule o valor de x e de y na proporção
27
yx
, onde x - y = 40.
Solução:
Pela propriedade P1, temos que:
16805
25
40
227
562805
75
40
727
27
yy
yyyx
xx
xxyx
yx
Resposta: x = 56 e y = 16.
3) Determine os valores de p e q na proporção
3
8
q
p
, onde p + q = 132.
Solução:
Observe que as incógnitas agora são antecedente e conseqüente (e não antecedentes, como nos
exercícios anteriores), por isso, aplicaremos a propriedade P2.
3639611
3
11132
3
38
96105611
8
11132
8
38
3
8
qq
qq
qp
pp
pp
qp
q
p
Resposta: p = 96 e q = 36.
4) Obter os valores de a e b na proporção
4
5
b
a
, sabendo que a - b = 12.

Solução:
48
4
112
4
45
60
5
112
5
45
4
5
b
bb
ba
a
aa
ba
b
a
Resposta: a = 60 e b = 48.
5) Uma substância química é composta de ouro e ferro na proporção 2 partes de ouro para cada 3 de
ferro.
Para fabricar 30g dessa substância, quantos gramas de ouro e de ferro serão necessários?
Solução:
30
32
yx
e
yx
18905
35
30
332
12605
25
30
232
yy
yyyx
xx
xxyx
Resposta: A substância química é formada por 12g de ouro e 18g de ferro.
6) Calcule os valores desconhecidos.
8
125
cba
cba
Solução:
Aplicando a propriedade das proporções múltiplas, teremos:
8
125
cba
e
cba
284
14
8
1125
4164
24
8
2125
10404
54
8
5125
cc
cccba
bb
bbcba
aa
aacba
Resposta: a = 10, b = 4 e c = 2.
7) Calcule os valores de x e y na proporção abaixo:
42
yx
e xy = 96
Solução:
Aplicando a propriedade P3, teremos:
96
42
xy
e
yx
381612
1612
8
1696
16968
168
96
442
34
4848
8
964
9648
48
96
242
222
2
2
2
222
2
2
2
yy
yyy
yyyx
x
xxxx
xxyx
Resposta: 3834 yx e
4) Encontre o valor de a e b, onde 2e
26
ba
ba
5) Calcular x e y na proporção
23
yx
, sabendo-se que x + y = 30.
6) Calcule o valor de x e y na proporção
3
2
y
x
, sabendo-se que x + y = 15.
7) Calcule dois números positivos cujo produto é 24 e a razão entre eles é 2 : 3.
8) A razão entre a idade do filho e a do pai é de 1 : 3. Sabendo-se que a soma das idades é 72 anos,
calcule a idade do filho.
9) Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser
ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será:

10) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que
432
zyx
, o valor de x é:
11) Calcule o valor de x, y e z onde:
125
zyx
e x - y - z = 6.
12) (E.E.Aer) O denominador de uma fração supera de 3 unidades o numerador; aumentando-se os
termos da fração de 1, a fração obtida resulta igual a
3
2
. Calcule o numerador da fração.
13) As dimensões de um terreno retangular estão na razão
8
5
. Se a área do terreno é de 1000m2, então
sua maior dimensão, em metros, mede:
14) (L.A.O. - SP) Misturando suco concentrado e água na proporção de uma parte de suco para três de
água, fizemos 24 litros de refresco. Se tivéssemos misturado a mesma quantidade de suco
concentrado na proporção de 2 partes de suco para 5 de água, quantos litros de refresco teríamos
conseguido?
4) (TCF) Sendo
52
ba
, então :
a)
72
baa
b)
25
bab
c)
52
baa
d)
105
bab
e)
n.r.a
23
yx
, sabendo que x - y = 5.
3
2
y
x
, sabendo que x + y = 10.
7) Se 189e
37
xy
yx
, então x - y vale:
8) Qual a fração equivalente a
2
3
cuja diferença entre seus termos é 10?
9) (ETF-SP) Se 760 litros de uma mistura contém álcool e água na razão 14 : 5, então o número de
litros de álcool na mistura é:
10) O número que diminuído de 3 unidades está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6 é:
11) O complemento de um ângulo está para o seu suplemento assim como 1 : 3. Calcular a medida do
ângulo.
12) A razão entre os dois números é 3 : 8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior
deles é:
13) Determinar os valores de a, b e c, onde
257
cba
e a + b - c = 60.
14) (Banco do Brasil) Uma herança de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre três pessoas, de modo que
a parte da primeira corresponda aos
5
2
da parte da segunda e aos
4
3
da parte da terceira. Quanto
tocará a cada uma das três pessoas?
2.4. Quarta proporcional
Sendo a, b e c três números racionais diferentes de zero, denomina-se de quarta proporcional desses
números um número x, tal que:
x
c
b
a
Exemplo:
Calcular a quarta proporcional dos números 2; 5 e 8.
Solução:
Temos: 20402
8
5
2
xx
x
2.5. Proporção contínua
É toda proporção cujos meios são iguais.
Exemplo:
9
3
3
1
2.6. Terceira proporcional
É uma proporção contínua.
Sendo a e b dois números racionais, não nulos, denomina-se de terceira proporcional desses números
um número x tal que:

Exemplo:
x
b
b
a
Obter a terceira proporcional dos números 2 e 4.
Solução:
8
2
16
162
4
4
2
xxx
x
1) Calcular a quarta proporcional dos números 6; 5 e 9.
Resolução:
x
9
5
6
6x = 5 9 6x = 45 x = 7,5
2) Determinar a terceira proporcional dos números 2 e 12:
Solução:
x
12
12
2
2x = 12 12 2x = 144 x = 72
15) (EPCAR) A quarta proporcional entre 75e8;12
a) 20 b)
2
5
c)
2
35
d) 320 e) 340
16) A terceira proporcional entre 2 e 7 é:
a)
3
49
b)
2
49
c) 25,5 d) 26 e) n.r.a.
17) (E.E.Aer) A terceira proporcional entre os números 5 e 6 é:
a) 0,5 b) 1,6 c) 5,0 d) 7,2 e) n.r.a.
15) Calcule a quarta proporcional entre os números:
a) 1; 2 e 5 b)
4
1
e
3
1
;
2
1
c)
2
1
e2;1,0
16) Calcule a terceira proporcional entre os números:
a) 2 e 3 b)
2
1
e2 c)
5
1
e
2
1
CAPÍTULO 2 – Proporções
1) a
2) a) 45,0x
5
25,2
x25,2x5
25,2
x
5
1
b)
3
4
x
3
2
2x
2
3
2
x2x
2
3
2
1
4x
2
3
x
4
2
1
2
3
x
4
2
1
:
2
1
1
c)
7,2x
10
27
x
5
3
2
9
x
3
5
2
9
x
2
9
x
3
5
2
3
3x
3
5
3
5
3
2
3
x
3
1
2
3
2
1
2
x
3)
16M28M
2
1
8
M8M
2
1
9
72
25,0M
9
6
1225,0M
9
6
25,0
M
12
666,0
2/125,0
M
12
4) a

5)
10y
2
y
1
5
2
y
23
yx
15x
3
x
1
5
3
x
23
yx
6)
6y
5
30
y30y5310y5
3
5
y
10
3
32
y
yx
4x
5
20
x20x5210x5
2
5
x
10
2
32
x
yx
7)
129-21y-xdevalorO
9y812y812y
21
18992y18992y21
9
2y
21
189
23
2y
37
yx
21x4412x4412x
21
189492x189492x21
49
2x
21
189
27
2x
37
yx
189yxe
3
y
7
x
8)
20
30
éeequivalentfraçãoA:R
02b
2
1
b
10
2
23
b
ba
30a
3
1
a
10
3
23
a
ba
10b-ae
2
3
b
a
9)
litros.560deéálcooldelitrosdenúmeroO:R
200
19
800.3
800.319576019
5
19
y
760
5
514
y
yx
560
19
640.10
640.10191476019
14
19
x
760
14
514
x
yx
5
14
y
x
760yxyáguaxálcool
yyyy
xxxx
10) 23x185x5x65x518x61x53x6
6
5
1x
3x
11)
45
2
90
9021802703
32701809031801
3
1
180
90
180lementosup
90ocomplement
ânguloum
12)
24énúmeromaiorO:R
9
8
72
24
8
3
8
3
24
7
168
1687
4
168
4
34
1
42
4
3
1
42
8
6
4242
8
3
2422
8
3
8
3
aaaba
bbb
bb
b
b
bbbbbab
ba
b
a
13)
12
10
120
1201026010
210
60
2257
30
10
300
3001056010
510
60
5257
42
10
420
4201076010
710
60
7257
cccc
cccba
bbbb
bbcba
aaaa
aacba
14)
000.28000.21
3
4
3
4
500.52000.21
2
5
2
5
000.21
29
000.609
000.60929
6
500.1016
6
8156
500.101
3
4
2
5
3
4
4
3
2
5
5
2
500.101
zzxz
yyxy
xxx
xxx
xxx
xzzx
xyyx
zyx

15) a) 10x
x
5
2
1
b)
6
1
x
1
2
12
1
x
2
1
12
1
x
12
1
x
2
1
4
1
3
1
x
2
1
x
4
1
3
1
2
1
c) 10
10
1
1
1
10
1
2
1
2102
1
2
10
xxxx,
x
,
16) a)
2
9
x9x2
x
3
3
2
b)
8
1
x
2
1
4
1
x
2
4
1
x
4
1
x2
2
1
2
1
x2
x
2
1
2
1
2
c)
25
2
x
1
2
25
1
x
2
1
25
1
x
25
1
x
2
1
5
1
5
1
x
2
1
x
5
1
5
1
2
1
CopyMarket.com
3. Grandezas Proporcionais e Divisão Proporcional
1. Introdução
Ocorrem no dia-a-dia situações que envolvem números tais como: tempo; espaço; velocidade;
pressão; massa; volume; salário; horas de trabalho; número de empregados etc. A cada uma dessas
situações mencionadas acima chamamos de grandeza.
Assim, o número de horas de viagem realizado por um automóvel depende da sua velocidade e do
espaço a ser percorrido.
As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
2. Grandezas diretamente proporcionais
2.1. Definição
Uma grandeza A é proporcional a uma grandeza B, quando as razões entre os elementos de A e os
seus correspondentes valores em B for uma constante, isto é, sendo A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2;
b3;...; bn), então:
n
n
3
3
2
2
1
1
b
a
....
b
a
b
a
b
a
K
K é denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade;
Exemplo:
Sejam as sucessões de números (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12)
2
1
6
3
K
2
1
8
4
K
2
1
10
5
K
2
1
12
6
K
Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é
2
1
.

3. Grandezas inversamente proporcionais
3.1. Definição
Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os
elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto é, se A = (a1; a2; a3;...; an) e
B = (b1; b2; b3;...; bn), então:
K = a1 b1 = a2 b2 = ... = an bn
Exemplo:
1) Sejam as sucessões de números (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4):
K = 1 20 = 20
K = 2 10 = 20
K = 4 5 = 20
K = 5 4 = 20
Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 20.
1) Verifique se as seqüências de números abaixo são diretamente ou inversamente proporcionais.
a) (2; 4; 5) e (6; 12; 15)
Solução:
Sendo K o fator de proporcionalidade mostraremos que a razão é uma constante.
3
1
15
5
12
4
6
2
K
Logo, são diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é
3
1
.
b) (1; 4; 10) e (20; 5; 2)
Solução:
K = 1 20 = 4 5 = 10 2 = 20
Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 20.
2) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.
Solução:
32
60
yx
yx
361805
35
60
332
241205
25
60
232
yy
yyyx
xx
xxyx
3) Divida o número 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
Solução:
3
1
2
1
20
yx
yx
8
3
24
3243
5
620
3
1
6
23
20
3
1
3
1
2
1
122242
5
620
2
1
6
5
20
2
1
6
23
20
2
1
3
1
2
1
yyyy
yyyx
xxx
xxxyx
4) Divida o número 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcional a 1 e 4.
Solução:
48
14
1256
125614
1214
56
12122
8
14
112
25614
214
56
2122
56
122
1243
212
yyy
y
yyx
xxx
x
xyx
yx
yx
x
x
5) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e
4.
Solução :

2
1
4
1
2
3
1
3
1
1
y
x
2
1
3
1
60
yx
yx
1) A tabela abaixo relaciona o valor de uma máquina em dólares com o tempo decorrido, em anos, após
sua fabricação:
Tempo após a fabricação (anos)
0 1 2 3 4
Valor (US$) 18.500 18.000 17.500 17.000 16.500
De acordo com a tabela, é verdade que:
a) O tempo decorrido de fabricação é diretamente proporcional ao valor;
b) O valor é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a sua fabricação.
c) O tempo de fabricação e o valor são duas grandezas diretamente proporcionais;
d) O decréscimo anual do valor da máquina é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a
sua fabricação.
e) n.r.a.;
2) (PUC) Se (2; 3; x) e (8; y; 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:
a) x = 1 e y = 6 c) x = 1 e y = 12 e) n.r.a.
b) x = 2 e y = 12 d) x = 4 e y = 2
3) Duas grandezas, velocidade e tempo, estão relacionadas conforme a tabela:
Vm (m/s) 10 20 25 40
t (s) 20 10 8 5
a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais?
b) Qual é a constante de proporcionalidade?
c) Construir o gráfico da velocidade em função do tempo.
36
2
72
2722
5
360
2
5
660
2
1
6
32
60
2
1
2
1
3
1
24
3
72
3723
5
660
3
1
6
5
60
3
1
2
1
3
1
yyyyy
yyyx
xxxx
xxyx
4) (E.E.Aer) Dividir 150m de seda em duas porções proporcionais aos números 2 e 3:
a) 40m e 110m c) 50m e 100m e) n.r.a.
b) 45m e 105m d) 60m e 90m
5) (CPFO) Dividindo-se 306 em partes diretamente proporcionais a 2; 5 e 11 resulta, respectivamente:
a) 34; 119; 153 c) 153; 61,2; 27,8 e) n.r.a.
b) 34; 85; 187 d) 80; 100; 126
6) Dividir o número 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
7) (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos números
4
5
e
4
3
.
8) (Banco do Brasil) O lucro de determinada empresa foi dividido entre seus três sócios, na proporção
de 3; 5 e 9. Sabendo que o segundo sócio recebeu R$ 40.000,00 a mais do que o primeiro, pergunta-
se qual foi o lucro total da empresa e quanto coube a cada um dos sócios.
9) (Banco do Brasil) A quantia de R$ 20.650,00 foi dividida entre duas pessoas, sendo que a primeira
recebeu na razão direta de 8 e na razão inversa de 3 e a segunda pessoa recebeu na razão direta de 9
e na razão inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa?
10) (Banco do Brasil) A importância de R$ 684.000,00 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a
primeira recebeu na razão direta 7 e de 3 e que a segunda recebeu na razão direta de 9 e 4, calcular
a parte de cada uma.
11) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo
tempo diretamente proporcionais a
3
2
e
7
4
e inversamente a
9
4
e
21
2
. Quantas balinhas cada
criança receberá?
12) Dados os gráficos cartesianos:
I) II) III)
Aqueles que indicam, respectivamente, que y é diretamente proporcional a x; que y é inversamente
proporcional a x; e que só a variação de y é proporcional a variação de x são:
a) III; I; II c) I; III; II e) n.r.a.
b) II; III; I d) III; II; I
y
x x
y
x
y

1) (PUC) Para que as sucessões (9; x; 5) e (y; 8; 20) sejam diretamente proporcionais, isto é, para que se
verifiquem a igualdade
20
5
8
9 x
y
, os valores de x e y devem ser respectivamente:
a) 2 e 36 b)
5
1
4
1
e c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.r.a.
2) (F. Carlos Chagas) Se as seqüências (a; 2; 5) e (3; 6; b) são de números inversamente proporcionais e
a + m b = 10, então m é igual a:
a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0
3) Duas grandezas, espaço e tempo, estão relacionados conforme a tabela abaixo:
s (m) 40 60 80 100
t (s) 2 3 4 5
Responda as perguntas abaixo:
a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais?
b) Qual a constante de proporcionalidade?
c) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo.
4) (Mack) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números
6
1
3
1
,
2
1
e , obtém-se
respectivamente:
a) 130; 220; 110 c) 360; 180; 120 e) n.r.a.
b) 120; 180; 360 d) 330; 220; 110
5) (Osec) A importância de R$ 780.000,00 deve ser dividida entre os três primeiros colocados de um
concurso, em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que são 50; 43 e
37, respectivamente. Determinar a importância que caberá a cada um.
6) Dividir o número 40 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
7) (FEI) Dividir 46 em partes inversamente proporcionais a 1 e 1,3.
8) (Banco do Brasil) Distribua 192 bolas entre quatro crianças, de tal modo que a segunda receba 15
bolas a mais do que a primeira, a terceira 6 bolas a mais que a segunda, e a quarta, 11 a mais que a
terceira.
9) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão,
de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um,
se as faltas foram 1; 2; 2; 3 e 5?
10) Divida o número 44 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3
e 5, respectivamente.
1)
aécorretaaalternativA
2X
20
40
x40x2058x20
20
5
8
x
36y49y
4
1
y
9
20
5
y
9
20
5
8
x
y
9
2)
daécorretaaalternativA
2
5
12
30
301250122010
5
12
410
5
12
512
4
3
12
123
5623
mmmmmmba
bb
aaa
ba
3) a) essas grandezas são diretamente proporcionais
b)
h
km
t
s
mvk 20
5
100
4
80
3
60
2
40
c)
60
40
2 3
s(m)
t(s)

4)
daécorretaaalternativA
zzz
zzzyx
yyy
yzyx
xxxx
xzyx
zyx
zyx
110
6
660
6
6
6660
6
1
6
123
660
6
1
6
1
3
1
2
1
220
3
660
3
6
6
660
3
1
6
1
3
1
2
1
330
2
660
2
6
6660
2
6
123
660
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
1
2
1
660
5)
000.222z
130
000.78037
z000.78037z13037
130
000.780
37
z
374350
zyx
000.258x
130
000.78043
y000.78043y130
43
y
130
000.780
43
y
374350
zyx
000.300x
130
000.78050
x000.78050x130
50
x
130
000.780
50
x
374350
zyx
37
z
43
y
50
x
000.780zyx
6)
16
3
48
4833683
5
640
3
6
23
40
3
1
3
1
2
1
24
2
48
4822682
5
640
2
6
23
40
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
40
yyyyyy
yyx
xxxxxx
xyx
yx
yx
7)
20
13
1026
26
10
13
10
13
23
1346
10
13
13
1013
46
13
10
13
10
1
1
26
23
1346
1
13
1013
46
1
13
10
1
1
13
10
1
1
31
1
1
1
46
bbb
bbbba
aa
aaba
ba
,
ba
ba
8)
bolas63bolas;52bolas;46bolas;31:menterespectivarecebervemcriançasAs:R
ddcd
ccbc
bbab
aaa
aaaaa
adadcd
acacbc
ab
dcba
63115211
526466
46153115
31
4
124
1244681924
192684192322115
32112111
216156
15
192
00012000605
5
1
00020000603
3
1
00030000602
2
1
00030000602
2
1
00060
76
30000152
30
610151530
000152
1
1
5
1
3
1
2
1
2
1
1
1
5
1
3
1
2
1
2
1
1
1
000152
.e.ea
e
.d.da
d
.c.ca
c
.b.ba
b
.aa
.
a
.aedcba
edcba
.edcba
9)

10)
24
5
260
2
5
60
2
5
11
1544
2
5
15
65
44
5
2
5
2
3
1
20
3
60
3603
11
1544
3
15
65
44
3
1
5
2
3
1
5
2
3
1
5
2
5
1
2
3
1
3
1
1
44
bbbbb
bba
aaaaa
aba
ba
b
a
ba
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4. Regra da Sociedade
1. Introdução
Entendemos por regra de sociedade um grupo de pessoas que se reúnem, cada qual tendo um capital
para ser aplicado por um período de tempo, numa atividade comercial podendo ocorrer lucros ou
prejuízos.
Os problemas de regra de sociedade serão resolvidos através das aplicações dos casos de divisões em
partes diretamente proporcionais.
2. Casos de Regra de Sociedade
1o
) Capitais iguais e tempos diferentes
Neste caso, o lucro ou prejuízo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais aos
tempos de permanência dos sócios.
Exemplo:
1) Três pessoas formam uma sociedade permanecendo o primeiro durante 12 meses, o segundo 8
meses e o terceiro 6 meses.
Quanto ganhou cada um, se a sociedade apresentou um lucro de R$ 260.000,00?
Solução:
a + b + c = 260.000
6
c
8
b
12
a
Aplicando a propriedade das proporções teremos:
6
c
8
b
12
a
6812
cba
6
c
8
b
12
a
26
000.260
120.000a
26
260.00012
a260.0001226a
12
a
26
260.000
80.000b
26
260.0008
b260.0001226b
8
b
26
260.000

.0006c
26
260.0006
c260.000626c
6
c
26
260.000
0
R.: O primeiro sócio recebeu R$ 120.000,00; o segundo R$ 80.000,00 e o terceiro R$ 60.000,00.
2o
) Tempos iguais e capitais diferentes
O lucro ou prejuízo será dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios:
Exemplo:
1) Quatro pessoas formam uma sociedade de R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 75,00 e R$ 25,00 respectivamente.
No fim de certo tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 840,00. Quanto coube a cada sócio?
Solução:
a + b + c + d = 840
25
d
75
c
60
b
50
a
100d
210
21.000
d21.000210d84025210d
25
d
210
840
300c
210
63.000
c84075210c
75
c
210
840
240b
210
50.400
b50.400210b84060210b
60
b
210
840
200a
210
42.000
a42.000210a84050210a
50
a
210
840
25
d
75
c
60
b
50
a
210
840
25
d
75
c
60
b
50
a
25756050
dcba
3o
) Tempos diferentes e capitais diferentes
Os lucros ou prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais aos produtos do tempo
pelo capital respectivo de cada sócio.
Exemplo:
1) Uma empresa teve lucro de R$ 22.200,00. O primeiro sócio empregou R$ 1.200,0 durante 1 ano e 3
meses, o segundo sócio R$ 800,00 por 1 ano e meio; o terceiro sócio R$ 1.000,00 durante 1 ano.
Qual foi o lucro de cada sócio?
Solução:
a + b + c = 22.200
121.000
c
18800
b
151.200
a
6.000c
2
12.000
c12.0002c
12.000
c
2
1
12.000
c
44.400
22.200
7.200b
2
14.400
b14.4002b
14.400
b
2
1
14.400
b
44.400
22.200
9.000a
2
18.000
a18.0002a
18.000
a
2
1
18.000
a
44.400
22.200
12.000
c
14.400
b
18.000
a
44.400
22.200
12.000
c
14.400
b
18.000
a
12.00014.40018.000
cba
1) Três pessoas desejam formar uma sociedade, entrando o primeiro com o capital de R$ 1.200,00, o
segundo com R$ 800,00 e o terceiro com R$ 1.000,00. Calcule o lucro de cada sócio, sabendo que o
lucro total da empresa foi de R$ 6.000,00.
2) Dois sócios ao constituírem uma sociedade entraram, respectivamente, com os capitais de R$
4.000,00 e R$ 6.000,00. Na divisão do lucro, o segundo recebeu R$ 600,00 a mais que o primeiro.
Quanto recebeu cada sócio?
3) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro sócio permanece 2 meses, o segundo 3 meses, o
terceiro 5 meses. Sabendo que o lucro total foi de R$ 6.000,00, calcule o lucro de cada sócio.
4) “A”, ”B” e ”C” formaram uma sociedade, o sócio “A” entrou com o capital de R$ 2.000,00, sócio
“B” com R$ 1.500,00 e o sócio “C” R$ 1.200,00 e tiveram um prejuízo de R$ 12.000,00. Sabendo
que “A” ficou na sociedade 4 meses, “B” 8 meses, “C” 6 meses, qual foi o prejuízo de cada um?
5) (Banco do Brasil) Na constituição de uma sociedade, o sócio A entrou com R$ 51.000,00; B com R$
85.000,00; C com R$ 153.000,00 e o D com R$ 221.000,00. Ao ser distribuído o lucro final do
exercício, proporcionalmente às cotas do capital de cada sócio, D recebeu de lucro R$ 1.200,00.
Calcule o lucro total e a parcela que coube a A; B e C.

6) Três sócios A; B; C investiram R$ 9.000,00 num negócio que deu de lucro R$ 12.000,00. O sócio A
entrou
2
1
do capital, B entrou com
3
1
do capital e C com o restante.
Determinar a parte do lucro que cabe ao sócio B.
1) Uma sociedade constituída por duas pessoas obteve R$ 1.800,00 de lucro total. O primeiro sócio
entrou com um capital de R$ 300,00, o segundo sócio com R$ 600,00. Qual o lucro que coube a
cada sócio?
2) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro entrou com o capital de R$ 1.200,00, o segundo
com R$ 1.500,00, o terceiro com R$ 2.000,00. Ao fim de 1 ano resolveram desfazer a sociedade, pois
havia acumulado um prejuízo de R$ 6.000,00. Calcular o prejuízo de cada sócio.
3) Repartir o lucro de R$ 6000,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou
R$ 1.000,00 na sociedade durante 2 meses e que o segundo aplicou R$ 1.500,00 durante 4 meses.
4) (TTN) Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$
28.000,00. O sócio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou R$
15.000,00 durante 1 ano.
Calcule o lucro do sócio A.
5) Um prêmio de R$ 900,00 deve ser distribuído entre três pessoas de modo que a segunda receba o
dobro da primeira e a terceira o triplo da segunda. Quanto a segunda recebeu?
6) (Banco do Brasil) Em uma certa sociedade, os capitais de A e B estão entre si como 3 está para 5.
Sabendo-se que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, respectivamente, e que a
sociedade teve prejuízo de R$ 311.100,00, calcular o prejuízo de cada sócio.
1)
200.1b
900
000.080.1
b000.080.1b900800.1600b900
600
b
900
800.1
600a
900
000.540
a000.540a900800.1300a900
300
a
900
800.1
600
b
300
a
600300
ba
600
b
300
a
800.1ba
2)
195532
4700
60002000
600020004700
20004700
6000
899141
4700
60001500
600015004700
12004700
6000
915311
4700
60001200
600012004700
12004700
6000
000250012001200015001200
000250012001
0006
,.acc
c
,.abb
b
,.aaa
a
.
c
.
b
.
acba
.
c
.
b
.
a
.cba
3)
5004
8
36000
600068
60008000
6000
5001
8
12000
200068
20008000
6000
200060002000
600020004150021000
6000
.aab
b
.aaa
aaba
baba
ba

4)
00016
315
00018028
00018028315
000180315
28
000180000315
00028
00012
315
00013528
00013528315
000135315
28
000135000315
00028
000135000180000135
0001800001351200015150009
00028
.a
.
a.b
.
b
.
b
.
.
.a
.
a.a
.
a
.
a
.
.
.
a
..
ba
.
b
.
a
.
b
.
a
.ba
5)
200,00R$recebeupessoasegundaA:R
bbab
aaaaaa
ac
ab
cba
20010022
100
9
900
900990062
6
2
900
6)
506621161504371941003111
10031150437194110031121
504371942
8
5100311
2
2
2
2
5
8
100311
2
2
22
5
3
100311
2
2
21
21
2
2
1
1
10031121
2
5
3
1
5
2
3
1
5
3
2
1
,.p,..p
.,.p.pp
,.p
.
p
c
p
c
.
c
p
cc
.
c
p
cc
pp
c
p
c
p
.pp
cc
cc
c
c
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5. Regra de Três Simples
1. Introdução
São problemas onde relacionamos duas grandezas podendo ser diretamente ou inversamente
proporcionais. Para solução dos mesmos consiste em formar com três valores conhecidos e a incógnita
procurada, uma proporção e dela tiramos o valor desejado.
2. Tipos de grandezas.
2.1. Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a
outra grandeza aumenta ou diminui na mesma razão.
Exemplo:
1) Um automóvel fez 120Km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse automóvel
gastaria para percorrer 200Km?
Distância litros de gasolina
120 10
200 x
gasolinadelitros66,16x
120
2000
x2000x12010200x120
x
10
200
120
2.2. Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando - se uma delas, a outra
diminui na mesma razão que a primeira aumentou e vice-versa.
Exemplo:
1) Um ônibus com a velocidade 60Km/h percorre a distância entre duas cidades em 3h. Que tempo
levará, se aumentar a velocidade média para 90Km/h?
velocidade média tempo velocidade média tempo
60 3 60 x
90 X 90 3

h2x
90
180
x180x90360x90
3
x
90
60
1) Se 4 operários tecem 200m de tecido por dia, quantos metros tecerão 6 operários?
Solução:
Indicando por x a quantidade de metros que tecerão os 6 operários, temos a seguinte disposição prática:
no
de operários metros de tecido
4 200
6 x
Se 4 operários tecem 200m, mais a operários tecerão mais metros.
Nesse exemplo as grandezas são: número de operários e metros de tecido, assinalamos essa variação na
disposição prática, através de flechas do mesmo sentido. A proporção resultante será:
m300x
4
1200
x1200x46200x4
x
200
6
4
Resposta: 6 operários tecerão 300 metros de tecido.
2) Seis operários levam 12 dias para executar uma obra, 4 operários, em quanto tempo farão o mesmo
trabalho?
no
de operários dias
6 12
4 x
É óbvio que 6 operários levam 12 dias, menos operários demorarão mais dias para a execução da obra.
Como o tempo necessário para realizar o trabalho é inversamente proporcional ao número de operários
empregados, indicamos essa variação com flechas de sentidos opostos. Invertendo a primeira razão
6
4 , para que as flechas fiquem com o mesmo sentido, e teremos a seguinte proporção:
no
de operários dias
4 12
6 x
dias18x
4
72
x72x4612x4
x
12
6
4
Resposta: 4 operários executaram a obra em 18 dias
1) (ETF-SP) Uma pessoa ingere em um dia 1,5 L de água. Em 15 dias, ingerirá:
a) 30 L b) 22,5 L c) 20 L d) 27,5 L e) n.r.a.
2) Um operário constrói um muro em 10 dias trabalhando 8h por dia. Quanto tempo leva o mesmo
operário para construir o mesmo muro trabalhando 10h por dia?
3) Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, têm respectivamente 16 e 32 dentes. Quantas voltas
dará a menor, enquanto a maior dá 10?
4) (ETF-SP) Para ladrilhar o piso de uma cozinha de 8,5m2 de área, foram empregadas 250 lajotas de
cerâmica. O número de lajotas iguais necessário para ladrilhar uma garagem retangular com 5m de
comprimento e 2,72, de largura é?
a) 40 b) 340 c)390 d)400 e)460
5) (ETF-SP) Num livro de 192 páginas, há 32 linhas em cada página. Se houvesse 24 linhas por página,
o número de páginas do livro seria:
a) 256 b) 144 c) 320 d) 240 e) 128
6) (ETF-SP) Um piloto dá uma volta completa no circuito em 1min 35seg. Para completar 54 voltas, ele
levará em média:
a) 1h 25min 30seg. b) 1h 31,5min. c) 1h 31min. d) 31,5min. e) 315min.
7) (ESA) Um automóvel gasta 10 litros de combustível para percorrer 65Km. Num percurso de 910Km
a quantidade consumida em litros de combustível será de:
a)1,4 b) 14 c) 140 d) 240 e) 1400
8) Uma torneira jorra 1.035,5 litros de água por hora e enche certo reservatório em 12h. Determine em
quanto tempo outra torneira, que jorra 20 litros por minuto, encheria o mesmo reservatório.
9) Um relógio atrasa 1min.10seg. em 10h de funcionamento. Quanto atrasará em 2 dias?
10) Uma fábrica tem y de homens para execução de um trabalho em d dias, tendo contratado mais r
homens para executar o mesmo trabalho. Em quantos dias o trabalho estará executado?
a)
y
rd
dias b)
ry
rd
dias c)
ry
dy
dias d)
yr
d
dias e)
yd
dy
dias.

1) Uma pessoa datilografa um trabalho, com 42 toques por minutos, em 2h. Quantos toques por
minuto seriam necessários para essa pessoa realizar o mesmo trabalho em 6h?
2) Qual o tempo gasto por 2 homens para executar um trabalho que 4 homens, nas mesmas condições,
executam em 10 dias?
3) Um ônibus com a velocidade de 80Km/h vai da cidade A até a cidade B em 2h. Nas mesmas
condições e com a velocidade de 100Km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma
distância?
4) (E.E.Aer-) A roda maior de uma engrenagem tem 75cm de raio e dá 900 voltas, enquanto a roda
menor dá 1500 voltas. Qual é o raio da roda menor?
5) (UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3h de trabalho.
Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900m2?
a) 7 h. b) 5 h. c) 9 h. d) 4 h. e) n.r.a
6) Uma turma de operários executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade é 0,1, em 10 dias. Em
quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho cujo coeficiente de dificuldades fosse 0,15?
7) (ETF-SP) A cantina da escola possuía um estoque de “hamburguer” a ser vendido a 1800 alunos
durante 15 dias. Tendo havido uma greve no metrô, alguns alunos faltaram e o estoque de
“hamburguer” se tornou suficiente para mais 5 dias. O número de alunos faltosos foi de:
a) 1350 b) 900 c) 750 d) 450 e) 350
8) (UFB)São necessários 25 dias para que sejam asfaltados
3
2 de uma determinada estrada . Para se
asfaltarem
5
3 dessa mesma estrada, são necessários:
a) 7 dias e 12 h. b) 15 dias c) 20 dias d) 22 dias e 12h. e) 45 dias
9) (CPFO-) Um motociclista fez o percurso de 40Km entre duas cidades em 35 minutos. Se sua
velocidade fosse igual a
5
2
da anterior, faria o mesmo percurso em?
10) Um acampamento com 10 soldados dispõem de víveres para 3 meses. Tendo chegado mais 20
soldados ao acampamento, por quanto tempo estará abastecido o acampamento?
1) n º de toques h
42 2
x 6
126
2
252
25226422
6
242
xxxx
x
2) horas dias
4 10
2 x
4 x
2 10
20
2
40
402
102
4
xxx
x
3) Vm h
80 2
100 x
80 x
100 2
36minhxh,xx
x
1611610
2100
80
4) Raio voltas
75 900
x 1500
x 900
75 1500
45xxx
x
15
759
75915
1500
900
75

5) área hora
5100 3
11900 x
hxxxx
x.
.
7
51
357
35751119351
3
90011
1005
6) coeficiente dias
de dificuldade
0,1 10
0,15 x
diasx
,
,
x,x,
x,
,
15
10
15010
1501010
10
150
10
7) alunos dias
1800 15
x 20
x 15
1800 20
d4501350-1800
50xxx
x
13
20
180015
18001520
20
15
1800
8) dias asfalto
25
3
2
x
5
3
d12he22diasxoudias5,22x45x215x
3
2
5
3
25x
3
2
5
3
3
2
x
25
9) h/km,VmVmVm
t
s
Vm 5768
35
2400
60
35
40
Vm tempo
68,57
12
7
27,42 x
68,57 x
27,42
12
7
36seg27minhxh,x
.
.
x
.x.xx
x
,
,
1461
90432
77747
999479043276857274212
12
7
68572742
12
74227
5768
10) n º de soldados tempo
10 3
30 x
10 x
30 3
mêsxx
x
13030
330
10

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6. Regra de Três Composta
1. Introdução
Consideremos o problema abaixo
1) Um operário, trabalhando 2h por dia fabrica 50 objetos em 3 dias. Quantas horas deveria trabalhar
para fabricar 100 objetos em 4 dias?
Solução: Temos a seguinte disposição prática
(1o
Grupo) (2o
Grupo) (3o
Grupo)
2h 50 objetos 3 dias
x 100 objetos 4 dias
Para resolvermos o problema proposto, comparamos cada grupo de valores com o grupo em
que está o x (no exemplo, o 1o
grupo), colocando uma flecha de formato diferente das demais para
servir como termo de comparação. Nessa comparação devemos observar o grupo a ser analisado com o
grupo que tem a variável x, sem a preocupação com os demais grupos.
a) Comparando o 1o
grupo com o 2o
grupo
Se 2h um operário faz 50 objetos
x 100 objetos
Portanto, se em 2h um operário faz 50 objetos, mais objetos para fabricar serão necessários
mais horas.
Regra de três direta flechas com o mesmo sentido
b) Comparando o 1o
grupo com o 3o
grupo
Se 2h um operário faz em 3 dias
x 4 dias
Ora, se em 2h um operário leva 3 dias, mais dias menos horas o operário vai precisar.
Regra de três inversa flechas com sentido contrários.
Para a resolução final do problema, devemos deixar todas as grandezas com o mesmo sentido, e
neste exemplo, devemos inverter o sentido da flecha do 3o
grupo; antes de formar a proporção:
(1o
Grupo) (2o
Grupo) (3o
Grupo)
2h 50 objetos 4 dias
x 100 objetos 3 dias
3x
2
6
x6x2
3
2
x
2
3
24
2
1
x
2
3
4
100
50
x
2
2) Na perfuração de um poço de 160m de profundidade, 40 operários levaram 21 dias. Quantos dias 30
operários levariam na perfuração de 200m de um poço igual ?
metros de profundidade no de operários dias
160 40 21
200 30 x
Observando as grandezas acima (profundidade e dias necessários), então essas grandezas são
diretamente proporcionais, portanto as flechas devem ter o mesmo sentido . Com relação a número de
operários e dias necessários, podemos dizer que essas grandezas são inversamente proporcionais,
portanto as flechas devem ter sentidos contrários.
Para resolução do problema é necessário que todas as grandezas tenham flechas com o mesmo
sentido.
160 30 21
200 40 x
dias35x
3
105
x105x3215x3
x
21
5
3
x
21
4
3
5
4
x
21
40
30
200
160
1) Com 16 máquinas de costura, aprontaram-se 80 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas
máquinas serão necessárias para confeccionar 240 uniformes em 24 dias?
2) Com uma bomba elétrica, eleva-se 2100 litros de água à altura de 6m em 60 min. Quanto tempo
empregará essa bomba para elevar 6300 litros à altura de 4m?
3) Se 15 operários fazem uma casa em 12 dias, trabalhando 4h por dia, quantos operários serão
necessários para fazer a mesma obra em 8 dias, trabalhando 5h por dia?
4) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6h por dia. Se o
mesmo grupo trabalhar 8h por dia, a estrada será concluída em?
5) Oito pedreiros levantam um muro em 10 dias, trabalhando 6h por dia. Quantas horas por dia
devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo serviço em 6 dias?

6) Os
5
2
de um trabalho foram feitos por 24 operários em 10 dias, trabalhando 7 h. por dia. Em
quantos dias poderá terminar esse trabalho, sabendo-se que foram dispensados 4 operários, e os
restantes trabalham 6h por dia?
7) Seis operários, trabalhando 3h por dia, durante 2 dias, fazem 10m de muro. Quantos operários
serão necessários para fazer 20m de muro, se trabalharem 2h por dia, durante 4 dias?
8) (ESPCEX) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8h por dia. Quantas
famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4h por dia?
9) Doze máquinas, trabalhando 8h por dia, fazem 9000m de tecido, em 15 dias. Considerando quinze
máquinas, quantas horas serão necessárias de trabalho por dia para se fazer 6000m de tecido em 10
dias?
10) Dez operários fazem 150m de uma construção em 18 dias de 8h de serviço. Quantos metros 20
operários farão dessa mesma obra em 15 dias, trabalhando 6h por dia?
1) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se essa equipe for
aumentada para 20 homens em quantos dias conseguirá extrair 5,6 toneladas de carvão?
2) Uma equipe de 20 operários escava 640m3 de terra em 8h de trabalho. Para escavar 500m3 em 5h
de trabalho, de quantos operários deverá ser acrescida a equipe?
3) Três máquinas operando 8h por dia produzem 4.800 parafusos. Quantos parafusos seriam
produzidos por 7 máquinas que operassem 11h por dia?
4) (EPCAR) Certo motor consome 20 litros de óleo girando a 1500 rpm em 5h. Se esse motor
funcionar a 1800 rpm durante 3h, qual será o consumo do óleo?
5) (C.N.) Vinte operários constróem um muro em 45 dias, trabalhando 6h por dia. Quantos operários
serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8h por dia?
6) Um funcionário, trabalhando 8h por dia, produz 75 relatórios em 9 dias. Para que o mesmo
funcionário produza 65 relatórios em 6 dias, é necessário que ele aumente o seu trabalho diário de
um tempo correspondente a:
a) 3h 56min b) 3h 42min c) 3h 10min d) 2h 50min e) 2h 24min.
7) (CEF-) Numa gráfica, 8 máquinas executaram um certo serviço em 5 dias, trabalhando 5h por dia.
Se somente 5 dessas máquinas trabalharem 8h por dia, executarão o mesmo serviço em?
a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias
8) (Banespa) Um carro percorre 4320km em 5 dias, rodando em média 8h/dia. Quantos dias serão
necessários para percorrer 2916km, sabendo-se que a média a ser rodada é de 9h por dia?
a) 2 dias b) 3 dias c) 4 dias d) 4,5 dias e) 6 dias
9) Vinte operários, trabalhando 8h por dia, gastaram 18 dias para construir um muro de 300m.
Quanto tempo levará uma turma de 16 operários trabalhando 9h por dia para construir um muro
de 225m?
10) Doze pedreiros constróem 27m2 de um muro em 30 dias, de 8h Quantas horas devem trabalhar
por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem 36m2 do mesmo muro?
1) homens dias toneladas
15 30 3,6
20 x 5,6
10 x 3,6
30 3 5,6
diasxxx
x,
,
x
35
72
8430
843072
84
7230
65
63
15
2030
2) operários m3
hora
20 640 8
x 500 5
20 640 5
x 500 8
25
2003
00080
0008032004000203200
4000
320020
8
5
500
64020
x
.
.
x.xx
xx
R: A equipe deverá ser acrescida de 5 operários.
3) máquinas horas parafusos
3 8 4800
7 11 x
40015
24
480077
48007724
4800
77
244800
11
8
7
3
.xxx
xx

4) litros de óleo rpm horas
20 1500 5
x 1800 3
litros,x
.
.
x.xx
xx
414
5007
000108
00010875005400207500
5400
750020
3
5
1800
150020
5) n º de dias hora
operários
20 45 6
x 15 8
x 45 6
20 15 8
45
120
5400
540012027020120
120
270
208
6
15
45
20
xxxx
xx
R: Para construir a terça parte do muro serão necessários 15 operários.
6) hora relatório dias
8 75 9
x 65 6
8 75 6
x 65 9
24min10hxou
h,xx.xx
xx
410
450
4680
68044505858450
585
4508
9
6
65
758
O funcionário deverá trabalhar 2h 24min a mais por dia.
A alternativa correta é a e
7) máquina dias hora
8 5 5
5 x 8
8 x 5
5 5 8
caécorretaaalternativa5x
8
5
5
8
5
x
8) distância dias horas
4320 5 8
2916 x 9
4320 5 9
2916 x 8
baécorretaaalternativa
diasx
.
.
x.x..x.
.
.
xx
3
88038
640116
6401168803832823588038
32823
880385
8
9
2916
43205
9) operários horas dias metros
20 8 18 300
16 9 x 225
16 9 18 300
20 8 x 225
diasx
.
.
xx.
.
.
xx
15
00036
0003618
360001820043
00036
2004318
225
300
8
9
20
1618
10) pedreiros m2
dias hora
12 27 30 8
16 36 24 x
16 27 24 8

12 36 30 x
hx
.
.
x.x.
.
.
xx
10
36810
960128
96012836810
96012
368108
30
24
36
27
12
168
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7. Médias
1. Introdução
Muitas vezes os professores utilizam a média para calcular as notas bimestrais dos seus alunos.
Em estatística a média é utilizada como medida de posição central destacando a média aritmética como
uma das medidas de tendência central.
2. Tipos de Médias
2.1. Média Aritmética
A média aritmética de vários números é igual ao quociente da soma desses números pelo número
de parcelas.
Exemplo:
Calcular a média aritmética dos números de 2; 4 e 6 é:
4
3
642
am
2.1. Média Geométrica
A média geométrica de vários números é a raiz, de índice igual ao número de fatores, do produto
desses números.
Exemplo:
Calcular a média geométrica dos números 4 e 25.
10100254gm
2.3. Média Ponderada
A média ponderada é igual ao quociente da soma dos produtos de cada número pelo respectivo
peso, pela soma dos pesos.

Exemplo:
Calcule a média ponderada dos números 3; 4 e 5 cujo pesos são respectivamente 1; 2 e 2.
2,4
5
21
5
1083
221
x252x41x3
pm
2.4. Média Harmônica
A média harmônica de vários números é igual ao inverso da média aritmética dos inversos desses
números.
Exemplo:
Calcular a média harmônica dos números 2 e 4.
3
8
8
3
1
2
1
4
3
1
1
2
4
3
1
1
2
4
12
1
2
4
1
2
1
1
hm
1) Calcular a média aritmética dos números abaixo:
a) 1; 2 e 3 b)
3
1
;
2
1
c) 0,1 e 2
Solução:
2
3
6
3
321
) ama
12
5
2
1
6
5
1
2
6
5
1
2
6
23
2
3
1
2
1
) amb
20
21
2
1
10
21
1
2
10
21
1
2
10
21
2
1
2
10
1
2
21,0
) amc
2) Calcular a média ponderada dos números abaixo:
2 e 3 cujos respectivos pesos são 1 e 2
2; 3; 4 cujos respectivos pesos são 1; 1 e 2
Solução:
a)
3
8
3
62
21
2312
pm
b)
4
13
4
832
211
241312
pm
3) Calculando a média geométrica dos números abaixo:
a) 0,01 e 4
b) 25
4
1
e
c) 1; 2 e 4
Solução:
2,0
10
2
100
4
04,0401,0) gma
5,2
2
5
4
25
25
4
1
) gmb
228421) 3 333
gmc
4) Calcular a média harmônica dos números:
a) 2 e 3
b) 4; 5 e 6
Solução:
4,2
5
12
12
5
1
2
1
6
5
1
1
2
6
5
1
1
2
6
23
1
2
3
1
2
1
1
) hma
4,86
37
180
180
37
1
3
1
60
37
1
1
3
60
37
1
1
3
60
101215
1
3
6
1
5
1
4
1
1
) hmb
5) A média aritmética dos 8 números de um conjunto é 20. Se o número 4 for retirado do conjunto,
qual será a nova média aritmética?

Solução
1) Calcular a média aritmética dos números:
a) 4; 6 e 8
b)
c)
2) Calcule a média ponderada dos seguintes números:
a) 7; 8; 9 cujos pesos respectivos são 1; 2 e 2.
b) 11; 8 e 3 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 4.
c) 15; 18 e 32 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 3
3) Calcule a média geométrica dos números:
a) 4 e 100
b) 0,45 e 0,05
c)
4) Calcular a média harmônica dos números 4 e 6.
5) (EPCAR) A média aritmética dos números que aparecem no quadro; é:
103,4 121,63 41,2 8,75 9,285
a) 54,86 b) 55,806 c)6,8 d)56,853 e) 56,853
6) Achar as médias aritméticas e ponderadas entre os números 0,63; 0,45; 0,12, sabendo-se que os
respectivos pesos são 1; 2 e 7.
8
20
8
...
21
aaa
160... 821 aaa
28,22
7
156
7
4160
2;1,0;
2
1
9
4
;
5
2
;
8
3
28
9
7
4
e
ab
b
a
2
ba
ba
ab2
7) (Banco do Brasil) A média aritmética dos 40 números de um conjunto é 70. Os números 10 e 16 são
retirados desse conjunto. A média aritmética dos números restantes é?
a)73 b) 82 c) 108 d) 219 e) nra.
8) Sabe-se que a média aritmética entre 2 números a e b é igual a média geométrica, então, podemos
afirmar que:
a) a e b são primos entre si.
b) os dois números a e b são iguais.
c) a e b são números compostos.
d) a e b são números diferentes.
e) n.r.a..
9) (FAAP) Numa pequena empresa, com 20 funcionários, a disposição dos salários é a seguinte:
número de empregados salário
12 R$ 600,00
5 R$ 700,00
3 R$ 1.000,00
Qual o salário médio dos empregados dessa empresa?
1) (C.N.) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fórmulas da coluna da direita,
sendo a e b números inteiros positivos quaisquer, tem-se:
I - média harmônica dos números a e b; a)
II - Média ponderada dos números a e b; b)
III - Média geométrica entre os números a e b; c)
lV - O produto do mdc pelo mmc de a e b; d)
V - Média aritmética simples entre a e b; e) ba.

a) ( I; b ); ( II; c ); ( IV; e)
b) ( I; d ); ( II; c ); ( V; b )
c) ( I; d ); ( III; a ); ( IV; e)
d) ( II; c ); ( III; a ); ( IV; e )
e) n.r.a.
2) Sabendo-se que a média aritmética e a média harmônica entre dois números naturais valem,
respectivamente 10 e pode-se dizer que a média geométrica entre esses números será igual a:
a)3,6 b) 6 c) 6,4 d) 8 e) n.r.a.
3) Colocar em ordem de grandeza crescente a média aritmética; a média geométrica e a média
harmônica dos números 6 e 12.
4) A média aritmética de 11 números é 40. Se dois números, 4 e 6 forem retirados qual será a nova
média?
5) Em um concurso público, três provas foram realizadas. Um candidato obteve nota 4 na primeira
prova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segunda, que tinha peso 2 e nota 8 na terceira prova, que
tinha peso 5. Qual é a média desse candidato?
6) A média harmônica entre os números a; b e c;
7) Calcule a média aritmética;
a) 3; 4; 1; 6; 5; 6 b) 7; 8; 8; 10; 12
c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75 d) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90
8) Calcule a média geométrica.
a) 8; 15; 10; 12
b) 3; 4; 5; 6; 7; 8
9) Encontre a média harmônica.
a) 5; 7; 12; 15
10) Em certo mês, um aluno obteve em português as três notas 2,4 e 6. A nota mensal desse aluno,
calculada pela média ponderada, de pesos respectivamente iguais a 1, 2 e 2, excede sua nota mensal,
calculada pela média aritmética simples, de um valor igual a:
ba
abc
a
2
)
ba
abc
b)
c
ba
c
2
)
abacbc
abc
d
3
)
arne ..)
5
32
a) 1 b) 2 c) 0,6 d) 8 e) n.r.a.
1) c
2)
864
64
5
32
10
5
32
20
22
2010
2
gm
ab
ab
ab
ba
ab
hm
ba
ba
3)
amgmhm
ba
ab
hm
,gm
am
8
18
144
18
12622
4682672126
9
2
126
4)
9
430
10440
4401121
40
11
1121
aaa
aaa
5) 07
10
70
10
401812
523
582934
,pm
6)
daécorretaaalternativa
abacbc
abc3
abc3
abacbc
1
1
3
abc
abacbc
1
3
c
1
b
1
a
1
1
hm
7) a) 164
6
656143
,am

b) 9
5
1210887
am
c) 962
5
754132750423
,
,,,,
am
d) 4279
7
90838280767570
,am
8) a) 95,104 400.144 1210158gm
b) 3956 160206 5630126 875643 ,.gm
9) 118
207
6801
6801
207
1
4
1
420
207
1
1
4
420
207
1
4
420
28356084
1
4
15
1
12
1
7
1
5
1
1
,
.
.
hm
10) a alternativa correta é a e
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8. Porcentagem
1. Introdução
É muito comum os veículos de comunicação apresentarem as seguintes expressões:
a cesta básica teve um reajuste de 2,1%;
os rendimentos da caderneta de poupança para este mês foi de 1,21%.
10% da população brasileira são fumantes.
Todos os enunciados acima podem ser expressos através de uma razão a qual denominamos de
porcentagem.
2. Elementos do cálculo percentual
Nos problemas de porcentagem, três elementos são importantes: O principal, que é o número
sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa de porcentagem, que é o número de partes que
devem ser tomadas em cada cem partes do principal e a porcentagem, que é total das taxas.
Exemplo:
1) Em uma sala de aula tem 35 alunos, sendo 20% de meninas. Quantas são as meninas dessa sala?
Principal (c) = 35
taxa (i) = 20%
porcentagem (P)
Exercícios resolvidos:
1) Calcular
a) 2% de 120 b) 1,5% de 150 c)
3
1
% de 30
7
100
700
100
2035
100
P
P
ic
P

Solução:
a) 2 % de 120
Principal = 120
taxa = 2%
Porcentagem = taxa x principal
Porcentagem = 4,2
100
240
120
100
2
x
Resposta: 2% de 120 é 2,4.
b) 1,5 % de 150
Principal = 150
Taxa = 1,5 %
Porcentagem = 25,2150
100
5,1
x
Resposta: 1,5% de 150 é 2,25.
c) 30%
3
1
de
Principal = 30
taxa
3
1
%
Porcentagem = 1,0
100
10
30
100
3
1
x
Resposta:
3
1
% de 30 é 0,1.
2) Num concurso público compareceram 1.500 pessoas, sendo que 20% dos inscritos faltaram. Qual o
número total de candidatos inscritos?
Solução:
Consideramos x, o número de candidatos participantes do concurso e 80% é a porcentagem de
comparecimento.
X 100
1.500 80
875.1
80
00.150
00.15080
80
100
500.1
xx
x
Resposta: O número de candidatos é 1.875.
3) O preço de um aparelho de som é de R$ 1.500,00. Se eu conseguir um desconto de 8%, quanto
pagarei por ele?
Solução:
taxa = 100% - 8% = 92%
Principal = 1.500
Porcentagem = 138000,500.1
100
92
x
Resposta: Pagarei pelo aparelho de som R$ 1.380,00.
4) Uma fatura no valor nominal de R$ 400,00, foi quitada com dois descontos sucessivos sendo um de
2% e outro de 3%. Que taxa única de desconto daria o mesmo líquido?
Solução:
No caso de abatimentos sucessivos usamos a seguinte fórmula:
i = 1 - (1 - i1) (1 - i2) (1 - i3) ... (1 - i n )
i = 1 - (1 - 0,02) (1 - 0,03)
i = 1 - (0,98) (0,97)
i = 1 - 0,9506
i = 0,0494
i = 4,94%
5) Uma televisão sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual a porcentagem equivalente a esses dois
acréscimos?
Solução:
No caso de aumentos sucessivos usamos a seguinte fórmula:
i = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ..., (1 + i n ) - 1
i = (1 + 0,1) (1 + 0,1) - 1
i = (1,1) (1,1) - 1
i = 1,21 - 1
i = 0,21
i = 21%
6) A população de um município, com 60.000 habitantes cresce anualmente em 1%. Quantos
habitantes terá no final de dois anos?
Solução:
1º. ano: 60.000 . .600.60600000.60600
100
1
hab

2º. ano: hab206.61606600.60606
100
1
600.60
Resp. O número de habitantes no final de dois anos é de 61.206 hab.
1) Quanto vale
a) 1% de 200 ?
b) 2,3% de 25?
c) 0,1% de 1,04?
d) 2% de 400?
2) O número 1,35 corresponde a 15% de:
a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18
2
%)10()3
a)100% b) 20% c) 5% d) 1% e) n.r.a
4) Um trabalhador, após ter recebido um aumento de 25% no seu salário mensal, ficou recebendo a
quantia de R$ 1.000,00 mensais. Podemos assim afirmar que este trabalhador teve um aumento
mensal no seu salário de:
a) R$ 100,00 c) R$ 250,00 e) R$ 50,00
b) R$ 200,00 d) R$ 150,00
5) O abatimento que se faz sobre R$ 30.000,00 quando se concede um desconto de 20% e, a seguir,
mais um de 5% é:
a) R$ 5.700,00 c) R$ 7.200,00 e) R$ 9.000,00
b) R$ 6.900,00 d) R$ 7.500,00
6) Certo ano, as taxas de inflação nos meses de maio, junho; e julho foram de 15%, 12% e 20%,
respectivamente. No período de maio a julho desse mesmo ano, a taxa de inflação acumulada foi de,
aproximadamente,
a) 15,7% c) 47% e) 54,6%
b) 45,2% d) 47,8%
7) João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000,00, incluindo o
imposto sobre produtos industrializados (IPI). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15% a.d.,
o valor do imposto foi de:
8) O preço de uma geladeira é de R$ 1.200,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um
acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 20% de entrada e pagando o restante em duas
prestações iguais, o valor de cada prestação será de:
9) (FEI) Num lote de 1.000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo
A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote?
10) (F. Objetivo) Aumentando-se, de 40%, os lados de um quadrado, sua área ficará aumentada de:
a) 45% c) 96% e) n.r.a.
b) 20% d) 82%
11) A base de um retângulo de área A é aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do
novo retângulo formado é:
a) 1,04A c) 1,02 A e) A
b) 0,98 A d) 0,96 A
12) (Banespa) Um pequeno silo de milho, perde 15% da carga pela ação de roedores. Vendeu-se 1/3 da
carga restante e ainda ficou com 42,5 toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas, antes da
ação dos roedores era:
a) 61 b) 75 c) 90 d) 87,5 e) 105
13) Uma sala de aula tem 40 alunos, sendo que15% dos alunos ficaram em recuperação. Calcule o
número de alunos aprovados sem recuperação.
1) O número 5,94 representa 18% de:
a) 36 b) 35 c) 34 d) 33 e) 32
2) Indique a opção que completa a igualdade (5%) 2
=
a) 25% b)
4
1
% c) 10% d) 0,1% e) 0,001%
3) (Fuvest) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50 teve um aumento passando a custar R$ 13,50.
A majoração sobre o preço antigo é de:
a) 1% b) 10% c) 12,5% d) 8% e) n.r.a.
4) (ETF-SP) Um levantamento sócio-econômico entre os alunos da Federal, revelou que 22% das
famílias têm casa própria, 30% têm automóvel e 12% têm casa própria e automóvel. O percentual
dos que não têm casa própria nem automóvel é de:

a) 46% b) 54% c) 30% d) 40% e) 60%
5) A expressão (10%)2 - (5%)2 é equivalente a:
a)7,5% c) 0,75% e) nra
b)15% d) 25%
6) Supondo que nos três primeiros meses do ano a inflação foi de 5%; 4%; 10% respectivamente,
determinar, em porcentagens, a inflação acumulada no trimestre:
7) (UFV-MG) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 140,00. Para iludir os consumidores,
o dono aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de
20%. Esse par de sapatos ficou aumentado de:
a) R$ 26,00 c) R$ 31,00 e) n.r.a.
b) R$ 28,00 d) R$ 34,00
8) Certa partida de mercadorias foi vendida por R$ 21.516,30 com lucro de R$ 3.126,30 sobre o preço
de custo. Calcular de quantos por cento foi esse lucro.
9) Após um aumento de 20%, um livro passa a custar R$ 180,00. O preço antes do aumento era:
a) R$ 170,00 c) R$ 160,00 e) n.r.a.
b) R$ 144,00 d) R$ 150,00
10) (ETF-SP) Um plebiscito foi realizado na cidade A, para decidir sobre sua autonomia administrativa.
Dos 22.500 eleitores, 10% faltaram, 15% votaram em branco ou anularam o voto e, 4.500 votaram
não. Diante disso, conclui-se que votaram sim:
a) 11.250 eleitores b) 45% dos eleitores c) 51% dos eleitores
d) 55% dos eleitores e) 66,6% dos eleitores
11) (Mack) Supondo que o preço K de um produto sofra 2 aumentos sucessivos de 10%, então esse
preço passará a ser R$ 363,00, mas, caso ele tenha dois abatimentos sucessivos de 10%, então
passará a ser M reais. Desta forma, K + M vale:
1) x 100
5,94 18
18
594
5941894,5.10018
18
100
94,5
xxx
x
33x
a alternativa correta é a d
2) 0025,0
400
1
2
20
1
2
100
52%5
3) 12,50 100
1,00 x
%8
50,12
100
50,12
100
00,1
50,12
xxx
x
4) n (AUB) = n (A) + n (B) - n(A B)
n (AUB) = 22 + 30 - 12
n (AUB) = 40%
R.: O percentual dos que não têm casa própria e nem automóvel é de 60%.
a alternativa correta é a e
5)
a alternativa correta é a c
6) i = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) - 1
i = (1 + 0,05) (1 + 0,04) (1 + 0,1) - 1
i = (1,05) (1,04) (1,1) - 1
%75,0%
4
3
400
14
400
1
100
1
20
1
10
1
100
5
100
10
%5%10
2222
22

i = 0,2012
i = 20,12%
7) 1,5 x 140 = 210
210 x 0,8 = 168
R.: O par de sapato teve aumento de R$ 28,00 em relação ao preço inicial.
8) V = C + L
21.516,30 = C + 3.126,30
C = 21.516,30 - 3.126,30
C = 18.390,00
%1717,0
390.18
30,124.3
ou
C
L
9) x 100
180 1,2
150
2,1
180
1802,1
2,1
1
180
xx
x
10) eleitores faltosos 22.500 x 0,1 = 2.250
votos brancos ou nulos 22.500 x 0,15 = 3.375
votaram não
125.10
500.4
22.500 - 10.125 = 12.375
500.22
375.12
0,55 ou 55%
11) K (1,1) (1,1) = 363
300
21,1
363
36321,1 KKK
M = 300 (1 - 0,1) (1 - 0,1) M = 300 0,9 0,9 M = 243
K + M = 300 + 243 = 543
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9. Operações sobre Mercadorias
1. Introdução
Neste capítulo apresentaremos outros problemas de porcentagens, que ocorrem na vida
comercial, envolvendo as operações comerciais que podem gerar lucro ou prejuízo sobre o preço de
custo ou sobre o preço de venda.
2. Vendas com lucro
2.1. Sobre o preço de custo
2.2. Sobre o preço de venda
Exemplos:
1) Por quanto devo vender um aparelho de som que comprei por R$ 1.200,00 e desejo lucrar 30%
sobre a compra?
Solução:
V = C+L
V: preço de venda V = 1200+1200 0,3
C: preço de custo V = 1200+360
L: lucro V = 1.560
R: Deverei vender o aparelho por R$ 1.560,00
2) Comprei um quadro por R$ 4.500,00 e quero obter um lucro de 10% sobre o preço de venda. Por
quanto deverei vender esse quadro?
Solução:
C= R$ 4.500,00 V = C+L
L= 0,1 V V = 4500+0,1V
V ? 1V-0,1V= 4500
0,9V=4500
9,0
4500
V
V = 5000
R: O quadro deverá ser vendido por R$ 5.000,00

3. Vendas com prejuízo
3.1. Sobre o preço de custo
3.2. Sobre o preço de venda
Exemplo:
1) Uma saca de batata foi vendida com um prejuízo de 15% sobre o preço de custo. Sabendo-se que
essa saca custou R$ 200,00. Qual foi o preço de venda?
Solução:
V: preço de venda V=C-P
C: preço de custo V= 200-0,15 200
P: prejuízo V= 200-30
V= 170
R: Logo, a saca de batata foi vendida por R$ 170,00.
2) Um automóvel custando R$ 5.500,00 foi vendido com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda.
Calcule o preço de venda.
000.5
1,1
500.5
500.51,1
500.51,01
1,0500.5
V
V
V
VV
VV
PCV
R: O preço de venda do automóvel foi de R$ 5.000,00
1) Determinar por quanto se deve vender um objeto, comprado por R$ 350,00, para se obter um lucro
equivalente a 2,5% do custo.
2) Uma pessoa vendeu um carro por R$ 9.000,00 perdendo o equivalente a 10% do preço de compra .
Qual foi o preço de compra?
3) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale
aumentar o preço original em:
4) Um comerciante comprou uma partida de 10 sacas de batatas por R$ 2.100,00. Por quanto deve
vender cada saca para obter um lucro total de 15% sobre o preço de custo?
5) (Banco do Brasil) Calcule o prejuízo de certo comerciante que vendeu suas mercadorias por R$
36.394,40, perdendo nessa transação uma quantia equivalente a 3% do preço de custo.
6) Uma televisão foi vendida por R$ 1.050,00, com um prejuízo de 6,5% do preço de custo. Por quanto
deveria ser vendida, para se obter um lucro equivalente a 3% do custo?
7) (Mauá) Um produto cujo custo foi de R$ 272,00 deve ser vendido com lucro de 15% sobre o preço
de venda. O preço de venda é:
a) R$ 280,00 c) R$ 300,00 e) R$ 400,00
b) R$ 320,00 d) R$ 350,00
8) (EPC do Ar) Na venda de um certo objeto houve lucro de R$ 12,00 que correspondente a 16% do
preço de custo. Qual o preço de custo do objeto?
9) (Banco do Brasil) Uma pessoa vendeu um objeto por R$ 14.400,00, perdendo o equivalente a 10%
do preço de compra. Qual foi o preço de compra?
a) R$ 14.000,00 c) R$ 16.000,00 e) n.r.a
b) R$ 15.000,00 d) R$ 17.000,00
10) Um comerciante vendeu uma geladeira de R$ 1.300,00 por R$ 850,00. Calcule a porcentagem do
seu prejuízo.
1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 1.560,00, com prejuízo de 12% sobre seu preço de custo. O
preço de custo dessa mercadoria é de :
2) Uma fatura no valor de R$ 800,00 sofreu abatimentos sucessivos de 5%; 6% e 10%. Calcule o valor
líquido da fatura.
3) Maria vendeu um relógio por R$ 650,00 com um prejuízo de 3,5% sobre o preço de compra. Para
que tivesse um lucro de 6% sobre o custo, ela deveria ter vendido por:
4) Joana vendeu um fogão com prejuízo de 6% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ela tenha
comprado o produto por R$ 650,00, o preço de venda foi de:
5) (TTN) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com lucro de 10%, em seguida, foi revendido por
R$ 20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um
percentual de:
6) Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 47.200,00 e uma partida de arroz por R$
35.100,00.Vendeu o tecido com 7% de prejuízo e o arroz, com 11,5% de lucro. Ao todo, ganhou ou
perdeu? Quanto?
7) Calcule o valor líquido de uma guia de recolhimento de imposto sindical, no valor de R$ 2.000,00,
que sofreu a redução de 12% sobre esse valor total, e, em seguida, outro abatimento de 6% sobre o
líquido da primeira redução.
8) Uma partida de arroz foi vendida por R$ 2.150,00, com um lucro de R$ 650,00 . Calcule a
porcentagem desse lucro em relação ao preço de custo.
9) Uma bicicleta no valor de R$ 650,00, foi vendida por R$ 350,00. De quantos por cento foi o
prejuízo?
10) João vendeu uma máquina de escrever por R$650,00 com prejuízo de 12% sobre o preço de
compra. Para que tivesse um lucro de 10% sobre o preço de custo, ele deveria ter vendido por:

1)
2)
3)
4)
5)
6)
?
12,0
1560
C
CP
V
72,1772
88,0
1560
88,01560
12,01560
CC
C
CC
PCV
96,642
9,094,095,0800
)1,01()06,01()05,01(800
)1()1()1( 321
L
L
L
iiiPL
CP
V
%5,3
00,650
57,673
965,0
00,650
965,000,650
035,000,650
CC
C
CC
PCV
98,713
41,4057,673
57,67306,057,673
V
V
V
LCV
?
00,650
06,0
V
C
VP
20,613
06,1
00,650
00,65006,1
06,000,650
C
V
VV
PCV
00,500.700,850.500,650.1
00,850.500,850.1400,700.20
850.1400,650.100,500.16
00,500.161,000,500.16
%50,505050,0
00,850.14
00,500.7
C
L
50,759.4$:
50,136.39115,100,100.35
00,896.4393,000,200.47
RGanhouR
Arroz
Tecido
7)
8)
9)
10)
40,654.1$94,088,000,2000
06,0112,0100,2000
RL
L
00,500.1
00,65000,150.2
00,65000,150.2
C
C
C
LCV
%3,43ou433,0
00,500.1
00,650
C
L
%15,46
650
000.30
000.30650
100
00,300
00,650
00,300
10000,650
XXX
X
X
CL
C
CP
RV
1,0
?
12,0
00,650$
50,812
64,7381,064,738
64,738
88,0
00,650
88,000,650
12,000,650
V
V
LCV
CCC
CC
PCV

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reproduzida sema autorização da Editora.
10. Juros Simples
1. Introdução
Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física ou jurídica), recebemos de volta a quantia
emprestada mais uma quantia que denominamos de juros.
Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um
período de tempo determinado (n).
A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será expresso em
porcentagem do capital.
Exemplos:
a) A taxa de juro de 5% a.d. - significa que o valor do juro é igual 5% do capital, por dia.
b) A taxa de juro de 20% a.m. - significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por mês.
Capital (principal ou valor presente)
É a quantia aplicada ou emprestada por um período de tempo.
Prazo (ou tempo)
É o período de aplicação do capital.
2. Regime de capitalização
O regime de capitalização pode ser simples ou composto.
2.1. Regime de capitalização simples
No regime de capitalização simples, a taxa de juro incide sobre o capital inicial, e no final de
cada período os juros obtidos serão iguais ao produto do capital pela taxa do período.
3. Cálculo do juros simples e montante.
Seja um capital (C) aplicado a uma taxa (i) por período, durante n períodos consecutivos, sob o
regime de capitalização simples.
Os juros formados no final de cada período serão iguais, e portanto teremos:
0 1 2 3 n-1 n
in CJJJJ ===== ....321
O juro total dos n períodos será:
in
iiii
n
CJ
CCCCJ
JJJJJ
=
+=++=
++++=
...
...3
21
Para o caso do Montante teremos:
)1( inCM
CinCM
JCM
+=
+=
+=
Exercícios Resolvidos
1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00 colocado a taxa 1% a.m. durante 1 anoe
2 meses.
Dados:
J=? J=C. i. n
C=R$ 2.000,00 J=2000⋅ 0,01 ⋅ 14
i=1% a.m. J=280
n=1 ano 2 meses = 14 meses
R: Os juros obtidos serão de R$ 280,00.
2) Um capital de R$4.000,00 rendeu em 1 mês a importância de R$1.000,00 de juros. Calcular a taxa.
Dados:
C=R$ 4.000,00
n= 1 mês
i=?
J=R$1.000,00
..%2525,0
000.4
000.1
4000000.1
1..4000000.1
..
maiouii
i
i
niCJ
===
=
=
=
3) Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 200,00 para que renda R$ 80,00 de
juros, sendo a taxa 1% a.m.?
Solução:
C= R$ 200,00
J= R$ 80,00
i= 1% a.m.
n=?
meseseanosoumesesnn
n
n
niCJ
4340
2
80
280
.01,0.20080
..
==
=
=
=

4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 mês, juros de R$ 650,00.
Solução:
i=1% a.m.
n=13 meses
J= R$ 650,00
000.5
13,0
650
13,0.650
13.01,0.650
..
==
=
=
=
CC
C
C
niCJ
5) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a taxa de
0,5% a.m..
Solução:
M=?
C=R$ 1.200,00
n= 2 anos e 6 meses = 30 meses
i= 0,5% a.m.
M=C(1+in)
M=1200(1+0,005 ⋅ 30)
M=1200(1+0,15)
M=1200 ⋅ 1,15
M= 1.380
4. Taxas proporcionais
Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção
com os seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade.
Assim, sendo teremos:
2
2
1
1
n
i
n
i
=
Exemplos:
1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a.
Solução:
..%22412
12
24
1
11
1
2
2
1
1
maii
i
n
i
n
i
===
=
2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.
..%18
1
5,1
12 1
2
2
2
1
1
aai
i
n
i
n
i
==
=
5. Taxas equivalentes
Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num
mesmo período de tempo, produzem juros iguais.
Exemplo:
Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00:
a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses.
b) a taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos.
Solução:
a)
J=?
C= R$ 1.000,00
i= 2% a.m
n= 3 meses
J= C. i. n
J= 1000 ⋅ 0,02 ⋅ 3
J= 60,00
b)
J=?
C=R$ 1.000,00
i=1,5% a.a.
n=4 anos
J=C. i. n
J=1000 ⋅ 0,15 ⋅ 4
J=60,00
Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 1,5% a.a.
6. Prazo médio
Para o cálculo do prazo médio, mencionaremos quatro casos a saber:
a) Capitais e taxas iguais.
Neste caso o prazo médio é calculado pela média aritmética simples dos prazos dados.
Exemplo:
1) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a taxa de 2% a.a., durante 2 meses e R$ 1.000,00, a mesma taxa,
durante 4 meses. Qual o prazo médio dessa aplicação?
Solução:
)(3
2
6
2
42
médioprazomeses==
+

b) Capitais diferentes e taxas iguais
Quando os capitais são diferentes e as taxas iguais, o prazo médio é calculado pela média
aritmética ponderada dos prazos pelos capitais.
Exemplo:
Determine o prazo médio de aplicação de dois capitais, de R$ 1.200,00, e R$ 1.800,00, aplicadasdurante
1 ano e 3 anos, respectivamente, a taxa iguais?
Solução:
Multiplicando os prazos pelos respectivos capitais.
600.6
400.5
000.3
800.1
.3
200.1200.1.1
=
=
Dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais teremos:
ano2,2
000.3
600.6
=
R: O prazo médio é de 2,2 anos.
c) Capitais iguais e taxas diferentes.
Quando os capitais são iguais e as taxas diferentes, a solução é idêntica ao caso anterior.
d) Capitais e taxas diferentes.
Quando os capitais e as taxas são distintos, o prazo médio é calculado pela soma dos produtos
dos capitais pelo tempo de aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos produtos do
capital por essa referida taxa de aplicação.
Exemplo:
Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais:
R$ 800,00 em 20 dias a 1,5% a.a., R$ 1.000,00 a 2% a.a. em 30 dias?
Tempo Capital Taxas = Valor ponderado
20 800 0,015 240
30 1.000 0,02 600
= 840
Prazo médio =
taxapelacapitaisdosprodutosdosSoma
ponderadosvaloresdosSoma
Prazo Médio = dias25,26
32
840
2012
840
)02,0.1000()015,0.800(
840
==
+
=
+
7. Taxa média
Sejam os capitais C1; C2; C3...Cn, aplicamos as taxa i1; i2; i3... respectivamente, durante o mesmo
período de tempo.
A taxa média im é obtida pela soma dos capitais acima, aplicados a esta taxa e no mesmo prazo,
obtendo um total de rendimentos idênticos as aplicações originais.
n
nn
m
CCC
iCiCiC
i
+++
•+•+•
=
ΛΛ
ΛΛ
21
2211
Exemplo:
1) João aplicou seu capital de R$ 7.000,00 da seguinte maneira:
R$ 1.500,00 a 2% a.m.
R$ 2.000,00 a 1,5% a.m.
R$ 3.500,00 a 2,5% a.m.
Qual seria a taxa única, que poderia aplicar seu capital, para se obter o mesmo rendimento?
Solução:
%1,2
0210,0
7000
5,87330
350020001500
025,0.3500015,0.200002,0.1500
=
=
+−+
=
++
++
=
i
i
i
Exercício de fixação
1) Determine os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado a taxa de 3% a.a. em 4
anos.
2) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 5 meses a importância de R$ 1.800,00. Calcule a taxa anual.
3) Um capital de R$ 14.4000,00 aplicado a 22 % a.a. rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quantotempo
esteve empregado?
4) Se uma pessoa aplica somente
5
2
de seu capital em letras durante 90 dias, a taxa de 2,5% a.m.(juros
simples) e recebe R$ 9.600,00 de juros. Calcule o capital de aplicação desta pessoa.
5) Carlos aplicou
4
1
de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o
restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo de regime de capitalização. Sabendo-
se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, o capital inicial era de:

6) Um capital de R$ 8.000,00 foi dividido em 2 partes. A primeira parte foi investida a uma taxa de1%
a.a., durante 2 anos e rendeu os mesmos juros que a segunda parte que fora investida a taxa de 1,5%
a.a. por 3 anos. Calcule o valor da parte menor.
7) A soma de um capital com os seus juros, aplicado durante 110 dias, à taxa de 7% a.a. é igual a R$
2.553,47. Determinar o valor dos juros, considerando-se o ano com 360 dias.
8) (Receita Federal) O prazo que duplica um capital aplicado a taxa de juros simples de 4% a.m. é:
a)1 ano c) 20 meses e) n.r.a.
b) 15 meses d) 25 meses
9) (TTN) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fimde8
meses é:
10) Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante será de R$ 63.000,00. Caso a
aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada?
11) Calcule a taxa anual proporcional a:
a) 2,5% a.m. c) 1,2% a.m.
b) 3% a.t. d) 3% a.s.
12) Calcule a taxa bimestral de juros simples, equivalente a 126% a.a.
13) Qual a taxa trimestral de juros simples equivalente a 10% a.a.?
14) Aplicou-se a juros simples os capitais de R$ 1.000,00 a 2% a.m., R$ 1.500,00 a 3% a.m. e R$
2.000,00 a 3,5% a.m. durante um mês. Qual foi a taxa média do investimento?
15) Qual o prazo médio para juros de R$ 2.000,00 em 30 dias a 1% a.d., R$ 2.500,00 a 2% a.d. em 40
dias.
1) Um capital de R$ 6.000,00 aplicando durante 2 meses, a juros simples, rende R$ 2.000,00.
Determinar a taxa de juros cobrada.
2) Calcular o juro e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 1 ano, a taxa de juros
simples de 0,5%a.m.
3) Em quanto tempo um capital colocado a 0,4% a.m., rende
5
2
do seu valor?
4) (FAAP) Um investimento de R$ 24.000,00, foi aplicado parte a juros de 1,8% a.m., e parte a3%a.m.
Se os juros mensais forem de R$ 480,00, quais as partes correspondentes do investimento?
5) (Mack) A taxa de 4% ao mês (juros simples), R$ 200,00 dobrou de valor ao fim de:
a) 18 meses c) 25 meses e) 50 meses
b) 24 meses d) 48 meses
6) Um capital foi aplicado da seguinte maneira: seus dois terços rendendo 4%a.a e a parte restante
rendendo 3% a.a. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de R$ 500,00.
Qual era o capital inicial?
7) (EPCAR-81) Um capital foi colocado a render juros simples a uma taxa tal que após 10 meses o
capital e os juros reunidos se elevaram a R$ 13.440,00 e após 18 meses se elevaram a R$ 16.512,00.
Qual é o capital?
8) (Sec. Mun.Fin-SP) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples e, ao final de 2 bimestres,
produziu o montante de R$ 16.320,00. A taxa mensal dessa aplicação foi de:
a) 2,2% b) 3,6% c) 4,2% d) 4,8% e) 6,6%
9) O capital de R$ 3.000,00, aplicado à taxa anual de 1% no fim de 200 dias, produzirá o montante de:
10) Colocaram-se a mesma taxa: R$ 800,00 durante 3 meses e R$ 200,00 durante 5 meses. A diferença
entre os juros é de R$ 700,00. Qual é a taxa?
11) Ache a taxa mensal proporcional a:
a) 3,6% a.t. b) 12% a.s.c ) 2,4% a.d. d) 12% a.a.
12) (Receita Federal) Aplicar um capital a taxa de juros simples de 5% a.m., durante 10 meses, é
equivalente a investir o mesmo capital por 15 meses a taxa de:
a) 7,5% a.m. b) 3,33% a.m. c) 3% a.m. d) 12% a.a.
13) Sobre a taxa proporcional é correto afirmar:
a) Sempre se refere a juros exatos.
b) Normalmente refere-se a juros compostos.
c) Utilizado em equivalência de capitais a juros comerciais e compostos.
d) Dá nome aos contratos.
e) Refere-se a juros simples.
14) (FTE-93) Um banco efetuou os seguintes empréstimos com juros simples conforme tabela abaixo.
Calcule a taxa média mensal destas operações:
Principal(R$) Taxa mensal Prazo (meses)
10.000,00 20% 2
20.000,00 10% 4
a) 10% a.m. b) 11% a.m. c) 12% a.m. d) 13,33% a.m. e) 15% a.m.
15) Três capitais iguais a R$ 2.000,00 foram aplicados a mesma taxa durante 2, 3 e 4 meses
respectivamente. Qual o prazo médio?

1)
2)
3)
4)
5)
?i
R$2.000,00J
me2
00,000.6$
=
=
=
=
n
RC
a.m.%6,16
166,0
6
1
000.12
000.2
000.12000.2
2000.6000.2
=
===
=
••=
••=
i
iii
i
i
niCJ
..%5,0
121
00,000.10$
mai
mesesanon
RC
=
==
=
00,600.10
000.10600
600
005,012000.10
=
+=
+=
=
••=
••=
M
M
CJM
J
J
niCJ
CJ
mai
C
4,0
.%4,0
?
=
=
=
mesesnn
nCC
niCJ
100
004,0
4,0
004,04,0
==
••=
••=
( )
( )
000.4000.20000.24
000.24
000.20
012,0
240
240012,0
1240012,0
72048003,0018,0
48003,0720018,0
480103,0000.241018,0
480
480
000.24000.24
22
12
11
1
1
11
11
11
2211
21
1221
=−=
−=
==
=
−−=−
−=−
=−+
=••−+••
=••+••
=+
−==+
CC
CC
CC
C
C
CC
CC
CC
niCniC
JJ
CCCC
?
200
400
..%4
=
=
=
=
n
C
J
mai
mesesnn
n
niCJ
50
8
400
04,0200400
==
••=
••=
6)
7)
3
03,0
103,0
3
1
3
08,0
104,0
3
2
1
..%4
3
2
2
1
1
1
CC
J
CC
J
anon
mai
CC
=••=
=••=
=
=
=
500
1
..%3
3
1
21
2
2
=−
=
=
=
JJ
anon
aai
CC
000.30
05,0
1500
150005,0150003,008,0500
3
03,0
3
08,0
==
==−=−
CC
CCC
CC
512.16
18
=
=
M
mesesn ( )
i
C
iC
niCM
181
512.16
)181(512.16
1
+
=
+=
•+=
..%4
04,0
7,5
23,0
23,07,5
123,13,1218
3,1223,1181
)101(23,1)181(1
1
23,1
101
181
440.13
512.16
101
181
181
512.16
101
440.13
mai
i
i
ii
ii
ii
i
i
i
i
ii
=
==
=
−=−
+=+
+=+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
00,600.9
4,1
440.13
4,01
440.13
04,0101
440.13
101
440.13
==
+
=
•+
=
+
= CCC
i
C
440.13
10
=
=
M
mesesn ( )
i
C
iC
niCM
101
440.13
)101(440.13
1
+
=
+=
•+=

8)
R: A alternativa correta é a
9)
10)
11)
a)
b)
a
?
00,320.16
4
00,000.15
=
=
=
=
i
M
mesesn
C ( )
( )
..%2,2022,0
4
088,0
41088,1
41
00,000.15
00,320.16
41100,000.1500,320.16
1
maiii
i
i
niCM
===
=−
+=
•+=
•+=
diasn
i
M
C
200
360
01,0
?
00,000.3
=
=
=
=
66,016.3
180
181
000.3
180
1
1000.3
360
2
13000
200
360
01,0
1000.3
)1(
=
=
+=
+=
•+=
•+=
M
M
M
M
M
niCM
..%505,0
2
1
400.1
700
700400.1
7001000-400.2
700
10005200
400.23800
21
2
1
maiiii
i
ii
JJ
iiJ
iiJ
====
=
=
=−
=••=
=••=
..%2,1
3
6,3
6,33
3
6,3
1
111
1
2
2
1
1
maiii
i
n
i
n
i
====
=
..%2
6
12
126
6
12
1
111
1
2
2
1
1
maiii
i
n
i
n
i
====
=
c)
d)
12)
a alternativa correta é a
13) a alternativa correta é a e
14)
15) Prazo médio 3
3
432
=
++
= meses.
b
..%7272,030024,0
1
024,0
30
111
1
2
2
1
1
maiii
i
n
i
n
i
==•==
=
..%101,0
12
12,0
12,012
12
12,0
1
1111
1
2
2
1
1
maiiii
i
n
i
n
i
=====
=
...%3,3ou033,0
15
5,0
155,0
15
5,01005,0
2
2
1
maiii
iCC
JJ
iCJ
CCJ
===
••=
=
••=
=••=
...%3,13ou133,0
15
2
30
4
000.30
000.4
000.30
1,0000.202,0000.10
21
2211
maii
iiii
CC
ICiC
i
mm
mmmm
m
==
===
•+•
=
+
•+•
=

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