Regressão linear simples entre preço e distância

UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
CCET - Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
DEC - Departamento de Estruturas e Construção Civil
Disciplina: Avaliações e Perícias na Construção Civil
Professor Wagner Augusto Andreasi, M. Engº
Acadêmico do Curso de Engª. Cvil: Ademir Aparecido Peixoto de Azevedo
Atualizada pelo Acadêmico do Curso de Engª. Cvil Thiago Winter Macinelli em 2009

FUFMS -- CCET ––DEC -- LADE
Avvalliiaçções e Perríícciias na Consttrruçção Ciivviill
IInttrroduçção às Ferrrramenttas de Análliise Esttattíísttiicca do Exxccell 2007 aplliiccadas a Engª de avvalliiaçções
Prroff.. Wagnerr Augustto Andrreasii,, M.. Engª..
Accad.. Ademiirr A.. Peiixxotto de Azzevvedo -- vv..2002 e Accad.. Thiiago Wiintterr Macciinellllii –– vv..2009
2
SUMÁRIO
1. Introdução......................................................................................................................3
2. Regressão Linear simples..............................................................................................3
2.1. Calculo das estatísticas de regressão e ANOVA..........................................3
2.2. Determinação do intervalo de confiança......................................................9
2.3. Teste de hipóteses........................................................................................11
2.4. Verificação das hipóteses básicas...............................................................13
3. Regressão Linear Múltipla..........................................................................................16
3.1. Considerações preliminares........................................................................16
3.2. Verificação da colinearidade entre variáveis independentes.....................18
3.3. Calculo das Estatísticas de Regressão e Anova..........................................21
3.4. Determinação do Intervalo de Confiança...................................................25
3.5. Teste de hipóteses........................................................................................27
3.6. Verificação das hipóteses básicas...............................................................28
4. Exemplos Resolvidos....................................................................................................28
5. Referências Bibliográficas...........................................................................................53
6. Anexo 1( Tabela de Durbin-Watson)..........................................................................54

3
1. Introdução
Esta apostila tem o objetivo de apresentar ao leitor as ferramentas de Análise Estatística disponíveis no Microsoft Excel 2007 aplicadas a Engenharia de Avaliações, utilizando-as em exemplos de resolução de problemas de regressão linear simples e regressão linear múltipla.
Pressupõe-se nesta apostila que o leitor já tenha conhecimentos teóricos básicos de estatística, tais como distribuições bilaterais e unilaterais, colinearidade, análise de resíduos, testes de significância, análise de variância e regressão linear. O objetivo maior desta apostila é diminuir o esforço e o tempo necessário para realizar uma avaliação utilizando o Microsoft Excel para realizar os cálculos, que são muito complexos e longos para serem feitos “a mão”.
2. Regressão Linear Simples
2.1. Calculo das Estatísticas de Regressão e Anova
Consideremos o exemplo onde estamos interessados em avaliar um lote de 300 m2 de área, situado a uma distância de cerca de 2.100 m de um ponto valorizante. Os atributos de diferenciação levantados compreendem a localização do lote, através da distância do mesmo em metros ao referido ponto e a área do lote. As características do imóvel avaliando bem como a dos imóveis da amostra estão apresentados na tabela abaixo:
REGISTRO N.º VARIÁVEL DEPENDENTE PREÇO UNITÁRIO (Y) VARIÁVEIS INDEPENDENTES OU EXPLICATIVAS DIST. (X1) ÁREA (X2)
1
100,00
2.200,00
300,00
2
110,00
2.000,00
340,00
3
120,00
1.800,00
270,00
4
140,00
1.500,00
360,00
5
85,00
2.300,00
400,00
6
105,00
1.900,00
500,00
7
120,00
1.300,00
600,00
8
95,00
2.200,00
300,00
9
150,00
900,00
360,00
10
100,00
1.700,00
600,00
Tabela 1.1
Inicialmente poderíamos supor que o atributo distância ao ponto valorizante não seja influenciante no valor do lote e que a influência da área seja diretamente proporcional a esse valor, o que possibilitaria a resolução do problema por estatística descritiva.
Entretanto, procuraremos levar em consideração o atributo distância ao ponto valorizante na formação dos preços, obtendo uma equação de regressão linear simples, relacionando o preço unitário (PU) com a distância (DIST) do tipo: Ŷi = B0 + B1X1, que terá o seguinte aspecto:

4
PÛ= B0+ B1 * DIST
Para tanto, utilizaremos o Excel 2007 e o suplemento PHStat2 para calcular as Estatísticas de Regressão, Anova e Correlação. Ative o Excel e insira os dados em sua área de trabalho (Tabela 1.1), como mostrado na Figura 1.1.
Figura 1.1
Antes de iniciar a Análise de Dados é necessário ativar os suplementos do Excel 2007 para que as ferramentas de análise estejam disponíveis, para ativá-las, clique com o botão direito sobre a barra de ferramentas, em seguida clique em “Personalizar barra de tarefas de acesso rápido” , clique em “Suplementos”, na opção Gerenciar, selecione a opção “Suplementos do Excel” e em seguida clique em “IR”, no menu suplementos ative os itens “Ferramentas de Análise” e “Ferramentas de Análise – VBA” , como mostrado na Figura 1.2, em seguida clique em “OK”.

5
Figura 1.2
No menu Dados clique em “Análise de Dados”.
Na caixa de diálogo Análise de Dados dê um duplo clique em “Regressão”. (Figura 1.3)
Figura 1.3

6
No campo Intervalo Y de Entrada deve ser fornecido o intervalo que contém as variáveis dependentes ou explicadas, que em nosso caso é PU. Selecione a célula B1 e arraste até a célula B11. Clique no campo Intervalo X de Entrada.
Da mesma forma, para este campo, deve ser fornecido o intervalo que contém as variáveis independentes ou explicativas, que em nosso caso é a distância. Portanto, selecione a célula C1 e arraste até a célula C11 para selecionar o intervalo. Marque a opção Rótulos, pois em nossos intervalos incluímos junto aos dados seus respectivos rótulos.
Marque a opção Nível de Confiança e substitua o valor padrão de 95% por 80% que é o valor recomendado pela NBR-14653-2:2003.
Marque as opções “Resíduos”, “Resíduos Padronizados” e “Plotar Resíduos”.
Figura 1.4
Clique no botão Intervalo de saída e, posteriormente, no campo que está a sua direita. Insira a referência para a célula onde o Microsoft Excel exibirá o canto superior esquerdo da tabela de regressão e Anova.
Para tanto, após selecionar o referido campo clique sobre a célula A19 ou referencie a célula A19 digitando “A19” diretamente no campo.
A aparência da caixa de diálogo Regressão ficará semelhante com a da Figura 1.4 mostrada acima. Clique em OK.

7
O Excel fornecerá as Estatísticas de Regressão, Anova e Tabela de Resíduos.
Figura 1.5
Registro nº Variável Dependente (PU) DIST. (X1) ÁREA (X2)
1
100,00
2.200,00
300
2
110,00
2.000,00
340
3
120,00
1.800,00
270
4
140,00
1.500,00
360
5
85,00
2.300,00
400
6
105,00
1.900,00
500
7
120,00
1.300,00
600
8
95,00
2.200,00
300
9
150,00
900,00
360
10
100,00
1.700,00
600
Tabela 1.2
Antes de fazer a inferência estatística é necessário conhecer o significado dos parâmetros fornecido pelo Excel:

8
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatística de regressão
R múltiplo
0,88054
R-Quadrado
0,77536
R-quadrado ajustado
0,74728
Erro padrão
10,21017
Observações
10
Tabela 1.3
R-múltiplo: Correlação entre as variáveis independentes e a variável dependente.
R-quadrado: Poder de explicação do modelo de regressão, no exemplo 77,5% da variabilidade dos preços é explicado pelo modelo adotado
R-quadrado ajustado: Idem ao R-quadrado, porém ajustado levanto em conta o numero de variáveis independentes
Erro padrão: É o desvio padrão do modelo, dado pela raiz quadrada da variância.
ANOVA
gl
SQ
MQ
F
F de significação
Regressão
1
2878,51914
2878,51914
27,61233
0,00077
Resíduo
8
833,98085
104,24760
Total
9
3712,5
Coeficientes
Erro padrão
Stat t
valor-P
95% inferiores
95% superiores
Interseção
184,16104
14,01440
13,14084
1,07E-06
151,84380
216,47830
DIST. (X1)
-0,040259
0,00766
-5,25474
0,00077
-0,05793
-0,02259
Inferior 80,0%
Superior 80,0%
164,58550
203,73660
-0,05096
-0,02956
Tabela 1.4

9
RESULTADOS DE RESÍDUOS
Observação
Previsto(a) PREÇO UNITÁRIO (Y)
Resíduos
Resíduos padrão
1
95,59121
4,40878
0,45799
2
103,64301
6,35698
0,66038
3
111,69481
8,30518
0,86276
4
123,77252
16,22747
1,68575
5
91,56531
-6,56531
-0,68202
6
107,66891
-2,66891
-0,27725
7
131,82432
-11,82432
-1,22834
8
95,59121
-0,59121
-0,06141
9
147,92792
2,07207
0,21525
10
115,72072
-15,72072
-1,63311
Tabela 1.5
Agora de posse dos coeficientes da equação de regressão linear simples, podemos concluir que a equação PÛ = B0 + B1 * DIST, fazendo as devidas substituições com os coeficientes, é:
PÛ = 184,161 – 0,04026*DIST,
Que para DIST = 2.100 m resulta:
PÛ = R$ 99,62 / m2
2.2. Determinação do Intervalo de Confiança:
Para o cálculo do Intevalo de confiança utilizaremos o “PHStat2”. O software será disponibilizado pelo professor no inicio do curso, ou pode-se fazer o download a partir do site http://www.dec.ufms.br/lade. ALTERAR
Após instalado o “PHStat” só estará disponível no Excel quando ele for aberto, portanto, toda vez que forem utilizar o “PHStat” deve-se abrir o “Excel” e o “PHStat”. O leitor saberá se o software esta disponivel verficando se esta aparecendo o menu “Suplementos” na barra de ferramentas. No caso de o menu “Suplementos” não estar aparecendo, a instalação pode ter sido feita de forma incorreta, ou o usuário não abriu o “PHStat”
Na barra de ferramentas abra o menu “Suplementos”, clique em “PHStat”, clique em “Regression” e clique em “Simple Linear Regression”
Configure o PHStat conforme mostrado na figura 1.6, onde X é o valor da variável independente para o terreno que esta sendo avaliado, no caso X é a distancia 2100 metros. Clique em OK, o PHStat criará um nova planilha com nome “Estimated” com os intervalos de confiança para o preço previsto e para uma nova observação.

10
Fig 1.6
Tabela 1.6
Intervalo de confiança para o valor previsto:
R$ 93,954 < PÛ < R$ 105,279
A NBR 14653-2:2003 sugere a classificação da avaliação quanto ao Grau de Precisão (item 9.2.2). O nível de precisão é encontrado através do valor em porcentagem da amplitude do For Average Predicted Y (YHat) Interval Half Width 5,662778 Confidence Interval Lower Limit 93,95434 Confidence Interval Upper Limit 105,2799
For Individual Response Y Interval Half Width 15,34483 Prediction Interval Lower Limit 84,27229 Prediction Interval Upper Limit 114,9619

11
intervalo de confiança de 80% sobre o valor pontual da avaliação. Como fornecemos para o
campo “confidence levels for interval estimates” o valor de 80%, os valor superior e inferior
fornecidos pelo PHStat referem-se a um intervalo de confiança de 80% sobre o valor pontual da
avaliação, com estes dados pode-se calcular a amplitude que é dada por:
0,114 11,4%
99,62
sup inf 105,279 93,954  




PÛ
PÛ PÛ
AMPLITUDE
Descrição
Grau
III II I
Amplitude do intervalo de confiança de 80%
em torno do valor central da estimativa
≤ 30% 30% - 50% > 50%
NOTA Observar subseção 9.1.
Tabela 1.7
Através da Tabela 1.7, que foi transcrita da NBR 14653-2, pode-se classificar a avaliação quanto
ao grau de precisão, como a amplitude do intervalo de confiança é menor do que 30% , a
avaliação apresenta Grau de Precisão 3
O intervalo para uma resposta individual de Y, é o intervalo de confiança para uma nova
observação que possua as mesmas caracteristicas quanto as variáveis da observação
utilizada para o cálculo, não é de interesse para a avaliação pois o que nos interessa é o
intervalo de confiança para a observação que foi avaliada.
2.3. Teste de hipóteses
Testada a hipótese nula da regressão (ß1 = 0) pelo teste F, a mesma foi rejeitada ao nível de
1%, uma vez que:
Fcalculado = 27,61 > F (λ) (k), (n-k-1) = F (1%)
(1), (8) = 11,30.
(Fcalculado está localizado na célula E30 da tabela do Excel).
Nota: Para obter F (1%)
(1), (8) pode-se consultar uma tabela F ou através da função “INVF” do
Excel, para a obtenção através da função “INVF” deve-se proceder da seguinte forma:
Escolha uma célula vazia do Excel e digite a expressão a seguir:
=INVF(“prob”; “k”; “n-k-1”) , onde:
-“prob”: é o nível de significância desejado, em nosso caso 1%
-“k”: é o numero de variáveis do modelo, em nosso caso é 1
-“n” é o numero de amostras do modelo, em nosso caso é 10

12
Substituindo os dados, a fórmula ficará como a mostrada a seguir:
=INVF(0,01;1;8)
Pressione ENTER, e o Excel fornecerá o valor de F (1%)
(1), (8)
Na célula E31 o Excel fornece o F de significação, que é o nível de significância com o qual se
aceita a hipótese nula da regressão, no modelo como F de significação < 0,01, rejeita-se a
hipótese nula da regressão ao nível de 1%.
Testada a hipótese nula do regressor (ß1 =0), a mesma foi rejeitada ao nível de 5%, uma vez
que:
Nota: Para obter (8),5% t pode-se consultar uma tabela t ou através da função “INVT” do Excel,
para a obtenção através da função “INVT” deve-se proceder da seguinte forma:
Escolha uma célula vazia do Excel e digite a expressão a seguir:
=INVT(“prob”; “n-k-1”) , onde:
-“prob”: é o nível de significância desejado, em nosso caso 5%
-“k”: é o numero de variáveis do modelo, em nosso caso é 1
-“n” é o numero de amostras do modelo, em nosso caso é 10
Substituindo os dados, a fórmula ficará como a mostrada a seguir:
=INVT(0,05;8)
Pressione ENTER, e o Excel fornecerá o valor de (8),5% t
Outra forma de fazer o teste é através do valor P (Célula E36) que representa o nível de
significância com a qual se aceita a hipótese nula do regressor, no modelo, como valor P < 0,05,
rejeita-se a hipótese nula do regressor ao nível de 5%.
Obs.: Os níveis de significância adotados para o teste de hipóteses devem ser escolhidos
através da NBR 14653, item 9.2.1. Os níveis de significância dependem do Grau de
Fundamentação escolhido pelo avaliador.
2.4. Verificação das hipóteses básicas
5,25 2,31
0,007661
1 0,04026
( 2), (8),5%
1
1    

   t t
S
B
t n
B


13
Primeira hipótese: A variável independente corresponde a números reais que não contenham
nenhuma perturbação aleatória.
De fato, no caso de dados imobiliários, as variáveis independentes estão relacionados com as
características fixas de cada elemento tomado com referência, estando a hipótese atendida.
Segunda hipótese: O número de observações, n, deve ser superior ao número de parâmetros
estimados pelo modelo.
Para evitar o problema de micro numerosidade, a NBR 14653-2 no item 3 da Tabela 1 determina
o número mínimo dados de mercado utilizados na modelagem, a princípio:
n  3(k 1) , onde k é o numero de variáveis independentes.
Terceira hipótese: Os erros são variáveis aleatórias com valor esperado nulo e variância
constante.
Um gráfico de resíduos versus valores previsto, apresentando pontos distribuídos aleatoriamente
em torno de uma reta que passa na origem sem nenhum padrão definido, é um indicador
favorável a verificação da hipótese.
Construa um gráfico com os “valores previstos” (Células B43:B52) da tabela de resíduos no
eixo das abscissas e com os “resíduos” (Células C43:C52) no eixo das ordenadas
O gráfico deverá ficar igual ao apresentado abaixo:
Gráfico 1.1

14
Como os pontos estão distribuídos de forma aleatória em torno da reta horizontal que passa pela origem e não apresentam nenhum padrão definido, aceita-se a hipótese como atendida, classifica- se também o modelo como homocedástico1.
Quarta hipótese: Os erros são variáveis aleatórias com distribuição normal.
Um gráfico de resíduos padronizados versus preço previsto, apresentando 95% dos pontos no intervalo [-1,96;+1,96] é um indicador favorável a verificação da hipótese.
Construa um gráfico com os “valores previstos” (Células B43:B52) da tabela de resíduos no eixo das abscissas e “resíduos padronizados” (Células D43:D52) no eixo das ordenadas.
O gráfico deverá ficar igual ao apresentado abaixo:
Tabela 1.2
Como 100% dos pontos estão distribuídos no intervalo [-1,96;+1,96] se aceita a quarta hipótese.
Quinta hipótese: Os erros são “não correlacionados”, isto é, são independentes sob a condição de normalidade.
A verificação é feita com o auxilio da razão de Von Neumann, que foi tabelada por Durbin Watson para os níveis de significância de 5%, 2,5% e 1%, considerando modelos com 15 a 100 observações com até seis variáveis (Ver Anexo 1).
A estatística de Von Neumann pode ser calculada através do PHStat.. Na barra de ferramentas abra o menu “Suplementos”, clique em “PHStat”, clique em “Regression” e clique em “Simple Linear Regression”. Informe o intervalo de células das variáveis dependentes e independentes, e selecione a opção “Durbin-Watson Statistic”, em seguida clique em “OK”, o
1 Homocedástico: Quando os pontos apresentam dispersão totalmente aleatória em torno de uma reta horizontal que passa pela origem e sem nenhum padrão definido.

15
menu deverá ficar como o apresentado na Figura 1.7. O PHStat criará uma nova planilha com o
valor da Razão de Von Neumann (Durbin-Watson Statistic).
Figura 1.7
Durbin-Watson Calculations
Sum of Squared Difference of
Residuals 1138,727801
Sum of Squared Residuals 833,9808559
Durbin-Wat son Statistic 1,3654 12399
Tabela 1.8
Para que a quinta hipótese seja satisfeita: du < Durbin-Watson Statistic < (4 - du), onde du é o
valor tabelado por Durbin-Watson (ver Anexo 1) . Escolhe-se o valor de du para 15 observações
(du não foi tabelado para 10 observações) e 1 variável independente ao nível de significância de
1%.
1,07 tab du

16
Como:
1,07 < Durbin-Watson Statistic < (4 -1,07)
1,07 < 1,37 < 2,93
Aceita-se a quinta hipótese.
Desta forma podemos concluir que a equação encontrada para a regressão
PÛ = 184,161 – 0,04026*DIST, é válida para inferência do valor do preço unitário, quando a distância do terreno ao ponto valorizante for igual a 2100 m.
Obs. Neste exemplo assim como no seguinte, estamos supondo a amostra já saneada, isto é, isenta de dados supostamente discrepantes. Mais tarde será ilustrado como proceder para sanear uma amostra utilizando o critério de Chauvenet.
3. Regressão Linear Múltipla
3.1. Considerações preliminares
É recomendado ao leitor que só inicie a leitura deste capitulo após ter lido o capitulo que trata de regressão linear simples, pois é necessário o total conhecimento de regressão linear simples para proceder a analise de regressão múltipla.
Para aplicação da metodologia, será apresentada a avaliação do valor de aluguel de um apartamento, no exemplo foram escolhidas varias variáveis independentes e o objetivo é selecionar quais variáveis explicam melhor a variação do valor de mercado do aluguel do imóvel.
Os atributos de diferenciação levantados compreendem:
-Variáveis quantitativas
- Número de quartos
- Número de banheiros
- Número de vagas de garagem.
Variáveis dicotômicas:
-Área de lazer (Recebe valor 1 se o apartamento possuir, e 0 em caso contrário)
Variáveis qualitativas:
-Estado de conservação (Recebe valor 1 para bom, 2 para regular e 3 para ruim), é considerada como qualitativa, mas na verdade é uma variável tricotômica.
É de grande importância o avaliador verificar após a regressão se os coeficientes encontrados para cada variável condiz com a realidade conforme o exemplo:
Ex: O coeficiente de uma variável com valor da área não pode ser negativo, pois sabe-se que quanto maior a área do imóvel maior seu valor.
O imóvel avaliando possui as seguintes características:
- Numero de quartos: 3

17
-Numero de banheiros: 2
- Numero de vagas de garagem: 1
-Área de lazer: Não possui (Recebe valor 0)
-Estado de conservação: Regular (Recebe valor 2)
Desta forma, tentar-se-á obter uma equação de regressão múltipla relacionando o preço unitário (PU) com as variáveis descritas anteriormente. A equação será do tipo:
PUi = Bo + B1X1 + B2X2 + ....+ BnXn
Os dados coletados do mercado para a avaliação são os descritos na tabela abaixo:
N. de registro Preço Numero de quartos (X1) Número de banheiros (X2) Vagas de garagem (X3) Estado de conservação (X4) Área de lazer (X5)
1
450
3
2
1
2
0
2
400
3
1
1
3
1
3
500
3
2
1
2
1
4
500
3
2
2
3
0
5
350
2
1
1
2
0
6
600
3
2
2
1
0
7
350
2
1
1
2
0
8
300
2
1
1
2
0
9
450
2
1
1
1
0
10
350
2
1
1
2
0
11
500
3
2
1
2
0
12
500
3
2
1
2
0
13
500
3
2
2
2
0
14
350
2
1
1
2
0
15
400
2
1
1
2
0
16
300
2
1
1
2
0
17
500
3
2
1
2
1
18
450
2
1
1
1
0
19
400
2
1
1
2
0
20
480
3
2
1
3
1
21
420
3
2
1
3
0
Tabela 2.1
Na regressão múltipla deve-se atentar a correlação entre variáveis independentes, que se for alta pode prejudicar a estimativa dos parâmetros do modelo, gerando um modelo tendencioso que não explica de fato o comportamento dos valores de mercado.

18
3.2. Verificação da colinearidade entre variáveis independentes
Inicialmente será verificado a correlação entre as variáveis utilizando a tabela de correlação
do Excel e o fator inflacionário de variância (FIV) obtido através do PHStat. A tabela de
correlação fornece a correlação das variáveis uma a uma, enquanto o FIV fornece a correlação de
uma variável com todas as outras variáveis do modelo.
O FIV é dado por:
2 1
1
j r
FIV

 , onde:
j r - Correlação entre uma variável independente com as variáveis independentes restantes.
Portanto quando j r =0,9, o FIV é aproximadamente 5. Alguns autores consideram como valor
critico para o FIV o valor 5, outros consideram crítico o valor 10, nesta apostila consideraremos
como valor crítico o FIV igual a 5 (LEVINE et al, 2005).
No menu Dados clique em Análise de Dados.
Na caixa de diálogo Análise de Dados dê um duplo clique em Regressão.
Com o Excel ativo, e com os dados já dispostos em sua área de trabalho (Tabela 2.1), no menu
Dados clique em “Análise de Dados”.
Figura 2.1
Na caixa de diálogo Análise de Dados escolha “Correlação” e clique em “OK”.

19
No campo Intervalo de Entrada deve ser fornecido o intervalo que contêm todas as variáveis envolvidas na regressão, que neste exemplo são seis: PU, X1, X2, X3, X4 e X5. Portanto, selecione B1 e arraste até G22.
Marque a opção Rótulos na primeira linha, pois em nossa seleção incluímos com os dados seus respectivos rótulos.
Marque em Opções de saída o botão Intervalo de saída. Para inserir a referência para a célula superior esquerda da tabela de saída, clique no campo que está imediatamente à direita do botão intervalo de saída e insira a referência de célula “A24”. Clique em OK.
O resultado será uma tabela de Correlação como a mostrada na Figura 2.2:
Figura 2.2
De posse das Correlações entre os dados, deve-se verificar se há alguma correlação superior a 0,70 entre variáveis independentes. Segundo Dantas (2005) correlações acima de 0,7 podem ser prejudiciais ao modelo. No exemplo, as variáveis “número de banheiros” e “numero de quartos” apresentam correlação igual a 0,90, o que é prejudicial ao modelo, uma das duas variáveis deve ser excluída do modelo. Para determinar qual variável a ser excluída será calculado o FIV através do PHStat.
Para o cálculo do FIV utilizaremos o PHStat2. Na barra de ferramentas abra o menu “Suplementos”, clique em “PHStat”, clique em “Regression” e clique em “Multiple Regression”
Configure o PHStat conforme mostrado na Figura 2.3, selecione a opção “Variance inflationary factor (VIF)” e clique em “OK”

20
O PHStat criará varias planihas contendo o FIV de cada variável, deve-se verificar se existe alguma variavel com FIV maior que 5, caso exista, deve-se excluir a variavel. Caso exista 2 variáveis com FIV maior que 5 deve-se excluir a variavel com maior FIV e após proceder uma nova verificação do FIV até que não haja nenhuma variável com FIV maior que 5.
Figura 2.3
Os FIVs calculados são:
-Numero de quartos: FIV = 10,119
-Numero de banheiros: FIV = 7,448
-Vagas de garagem: FIV = 1,532
-Estado de conservação: FIV = 1,385
-Área de lazer: FIV = 1,893
As variaveis “número de quartos” e “numero de banheiros” possuem FIV maior que 5, porém o FIV da variavel numero de quartos é maior, deve-se excluir a variavel „numero de quartos” e fazer nova verficação do FIV.
Após a exclusão da variável numero de quartos a planilha deve ficar como a Tabela 2.2:

21
N. de registro Preço Número de banheiros (X1) Vagas de garagem (X2) Estado de conservação (X3) Área de lazer (X4)
1
450
2
1
2
0
2
400
1
1
3
1
3
500
2
1
2
1
4
500
2
2
3
0
5
350
1
1
2
0
6
600
2
2
1
0
7
350
1
1
2
0
8
300
1
1
2
0
9
450
1
1
1
0
10
350
1
1
2
0
11
500
2
1
2
0
12
500
2
1
2
0
13
500
2
2
2
0
14
350
1
1
2
0
15
400
1
1
2
0
16
300
1
1
2
0
17
500
2
1
2
1
18
450
1
1
1
0
19
400
1
1
2
0
20
480
2
1
3
1
21
420
2
1
3
0
Tabela 2.2
Após refazer os cálculos do FIV, devem-se obter os seguintes resultados:
-Numero de banheiros: FIV = 1,495
-Vagas de garagem: FIV = 1,407
-Estado de conservação: FIV = 1,207
-Área de lazer: FIV = 1,358
Como todos os FIVs são menores que 5 não há problema de colinearidade no modelo com 4 variáveis independentes.
3.3. Calculo das Estatísticas de Regressão e Anova
No menu “Dados” clique em “Análise de Dados”. Na caixa de diálogo Análise de Dados escolha “Regressão” e clique em “OK”.
O Excel exibirá a caixa de diálogo Regressão. No campo Intervalo Y de entrada, vamos inserir as referências de células que contém os dados da variável dependente, que neste exemplo é Preço. Clique em B1 e arraste o mouse até B22.

22
No campo Intervalo X de entrada, vamos inserir as referências de células que contém os dados das variáveis dependentes, que neste exemplo são X1, X2, X3 e X4. Clique no campo Intervalo X de entrada. Selecione a célula C1 e arraste o mouse até a célula F22, a referência de célula aparecerá automaticamente no referido campo.
Como na referência dos dados dependentes e independentes, nos referimos aos dados com seus respectivos rótulos, marque a opção Rótulos.
Dado que estamos trabalhando com um intervalo de confiança de 80% marque o botão Intervalo de confiança e substitua o valor padrão de 95% por 80%. Em Opções de saída marque o botão Intervalo de saída para introduzir uma referência de célula.
Selecione as opções: Resíduos, Resíduos Padronizados e Plotar Resíduos
Clique no campo à direita do botão. Selecione a célula A31. A configuração da caixa de diálogo Regressão se parecerá como a mostrada na Figura 2.4. Clique em OK.
Figura 2.4
O resultado será a tabela de regressão como mostrada na Figura 2.5:

23
Figura 2.5
As tabelas de Regressão, Anova, Resíduos e Correlação gerada pelo Microsoft Excel estão apresentadas abaixo:
R múltiplo
0,91573
R-Quadrado
0,83856
R-quadrado ajustado
0,79821
Erro padrão
35,39676
Observações
21
ANOVA
gl
SQ
MQ
F
F de significação
Regressão
4
104134,06220
26033,51554
20,77810
3,55556E-06
Resíduo
16
20046,89023
1252,93064
Total
20
124180,95240

24
Coeficientes
Erro padrão
Stat t
valor-P
95% inferiores
95% superiores
Interseção
302,88334
39,27305
7,71224
8,89007E-07
219,62820
386,13849
Número de banheiros (X1)
108,66723
18,91222
5,74587
3,00723E-05
68,57510
148,75937
Vagas de garagem (X2)
61,80280
26,18965
2,35982
0,031321044
6,28322
117,32238
Estado de conservação (X3)
-55,24505
14,75194
-3,74493
0,001766555
-86,51778
-23,97232
Área de lazer (X4)
53,25881
22,92891
2,32278
0,033699697
4,65167
101,86595
Inferior 80,0%
Superior 80,0%
250,38482
355,38187
83,38618
133,94829
26,79360
96,81201
-74,96482
-35,52528
22,60841
83,90921
Observação
Previsto(a) Preço
Resíduos
Resíduos padrão
1
471,53
-21,53052
-0,68005
2
360,87
39,12295
1,23572
3
524,78
-24,78933
-0,78299
4
478,08
21,91172
0,69209
5
362,86
-12,86328
-0,40629
6
588,57
11,42161
0,36076
7
362,86
-12,86328
-0,40629
8
362,86
-62,86328
-1,98558
9
418,11
31,89165
1,00732
10
362,86
-12,86328
-0,40629
11
471,53
28,46947
0,89923
12
471,53
28,46947
0,89923
13
533,33
-33,33333
-1,05285
14
362,86
-12,86328
-0,40629
15
362,86
37,13671
1,17299
16
362,86
-62,86328
-1,98558
17
524,78
-24,78933
-0,78299
18
418,10
31,89165
1,00732
19
362,86
37,13671
1,17299
20
469,54
10,45571
0,33025
21
416,29
3,71453
0,11732

25
Através das estatísticas de regressão e da tabela Anova, obtivemos a seguinte equação de
regressão:
PÛ  302,88 108,66 X1 61,80 X2 55,25 X3 53,26 X4
Substituindo os valores das variáveis independentes do imóvel avaliando:
-Numero de banheiros (X1): 2
- Numero de vagas de garagem (X2): 1
-Estado de conservação (X3): 2
-Área de lazer (X4): 0
Temos que o valor previsto para o aluguel do imóvel é:
PÛ = R$ 471,53
3.4. Determinação do Intervalo de Confiança
Para o cálculo do Intevalo de confiança utilizaremos o PHStat2. Na barra de ferramentas abra o
menu “Suplementos”, clique em “PHStat”, clique em “Regression” e clique em “Multiple
Regression”
Configure o PHStat conforme mostrado na figura 2.6. Clique em OK, o PHStat criará um nova
planilha com nome “Intervals” com os intervalos de confiança para o preço previsto e para uma
nova observação.
Nas células B6:B9 deve-se informar os valores das variáveis independentes do imóvel avaliando.
Para o imóvel avaliando desta apostila devem-se preencher os campos como segue descrito na
tabela 2.3:
Data
Confidence Level 80%
1
Número de banheiros (X1) given value 2
Vagas de garagem (X2) given value 1
Estado de conservação (X3) given value 2
Área de lazer (X4) given value 0
Tabela 2.3

26
Figura 2.6
Nas células A29:B39, o PHStat fornece o valor previsto para o imóvel e os intervalos de confiança para o valor previsto e para uma resposta individual, conforme abaixo.
Predicted Y (YHat)
471,53
For Average Predicted Y (Yhat) Interval Half Width 21,89 Confidence Interval Lower Limit 449,64 Confidence Interval Upper Limit 493,42
For Individual Response Y Interval Half Width 52,13 Prediction Interval Lower Limit 419,39 Prediction Interval Upper Limit 523,67
Tabela 2.4
R$ 449,64 < PÛ < R$ 493,43

27
A NBR 14653-2:2003 sugere a classificação da avaliação quanto ao Grau de Precisão (item
9.2.2). O nível de precisão é encontrado através do valor em porcentagem da amplitude do
intervalo de confiança de 80% sobre o valor pontual da avaliação.
0,093 9,3%
471,53
sup inf 493,43 449,64  




PÛ
PÛ PÛ
AMPLITUDE
Como a amplitude é menor do que 30% ,através da Tabela 1.7 podemos classificar a avaliação
com Grau de Precisão 3
O intervalo para uma resposta individual de Y não é de interesse para a avaliação (Ver item
2.2 desta apostila).
3.5. Teste de hipóteses
Testada a hipótese nula da regressão (ß1 = 0) pelo teste F, a mesma foi rejeitada ao nível de
1%, uma vez que:
3,55 10 0,01 6     F de sifnificação
( F de significaçãoestá localizado na célula F42 da tabela do Excel)
OBS: F de significação é o nível de significância em que se aceita a hipótese nula da regressão.
Caso fosse aceita a hipótese nula da regressão a equação obtida não poderia ser utilizada para
explicar o comportamento dos valores de mercado dos imóveis.
Testada a hipótese nula dos regressores (ß1 =0), a mesma foi rejeitada ao nível de 5%, uma vez
que:
(Valor P das variáveis está localizado nas células E47:E51)
OBS: Valor P é o nível de significância em que se aceita a hipótese nula dos regressores.
Caso alguma variável independente tivesse a hipótese nula aceita, ela poderia ser excluída do
modelo, e dever-se-ia recalcular as estatísticas de regressão, tabela Anova, e tabela de resíduos.
( 1) 3,01 10 0,05 5     Valor P X
Valor P (X2)  0,031 0,05
Valor P (X3)  0,001 0,05
Valor P (X4)  0,034  0,05

28
3.6. Verificação das hipóteses básicas
Deve-se proceder a verificação das 5 hipóteses básicas descritas na Regressão Linear Simples e verificar uma nova hipótese que só se aplica a Regressão Múltipla.
Sexta hipótese: Não deve existir nenhuma relação exata entre quaisquer variáveis independentes.
Para proceder esta verificação deve-se consultar a tabela de correlações e assegurar que não exista nenhuma correlação igual a 1 entre duas variáveis independentes.
TABELA DE CORRELAÇÃO
Preço
Número de banheiros
Vagas de garagem
Estado de conservação
Área de lazer
Preço
1
Número de banheiros
0,794124877
1
Vagas de garagem
0,543532721
0,428174419
1
Estado de conservação
-0,14093509
0,252509201
-0,03378687
1
Área de lazer
0,246310115
0,265935942
-0,19802951
0,381375432
1
No modelo não existe nenhum correlação igual a 1 entre duas variáveis independentes, então, se aceita a sexta hipótese.
Obs. Neste exemplo, estamos supondo a amostra já saneada, isto é, isenta de dados supostamente discrepantes. Mais tarde será ilustrado como proceder para sanear uma amostra utilizando o critério de Chauvenet.
4. Exemplos Resolvidos
4.1. Um corretor de imóveis quer saber se em determinado bairro da cidade (representado pela amostra abaixo - tab. 3.1) se a dimensão da frente de um terreno ou sua testada, influi ou não na formação de preços unitários (R$/m2). Esse é um problema típico que pela aplicação de inferência estatística, podemos afirmar se a dimensão da frente dos terrenos influi ou não na formação de seus preços unitários.
Amostra Frente (m) Profund. (m) R$/m2
1
15,00
31,50
31,75
2
15,00
30,00
44,44
3
15,00
37,65
31,87
4
12,00
30,00
38,85
5
15,00
30,00
51,11
6
12,00
30,00
36,11
Planilha 4.1.1

29
Resolução:
1º) Saneamento da amostra (Critério de Chauvenet)
Consiste em se eliminar os registros da amostra, cujos preços (Pori) distem mais do que um certo
limite (dlim) da média de preços da amostra, ou seja, elimina-se todos os registros cujos preços
(Pori) estiverem fora do intervalo:
(Pori - dlim) ≤ Pori (i) ≤ (Pori + dlim)
Com dlim = Sp x (d/Sp)crítico, onde:
Sp
 é o desvio padrão dos preços da amostra, dado por:
e (d/Sp)crítico uma função da quantidade de registros da amostra, conforme a seguir:
n = 5 6 7 8 9 10
(d/Sp)crítico 1,65 1,73 1,80 1,86 1,92 1,96
n = 11 12 13 14 15 16
(d/Sp)crítico 1,98 2,03 2,05 2,10 2,12 2,16
n = 17 18 19 20 21 22
(d/Sp)crítico 2,18 2,20 2,23 2,24 2,26 2,28
n = 24 26 30 40 50
(d/Sp)crítico 2,31 2,35 2,39 2,50 2,58
Tabela 4.1.2
Com a tabela 3.1 inserida no Microsoft Excel, utilize as funções MÉDIA e DESVPAD para
calcular Pori que é a média aritmética dos preços unitários (R$/m2) e Sp que é o desvio padrão dos
preços da amostra. Daí, vem que:
Sp = 7,59 e Pori = 39,02, n = 6 e dlim = 7,59*1,73 = 13,13, de modo que o intervalo:
(Pori - dlim) ≤ Pori (i) ≤ (Pori + dlim) é igual a:
(39,02 – 13,13) ≤ Pori (i) ≤ (39,02 + 13,13) = 25,89 ≤ Pori (i) ≤ 52,15
1
( )
1
2




n
Pori(i) Pori
Sp
n
i

30
Com isto, concluímos que a amostra não tem nenhum dado supostamente discrepante. Isto é, a amostra já está saneada.
2º) Cálculo das Correlações, Regressores e Anova.
Correlações: Frente (m) Profund. (m) R$/m2 Frente (m)
1
Profund. (m)
0,38602956
1
R$/m2
0,15734108
-0,56507026
1 Estatística de regressão R múltiplo
0,69640049 R-Quadrado
0,48497365 R-quadrado ajustado
0,14162275 Erro padrão
7,03174433 Observações
6 ANOVA
gl SQ MQ F F de significação Regressão
2
139,680598
69,8402992
1,4124723
0,369610395 Resíduo
3
148,336285
49,4454283
Total
5
288,016883
Coeficientes Erro padrão Stat t Valor-P 95% inferiores
Interseção
66,2600311
36,8151914
1,79980135
0,1697137
-50,90244869
Frente (m)
2,16161984
2,2004549
0,98235135
0,3983645
-4,84121629
Profund. (m)
-1,8239823
1,11402051
-1,63729688
0,2000917
-5,369296092 95% superiores Inferior 80,0% Superior 80,0%
183,4225108
5,9661244
126,5539377
9,164455972
-1,44216483
5,765404507
1,721331482
-3,64846416
0,000499551
Tabela 4.1.3
3º) Teste de hipótese nula da regressão (ß1 = 0 e ß2 = 0)
Testada a hipótese nula da regressão (ß1 = 0 e ß2 = 0), ambas foram aceitas, uma vez que:
Fcalculado= 1,4124723 < F (λ) (k), (n-k-1) = F (1%) (2), (3) = 30,81 (tabelado)
Isto significa que ß1 e ß2 não são variáveis influenciantes ao nível de significância de 1% ou sua influência é muito reduzida na formação do preço unitário dos terrenos. Como a hipótese nula do teste foi aceita, poderíamos concluir nossa análise nesta etapa. Mas para ilustrar o roteiro normalmente adotado quando a hipótese nula é rejeitada, vamos continuar os testes.

31
4º) Teste de hipótese nula dos regressores (ß1 = 0 ou ß2 = 0)
Testada a hipótese nula dos regressores (ß1 = 0 ou ß2 = 0), a primeira foi aceita, uma vez :
|t1| = 0,982 < t (n-k-1),  = t (3),5% = 2,3534
Isto significa que ß1 não influi decisivamente e suficientemente na formação de preços para ser
incluído na equação de regressão. Isto é, a equação que melhor representa a formação de preços
dos terrenos desta amostra, é uma equação que não envolve a variável frente do terreno.
|t2| = 1,636 < t (n-k-1),  = t (3),5% = 2,3534
Assim temos também que ß2 não influi decisivamente na formação de preços, com um nível de
confiança de 90%, para fazer parte da equação que procura descrever a variação de preços no
mercado imobiliário da região de coleta das amostras. Deste modo, não podemos obter, a partir
dos dados da tab. 3.1, uma equação que represente o preço unitário dos terrenos de forma
eficiente.
Como esperávamos, este teste apenas confirmou o que já havíamos concluído no 4.º passo:
Entretanto, como a amostra é muito pequena, pode acontecer desta não ser representativa, isto é,
corre-se o risco de ser tendenciosa. Daí deveríamos suspeitar que a amostra não é de fato
representativa, tendo em vista que a bibliografia técnica afirma que a frente ou testada do terreno
influi decisivamente na formação de seu preço unitário.
4.2. A tabela a seguir se refere a uma pesquisa de terrenos urbanos em uma dada área
central de uma cidade X. A pesquisa concentrou-se ao longo das Avenidas AP e PF, duas vias de
comércio intenso e nas ruas transversais até uma distância máxima de 270m. Registrou-se os
preços dos terrenos em oferta, suas áreas e distância às referidas avenidas. Verifique se pode ou
não obter uma equação de regressão a partir da amostra abaixo.
0,982
2,200
2,161
46,82
12* 46,82 (9,15)
49,44
2,16161984
. ( ) 2
2
2
1 2 1 2
1
1  




x
x x x x
SQ
SQ SQ S
QMR
b
t
1,636
1,114
1,823
12,00
12* 46,82 (9,15)
49,44
1,823
. ( ) 2
1
2
1 2 1 2
2
2  







x
x x x x
SQ
SQ SQ S
QMR
b
t

32
Registro n.º VT ÁREA DIST.
1
170000
422
0
2
100000
360
0
3
150000
2055
110
(esquina)
4
180000
901
40
(esquina)
5
1080000
7200
70
(esquina)
6
700000
8057
270
(esquina)
7
50000
430
40
8
20000
280
40
9
55000
360
40
10
18000
200
40
Planilha 4.2.1
Resolução:
1º) Saneamento da amostra (Critério de Chauvenet)
(Pori – dlim) ≤ Pori (i) ≤ (Pori + dlim)
Como: dlim = Sp x (d/Sp)crítico
Sp = 352750,5, Pori = 252300, n =10 e (d/Sp)crítico = 1,96
dlim = 352750,5 * 1,96 = 691390,94
252300 – 691390,94 ≤ Pori (i) ≤ 252300 + 691390,94
-439090,94 ≤ Pori (i) ≤ 943690,94
Como o registro n.º 5 está fora do intervalo acima, concluímos que se trata de um dado espúrio, portanto, será eliminado e não considerado para fins de inferência estatística.
Vamos recalcular novamente o intervalo para o critério de Chauvenet para verificar se existe mais algum dado discrepante.
Sp = 211745,13, Pori = 160333,33, n = 9 e (d/Sp)crítico = 1,92
dlim = 211745,13*1.92 = 406550,65
160333,33 – 406550,65 ≤ Pori (i) ≤ 160333,33 + 406550.65
-246217 ≤ Pori (i) 566883,98

33
Desta forma, o registro nº 6, também constitui um dado espúrio, de modo que, deveremos recalcular um novo intervalo:
Sp = 66593,52, Pori = 92875, n = 8 e (d/Sp)crítico = 1,86
dlim = 66593,52*1.86 = 123863,94
-30988,94 ≤ Pori (i) ≤ 216738,94
Com isto, a amostra já está saneada.
2º) Cálculo das Correlações, Regressores e Anova.
Registro n.º VT Área DIST.
1
170000
422
0
2
100000
360
0
3
150000
205
110
(esquina)
4
180000
901
40
(esquina)
5
50000
430
40
6
20000
280
40
7
55000
360
40
8
18000
200
40
CORRELAÇÕES
VT Área DIST. VT
1
Área
0,571241
1
DIST.
0,0396682
0,813187
1
RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo
0,926914 R-Quadrado
0,859169 R-quadrado ajustado
0,802837 Erro padrão
29569,56 Observações
8
ANOVA
gl SQ MQ F F de signific. Regressão
2
2,67E+10
1,33E+10
15,25179
0,007443 Resíduo
5
4,37E+09
8,74E+08

34
Total
7
3,1E+10
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores Interseção
80100,28
16575,96
4,832317
0,004747
37490,5
122710,1 Área
172,5055
31,26266
5,517941
0,002677
92,14243
252,8686 DIST.
-2457,27
564,9533
-4,34951
0,007363
-3909,52
-1005,01 Inferior 80,0% Superior 80,0%
55636,08
104564,5
126,3654
218,6456
-3291,07
-1623,46
Tabela 4.2.1
3º) Teste de hipótese nula da regressão (ß1 = 0 e ß2 = 0)
Testada a hipótese nula da regressão (ß1 = 0 e ß2 = 0), ambas foram aceitas , uma vez que:
Fcalculado= 15,25179 < F (λ) (k), (n-k-1) = F (1%) (2), (5) = 13,27 (tabelado)
Como rejeitamos a hipótese de nulidade de ß1 e ß2 , então, a equação de regressão obtida pela modelagem é significante ao nível de 1% para explicar o comportamento de mercado.
4.3. A tabela a seguir se refere a uma pesquisa de apartamentos na cidade de Campo Grande - MS. Registrou-se os preços dos apartamentos em oferta, suas áreas, valores de condomínio, número de vagas de garagem, se posui portaria, quadra, piscina e Sacada. Pretende- se encontrar o valor de mercado de um imóvel com as seguintes características:
Área = 115m²
Condomínio = R$ 150,00
Garagem = 1 vaga
Portaria = Possui (Recebe valor 1 por se tratar de uma variável dicotômica)
Armário = Não Possui (Recebe valor 0 por se tratar de uma variável dicotômica)
Quadra = Possui (Recebe valor 1 por se tratar de uma variável dicotômica)
Piscina = Não Possui (Recebe valor 0 por se tratar de uma variável dicotômica)
Sacada = Possui (Recebe valor 1 por se tratar de uma variável dicotômica)
Nº registro Residencial Valor Área Cond. Garagem Portaria Armário Quadra Piscina Sacada
1
Cachoeirinha II
R$ 140.000
118
R$ 255
2
1
1
1
0
0
2
Itacolomi
R$ 145.000
98
R$ 350
1
1
1
1
1
1
3
Via Park
R$ 185.000
103
R$ 0
2
0
1
0
0
0
4
-
R$ 145.000
107
R$ 220
2
1
0
0
1
1
5
Dominica
R$ 95.000
73
R$ 180
1
1
0
0
1
1

35
6
Tacuma
R$ 195.000
154
R$ 0
2
0
1
0
0
1
7
Cachoeirinha II
R$ 130.000
102
R$ 255
1
1
1
1
0
0
8
Vitoria
R$ 140.000
70
R$ 0
1
0
1
0
0
0
9
-
R$ 210.000
122
R$ 240
1
1
0
1
1
1
10
Monte Castelo
R$ 185.000
116
R$ 260
2
1
0
1
0
1
11
Sevilha
R$ 90.000
80
R$ 220
1
1
1
1
0
1
12
Parque dos coqueiros
R$ 75.000
72
R$ 150
1
0
1
0
0
1
13
Cedro
R$ 90.000
78
R$ 215
1
1
1
1
1
1
14
Marques de Labradil
R$ 110.000
90
R$ 110
1
1
0
0
0
1
15
Las Palmas
R$ 95.000
93
R$ 130
1
1
1
0
0
0
16
-
R$ 85.000
87
R$ 180
1
1
0
0
0
0
17
Sam Lorenço
R$ 125.000
76
R$ 275
2
1
0
1
1
1
18
Mangaratiba
R$ 85.000
87
R$ 190
1
1
0
0
0
0
19
Nova Suécia
R$ 105.000
110
R$ 200
2
1
1
0
0
0
20
Nova Portugal
R$ 93.000
110
R$ 215
2
1
1
0
0
0
21
Nova Inglaterra
R$ 100.000
110
R$ 200
2
1
1
0
0
0
Planilha 4.3.1
1º) Verificação da colinearidade.
Supondo a amostra já saneada pelo critério de Chauvenet, calcula-se a tabela de correlações obtendo o seguinte resultado:
Valor
Área
Cond.
Garagem
Portaria
Armário
Quadra
Piscina
Sacada
Valor
1,00
Área
0,66
1,00
Cond.
-0,15
-0,05
1,00
Garagem
0,36
0,58
-0,02
1,00
Portaria
-0,29
-0,04 0,78
-0,07
1,00
Armário
-0,10
0,12
-0,21
0,08
-0,38
1,00
Quadra
0,29
0,03
0,66
-0,08
0,38
0,01
1,00
Piscina
0,16
-0,17
0,45
-0,12
0,31
-0,37
0,37
1,00
Sacada
0,22
-0,05
0,22
-0,14
0,02
-0,36
0,36
0,60
1,00
Tabela 4.3.1

36
Verifica-se que a variável “condomínio” possui uma correlação alta com a variável “portaria”, faremos o cálculo dos FIVs para verificar se alguma variável deve ser excluída do modelo.
Os FIVs calculados são:
- Área: FIV = 1,66
- Condomínio: FIV = 4,78
- Garagem: FIV = 1,64
- Portaria: FIV = 3,72
- Armário: FIV = 1,66
- Quadra: FIV = 2,24
- Piscina: FIV = 1,99
- Sacada: FIV = 2,09
Como todos os FIVs são menores que 5 não há problema de colinearidade no modelo.
2º) Calculo da estatística de regressão e anova.
R múltiplo
0,935055217
R-Quadrado
0,874328258
R-quadrado ajustado
0,790547097
Erro padrão
18540,55309
Observações
21
ANOVA
gl
SQ
MQ
F
F de significação
Regressão
8
2,87E+10
3,59E+09
10,44
0,0002353
Resíduo
12
4,125E+09
3,44E+08
Total
20
3,282E+10
Coeficientes
Erro padrão
Stat t
valor-P
95% inferiores
95% superiores
Interseção
61518,859
25665,059
2,397
0,034
5599,498
117438,219
Área
1328,125
256,993
5,168
0,000
768,186
1888,064
Cond.
-141,130
98,052
-1,439
0,176
-354,768
72,508
Garagem
1530,987
10479,344
0,146
0,886
-21301,543
24363,516
Portaria
-50393,393
19875,963
-2,535
0,026
-93699,397
-7087,390
Armário
-33156,881
10723,162
-3,092
0,009
-56520,644
-9793,117
Quadra
51370,673
12464,005
4,122
0,001
24213,938
78527,407
Piscina
29013,363
12644,275
2,295
0,041
1463,853
56562,872

37
Sacada -18193,101 11705,927 -1,554 0,146 -43698,125 7311,923
Tabela 4.3.2
3º) Teste de hipótese nula da regressão
Pelo teste F, a mesma foi rejeitada ao nível de 1%, uma vez que:
F de sifnificação  0,0002353  0,01 (O modelo é significativo)
4º) Teste de hipótese nula dos regressores
Testando as variáveis ao nível de 20%, tem-se:
Área - Valor P  0,00  0,20 (Significativa para o modelo)
Condominio - Valor P  0,18  0,20 (Significativa para o modelo)
Garagem - Valor P  0,88  0,20 (Não é significativa para o modelo)
Portaria - Valor P  0,03  0,20 (Significativa para o modelo)
Armário - Valor P  0,01 0,20 (Significativa para o modelo)
Quadra - Valor P  0,00  0,20 (Significativa para o modelo)
Piscina - Valor P  0,04  0,20 (Significativa para o modelo)
Sacada - Valor P  0,15  0,20 (Significativa para o modelo)
5º) Análise crítica dos valores obtidos na regressão
Ao término do calculo das estatísticas de regressão e dos testes de hipóteses devemos verificar se
o modelo realmente serve para explicar o comportamento real do mercado imobiliário. A priori
esta tudo correto em nosso modelo, mas vamos nos atentar aos coeficientes obtidos para as
variáveis: Portaria, Armário e Sacada.
Coeficientes:
-Portaria = R$ -50393,39
-Armário = R$ -33156,88
-Sacada = R$ -18193,10
Os coeficientes negativos para estas variáveis não condizem com a realidade. Podemos ver
através do exemplo:
Um apartamento que não possua Armário Embutido tem um valor de mercado, se o seu
proprietário resolver investir na instalação de Armário Embutido no apartamento seu
apartamento, este investimento ira agregar valor ao imóvel, ao contrário do que diz o modelo,
cujo diz que se o proprietário investir na instalação de armário embutido o valor do imóvel irá
diminuir em R$ 33156,88.
Para tentar descobrir o que esta afetando o modelo de regressão plota-se gráficos das variáveis
explicativas versus variável explicada, conforme demonstrado a seguir:

38
Gráfico 4.3.1
Pontos indicados pelas setas correspondem as amostras: 3, 6, 8, 9 e 10
Gráfico 4.3.2
Pontos indicados pelas setas correspondem as amostras: 3, 6, 9 e 10

39
Gráfico 4.3.3
Gráfico 4.3.4

40
Gráfico 4.3.5
Gráfico 4.3.6

41
Gráfico 4.3.7
Gráfico 4.3.8
A plotagem desses gráficos é feita para verificar a existência de pontos influenciantes. “Entende- se por pontos influenciantes aqueles com pequenos resíduos, em algumas vez até nulos, mas que se distanciam da massa de dados, podendo alterar completamente as tendências naturais indicadas pelo mercado (DANTAS, 2005, p. 113).”

42
Pode-se concluir então que as amostras 3, 6, 9, 10 são pontos influenciantes no modelo, a solução é excluir esses dados de nossa amostra e proceder a analise de regressão novamente.
Após a exclusão a planilha deve ficar como a planilha 4.3.2:
1
Cachoeirinha II
R$ 140.000
118
R$ 255
2
1
1
1
0
0
2
Itacolomi
R$ 145.000
98
R$ 350
1
1
1
1
1
1
3
-
R$ 145.000
107
R$ 220
2
1
0
0
1
1
4
Dominica
R$ 95.000
73
R$ 180
1
1
0
0
1
1
5
Cachoeirinha II
R$ 130.000
102
R$ 255
1
1
1
1
0
0
6
Vitoria
R$ 140.000
70
R$ 0
1
0
1
0
0
0
7
Sevilha
R$ 90.000
80
R$ 220
1
1
1
1
0
1
8
R$ 75.000
72
R$ 150
1
0
1
0
0
1
9
Cedro
R$ 90.000
78
R$ 215
1
1
1
1
1
1
10
Marques de Labradil
R$ 110.000
90
R$ 110
1
1
0
0
0
1
11
Las Palmas
R$ 95.000
93
R$ 130
1
1
1
0
0
0
12
-
R$ 85.000
87
R$ 180
1
1
0
0
0
0
13
Sam Lorenço
R$ 125.000
76
R$ 275
2
1
0
1
1
1
14
Mangaratiba
R$ 85.000
87
R$ 190
1
1
0
0
0
0
15
Nova Suécia
R$ 105.000
110
R$ 200
2
1
1
0
0
0
16
Nova Portugal
R$ 93.000
110
R$ 215
2
1
1
0
0
0
17
Nova Inglaterra
R$ 100.000
110
R$ 200
2
1
1
0
0
0
Planilha 4.3.2
*Observe que o número de registro das amostras foram alterados para que não haja confusão quanto ao número real de amostras do modelo.
Verificando se ainda existem pontos influenciantes no modelo, plota-se o gráfico do Valor x Área (Gráfico 4.3.9), que supostamente é a variável que mais influencia no modelo.
Como demonstrado no gráfico 4.3.9, ainda existem pontos influenciantes no modelo.

43
Gráfico 4.3.9
Procedendo novamente a exclusão das amostras que foram consideradas como pontos influenciantes, temos uma nova planilha:
1
Cachoeirinha II
R$ 140.000
118
R$ 255
2
1
1
1
0
0
2
-
R$ 145.000
107
R$ 220
2
1
0
0
1
1
3
Dominica
R$ 95.000
73
R$ 180
1
1
0
0
1
1
4
Cachoeirinha II
R$ 130.000
102
R$ 255
1
1
1
1
0
0
5
Sevilha
R$ 90.000
80
R$ 220
1
1
1
1
0
1
6
R$ 75.000
72
R$ 150
1
0
1
0
0
1
7
Cedro
R$ 90.000
78
R$ 215
1
1
1
1
1
1
8
Marques de Labradil
R$ 110.000
90
R$ 110
1
1
0
0
0
1
9
Las Palmas
R$ 95.000
93
R$ 130
1
1
1
0
0
0
10
-
R$ 85.000
87
R$ 180
1
1
0
0
0
0
11
Mangaratiba
R$ 85.000
87
R$ 190
1
1
0
0
0
0
12
Nova Suécia
R$ 105.000
110
R$ 200
2
1
1
0
0
0
13
Nova Portugal
R$ 93.000
110
R$ 215
2
1
1
0
0
0
Planilha 4.3.3
6º) Calculo da estatística de regressão e anova para a nova planilha.

44
Estatística de re gressão
R múltiplo 0,97
R-Quadrado 0,94
R-quadrado
ajustado 0,83
Erro padrão 9070,31
Observações 13,00
ANOVA
gl SQ MQ F
F de
significação
Regressão 8 5,58E+09 6,98E+08 8,48396 0,02767
Resíduo 4 3,29E+08 8,23E+07
Total 12 5,91E+09
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P
95%
inferiores
95%
superiores
Interseção -100482,85 55292,778 -1,817 0,143
-
254000,212 53034,513
Área 2810,96 599,113 4,692 0,009 1147,557 4474,366
Cond. 30,86 162,813 0,190 0,859 -421,186 482,899
Garagem -38747,74 19758,679 -1,961 0,121 -93606,632 16111,143
Portaria -23408,23 14971,673 -1,564 0,193 -64976,258 18159,800
Armário -12745,33 9749,310 -1,307 0,261 -39813,757 14323,090
Quadra 10060,42 17584,117 0,572 0,598 -38760,919 58881,752
Piscina 18423,20 10288,165 1,791 0,148 -10141,328 46987,722
Sacada 19958,17 12599,302 1,584 0,188 -15023,101 54939,439
Tabela 4.3.3
Como possuímos apenas 13 amostras devemos escolher no máximo 3 variáveis para o
modelo, pois a norma exige que n  3(k 1) , onde k é o numero de variáveis independentes.
Serão escolhidas as variáveis: área, piscina e sacada, pois apresentem coeficiente com sinal
coerente com a realidade de mercado e são significantes ao nível de 20%.
Temos então uma nova planilha contendo apenas as 3 variáveis escolhidas.

45
Nº registro Residencial Valor Área Piscina Sacada
1
Cachoeirinha II
R$ 140.000
118
0
0
2
-
R$ 145.000
107
1
1
3
Dominica
R$ 95.000
73
1
1
4
Cachoeirinha II
R$ 130.000
102
0
0
5
Sevilha
R$ 90.000
80
0
1
6
R$ 75.000
72
0
1
7
Cedro
R$ 90.000
78
1
1
8
Marques de Labradil
R$ 110.000
90
0
1
9
Las Palmas
R$ 95.000
93
0
0
10
-
R$ 85.000
87
0
0
11
Mangaratiba
R$ 85.000
87
0
0
12
Nova Suécia
R$ 105.000
110
0
0
13
Nova Portugal
R$ 93.000
110
0
0
Planilha 4.3.4
7º) Calculo da estatística de regressão e anova para planilha com 3 variáveis.
R múltiplo
0,853295582
R-Quadrado
0,72811335
R-quadrado ajustado
0,637484466
Erro padrão
13365,14891
Observações
13
ANOVA
gl
SQ
MQ
F
F de significação
Regressão
3
4,31E+09
1435092742
8,034
0,0065
Resíduo
9
1,61E+09
178627205,5
Total
12
5,91E+09

46
Coeficientes
Erro padrão
Stat t
valor-P
95% inferiores
95% superiores
Interseção
-43408,756
32710,009
-1,327
0,217
- 117403,937
30586,425
Área
1466,565
319,976
4,583
0,001
742,728
2190,401
Piscina
10511,655
11045,229
0,952 0,366
-14474,389
35497,698
Sacada
16772,531
11286,761
1,486
0,171
-8759,895
42304,958
Observação
Previsto(a) Valor
Resíduos
Resíduos padrão
1
129645,89
10354,11
0,89
2
140797,86
4202,14
0,36
3
90934,66
4065,34
0,35
4
106180,85
23819,15 2,06
5
90688,96
-688,96
-0,06
6
78956,44
-3956,44
-0,34
7
98267,48
-8267,48
-0,71
8
105354,60
4645,40
0,40
9
92981,77
2018,23
0,17
10
84182,38
817,62
0,07
11
84182,38
817,62
0,07
12
117913,37
-12913,37
-1,12
13
117913,37
-24913,37 -2,15
Tabela 4.3.4
Observe que temos duas amostras com resíduos altos. Deve-se verificar a amostra quanto a presença de outliers. “Entende-se por outlier um dado que contém grande resíduo em relação aos demais que compõe a amostra. Estes pontos ponde ser detectados com facilidade através de uma análise gráfica dos resíduos padronizados versus os valores previsto (DANTAS, 2005, p. 112).”
Plota-se o gráfico 4.3.10 Resíduos padrão x Previsto(a) Valor, através de uma analise visual é possível identificar a presença de dois outliers indicados pelas setas correspondentes as amostras 4 e 13. Para prosseguir deve-se excluir as duas amostras do modelo, e conseqüente deve-se excluir também uma variável, pois como teremos apenas 11amostras quando a norma exige no mínimo 12 amostras para um modelo com 3 variáveis. Excluiremos a variável piscina, pois é a única das 3 variáveis que não é significante para o modelo.

47
Gráfico 4.3.10
Após a exclusão das amostras 4 e 13 e da variável piscina, a planilha ficara como a planilha 4.3.5.
Nº registro Residencial Valor Área Sacada
1
Cachoeirinha II
R$ 140.000
118
0
2
-
R$ 145.000
107
1
3
Dominica
R$ 95.000
73
1
4
Sevilha
R$ 90.000
80
1
5
R$ 75.000
72
1
6
Cedro
R$ 90.000
78
1
7
Marques de Labradil
R$ 110.000
90
1
8
Las Palmas
R$ 95.000
93
0
9
-
R$ 85.000
87
0
10
Mangaratiba
R$ 85.000
87
0
11
Nova Suécia
R$ 105.000
110
0
Planilha 4.3.5
Continuaremos verificando a presença de outliers, para isso calculamos novamente a tabela de resíduos da planilha 4.3.5.

48
Observação
Previsto(a) Valor
Resíduos
Resíduos padrão
1
133096,72
6903,28
0,94
2
139567,84
5432,16
0,74
3
83921,08
11078,92 1,51
4
95377,77
-5377,77
-0,73
5
82284,41
-7284,41
-0,99
6
92104,43
-2104,43
-0,29
7
111744,46
-1744,46
-0,24
8
92179,98
2820,02
0,39
9
82359,97
2640,03
0,36
10
82359,97
2640,03
0,36
11
120003,36
- 15003,36 -2,05
Tabela 4.3.5
Plota-se novamente o gráfico Resíduos padrão x Previsto(a)
Gráfico 4.3.11
Através de uma analise visual é possível identificar a presença de dois outliers indicados pelas setas, correspondentes as amostras 3 e 11. Para prosseguir deve-se excluir do modelo as amostras 3 e 11 e fazer nova verificação.
A nova planilha ficará como a planilha a seguir:

49
1
Cachoeirinha II
R$ 140.000
118
0
2
-
R$ 145.000
107
1
3
Sevilha
R$ 90.000
80
1
4
R$ 75.000
72
1
5
Cedro
R$ 90.000
78
1
6
Marques de Labradil
R$ 110.000
90
1
7
Las Palmas
R$ 95.000
93
0
8
-
R$ 85.000
87
0
9
Mangaratiba
R$ 85.000
87
0
Planilha 4.3.6
Calculando novamente a tabela de resíduos:
Observação
Previsto(a) Valor
Resíduos
Resíduos padrão
1
142164,20
-2164,20
-1,26
2
142632,03
2367,97
1,38
3
91841,99
-1841,99
-1,07
4
76793,09
-1793,09
-1,04
5
88079,77
1920,23
1,12
6
110653,12
-653,12
-0,38
7
95136,38
-136,38
-0,08
8
83849,71
1150,29
0,67
9
83849,71
1150,29
0,67
Tabela 4.3.6

50
Plota-se novamente o gráfico Resíduos padrão x Previsto(a)
Gráfico 4.3.12
Através da analise visual, verifica-se que não há presença de outliers. Adota-se então este conjunto de amostras para compor o modelo.
8º) Calculo da estatística de regressão e Anova para planilha com 2 variáveis e 9 amostras.
1
Cachoeirinha II
R$ 140.000
118
0
2
-
R$ 145.000
107
1
3
Sevilha
R$ 90.000
80
1
4
R$ 75.000
72
1
5
Cedro
R$ 90.000
78
1
6
Marques de Labradil
R$ 110.000
90
1
7
Las Palmas
R$ 95.000
93
0
8
-
R$ 85.000
87
0
9
Mangaratiba
R$ 85.000
87
0
Planilha 4.3.7

51
R múltiplo 0,998
R-Quadrado 0,995
R-quadrado
ajustado 0,994
Erro padrão 1986,536
Observações 9
ANOVA
gl SQ MQ F
F de
significação
Regressão 2 4,98E+09 2,49E+09 630,50 1,06E-07
Resíduo 6 2,37E+07 3,95E+06
Total 8 5,00E+09
Coeficientes
Erro
padrão Stat t valor-P
95%
inferiores
95%
superiores
Interseção -79807,07 5195,15 -15,36 4,81E-06 -92519,2 -67095,0
Área 1881,11 52,98 35,51 3,33E-08 1751,5 2010,7
Sacada 21160,07 1451,30 14,58 6,53E-06 17608,9 24711,3
Tabela 4.3.7
Pode-se observar que os coeficientes referentes as variáveis são positivos o que condizem
com a realidade de mercado. Percebe-se também que com a exclusão dos pontos
influenciantes e outliers do modelo, conseguiu-se uma melhora significativa no modelo de
regressão.
9º) Teste de hipótese nula da regressão
Pelo teste F, a mesma foi rejeitada ao nível de 1%, uma vez que:
F de sifnificação 1,06E - 07  0,01 (O modelo é significativo)
10º) Teste de hipótese nula dos regressores
Testando as variáveis ao nível de 1%, tem-se:
Área - Valor P  3,33E - 08  0,01 (Significativa para o modelo)
Sacada - Valor P  6,53E - 06  0,01 (Significativa para o modelo)
11º) Determinação do valor de mercado do imóvel e intervalo de confiança

52
Como descrito no enunciado do exercício, o imóvel possui as seguintes características:
Área = 115m²
Sacada = Possui (Recebe valor 1 por se tratar de uma variável dicotômica)
Data
Confidence Level 80%
1
Área given value 115
Sacada given value 1
Predicted Y (YHat) 157680,9
For Average Predicted Y (Yhat)
Interval Half Width 2594,971
Confidence Interval Lower Limit 155086,00
Confidence Interval Upper Limit 160275,90
PÛ 1881,11 Área  21160,07 Sacada  79807,07
Substituindo os valores das variáveis independentes do imóvel avaliando, temos que o valor
previsto para o imóvel é:
PÛ = R$ 157680,90
R$ 155086,00 < PÛ < R$ 160275,90
A NBR 14653-2:2003 sugere a classificação da avaliação quanto ao Grau de Precisão (item
9.2.2). O nível de precisão é encontrado através do valor em porcentagem da amplitude do
intervalo de confiança de 80% sobre o valor pontual da avaliação.
0,033 3,3%
157680,90
sup inf 160275,90 155086,00  




PÛ
PÛ PÛ
AMPLITUDE
Como a amplitude é menor do que 30% ,através da Tabela 1.7 podemos classificar a avaliação
com Grau de Precisão 3.
Obs: Fica a cargo do leitor realizar a verificação das hipóteses básicas do modelo.
5. Bibliografia
DANTAS, Rubens Alves (2005) Engenharia de avaliações: uma introdução a metodologia científica. 2.
ed. rev. de acordo com a NBR-14653-2:2004. São Paulo: PINI.

53
GUNST, Richard F., MASON, Robert L., Regression Analysis and its application: A data-Oriented Approach. Nova York: MARCEL DEKKER, INC.
Levine, David M e outros (2005). Estatística – Teoria e aplicações usando o Microsoft Excel em português. Trad. Eduardo Benedito Curtolo e Teresa Cristina Padilha de Souza. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC.
NBR – 14653 – “Norma Brasileira para Avaliação de Bens”. ABNT.
Acedido em 18 de agosto de 2009, no Web site da: Universidade Federal de Santa Catarina: http://www.inf.ufsc.br/~ogliari/arquivos/regressao_linear_multipla.ppt#33
Acedido em 21 de agosto de 2009, no Web site da: Universidade Federal do Pernambuco: http://www.de.ufpe.br/~gjaa/Introreg.doc
Acedido em 27 de agosto de 2009, no Web site da: Universidade Federal do Pernambuco: http://www.cin.ufpe.br/~rmcrs/ESAP/arquivos/RegressaoMultipla.pdf
6. Anexo 1

54
.
(DANTAS, 2005, p. 238)

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