Slides de Aula - Física Moderna - Aula IV

Prof. Joares Junior
UNIDADE IV
Física Moderna

 Mesmo obtendo vários sucessos, a antiga teoria quântica (1900 - 1920) tinha
sérios problemas conceituais. Na verdade, era uma mistura arbitrária de física
clássica com novos postulados, alheios e contraditórios à própria física clássica.
 Em 1926, Schrödinger foi convidado a dar um seminário sobre a teoria de Broglie.
Durante o seminário um dos ouvintes perguntou como ele podia falar abertamente
sobre uma onda associada ao elétron, se não havia nenhuma equação de onda.
 Na sequência, Erwin Schrödinger publicou a sua equação
que governa a propagação das ondas de matéria. Essa
equação, hoje tão famosa, permitiu prever corretamente
resultados experimentais em física atômica, molecular e
nuclear.
A equação de Schrödinger

 Para uma dimensão a equação de Schrödinger deve ser compatível com os
postulados de Broglie:
 Com a relação para a energia:
 A equação de Schrödinger para uma dimensão é:
A equação de Schrödinger

 A solução da equação de Schrödinger é a função de onda: Ψ(x,t).
 As funções de onda que satisfazem a equação de Schrödinger não são
necessariamente reais. Esse fato indica que não devemos atribuir às funções de
onda uma existência física.
 A função de onda Ψ(x,t) que satisfaz a equação de Schrödinger não é uma
função diretamente mensurável.
 As funções de onda possuem todas as informações,
respeitadas as leis da mecânica quântica, que podemos
saber a respeito de um sistema físico.
Função de onda - Interpretação de Born

A densidade de probabilidade é a probabilidade por unidade de comprimento de
encontrar a partícula próxima a x no tempo t. De acordo com Max Born:
 O postulado de Born pode ser escrito como: “se, no instante t, é feita uma medida
da localização da partícula associada à função de onda Ψ(x,t), então a
probabilidade P(x,t)dx de que a partícula seja encontrada em uma coordenada
entre x e x+dx é igual a Ψ* (x,t) .Ψ(x,t) dx”.
Função de onda - Interpretação de Born

Uma partícula deve necessariamente estar em alguma coordenada (x, para uma
dimensão), assim temos uma condição que a função de onda deve satisfazer:
 Apesar de a integral acima estar relacionada à probabilidade, essa condição
permite impor uma restrição matemática às possíveis soluções da equação
de Schrödinger.
Função de onda - Interpretação de Born - Normalização

 Para situações em que a energia potencial não depende da variável tempo, a parte
da variável tempo e da variável espaço na equação de onda pode ser separada.
Levada na equação de Schrödinger podemos escrever a solução para a
parte temporal:
Função de onda - Separação das funções de tempo e espaço

 A equação de Schrödinger independentemente do tempo:
 As soluções dessa equação são chamadas de autofunções e devem
satisfazer a condição:
Equação de Schrödinger independente do tempo

As condições que as autofunções (𝜓 𝑥 ) devem satisfazer são:
1) ψ (x) deve existir e satisfazer a equação de Schrödinger;
2) ψ (x) e (dψ(x) )/dx devem existir e serem contínuas;
3) ψ (x) e (dψ(x) )/dx devem existir e serem finitas;
4) ψ (x) e (dψ(x) )/dx devem ser unívocas;
5) ψ (x) deve ser quadraticamente integrável, para satisfazer a
condição de normalização.
Equação de Schrödinger independente do tempo - Autofunções

Considere as seguintes funções ψ (x)= x (0<x< ∞), ela:
a) pode ser uma autofunção.
b) não é contínua.
c) não é definida no intervalo.
d) não pode ser uma autofunção por não ser quadraticamente integrável.
e) não possui a primeira derivada.
Interatividade

d) não pode ser uma autofunção por não ser quadraticamente integrável.
Verificando se a função é quadraticamente integrável:
 Por não ser quadraticamente integrável a função dada não pode ser uma
autofunção na região considerada.
Resposta

 Essa situação também é chamada de partícula em uma caixa.
Matematicamente podemos considerar a função de energia potencial da
seguinte forma:
 Como a energia potencial é infinita do lado de fora do poço isso significa que a
partícula não pode deixar o poço. A função de onda deverá ser necessariamente
nula nessa região.
O Poço quadrado infinito
Fonte: Livro-texto

 Para a região interna do poço, ou seja, para 0<x<L.
 Condições de contorno:
A equação de Schrödinger para a região interna do poço:
Comparando com a equação do MHS:
Fazendo:
O Poço quadrado infinito - Solução
𝜓 0 = 𝜓 𝐿 = 0

 Solução proposta: a mesma do MHS.
 Os valores das constantes de integração (A e B) são determinados pelas
condições de contorno dadas. Para a condição teremos:
 Assim a função de onda passa a ser:

Para a condição teremos:
Essa condição para os valores de k levam à quantização da energia da partícula
dentro do poço:
 Para n=1 assim podemos escrever:

O diagrama de energia do poço quadrado infinito é:
 O sistema pode passar do nível n para um m, de
energia menor, emitindo um fóton de energia:
 O nível de energia mais baixa é chamado de
estado fundamental.
Fonte: Livro-texto
Energia
25E1
16E1
9E1
4E1
E1
0
n
5
4
3
2
1
V=0 L x

Para determinar a constante de normalização, considerando:
 Usando substituição trigonométrica:

 As autofunções que são soluções do poço quadrado infinito são:
 O número quântico “n” (inteiro) especifica
a autofunção de onda e a sua energia
correspondente.
O Poço quadrado infinito - Solução - Autofunções
Fonte: Livro-texto

Considere um elétron de massa 9,11 × 10−31
𝑘𝑔 confinado em uma caixa
unidimensional de comprimento L=0,1 nm (aproximadamente o tamanho de um
átomo) no seu nível fundamental. A energia desse nível será:
a) 37,9 eV
b) 2,2 eV
c) 158,7 eV
d) 9,4 KeV
e) 0,783 MeV
Interatividade

a) 37,9 eV
Para encontrarmos esse valor, voltemos à expressão:
 Para o nível fundamental n=1, assim:
Resposta

 Consideremos uma partícula submetida a uma energia potencial do tipo
função degrau.
 Considerando a condição que a energia da partícula seja menor que o “degrau”.
O degrau de potencial
Fonte: Livro-texto
Fonte: Livro-texto

 Imaginemos que a partícula esteja se movendo na região em que x<0 em direção
a x=0, na qual o potencial muda abruptamente.
 Temos que encontrar a solução da equação de Schrödinger para E<V0 nas
duas regiões.
 Para a região x<0, temos a equação:
 Para a região x>0, temos a equação:

Para a região x<0, a solução da equação é da forma de funções harmônicas que
podem ser escritas como funções exponenciais complexas:
Para a região x>0, a solução é do tipo função exponencial, como:

 Estudemos o comportamento das soluções para as duas regiões:
 Para 𝑥 → +∞ (x>0), a função de onda deve tender a zero, por causa dessa
condição, a constante C deve ser nula (C=0), assim teremos:
 Para a continuidade, temos que estudar o comportamento da função de onda e de
sua primeira derivada em x=0.

Para a continuidade da derivada da função, teremos:
Para x=0, implica:
Resolvendo o sistema formado pelas duas equações em
função do parâmetro D, escrevemos:

 Para a região x<0, temos uma onda harmônica se propagando em sentido da
posição x=0 (como se a partícula se encaminhasse para essa posição) e outro
termo relacionado a uma onda harmônica se propagando no sentido de x
decrescente (como se a partícula tivesse sido refletida na barreira de potencial).
 Coeficiente de reflexão: a razão da amplitude das ondas refletidas pela amplitude
das ondas incidentes.

 Isso significa que para uma partícula incidente sobre o degrau de potencial, com
energia menor do que a altura do degrau, tem probabilidade igual a um de ser
refletida (ou seja, é sempre refletida). Essa afirmação é compatível com as ideias
da Física Clássica. Mas, quanticamente nem todas as partículas serão refletidas
exatamente em x=0. Ocorre o fenômeno de penetração da região classicamente
proibida. É importante entendermos que a penetração não significa que a partícula
seja mantida na região classicamente proibida.
Fonte: Livro-texto

 Como a razão é que e-2k2x cai rapidamente a zero quando x é muito
maior que aproximamos:
O comprimento de penetração na barreira de potencial é:
Fonte: Livro-texto

Considere uma partícula de poeira com massa, aproximadamente, igual a
4,0.10-14 kg, se movendo com velocidade muito baixa, próxima de 10-2 m/s. Se essa
partícula atinge um degrau de potencial de altura duas vezes a sua energia cinética,
vinda da região à esquerda do potencial (livre de sua ação), ela penetrará um
comprimento próximo de:
a) 2.10-19 m
b) 7. 10-16 m
c) 3. 10-12 m
d) 6 . 10-11 m
e) 2 . 10-10 m
Interatividade

a) 2.10-19 m
Calculando a energia cinética:
Usando a expressão:
Resposta

 Na mecânica quântica, a função de onda solução da equação de Schrödinger está
relacionada à densidade de probabilidade.
O valor esperado de qualquer função f(x) é definido como:
 Como a função de onda contém informações a respeito do
comportamento quântico da partícula, precisamos, a partir
da função de onda, extrair informações de grandezas
mensuráveis associadas à partícula.
Valores esperados e operadores

 A partir da função de onda, precisamos extrair informações de grandezas
mensuráveis associadas à partícula, para tal, definimos o operador.
 O operador é, como o nome diz, uma operação que deve ser feita na função de
onda e representa a grandeza física observável.
Por exemplo, para o momento linear, o operador é:
 Para calcular o valor esperado do momento linear de uma partícula, devemos
“operar” na função de onda da seguinte forma:

Tabela com operadores da MQ:
Símbolo Grandeza Operador
f(x)
Qualquer função de x, como posição x
ou a energia potencial V(x)
f(x)
px Componente x do momento
py Componente y do momento
pz Componente z do momento
Ec Energia cinética
H
Hamiltoniano (energia total)
dependente do tempo
H
Hamiltoniano (energia total)
independentemente do tempo
Fonte: livro-texto

 Exemplo: considere a função de onda do poço de potencial infinito no estado
fundamental (n = 1). Determine o valor esperado do momento linear.
 Como, para esse estado, a partícula possui probabilidade
igual de se mover para a esquerda e para a direita, o
momento médio é nulo.

Para o estado fundamental da função de onda do poço de potencial infinito, o valor
esperado da energia cinética é:
a)
b)
Interatividade
c)
d)
e)

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