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Sistemas de Numera¸˜o
                  ca

Alberto Manuel Brand˜o Sim˜es
                    a     o
 alberto.simoes@eu.ipp.pt


    6 de Outubro de 2009




    Alberto Sim˜es
               o     Sistemas de Numera¸˜o
                                       ca
Sistema de Numera¸˜o Decimal
                 ca

          Porque usamos dez algarismos?




                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Decimal
                 ca

          Porque usamos dez algarismos?




                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Decimal
                 ca




  Como conseguimos contar mais de 10 objectos?




                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Decimal
                 ca




  Como conseguimos contar mais de 10 objectos?

   S´ temos 10 digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
    o




                  Alberto Sim˜es
                             o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                     ca
Sistema de Numera¸˜o Decimal
                 ca




  Como conseguimos contar mais de 10 objectos?

   S´ temos 10 digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
    o

         Solu¸˜o: realizamos combina¸˜es...
             ca                     co




                  Alberto Sim˜es
                             o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                     ca
Sistema de Numera¸˜o Decimal
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                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Decimal
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                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Decimal
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                              o      Sistemas de Numera¸˜o
                                                       ca
Sistema de Numera¸˜o Decimal
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0   10   20   30     40         50       60         70       80   90   100
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7   17   27   37     47         57       67         77       87   97   107
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                   Alberto Sim˜es
                              o      Sistemas de Numera¸˜o
                                                       ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a

                        Problema




                        transistor
                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a

                        Problema




      s´ tem dois estados: ligado ou desligado
       o
                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a




    Como representar o estado de um transistor?




                     Alberto Sim˜es
                                o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a




    Como representar o estado de um transistor?
        ligado / desligado




                      Alberto Sim˜es
                                 o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                         ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a




    Como representar o estado de um transistor?
        ligado / desligado
        on / off




                      Alberto Sim˜es
                                 o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                         ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a




    Como representar o estado de um transistor?
        ligado / desligado
        on / off
        batata / cebola




                      Alberto Sim˜es
                                 o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                         ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a




    Como representar o estado de um transistor?
        ligado / desligado
        on / off
        batata / cebola
        verdadeiro / falso




                      Alberto Sim˜es
                                 o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                         ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
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    Como representar o estado de um transistor?
        ligado / desligado
        on / off
        batata / cebola
        verdadeiro / falso
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                      Alberto Sim˜es
                                 o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                         ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a



    Como contar mais de dois objectos com dois d´
                                                ıgitos?




                     Alberto Sim˜es
                                o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a



    Como contar mais de dois objectos com dois d´
                                                ıgitos?
        Realizar combina¸˜es...
                        co




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                      Alberto Sim˜es
                                 o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                         ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a



    Como contar mais de dois objectos com dois d´
                                                ıgitos?
        Realizar combina¸˜es...
                        co




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                      Alberto Sim˜es
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Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a



    Como contar mais de dois objectos com dois d´
                                                ıgitos?
        Realizar combina¸˜es...
                        co



                                        100
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                      Alberto Sim˜es
                                 o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                         ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a



    Como contar mais de dois objectos com dois d´
                                                ıgitos?
        Realizar combina¸˜es...
                        co
                                                               1000
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                      Alberto Sim˜es
                                 o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                         ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a



     Como contar mais de dois objectos com dois d´
                                                 ıgitos?
          Realizar combina¸˜es...
                          co
                                                                 1000 = 810
                                                                 1001 = 910
                                          100 = 410              1010 = 1010
0 = 010           10 = 210                101 = 510              1011 = 1110
1 = 110           11 = 310                110 = 610              1100 = 1210
                                          111 = 710              1101 = 1310
                                                                 1110 = 1410
                                                                 1111 = 1510




                        Alberto Sim˜es
                                   o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                           ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Descodifica¸˜o
          ca




  Como converter rapidamente bin´rio em decimal?
                                a




                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                          ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Descodifica¸˜o
          ca




  Como converter rapidamente bin´rio em decimal?
                                a
       Aprender com o formato decimal...

            935610 = 9 × 103 + 3 × 102 + 5 × 101 + 6 × 100
                        9000 + 300 + 50 + 6 = 935610




                        Alberto Sim˜es
                                   o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                           ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Descodifica¸˜o
          ca




  Como converter rapidamente bin´rio em decimal?
                                a
       Aprender com o formato decimal...

            935610 = 9 × 103 + 3 × 102 + 5 × 101 + 6 × 100
                        9000 + 300 + 50 + 6 = 935610

       E aplicar no novo sistema de numera¸˜o...
                                          ca

       11012 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
                  1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 8 + 4 + 1 = 1310




                        Alberto Sim˜es
                                   o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                           ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Codifica¸˜o
       ca




  Como converter decimal em bin´rio?
                               a

                                431      2
                                 31     215
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                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                          ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Codifica¸˜o
       ca




  Como converter decimal em bin´rio?
                               a

                           431           2
                            31          215        2
                            11           15       107
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                       Alberto Sim˜es
                                  o            Sistemas de Numera¸˜o
                                                                 ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Codifica¸˜o
       ca




  Como converter decimal em bin´rio?
                               a

             431    2
              31   215       2
              11    15      107       2
               1      1        7      53   2
                               1      13   26      2
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                                            0       1     6        2
                                                          0        3   2
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                          Alberto Sim˜es
                                     o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                             ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Codifica¸˜o
       ca



  Como converter decimal em bin´rio?
                               a

             431    2
              31   215     2
              11    15    107       2
               1     1      7       53    2
                            1       13    26     2
                                     1     6     13      2
                                           0      1      6    2
                                                         0    3   2
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                         Alberto Sim˜es
                                    o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                            ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Codifica¸˜o
       ca



  Como converter decimal em bin´rio?
                               a

             431    2
              31   215     2
              11    15    107       2
               1     1      7       53    2
                            1       13    26     2
                                     1     6     13      2
                                           0      1      6    2
                                                         0    3   2
                                                              1   1
                          110101111

                         Alberto Sim˜es
                                    o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                            ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Adi¸˜o
   ca




                           1      1     1     0
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                 Alberto Sim˜es
                            o         Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Adi¸˜o
   ca




                           1      1     1     0
                    +      1      0     1     1
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                 Alberto Sim˜es
                            o         Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Adi¸˜o
   ca




                                  1
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                    +      1      0     1     1
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                 Alberto Sim˜es
                            o         Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Adi¸˜o
   ca




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                 Alberto Sim˜es
                            o         Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Adi¸˜o
   ca




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                 Alberto Sim˜es
                            o         Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Adi¸˜o
   ca




                    1      1      1
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                 Alberto Sim˜es
                            o         Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Subtrac¸˜o
       ca




                           1      1     1    0
                    –      1      0     1    1
                           ?      ?     ?    ?




                 Alberto Sim˜es
                            o         Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Subtrac¸˜o
       ca




                                        *
                          1       1     1    0
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                          ?       ?     ?    1




                 Alberto Sim˜es
                            o         Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Subtrac¸˜o
       ca




                                  *     *
                          1       1     1     0
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                 Alberto Sim˜es
                            o         Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Subtrac¸˜o
       ca




                                  *     *
                          1       1     1     0
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                 Alberto Sim˜es
                            o         Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Subtrac¸˜o
       ca




                                  *     *
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                 Alberto Sim˜es
                            o         Sistemas de Numera¸˜o
                                                        ca
Bits e Bytes



     A unidade m´
                ınima de informa¸˜o ´ o bit:
                                ca e
         armazena um 0 ou 1




                      Alberto Sim˜es
                                 o     Sistemas de Numera¸˜o
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                ınima de informa¸˜o ´ o bit:
                                ca e
         armazena um 0 ou 1
     Um byte corresponde a:
         n´mero m´
          u         ınimo de bits necess´rios para armazenar o conjunto
                                        a
         de instru¸˜es de um processador;
                  co
         espa¸o m´
              c    ınimo endere¸avel num computador;
                                c




                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                          ca
Bits e Bytes



     A unidade m´
                ınima de informa¸˜o ´ o bit:
                                ca e
         armazena um 0 ou 1
     Um byte corresponde a:
         n´mero m´
           u        ınimo de bits necess´rios para armazenar o conjunto
                                        a
         de instru¸˜es de um processador;
                  co
         espa¸o m´
              c    ınimo endere¸avel num computador;
                                c
         embora tenha tomado muitos tamanhos, actualmente ´     e
         indiscut´ a sua associa¸˜o a uma sequˆncia de 8 bits.
                 ıvel              ca              e




                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                          ca
Bits e Bytes



     A unidade m´
                ınima de informa¸˜o ´ o bit:
                                ca e
         armazena um 0 ou 1
     Um byte corresponde a:
         n´mero m´
           u        ınimo de bits necess´rios para armazenar o conjunto
                                        a
         de instru¸˜es de um processador;
                  co
         espa¸o m´
              c    ınimo endere¸avel num computador;
                                c
         embora tenha tomado muitos tamanhos, actualmente ´     e
         indiscut´ a sua associa¸˜o a uma sequˆncia de 8 bits.
                 ıvel              ca              e
         um byte consegue armazenar 256 valores diferentes (28 ).




                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                          ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca

 Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
                                          a
     raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
                                           u         ´
     habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
                                               u
     ou mesmo de v´rios...
                  a




                      Alberto Sim˜es
                                 o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                         ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca

 Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
                                          a
     raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
                                           u         ´
     habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
                                               u
     ou mesmo de v´rios...
                  a
     andar com 8 ou mais d´
                          ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros;
                                 e




                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                          ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca

 Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
                                          a
     raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
                                           u         ´
     habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
                                               u
     ou mesmo de v´rios...
                  a
     andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros;
                                   e
     usar o sistema decimal n˜o ajuda:
                              a
         convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata;
                a     a                  a e
         a convers˜o tem de ser feita como um todo;
                  a




                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                          ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca

 Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
                                          a
     raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
                                           u         ´
     habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
                                               u
     ou mesmo de v´rios...
                  a
     andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros;
                                   e
     usar o sistema decimal n˜o ajuda:
                              a
         convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata;
                a     a                  a e
         a convers˜o tem de ser feita como um todo;
                  a
     solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base
         ca                            ca
     m´ltipla de 2:
       u




                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                          ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca

 Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
                                          a
     raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
                                           u         ´
     habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
                                               u
     ou mesmo de v´rios...
                  a
     andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros;
                                   e
     usar o sistema decimal n˜o ajuda:
                              a
         convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata;
                a     a                  a e
         a convers˜o tem de ser feita como um todo;
                  a
     solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base
         ca                            ca
     m´ltipla de 2:
       u
         numera¸˜o octal (base 8);
               ca




                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                          ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca

 Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
                                          a
     raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
                                           u         ´
     habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
                                               u
     ou mesmo de v´rios...
                  a
     andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros;
                                   e
     usar o sistema decimal n˜o ajuda:
                              a
         convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata;
                a     a                  a e
         a convers˜o tem de ser feita como um todo;
                  a
     solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base
         ca                            ca
     m´ltipla de 2:
       u
         numera¸˜o octal (base 8);
               ca
         numera¸˜o hexadecimal (base 16);
               ca




                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                          ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca

 Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
                                          a
     raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
                                           u         ´
     habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
                                               u
     ou mesmo de v´rios...
                  a
     andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros;
                                   e
     usar o sistema decimal n˜o ajuda:
                              a
         convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata;
                a     a                  a e
         a convers˜o tem de ser feita como um todo;
                  a
     solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base
         ca                            ca
     m´ltipla de 2:
       u
         numera¸˜o octal (base 8);
               ca
         numera¸˜o hexadecimal (base 16);
               ca
         numera¸˜o com base 64;
               ca


                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                          ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9




                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F

                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca
0                10
1                11
2                12
3                13
4                14
5                15
6                16
7                17
8                18
9                19
A                1A
B                1B
C                1C
D                1D
E                1E
F                1F

                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca
0                10                                  20
1                11                                  21
2                12                                  22
3                13                                  23
4                14                                  24
5                15                                  25
6                16                                  26
7                17                                  27
8                18                                  28
9                19                                  29
A                1A                                  2A
B                1B                                  2B
C                1C                                  2C
D                1D                                  2D
E                1E                                  2E
F                1F                                  2F

                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca
016 = 010        1016 = 1610                         2016 = 3210
116 = 110        1116 = 1710                         2116 = 3310
216 = 210        1216 = 1810                         2216 = 3410
316 = 310        1316 = 1910                         2316 = 3510
416 = 410        1416 = 2010                         2416 = 3610
516 = 510        1516 = 2110                         2516 = 3710
616 = 610        1616 = 2210                         2616 = 3810
716 = 710        1716 = 2310                         2716 = 3910
816 = 810        1816 = 2410                         2816 = 4010
916 = 910        1916 = 2510                         2916 = 4110
A16 = 1010       1A16 = 2610                         2A16 = 4210
B16 = 1110       1B16 = 2710                         2B16 = 4310
C16 = 1210       1C16 = 2810                         2C16 = 4410
D16 = 1310       1D16 = 2910                         2D16 = 4510
E16 = 1410       1E16 = 3010                         2E16 = 4610
F16 = 1510       1F16 = 3110                         2F16 = 4710

                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Codifica¸˜o / Descodifica¸˜o
       ca              ca




  Como converter hexadecimal em decimal?
       fazer o que ja faz´
                         ıamos com o bin´rio:
                                        a

          DEAD16 = D × 163 + E × 162 + A × 161 + D × 160
                     = 13 × 163 + 14 × 162 + 10 × 16 + 13 × 1
                     = 13 × 4096 + 14 × 256 + 10 × 16 + 13
                     = 53248 + 3584 + 160 + 13 = 57005




                             Alberto Sim˜es
                                        o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                                ca
Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
                 ca     a
Codifica¸˜o / Descodifica¸˜o
       ca              ca




  Como converter hexadecimal em decimal?
       fazer o que ja faz´
                         ıamos com o bin´rio:
                                        a

          DEAD16 = D × 163 + E × 162 + A × 161 + D × 160
                     = 13 × 163 + 14 × 162 + 10 × 16 + 13 × 1
                     = 13 × 4096 + 14 × 256 + 10 × 16 + 13
                     = 53248 + 3584 + 160 + 13 = 57005

  Como converter decimal em hexadecimal?
       realizar divis˜es sucessivas por 16...
                     o




                             Alberto Sim˜es
                                        o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                                ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca




 O sistema hexadecimal pode ser convertido do e para o bin´rio de
                                                          a
 forma muito simples:

                       1101011000011100




                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                          ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca



 O sistema hexadecimal pode ser convertido do e para o bin´rio de
                                                          a
 forma muito simples:

                      1101 0110 0001 1100




                       Alberto Sim˜es
                                  o     Sistemas de Numera¸˜o
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Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca



 O sistema hexadecimal pode ser convertido do e para o bin´rio de
                                                          a
 forma muito simples:

                      1101 0110 0001 1100

                                        ⇓

                                D61C




                       Alberto Sim˜es
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                                                              ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca




 Usos t´
       ıpicos:
     cores RGB em HTML: #4F980A




                  Alberto Sim˜es
                             o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                     ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca




 Usos t´
       ıpicos:
     cores RGB em HTML: #4F980A
        4F = 79 em 256 de RED (30%)




                    Alberto Sim˜es
                               o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                       ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca




 Usos t´
       ıpicos:
     cores RGB em HTML: #4F980A
        4F = 79 em 256 de RED (30%)
        98 = 152 em 256 de GREEN (59%)




                    Alberto Sim˜es
                               o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                       ca
Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
                 ca




 Usos t´
       ıpicos:
     cores RGB em HTML: #4F980A
        4F = 79 em 256 de RED (30%)
        98 = 152 em 256 de GREEN (59%)
        0A = 10 em 256 de BLUE (4%)




                    Alberto Sim˜es
                               o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                       ca
Sistema de Numera¸˜o com Base 64
                 ca
A64 = 010    Q64 = 1610            g64 = 3210             w64 = 4810
B64 = 110    R64 = 1710            h64 = 3310             x64 = 4910
C64 = 210    S64 = 1810            i64 = 3410             y64 = 5010
D64 = 310    T64 = 1910            j64 = 3510             z64 = 5110
E64 = 410    U64 = 2010            k64 = 3610             064 = 5210
F64 = 510    V64 = 2110            l64 = 3710             164 = 5310
G64 = 610    W64 = 2210            m64 = 3810             264 = 5410
H64 = 710    X64 = 2310            n64 = 3910             364 = 5510
I64 = 810    Y64 = 2410            o64 = 4010             464 = 5610
J64 = 910    Z64 = 2510            p64 = 4110             564 = 5710
K64 = 1010   a64 = 2610            q64 = 4210             664 = 5810
L64 = 1110   b64 = 2710            r64 = 4310             764 = 5910
M64 = 1210   c64 = 2810            s64 = 4410             864 = 6010
N64 = 1310   d64 = 2910            t64 = 4510             964 = 6110
O64 = 1410   e64 = 3010            u64 = 4610             +64 = 6210
P64 = 1510   f64 = 3110            v64 = 4710             /64 = 6310

                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca

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Sistemas de Numeração

  • 1. Sistemas de Numera¸˜o ca Alberto Manuel Brand˜o Sim˜es a o alberto.simoes@eu.ipp.pt 6 de Outubro de 2009 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 2. Sistema de Numera¸˜o Decimal ca Porque usamos dez algarismos? Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 3. Sistema de Numera¸˜o Decimal ca Porque usamos dez algarismos? Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 4. Sistema de Numera¸˜o Decimal ca Como conseguimos contar mais de 10 objectos? Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 5. Sistema de Numera¸˜o Decimal ca Como conseguimos contar mais de 10 objectos? S´ temos 10 digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 6. Sistema de Numera¸˜o Decimal ca Como conseguimos contar mais de 10 objectos? S´ temos 10 digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o Solu¸˜o: realizamos combina¸˜es... ca co Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 7. Sistema de Numera¸˜o Decimal ca 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 8. Sistema de Numera¸˜o Decimal ca 0 10 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9 19 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 9. Sistema de Numera¸˜o Decimal ca 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 10. Sistema de Numera¸˜o Decimal ca 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 11. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Problema transistor Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 12. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Problema s´ tem dois estados: ligado ou desligado o Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 13. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como representar o estado de um transistor? Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 14. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como representar o estado de um transistor? ligado / desligado Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 15. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como representar o estado de um transistor? ligado / desligado on / off Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 16. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como representar o estado de um transistor? ligado / desligado on / off batata / cebola Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 17. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como representar o estado de um transistor? ligado / desligado on / off batata / cebola verdadeiro / falso Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 18. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como representar o estado de um transistor? ligado / desligado on / off batata / cebola verdadeiro / falso 1/0 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 19. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como contar mais de dois objectos com dois d´ ıgitos? Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 20. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como contar mais de dois objectos com dois d´ ıgitos? Realizar combina¸˜es... co 0 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 21. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como contar mais de dois objectos com dois d´ ıgitos? Realizar combina¸˜es... co 0 10 1 11 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 22. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como contar mais de dois objectos com dois d´ ıgitos? Realizar combina¸˜es... co 100 0 10 101 1 11 110 111 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 23. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como contar mais de dois objectos com dois d´ ıgitos? Realizar combina¸˜es... co 1000 1001 100 1010 0 10 101 1011 1 11 110 1100 111 1101 1110 1111 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 24. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como contar mais de dois objectos com dois d´ ıgitos? Realizar combina¸˜es... co 1000 = 810 1001 = 910 100 = 410 1010 = 1010 0 = 010 10 = 210 101 = 510 1011 = 1110 1 = 110 11 = 310 110 = 610 1100 = 1210 111 = 710 1101 = 1310 1110 = 1410 1111 = 1510 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 25. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Descodifica¸˜o ca Como converter rapidamente bin´rio em decimal? a Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 26. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Descodifica¸˜o ca Como converter rapidamente bin´rio em decimal? a Aprender com o formato decimal... 935610 = 9 × 103 + 3 × 102 + 5 × 101 + 6 × 100 9000 + 300 + 50 + 6 = 935610 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 27. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Descodifica¸˜o ca Como converter rapidamente bin´rio em decimal? a Aprender com o formato decimal... 935610 = 9 × 103 + 3 × 102 + 5 × 101 + 6 × 100 9000 + 300 + 50 + 6 = 935610 E aplicar no novo sistema de numera¸˜o... ca 11012 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 8 + 4 + 1 = 1310 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 28. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o ca Como converter decimal em bin´rio? a 431 2 31 215 11 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 29. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o ca Como converter decimal em bin´rio? a 431 2 31 215 2 11 15 107 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 30. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o ca Como converter decimal em bin´rio? a 431 2 31 215 2 11 15 107 2 1 1 7 53 2 1 13 26 2 1 6 13 2 0 1 6 2 0 3 2 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 31. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o ca Como converter decimal em bin´rio? a 431 2 31 215 2 11 15 107 2 1 1 7 53 2 1 13 26 2 1 6 13 2 0 1 6 2 0 3 2 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 32. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o ca Como converter decimal em bin´rio? a 431 2 31 215 2 11 15 107 2 1 1 7 53 2 1 13 26 2 1 6 13 2 0 1 6 2 0 3 2 1 1 110101111 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 33. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Adi¸˜o ca 1 1 1 0 + 1 0 1 1 ? ? ? ? Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 34. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Adi¸˜o ca 1 1 1 0 + 1 0 1 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 35. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Adi¸˜o ca 1 1 1 1 0 + 1 0 1 1 0 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 36. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Adi¸˜o ca 1 1 1 1 1 0 + 1 0 1 1 0 0 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 37. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Adi¸˜o ca 1 1 1 1 1 1 0 + 1 0 1 1 1 0 0 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 38. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Adi¸˜o ca 1 1 1 1 1 1 0 + 1 0 1 1 1 1 0 0 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 39. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Subtrac¸˜o ca 1 1 1 0 – 1 0 1 1 ? ? ? ? Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 40. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Subtrac¸˜o ca * 1 1 1 0 – 1 0 1 1 ? ? ? 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 41. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Subtrac¸˜o ca * * 1 1 1 0 – 1 0 1 1 ? ? 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 42. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Subtrac¸˜o ca * * 1 1 1 0 – 1 0 1 1 ? 0 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 43. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Subtrac¸˜o ca * * 1 1 1 0 – 1 0 1 1 0 0 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 44. Bits e Bytes A unidade m´ ınima de informa¸˜o ´ o bit: ca e armazena um 0 ou 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 45. Bits e Bytes A unidade m´ ınima de informa¸˜o ´ o bit: ca e armazena um 0 ou 1 Um byte corresponde a: n´mero m´ u ınimo de bits necess´rios para armazenar o conjunto a de instru¸˜es de um processador; co espa¸o m´ c ınimo endere¸avel num computador; c Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 46. Bits e Bytes A unidade m´ ınima de informa¸˜o ´ o bit: ca e armazena um 0 ou 1 Um byte corresponde a: n´mero m´ u ınimo de bits necess´rios para armazenar o conjunto a de instru¸˜es de um processador; co espa¸o m´ c ınimo endere¸avel num computador; c embora tenha tomado muitos tamanhos, actualmente ´ e indiscut´ a sua associa¸˜o a uma sequˆncia de 8 bits. ıvel ca e Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 47. Bits e Bytes A unidade m´ ınima de informa¸˜o ´ o bit: ca e armazena um 0 ou 1 Um byte corresponde a: n´mero m´ u ınimo de bits necess´rios para armazenar o conjunto a de instru¸˜es de um processador; co espa¸o m´ c ınimo endere¸avel num computador; c embora tenha tomado muitos tamanhos, actualmente ´ e indiscut´ a sua associa¸˜o a uma sequˆncia de 8 bits. ıvel ca e um byte consegue armazenar 256 valores diferentes (28 ). Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 48. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 49. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros; e Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 50. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros; e usar o sistema decimal n˜o ajuda: a convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata; a a a e a convers˜o tem de ser feita como um todo; a Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 51. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros; e usar o sistema decimal n˜o ajuda: a convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata; a a a e a convers˜o tem de ser feita como um todo; a solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base ca ca m´ltipla de 2: u Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 52. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros; e usar o sistema decimal n˜o ajuda: a convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata; a a a e a convers˜o tem de ser feita como um todo; a solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base ca ca m´ltipla de 2: u numera¸˜o octal (base 8); ca Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 53. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros; e usar o sistema decimal n˜o ajuda: a convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata; a a a e a convers˜o tem de ser feita como um todo; a solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base ca ca m´ltipla de 2: u numera¸˜o octal (base 8); ca numera¸˜o hexadecimal (base 16); ca Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 54. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros; e usar o sistema decimal n˜o ajuda: a convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata; a a a e a convers˜o tem de ser feita como um todo; a solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base ca ca m´ltipla de 2: u numera¸˜o octal (base 8); ca numera¸˜o hexadecimal (base 16); ca numera¸˜o com base 64; ca Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 55. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 56. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 57. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca 0 10 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9 19 A 1A B 1B C 1C D 1D E 1E F 1F Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 58. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca 0 10 20 1 11 21 2 12 22 3 13 23 4 14 24 5 15 25 6 16 26 7 17 27 8 18 28 9 19 29 A 1A 2A B 1B 2B C 1C 2C D 1D 2D E 1E 2E F 1F 2F Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 59. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca 016 = 010 1016 = 1610 2016 = 3210 116 = 110 1116 = 1710 2116 = 3310 216 = 210 1216 = 1810 2216 = 3410 316 = 310 1316 = 1910 2316 = 3510 416 = 410 1416 = 2010 2416 = 3610 516 = 510 1516 = 2110 2516 = 3710 616 = 610 1616 = 2210 2616 = 3810 716 = 710 1716 = 2310 2716 = 3910 816 = 810 1816 = 2410 2816 = 4010 916 = 910 1916 = 2510 2916 = 4110 A16 = 1010 1A16 = 2610 2A16 = 4210 B16 = 1110 1B16 = 2710 2B16 = 4310 C16 = 1210 1C16 = 2810 2C16 = 4410 D16 = 1310 1D16 = 2910 2D16 = 4510 E16 = 1410 1E16 = 3010 2E16 = 4610 F16 = 1510 1F16 = 3110 2F16 = 4710 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 60. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o / Descodifica¸˜o ca ca Como converter hexadecimal em decimal? fazer o que ja faz´ ıamos com o bin´rio: a DEAD16 = D × 163 + E × 162 + A × 161 + D × 160 = 13 × 163 + 14 × 162 + 10 × 16 + 13 × 1 = 13 × 4096 + 14 × 256 + 10 × 16 + 13 = 53248 + 3584 + 160 + 13 = 57005 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 61. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o / Descodifica¸˜o ca ca Como converter hexadecimal em decimal? fazer o que ja faz´ ıamos com o bin´rio: a DEAD16 = D × 163 + E × 162 + A × 161 + D × 160 = 13 × 163 + 14 × 162 + 10 × 16 + 13 × 1 = 13 × 4096 + 14 × 256 + 10 × 16 + 13 = 53248 + 3584 + 160 + 13 = 57005 Como converter decimal em hexadecimal? realizar divis˜es sucessivas por 16... o Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 62. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca O sistema hexadecimal pode ser convertido do e para o bin´rio de a forma muito simples: 1101011000011100 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 63. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca O sistema hexadecimal pode ser convertido do e para o bin´rio de a forma muito simples: 1101 0110 0001 1100 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 64. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca O sistema hexadecimal pode ser convertido do e para o bin´rio de a forma muito simples: 1101 0110 0001 1100 ⇓ D61C Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 65. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Usos t´ ıpicos: cores RGB em HTML: #4F980A Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 66. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Usos t´ ıpicos: cores RGB em HTML: #4F980A 4F = 79 em 256 de RED (30%) Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 67. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Usos t´ ıpicos: cores RGB em HTML: #4F980A 4F = 79 em 256 de RED (30%) 98 = 152 em 256 de GREEN (59%) Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 68. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Usos t´ ıpicos: cores RGB em HTML: #4F980A 4F = 79 em 256 de RED (30%) 98 = 152 em 256 de GREEN (59%) 0A = 10 em 256 de BLUE (4%) Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 69. Sistema de Numera¸˜o com Base 64 ca A64 = 010 Q64 = 1610 g64 = 3210 w64 = 4810 B64 = 110 R64 = 1710 h64 = 3310 x64 = 4910 C64 = 210 S64 = 1810 i64 = 3410 y64 = 5010 D64 = 310 T64 = 1910 j64 = 3510 z64 = 5110 E64 = 410 U64 = 2010 k64 = 3610 064 = 5210 F64 = 510 V64 = 2110 l64 = 3710 164 = 5310 G64 = 610 W64 = 2210 m64 = 3810 264 = 5410 H64 = 710 X64 = 2310 n64 = 3910 364 = 5510 I64 = 810 Y64 = 2410 o64 = 4010 464 = 5610 J64 = 910 Z64 = 2510 p64 = 4110 564 = 5710 K64 = 1010 a64 = 2610 q64 = 4210 664 = 5810 L64 = 1110 b64 = 2710 r64 = 4310 764 = 5910 M64 = 1210 c64 = 2810 s64 = 4410 864 = 6010 N64 = 1310 d64 = 2910 t64 = 4510 964 = 6110 O64 = 1410 e64 = 3010 u64 = 4610 +64 = 6210 P64 = 1510 f64 = 3110 v64 = 4710 /64 = 6310 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca