O documento discute fluxos em redes e associação. Apresenta algoritmos para encontrar fluxo máximo como o de Ford-Fulkerson e Edmonds-Karp. Aplica fluxos em redes para problemas de escala de motoristas de ônibus e gestão financeira em empresa agroindustrial.

1. Universidade Federal de Alagoas
Ciência da Computação
Fluxos em Rede e
Associação
Emanuel Franco
Iorgama Porcely
Jessyka Oliveira
Vanessa Pinheiro

2. Roteiro

Introdução

Fluxos em Rede

Cortes

Fluxos Máximo

Fluxos de Custo Mínimo

Associação

Aplicação:

Modelos de Fluxo em Redes para o Problema de Escala
de Motoristas de Ônibus Urbano

Otimização do fluxo em rede na gestão financeir do
caixa

Conclusão

3. Introdução

Encanamento

4. Fluxos em Rede

Um fluxo em rede G=(V,E) é um grafo orientado em que
cada aresta (u,v) ∈ E e tem uma capacidade não negativa
c(u,v) ≥ 0, onde u = origem (não tem arestas incidentes) e
v = destino (não tem arestas de saída). Cada vértice reside
em algum caminho de u até v.

5. Fluxos em Rede

6. Fluxos em Rede

Deve satisfazer as seguintes condições:

Restrição de capacidade

Conservação de fluxo

7. Cortes

Um corte em um rede de fluxo N é o conjunto dos arcos de
N com extremidade inicial em Vs e extremidade final em Vt

8. Cortes

A capacidade de um corte em um rede N é a soma das
capacidades dos arcos do corte

Corte mínimo: corte que possui a menor capacidade

9. Fluxo Máximo

Um fluxo máximo é um fluxo cujo valor é maior do que
todos os fluxos de N

Alguns algoritmos propostos para encontrar o fluxo
máximo:

o algoritmo dos caminhos de aumento proposto por
Ford e Fulkerson;

o algoritmo dos caminhos de aumento de comprimento
mínimo proposto por Edmonds-Karp e

o algoritmo do pré-fluxo proposto por Goldberg e
Tarjan.

10. Fluxo Máximo

o algoritmo dos caminhos de aumento proposto por Ford e
Fulkerson:

Aumentar o fluxo iterativamente em uma rede até que ele
não possa mais ser aumentado.

11. Fluxo Máximo

Resumo do algoritmo:

1º - Escolhe-se um caminho qualquer desde a origem até
ao destino

2º - Procurar nesse caminho o arco orientado com menor
capacidade, c

3º - Diminuir de c a capacidade de fluxo em cada arco do
caminho no sentido considerado e aumentar de c a
capacidade dos arcos no sentido inverso.

Regressar ao 1º passo. Se já não existir nenhum caminho
em que todos os arcos tenham capacidade positiva, tal
significa que já se determinou o fluxo máximo.

12. Fluxo Máximo

Tempo de execução desse algoritmo é pseudo polinomial

Como esse algoritmo não possui uma forma especifica de
encontrar caminhos aumentados, o desempenho deste
pode ser baixo se a entrada for grande e os caminhos
aumentados forem mal escolhidos.

13. Fluxo Máximo

O algoritmo de Edmonds-Karp

É uma variação do algoritmo de Ford-Fulkerson

Mais simples, melhor tempo de execução

A técnica consiste em escolher, a cada iteração, um caminho
aumentado com o menor número de arestas, o que pode ser feito
facilmente com um algoritmo modificado de busca em largura.

O tempo de execução é de O(nm²) sendo n o número de vértices
e m o número de arestas

14. Fluxo Máximo

O algoritmo de Goldberg-Tarjan

O algoritmo vai examinar os nós com excesso de fluxo,
enviando fluxo deste nó para nós considerados mais
próximos.

A ideia desse algoritmo é executar repetidamente essa
etapa até que não haja mais nós ativos, ou seja, nós com
excesso de fluxo.

15. Aplicação

Modelos de Fluxo em Redes para o Problema de Escala de
Motoristas de Ônibus Urbano

Otimização do fluxos em rede na gestão financeira do
caixa: aplicação em uma empresa agroindustrial

16. Modelos de Fluxo em Redes para o
Problema de Escala de Motoristas de
Ônibus

Problema: Criação de escala de tripulação (motorista e
cobrador) em ônibus urbano;

Solução Convencional:
Baseada no PPT na geração de colunas;

Possui desempenho mínimo por sua programação linear.

17. Modelos de Fluxo em Redes para o
Problema de Escala de Motoristas de
Ônibus

Abordagem para PPT apresentada por Siqueira:
1.Divide escalas de longa e curta duração;
2.Faz a combinação gerando jornadas
diárias;
3.Uma nova combinação gera jornadas
semanais;
4.Designa jornadas aos funcionários.

18. Modelos de Fluxo em Redes para o
Problema de Escala de Motoristas de
Ônibus

Metodologia 1:

Forma os grupos de tarefas dentro do mesmo período
(manhã, tarde, noite) deixando as demais num
agrupamento global.

19. Modelos de Fluxo em Redes para o
Problema de Escala de Motoristas de
Ônibus

Metodologia 2:

Realiza agrupamentos de tarefas de curta duração em
blocos de maior duração de acordo com a atividade de
cada veiculo.

20. Modelos de Fluxo em Redes para o
Problema de Escala de Motoristas de
Ônibus

As duas Metodologias foram eficientes;

A Metodologia 2 se destacou em função de avaliação;

A combinação das duas Metodologias destacou-se no
desempenho de combinação da tripulação.

21. Otimização do fluxos em rede na gestão
financeira do caixa: aplicação em uma
empresa agroindustrial

A otimização de fluxos em redes na gestão do caixa tem
como objetivo mostrar ferramentas que possa otimizar o
gerenciamento do fluxo do caixa em uma empresa
agroindustrial. Utilizando para tomar decisões envolvidas
as teorias de Golden, liberatore e Lieberman.

22. Otimização do fluxos em rede na gestão
financeira do caixa: aplicação em uma
empresa agroindustrial

A otimização dos processos financeiros e as redes de fluxos
são parecidas, pois são combinações de elementos que
entretêm relações numerosas, diversificadas e complexas.

Mostrar uma ferramenta flexível e efetiva para a gestão do
fluxo de caixa, capaz de capturar os problemas enfrentados
para tomadas de decisão e adaptar e dimensionar os fluxos
de recursos monetários.

23. Otimização do fluxos em rede na gestão
financeira do caixa: aplicação em uma
empresa agroindustrial
 O modelo utilizado para resolver os problemas deste cenário foi a
ferramenta Solver que faz parte do micrsoft Office Excel 2003, utilizando da
planilha solver o método simplex.
Rede de fluxo com a prática de tesouraria (os valores dos arcos indicam os
fluxos)

24. Otimização do fluxos em rede na gestão
financeira do caixa: aplicação em uma
empresa agroindustrial
 O modelo adaptado para programar amortizações
Adaptação do modelo para caso com programação de amortizações.

25. Referências
• D. Castonguay. Fluxo máximo. Disponível em:
<www.inf.ufg.br/~diane/PAA/2006/AULA2006/Fluxo.pdf> Acesso em Dezembro 2011
• F. Fontes. Fluxo em redes. Disponível em:
<http://www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/146/arquivos/fluxo em
redes.ppt> Acesso em Dezembro 2011
• G. P. Silva. Um estudo do algoritmo de Goldberg e Tarjan para o problema de fluxo
máximo. Disponível em: <http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?
down=000042531> Acess em Dezembro 2011.
• G. P. Silva, et al. Modelos de Fluxo em Redes para o Problema de Escala de
Motoristas de Ônibus Urbano. Disponível em:
<http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/cd_xxviii_cnmac/resumos
%20estendidos/gustavo_silva_ST18.pdf> Acesso em Dezembro 2011
• M. T. Goodrich and R. Tamassia. Projeto de Algoritmos - Fundamentos, análise e
exemplos da Internet. Porto Alegre: Bookman, 2004

26. Referências
• P. Feofiloff. Fluxo em redes. Departamento de Ciência da
Computação. Universidade de São Paulo. Disponível em:
<http://www.ime.usp.br/~pf/flows/> Acesso em Dezembro 2011
• P. Luzzardi. Algoritmos de Fluxo Máximo. Disponível em:
<infovis.ucpel.tche.br/luzzardi/fluxo_maximo.ppt> Acesso em
Dezembro 2011
• Pacheco, J. V. de A. and Morabito, R. Otimização de fluxos em rede
na gestão financeira do caixa: aplicação em uma empresa
agroindustrial . Disponível em:
<http://www.scielo.br/pdf/prod/v20n2/aop_200802016.pdf> Acesso
em Dezembro 2011
• R. F. de Oliveira. Problemas de fluxos em redes. Disponível em:
<http://w3.ualg.pt/~hshah/algoritmos/aula6/aula6/introducao.html>
Acesso em: Dezembro 2011
• R. Santos. Fluxo em Redes. Disponível em:
<http://www.facom.ufms.br/~ricardo/Courses/OR-
2009/Lectures/Lec12_2009.pdf> Acesso em Dezembro 2011