Sistema. De número

1. Ensino e aprendizagem de
números e operações:
perspectivas
Vinício de Macedo Santos
Faculdade de Educação - USP

2. Os números naturais e as operações
fundamentais
OBJETIVOS
• Reunir, apresentar e discutir informações
histórico-conceituais sobre os números
• Discutir diferentes abordagens dos
números na escola
• Refletir sobre concepções teóricas que
fundamentem a abordagem dos números

3. Algumas questões sobre o tema :
• O que são e para que servem os
números?
• Como se constituíram historicamente
• Como se apresentam no nosso
cotidiano ?
• Como podemos trabalhar com os
números e as operações?

4. OS NÚMEROS
1. Caracterização
Usos
- Contar (rotina, quantos, qual)
- Numerar (identificar, diferenciar, localizar, ordenar,
codificar, nomear)
- Medir (régua, termometro, cronometro, balança etc.)
- Operar (adição, subtração…)
Contextos numéricos: seqüência verbal, contagem,
cardinal, ordinal, medida, código, tecla/botão etc.

5. 2. Surgimento e desenvolvimento
Os sistemas cardinal e ordinal
1. A unidade (diferenciação entre um e
muitos)
2. A coordenabilidade (comparação: menos, mais,
igual)
3. O registro (descrição de uma idéia, uso
de instrumentos)
4. Nomear, etiquetar (palavras, símbolos)

6. 5. A ordem (organizar a lista segundo critérios,
“ o que tem mais vai depois”)
6. O sistema de numeração (invenção da
base)
7. Contar (critério antropomórfico, utilização da
seqüência ordenada de palavras-número)
8. Os adjetivos (ordinais: primeiro,
segundo….e cardinais: unidade, par, trio,
quadra, quinteto…)

7. 3. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
• Representação simples (pedras e marcas
para cada unidade)
• Agrupamento simples (um pacote para
cada grupo)
• Agrupamento múltiplo (pacotes de
pacotes, Ex. sistema egípcio)
• Sistemas multiplicativos e posicionais
(babilônico, maia, hindu-arábico)

8. 4. Cálculo e operações
• Ábacos
• Algoritmos – cálculo escrito
• Operações e técnicas operatórias
• Cálculo mental
• Estimativa e aproximações
• Calculadoras
• Computadores

9. Abordagens dos números e
operações na escola
Abordagem 1
1. Os números são estudados numa progressão,
do menor para o maior, do simples para o
complexo, segmentando-se em grupos, por
meio de repetição, baseado em regras de
escrita do número.
2. As operações são enfatizadas regras de
cálculo e técnicas operatórias
3. Destrezas no cálculo e na memorização

10. Abordagens dos números e
operações na escola
Abordagem 2
• Os números são estudados a partir da definição de
números dada pelos matemáticos. Os números são
tomados como classe de conjuntos que podem ser
postos em correspondência termo a termo e que podem
ser ordenados.
• Ênfase em atividades pré-numéricas (classificação,
seriação, ordenação..) com apoio em Piaget
• No que se refere às operações fundamentais é dada
certa atenção à idéias associadas e certa atenção à
compreensão das técnicas operatórias. Recurso a
materiais manipuláveis.

11. Abordagens dos números e
operações na escola
Abordagem 3
• Considera-se com maior ênfase os usos dos números
em diferentes situações e contextos
• Leva-se em conta as competências numéricas dos
alunos e seus conhecimentos iniciais e hipóteses quer
como pontos de apoio quer como possíveis dificuldades
• Os conhecimentos numéricos ganham sentido nos
problemas que os alunos conseguem resolver
• O trabalho com operações apóia-se na resolução de
diferentes tipos de problemas, nas idéias dessas
operações, na utilização de modelos, na compreensão
dos algoritmos.

12. Abordagens dos números e operações
na escola - Abordagem 3
Levar em conta os conhecimentos iniciais dos alunos
com respeito ao numérico, sua percepção, suas
hipóteses (como ponto de apoio, como dificuldades para
chegar a um novo conhecimento)
Trabalho com números:
- como contagem
- como memória de quantidade e de posição
- como possibilidade de antecipar resultados (contagem,
recontagem, sobrecontagem, descontagem)
- Diferentes domínios de números (visualizáveis,
familiares, frequentados, números grandes/muito
grandes)

13. Abordagens dos números e operações
na escola - Abordagem 3
Trabalho com operações fundamentado na
teoria dos campos conceituais (Vergnaud)
incorporada pelos PCN :
1. Adição-subtração (como campo aditivo)
- Simultaneamente ao trabalho com números
- Modelos lineares, cardinais, medidas/Cuisenaire
- Análise de números (decomposição, comparação)
- Fatos numéricos e tabuadas, algoritmos
- Resolução de problemas (combinação de estados,
transformação, comparação, combinação de
transformações)

14. Abordagens dos números e operações
na escola - Abordagem 3
2. Multiplicação e divisão (como campo
multiplicativo)
• trabalho que requer certo domínio do número e da sua
representação
• Uso de modelos (lineares/reta, cardinais, combinatórios,
com medidas/Cuisenaire, disposição retangular etc.)
• Resolução de problemas (comparação,
proporcionalidade, configuração retangular,
combinatória, adição de parcelas iguais)
• Tabuadas
• Divisão simultânea à multiplicação

15. Perspectivas atuais de trabalho
com números e operações
A construção do sentido do conceito de número para o
aluno
1. No poder que o conceito confere ao aluno de dominar e resolver
problemas para os quais o número constitui um instrumento
pertinente
2. No poder que o aluno têm sobre o conceito, poder de captar
propriedades, de utilizar uma linguagem (simbólica) que permita
explicitá-lo, estabelecer conexões com outros conceitos
3. A construção dos conhecimentos numéricos do aluno pode se
apoiar na dialética instrumento-objeto (Douady) na qual os
números intervêm alternadamente como instrumentos eficazes
para a resolução de certos problemas e como objetos
identificados que podem ser estudados por si mesmos.

16. Concepções teóricas que fundamentam o
ensino e a aprendizagem dos números e
operações na perspectiva atual
1. A FUNÇÃO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA
CONSTRUÇÃO DOS CONHECIMENTOS
Muitos conhecimentos (saberes, concepções,
representações) são elaborados e ganham sentido através das
ações finalizadas, isto é, permitindo resolver um problema,
responder a uma questão, numa situação de que o sujeito foi
capaz de se apropriar
2. AS INTERAÇÕES SOCIAIS
Aprender faz-se também num contexto de interações sociais
Interações entre os pares: confrontação, troca, alcance e
legitimação
Interações com o adulto: função mediadora/reguladora.

17. Concepções teóricas que
fundamentam a abordagem dos
números
3. DOS CONHECIMENTOS ANTIGOS AOS CONHECIMENTOS NOVOS
Os conhecimentos não se amontoam, não se acumulam, não se
constroem a partir do nada; a sua elaboração está sujeita a rupturas e
a reestruturações. Aprende-se a partir de, mas também contra o que já
se sabe.
4. A FUNÇÃO DO TREINO E A NECESSIADE DAS TOMADAS DE
CONSCIÊNCIA
Aprender, raramente se faz de uma só vez. Aprender, é também
recomeçar, treinar, voltar atrás, portanto repetir, mas repetir
compreendendo o que se faz e porque é que se faz.
Repetição/ memorização de modo consciente e voluntário
Tornar eficaz determinado procedimento e que reduz o custo de certas tarefas.
Para se tornarem um dia transferíveis para novas situações de
utilização, os conhecimentos devem ser reconhecidos, nomeados,
descontextualizados.

18. Concepções teóricas que
fundamentam a abordagem dos
números
5. A DISPONIBILIDADE DOS CONHECIMENTOS
Um conhecimento não é plenamente operatório a
não ser que seja mobilizável em situações diferentes
das que serviram para lhes dar origem.