CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
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CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
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CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
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CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
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ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME PERMANENTE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME PERMANENTE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME PERMANENTE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME PERMANENTE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
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ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME PERMANENTE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

  1. 1. CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 1 ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME PERMANENTE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 1 – INTRODUÇÃO O cálculo do fluxo de potência, fluxo de carga, ou em inglês, load flow, em um SEP consiste essencialmente na determinação do estado de operação desta rede dada sua topologia e uma certa condição de carga. Este estado de operação consiste de: ! determinação das tensões e ângulos para todos os barramentos do sistema; ! determinação dos fluxos de potência ativa e reativa através dos ramos do sistema; ! determinação das potências ativas e reativas, geradas, consumidas e perdidas nos diversos elementos do sistema. Esta análise de fluxo de potência é um dos estudos mais frequentes realizados em SEP. Ele por si sópode constituir um estudo próprio ou fazer parte de um outro estudo mais complexo, por exemplo: ! estudo próprio: planejamento da operação, expansão do sistema, etc; ! outros estudos: parte dos estudos de estabilidade, de otimização, de confiabilidade, etc. Como exemplo de aplicação de simulações de fluxo de potência, pode-se citar: ! estudos para planejamento do SEP, verificando as providências a serem tomadas com o crescimento do sistema; ! avaliação das condições operativas do SEP, ou seja, analisar as condições operativas da rede em regime normal e de emergência; ! estudos de avaliação e determinação de medidas corretivas para a operação do sistema em condições de emergência, como, por exemplo, ajustes de taps de transformadores, condições de chaveamento de bancos de capacitores, redespacho de geração das unidades do sistema, sincronização de unidades fora de operação, etc; ! determinação dos limites de transmissão de potência do SEP; ! etc. Até 1930 todos os cálculos de fluxo de potência eram feitos à mão, o que exigia inúmeras simplif icações e impossibilitava a análise de grandes sistemas, devido a quantidade de cálculos matemáticos necessários para a obtenção de resposta, mesmo para pequenos sistemas. Entre 1930 e 1956 foram usados analisadores de rede para resolver problemas de fluxo de potência. Os analisadores de rede (Netw ork Calculators - Westinghouse ou Netw ork Analysers - GE) são modelos em miniatura da rede em estudo, onde o comportamento do sistema era determinado pela medida de grandezas elétricas no modelo. O problema básico da imprecisão e lentidão de cálculo continuou
  2. 2. CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 2 e só pode ser sanado mais modernamemente com a utilização de computadores digitais. As primeiras tentativas tiveram sucesso limitado, visto que os programas apenas automatizavam os cálculos dos métodos manuais, usando equações de laços e de malhas, e não explorando adequadamente a capacidade do computador. Em 1954, L.A. Dunstan no artigo Digital Load Flow Studies, apresentou uma primeira análise de redes utilizando computadores digitais. Em 1956, Ward e Hale apresentaram o primeiro programa de computador, realmente bem sucedido, para solução de fluxo de potência, no artigo Digital Computer Solution of Power-Flow Problems. O programa apresentado por Ward e Hale utilizava a formulação nodal do problema e resolvia as equações não lineares que descreviam a rede, por um método iterativo de New ton modificado. Os programas que imediatamente se seguiram, utilizaram o método de Gauss-Seidel. Com o sucesso do método de Ward e Hale um grande número de artigos de Glimm e Stagg, de Brow n e Tinney foram publicados sugerindo modificações nos algoritmos e incorporando características adicionais aos programas computacionais. Na década de 60, com o crescimento dos SEP e com a tendência de interligação dos mesmos, através de ligações em alta tensão, foi aumentado rapidamente o número de ligações e de barramentos representativos do sistema. As características do método de Gauss-Seidel fazem com que ele não se adapte bem a sistema representados por um grande número de barras, de forma que se tornou necessário a pesquisa de um outro método de solução de problemas de fluxo de potência. Apósváriosanos de pesquisa realizados pela Bonneville Pow er Administration (BPA) foi desenvolvido um método extremamente bem sucedido de solução das equações de fluxo de potência através do algoritmo de New ton-Raphson. O método se adaptou muito bem a grandes sistemas, como também obtinha solução de problemas em que o método de Gauss-Seidel havia falhado. Atualmente, o método de New ton-Raphson é o mais utilizado para a solução de problemas de fluxo depotência. Desde sua primeira formulação ele vem sofrendo diversas complementações no sentido de torná-lo cada vez mais poderoso. Novos métodos, utilizando algoritmos semelhantes ao de New ton-Raphson também vem sendo desenvolvidos a fim de obter maior rapidez e menor memória computacional, como por exemplo, os métodos desacoplados. Apesar de todos estes métodos, a solução do problema do fluxo de potência continua sendo objeto de muita pesquisa e estudo, visando o desenvolvimento de métodos de solução cada vez mais poderosos, rápidos e confiáveis. De uma maneira geral, o problema do fluxo de potência caracteriza-se por ser não linear e portanto sãonecessários, conforme já comentado e se verá adiante, processos iterativos de cálculo numérico para resolução do problema (por isso os métodos diretos de análise nodal ou de malhas, usados na teoria de circuitos não podem ser utilizados). A não linearidade das equações decorre de certas características da modelagem de alguns componentes do sistema. Na análise de fluxo de potência interessa-se em obter uma solução do sistema operando em regime permanente senoidal, por isso a modelagem do sistema é estática, o que significa que as equações e inequações representativas da rede são algébricas e não diferenciais.
  3. 3. CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 3 2 – SUPOSIÇÕES E APROXIMAÇÕES Nos cálculos de fluxo de potência comumente são feitas as seguintes simplificações: ! As cargas ativas e reativas nos barramentos do sistema são supostas constantes. Ascargas embora possam variar significativamente dentro de períodos longos de tempo, o fazem de maneira lenta e gradual, quase imperceptível dentro de pequenos intervalos de tempo. Logo, o resultado é obtido em um estudo é válido dentro de um intervalo de tempo razoável. Quando ocorre variações de cargas muito elevadas basta alterar seu valor e efetuar uma nova simulação. Emalgumas situações especiais pode ser necessário modelar algumas características dinâmicas dascargas. Isto pode acarretar a necessidade de modelos mais elaborados da mesma, de outros componentes do sistema e também de modificações no algoritmo de resolução das equações do sistema. Por exemplo: ! carga de retificação (fábrica de alumínio, etc); ! carga de metrô, trem, etc; ! outros (efeito corona em linhas de transmissão, etc). Umaoutra modelagem de cargas pode ser feita através de representação por corrente constante ou impedância constante. ! Admite-se que a rede opere de maneira equilibrada em suas três fases e, portanto, uma representação unifilar é suficiente Esta simplificação não afeta de forma significativa a precisão dos resultados. Caso ocorra situações de desequilíbrio na rede, tais como: ! linhas não transpostas, ou não totalmente transpostas; ! cargasmonofásicas ou bifásicas de elevada potência, tais como, fornos elétricos, ferrovias, etc, em corrente alternada; ! faltas assimétricas de um modo geral, tais como defeitos fase-terra, dupla fase, dupla fase- terra, bem como abertura de condutores; ! estudos mais sofisticados de estabilidade e proteção; ! etc; seránecessário a análise através de um fluxo de potência trifásico, onde são representados todas as três fases do sistema. ! Os elementos passivos do sistema são representados com parâmetros concentrados Com isso é evitado a necessidade de equações diferenciais para representação dos elementos. No presente curso, a atenção será focalizada no fluxo de potência convencional, onde as três hipóteses acima são consideradas aceitáveis.
  4. 4. P k G Qk G ( k ) (k) P k Q k C C C (k) Y k CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 4 3 – REPRESENTAÇÃO DOS COMPONENTES 3-1 – Geradores São representados pelas potências ativa e reativa (indutiva ou capacitiva) que devem entregar ao barramento que estão conectados, como mostra a figura 1. Figura 1 – Representação do gerador para estudos de fluxo de potência Estas potências podem ser conhecidas (especificadas) ou então serem obtidas como resultado do fluxo de potência. 3-2 – Cargas Sãorepresentadas pelas potências ativa e reativa consumidas, supostas constantes, como ilustrado na figura 2. Figura 2 – Representação da carga, como potência constante, para estudos de fluxo de potência Como exemplo de cargas de potência constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos motores síncronos e de indução (com restrições) e as parcela reativa dos motores síncronos (sem grande precisão). A lgumas cargas podem ser representadas como uma impedância constante, ou seja, por uma admitância ligada do barramento à referência, como mostra a figura 3. Figura 3 – Representação da carga, como impedância constante, para estudos de fluxo de potência
  5. 5. 0Y C k ' ( P C k & jQ C k ) V 2 B V 2 k × SB (k) C kI 0I C k ' (P C k & j Q C k ) VB VE SB 0S C k ' P C k % j Q C k ' 0Vk ( 0I C k )( ' Vk I C k e j Nk Nk ' 2k & (k 0Y C k P C k Vk Q C k Vk SB VB 0I C k Nk 2k (k CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 5 Logo: onde: - admitância ligada do barramento a referência (pu); - potência ativa em MW absorvida pela carga a tensão em kV; - potência reativa em MVAr absorvida pela carga a tensão em kV; - potência de base em MVA; - tensão de base em kV. Comoexemplo de cargas de impedância constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos aquecedores e das lâmpadas incandescentes (aproximadamente), sendo a parcela reativa nula. Também outras cargas podem ser representadas como cargas que absorvem corrente constante, como mostra a figura 4. Figura 4 – Representação da carga, como corrente constante, para estudos de fluxo de potência Logo: Neste tipo de carga as grandezas consideradas fixas são o módulo da corrente que flui pela mesma e o defasamento angular dessa corrente em relação a tensão do barramento de alimentação: sendo: onde e são, respectivamente, os ângulos de fase da tensão e da corrente, ambos expressos em relação à mesma referência. Como exemplo de carga de corrente constante, pode-se citar, as parcelas ativa das lâmpadas fluorescentes e de certos tipos de cargas de retificação em escala industrial.
  6. 6. Yi0 = j b ik 2 = r + jxZik ik ik Yk0 = j b ik 2 (i) (k) Yi0 Yk0 Z ik = B B A - 1 = B A - 1 = (i) (k) 0A ' cosh(0(R) 0B ' 0Zc senh(0(R) 0Zc ' rik % jxik j bik 0( ' (rik % jxik) jbik B . B B 0A 0B 0C 0D 0Zc ˙γ CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 6 3-3 – Linhas de Transmissão São representadas pelo seu circuito equivalente, conforme ilustrado na figura 5. Figura 5 – Representação da linha de transmissão para estudos de fluxo de potência No caso de linhas de transmissão curtas ( até 40 km), é comum desprezar as susceptâncias capacitivas no circuito equivalente. As linhas médias e longas devem ser representadas pelo circuito equivalente completo. No caso das linhas longas os parâmetros devem ser corrigidos (teoria da linha longa) e podem ser obtidos através dos parâmetros , , e da linha considerada como um quadripolo como pode ser visto na figura 6. Figura 6 – Representação da linha de transmissão por um quadripolo onde: sendo: - impedância característica da linha de transmissão (pu); - constante de propagação da linha de transmissão (rad). Se a linha possuir reatores, é comum representá-los nos barramentos terminais da mesma, como se fossem reatores de barra, como mostra a figura 7.
  7. 7. Qk R iQR (i) (k) Z ik (i) (k) (i) (k) Z ik p : p i k (i) (k) i0Y Yk0 Yik B 0Zik CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 7 Figura 7 – Representação da linha de transmissão com reatores em seus extremos Este procedimento evita tornar assimétrico o circuito equivalente da linha, o que iria ocorrer caso os reatores forem diferentes nas duas extremidades da linha (ou só existissem em uma delas) e fossem incorporados à susceptância shunt da linha, e facilita a obtenção do fluxo reativo consumido pelos reatores (o que não ocorre caso os reatores sejam incorporados à linha). 3-4 – Transformadores de 2 enrolamentos Normalmente, são representados pela sua impedância de dispersão. Se o transformador não apresenta taps, coloca-se simplesmente a impedância de dispersão entre os barramentos terminais do transformador, como mostrado na figura 8, onde é sua impedância de dispersão em pu referida à potência de base. Figura 8 – Representação do transformador para estudos de fluxo de potência Se o transformador apresenta somente taps variáveis em fase, a representação do mesmo está apresentado na figura 9, sendo seu modelo mostrado na figura 10. Figura 9 – Representação do transformador com taps para estudos de fluxo de potência Figura 10 – Modelo do transformador com taps em fase
  8. 8. 0Yik ' 1 pi pk 0Zik 0Yi0 ' 0Yik pk & pi pi 0Yk0 ' 0Yik pi & pk pk pi ' Vtap i VBi pk ' Vtap k VBk 1: p + jq Zik (i) (k) 0Ii 0Ik ' 1 0Zik & p & j q p 2 % q2 1 0Zik & p % j q p 2 % q2 1 0Zik 1 p2 % q 2 1 0Zik 0Vi 0Vk 0Zik Vtap i Vtap k VBi VBk B CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 8 sendo: onde: - impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base; - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i; - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k; - tensão de base do barramento (i); - tensão de base do barramento (k). Pode-se observar no modelo acima que ao se elevar o tap do transformador do lado k (p > 1), pork exemplo, para aumentar a tensão deste barramento, acarretará que a susceptância do barramento (k) para a terra resulta em um valor positivo (capacitivo) e do barramento (i) para a terra um valor negativo (indutivo), tendendo a aumentar a tensão do barramento (k) e a diminuir a do barramento (i), o que está de acordo com o esperado. A figura 11 mostra o transformador com taps variáveis em fase e quadratura (ou só em quadratura). Figura 11 – Representação do transformador com taps em fase e quadratura, para estudos de fluxo de potência Neste caso não é possível a determinação de um circuito equivalente, sendo o transformador representado na forma matricial:
  9. 9. (i) (k) (j) ( fic )Z Z Zi-fic k-fic j-fic 0Zi&fic ' 1 2 ( 0zik % 0zji & 0zkj) 0Zj&fic ' 1 2 ( 0zji % 0zkj & 0zik) 0Zk&fic ' 1 2 ( 0zkj % 0zik & 0zji) 0Zik 0zik 0zkj 0zji 0zik 0zkj 0zji CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 9 onde: - impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base; p - tap em fase do transformador do enrolamento do lado k; q - tap em quadratura do transformador do enrolamento do lado k. 3-5 – Transformador de 3 enrolamentos Os transformadores de 3 enrolamentos podem ser representados por seu equivalente em triângulo ou em estrela. A representação pelo equivalente em estrela acarreta o aparecimento de um nó fictício entre os barramentos terminais do transformador, como pode ser visto na figura 12. Figura 12 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em estrela, para estudos de fluxo de potência sendo: onde: - impedância i-k do transformador referida à potência de base (pu); - impedância k-j do transformador referida à potência de base (pu); - impedância j-i do transformador referida à potência de base (pu). As impedâncias , e são obtidas de ensaios de curto-circuito realizados nos três enrolamentos do transformador. Todas a impedâncias devem estar em pu ou então referidas ao mesmo lado do transformador. Nestarepresentação o transformador de três enrolamentos é representado por três transformadores de dois enrolamentos e se o mesmo apresentar taps variáveis eles podem ser representados da maneira vista na seção precedente. Uma outra maneira de representar o transformador de três enrolamentos é através de um circuito
  10. 10. Z ik jiZ Zkj (j) (i) (k) 0Zik ' 0Zi&fic. 0Zk&fic % 0Zi&fic. 0Zj&fic % 0Zj&fic. 0Zk&fic 0Zj&fic 0Zkj ' 0Zi&fic. 0Zk&fic % 0Zi&fic. 0Zj&fic % 0Zj&fic. 0Zk&fic 0Zi&fic 0Zji ' 0Zi&fic. 0Zk&fic % 0Zi&fic. 0Zj&fic % 0Zj&fic. 0Zk&fic 0Zk&fic (i) (k) Yk0 ikY YkjYji 1 2 Yi01 Yi03 2j0Yj0Y 3 Yk0 (j) CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 10 ligado em triângulo. Nesta representação não é necessário a criação do barramento fictício, como pode ser observado na figura 13. Figura 13 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em triângulo, para estudos de fluxo de potência Asimpedâncias entre os barramentos terminais do transformador podem ser obtidas dos valores da representação em estrela: deve-se observar que estas admitâncias são diferentes das obtidas no ensaio do transformador. Se o transformador apresentar taps variáveis em fase, tem-se o equivalente mostrado na figura 14. Figura 14 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em triângulo, com taps variáveis em fase
  11. 11. 0Yik ' 1 pi . pk . 0Zik 0Yi01 ' 0Yik pk & pi pi 0Yk01 ' & 0Yi01 pi pk 0Ykj ' 1 pk . pj . 0Zkj 0Yk02 ' 0Ykj pj & pk pk 0Yj02 ' & 0Yk02 pk pj 0Yji ' 1 pj .pi . 0Zji 0Yj03 ' 0Yji pi & pj pj 0Yi03 ' & 0Yi03 pj pi pi ' Vtap i VBi pj ' Vtap j VBj pk ' Vtap k VBk Vtap i Vtap k Vtap j VBi VBk VBj CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 11 sendo: onde: - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i; - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k; - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado j; - tensão de base do barramento (i); - tensão de base do barramento (k); - tensão de base do barramento (j); 3-6 – Compensadores Síncronos Sãorepresentados como geradores síncronos com a potência ativa zerada, como indicado na figura 15.
  12. 12. Q k S 0.0 (k) S 0S S k ' j Q S k (k) MAX MIN I MAXMIN Q I MIN B BMAX LIMITE DE CORRENTE V VMIN V I MAX Q FAIXA DE CONTROLE VREF S S k Q S k CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 12 Figura 15 – Representação da carga, como impedância constante, para estudos de fluxo de potência Tem-se: onde: - potência complexa em MVA (ou pu) gerada; - potência reativa em MVAr (ou pu) gerada. 3-7 – Compensadores Estáticos Existem vários tipos de compensadores estáticos, como por exemplo: ! capacitores e reatores chaveáveis mecanicamente; ! reatores saturáveis; ! capacitores e reatores controlados (tiristores); ! etc. Um modelo básico simplificado de um compensador estático e de sua característica estão apresentados na figura 16. Figura 16 – Representação do compensador estático para estudos de fluxo de potência Quandoocompensador estático está funcionando dentro de sua faixa de controle ele é representado por uma reatância (X ) alocada entre o barramento do sistema no qual o compensador estáCE conectado e um barramento auxiliar com tensão fixa no valor a ser controlado. A reatância X variaCE tipicamente entre 0 e 5% e pode ser obtida das características dos componentes e da faixa de ajuste.
  13. 13. CEjX CE V (k) REF MAX MIN jB V I= jB SE >I MAX = jB SE <VMIN (k) ICE > IMAX Y B ' BMIN ' QMAX V 2 MAX VCE < VMIN Y B ' BMAX ' QMIN V 2 MIN CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 13 S e X f or igual a zero o compensador é representado como um síncrono, fixando a tensão doC E barramento no qual está conectado. Este modelo está apresentado na figura 17. Figura 17 – Representação do compensador estático, dentro de sua faixa de controle, para estudos de fluxo de potência Quandoo ponto de operação está fora da região de controle o compensador estático é representado como um elemento shunt com uma susceptância (B), que depende do ponto de operação (item 9), como mostrado na figura 18. Figura 18 – Representação do compensador estático, fora de sua faixa de controle, para estudos de fluxo de potência Para: Dependendo do tipo de estudo a ser feito o compensador pode ser representado da mesma maneira que os compensadores síncronos. 3-8 – Capacitores Série São representados como uma reatância negativa, como pode ser visto na figura 19. Eventualmente os capacitores série também podem ser representados englobando sua reatância à reatância do circuito B equivalente da linha de transmissão. Esta representação além de não ser muito correta, tem o inconveniente de não possibilitar obter a tensão nos terminais do capacitor.
  14. 14. -jX C(i) (k) (k)(k) REATOR CAPACITOR ( )( ) Qk R Qk C Qk SB ' bk . Vk VB 2 Y bk ' Qk(pu ) V 2 k(pu) bk ' Qk(pu )n Qk(pu ) Vk(pu ) bk Vk(pu) CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 14 Figura 19 – Representação do capacitor série para estudos de fluxo de potência 3-9 – Capacitores e Reatores de Barra São representados pela potência reativa fornecida por eles, sob tensão nominal, no barramento no qual estão conectados, como mostra a figura 20. Figura 20 – Representação do reator e capacitor de barra para estudos de fluxo de potência Nocaso de capacitores a potência reativa fornecida é considerada positiva e no caso de reatores é considerada negativa. Apesar dos capacitores e reatores apresentarem uma perda de potência ativa, que é traduzido pelo seu fator de qualidade, ela é desprezada nos estudos de fluxo de potência. Como a potência fornecida por tais elementos é função do quadrado da tensão (impedância constante) ela não fica constante durante a operação do sistema. Por esta razão, quando se fornece apotência nominal do elemento se fornece também a tensão para o qual esta potência está referida, possibilitando obter a susceptância do elemento, valor este constante. Para uma condição qualquer de tensão, tem-se: onde: - potência reativa fornecida pelo elemento ao barramento no qual está conectado (pu); - módulo da tensão no barramento (pu); - susceptância do elemento (pu); Na condição nominal de operação do elemento, tem-se que a tensão é igual a 1.0 pu, logo:
  15. 15. jb k (k) (k) C Vk . . . .Sk kp kq ki S S S G Sk T Sk} 0S G K & 0S C k & 0S T k ' 0 bk jbk [ 0YN] 0S G k 0S C k 0S T k CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 15 A susceptância será conectada entre o barramento (k) e a terra, como mostra a figura 21. Figura 21 – Modelo do reator e capacitor de barra O valor de é adicionado apenas ao elemento da matriz relativo ao barramento (k). 4 – FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA Teoricamente existem uma infinidade de maneiras de descrição analítica das redes elétricas, a partir das leis de Kirchhoff para os nós e malhas, e das relações entre a tensão e corrente na resolução defluxo de potência. Mas, na prática, todos os métodos atuais de solução de fluxo de potência usam aanálisenodal na sua formulação, com a diferença que são consideradas as potências injetadas nos nós (barras) do sistema, ao invés das correntes. Seja um barramento qualquer de um SEP mostrado na figura 22. Figura 22 – Barramento de um SEP onde: - potência complexa gerada no nó (k); - potência complexa consumida no nó (k); - potência complexa transferida do nó (k) para os demais nós da rede (incluindo a terra) através do sistema de transmissão. O equilíbrio de potências (Primeira Lei de Kirchhoff) no nó (k) do sistema pode ser dado por:
  16. 16. [ 0YN][ 0VN] ' [ 0IN] 0S I k ' 0S G k & 0S C k 0S I k ' 0S T k 0S I k ' 0Vk 0I ( k Y 0Ik ' ( 0S I k )( 0V ( k [ 0IN ] ' 0S I N 0VN ( ' 0S G N & 0S C N 0VN ( 0S G N & 0S C N 0VN ( ' [ 0YN ][ 0VN ] [ 0YN ] [ 0VN] [ 0IN] [ 0VN] [ 0IN] [ 0YN]&1 [ 0IN] 0S I k 0S G k 0S C k 0Vk [ 0IN] CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 16 Como já visto, a equação nodal de uma rede de n nós, em termos da matriz é dado por: onde: - matriz de admitância nodal do sistema, de ordem n x n; - vetor das tensões nodais do sistema, contendo n elementos; - vetor das correntes injetadas nos nós do sistema, contendo n elementos. Como já comentado o objetivo fundamental do cálculo de um fluxo de potência é a determinação das tensõesnodais (dos barramentos) do sistema, ou seja, o vetor . Se o vetor fosse conhecido, o problema estaria resolvido (bastaria multiplicar por ). Ocorre, no entanto, que não é conhecido, uma vez que as gerações e cargas são representadas através de potências. A potência complexa injetada em um barramento (k) de um sistema, denominada , é dada pela diferença entre a potência complexa gerada no barramento (k), , e a potência complexa consumida neste barramento , valores estes constantes. Logo: Tem-se que esta potência complexa injetada é exatamente a potência disponível para ser transmitida aos demais barramentos do sistema: A potência injetada relaciona-se com a corrente complexa injetada no nó (k), por: onde é a tensão do nó (k). Usando a equação acima para cada barramento do sistema pode-se obter o vetor em função das potências injetadas e das tensões nos barramentos: Embora as equações anteriores sejam lineares, a introdução da equação acima leva a um modelo não linear. Finalmente:
  17. 17. ( 0S G k & 0S C k )( 0V ( k ' j n j ' 1 0Ykj 0Vj Re ( 0S G k & 0S C k )( 0V ( k ' Re j n j ' 1 0Ykj 0Vj Im ( 0S G k & 0S C k )( 0V ( k ' Im j n j ' 1 0Ykj 0Vj P G k Q G k P C k Q C k Vk 2k CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 17 Para um barramento qualquer: Pode-se notar que a cada barramento do sistema corresponde uma equação complexa. Estas equações podem ser separadas em suas partes real e imaginária, cada uma delas dando origem a duas equações resultantes reais. Assim para o nó (k) resulta: Logo, um sistema com n barramentos será modelado por 2n equações reais, não lineares. Pode-se observar que cada barramento do sistema fica caracterizado por seis grandezas: ! a potência ativa gerada, ; ! a potência reativa gerada, ; ! a potência ativa consumida, ; ! a potência reativa consumida, ; ! o módulo da tensão, ; ! o ângulo de fase da tensão, . Como no fluxo de potência convencional as cargas ativas e reativas (potência consumidas) são supostas conhecidas, restam em cada barramento (nó), 4 variáveis a serem determinadas: as potências ativa e reativa geradas e o módulo e ângulo de fase da tensão. Logo, o número total de variáveis do problema é, então 4n. Então para tornar possível uma solução das equações acima, e conseqüentemente do fluxo de potência, tem-se que especificar a priori, para cada barramento (nó) do sistema, duas das quatro variáveis, a fim de reduzir o número de incógnitas ao número de equações. À primeira vista, pode parecer que o mais lógico seria especificar os valores das potências ativas e reativas geradas em cada barramento, deixando como incógnitas o módulo e o ângulo de fase da tensão, já que o objetivo básico do fluxo de potência é a determinação das tensões dos barramentos do sistema. Isto, no entanto, não é possível de ser feito porque em todo sistema elétrico operando em estado permanente (situação do fluxo de potência) deve existir equilíbrio entre a geração, o
  18. 18. 0S G T & 0S C T & 0S P T ' 0 0S G k Y conhecida 0Vk Y a ser determinada 0S G T 0S C T 0S P T P G k Q G k CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 18 consumo e as perdas de energia. Este equilíbrio é dado por: onde: - potência complexa total gerada; - potência complexa total consumida; - potência complexa total perdida. Emboraas cargas ativas e reativas sejam conhecidas a priori, as perdas ativas e reativas do sistema sóficamconhecidas se forem conhecidas as tensões de todos os barramentos do sistema, o que só ocorre após a solução do fluxo de potência. Conseqüentemente não se pode especificar os valores detodas as potências ativas e reativas geradas no sistema, pelo menos uma potência ativa e reativa devem ficar sem especificação para que as perdas do sistema possam ser supridas. Dependendo de quais variáveis são especificadas e quais são consideradas como incógnitas, pode- se definir três tipos de barramentos (nós): ! Barramentos (Nós) de Carga ou Tipo PQ Sãobarramentos (nós) onde as potências ativa e reativas geradas são especificadas e o módulo e o ângulo da tensão são as variáveis a serem determinadas na solução do fluxo de potência: Normalmente são considerados como nós deste tipo: S barramentos de suprimento a consumidores; S barramentos de chaveamento; S barramentos fictícios criados para representar certos pontos de interesse no fluxo de carga, embora f isicamente não sejam barramentos propriamente ditos, como, por exemplo, pontos intermediários entre as barras terminais da linha de transmissão, nós criados por circuitos equivalentes de transformadores, etc. Nocaso de haver geradores conectados a este tipo de barramento, fixa-se também as potências ativas e reativas geradas, e . Este tipo de procedimento é usado, normalmente, para pequenos geradores do sistema. ! Barramentos (Nós) de Geração ou Tipo PV ou de Tensão Controlada São barramentos (nós) onde a potência ativa e o módulo da tensão são especificados, ficando como incógnitas a potência reativa gerada e o ângulo de fase da tensão:
  19. 19. P G k e * 0Vk* Y conhecidos Q G k e 2k Y a serem determinados 0Vk Y conhecida 0S G k Y a ser determinada P C k % j Q C k (P G k % P C k ) Q C k CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 19 Normalmente são considerados como nós deste tipo: S barramentos do sistema onde estão conectados geradores; S barramentos do sistema onde estão conectados compensadores síncronos e compensadores estáticos. Na realidade, um barramento no qual esteja conectado uma máquina síncrona tanto pode ser considerado como barramento tipo PV como tipo PQ, dependendo de se especificar o módulo da tensão ou a potência reativa gerada, respectivamente. Prefere-se especificar o módulo da tensão (tipoPV) por que a faixa de valores aceitáveis para o módulo da tensão de um barramento é muito mais restrita do que a dos valores de potência reativa gerada pelos geradores e síncronos. Caso exista uma carga neste barramento, utiliza-se o valor durante a solução e o valor somente é utilizado após a obtenção do fluxo de potência, pois a potência reativa total injetada é uma das incógnitas a serem obtidas. ! Barramento(Nó)de Referência ou Oscilante ou Compensador ou de Balanço ou "Swing" ou "Slack" ou de Folga É um barramento (nó) onde o módulo e o ângulo de fase da tensão são especificados e as potências ativas e reativas geradas são as variáveis a serem determinadas: Este barramento tem duas funções principais: S permitir que pelo menos uma potência gerada, ativa e reativa, não sejam especificadas, de tal modo que as perdas ativas e reativas do sistema que também são incógnitas e só serão conhecidas no final da solução, possam ser incluídas no balanço de potência do sistema, após a solução do fluxo de potência; S f ornecer uma referência para os ângulos de fase das tensões dos demais barramentos do sistema. Normalmente, as equações usadas nos métodos de solução são escritas em função das diferenças de ângulo de fase das tensões em barramentos adjacentes, por isso, torna-se necessário fixar um desses ângulos para que os demais possam ser determinados (pois uma mesma distribuição de fluxos no sistema pode ser obtida ao adicionar uma constante qualquer a todos os ângulos de fase dos barramentos do sistema, o que mostra a indeterminação nas variáveis angulares, tornando necessária a adoção de uma referência angular). Usualmente, fixa-se o valor zero para o ângulo de fase da tensão do barramento oscilante, embora não seja
  20. 20. [ 0YN] CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 20 obrigatório. O barramento oscilante não é (a não ser em casos especiais) a referência para os módulos das tensões. Como visto na formação da matriz , esta referência é, geralmente, a terra. Emum sistema totalmente conexo, ou seja, que não apresenta subsistemas desconexos, apenas umbarramento oscilante é especificado, mas se o sistema for constituído por vários subsistemas desconexos ou interligados apenas em corrente contínua, haverá necessidade de tantos barramentos oscilantes quantos forem os subsistemas. A escolha da barra oscilante deve ser feita entre os nós de geração do sistema, e deve ser escolhido, se possível, um nó com potência suficiente para atender os requisitos de potência necessários. Também, a fim de evitar grandes diferenças entre os valores dos ângulos de fase de barramentos situados nos extremos do sistema deve escolher um barramento, do ponto de vista elétrico, o mais central possível. Os três tipos de barras acima são as mais freqüentes e mais importantes que aparecem na formulação do fluxo de potência. Existem algumas situações particulares, como: ! controle de intercâmbio entre áreas; ! controle de tensão de uma barra de carga através do módulo da tensão de uma barra remota ou de taps de transformadores (LTC); ! barra de tensão controlada com limites de geração reativa especificada, ou barra de carga com controle de tensão; ! etc; nosquais são feitos formulações especiais ou mudanças de um tipo de barramento em outro durante o processo de resolução do fluxo de potência. Do que foi analisado até o presente momento, pode-se concluir que o cálculo do fluxo de potência exige a solução de um sistema de equações algébricas não lineares. Os recursos matemáticos para resolução de equações não lineares são poucos e além disso tem-se o fato de geralmente não ser possível dizer se um sistema de equações não lineares tem ou não solução, se a solução obtida é única ou se existem várias outras soluções matematicamente válidas, se um determinado método de solução é capaz de obter alguma ou todas as soluções possíveis ou ainda qual solução será obtida. Todososproblemas acima ficam atenuados pelo fato de que as faixas de valores que podem assumir asvariáveis envolvidas no fluxo de potência, praticamente são as mesmas para a grande maioria dos Sistemas de Potência, o que permite uma análise dos resultados obtidos e procurando-se corrigir as distorções que aparecem. Antesdeanalisar os métodos iterativos mais importantes para a resolução do fluxo de potência serão vistas as expressões que, utilizando os valores de tensão obtidos, permitem o cálculo dos fluxos de potência ativa e reativa em todos os ramos do sistema, das perdas ativas e reativas em cada ramo e no sistema como um todo, das potências ativa e reativa geradas no barramento oscilante e das potências reativas geradas nos barramentos PV. Vale enfatizar que estes cálculos são todos diretos (não iterativos), uma vez conhecidas as tensões nodais do sistema.
  21. 21. Ski ( k ) Vki ( i ) V shI jxik j bik 2 rik j bik 2 ikS seI 0Sik ' 0Vi 0I ( ik 0Ski ' 0Vk 0I ( ki 0Iik ' 0Ise % 0Ish 0Ise ' 0Vi & 0Vk ri k % jxik ' ( 0Vi & 0Vk ) 0yik ' ( 0Vi & 0Vk )(& 0Yik ) 0Ish ' j 0Vi bi k 2 0Vi 0Vk rik xik bik 0Sik 0Iik 0Ski 0Iki 0Ii k 0Ise 0Ish CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 21 ! Cálculo dos Fluxos de Potência Ativa e Reativa dos Ramos Seja a figura 23 que ilustra um ramo representado por uma linha de transmissão ligando dois barramentos (i) e (k) de um sistema. Figura 23 – Ramo representativo da linha de transmissão onde: - tensão complexa do barramento (i); - tensão complexa do barramento (k); - resistência série total da linha, em módulo; - reatância série total da linha, em módulo; - susceptância shunt total da linha, em módulo. Tem-se: onde e são a potência complexa e a corrente que, saindo do barramento (i), fluem pelo ramo i-k em direção ao barramento (k). Da mesma forma pode-se escrever: onde e são, agora, a potência complexa e a corrente que, saindo do barramento (k), fluem pelo ramo i-k em direção ao barramento (i). Da figura observa-se que a corrente desmembra-se em duas componentes, uma que flui pelo elemento série do ramo i-k, denominado de e outra que flui pelo elemento shunt que está do lado do barramento (i) em direção a terra, denominada por . Logo: As componentes acima são dadas por:
  22. 22. 0Iik ' ( 0Vi & 0Vk)(& 0Yik ) % j 0Vibik 2 0Sik ' 0Vi ( 0Vi & 0Vk )(& 0Yik ) % j 0Vibik 2 ( ' ( 0Vi 0V ( i & 0Vi 0V ( k )(& 0Y ( ik) & j 0Vi 0V ( i bik 2 Pik ' Re 0Sik Qik ' Im 0Si k Pik ' ViVk (Gik cos2ik % Biksen 2ik ) & GikV 2 i Qik ' ViVk (Gik sen2ik & Bikcos2ik ) % Bik & bik 2 V 2 i Pki ' VkVi (Gik cos2ki % Bkisen 2ki ) & GikV 2 k Qki ' Vk Vi (Gik sen2ki & Bikcos2ki ) % Bik & bik 2 V 2 k 0Yik [ 0YN ] 0Si k Vi Vk 2i k ' 2i & 2k Pki Qk i [ 0YN ] CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 22 onde é o elemento ik da matriz . Daí, tem-se Portanto: As potências ativa e reativa que compõe a potência complexa acima, são dadas por: Desenvolvendo a expressão acima da potência complexa e tomando suas partes real e imaginária obtém-se: onde e são os módulos das tensões dos barramentos (i) e (k) e é a diferença entre os ângulos de fase das tensões nas barras (i) e (k). Para obtenção de e , basta trocar os índices i e k dos módulos e ângulos de fase das tensões nas expressões acima. Daí: No caso de haver várias linhas de transmissão, em paralelo, ligando os barramentos (i) e (k) do sistema, como ilustra a figura 24, tem-se que a matriz conterá, nas posições i-k e k-i, a admitância equivalente (com sinal trocado) de todos os ramos série em paralelo, o que significa a perda das características próprias de cada uma das linhas de transmissão do sistema. Normalmente, nos cálculos de fluxo de potência, deseja-se determinar os fluxos de potência ativa e reativa em cada um dos circuitos em paralelo, o que acarreta a não possibilidade de utilização direta das expressões acima. Nesse caso deve-se calcular os fluxos de potência utilizando os parâmetros físicos das linhas (resistência, reatância e susceptância).
  23. 23. ( k ) iV ( i ) jxik 1rik 1 j b ik 2 1 j b ik 2 1 jxik nrik n j b ik 2 n j b ik 2 n jxik 2 rik 2 j b ik 2 2 j b ik 2 2 Vk Gik ' & rik r 2 ik % x 2 ik Bik ' xik r 2 ik % x 2 ik Pik ' 1 r 2 ik % x 2 ik Vi Vk ( xik sen 2ik & rik cos2ik ) % V 2 i rik Qik ' 1 r 2 ik % x 2 ik &ViVk ( xik cos2ik % rik sen2ik % V 2 i xik & V 2 i bik 2 Pki ' 1 r 2 ik % x 2 ik Vk Vi ( xiksen 2ki & rikcos2ki ) % V 2 k rik Qki ' 1 r 2 ik % x 2 ik &Vk Vi ( xik cos2ki % rik sen2ki % V 2 k xik & V 2 k bik 2 CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 23 Figura 24 – Linhas de transmissão em paralelo Tem-se que: Substituindo nas expressões anteriores, obtém-se as seguintes expressões:
  24. 24. Pik ' Vi Vk ( Gik cos2i k % Bik sen2ik ) & Gik V2 i Qik ' Vi Vk ( Gik sen2ik & Bik cos2ik ) % Bik V2 i Pki ' Vk Vi ( Gki cos2k i % Bki sen2ki ) & Gki V2 k Qki ' VkVi ( Gkisen2ki & Bki cos2ki ) % Bki V2 k Pik ' &Pki ' Vi Vksen2ik xt Qik ' & ViVk cos2ik xt % V 2 i xt Qki ' & VkVi cos2ki xt % V2 k xt Pik ' (p2 % q2 )gik V2 i & Vi Vk p(gik cos2ik % bik sen2ik ) % Vi Vk q(gik sen2ik & bik cos2ik ) Qik ' & (p2 % q2 )bik V2 i & Vi Vk p(gik sin2i k & bik cos2ik ) & Vi Vk q(gik cos2ik % bik sen2ik ) Pki ' gikV 2 k & ViVk p(gikcos2k i % bik sen2ki) & Vi Vk q(giksen2ki & bik cos2ki) Qki ' & bikV 2 k & Vi Vk p(giksin2ki & bikcos2ki) & ViVk q(gikcos2ki % bik sen2ki) bi k CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 24 Nocaso do ramo que liga os barramentos (i) e (k) ser um transformador, sem taps ou com taps nos seus valores nominais, as expressões para cálculo dos fluxos de potência ativa e reativa podem ser obtidas de maneira idêntica às obtidas para as linhas de transmissão (inclusive podem ser usadas as mesmas expressões, só que zerando o termo ). Para transformadores com tap na posição nominal tem-se: Como normalmente desprezam-se as perdas nos transformadores: onde x é a reatância de dispersão do transformador .t Para transformadores com taps fora do nominal (em fase ou quadratura), tem-se: Desprezando as perdas no transformador:
  25. 25. Pik ' Vi Vk (p2 % q2 ) xt [psen2ik % qcos2ik ] Qik ' V 2 i xt & Vi Vk (p2 % q2 ) xt ( pcos2ik & qsen2i k )] Pk i ' Vi Vk (p2 % q2 )xt [psen2k i & qcos2k i ] Qk i ' 1 (p2 % q2 )xt [V2 k & Vi Vk (pcos2k i % qsen2k i )] Pik ' pGik V2 i % Vi Vk (Gik cos2ik % Bik sen2ik ) Qik ' pBik V2 i % Vi Vk (Gik sin2ik & Bik cos2ik ) Pk i ' & Gik p V2 k % Vi Vk (Gik cos2k i % Bik sen2k i ) Qk i ' Bik p V2 k % Vi Vk (Gik sin2k i & Bik cos2k i ) Pik ' Vi Vk pi p2 xt sen2ik Qik ' V 2 i p2 i xt & Vi Vk pi pk xt cos2ik Pk i ' Vi Vk pi pk xt sen2k i Qk i ' V2 k p2 k xt & Vi Vk pi pk xt cos2k i CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 25 Se o transformador só apresenta taps em fase, ou seja, q = 0, tem-se: A expressão geral para um transformador sem perdas e com taps nos enrolamentos do lado i (p)i e k (p ) é a seguinte:k Se o elemento que liga os barramentos (i) e (k) for um capacitor série, tem-se:
  26. 26. Pik ' &Pk i ' & Vi Vk sen2ik xC Qik ' Vi Vk cos2ik xC & V2 i xC Qk i ' Vk Vi cos2k i xC & V 2 k xC Pi0 ' 0 Qi 0 ' V2 i xsh ' Vi Vnom 2 Qnom % Y capacitor & Y reator )Pik ' Pik & (&Pk i ) ' Pik % Pk i )Qik ' Qik & (&Qk i ) ' Qik % Qk i xC )Pik )Qik )Pi k )Qik CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 26 onde a reatância entra em módulo. Finalmente para capacitorese reatoresde barra (shunt) ligados no barramento (i), tem-se: ! Cálculo das Perdas Ativas e Reativas no Sistema As perdas ativas e reativas em um ramo i-k de um sistema são dadas pelas diferenças entre as potências ativas e reativas que saem do barramento (i) e as que chegam ao barramento (k). Como aspotências que chegam ao barramento (k) vindas do barramento (i) são dadas pelo negativo das potências que saem do barramento (k) em direção ao barramento (i), tem-se : onde: - perda de potência ativa no ramo i-k; - perda de potência reativa no ramo i-k. O valor de é sempre positivo indicando que para a potência ativa sempre ocorre uma dissipação no ramo, a menos que a resistência entre os barramentos (i) e (k) seja nula quando, então a perda ativa é zero. Para o caso de , pode-se encontrar valores negativos, indicando que na realidade ocorreu um ganho de potência reativa no ramo i-k (o que ocorre com os bancos de capacitores série e com as linhas de transmissão com um carregamento abaixo de sua potência característica). As perdas totais do sistema são dadas pela soma das perdas em todos os ramos. No caso da potência ativa, a perda total obtida por esta soma é igual (a menos de uma certa tolerância compatível com a tolerância de convergência do processo iterativo) à soma das potências ativas injetadas nos barramentos, ou seja, à diferença entre a geração ativa total do sistema e o
  27. 27. )Ptotal ' j n j ' 1 PI j ' j n j ' 1 P G j & PC j )Qtotal ' j n j ' 1 Q I j % Q sh j ' j n j ' 1 Q G j & Q C j % Q sh j 0S G j ' 0S C j % 0S T j ' 0S C j % 0Vj j n k ' 1 0Vk 0Yjk ( (j ' 1,2, ...., n) PG j ' P C j % P T j ' P C j % Re 0Vj j n k ' 1 0Vk 0Yjk ( QG j ' Q C j % Q T j ' QC j % Im 0Vj j n k ' 1 0Vk 0Yj k ( PG j ' P C j % j n k ' 1 Pjk Q G j ' Q C j % j n k ' 0 Qjk Qs h j PT j Q T j CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 27 consumo total de potência ativa (cargas). Então: Nocaso da potência reativa, a presença de eventuais capacitores ou reatores de barra deve ser levada em conta no cálculo da perda total. onde é a potência reativa gerada pelo capacitor ou reator shunt porventura existente no barramento (j). ! Cálculo das Potências Ativas e Reativas Geradas Aspotências ativa e reativas geradas nos barramentos do sistema podem ser obtidas diretamente das equações de equilíbrio de potência nos nós (barramentos). Tem-se: Separando as expressões acima em suas componentes real e imaginária, obtém-se: como e são dados pelas somas de todos os fluxos ativos e reativos, respectivamente, que saemdo barramento (j) em direção a todos os barramentos ligados a ele (incluindo a terra através dos elementos shunt, no caso da potência reativa), tem-se ainda:
  28. 28. (k) Vk ( a ) (k) Vk ( b ) ( c ) (k) Vk CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 28 onde a terra é denotada como barramento (0). Estas expressões devem ser utilizadas para obter as potências ativa e reativa geradas pelo barramento oscilante e a potência reativa geradas pelas barras PV. Deve-se lembrar que as expressões acima foram obtidas considerando-se a seguinte convenção de sinais: (a)as injeções de potência são positivas quando entram nos barramentos e negativa quando saem dos barramentos; (b)os fluxos de potência são positivos quando saem do barramento e negativos quando entram; (c)os fluxos nos elementos shunt dos barramentos são positivos quando entram no barramento e negativo quando saem. A figura 25 ilustra esta convenção de sinais. Figura 25 – Convenção de sinais para o fluxo de potência nos elementos do SEP 5 – MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA Como visto no item anterior as equações do fluxo de potência são não lineares, o que exige um processo iterativo para resolve-las. A literatura técnica registra um sem número de métodos computacionais para o cálculo iterativo das tensões nodais, a partir das equações já descritas. Apenasalguns poucos, no entanto, chegaram a ter qualquer uso prático em programas de uso geral. Qualquer que seja o método escolhido, cinco propriedades principais são requeridas para sua utilização: ! Alta velocidade computacional. Isto é especialmente importante quando se trabalha com grandes sistemas, com aplicações em tempo real (on-line), com múltiplos casos de fluxo de potência, em análise de contingências, etc; ! Baixos requisitos de memória computacional. Isto é importante para grandes sistemas e para uso de pequenos computadores que apresentam uma pequena capacidade de memória como, por exemplo, nos computadores para aplicações on-line. ! Confiabilidade e segurança da solução obtida. O resultado obtido deve inspirar confiança.
  29. 29. a) Quanto as equações da rede Equações nodais Matriz Admitância [ 0YN ] Matriz Impedância [ 0ZN ] Equações de malha Matriz Admitância [ 0YM ] Matriz Impedância [ 0ZM ] b) Quanto ao método de solução Método de Gauss Método de Gauss&Seidel Método da Relaxação Método das Secantes Método de Newton&Raphson Método Misto (Gauss&Seidel e Newton&Raphson) [ 0YN ] [ 0ZN ] [ 0YN ] [ 0ZN ] CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 29 ! Versatilidade. É importante que o método seja versátil para representar e resolver além dos problemas convencionais, diferentes ajustes nos sistema, diferentes representações dos componentes e ser susceptível a incorporar processos mais complicados. ! Simplicidade. O algoritmo de resolução deve ser de fácil codificação computacional. Os métodos para resolução das equações do fluxo de potência podem ser divididos quanto as equações da rede utilizada e quanto ao tipo de solução iterativa para a determinação das grandezas da rede. Pode-se citar: Em geral, pela facilidade de aplicação e construção são utilizadas as equaçõesnodaiscom a matriz (mais comum) e a matriz . Em cada um dos métodos acima existem algumas variantes e opções visando melhorar a convergência, minimizar o número de cálculos e memória computacional utilizada. Inicialmente chegou a ser bastante usado o Método de Gauss-Seidel (versão melhorada do Método de Gauss) que, na sua versão que trabalha com a matriz , apresenta as vantagens de ser de implementação computacional muito fácil e ocupar muito pouca memória de computador. No entanto, este método tem as desvantagens de gastar muito tempo para chegar à solução e, mais grave, apresentar baixa confiabilidade de convergência. Na tentativa de melhorar a confiabilidade, foi desenvolvida uma versão do método que trabalha com a matriz . Em parte, o objetivo foi conseguido (maior confiabilidade de convergência), porém as custas de uma maior dificuldade de implementação e gastos computacionais de tempo e memória bem maiores. Com a evolução da tecnologia dos computadores principalmente no que conserne ao aumento de capacidade de memória, o Método de Newton-Raphson surgiu com uma boa opção e começou ser bastante investigado. Nos dias de hoje, praticamente todos os programas de uso geral para
  30. 30. CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 30 a solução de fluxos de potência utilizam diferentes variações do Método de New ton-Raphson. Essemétodo foi desenvolvido em sua formulação clássica no fim da década de sessenta. Apesar de ser de implementação não muito simples, ele apresenta gastos computacionais de tempo e memória bastantes razoáveis. Mais importante, porém, e a sua grande confiabilidade de convergência que veio permitir o seu uso generalizado, mesmo em sistemas antes considerados dif íceis, embora reconheça-se que em alguns tipos de aplicações o método de Gauss-Seidel possa ser mais eficiente. Mais modernamente, surgiram formulações alternativas, baseadas no método de New ton-Raphson que, sem perda significativa da confiabilidade, proporcionam uma maioreficiência computacional e são indicadas em situações onde o aspecto de tempo de solução torna-se predominantemente importante. O Método da Relaxação pode-se dizer que é uma variante do método de Gauss-Seidel. Já o Método da Secante deriva-se do método de New ton-Raphson. O Método Misto apresenta combinações dos métodos anteriores, como por exemplo, iniciar o processo iterativo com o método de Gauss-Seidel passando posteriormente para o método de New ton-Raphson. Deve-se ter em mente que apesar do grande desenvolvimento dos computadores digitais no que se ref ere aos aumentos de velocidade de processamento e de capacidade de memória é ainda de grande importância se ter um método eficiente para a resolução do problema do fluxo de potências no que tange à redução do tempo de processamento e da memória requerida. Esta importância decorre tanto do fato de que cada vez mais os Sistemas de Potência estão crescendo vertiginosamente, apresentando um grande aumento no número de barramentos representados e no número de ligações entre estes barramentos exigindo computadores com maiores capacidades de memória como também do fato de se ter necessidade do controle mais direto do sistema, necessitando daí um método mais rápido. Também a convergência do processo iterativo que existe na solução do fluxo de potência pode ficar comprometida nas redes modernas pois além de complexas estas redes às vezes possuem capacitores série (reatâncias negativas), cargas bastante pesadas, transformadores de três enrolamentos, além de, mais recentemente, também a representação de elos de corrente contínua, compensadores estáticos variáveis, cargas variando com a tensão, representação de motores de indução, etc, situações que normalmente prejudicam a convergência. 5-1 – Método de Newton-Raphson O método de New ton-Raphson ou simplesmente método de New ton é um método numérico para a determinação de raízes reais de equações não lineares mais sofisticado. Não só, na maioria dos casos, ele não oferece riscos de divergência, como também, como regra geral, a convergência por eleproporcionada é muito mais rápida do que nos métodos visto anteriormente. O método de New ton é um método de interpolação e a idéia da resolução de equações não lineares por este método veio de I.New ton, sendo posteriormente alterada por J.Raphson.
  31. 31. f1 (x1 , x2 , ... , xk , ... , xn ) ' 0 f2 (x1 , x2 , ... , xk , ... , xn ) ' 0 . fk (x1, x2, ... , xk , ... , xn ) ' 0 . . fn (x1, x2, ... , xk , ... , xn ) ' 0 f1 (x i 1 % )x i 1, x i 2 % )x i 2, ... , x i k % )x i k , ... , x i n % )x i n ) ' 0 f2 (x i 1 % )x i 1, x i 2 % )x i 2, ... , x i k % )x i k , ... , x i n % )x i n ) ' 0 . fk (x i 1 % )x i 1, x i 2 % )x i 2, ... , x i k % )x i k , ... , x i n % )x i n ) ' 0 . . fn (x i 1 % )x i 1, xi 2 % )xi 2, ... , xi k % )xi k , ... , x i n % )xi n ) ' 0 f(x1 % )x1, x2 % )x2, ... , xk % )xk , ... , xn % )xn ) ' f(x1, x2, ... , xk , ... , xn ) % % )x1 M f M x1 % )x2 M f M x2 % ... % )xk M f M xk % ... % )xn M f M xn % % 1 2! )x1 M M x1 % )x2 M M x2 % ... % )xk M M xk % ... % )xn M M xn 2 f % % .......... % % 1 m! )x1 M M x1 % )x2 M M x2 % ... % )xk M M xk % ... % )xn M M xn m f % % Rm x1, x2, ... , xk , ... , xn xi k (x i 1, x i 2, ... , x i k , ... , x i n ) )x i 1, )xi 2, ... , )xi k , ... , ∆x i n, x i 1, x i 2, ... , x i k , ... , x i n (x1 , x2 , ... , xk , ... , xn ) CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 31 Seja resolver o sistema de equações a seguir: Seja um vetor das variáveis que constituem uma aproximação a uma dasraízes do sistema acima. Assumindo que sejam as correções necessárias para que , correspondam a solução deste sistema, tem-se que: O teorema de Taylor para uma função de duas ou mais variáveis em torno de um ponto , diz que:
  32. 32. Rm x1, x2, ... , xk , ... , xn ' 1 (m% 1)! )x1 M M x1 % )x2 M M x2 % ... % )xk M M xk % ... % )xn M M xn (m % 1) f(x1 % 2)x1 , x2 % 2)x2 , ... , xk % 2)xk , ... , xn % 2)xn ), (0 < 2 < 1) f1 (xi 1, xi 2, ... , xi k , ... , x i n ) % )x i 1 Mf1 M x1 % )x i 2 M f1 M x2 % ... % )x i k M f1 M xk % ... % )xi n M f1 M xn ' 0 f2 (xi 1, xi 2, ... , xi k , ... , x i n ) % )x i 1 Mf2 M x1 % )x i 2 M f2 M x2 % ... % )x i k M f2 M xk % ... % )xi n M f2 M xn ' 0 . fk (x i 1, xi 2, ... , x i k , ... , x i n ) % )x i 1 M fk M x1 % )x i 2 M fk M x2 % ... % )x i k M fk M xk % ... % )xi n M fk M xn ' 0 . . fn (xi 1, x i 2, ... , xi k , ... , xi n ) % )xi 1 M fn M x1 % )x i 2 M fn M x2 % ... % )x i k M fn M xk % ... % )x i n M fn M xn ' 0 (x1, x2, ... , xk , ... , xn ) x i 1, x i 2, ... , x i k , ... , x i n )x i 1 , )x i 2, ... , )xi k , ... , )xi n (xi 1, xi 2, ... , x i k , ... , x i n ) x i 1 fk (x i 1 , x i 2 , ... , xi k , ... , xi n ) CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 32 onde a função f deve ter derivadas parciais contínuas até ordem (m + 1) inclusive e que todas as derivadas de f que aparecem são calculadas no ponto . R é o erro quem depende da mais alta derivada considerada: Dependendo da aproximação desejada para a função f é que se escolhe o valor de m a partir do qual as derivadas de ordem superior a m da função serão desprezadas. Expandindo a série de equações anteriores pela fórmula de Taylor e se os valores de estão perto da solução, tem-se que são relativamente pequenos e todos os termos de potência acima de 2 podem ser desprezados. A série de equações resulta em: onde as derivadas parciais são calculadas no ponto . O processo acima "linearizou" o sistema de equações que originalmente era não linear. A interpretação geométrica deste processo para somente uma equação é equivalente a substituir um pequenoarco da curva f(x ) = 0 por uma reta tangente, traçada a partir do ponto . Para o sistema1 de equações consiste em traçar um "plano tangente" à superfície .
  33. 33. f1 (x1, x2, ... , xk , ... , xn ) f2 (x1 , x2 , ... , xk , ... , xn ) . fk (x1, x2, ... , xk , ... , xn ) . . fn (x1, x2, ... , xk , ... , xn ) % M f1 M x1 M f1 M x2 ... M f1 M xk ...... M f1 M xn M f2 M x1 M f2 M x2 ... M f2 M xk ...... M f2 M xn . . ... . ...... . Mfk M x1 M fk M x2 ... M fk M xk ...... M fk M xn . . ... . ...... . . . ... . ...... . M fn M x1 M fn M x2 ... M fn M xk ...... M fn M xn × )x1 )x2 . )xk . . )xn • 0 f i k % J i . )x i k • 0 J i pq ' Mfp Mxq )x i k ' & J i &1 . f i k x (i %1) k ' x i k % )x i k f i k J i )x i k f i k Ji )xi k CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 33 Colocando as equações acima em uma forma matricial, pode-se escrever: ou seja onde: - vetor que contem os valores numéricos das equações f(x); - matriz quadrada de ordem n que contem valores numéricos das derivadas parciais de primeira ordem de todas as equações f(x), com relação a todas as incógnitas x, calculadas na iteração i. Esta matriz é denominada matriz jacobiana das funções f(x), e seus elementos são definidos por: - vetor das variações de todas incógnitas x na iteração i. Logo: onde os elementos das matrizes e são obtidos pela substituição dos valores atuais (iteração i) das incógnitas x. A solução para cada pode ser obtida pela aplicação de qualquer método para solução de sistemas de equações lineares (Gauss, Gauss-Jordan, inversão de matrizes, triangularização e substituição de trás para frente, etc). Os novos valores das variáveis x são então calculadas.
  34. 34. a 0 1 b x x1 xb f(x) 0 xa x x f(x) 0 xb x1 a b x1 0 xa 0 x x2 = x f(x) 1 x 3 x= 0 x x1 x2 3 x f(x) x x (i %1) k ' x i k % "k )x i k )xi k "k Ji [J] CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 34 Oprocesso é repetido até que entre duas iterações sucessivas a diferença para as funções f sejam menores que uma tolerância especificada. A este tipo de convergência diz-se absoluta. Pode-se adotar uma convergência que verifique a variação dos valores de x , ou seja, os valores de .k Neste caso os valores das funções f dependerão dos parâmetros das funções f , f , ... , f .1 2 k Pode-se notar que o número de iterações até a convergência, como também a possibilidade de ocorrer a convergência dependerá dos valor inicial adotado. A figura 26 ilustra esta situação. Figura 26 – Situações de dificuldade de convergência do método de New ton-Raphson Observa-se desta figura que o método de New ton-Raphson não é muito indicado para resolver equaçõescuja curva, próxima do ponto de interseção com os eixos das variáveis, é quase horizontal, pois neste caso a derivada da função poderá dar um número muito grande levando a erros. Normalmente, o método de New ton-Raphson funciona bem com funções contínuas convexas. Também, se a obtenção da derivada das funções f for muito complicada ou sujeita a erros, é desaconselhável a utilização deste método (pode usar, por exemplo, o método da secante, próximo ao de New ton). Finalmente, existem situações no qual o método de New ton-Raphson não traz bons resultados, como mostra a figura 27. Figura 27 – Situações não aconselhadas para a utilização do método de New ton-Raphson No método de New ton-Raphson pode-se usar fatores de aceleração, ou seja: sendo ofator de aceleração, que inclusive pode ser variável para cada equação k. Existem outros métodos para acelerar o processo, mas o mais simples e mais utilizado é o da extrapolação linear. Como af irmado a matriz deve ser atualizada a cada iteração. Uma variante do método de Newtonéobtida considerando-se a matriz constante durante algumas iterações. Nesta variante,
  35. 35. f(x) x f(x ) 01x x 0 f(x )1 f(x) x f(x ) 01x x 0 f(x )1 x(i % 1) k ' x i k & fk (x i 1, x i 2, ... , x i k , ... , x i n ) M fk Mxk 0S I k 0Vk ( ' j n j ' 1 0Yk j 0Vj CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 35 o número de iterações para uma dada tolerância de convergência, em geral, é maior que no método original, mas cada uma das iterações se torna mais rápida pois a matriz jacobiana não precisa ser recalculado a cada passo. A figura 28 ilustra algumas situações para uma função x qualquer. Figura 28 – Manutenção da matriz jacobiana durante alguns passos Um outra variante do método de New ton, consiste em considerar em cada equação somente uma variável,mantendo as demais fixas, ou seja, cada equação é função de cada uma das variáveis. Com isto é eliminado a matriz jacobiana, e a equação genérica para uma função f qualquer fica:k O método de solução de fluxos de potência com a utilização do método de New ton-Raphson foi descrito pela primeira vez em 1959, em um artigo de J.E.Van Ness publicado no AIEE. Embora o método se revelasse promissor, já que conseguia resolver problemas impossíveis de serem resolvidos pelo método de Gauss-Seidel, com um pequeno número de iterações, a solução era lenta e exigia uma grande memória para o armazenamento da matriz jacobiana e solução do sistema de equações lineares. Até 1967, o método ficou em dúvida se era vantajoso com relação ao método de Gauss-Seidel. A partir deste ano, após a publicação de uma série de artigos da BPA (Boneville Pow er Administration) relatando os progressos feitos na aplicação do método de New ton-Raphson ele tomou odevidoimpulso e hoje se constitui praticamente a base de todos os programas de fluxo de potência. A aplicação do método de New ton-Raphson a solução de fluxos de carga consiste em definir um sistema de equações a ser resolvido, que é definido a partir das potências injetadas nos nós do sistema. A equação que expressa o equilíbrio de potências em uma barra (k) qualquer da rede, é dada por:
  36. 36. SI k ( ' 0V( k j n j ' 1 0Yk j 0Vj P I k & jQ I k ' 0V ( k j n j ' 1 0Yk j 0Vj PI 1 & jQI 1 ' 0V ( 1 j n j ' 1 0Yk j 0Vj P I 2 & jQ I 2 ' 0V ( 2 j n j ' 1 0Yk j 0Vj . P I k & jQ I k ' 0V ( k j n j ' 1 0Yk j 0Vj . . PI n & jQI n ' 0V( n j n j ' 1 0Yk j 0Vj PI 1 & jQI 1 ' f1 ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk , ... , 0Vn ) P I 2 & jQ I 2 ' f2 ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk , ... , 0Vn ) . PI k & jQI k ' fk ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk , ... , 0Vn ) . . PI n & jQI n ' fn ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk , ... , 0Vn ) (P I 1 & jQI 1 ) & f1 ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk , ... , 0Vn ) ' 0 (P I 2 & jQ I 2 ) & f2 ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk , ... , 0Vn ) ' 0 . (P I k & jQ I k ) & fk ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk , ... , 0Vn ) ' 0 . . (P I n & jQI n ) & fn ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk , ... , 0Vn ) ' 0 CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 36 Para todas as barras do sistema, tem-se: ou seja: ou ainda:
  37. 37. ) 0V i k ' & J i &1 (PI k & jQ I k ) & f I k ) 0V i k ' & J i &1 )P I k & j)Q I k 0V (i % 1) k ' 0V i k % ) 0V i k *)Pk * < >P *)Qk * < >Q ) 0V i k 0Vk J i )P I k & j)Q I k ) (P I k & P i k calc ) & j(Q I k & Q i k calc ) P i kcalc Q i kcalc )Pk )Qk ξP ξQ ξ ' ξP ' ξQ CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 37 Aplicando o método de New ton-Raphson, obtém-se: onde: - vetor das variações das tensões na iteração i; - jacobiano do sistema; - vetor constituído por termos do tipo: sendo: - potência ativa injetada na barra (k), obtida com valores de tensão disponíveis da iteração anterior; - potência reativa injetada na barra (k), obtida com valores de tensão disponíveis da iteração anterior. Daí: Osistema acima é constituído de equações complexas, que devem ser desmembradas em equações reais, para que seja possível sua resolução. Este desmembramento pode ser feito em coordenadas polares ou cartesianas. O desmembramento em coordenadas polares dá origem aos métodos desacoplados, e apresenta a vantagem de trabalhar com módulo e ângulo das tensões, que são variáveis que possuem significado físico nos sistemas de potência. Já o desmembramento em coordenadas cartesianas, de acordocom a literatura a respeito, tem se mostrado mais eficiente ao se aplicar o método de New ton- Raphson. Também, como se verá adiante, o desmembramento das equações em coordenadas polares possibilita a eliminação das equações dos módulos das tensões das barras tipo PV. No desmembramento por coordenadas cartesianas perde-se a vantagem desta simplificação. Ocritério normal para convergência no fluxo de potência é que os erros de potência e/ou (dependendo do tipo da barra (k)) sejam menores que um erro (ou tolerância) máximo especificado, ou seja: onde e são valores empíricos, e normalmente . Os valores do erro máximo usados na prática variam de sistema para sistema e de problema para problema. Em grandes sistemas, um erro de 1 MW/MVAr oferece precisão suficiente para a maioria dos estudos práticos (neste caso em pu, basta fornecer como tolerância o inverso da potência de base do sistema em estudo). Precisão mais elevada, da ordem de 0.1 MW/Mvar são necessários para estudos especiais,
  38. 38. j n j ' 1 )P 2 j % j n j ' 1 )Q 2 j < >P Q PI 1 & jQI 1 ' j n j ' 1 * 0V1* * 0Vj *e j(2j & 21) (G1 j % jB1j ) P I 2 & jQ I 2 ' j n j ' 1 * 0V2* * 0Vj *e j(2j & 22) (G2 j % jB2j ) . P I k & jQ I k ' j n j ' 1 * 0Vn * * 0Vj *e j(2j & 2j) (Gk j % jBk j ) . . PI n & jQI n ' j n j ' 1 * 0Vn * * 0Vj *ej(2j & 2n) (Gn j % jBn j ) CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 38 como por exemplo, em estudos de estabilidade. Em pequenos sistemas, o valor do erro pode ser reduzido. Face a estas incertezas, há uma tendência de se usar pequenos valores de tolerância, menores que os realmente necessários. O critério acima é o mais comumente usado. Uma variante utilizada para se testar a convergência é a seguinte: Os programas para cálculo de fluxo de potência também podem incluir outros tipos de testes para verif icar se o método de solução está conduzindo o sistema para a divergência ou para alguma solução estranha. Um teste razoável é checar após cada iteração se o valor das tensões nos barramentos estão dentro de uma faixa arbitrária (por exemplo, 0.8 a 1.2 pu), cancelando o processamento em caso contrário. Com isto pode evitar gastos desnecessários em tempo de computação e também problemas de overflow ou underflow nas operações matemáticas. O Método de New ton-Raphson em coordenadas polares consiste em expressar as tensões das barras em forma polar e as admitâncias do sistema em forma cartesiana, as expressões de equilíbrio de potência tornam-se: Separando as partes real e imaginária das equações acima, tem-se:
  39. 39. PI 1 ' j n j ' 1 V1 Vj (G1 j cos21j % B1j sen21j ) Q I 1 ' j n j ' 1 V1 Vj (G1 j sen21 j & B1j cos21j ) P I 2 ' j n j ' 1 V2 Vj (G2 j cos22j % B2j sen22j ) Q I 2 ' j n j ' 1 V2 Vj (G2 j sen22 j & B2j cos22j ) . PI k ' j n j ' 1 Vk Vj (Gk j cos2k j % Bk j sen2k j ) Q I k ' j n j ' 1 Vk Vj (Gk j sen2k j & Bk j cos2k j ) . . PI n ' j n j ' 1 Vn Vj (Gn j cos2nj % Bn j sen2nj ) Q I n ' j n j ' 1 Vn Vj (Gnj sen2n j & Bnj cos2n j ) 2k j ' 2k & 2j Vk ' * 0Vk * Vj ' * 0Vj * CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 39 onde para uma barra qualquer: Rearranjando e agrupando adequadamente as equações acima, obtém-se:
  40. 40. P I 1 & V1 j n j ' 1 Vj (G1 j cos21 j % B1j sen21j ) ' 0 P I 2 & V2 j n j ' 1 Vj (G2 j cos22 j % B2j sen22j ) ' 0 . PI k & Vk j n j ' 1 Vj (Gk j cos2k j % Bk j sen2k j ) ' 0 . . PI n & Vn j n j ' 1 Vj (Gn j cos2nj % Bnj sen2nj ) ' 0 Q I 1 & V1 j n j ' 1 Vj (G1 j sen21 j & B1 j cos21j ) ' 0 Q I 2 & V2 j n j ' 1 Vj (G2 j sen22 j & B2 j cos22j ) ' 0 . Q I k & Vk j n j ' 1 Vj (Gk j sen2k j & Bk j cos2k j ) ' 0 . . Q I n & V1 j n j ' 1 Vj (Gn j sen2n j & Bn j cos2nj ) ' 0 CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 40 ou
  41. 41. f1 (21, 22, ... , 2k , ... ,2n , V1, V2, ... , Vk , ... , Vn ) ' 0 f2 (21, 22, ... , 2k , ... ,2n , V1, V2, ... , Vk , ... , Vn ) ' 0 . fk (21, 22, ... , 2k , ... ,2n , V1, V2, ... , Vk , ... , Vn ) ' 0 . . fn (21, 22, ... , 2k , ... ,2n , V1, V2, ... , Vk , ... , Vn ) ' 0 g1 (21, 22, ... , 2k , ... ,2n , V1, V2, ... , Vk , ... , Vn ) ' 0 g2 (21, 22, ... , 2k , ... ,2n , V1, V2, ... , Vk , ... , Vn ) ' 0 . gk (21 , 22 , ... , 2k , ... ,2n , V1 , V2 , ... , Vk , ... , Vn ) ' 0 . . gn (21, 22, ... , 2k , ... ,2n , V1, V2, ... , Vk , ... , Vn ) ' 0 CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 41 Aplicando o método de New ton-Raphson a este conjunto de equações, tem-se:
  42. 42. )2i 1 )2 i 2 . )2i k . . )2i n )V i 1 )Vi 2 . )Vi k . . )V i n ' & J i &1 f i 1 f i 2 . f i k . . f i n g i 1 gi 2 . gi k . . g i n )2 i k )Vi k ' & J i &1 )P i k )Qi k 2(i %1) k V(i % 1) k ' 2i k V i k % )2i k )Vi k J i ' Hi N)i Mi L)i Hr s ' M fr M 2s N) r s ' M fr MVs CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 42 ou seja: Dai: A matriz jacobiana, neste caso, constará de 4 submatrizes, da forma: sendo os elementos que formam cada submatriz:: ! submatriz [H] ! submatriz [N']
  43. 43. Mr s ' M gr M 2s L) r s ' M gr M Vs )2k )Vk Vk Nr s ' Vs M fr M Vs Lr s ' Vs M gr M Vs )2i k )V i k Vi k ' & Hi Ni Mi Li &1 )Pi k )Q i k fr ' PI r & Vr j n j ' 1 Vj (Gr j cos2r j % Br j sen2r j ) Hr s L) r s Mr s N) r s θ CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 43 ! submatriz [M] ! submatriz [L'] Os índices r e s adotados acima referem-se aos nós do sistema e não propriamente aos eixos da matriz jacobiana. Com a finalidade de tornar iguais numericamente os termos e , e simétricos os termos e da matriz jacobiana, redefine-se o vetor das variações das incógnitas V e , como: com isso as submatrizes N' e L' passam a ser denominadas N e L e seus elementos redefinidos como: ! submatriz [N] ! submatriz [L] Logo: As equações de definição dos elementos das submatrizes [H], [N], [M] e [L], resultam em: ! submatriz [H]:
  44. 44. Hr s ' M fr M2s ' &Vr Vs (Gr s sen2r s & Br s cos2r s ) Hr r ' M fr M 2r ' &Vr j n j ' 1 j …r Vj (Br j cos2r j & Gr j sen2r j ) ' ' &Vr j n j ' 1 j … r Vj (Br j cos2r j & Gr j sen2r j ) & V2 r Br r % V2 r Br r ' ' &Vr j n j ' 1 Vj (Br j cos2r j & Gr j sen2r j ) % V2 r Br r ' ' V 2 r Br r & )Q i r % Q I r fr ' P I r & Vr j n j ' 1 Vj (Gr j cos2r j % Br j sen2r j ) Nr s ' Vs M fr M Vs ' &Vr Vs (Gr s cos2r s % Br s sen2r s ) Nr r ' Vr M fr M Vr ' &Vr j n j ' 1 j … r Vj (Gr j cos2r j % Br j sen2r j ) % 2Vr Gr r ' ' &Vr j n j ' 1 Vj (Gr j cos2r j % Br j sen2r j ) % Vr Gr r ' ' &Vr j n j ' 1 Vj (Gr j cos2r j % Br j sen2r j ) & V2 r Gr r ' ' &V2 r Gr r % )P i r & PI r gr ' QI r & Vr j n j ' 1 Vj (Gr j sen2r j & Br j cos2r j ) CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 44 - elementos de fora da diagonal (r … s): - elementos da diagonal (r = s): ! submatriz [N]: - elementos de fora da diagonal (r … s): - elementos da diagonal (r = s): ! submatriz [M]:
  45. 45. Mr s ' M gr M 2s ' Vr Vs (Gr s cos2r s % Br s sen2r s ) ' &Nr s Mr r ' M gr M 2r ' &Vr j n j ' 1 j … r Vj (Gr j cos2r j % Br j sen2r j ) & V 2 r Gr r % V 2 r Gr r ' ' &Vr j n j ' 1 Vj (Gr j cos2r j % Br j sen2r j ) % V2 r Gr r ' ' V2 r Gr r % )Pi r & P I r gr ' QI r & Vr j n j ' 1 Vj (Gr j sen2r j & Br j cos2r j ) Lr s ' Vs M gr M Vs ' &Vs Vr (Gr s sen2r s & Br s cos2r s ) ' Hr s Lr r ' Vr M gr M Vr ' &Vr j n j ' 1 j … r Vj (Gr j sen2r j & Br j cos2r j ) & 2Vr Br r ' ' &Vr j n j ' 1 Vj (Gr j sen2r j & Br j cos2r j ) & Vr Br r ' ' &Vr j n j ' 1 Vj (Gr j sen2r j & Br j cos2r j ) % V 2 r Br r ' ' V2 r Br r % )Qi r & QI r )Pi r )Qi r CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 45 - elementos de fora da diagonal (r … s): - elementos da diagonal (r = s): ! submatriz [L]: - elementos de fora da diagonal (r … s): - elementos da diagonal (r = s): Os valores e correspondem aos erros (desvios ou"mismatches") de potência ativa e reativa na barra (r), e são obtidos com as fórmulas já descritas. Cabe lembrar que não se pode obter o "mismatch" de potência reativa nas barras PV. Das expressões apresentadas pode-se notar que as submatrizes [H], [N], [M] e [L] apresentam simetria em relação à diagonal principal e que sempre que as barras (r) e (s) não estiverem diretamente conectadas, os termos H , M , N e L (e seus simétricos) serão nulos. Estasrs rs rs rs particularidades e mais as já relatadas nas equações apresentadas permitem economia no tempo computacional na montagem da matriz jacobiana, além do fato da matriz jacobiana ser uma matriz
  46. 46. M Pk M Vk ' 0 e MQk M Vk ' 0 )Pi )Qi ' & Hi Ni Mi Li )2i )Vi Vi 2(i % 1) V(i % 1) ' 2i Vi % )2i )Vi 0YN θk θk QI k V2 CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 46 esparsa e com estrutura de esparsidade semelhante à estrutura de esparsidade da matriz . Para se levar em conta os tipos de barras na utilização do método de New ton-Raphson tem-se que: ! barra tipo PQ: Para uma barra (k) qualquer, tipo PQ, como V e sãodesconhecidos, são necessários duask equações f e g .k k ! barra tipo PV: Paraumabarra (k) qualquer, tipo PV, como V é conhecido e é desconhecido, só é necessáriok uma equação f (a equação correspondente a pode ser desprezada).k Para as barras tipo PV, como o módulo da tensão não varia, todas as derivadas parciais com relação a esta tensão serão nulas: sendo por isto a tensão V eliminada do vetor coluna das incógnitas.k ! barra tipo : Paraabarra oscilante, como V e 2 são conhecidos, não é necessário nenhuma equação para esta barra. 5-2 – Métodos Desacoplados Os SEP apresentam, quando operando em regime normal, um fraco acoplamento entre os fluxos de potênciaativa e reativa (esta propriedade é mais efetiva para redes em tensões mais elevadas, acima de230kV).Os fluxos de potência ativa são fortemente influenciados pelo ângulo de fase das tensões dasbarras e praticamente independentes dos módulos das tensões. Já os fluxos de potência reativa são fortemente dependentes do módulo das tensões das barras e fracamente influenciados pelos ângulos de fase dessas tensões. Logo, pequenas variações na tensão não causam variações significativas na potência ativa e pequenas variações no ângulo não acarretam variações significativas na potência reativa. Os métodos desacoplados procuram tirar partido destas propriedades e estão intimamente relacionados com o método de New ton-Raphson tradicional. As equações básicas do método de New ton-Raphson em coordenadas polares são as seguintes:
  47. 47. Pot. Ativa Forte influência de 2 Praticamente independente de V Pot. Reativa Forte influência de V Praticamente independente de 2 Gr s < < Br s 2r s Y pequeno Y cos2r s • 1 sen2r s • 0 Nr s ' & Vr Vs (Gr s cos2r s % Br s sen2r s ) Nr r ' &V2 r Gr r % )Pi R & P I R Hr s ' & Vr Vs (Gr s sen2r s & Br s cos2r s ) Hr r ' V2 r Gr r & )Qi R % Q I R Nr s << Hr s Mr s ' Vr Vs (Gr s cos2r s % Br s sen2r s ) Mr r ' V2 r Gr r % )P i R & PI R )2 )V )P )Q θ CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 47 Os termos e que são as correções no ângulo e na tensão a cada iteração são valores aproximados (devido ao truncamento no termo de 1ª ordem das equações de fluxo de potência desenvolvidas segundo o método de Taylor). Como os resíduos e são calculados de maneira exata, a solução final pode ser obtida com qualquer precisão adotada, simplesmente prolongando-se o processo iterativo, independente da maior ou menor precisão das correções a cada iteração. Os métodos numéricos são mais efetivos quando incorporam em si as propriedades físicas dos sistemas aos quais são aplicados. Por isso, os métodos desacoplados desenvolvidos para a solução do fluxo de potência procuram explorar as características de acoplamento P e QV, ou seja: Este desacoplamento no método de New ton-Raphson traduz nos valores numéricos dos elementos das submatrizes [M] e [N]. Tem-se que: Os elementos das submatrizes [N] e [H] são dados por: Logo, pode observar que: Os elementos das submatrizes [M] e [L] são dados por:
  48. 48. Lr s ' &Vr Vs (Gr s sen2r s & Br s cos2r s ) Lr r ' V2 r Gr r % )Qi R & QI R Mr s << Lr s )Pi )Q i ' & Hi 0 0 Li )2i )Vi Vi )Pi ' & Hi )2i )Qi ' & Li )V i V i )Pi (V i k ,2 i k ) ' & Hi (V i k ,2 i k ) )2i )Qi (Vi k ,2i k ) ' & Li (Vi k ,2i k ) )Vi Vi 2(i % 1) ' 2i % )2i V(i % 1) ' V i % )Vi )Pi (V i k ,2 i k ) ' & Hi (V i k ,2 i k ) )2i 2(i % 1) ' 2i % )2i [2k ] [Vk ] [2k ] [Vk ] CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 48 Logo, pode observar que: Baseado no exposto acima foram desenvolvidos vários métodos para a solução do fluxo de potência explorando estas características. Estes métodos desacoplados alteram apenas o algoritmo de resolução, sem afetar o modelo da rede, por isso não afetam a solução final do fluxo de potência. No Método de New ton-Raphson Desacoplado (Decoupled Newton) despreza-se as submatrizes [M] e [N] e as equações do fluxo de potência tornam-se: Daí: As equações acima são denominadas equaçõesdo fluxo de potência desacopladas. As equações acima são resolvidas simultaneamente e depois atualizado os valores de e de , até obter-se a convergência final: Oesquema mais adequado consiste em resolver as equações do fluxo de potência desacoplado em alternância, sempre atualizando os valores, ora de , ora de , até obter-se a convergência final:
  49. 49. )Qi (Vi k ,2(i % 1 ) k ) ' & Li (Vi k ,2(i % 1) k ) )Vi Vi V(i % 1) ' V i % )Vi [H] ' [V] [H) ] [L] ' [V] [L)) ] ' [V] [L) ] [V] )Pi ' & V i H)i )2i )Qi ' & V i L)i Vi )Vi Vi )P i Vi ' & H)i )2i )Q i Vi ' & L) i )Vi H) r s ' &Vs (Gr s sen2r s & Br s cos2r s ) H) r r ' Q I r & )Q i r Vr % Vr Br r L) r s ' &(Gr s sen2r s & Br s cos2r s ) L) r r ' )Q i r & Q I r V2 r % Br r θ CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 49 Pode-se notar que no algoritmo na forma alternada as aproximações feitas (desprezando [M] e [N]) são parcialmente compensadas pela imediata correção das variáveis e V a cada meia iteração. Emalguns artigos os autores recomendam trocar a segunda equação do fluxo desacoplado por uma equação de corrente, o qual melhora o processo de convergência. O método desacoplado pode ainda sofrer uma modificação que, em alguns sistemas, pode apresentar uma convergência um pouco mais rápida. As submatrizes [H] e [L] podem ser escritas como: onde a matriz [V] é uma matriz diagonal cujos elementos são as magnitudes das tensões nodais. As equações do fluxo desacoplado ficam: Logo: onde os elementos destas submatrizes são:
  50. 50. Hr s ' Lr s ' &Vr Vs (Gr s sen2r s & Br s cos2r s ) Hr r ' Q I r & )Q i r % V 2 r Br r Lr r ' )Q i r & Q I r % V 2 r Br r Gr s < < Br s cos2k m . 1 sen 2k m . 0 V 2 r Br r > > )Qr & Q I r θ x r CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 50 Com a utilização do desacoplamento tanto a memória computacional exigida na utilização do algoritmo como o tempo computacional de cada iteração são reduzidos. O número de iterações para chegar a convergência é, geralmente, maior que o método clássico. Existem situações nos quais os subsistemas P2 e QV tem velocidades de convergência distintas: um dos subsistemas converge antes do outro. Nestes casos pode-se iterar somente com o subsistema ainda não convergido. Para que isto seja possível são adotados índices para indicar se os subsistemas P e QV estão convergidos. Ao final de cada meia iteração verifica-se se o outro subsistema está convergido, em caso afirmativo, volta-se a iterar no mesmo subsistema. Vários algoritmos são possíveis para a resolução alternada das equações do fluxo de potência pelo método desacoplado, sendo mais indicado resolver sempre as equações desacopladas utilizando os valores de [2] e [V] mais recentes. O Método de New ton-Raphson Desacoplado Rápido (Fast Decoupled) é um prolongamento do método desacoplado e foi desenvolvido por Alsac e Stott. Seja as expressões dos elementos das submatrizes [H] e [L]: As seguintes aproximações podem ser introduzidas: ! Em sistemas de transmissão, principalmente em alta tensão, x >> r. Para linhas de transmissão acima de 230 kV, a relação é maior do que 5, podendo chegar a 20 em linhas de 500 kV. Os transformadores também apresentam uma resistência desprezível. Logo, para um elemento qualquer entre as barras (r) e (s): ! Sob condições normais de carregamento, as defasagens angulares entre os barramentos do sistema apresentam um valor não muito elevado, donde pode-se aproximar: ! Asreatânciasshunt (cargas, reatores, capacitores, shunt de linhas) de um sistema de transmissão são muito maiores que as reatâncias série (linhas e transformadores). Logo, em pu, em valor absoluto, pode-se dizer:
  51. 51. Hr s ' Lr s . Vr Vs Br s Hr r ' Lr r . V 2 r Br r . Vr Vr Br r )P i ' & Vi B) Vi )2i )Q i ' & Vi B)) V i )Vi Vi )Pi Vi ' & B) V i )2i )Qi Vi ' & B)) Vi )Vi Vi )Pi Vi ' & B) V i )2i )Qi Vi ' & B)) )V i )Pi Vi ' & B) )2i )Qi Vi ' & B)) )V i )2 )V V [ 0YN ] CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 51 Com isso as expressões acima podem ser reescritas como: Logo as equações desacopladas ficam: As tensões a esquerda estão relacionadas com os termos )P e )Q. Logo: As tensões a direita estão relacionadas com os termos e . Logo: Os termos V a direita de [B’] influenciam os fluxos de potência reativa. Considerando estes termos como sendo fixos no valor 1 pu, tem-se as equações: que são as equações do método desacoplado rápido. Pode-se notar que: ! As submatrizes [B’] e [B”] são elementos da matriz , portanto só dependem dos parâmetros da rede, não dependendo das variáveis do sistema (módulo e ângulo das tensões das barras);
  52. 52. B) r s ' 1 xr s B) r r ' & j n j ' 1 1 xr r B)) r s ' Br s B)) r r ' Br r br s & 1 xr s [ 0YN ] CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 52 ! A submatriz [B’] tem dimensão da submatriz [H], portanto de (n - 1) x (n - 1), onde n é o número de barras do sistema. ! A submatriz [B”] tem dimensão da submatriz [L], portanto de n x n , onde n é o número dePQ PQ PQ barras PQ do sistema. O método desacoplado é completado com: ! Omite-se da submatriz [B’] a representação de componentes que afetam predominantemente os fluxos reativos (reatâncias shunt, taps em fase de transformadores); ! Omite-se da submatriz [B”] a representação de componentes que afetam os fluxos ativos (taps em quadratura de transformadores); ! Desprezam-se as resistências série no cálculo dos elementos de [B’], aproximando-se por . Isto não é muito importante mas segundo alguns autores contribui para a convergência. Com isso os elementos das submatrizes [B’] e [B”] são dados por: onde B e B são os elementos da matriz de susceptâncias [B] (parte imaginária da matriz ) ers rrr x é a reatância série da linha de transmissão ou transformador (em módulo).rs Com tudo isso as submatrizes [B’] e [B”] resultam reais, esparsas e constantes. Dependendo do método adotado para resolução das equações desacopladas, estas submatrizes necessitam ser invertidas ou triangularizadas apenas uma vez no começo da solução do fluxo de potência. A submatriz[B”] é simétrica e, se não existem transformadores defasadores no sistema (ou se existem, alternativamente), [B’] também resulta simétrica. A s equações do método desacoplado rápido são resolvidas rapidamente que é um dos maiores atrativo deste método. Vários algoritmos são possíveis para a resolução das equações do fluxo de potência desacoplado rápido, sendo mais indicado resolver sempre as equações alternativamente usando os valores de [2] e [V] mais recentes.
  53. 53. 125 MW 50 MVAr 1.04 pu ALFA-GER ALFA BETA TETA-GERTETA 1.035 pu 150 MW GAMA 220 MW 90 MVAr r S/km x S/km c nF/km R km Xd % CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 53 6 – EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO Obter o fluxo de potência para o SEP apresentado na figura 40 pelos métodos de New ton-Raphson e desacoplado rápido. Use uma tolerância de 0.1 MW/Mvar. Os dados do sistema estão apresentados nas tabelas 1 e 2. Figura 40 – Diagrama unifilar do SEP para cálculo de fluxo de potência Tabela 1 – Dados de linhas de transmissão De - Para Alfa - Beta 0.055 0.450 8.800 100 Beta - Teta 0.055 0.450 8.800 140 Alfa - Gama (1) 0.060 0.300 7.600 210 Alfa - Gama (2) 0.060 0.300 7.600 210 Gama - Teta 0.060 0.300 7.600 190 Tabela 2 – Dados dos transformadores De - Para Tensão S Número kV/kV MVA Unidades Alfa Ger - Alfa 16/230 110 13.2 2 Teta Ger - Teta 13.8/230 80 9.6 2
  54. 54. PARA CADA LT SC 5 = 1.25 + j0.51V = 1.04 0.0o j0.06 r = 0.0238 x = j0.1191 b/2 = j0.1591 r = 0.0104 x = j0.0851 b/2 = j0.0878(1) (4) (5) 1.035V2= G 2P = 1.5 j0.06 r = 0.0146 x = j0.1191 b/2 = j0.1229 r = 0.0216 x = j0.1078 b/2 = j0.1440 (6) (2) (3) S C = 2.2 + j0.9 3 (1) (2) (3) 0YN ' 0.0000 & j16.6667 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 & j16.6667 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 5.0143 & j24.6092 0.0000 % j16.6667 0.0000 % j0.0000 &3.2295 % j16.1477 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j16.6667 &1.7848 % j8.9238 (4) (5) (6) 0.0000 % j16.6667 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j16.6667 &3.2295 % j16.1477 0.0000 % j0.0000 &1.7848 % j8.9238 4.6452 & j43.9909 &1.4156 % j11.5825 0.0000 % j0.0000 &1.4156 % j11.5825 2.4268 & j19.6452 &1.0112 % j8.2732 0.0000 % j0.0000 &1.0112 % j8.2732 2.7959 & j33.5968 >max ' 0.1 MW/MVAr ' 0.1 100 ' 0.001 pu 0YN CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 54 Adotando numeração para os barramentos do sistema apresentado acima e adotando como potência de base 100 MVA, pode-se montar o seguinte diagrama unifilar em pu apresentado na figura 41. Figura 41 – Diagrama unifilar com os dados do SEP Com os dados acima pode-se montar a matriz : Admitindo a barra (1) como barra oscilante, não será necessário realizar nenhuma iteração para esta barra. A tolerância especificada corresponde a:
  55. 55. V0 1 ' 1.040/0.0E pu (barra V2) V0 2 ' 1.035/0.0E pu (barra PV) V0 3 ' 1.000/0.0E pu (barra PQ) V0 4 ' 1.000/0.0E pu (barra PQ) V0 5 ' 1.000/0.0E pu (barra PQ) V0 6 ' 1.000/0.0E pu (barra PQ) )P2 ' P I 2 & V2 V2 G22 % V6 (G26 cos226 % B26 sen226 ) ' ' 1.5 & 0.0 & 1.035[1.035× 0.0000 % 1.000× 0.0000] ' 1.5 pu )P3 ' P I 3 & V3 V3 G33 % V4 (G34 cos234 % B34 sen234 ) % V6 (G36 cos236 % B36 sen236 ) ' ' 0.0 & 2.2 & 1.000[1.000× 5.0143 % 1.000× (&3.2295) % % 1.0000× (&1.7848)] ' &2.2 pu )P4 ' P I 4 & V4 V1 (G41 cos241 % B41 sen241 ) % V3 (G43 cos243 % B43 sen243 ) % V4 G44 % V5 (G45 cos245 % B45 sen245 ) ' ' 0.0 & 1.000[1.040× 0.0000 % 1.000× (&3.2295) % % 1.0000× 4.6452 % 1.0000× (&1.4156)] ' 0.0 )P5 ' P I 5 & V5 V4 (G54 cos254 % B54 sen254 ) % V5 G55 % V6 (G56 cos256 % B56 sen256 ) ' ' 0.0 & 1.25 & 1.000[1.000× (&1.4156) % 1.000× 2.4268 % % 1.000× (&1.0112)] ' &1.25 pu )P6 ' P I 6 & V6 V2 (G62 cos262 % B62 sen262 ) % V3 (G63 cos263 % B63 sen263 ) % V5 (G65 cos265 % B65 sen265 ) % V6 G66 ' ' 0.0 & 1.000[1.035× 0.0000 % 1.000× (&1.7848) % % 1.000× (&1.0112) % 1.000× 2.7959] ' 0.0 [)P0 k ] [)Q0 k ] CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 55 Adotando como condição inicial para as tensões das barras os seguintes valores: pode-se obter os valores dos elementos dos vetores e , a fim de verificar o erro de potência:
  56. 56. )Q3 ' Q I 3 & V3 (&V3 B33 % V4 (G34 sen234 & B34 cos234 ) % V6 (G36 sen236 & B36 cos236 ) ' ' 0.0 & 0.9 & 1.000[&1.000× (&24.6092) & 1.000× 16.1477 & & 1.000× 8.9238] ' &0.4377 pu )Q4 ' Q I 4 & V4 V1 (G41 sen241 & B41 cos241 ) % V3(G43 sen243 & B43 cos243 ) & V4 B44 % V5 (G45 sen245 & B45 cos245 ) ' ' 0.0 & 1.000[&1.040× 16.6667 & 1.000× 16.1477 & & 1.000× (&43.9909) & 1.000× 11.5825] ' 1.0727 pu )Q5 ' Q I 5 & V5 V4 (G54 sen254 & B54 cos254 ) & V5B55 % V6 (G56 sen256 & B56 cos256 ) ' ' 0.0 & 0.5 & 1.000[&1.000× 11.5825 & 1.000× (&19.6452) & & 1.000× 8.2732] ' &0.2895 pu )Q6 ' Q I 6 & V6 V2 (G62 sen262 & B62 cos262 ) % V3(G63 sen263 & B63 cos263 ) % V5 (G65 sen265 & B65 cos265 ) & V6 B66 ' ' 0.0 & 1.000[&1.035× 16.6667 & 1.000× 8.9238 & & 1.000× 8.2732 & 1.000× (&33.5968)] ' 0.8502 pu * )P0 3 * ' 2.2 > 0.001 pu )Pn )Qn fn gn CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 56 Comparando o maior valor do erro de potência encontrado acima com o erro tolerado, tem-se: Com isso o processo iterativo inicia. O primeiro passo é montar a matriz jacobiana. Para isto é mais fácil montar inicialmente as quatro submatrizes [H], [N], [M] e [L], como indicado a seguir, onde e representam as funções e do erro de potência. ! Submatriz [H]:
  57. 57. [H] ' M )P2 M22 M )P2 M 23 M)P2 M 24 M )P2 M 25 M )P2 M 26 M )P3 M22 M )P3 M 23 M)P3 M 24 M )P3 M 25 M )P3 M 26 M )P4 M22 M )P4 M 23 M)P4 M 24 M )P4 M 25 M )P4 M 26 M )P5 M22 M )P5 M 23 M)P5 M 24 M )P5 M 25 M )P5 M 26 M )P6 M22 M )P6 M 23 M)P6 M 24 M )P6 M 25 M )P6 M 26 (2) (3) (4) (5) (6) H0 ' &17.2500 0.0000 0.0000 0.0000 17.2500 0.0000 &25.0715 16.1477 0.0000 8.9238 0.0000 16.1477 &45.0636 11.5825 0.0000 0.0000 0.0000 11.5825 &19.8557 8.2732 17.2500 8.9238 0.0000 8.2732 &34.4470 (2) (3) (4) (5) (6) [M] ' M )Q3 M 22 M )Q3 M 23 M)Q3 M24 M )Q3 M 25 M )Q3 M 26 M )Q4 M 22 M )Q4 M 23 M)Q4 M24 M )Q4 M 25 M )Q4 M 26 M )Q5 M 22 M )Q5 M 23 M)Q5 M24 M )Q5 M 25 M )Q5 M 26 M )Q6 M 22 M )Q6 M 23 M)Q6 M24 M )Q6 M 25 M )Q6 M 26 (2) (3) (4) (5) (6) M0 ' 0.0000 5.0143 &3.2295 0.0000 &1.7848 0.0000 &3.2295 4.6452 &1.4156 0.0000 0.0000 0.0000 &1.4156 2.4268 &1.0112 0.0000 &1.7848 0.0000 &1.0112 2.7959 (3) (4) (5) (6) CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 57 Substituindo os valores (iteração 0), obtém-se: ! Submatriz [M]: Substituindo os valores (iteração 0), obtém-se:
  58. 58. [N] ' V3 M )P2 MV3 V4 M )P2 M V4 V5 M )P2 M V5 V6 M )P2 M V6 V3 M )P3 MV3 V4 M )P3 M V4 V5 M )P3 M V5 V6 M )P3 M V6 V3 M )P4 MV3 V4 M )P4 M V4 V5 M )P4 M V5 V6 M )P4 M V6 V3 M )P5 MV3 V4 M )P5 M V4 V5 M )P5 M V5 V6 M )P5 M V6 V3 M )P6 MV3 V4 M )P6 M V4 V5 M )P6 M V5 V6 M )P6 M V6 (3) (4) (5) (6) N0 ' 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &5.0143 3.2295 0.0000 1.7848 3.2295 &4.6452 1.4156 0.0000 0.0000 1.4156 &2.4268 1.0112 1.7848 0.0000 1.0112 &2.7959 (2) (3) (4) (5) (6) [L ] ' V3 M )Q3 M V3 V4 M )Q3 M V4 V5 M)Q3 M V5 V6 M )Q3 M V6 V3 M )Q4 M V3 V4 M )Q4 M V4 V5 M)Q4 M V5 V6 M )Q4 M V6 V3 M )Q5 M V3 V4 M )Q5 M V4 V5 M)Q5 M V5 V6 M )Q5 M V6 V3 M )Q6 M V3 V4 M )Q6 M V4 V5 M)Q6 M V5 V6 M )Q6 M V6 (3) (4) (5) (6) L0 ' &24.1469 16.1477 0.0000 8.9238 16.1477 &42.9182 11.5825 0.0000 0.0000 11.5825 &19.4347 8.2732 8.9238 0.0000 8.2732 &32.7466 (3) (4) (5) (6) CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 58 ! Submatriz [N]: Substituindo os valores (iteração 0), obtém-se: ! Submatriz [L]: Substituindo os valores (iteração 0), obtém-se:
  59. 59. J0 ' &17.2500 0.0000 0.0000 0.0000 17.2500 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &25.0715 16.1477 0.0000 8.9238 &5.0143 3.2295 0.0000 1.7848 0.0000 16.1477 &45.0636 11.5825 0.0000 3.2295 &4.6452 1.4156 0.0000 0.0000 0.0000 11.5825 &19.8557 8.2732 0.0000 1.4156 &2.4268 1.0112 17.2500 8.9238 0.0000 8.2732 &34.4470 1.7848 0.0000 1.0112 &2.7959 0.0000 5.0143 &3.2295 0.0000 &1.7848 &24.1469 16.1477 0.0000 8.9238 0.0000 &3.2295 4.6452 &1.4156 0.0000 16.1477 &42.9182 11.5825 0.0000 0.0000 0.0000 &1.4156 2.4268 &1.0112 0.0000 11.5825 &19.4347 8.2732 0.0000 &1.7848 0.0000 &1.0112 2.7959 8.9238 0.0000 8.2732 &32.7466 )P0 k )Q 0 k ' & J0 )2 0 k )V0 k V0 k [ 0YN ] )20 k )V0 k V0 k )P0 k )Q0 k CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 59 Nas submatrizes [H], [M], [N] e [L], pode-se notar o grau de esparsidade, apesar de ser um sistema pequeno, em comparação com a matriz e também a simetria apresentada pelos valores numéricos de seus elementos. ! Matriz jacobiana: A dimensão da matriz jacobiana será 9 x 9, correspondendo a quatro barras tipo PQ e uma barra tipo PV. Utilizando-se das submatrizes obtidas pode-se montar a seguinte matriz jacobiana, para a primeira iteração: Obtida a matriz jacobiana pode-se montar a seguinte equação: A equação acima, para obtenção dos vetores incógnitas e , pode ser resolvida de várias maneiras, sendo uma das mais indicadas, inclusive para uso computacional, através da triangularização de Gauss da matriz jacobiana e a solução do sistema resultante por substituição de trás para frente. No presente exercício será feito a inversão da matriz jacobiana, visto que sua dimensão não é muito elevada e em seguida a multiplicação pelo vetor . Invertendo a matriz jacobiana resulta:
  60. 60. J0 &1 ' &0.2088 &0.0908 &0.0577 &0.0965 &0.1508 &0.0014 &0.0045 &0.0009 0.0043 &0.0908 &0.1078 &0.0577 &0.0715 &0.0908 0.0077 &0.0013 &0.0000 0.0018 &0.0577 &0.0577 &0.0577 &0.0577 &0.0577 0.0000 0.0000 0.0000 &0.0000 &0.0965 &0.0715 &0.0577 &0.1235 &0.0965 &0.0005 &0.0018 0.0059 0.0019 &0.1508 &0.0908 &0.0577 &0.0965 &0.1508 &0.0014 &0.0045 &0.0009 0.0043 0.0014 &0.0077 &0.0000 0.0005 0.0014 &0.0778 &0.0398 &0.0369 &0.0311 0.0045 0.0013 &0.0000 0.0018 0.0045 &0.0398 &0.0482 &0.0375 &0.0206 0.0009 0.0000 &0.0000 &0.0059 0.0009 &0.0369 &0.0375 &0.0867 &0.0322 &0.0043 &0.0018 0.0000 &0.0019 &0.0043 &0.0311 &0.0206 &0.0322 &0.0469 )20 2 )2 0 3 )20 4 )20 5 )2 0 6 )V0 3 V 0 3 )V0 4 V 0 4 )V0 5 V0 5 )V 0 6 V0 6 ' & J0 &1 1.5000 &2.2000 0.0000 &1.2500 0.0000 &0.4377 1.0727 &0.2895 0.8502 )2 0 k )V0 k V0 k CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 60 Logo os vetores de variação e ficam: Resultando em:
  61. 61. )20 2 )2 0 3 )20 4 )2 0 5 )20 6 )V0 3 V 0 3 )V0 4 V 0 4 )V0 5 V 0 5 )V0 6 V 0 6 ' &0.0069 &0.1971 &0.1125 &0.1651 &0.0939 0.0060 0.0393 0.0176 0.0392 21 2 ' 20 2 % )20 2 ' 0.0 & 0.0069 ' &0.0069 rad ' &0.40E 21 3 ' 20 3 % )20 3 ' 0.0 & 0.1871 ' &0.1871 rad ' &10.72E 21 4 ' 20 4 % )20 4 ' 0.0 & 0.1125 ' &0.1125 rad ' &6.45E 21 5 ' 20 5 % )20 5 ' 0.0 & 0.1651 ' &0.1651 rad ' &9.46E 21 6 ' 20 6 % )20 6 ' 0.0 & 0.0939 ' &0.0939 rad ' &5.38E V1 3 ' V0 3 % )V0 3 ' 1.0 % 0.0060 ' 1.0060 pu V1 4 ' V0 4 % )V0 4 ' 1.0 % 0.0393 ' 1.0393 pu V1 5 ' V0 5 % )V0 5 ' 1.0 % 0.0176 ' 1.0176 pu V1 6 ' V0 6 % )V0 6 ' 1.0 % 0.0392 ' 1.0392 pu [)P1 k ] [)Q1 k ] CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 61 ondeosvalores das correções dos ângulos estão em radianos e os valores das correções de tensão empu.Comestes valores pode-se obter as tensões e ângulos das variáveis para a primeira iteração: Com os valores acima pode-se obter e , os quais devem ser comparados com a tolerância de 0.001 pu. O processo iterativo irá continuar até ser obtida a convergência, o qual ocorre com 3 iterações. A tabela 3 ilustra os valores encontrados a cada iteração.
  62. 62. (2) (3) (4) (5) (6) [B) ] ' &16.6667 0.0000 0.0000 0.0000 16.6667 0.0000 &26.0744 16.7937 0.0000 9.2807 0.0000 16.7937 &45.2159 11.7556 0.0000 0.0000 0.0000 11.7556 &20.1524 8.3968 16.6667 9.2807 0.0000 8.3968 &34.3442 (2) (3) (4) (5) (6) (3) (4) (5) (6) [B) ] ' &24.6092 16.1477 0.0000 8.9238 16.1477 &43.9909 11.5825 0.0000 0.0000 11.5825 &19.6452 8.2732 8.9238 0.0000 8.2732 &33.5968 (3) (4) (5) (6) 1.0350/&0.40E 1.0350/&0.74E 1.0350/&0.76E 1.0060/&10.72E 0.9823/&10.83E 0.9819/&10.84E 1.0393/&6.45E 1.0191/&6.52E 1.0187/&6.53E 1.0176/&9.46E 0.9969/&9.54E 0.9966/&9.54E 1.0392/&5.38E 1.0230/&5.62E 1.0229/&5.63E )Pmax MW )Qmax MVAr [B) ] [B)) ] [B) ] [ 0YN ) ] [B)) ] [ 0YN ] CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 62 Tabela 3 – Valores de cada iteração para o método de New ton-Raphson Iteração 1 Iteração 2 Iteração 3 Barra (2) Barra (3) Barra (4) Barra (5) Barra (6) 7.271 0.052 0.000 Barra (3) (3) (3) 23.088 0.443 0.000 Barra (4) (4) (4) Pelo método Desacoplado Rápido é necessário montar as submatrizes e ao invés da matriz jacobiana, sendo que estas são montadas somente uma vez no início do processo iterativo. A matriz é obtida desprezando os elementos shunt do sistema (no caso, somente as susceptâncias das linhas de transmissão) e a resistência de todos os elementos. Com isso, montando a matriz pode-se extrair: A matriz como não existe transformadores defasadores no sistema, é extraída diretamente da matriz :
  63. 63. )Pi V i ' & [B) ] [)2i ] 1.45 &2.20 0.00 &1.25 0.00 ' & &16.6667 0.0000 0.0000 0.0000 16.6667 0.0000 &26.0744 16.7937 0.0000 9.2807 0.0000 16.7937 &45.2159 11.7556 0.0000 0.0000 0.0000 11.7556 &20.1524 8.3968 16.6667 9.2807 0.0000 8.3968 &34.3442 )20 2 )2 0 3 )20 4 )20 5 )2 0 6 )20 2 ' &0.0197 rad )20 3 ' &0.1997 rad )20 4 ' &0.1200 rad )20 5 ' &0.1765 rad )20 6 ' &0.1067 rad 2 1 2 ' 2 0 2 % )2 0 2 ' 0.0000 & 0.0197 ' &0.0197 rad ' &1.1E 2 1 3 ' 2 0 3 % )2 0 3 ' 0.0000 & 0.1997 ' &0.1997 rad ' &11.4E 2 1 4 ' 2 0 4 % )2 0 4 ' 0.0000 & 0.1200 ' &0.1200 rad ' &6.9E 2 1 5 ' 2 0 5 % )2 0 5 ' 0.0000 & 0.1765 ' &0.1765 rad ' &10.1E 2 1 6 ' 2 0 6 % )2 0 6 ' 0.0000 & 0.1067 ' &0.1067 rad ' &6.1E [)P0 k ] [)Q0 k ] CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos 63 Oselementos do vetor , nesta primeira iteração, são idênticos aos já obtidos anteriormente, devido a mesma estimativa inicial adotada para as tensões. Como o erro resultou superior à tolerância especificada será necessário proceder a correção dos ângulos. No método desacoplado rápido, na primeira "meia" iteração, os novos valores dos ângulos serão dados por: Tem-se então: Resolvendo o sistema de equações lineares acima, obtém-se: Com isto os novos valores dos ângulos passam a ser: Os elementos do vetor , utilizando os valores de tensão (módulo da iteração anterior e ângulo já corrigido nesta "meia" iteração), são:

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