O documento descreve um experimento para estudar o espectro de emissão da série de Balmer do átomo de hidrogênio usando um espectrômetro óptico com uma rede de reflexão calibrada. O objetivo é medir os comprimentos de onda das linhas espectrais de hidrogênio e determinar experimentalmente a constante de Rydberg através do ajuste da fórmula de Balmer. A rede é calibrada usando as linhas bem conhecidas do espectro de emissão do mercúrio.

1. Espectro Atômico – A Série de Balmer
(resolução de linhas por rede de reflexão)
Instituto de Física – UFRJ / Prof. Máximo Ferreira da Silveira 1
Objetivos
A. Conhecer e se familiarizar com a técnica e uso do
espectrômetro óptico de difração.
B. Calibrar uma rede de reflexão e/ou difração e
determinar a constante de rede d.
C. Estudar e compreender o espectro de emissão da
série de Balmer para o átomo de hidrogênio
conforme o modelo atômico proposto por Bohr.
Princípio
A série de comprimentos de onda das linhas do espectro
de emissão no visível, de uma lâmpada espectral de
hidrogênio, é obtida através de medidas com um
espectrômetro óptico e uma rede de reflexão calibrada. A
constante de Rydberg (RH) pode então ser obtida
experimentalmente pelo ajuste empírico da série
proposta por Balmer (1885).
Equipamento
Espectrômetro óptico
Rede de reflexão (~1200 linhas/mm)
Colimador e fenda
Lâmpada de vapor. de mercúrio
Lâmpada espectral de hidrogênio
Problemas
1. O alinhamento e calibração da rede de reflexão são
estabelecidos por meio de comprimentos de onda
bem conhecidos do espectro de emissão de uma
lâmpada de vapor de mercúrio.
2. Medidas dos ângulos de reflexão para as linhas
espectrais, observadas com a lâmpada de
hidrogênio, permitem calcular os comprimentos de
onda associados, correlacionando-os segundo uma
série matematicamente estabelecida.
Montagem e Procedimentos
Comprimentos de onda, obtidos por meio de medidas
precisas do ângulo de deflexão da luz (por reflexão ou
difração) com um espectrômetro, estão entre as medidas
mais acuradas em física.
A lâmpada espectral de mercúrio (ou de hidrogênio) é
montada nos terminais e conectada à fonte de alta
tensão (5000 V). A montagem experimental com a
lâmpada e o espectrômetro podem ser vistos na Fig. 1.
Fig.1: Experimento com lâmpada, rede e espectrômetro
A rede de reflexão é uma superfície vítrea, aluminizada e
com chanfros precisa e paralelamente riscados.
O número de superfícies refletoras por mm (1/d) é de
aproximadamente 1200, conforme vista na Fig. 2.
Fig. 2: Rede de reflexão
Cuidado: Nunca toque ou esfregue a superfície da
rede. Isto arranha e destrói a própria rede.
De acordo com o princípio de Huygens, cada superfície
funciona como uma fonte de ondas esféricas, conforme
visto na Fig. 3. Se a diferença de caminho óptico entre
dois feixes paralelos, refletidos por superfícies
adjacentes, separadas por d, for igual m (m= 0, 1, 2 ...)
então ocorre interferência construtiva.
Fig. 3: Interferência na rede de reflexão.
De acordo com a Fig. 4, o feixe 2 percorre uma distância
X2 a maior que o feixe 1, antes de alcançar a rede.
Fig 4: Reflexão dos feixes 1 e 2

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Por outro lado, após reflexão, o feixe 1 percorre uma
distância X1 a maior que o feixe 2, desde a rede até o
observador.
X2= d.cos = d.cos(90º - i) = d.seni (1)
X1= d.cos= d.cos(90º - r)= d.senr (2)
A diferença de caminho (X2 – X1) para interferência
construtiva deve então satisfazer a seguinte relação:
(X2 – X1)= d.(seni - senr) = m (3)
Note que para i = r a condição m= 0 é única para
qualquer . Este é o máximo central de intensidade.
Para alinhar o espectrômetro: primeiramente aproxime a
lâmpada de mercúrio (ainda desligada) da fenda do
colimador e ajuste-a verticalmente. Mova então a
lâmpada cerca de 20 cm da fenda, ascenda-a e focalize
a imagem da fenda com a lente da objetiva. O
alinhamento é feito para um ângulo arbitrário θi (p.ex.
55º); conforme os passos apresentados na Fig. 5.
1. Com a rede removida, focalize a cruzeta da
luneta ocular no centro da imagem da fenda do
colimador.
2. Gire a luneta da ocular 70º e registre essa
posição angular lida no goniômetro.
3. Fixe a rede sobre a mesa e gire a mesa até
observar a cruzeta focalizada no centro da
imagem da fenda novamente.
Fig. 5: Alinhando o espectrômetro
Nessa configuração você estará vendo o
espectro em ordem m= 0. As linhas espectrais
de ordem m= +1 estarão à esquerda e m= -1 à
direita.
Para calibrar a rede usaremos os comprimentos de onda
das linhas espectrais do mercúrio (Hg) que são muito
bem conhecidas. A calibração é necessária para uma
medida precisa, já que a rede usada é uma réplica com
valor d aproximado ao da original. Faremos uma medida
mais acurada desta constante da rede.
4. Inicialmente observe as linhas espectrais do Hg
de ordem m= +1, identificando o maior número
possível. Para observar as linhas mais fracas
pode ser necessário aumentar a largura da
fenda. As cores e comprimentos de onda para
algumas linhas espectrais do mercúrio estão
apresentadas na Tabela 1.
5. Selecione até 5 linhas e meça a posição angular
para m= +1 de cada uma delas e calcule o
correspondente ângulo de reflexão θr.
6. Construa o gráfico com os valores selecionados,
 versus sen θr da Tabela 1; ajuste a melhor
reta e determine os valores para d e θi.
Tabela 1: Linhas espectrais do Mercúrio.
Linha/Cor  (nm)
Amarela
1
579,066
Amarela
2
576,970
Verde 546,960
Azul 435,833
Viloleta 404,656
As linhas amarelas1,2
formam um dubleto, que é resolvido
ajustando-se uma fenda mais estreita.
Substitua a lâmpada de mercúrio pela de hidrogênio. Só
faça isso com a fonte de alta tensão desligada.
Meça então as posições angulares de primeira ordem
(m= +1) para cada uma das linhas observadas, registre a
cor e calcule os valores de comprimentos de onda (n)
correspondentes.
Construa um gráfico de 1/n baseado na série proposta
por Balmer, conforme apresentada nos tópicos seguintes,
e obtenha o valor da constante de Rydberg RH .
Teoria e Desenvolvimento
A teoria quântica prevê uma estrutura de níveis de
energia quantizados para os elétrons atômicos, tendo um
estado de energia fundamental (mais baixo nível) e uma
infinidade de níveis excitados superiores. Devido à
ionização, hidrogênio molecular (H2) é convertido em
hidrogênio atômico quando submetido a descargas
elétricas no tubo espectral. Elétrons, dos átomos de
hidrogênio, excitados para níveis mais altos de energia,
emitem fótons (radiação) ao transitarem para níveis mais
baixos, de volta ao estado fundamental, com freqüências
definidas pelas diferenças de energia entre esses níveis.
E = h. (4)
De acordo com o modelo atômico de Bohr para o
hidrogênio, a energia En dos níveis permitidos é:
𝑬𝒏 = −
𝒎𝒆𝟒
𝟖𝝐𝒐
𝟐𝒉𝟐 .
𝟏
𝒏𝟐 n= 1, 2, 3... (5)

3. Espectro Atômico – A Série de Balmer
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Onde: h= 6,626 x 10
-34
J.s é a constante de Planck,
ε0= 8,854x10
-12
A.s/V.m a permissividade elétrica,
e= 1,602x10
-19
C a carga fundamental e
m= 9,109x10
-31
Kg massa de repouso do elétron.
Utilizando as eqs. (4) e (5) podemos obter a freqüência
da luz (fóton) emitida quando o elétron passa de um nível
excitado (ni) para um mais baixo (nf), sendo nf < ni:
𝝂 =
(𝑬𝒊−𝑬𝒇)
𝒉
=
𝒎𝒆𝟒
𝟖𝝐𝒐
𝟐𝒉𝟑 .
𝟏
𝒏𝒇
𝟐 −
𝟏
𝒏𝒊
𝟐 (6)
Ou ainda na forma do Nº de onda:
𝟏
𝝀
=
𝝂
𝒄
= 𝑹∞
𝟏
𝒏𝒇
𝟐 −
𝟏
𝒏𝒊
𝟐 (7)
Onde c é a velocidade da luz e R a constante de
Rydberg para o átomo de hidrogênio, com núcleo de
massa infinitamente maior que a do elétron:
𝑹∞ =
𝒎𝒆𝟒
𝟖𝝐𝒐
𝟐𝒉𝟑𝒄
= 1,097 10
7
m
-1
(8)
A Série de Balmer
A série visível das linhas espectrais observadas para o
hidrogênio (H) está reproduzida na Tabela 2.
Tabela 2: Linhas espectrais do Hidrogênio
Linha Cor lit (nm)
H Vermelha 656,28
H Ciano 486,13
H Azul 434,05
H Violeta 410,17
H Ultravioleta
*
397,0
*
A linha H situa-se fora da região visível do.espectro.
A fórmula empírica, proposta por Johann Balmer em
1885, reproduz com muita precisão esta série:
𝝀 = 𝝀𝒍𝒊𝒎
𝒏𝟐
𝒏𝟐−𝟐𝟐 (9)
Onde lim= 364,56 nm é o limite da série, conhecido
como constante de Balmer. Sendo os valores das linhas,
na Tabela 2, correspondentes à n= 3, 4, 5, 6 e 7,
respectivamente.
Com um simples rearranjo matemático, obtemos para o
inverso da fórmula de Balmer (eq. 9):
𝟏
𝝀
=
𝟒
𝝀𝒍𝒊𝒎
𝟏
𝟐𝟐 −
𝟏
𝒏𝟐 (10)
Desse modo o resultado empírico para a série fica
claramente interpretado, à luz do modelo de Bohr, como
a série transições que levam elétrons dos níveis de
energia superiores ao nível nf = 2, de acordo com a eq.
(7), em que se fez R= 4/lim.
O modelo ainda prevê, com extrema precisão, todo o
conjunto de séries de transições do átomo de hidrogênio,
para os demais níveis, nf= 1, 2, 3, 4, 5..., à época ainda
desconhecidas. Resultados de medidas experimentais
posteriores comprovaram as previsões de Bohr, com as
séries batizadas pelos seus descobridores, apresentadas
na Tabela 3 a seguir.
Tabela 3: Séries do a´tomo de Hidrogênio
Nome da Série Faixa do espectro Nível
Lyman Ultravioleta  1
Balmer Ultravioleta – visível  2
Paschen Infravermelho  3
Bracket Infravermelho  4
Pfund infravermelho  5
A fig 6 mostra um diagrama de níveis de energia para o
átomo de hidrogênio, de acordo com o modelo de Bohr
(eq. 5), com a representação de algumas das séries da
tabela 3.
Fig. 6: Diagrama de níveis de energia para o Hidrogênio