Modelagem difusa para propagação de erros

Universidade Federal de Itajubá
Introdução aos Métodos de Modelagem Difusos
Aplicados em Procedimentos Experimentais
Álvaro Nunes de Magalhães
Orientador: Prof. Dr. Germano Lambert Torres
Co-orientador: Prof. Dr. Marinaldo Felipe
Monografia apresentada à
Universidade Federal de Itajubá, para
obtenção do título de Especialista no Uso
Racional de Energia dentro do Programa
de Pós-Graduação em Engenharia da
Energia.
Porto Velho

“Dedico-me a Jesus, à minha
família, à Michele, amor da minha
vida, e à Comunidade de Santa Luzia.
Que tudo o que eu faça seja agradável
a Deus.”
3

Ação de Graças
Eu não venci esta batalha sozinho, portanto seria injusto que eu esquecesse de
agradecer todos os que de alguma forma me deram suporte para que eu me investisse
completamente na elaboração deste texto que tenho a honra e o maior prazer em
apresentar. Portanto, em Ação de Graças, eu oro:
Ao Senhor Deus, de infinita bondade, misericórdia e graça, agradeço pelos dons
que despertaste em mim pela ação do Teu Espírito. Perdoa-me as ausências à atividade
missionária que me incumbiste. Ilumina meus passos nos caminhos da jornada científica
que ingressei e conduz-me em tuas mãos para que eu não tropece.
Pai, agradeço pelo homem que me deste a educar-me: um Super-pai que,
segundo a Tua vontade, eu devo honrar e assim o farei. Louvado sejas Tu pela mãe que
em ti realizou o milagre da vida que me deste. É impossível não Te louvar pela mulher
que me trouxe à vida. Obrigado pelos irmãos, avós, tios e primos. Grato e feliz sou por
ter o Teu tesouro em minha família.
Seja louvado também, Senhor, pelas pessoas que puseste em minha vida a
realizar obras: abençoe os Senhores Professores da Universidade Federal de Itajubá que
ministraram as disciplinas neste Curso de Especialização em Uso Racional de Energia,
bem como aqueles que trabalharam para a sua realização; faça prosperar a empresa que
permitiu a promoção deste curso; abençoe também a todos os colegas que comigo
participaram deste curso; traga a graça e a paz aos Senhores Professores da
Universidade Federal de Rondônia, em especial os Senhores Júlio Militão pelo apoio
oferecido e Marinaldo Felipe pelas orientações.
Seja Bendito, Senhor, para sempre pelo carinho e amizade que as Professoras
Maria das Graças e Dilcélia Heckmann têm por mim e por minha família, e pela
gratuidade com que compartilham seus conhecimentos e experiências. Amizades em Ti
não me faltam, Senhor: abençoe os meus amigos Vanderlei, Elizângela, Jóice, Dâmaso,
Cíntia, Rodrigo, Daianne, Rute, Lívia, Railei e suas famílias.
4

Exaltado seja Deus, pelas maravilhas que se realizaram em mim pelas mãos
carinhosas da companheira que escolheste para minha jornada: Michele Melo. Graças te
dou pela família exemplar a quem confiou esta estrela na minha vida. Amplie, Senhor,
as fronteiras do Senhor Marcos Melo e sua família, pois por tua vontade e por
intermédio deles, as minhas foram alargadas.
Glória a ti Jesus, pelas graças que recebi, pelas pessoas que me inspiras a amar e
pelo trabalho que me iluminas realizar. Que seja feita sempre a Tua vontade.
Amém.
5

SUMÁRIO
Resumo ...................................................................................................... 7
Abstract .....................................................................................................8
Introdução ..................................................................................................9
Capítulo 1 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos: Considerações ............12
1.1 - Introdução ....................................................................................... 12
1.2 - Definição de Sistema Dinâmico ......................................................13
1.3 - Classificação ................................................................................... 14
1.4 - Sucesso de Um Modelo Matemático ...............................................16
Capítulo 2 - Procedimentos experimentais .................................................17
2.1 - Introdução ....................................................................................... 17
2.2 – Sistema Internacional de Unidades.................................................. 18
2.3 – Obtenção de Informações através de Ensaios ................................ 19
2.4 – Identificação das Variáveis ............................................................19
2.5 – Realização de Medidas ...................................................................22
2.6 – Incerteza das Medidas .................................................................... 24
2.7 – Propagação de erros ........................................................................27
Capítulo 3 – Modelagem por Proposições Condicionais Difusas ............. 30
3.1 –Introdução ........................................................................................30
3.2 – Breve Histórico da Lógica Fuzzy ................................................... 31
3.3 – Conjuntos Difusos .......................................................................... 32
3.3.1 - Definição .............................................................................33
3.3.2 - Representação Gráfica .......................................................33
3.3.3 - Critérios de Construção ..................................................... 35
3.3.4 - Operações Lógicas .............................................................37
3.4 - Fundamentos da Modelagem Difusa................................................40
3.4.1 - Variáveis Lingüísticas ....................................................... 41
3.4.2 - Regras Lingüísticas ............................................................44
6

3.4.3 - Inferência Difusa ............................................................... 45
3.4.4 - Métodos Defuzzificadores .................................................48
Capítulo 4 – Métodos Fuzzy para Modelagem .......................................... 49
4.1 – Modelos Dimensionais ...........................................................49
4.2 – Sistema Difuso de Takagi-Sugeno ........................................55
4.3 – Aproximação Alternativa para Representação de Dados
por Proposições Condicionais Difusas ..................................................... 60
Capítulo 5 – Modelagem Difusa para Propagação de Erros.......................67
5.1 – Proposição de Estudo ...........................................................67
Capítulo 5 – Considerações Finais ........................................................... 69
Referências ................................................................................................ 71
7

RESUMO
O desenvolvimento de artifícios matemáticos é normalmente marcado por
necessidades e problemas vindos de muitas ciências. Atualmente, um paradigma
recentemente elaborado tem demonstrado eficiência na construção de modelos
matemáticos e sistemas de controle que propõem soluções viáveis para estes problemas.
Trata-se de uma técnica Inteligência Artificial inspirada na forma humana de pensar: a
Lógica Difusa. Neste trabalho, são apresentadas algumas considerações a respeito de
técnicas de Modelagem de Sistemas Dinâmicos utilizando a Lógica Nebulosa. Há
também, uma valorização da experiência empírica como forma de aquisição de
conhecimento objetivo e subjetivo do comportamento dinâmico de um Sistema, tão
importantes no modelamento difuso. Aborda-se o tratamento de incertezas e elabora-se
uma Proposição de Estudos para a modelagem do comportamento dinâmico da
Propagação de Erros utilizando um Método Alternativo de Representação de Dados por
Proposições Condicionais Difusas.
PALAVRAS-CHAVE
Sistemas Dinâmicos. Modelagem Difusa. Tratamento de Incertezas. Propagação
de Erros.
8

ABSTRACT
The development of mathematical artifices is usually marked by needs and
problems originated in a lot of sciences. Nowadays, a paradigm, recently elaborated, has
been demonstrating efficiency in the construction of mathematical models and control
systems that propose viable solutions for these problems. It is treated of a technique of
Artificial Intelligence inspired in the human form of thinking: the Fuzzy Logic. We
presented, in this work, some considerations about techniques of Modeling of Dynamic
Systems using the Fuzzy Logic. There is also, in our research work, a valorization of
empiric experiences as a form of acquisition of objective and subjective knowledge
about the Dynamic Behavior of a System, such important in the Fuzzy Modeling. We
approached the treatment of uncertainties and elaborated a Proposition of Studies for the
modeling of dynamic behaviors of Error Propagation using an Alternative Method for
Data Representation by Conditional Statements.
KEYWORDS
Dynamic Systems. Fuzzy Modeling. Treatment of Uncertainties. Error
Propagation
9

INTRODUÇÃO
Acredita-se que a Matemática é uma ciência importante por que ajuda a
compreender o mundo em que vivemos; elaborar estratégias pessoais para resolver
problemas; formular hipóteses e comprová-las. Com o auxilio da Matemática
desenvolvemos nossa capacidade de investigação e perseverança na busca por
resultados. É uma ciência ímpar em sua capacidade de adentrar como instrumento
importante e imprescindível em muitas áreas do conhecimento humano, possibilitando o
estabelecimento de relações entre aspectos de naturezas diferentes.
O desenvolvimento de ferramentas matemáticas é normalmente marcado pelas
necessidades e problemas vindos de muitas ciências. Há campo para pesquisa
independentemente das aplicações imediatas, porém, nos dias de hoje, a Indústria
tecnológica têm exigido mais atenção para as suas necessidades de produção de
produtos úteis, eficientes e interessantes comercialmente.
Há também demandas tecnológicas que tangem ao melhor aproveitamento
possível de recursos naturais para a produção e uso energético com mais
responsabilidade e economicidade, dadas as atuais relações entre o setor Industrial, que
necessita, avidamente, de Energia em quantidade e qualidade segura, e Meio Ambiente,
que sofre com a degradação para atender aos hodiernos anseios da humanidade. Em
todo caso, são exigidas ferramentas de fácil operação e que proporcionem soluções
rápidas, viáveis e seguras para diversos problemas.
No contexto contemporâneo é que se insere um paradigma recentemente
elaborado, empregado já em incontáveis aplicações na indústria: a Inteligência
Artificial. Trata-se de uma tecnologia que alcançou o status de ferramenta de pesquisa,
projeto e desenvolvimento, permitindo novas formas de interação com o objeto de
investigação [39].
Muitas teorias matemáticas estão em problemas da Natureza. Da mesma forma,
muitas técnicas de solução de problemas foram desenvolvidas com inspiração em
modelos naturais. A Lógica Difusa é um excelente exemplo de interação computacional
1

inspirada na natureza. Ela explora a capacidade de pensar matematicamente e com
criatividade através de raciocínios aproximados e incertos inerente ao Ser - humano.
Esta característica a constitui uma formidável ferramenta em termos de Inteligência
Artificial.
Hoje em dia, a Lógica Fuzzy, como também é conhecida, é largamente utilizada
na Indústria e divulgada nas Universidades, em cursos introdutórios ou avançados de
ciências exatas e principalmente nas Engenharias, por ser uma técnica computacional de
fácil compreensão, que não necessita necessariamente conhecimentos sobre a
programação de computadores.
O presente trabalho visa oferecer aos alunos de graduação, profissionais e
técnicos que atuem em qualquer ramo científico, um texto acessível que apresenta a
Lógica Fuzzy como uma rica e eficiente forma de modelagem de Sistemas. Também
objetiva facilitar estudos autônomos sobre área explorando somente os conceitos mais
elementares de maneira intuitiva e compreensível. Há também, neste trabalho de
pesquisa uma valorização da experiência empírica como forma de aquisição de
conhecimento objetivo e subjetivo do comportamento dinâmico de um Sistema.
Procuramos demonstrar enfim, em síntese, por meio um problema exemplo, a aplicação
das regras dos métodos que são apresentados.
Para tanto, é abordado, no Capítulo 1, algumas considerações a respeito da
Modelagem de Sistemas Dinâmicos como técnica de descrição e previsão de
comportamentos evolutivos, introduzindo a definição de Sistemas Dinâmicos, bem
como as classificações destes.
No Capítulo 2, evidencia-se a prática de Procedimentos Experimentais empíricos
como princípio educativo e da ação técnica e profissional, para a aquisição de
conhecimento e obtenção de informações. São tratados nesse capítulo do uso da Análise
Dimensional como artifício de reconhecimento de variáveis e planejamento de
experimentos, da coleta de dados por meio da realização de medidas, dos aspectos de
incertezas e erros em um procedimento de medição, bem como do cálculo da margem
de Erro provável e da acumulação e propagação destes erros.
1

O Capítulo 3 apresenta a os fundamentos da Modelagem por Proposições
Condicionais Difusas, destacando o uso de conjuntos difusos como forma de
representação matemática de uma informação subjetiva, assim como suas operações
elementares. É demonstrada, também, a construção de um Modelo Difuso segundo uma
regra geral, e como age o Mecanismo de Inferência Difusa para a obtenção de respostas
às entradas do Sistema modelado.
Três técnicas práticas são apresentadas, no Capítulo 4, para a modelagem de
Sistemas: a primeira é uma aplicação da Análise Dimensional, apresentada no Capítulo
2, como elemento ponderador na construção de Conjuntos Difusos; a segunda é o
Sistema Difuso de Takagi-Sugeno, útil à incorporação de conhecimentos objetivos e
subjetivos numa mesma base de regras, e representação de variações em geral; a terceira
é um Método Alternativo de Aproximação para Representação de Dados por
Proposições Condicionais Difusas, que apresenta informações objetivas aparentemente
desconexas de forma visualmente compreensível com o uso de equações quadráticas.
Uma Proposição de Estudos é feita no Capítulo 5 quanto à modelagem da
dinâmica do comportamento evolutivo da Propagação de Erros em Sistemas de
modelagem, com enfoque na viabilidade de uso do Método Alternativo apresentado no
Capítulo 4, levantando os possíveis avanços que podem ser alcançados.
O Capítulo 6 apresenta as Considerações Finais do trabalho e as sugestões para
trabalhos futuros. Esperamos, com ele, contribuir para a divulgação de um novo
paradigma, que já tem demonstrado muitas utilidades e eficiência.
1

Capítulo 1
MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS:
CONSIDERAÇÕES
1.1 INTRODUÇÃO
Existem inúmeros Sistemas que podem ser rotulados como Dinâmicos: o
movimento dos corpos, o crescimento de uma população, a mecânica de um fluido, os
fenômenos atmosféricos, as turbulências, o mercado financeiro, entre outros. Enfim, são
sistemas fora de equilíbrio, pois seus estados estão sempre em modificação [6].
Uma das grandes necessidades da pesquisa científica e tecnológica é construir
modelos de generalização matemática para identificar, analisar as características desses
Sistemas evolutivos, e implementar atividades de controle de suas variáveis que
permitam solucionar problemas causados por transtornos que deles decorrem ou
aproveitar algum aspecto de sua dinâmica para fim útil.
Este é um estudo multidisciplinar. Áreas como a Física, Engenharia, Biologia,
Química, Ecologia, Meteorologia, Economia, entre outras ciências exatas, humanas,
sociais e da saúde, têm se beneficiado com o uso de técnicas de modelagem matemática
para o entendimento de seus fenômenos [6].
A Modelagem Matemática objetiva-se em descrever, de forma tão rica quanto
possível, as generalidades de um comportamento variável [49]. As técnicas de
Modelagem de Sistemas Dinâmicos permitem simulações das mais diversas
conjunturas. Tais técnicas baseiam-se em dados experimentais ou industriais de um
processo em estudo. Relacionando matematicamente os dados de acontecimentos
passados, busca-se, pela Modelagem Matemática, a previsão da conduta futura de um
evento de estados mutáveis. Isto resulta no mapeamento do conjunto de estados, que
1

evoluem segundo uma dada lei. Esse mapa delineia a curva de progresso do sistema no
espaço dos estados, com a qual podemos aprender mais sobre o que podemos observar.
Este capítulo visa fornecer uma breve noção a respeito do estudo dos Sistemas
Dinâmicos a partir de conceitos já conhecidos, incluindo formas de apresentação
matemática. Os principais conceitos que baseiam a formação do conhecimento a
respeito dos sistemas dinâmicos: espaço, estado e evolução são apresentados do ponto
de vista mais simplificado.
1.2 DEFINIÇÃO DE SISTEMA DINÂMICO
Um Sistema Dinâmico é assim chamado devido às suas características
evolutivas no decorrer do tempo. Essas características obedecem a uma lei de evolução,
que pode ser modelada por uma equação de forma adequada e segura quanto a sua
capacidade de previsões de um fenômeno, envolvendo três fatores: o Espaço dos
estados, os Estados e a Trajetória [1] [8] [49].
O Espaço dos estados é o espaço n-dimensional onde ocorre o evento dinâmico.
O Estado de um Sistema é o conjunto de valores das variáveis que ele apresenta, dentro
do Espaço, para determinadas condições num determinado instante de tempo [30].
Adotamos um conjunto Universo de Discurso U (um intervalo fechado e não-vazio que
contém os possíveis valores que a variável pode assumir) como padrão de medida para
as variáveis. É prático que se escolham variáveis de estado mensuráveis, porém um
estado pode conter variáveis não quantificáveis.
As medidas das Variáveis de um Estado no Espaço, quando registradas em cada
instante de tempo, formam uma trajetória conforme as condições impostas como
entradas. Da análise desses fatores obtemos a Equação de Evolução [49], que possibilita
o cálculo do Estado em determinado instante a partir do Estado anterior no instante
anterior. Esta equação, geralmente apresentada como uma equação diferencial, tem o
seguinte formato:
1

...)),(),(()1( ttutxftx =+ t=1, 2, 3,...
Onde t é o tempo, x é o estado no instante t e u é a entrada.
(1.2.1)
A Equação de Evolução obedece ao princípio da causalidade: para cada
informação dada, que chamamos de entrada (input), o Sistema responde com outra,
denominada saída (output). Dada a repetição de fatos, e a semelhança entre suas
proporções, um modelo matemático pode oferecer previsões dos estados do sistema,
mesmo que as variáveis não aparentem ter relação. Um evento simples pode apresentar
um comportamento bastante complexo, bem como um caso complexo pode demonstrar-
se matematicamente simples [1] [49].
1.3 CLASSIFICAÇÃO
Os Sistemas Dinâmicos podem ser classificados quanto sua continuidade: São
ditos discretos quando seus estados evoluem nos instantes t0, t1, t2..., sendo que no
intervalo entre dois instantes, permanecem constantes, ficando o estado seguinte em
função do estado atual [1] [8] [30] [49].
)(1 nn xfx =+
(1.3.1)
São chamados de contínuos quando os estados se modificam no intervalo entre
dois instantes. A modificação do estado está em função de cada informação dada como
entrada.
•
x é a notação para
dt
dx
designando a derivada de x em relação ao tempo [1]
[8] [49].
))(( txfx =
•
(1.3.2)
1

Também são classificados quanto sua ordem, que é a da mais alta derivada que,
no modelo, comparece [8] [49]. As equações (1.3.3) e (1.3.4) exemplificam modelos de
primeira e segunda ordem respectivamente.
)()( tqxtpx +=
•
(1.3.3)
)()()( trxtqxtpx ++=
•••
(1.3.4)
Sistemas dinâmicos também podem ser classificados como autônomos, se não
dependerem explicitamente da variável independente Tempo (t), ou não-autônomos
quando dela dependem necessariamente [1].
Classificam-se ainda quanto à linearidade: Sistemas Lineares apresentam
derivadas que são combinações lineares das variáveis de estado [1] [30]. Assim, fica
válido o princípio da superposição: “a resposta dada a partir de duas entradas distintas e
simultâneas é a soma das respostas individuais para cada entrada” o que demonstra
causas e efeitos proporcionais [49].




+=
+=
•
•
dycxy
byaxx
(1.3.5)
Com efeito, em qualquer instante, o Estado pode ser representado por um vetor,
cujas coordenadas são os valores das n variáveis, definindo um ponto no espaço de fase
n-dimensional [49].
1







⋅





=
•
y
x
dc
ba
X
(1.3.6)
Os Sistemas não-lineares não apresentam derivadas como combinação linear
entre as variáveis. Não há métodos analíticos genéricos para a resolução de problemas
envolvendo sistemas não-lineares. Faz-se, no entanto, o uso de aproximações da solução
por sistemas lineares equivalentes para determinadas faixas de operação [49].
1.4 SUCESSO DE UM MODELO MATEMÁTICO
O aspecto fundamental da garantia de sucesso de um Modelo Matemático
quanto a sua competência de representação dinâmica é a definição de seus objetivos
práticos. Com isso, a composição de um modelo para um Sistema Dinâmico deve
considerar o setor de seu emprego [6]. Nessas condições é preciso avaliar, para a
construção da estrutura do modelo, a necessidade de um número mais conciso ou mais
extenso de variáveis, a faixa de operação do Sistema e os comportamentos estacionários
e transientes do evento dinâmico que se visa simular.
Os Modelos Matemáticos são as plantas para a implementação de sistemas de
controle e aproveitamento da dinâmica para um fim útil. Por isso, algumas aplicações
podem demandar uma representação mais completa, exata, precisa e global do sistema.
As funções representativas de um arquétipo podem ser numéricas ou lógicas, ou
ambas. Para sua construção, é necessária a abstração dos padrões de comportamento por
meio da análise de um conjunto de dados coletados a partir da observação do
desempenho do sistema [6]. A validação de um modelo necessitar valer-se de um
conjunto de teste diverso do conjunto utilizado para o treinamento e construção do
modelo. Para isso impõe-se às mesmas variáveis de entrada em condições de excitação
diferentes.
Atualmente, com os avanços tecnológicos alcançados, principalmente com o uso
do computador digital, modelagem matemática de um sistema, bem como a análise da
dinâmica por meio de simulações, tem se tornado cada vez mais prática. Há ainda
muitos problemas em aberto, no campo teórico da modelagem diferencial [11], porém
1

estes não são os objetivos deste trabalho. Enfatiza-se mais as aplicações práticas de
modelagem e controle de sistemas em diversos ramos da engenharia.
Capítulo 2
PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
2.1 INTRODUÇÃO
O relacionamento da humanidade com os Sistemas Dinâmicos é antigo: desde a
pré-história era necessário descobrir como interagir com a natureza. Foi pela
experiência prática que o homem passou a compreender os processos naturais e,
abstraindo-os, criou as técnicas agrícolas, de criação de animais, de preparação de
alimentos, de guerras e outras. Dentro do desenvolvimento do contexto no qual, hoje,
estamos inseridos, houve uma valorização da informação que cada experiência trazia,
dada por comparações.
Com isso, a prática, pelas observações e comparações de desempenhos
evolutivos, e pela coleta de dados, nos permitiu conhecer, de forma qualitativa e
quantitativa, fenômenos físicos, químicos, biológicos, sociais e outros. Assim, a
realização de experiências é, sem dúvida, uma metodologia valorosa de pesquisa, como
princípio educativo, na compreensão apresentação e tratamento de informações, bem
como para a construção de modelos para a previsão do comportamento futuro de um
determinado evento dinâmico.
Portanto, os Procedimentos Experimentais não se restringem ao aprendizado
acadêmico em laboratório, como muitos têm em mente. É fundamentalmente uma
prática do exercício profissional, à compreensão de fenômenos e à resolução de
situações-problema.
Neste capítulo, é tratado a respeito da observação e experimentação como
metodologia de pesquisa e de obtenção de informações para o provimento de certezas.
1

Através da abordagem empírica combinada com a racionalista, visamos resumir
princípios observáveis, especialmente os físicos, em resultados quantificáveis. Da
mesma forma, pelos resultados aferidos, deduzir os princípios de um Sistema.
2.2 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Depois que o homem aprendeu que a forma mais cômoda de obter informações é
a comparação, compreendeu que há uma forma de semelhança entre coisas de naturezas
diferentes: a quantidade. Criando um conjunto de regras que permitisse escrever e ler as
quantidades utilizando símbolos e palavras, passou a tratar os estados de um sistema
segundo dados numéricos com base na comparação com padrões que estabelecia.
Devido à diversidade de campo de uso das medidas, muitos são os métodos e
padrões utilizados para uma mesma grandeza, bem como os instrumentos utilizados. Ao
longo da história, essa variedade causava muitos transtornos, principalmente por erros
grosseiros de interpretação. A comunidade científica foi levada, então, a lutar por uma
unificação dos sistemas de unidades tendo, em 1960, a criação o Sistema Internacional
de Unidades (SI), que regulamenta e unifica padrões para sete grandezas admitidas
como fundamentais [32] [31].
No Sistema Internacional, são definidos padrões para as seguintes unidades:
• Comprimento e distância – metro [m];
• Massa – quilograma [kg];
• Tempo – segundo [s];
• Temperatura – kelvin [k];
• Intensidade da corrente elétrica – ampère [A];
• Intensidade luminosa – candela [cd];
• Quantidade de matéria – mol
Também são regulamentados padrões para grandezas ditas derivadas como
mostrados a seguir. O SI foi admitido no Brasil pelo decreto nº. 52423 de 30 de agosto
de 1963. Com base nos padrões estabelecidos, foram inventados, ou redimensionados,
instrumentos, com os quais o aferimento preciso pudesse ser facilmente reprodutível.
1

Conforme comentado, não é necessário que a variável de um estado seja
mensurável. Porém, é mais conveniente que seja, de modo que se tenham condições de
verificar e calcular sua influência no estado do sistema que está sendo modelado. As
informações a respeito do sistema, quando dadas na forma de quantidades, são mais
práticas para a modelagem matemática.
2.3 OBTENÇÃO DE INFORMAÇÕES ATRAVÉS DE ENSAIOS
Um ensaio é um procedimento que parte da observância de um acontecimento
para a sua descrição, a qual deve ser clara o suficiente para que permita a reprodução da
mesma situação em outras ocasiões. O objetivo de uma experiência é descrever e
explicar com precisão o que acontece no evento dinâmico ocorrido. Trata-se de uma
abordagem empírica para a obtenção de informações.
Iniciado um experimento e partindo da observação acerca do que ocorre durante
a evolução do fenômeno que está sendo ensaiado, é preciso que se descreva, mesmo de
forma simples, o que tem sido visualizado. Dessa descrição sucinta seguem os passos de
identificação e verificação das variáveis, bem como os de avaliação da confiabilidade e
segurança dos dados aferidos.
As informações obtidas no procedimento alimentarão um banco de dados. Delas
decorrerá uma base de conhecimento que permitirá, ao profissional, ou estudante, que
realiza a busca, modelar e até implementar estratégias de ação e intervenções de
controle.
2.4 IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
Constituindo uma etapa importante a ser realizada em um trabalho de
modelagem, faz-se necessária a identificação das variáveis relevantes envolvidas no
fenômeno. Variável é um conceito admitido como elementar, sendo entendido como
uma função que impõe uma condição de restrição [41].
2

Definição 2.4.1: Seja um conjunto U o conjunto Universo e u um nome
genérico para seus elementos. X é uma variável quando R(X;u), subconjunto de U,
representa uma Restrição de valores imposta por X sobre os elementos de U.
Com isso, );( uXRx ∈ é equivalente afirmar ux = , );( uXRu ∈ [41].
Dentro do Espaço dos estados, cada variável é uma característica do Sistema que
pode ser observada e, preferencialmente, aferida na ocorrência do fenômeno. A
informação que cada variável representa possui uma grandeza: um tamanho mensurável
que pode ser quantificado, de maneira distinta das outras variáveis envolvidas, segundo
unidades de medida. Cada grandeza pode ser classificada como escalar ou vetorial.
Grandezas escalares são aferidas por meio de instrumentos, através de uma comparação
cujo nível de complexidade varia de acordo com o sistema. Por outro lado, uma
grandeza vetorial é fruto das grandezas escalares e possui como propriedades
fundamentais, além de seu módulo (ou intensidade), uma direção e um sentido
importantes à construção do modelo [30] [31].
A seleção de variáveis deve atender às necessidades do problema investigado.
Um refinamento muito apurado na escolha das variáveis pode implicar em uma
complexidade desnecessária, o que aumenta o tempo consumido com a realização de
cálculos. Com um número muito extenso de variáveis, o modelo pode perder
capacidades de generalização, o que impediria a previsão eficaz das respostas futuras.
Outra consideração feita ao desígnio das variáveis é a existência de uma relação de
causa e conseqüência entre variáveis de entrada e saída [6] [30] [31].
Para uma identificação prática das variáveis de estado na observação do
comportamento de um evento dinâmico físico podemos utilizar a Análise Dimensional.
Esta é uma vantajosa ferramenta para a previsão de ensaios na engenharia. Os
comportamentos de natureza física de um evento expressam suas variáveis por meio de
três grandezas escalares fundamentais: a Massa (M), o Espaço/comprimento (L), e o
Tempo (T) [2] [7].
De acordo com a Definição 2.4.1, um = , );( uMRu ∈ é a notação que
representa a variável M de grandeza absoluta Massa. Da mesma forma, denotamos a
2

variável L de grandeza absoluta Espaço por ul = , );( uLRu ∈ e a variável T de
grandeza absoluta Tempo por ut = , );( uTRu ∈ .
Definição 2.4.2: );(, uVRuuv ∈= significa uma Variável Dimensional V
quando γβα
tlmuVR ..);( = .
Apesar de ter uma definição matemática não-trivial, porém, dada a
elementaridade natural da noção de variável, o enunciado acima é comumente
apresentado sob a forma:
γβα
TempoEspaçoMassaVariável ..=
Onde βα, e γ ∈ N são chamadas dimensões da grandeza.
(2.4.1)
Com base em princípios físicos, por meio de um raciocínio analítico e
observando as dimensões do comportamento do evento, podemos identificar os
seguintes modelos dimensionais segundo a forma mais comum. Neste trabalho
adotamos o Sistema Internacional de unidades de medida [2] [7]:
Tabela 2.4.1: Grandezas Dimensionais Mecânicas
Grandeza Unidade no Sistema Internacional
010
.. TLMEspaço = metros [m];
020
.. TLMÁrea = metros quadrados [m2
];
030
.. TLMVolume = segundos [m3
];
001
.. TLMMassa = kilograma [kg];
031
.. TLMDensidade −
= kilograma por metro cúbico [kg/m3
];
100
.. TLMTempo = segundos [s];
110
.. −
= TLMVelocidade metros por segundo [m/s];
210
.. −
= TLMAceleração metros por segundo ao quadrado [m/s2
];
211
.. −
= TLMForça Newtons [N];
111
.... −
= TLMmovimentodeQuant kilograma metros por segundo [kg.m/s]
321
.. −
= TLMPotência Watts [W];
Pressão 211
.. −−
= TLM Bar;
221
.. −
= TLMTrabalho Joules [J];
2

Incluímos a grandeza Temperatura, que mede o estado de agitação térmica das
moléculas de um corpo, ao lidar com a termologia e termodinâmica. As fórmulas
dimensionais se apresentam da seguinte forma:
Tabela 2.4.2: Grandezas Dimensionais para Termologia e Termodinâmica
1000
... θTLMaTemperatur = Kelvin [K];
1000
.... −
= θTLMdilataçãodeCoefic Unidades por Kelvin
221
.... −
= TLMcalordeQuant Joules [J];
1220
... −−
= θTLMespecíficoCalor Joule por kilograma Kelvin [J/kg.K];
1221
... −−
= θTLMTermicaCapacidade Joule por Kelvin [J/K];
0220
... θ−
= TLMLatenteCalor Joule por kilograma [J/kg];
0321
.... θ−
= TLMcalordeFluxo Joules por segundo [J/s];
A grandeza Corrente Elétrica, a qual afere a quantidade de carga elétrica que
atravessa a secção reta de um condutor por unidade de tempo considerada. é admitida
como fundamental quando a intenção é a modelagem de sistemas elétricos [2] [7].
Tabela 2.4.2: Grandezas Dimensionais para Eletricidade
Carga.elétrica 1100
... ITLM= Coulomb [C];
1321
..... −−
= ITLMPotencialdeDif Volts [V];
1311
.... −−
= ITLMelétricoCampo Newton por Coulomb [N/C]
Resist.elétrica 2321
... −−
= ITLM Ohm [Ω];
2421
.... ITLMicaeletrostátCapacidade −
= Farad [F];
1221
.... −−
= ITLMmagneticoFluxo Weber [Wb].
2.5 REALIZAÇÃO DAS MEDIDAS
Todo método experimental que visa um modelamento matemático prático
necessita determinar valores numéricos para um determinado estado. Sabemos que
quantificar é um dos métodos mais simples para se abstrair informações com as quais se
constrói um conceito. A aquisição desses dados se dá por meio de comparação do
estado das variáveis com padrões e escalas de grandezas para elas já estabelecidos.
2

Os dados coletados, denominados medidas, são os resultados de uma
comparação de um valor desconhecido com o valor adotado como padrão da grandeza
observada. A medida traz uma informação numérica a respeito de algum estado quanto
a uma variável que está sendo observada.
Quando a comparação do valor desconhecido da grandeza é feita diretamente
com o padrão, chamamos de medição direta. Quando essa comparação é feita com
padrão de grandezas relacionadas, como no caso da temperatura, que é medida
relacionando comprimento da coluna de mercúrio que se dilata para cada estado de
agitação das moléculas de um corpo, dizemos que a medição é indireta [33].
O resultado de uma medida M deve expressar um valor numérico m, uma
unidade u e um indicativo de confiabilidade. Este indicativo é denotado por um valor
numérico avaliando um erro provável cometido Δm. Dispostos este resultado da
seguinte forma geral [33]:
ummM )( ∆±=
(2.5.1)
É importante salientar alguns critérios na leitura da escala dos instrumentos
utilizados para mensuração de um estado: suas escalas possuem divisões e subdivisões a
fim de garantir uma precisão na leitura. Os algarismos que marcam as divisões e
subdivisões têm o status de significativos, pois concebem a certeza do aparelho para
medida. Contudo, há entre cada subdivisão um intervalo que necessita ser avaliado. Ao
apresentar o valor para m este deve conter a leitura numérica das divisões e subdivisões
reservando o último dígito para a avaliação daquele intervalo onde reside um algarismo
duvidoso. O algarismo duvidoso deve ser único e é sobre ele que incide o indicativo de
confiabilidade Δm.
Dada a necessidade de calcular com dados aferidos, no processo de previsão do
modelo, realizamos todas as operações aritméticas elementares cuidando apenas em
apresentar o resultado na casa decimal da parcela mais pobre em decimais segundo
alguns critérios de arredondamento [33].
2

No processo de aquisição dos dados, consideramos a segurança das informações
coletadas, definindo uma certeza. Para tanto avaliamos a confiabilidade destas
informações intuindo uma margem de erro provável.
2.6 Incerteza das Medidas
Devido às características dinâmicas de um objeto de estudo, e mesmo de um
procedimento experimental para a coleta de dados, as medidas realizadas não refletem a
verdade absoluta dos fatos visualizados. Quando uma experiência é feita vários fatores a
influenciam, incorrendo em sua imprecisão. Entre estes estão: a precisão imperfeita dos
instrumentos usados, a estimação da leitura dos algarismos duvidosos feita pelo
operador, as transformações de unidades, os critérios de arredondamento e outros que
fogem à previsão.
Em um procedimento experimental, as medidas não devem se ater, portanto,
somente aos aspectos meramente quantitativos do estado aferido, mas,
fundamentalmente, aos aspectos qualitativos da análise e modelagem de Sistemas
Dinâmicos. Desta forma, todo modelo de representação de dados necessita de uma
avaliação da confiabilidade dos resultados que apresenta. No processo de aquisição dos
dados, consideramos a segurança das informações coletadas, definindo então, uma
medida de certeza e uma de Erro.
As classificações de Erros na literatura trazem, entre as nomenclaturas mais
comuns, a classificação dos erros em três categorias: Erros de Escala, Erros
Sistemáticos e Erros Aleatórios [33]:
• Os Erros de Escala são devidos à imperfeição residente em qualquer
aparelho, por mais preciso que este pretende ser;
• Os Erros Sistemáticos são em geral padronizados e induzidos por uma
causa que, quando descoberta a origem, é possível eliminá-lo ou
compensá-lo. São decorrentes de instrumentos descalibrados, erros no
2

método ou de operação do método de medição, falta de pratica do
operador, entre outros;
• O Erro aleatório é o mais imprevisível, impossível de determinar seu
valor verdadeiro. Geralmente é decorrente de perturbações
incompreensíveis, sendo até ser considerado e denominado por alguns
autores como “acidentais”. Sua eliminação é impossível, porem pode ser
atenuado à custa de maior morosidade ou aumento no custo dos ensaios.
A noção fundamental observada é a de que cada medida é um intervalo e não um
número. Assim, em qualquer situação que envolva medidas, deve-se adotar um valor
que melhor represente a grandeza mensurada e uma Margem de Erro máxima
aceitável, dentro da qual deve estar compreendido o valor real.
Existem várias formas de avaliar a confiabilidade de um conjunto de n medidas
e informações de um Estado, intuindo uma margem de Erro provável, principalmente
para os Erros Aleatórios. A mais comum é o tratamento estatístico do erro onde se
enfatizam os seguintes passos [33]:
• Calcular a Média m das medidas de um mesmo estado
n
m
m
i∑
=
i=(1,2,...,n)
(2.6.1)
• Calcular o desvio de cada medida em relação à média
mmm ii −=∆ i=(1,2,...,n)
(2.6.2)
• Calcular o Desvio Padrão, que indica convergências das medidas ao
redor de seu valor mais provável;
2

1
)( 2
−
∆
=
∑
n
mi
σ i=(1,2,...,n)
(2.6.3)
• Calcular o Desvio Padrão da Média, o qual é admitido numericamente
como o Erro Aleatório estimado;
nm /σσ =
(2.6.4)
Quanto aos Erros de Escala, podemos estipulá-los segundo alguns critérios
dependentes do tipo do aparelho. Como já foi dito, esse erro é inevitável, visto que, por
mais precisão que o instrumento de medição ofereça, há sempre que considerar alguma
imperfeição. Em instrumentos analógicos podemos avaliar o erro que incide sobre
algarismo duvidoso como sendo a metade da menor divisão de escala (MDE)1
[33].
2
MDE
Eesc ±=
(2.6.5)
Em instrumentos não-analógicos, o Erro de Escala é avaliado como a menor
divisão de escala [33].
MDEEesc ±=
(2.6.6)
2.7 Propagação de Erros
Quando realizamos medições indiretas, onde o valor numérico de uma grandeza
depende de uma relação matemática entre valores de grandezas diferentes, como é o
1
Se a medida é 1,63 m (um metro e sessenta e três centímetros), MDE é a casa dos cm.
2

caso das Grandezas Dimensionais, os Erros individuais presentes em cada medida
exercem influencia sobre a certeza do valor de medida fornecido indiretamente. Sempre
que se realizam operações matemáticas envolvendo valores de medidas, os resultados
dos cálculos incorporam e acumulam, necessariamente, os Erros decorrentes da medição
de cada grandeza envolvida na operação. Podemos deduzir a acumulação de erros por
meio da seguinte analogia com as Derivadas Parciais [33]:
Seja y=f(x1 x2,..., xn) uma grandeza dependente de outras. Sua medida é,
portanto, indireta.
A variação de y em função de cada uma das variações das Variáveis de entrada é
dada por:
n
n
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dy )(...)()( 2
2
1
1 ∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
(2.7.1)
Considerando os Erros como variações infinitesimais das unidades de medida, é
oportuno afirmar que ele é a Derivada da medida. Assim o Erro acumulado pode ser
expresso por
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
y ∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆ ...2
2
1
1
(2.7.2)
Temos, para as operações básicas, habitualmente empregadas as seguintes
equações de propagação de erros [33]:
• Adição: O erro relativo da adição de Medidas é a soma dos erros
relativos de cada parcela, ponderada pela participação da parcela no total
da soma.
)()()()( yxyxyyxx ∆±∆±+=∆±+∆±
(2.7.3)
2

• Subtração: O erro relativo da diferença entre medidas é a soma dos erros
relativos do minuendo com o erro relativo do subtraendo, ponderados
pela participação de cada um no resultado da subtração;
)()()()( yxyxyyxx ∆±∆±−=∆±−∆±
(2.7.4)
• Multiplicação: O erro relativo do produto de duas medidas é a soma dos
erros relativos dos fatores;
)..().()).(( yxxyyxyyxx ∆±∆±=∆±∆±
(2.7.5)
• Divisão: o erro relativo da divisão é a soma dos erros relativos do
dividendo e do divisor;
2
/)..()()()( yyxxyyxyyxx ∆±∆±÷=∆±÷∆±
(2.7.6)
• Potenciação: o erro relativo da potência de uma medida é a derivada da
medida
xxnxxx nnn
∆±=∆± −
..)( 1
(2.7.7)
• Logaritmação natural: o erro relativo do logaritmo natural de uma
medida é a razão entre o erro cometido e a medida;
xxxxx /ln)ln( ∆±=∆±
(2.7.8)
2

• Logaritmação decimal: o erro relativo do logaritmo de uma medida é a
razão entre o erro cometido e a medida, multiplicado pelo coeficiente
0,4343;
xxxxx /.4343,0log)log( ∆±=∆±
(2.7.9)
As noções de incertezas e erros já são idéias presentes em todos os campos do
Cálculo e da Modelagem de Sistemas. Considerando que os dados de um procedimento
experimental já não são exatos, e sim aproximados e, compreendendo que operações
realizadas com base em valores inexatos acumulam e propagam, por menores que
sejam, esses erros a seus resultados, atualmente, é comum a recorrência a métodos de
modelagem que prezem pela minimização dos erros cometidos, procurando resultados o
mais próximo possível dos reais valores exatos.
3

Capítulo 3
MODELAGEM POR PROPOSIÇÕES CONDICIONAIS DIFUSAS
3.1 INTRODUÇÃO
A descrição matemática de um evento segundo uma equação determinística é
sem dúvida a mais precisa e eficaz. Porém, esta é dependente da inserção de dados da
mesma forma precisos para os parâmetros de modelagem. Os modelos clássicos são
construídos a partir de hipóteses e seus parâmetros, impetrados por uma simulação, ou
pela experiência empírica, nem sempre exprimem os ajustes adequados para os fatos aos
quais equivalem [14] [43] [46].
Apesar da busca pela precisão incisiva em uma modelagem, esbarramos diversas
vezes na incerteza dos dados coletados ou na subjetividade do conhecimento das
variáveis. Devido à carência de informações específicas que descrevam precisamente os
estados com que um sistema deveria responder às entradas, se fez necessário o
desenvolvimento de uma teoria capaz de manipular e operar matematicamente os
conceitos subjetivos e incertos das noções práticas humanas e do senso comum, que não
são rigorosamente verdadeiros ou falsos. Esses conceitos, que geralmente são fruto de
experiências cotidianas, são bem compreendidos pelo ser humano, quando transmitidos,
sem que sejam necessariamente exatos [22] [31].
A Teoria dos Conjuntos Difusos (Fuzzy Sets Theory), e as técnicas nela
fundamentada, são poderosas ferramentas capazes de computar com palavras que
concebem idéias e noções vagas a respeito de um determinado estado, de acordo com o
perfil matemático do conceito. A representação matemática de uma informação difusa é
feita, qualitativamente, segundo graus com os quais expressa a verdade. Com isso, ao
desvendar o relacionamento entre as variáveis de um sistema dinâmico cujas
informações são vagamente quantificáveis, implementamos Modelos Difusos para
descrevê-lo por meio de uma base de regras que incorporem matematicamente o
conhecimento qualitativo do evento [14].
3

O uso de métodos de Modelagem Difusa tem demonstrado bons efeitos e
robustez na modelagem de sistemas não-lineares, principalmente quando não se tem
conhecimento, ou quando o conhecimento do comportamento de um sistema é
parcialmente conhecido, ou ainda quando o conhecimento é apenas sobre os aspectos
qualitativos. Isso se deve à facilidade de entendimento dos conceitos, que são baseados
na comunicação humana, o que torna mais fácil a modelagem. O tratamento difuso
atribui ao modelo uma simplificação na exposição do processo e maior tolerância a
informações mal aferidas, satisfazendo múltiplos objetivos de controle [14] [15] [25].
O objetivo deste capítulo é explicar a forma com que a Lógica Fuzzy pode ser
empregada na modelagem de sistemas dinâmicos utilizando Conjuntos Difusos para
demonstrar processos reais.
3.2 BREVE HISTÓRICO DA LÓGICA FUZZY
Os Problemas de Incertezas vêm sendo estudados há aproximadamente três
séculos. Em tais problemas, têm-se adotado soluções probabilísticas para o
comportamento de um evento dinâmico cuja incerteza das variáveis é de natureza
aleatória. Quanto às noções subjetivas do pensamento humano, tiveram seus estudos
iniciados a partir de 1923 por Bertrand Russel, e sintetizado efetivamente na década de
60 pelo professor Lotfi Zadeh, da Universidade da Califórnia em sua Teoria dos
Subconjuntos Fuzzy, que permaneceu incompreendida por muito tempo [31].
A primeira aplicação prática foi implementada por Mandani [..] em 1976. Nesta
ocasião, ele implementou controladores Fuzzy para automatização de uma máquina a
vapor, os quais eram baseados em um método de inferência intuitivo, que será descrito
mais adiante. A partir daí, foram desenvolvidas técnicas com uma ampla variedade de
aplicações, demonstradas em diversos trabalhos e publicações sobre Lógica Fuzzy.
Na década de 80, a inauguração do metrô de Sendai, no Japão, chama a atenção
do mundo: Trens sem a presença de maquinista para controlar velocidade, a aceleração
3

e a frenagem durante o deslocamento entre as estações. As máquinas eram totalmente
automatizadas por um sistema difuso que controlava as variáveis sem a supervisão
humana. Desde então, controladores Fuzzy foram largamente desenvolvidos, até que nos
anos 90, com o advento de novas técnicas de Inteligência Artificial e controle, como as
Redes Neurais e Algoritmos Genéticos, foram colocados à parte da moda de pesquisa e
aplicações.
Porém, devido à sua grande destreza no tratamento de raciocínios aproximados,
a Lógica Fuzzy retoma uma posição de destaque na pesquisa tecnológica combinada
com outras técnicas de Inteligência Artificial para o manuseio de incertezas com melhor
adaptabilidade e aprendizagem, proporcionando resultados ainda melhores e de menor
custo na automação e controle de Sistemas Dinâmicos. Esta ainda é uma vasta área para
pesquisa e desenvolvimento, visto o extenso referencial teórico construído e a variedade
de aplicações a que se destinam técnicas de Inteligência Artificial [31] [37].
3.3 CONJUNTOS DIFUSOS
Segundo a Teoria Clássica dos Conjuntos, baseada em apenas dois valores, dado
um elemento qualquer, e uma lei de formação de um conjunto, esse elemento
simplesmente pertence, ou não, ao conjunto restrito pela lei. À medida que avança a
percepção de que o mundo não é constituído de fatos puramente verdadeiros ou falsos,
admite-se a idéia de que dois fatos opostos podem existir simultaneamente. Assim, a
veracidade ou a pertinência de um elemento a um conjunto passou a ser incerta. Em
contraponto à Lógica Clássica, elaborada por Aristóteles, a Teoria dos Conjuntos
Difusos propõe que um elemento pode ser admitido parcialmente em um conjunto, e sua
pertinência ao subconjunto fuzzy, bem como a veracidade de uma afirmação, é graduada
[31] [51].
Conjuntos Difusos são utilizados para descrever conceitos incorporando
matematicamente noções intuitivas; conhecimentos subjetivos ou dúbios; variáveis
lingüísticas; raciocínios incompletos, fragmentados ou aproximados. Em outras
palavras, os subconjuntos Fuzzy são formas matemáticas de representação dos
vocábulos utilizados cotidianamente na comunicação humana. Por exemplo: “o motor
3

está quente/morno/frio”, “o nível é baixo/médio/alto”, “grandes/médias/pequenas
quantidades”, entre outros [15].
3.3.1 Definição
Um Conjunto Difuso T é restrito por uma função que relaciona os elementos de
um domínio qualquer do Universo de Discurso U a uma imagem que no intervalo Real
[0, 1]. Esta função, denominada Função de Pertinência (Member Function) 2
do
elemento, indica o grau μT(u) com que o elemento u pertence ao conjunto difuso [34]
[51].
Definição 3.3.1.1: Seja Uu ∈ , um Conjunto Difuso é o conjunto representado
pelos pares ordenados ))(,( uu Tµ .
A função )(uTµ é utilizada para definir quais elementos do Universo de
Discurso U pertencem ao conjunto que se pretende criar, atribuindo-lhes um valor que
gradua a verdade desta pertinência. Podemos entender, então, que esta Função de
Pertinência indica elementos que pertencem mais ou menos que outros. Quando
afirmamos que )(uTµ = 0, corresponde à não-pertinência do elemento ao conjunto
criado; a afirmação )(uTµ = 1 indica que o elemento pertence plenamente ao conjunto,
generalizando assim a teoria clássica dos conjuntos. O Grau de Pertinência )(uTµ
= 0,5 demonstra um paradoxo, indicando um elemento pode pertencer parcialmente ao
conjunto e que sua pertinência é igualmente verdadeira e falsa. Dentro desse novo
paradigma, os conjuntos não-difusos, denominados abruptos (crisp sets), são
considerados casos especiais dos Conjuntos Difusos (fuzzy sets) [25] [31] [34] [40] [51].
3.3.2 Representação Gráfica
As funções de pertinência demonstram as “quantidades de informação” que uma
determinada palavra fornece ao representar uma informação lingüística que indica com
que nível um item se aproxima do conceito descrito [36]. Podem ser concebidas por um
conjunto discreto de pontos ou por uma função contínua dentro do Universo de
2
Abreviada por “mf” ao final de cada denominação de seus formatos.
3

Discurso U. Visualmente, a curva que define como cada elemento do domínio é
graduado no espaço de entradas pode assumir as seguintes formas gráficas gerais [43]
• Triangular e Trapezoidal: Descritas por linhas retas, são as mais simples
e comuns pela facilidade de construção, operação e inferência. No
entanto, estas não são diferenciáveis em todos os seus pontos;
Figura 3.3.2.1: Exemplos de Funções de Pertinência Triangular e Trapezoidal. Fonte:
MATLAB “Fuzzy Logic Toolbox 2 – User’s Guide”. The Mathworks, Inc., 2007.
• Distribuição de Gauss: São tão simples quanto as triangulares e
trapezoidais, com a vantagem da diferenciabilidade em todos os pontos.
Porém, não são indicadas para mapear conceitos assimétricos.
Figura 3.3.2.2: Exemplos de Funções de Pertinência da forma Gaussiana. Fonte: MATLAB
“Fuzzy Logic Toolbox 2 – User’s Guide”. The Mathworks, Inc., 2007.
3

• Sigmoidal: Recomendadas para a descrição de assimetrias entre os
elementos do conjunto;
Figura 3.3.2.3: Exemplos de Funções de Pertinência da forma Sigmoidal. Fonte: MATLAB
“Fuzzy Logic Toolbox 2 – User’s Guide”. The Mathworks, Inc., 2007.
• Z, Pi e S: Também são recomendadas para o mapeamento de assimetrias.
Apesar de semelhantes às sigmoidais, têm obrigatoriamente elementos
cuja pertinência )(uTµ = 0, e outros de pertinência )(uTµ = 1.
Figura 3.3.2.4: Exemplos de Funções de Pertinência na formas de Z, Pi e S. Fonte:
MATLAB “Fuzzy Logic Toolbox 2 – User’s Guide”. The Mathworks, Inc., 2007.
3.3.3 Critérios de Construção
Há três critérios, comumente utilizados, para estabelecer um conjunto difuso: a
similaridade, preferência ou incerteza, de acordo com a aplicação a que se destina a
técnica de modelagem [Dubois & Prade]. As Funções de Pertinência podem ser
arquitetadas por classes de equivalência, a partir de dados probabilísticos, estatísticos ou
intuitivos, acerca do objeto de estudo, de forma que a semelhança ou a diferença entre
3

elementos de um mesmo conjunto difuso pode ser definida por uma separação métrica.
Cada conjunto difuso mapeia as possibilidades de pertinência do elemento.
A similaridade entre elementos de um conjunto vem da percepção empírica,
assim o grau de pertinência representa o grau de semelhança entre os itens do conjunto
difuso. Este método de construção de Conjuntos Difusos baseia-se na comparação, feita
por um especialista, entre os elementos do Universo de Discurso U. Por exemplo,
comparando sensivelmente pode-se diferenciar o que é branco, cinza, preto.
Figura 3.3.3.1: Conjuntos difusos criados com ênfase na Semelhança dos tons entre as cores
Branco e o Preto.
A concepção de um conjunto difuso, segundo a Preferência, se dá ao fato de um
mesmo vocábulo representar conceitos diferentes, ou até mesmo conceitos iguais com
intensidades diferentes, para cada indivíduo. Assim, a teoria dos conjuntos difusos
confere uma liberdade de graduação da verdade de forma arbitrária e particular. Um
exemplo são os conceitos de pontualidade.
A incerteza é o método de construção de um conjunto difuso que gradua os
níveis de verdade de uma afirmação segundo a segurança que o sistema oferece [5]. Ao
descrever o sistema, o especialista, tendo a noção das possíveis respostas que este pode
oferecer, gradua a pertinência dos valores de U conforme seu conhecimento prático
dosado de intuição. Um exemplo prático pode ser a conceituação de Velocidade segura
para dirigir em uma estrada.
3

Figura 3.3.3.2: Conjuntos difusos criados com ênfase na incerteza da segurança da
Velocidade para dirigir em uma estrada.
Para a construção de um conjunto difuso, o especialista tem total liberdade ao
arquitetar sua função de pertinência de acordo com sua experiência. Não há regras e
nem formatos específicos que devam ser rigorosamente seguidos. Os critérios de
construção aqui apresentados não são os únicos: foram citados para demonstrar de
forma prática a construção de Conjuntos Difusos para representar conceitos lingüísticos.
A única condição que deve ser satisfeita é que a Função de Pertinência varie somente
entre o intervalo Real [0,1].
3.3.4 Operações Lógicas
As operações básicas entre conjuntos difusos que serão posteriormente utilizadas
na construção de um modelo matemático, estão definidas nesta subseção. Algumas
delas são extensões da teoria clássica dos conjuntos [43].
Sejam A e B subconjuntos de um mesmo Universo de Discurso:
Definição 3.3.4.1: UuuumáxBA BA ∈∀=∪ )},(),({ µµ é denominada
operação de União.
A união é implementada pelo conectivo lógico “OU” (OR).
Definição 3.3.4.2: UuuumínBA BA ∈∀=∩ )},(),({ µµ é denominada
operação de Intersecção.
Esta operação é implementada pelo conectivo lógico “E” (AND).
3

Definição 3.3.4.3: )}(1{ uA Aµ−= é chamado Complemento de T.
Esta operação é entendida como a negação do conjunto difuso, implementada
pelo conectivo “NÃO” (NOT).
As Operações com Conjuntos Difusos devem oferecer resultados corretos
quando apostas a conjuntos abruptos, já que estes são casos especiais dentro da Teoria
dos Conjuntos Difusos. Apresentamos, portanto, uma demonstração gráfica das
operações acima definidas [43]:
Figura 3.3.4.1: Operações com Conjuntos Difusos. Fonte: MATLAB “Fuzzy Logic Toolbox 2 –
User’s Guide”. The Mathworks, Inc., 2007.
Considere agora dois Conjuntos Difusos definidos em Universos de Discurso
diferentes: A em X e B em Y.
Definição 3.3.4.4: O Produto Cartesiano entre os Conjuntos Difusos A e B é o
Conjunto Difuso YyXxyxyxBA BA ∈∀∈∀=× × ,)},(),,{( µ .
Entendemos que produto cartesiano BA× é uma Relação R contida no produto
cartesiano YX × [29].
YXRBA ×⊂=×
(3.3.4.1)
3

Figura 3.3.4.2: Interpretação geométrica do Produto cartesiano entre conjuntos difusos
Para a implementação de relações de causa e conseqüência, fundamental na
técnica de modelagem apresentada neste trabalho, é definida a operação de Implicação
Difusa, simbolizada por (→ ).
Assim, chamamos a Relação R de Regra. Uma Regra consiste em uma Premissa
(conjunto A) e uma Conseqüência (conjunto B) da aplicação da operação de Implicação
Difusa. Em acordo com o que foi exposto nos parágrafos anteriores, esta operação pode
ser definida como:
Definição 3.3.4.5: )()( YABABA ×∪×=→
Sejam os valores Ax ∈ e By ∈ , A e B conjuntos difusos definidos
respectivamente nos Universos de Discurso X e Y. Sem discordar da Definição 3.3.4.5,
para a Relação Difusa BAR →= , são apresentadas as seguintes formas práticas de
Implicação Difusa [29]:
Mamdani: ],[== × )()(min),(),( yxyxyx BABAR µµµµ
(3.3.4.2)
Lukasiewicz: ]+−[== × ))()(1(,1min),(),( yxyxyx BABAR µµµµ
(3.3.4.3)
Soma Limitada: ]+[== × ))()((,1min),(),( yxyxyx BABAR µµµµ
(3.3.4.4)
Goguen: ][== × )(/)(,1min),(),( xyyxyx ABBAR µµµµ
(3.3.4.5)
4

3.4 FUNDAMENTOS DA MODELAGEM DIFUSA
Um sistema dinâmico caracterizado por n variáveis pode ser modelado por um
Método Difuso de acordo com o entendimento e com as experiências práticas de um
especialista no assunto a respeito de como este sistema se desenvolve no decorrer de sua
observação. Os sistemas modelados segundo a Lógica Difusa são usualmente chamados
de Sistemas Fuzzy.
A Modelagem Difusa confere um tom mais realista para a simulação de um
evento dinâmico, talvez, excessivamente complexo para ser exposto de modo totalmente
compreensível segundo técnicas convencionais quantitativas, que resultam em equações
diferenciais. Os Modelos Difusos têm como principais características a facilidade de
compreensão, por sua simplicidade estrutural. Em geral, são de grande destreza para a
solução de problemas não-lineares e aproximação de comportamentos complexos, cujas
variáveis são pouco compreensíveis [9] [31].
Para a construção de um Sistema Fuzzy, são necessários os seguintes
componentes básicos [10]:
• A identificação de Variáveis Lingüísticas para representar as variáveis
de entrada e saída do sistema;
• A criação de um Sistema Especialista baseado em Regras Lingüísticas
que proponham Relações Fuzzy entre as idéias e os fatos da dinâmica do
evento observado com a combinação de todas as proposições que
fornecerá a representação do processo ao qual é proposta a modelagem;
• A implementação de um mecanismo de Inferência Difusa que avalie as
regras e possibilite o uso do modelo para a obtenção de respostas em
simulações.
4

3.4.1 Variáveis Lingüísticas
A idéia central da técnica de modelagem de sistemas, neste trabalho, exposta, é
abandonar boa parte dos padrões matemáticos rigorosos para mensurar os estados das
variáveis de um sistema dinâmico. Estas variáveis, quando analisadas durante a
observação do comportamento, deixam de ser consideradas e aferidas somente de forma
numérica exata, e passam a admitir que os seus estados sejam descritos segundo
palavras, usuais na forma subjetiva de pensar e de se comunicar do ser-humano [45].
Os vocábulos, que transmitem um conhecimento incerto a respeito do estado de
uma variável, são abstraídos e concebidos matematicamente por meio da construção de
alguns Conjuntos Difusos, os quais recebem, em geral, o nome do termo de valor
lingüístico que representam. Um conjunto difuso denotado por
i
xT é denominado
Termo Lingüístico (Linguistic Term) da variável x [15].
Definição 3.4.1.1: },...,,,{)( 210 n
xxxx TTTTxT = é o conjunto dos Termos
Lingüísticos que qualificam a variável x.
Os Termos Lingüísticos, em geral, são adjetivos, empregados para caracterizar
de forma subjetiva o estado de uma variável. Um exemplo didático comum é o termo
i
xT = Ambiente para qualificar uma variável x =Temperatura na frase: À “temperatura
ambiente” ocorrem reações que demandam 136kcal.
Definição 3.4.1.2: Uma Variável Lingüística X é uma Variável de Estado x
associada um conjunto T(x).
Novamente, tomando a variável x como sendo TEMPERATURA, esta pode ser
associada ao conjunto },,{)( 321
xxx TTTxT = , sendo
1
xT = alta;
2
xT = baixa;
3
xT =
ambiente, definidos estatisticamente ou intuitivamente, de acordo com os critérios de
apreciação da variável adotados (a partir de quantos graus Celsius a temperatura é
considerada alta? Ou baixa? Ou ambiente?) [15].
4

Os Termos Lingüísticos podem propor uma caracterização aproximada para
fenômenos cujos estados das variáveis são mal definidos quantitativamente,
transmitindo, contudo, a expressão da semântica utilizada por especialistas. A
transmissão dessa expressão se dá por meio de Afirmações verbais nas quais é declarada
a associação da variável com cada termo lingüístico que conota um estado seu:
x é
i
xT
(3.4.1.1)
É comum na comunicação oral o uso de advérbios para a modificação de verbos,
adjetivos e até mesmo outros advérbios, exprimindo circunstâncias de tempo, modo,
lugar, qualidade, causa, intensidade, oposição, afirmação, negação, dúvida, aprovação
etc.. Da mesma forma, são considerados essenciais às expressões lógicas difusas
atuando como Transformadores da Afirmação de uma Variável Lingüística. Temos
como exemplos os conceitos [22]:
• Por volta de, Aproximadamente: Aproxima um escalar, descrevendo-o
como um Número Fuzzy 3
.
Figura 3.4.1.1: Conceito de Aproximadamente. Fonte: LUDERMIR, Teresa, “Tratamento
de Incerteza e Lógica Fuzzy”.
• Bastante, extremamente: Opera uma concentração, aumentando o rigor e
a precisão do conjunto difuso.
3
Valor numérico aproximado segundo um conjunto difuso.
4

• Pouco: Ao contrário do conceito anterior, opera uma diluição do
conjunto difuso, diminuindo o rigor do conjunto.
• Mais que, maior que, menos que, menor que: Restringe uma região.
4

3.4.2 Regras Lingüísticas
As técnicas de Modelagem Fuzzy, utilizam conjecturas lógicas para descrever a
relação entre variáveis de um sistema dinâmico. Estas conjecturas mapeiam os
elementos de um Universo de Discurso X, de entradas, em um outro, Y, de saídas.
Nelas, as leis do sistema são implementadas sob a forma de Proposições Condicionais
4
, onde as variáveis de entrada (x) estão dispostas nas premissas das proposições e as de
saída (y) estão nas conseqüências. Com o uso de Termos Lingüísticos para qualificar as
variáveis de um evento, são conferidas, às proposições, características Difusas. Devido
a estas características tais conjecturas são denominadas Proposições Condicionais
Difusas tendo o seguinte aspecto [15]:
Se x é
i
xT então y é
i
yT
(3.4.2.1)
Para um sistema dinâmico de múltiplas entradas e saídas, temos por extensão:
Se x1 é
i
xT 1
,..., e xn é
i
xn
T então y1 é
i
yT 1
,..., e yn é
i
yn
T .
(3.4.2.2)
4
Proposições Lógico-matemáticas na forma “Se – então” (IF-THEN)
4

Proposições Condicionais Difusas compõem o mecanismo chave do Modelo
Difuso. Tais proposições são empregadas na construção de Sistemas Fuzzy para
demonstrar as relações entre as variáveis e descrever Regras de Controle Lingüísticas
(Linguistic Control Rules) ou simplesmente Regras Lingüísticas, que implementam
computacionalmente a Base de Conhecimento (Knowledge Base) do Sistema
Especialista que apresenta um Modelo Difuso para um Sistema Dinâmico. Assim sendo,
um Sistema MIMO composto por n variáveis tem o seguinte formato [16] [22]:
R1) Se x1 é
i
xT 1
,..., e (ou) xn é
i
xn
T , então y1 é
i
yT 1
,..., e (ou) yn é
i
yn
T .
R2) Se x1 é
i
xT 1
,..., e (ou) xn é
i
xn
T , então y1 é
i
yT 1
,..., e (ou) yn é
i
yn
T .
.
.
.
Rk) Se x1 é
i
xT 1
,..., e (ou) xn é
i
xn
T , então y1 é
i
yT 1
,..., e (ou) yn é
i
yn
T .
(3.4.2.3)
3.4.3 - Inferência Difusa
Inferência é o método de raciocínio lógico pelo qual obtemos conclusões a partir
dos fatos e proposições que a Base de Conhecimento de um Sistema Especialista
oferece. Efetivamente, é o uso do modelo para mapear o espaço de entradas num espaço
de saídas [10].
Dispondo as entradas e as saídas em uma linha lógica de causa-efeito, obtemos
conclusões a respeito da informação contida na Conseqüência por meio de analogias,
induções ou deduções, a partir da Premissa [43].
O mecanismo de Inferência Difusa (Fuzzy Inference System), processo de
ilação em Regras Lingüísticas para a aquisição de conclusões e respostas a respeito do
Sistema Fuzzy, consiste na avaliação dos valores impostos como entradas apoiada nas
regras da Base de Conhecimento que o Sistema Difuso oferece, alocando um vetor de
saídas como conclusão. Esta avaliação permite a dedução de certezas e convicções a
respeito das respostas do sistema às entradas, na situação modelada [31].
4

Há vários métodos para Inferência Difusa em um Sistema Fuzzy, porém, o mais
comum entre eles, para a alocação do vetor de saídas, é o algoritmo desenvolvido e
implementado por Mandani (Mandani-type) [43]. O diagrama apresentado a seguir
oferece uma noção do funcionamento desta técnica, demonstrando-a para um sistema
MISO (extensível a um MIMO), que é subdividida em cinco etapas críticas: a
Fuzzificação (Fuzzification) das entradas, execução das Operações Lógicas (Logical
Operations) entre os Conjuntos Difusos, aplicação da Implicação (Implication
Method), Agregação (Aggregation Method) e Defuzzificação, conforme os passos
abaixo descritos [43]:
• Toma-se a base de Regras Lingüísticas que descreve o processo
dinâmico e um vetor de entradas, que podem ser abruptas ou difusas;
• Apresentam-se ordenadamente as entradas como a premissa de uma nova
proposição condicional;
Figura 3.4.3.1: Diagrama demonstrativo de Inferência difusa, editado com base na figura
MATLAB “Fuzzy Logic Toolbox 2 – User’s Guide”, pág. 2-29. The Mathworks, Inc., 2007.
4

• Com base em analogias efetua-se a Fuzzificação da informação contida
no vetor de entrada, conforme demonstrado (Figura 3.3.4.1), pelas linhas
verticais, avaliando-se a compatibilidade entradas com as condições de
pertinência impostas pelos Termos Lingüísticos às variáveis de entrada,
ponderando o grau de pertinência de cada estado, abrupto ou difuso das
variáveis de entrada;
• Executam-se as Operações Lógicas “E” (AND) e “OU” (OR) entre os
Conjuntos Difusos nas premissas, conforme definido em 3.3.4;
• Deduz-se, através da aplicação da Implicação, com qual graduação a
informação de entrada fuzzificada influi sobre o Termo Lingüístico que
descreve cada uma das variáveis de saída, como indicam as setas
horizontais para a direita (Figura 3.3.4.1). Assim, em cada regra, temos
como conseqüência conjuntos difusos, decorrentes dos Termos
Lingüísticos que expressam as saídas, com intensidades proporcionais à
Fuzzificação da entrada;
• Para cada variável de saída é realiza-se a Agregação dos Conjuntos
Difusos, como indicado pelas setas verticais para baixo (Figura 3.3.4.1).
A composição é um cálculo gráfico da operação de União entre todos os
conjuntos truncados no passo anterior a qual resulta em um único.
• A partir do Conjunto Difuso resultante da Composição, procede-se a
Defuzzificação, onde este é convertido em um valor numérico para as
variáveis de saída do sistema. Para a Defuzzificação existem vários
métodos, tais como: Primeiro dos Máximos (First-of-Maxima), Médio
entre os Máximos (Middle-of-Maxima) e Critério Máximo, porém o mais
utilizado é o Centro de Gravidade (Centroid).
4

3.4.4 Métodos Defuzzificadores
Assim como em outras técnicas de raciocínio incerto empregadas em projetos de
sistemas especialistas, a Ilação Difusa tenta estabelecer uma convicção na conclusão de
uma regra, dada a evidência avaliada na premissa da mesma. Essa convicção se
concretiza no resultado da Defuzzificação, a qual provê as efetivas respostas do sistema.
Assim, a escolha do critério defuzzificador é de fundamental importância para a
produção de respostas com a precisão necessária ao projeto [22] [24] [43].
São comumente utilizados os seguintes métodos:
• Primeiro dos Máximos (First-of-Maxima): Toma-se o primeiro valor a
apresentar o maior Grau de Pertinência
• Médio entre os Máximos (Middle-of-Maxima): Entre os elementos que
apresentam o máximo Grau de Pertinência, toma-se como resposta o
valor que está posição intermediária entre o menor deles e o maior
• Centro de Gravidade (Centroid): A resposta é a abscissa do centro da
área da figura embaixo da curva resultante da Agregação dada por:
∫
∫=
dxx
dxxx
y
)(
)(
µ
µ
(3.4.4.1)
Figura 3.4.4.1: Métodos usuais de Defuzzificação
4

Capítulo 4
MÉTODOS FUZZY PARA MODELAGEM
4.1 MODELOS DIMENSIONAIS
A técnica Análise Dimensional, apresentada no segundo capítulo deste trabalho,
além de ser uma poderosa ferramenta para a identificação de variáveis e modelagem de
sistemas físicos em engenharia, pode ser enriquecida ainda mais quando combinada a
conjuntos difusos na construção de modelos de sistemas de difícil mensuração e grande
incerteza. Isso se deve ao fato de que a Modelagem de Sistemas Dinâmicos baseada em
padrões de comportamento reconhece e acomoda muito bem a fuzzificação da
quantificação dos fatores de um sistema, caracterizando as interações entre as variáveis
por meio de Termos Lingüísticos, permitindo que o modelo incorpore todas as suas
potencialidades, inclusive as subjetivas [18].
Expomos nesta seção um roteiro que inspirado no método Dimensional, propõe
a construção de um sistema especialista Fuzzy que utiliza conjuntos difusos para a
descrição de variáveis físicas de forma lingüística. Assim, partindo do modelo de base
de regras apresentado no capítulo anterior, implementamos um Modelo Dimensional
Difuso observando as seguintes considerações:
Em cada regra da forma
Se x1 é
i
xT 1
,..., e (ou) xn é
i
xn
T , então y1 é
i
yT 1
,..., e (ou) yn é
i
yn
T
(4.1.1)
Admitimos:
5

• x1, x2 e x3 são as variáveis de entrada do Sistema: x1 está associada a
dimensões relacionadas à Massa; x2 está ligada à dimensões espaciais; x3
relaciona-se à dimensões de Tempo;
•
)}(,{ nTn
i
x xxTn
µ= é o conjunto difuso que mapeia o Termo Lingüístico que
adjetiva a variável de entrada xn ;
•
},...,,,{)( 321 i
xxxxn nnnn
TTTTxT = é o conjunto de Termos Lingüísticos da variável
de entrada xn ;
• yn é uma variável de saída do Sistema;
•
i
yn
T é o Termo Lingüístico que adjetiva a variável yn;
Consagramos técnica de Análise Dimensional para arquitetar
i
yn
T :
)}(],).().(){[( 321 n
i
y yxxxTn
µγβα
=
(4.1.2)
Com um conjunto de dados fictícios, compomos as Regras Lingüísticas
calibrando entradas e saídas para a obtenção de respostas ponderadas. Após a
composição destas regras, aplicamos o algoritmo de inferência. Posteriormente, o
5

modelo concebido deve passar por um procedimento empírico que forneça pelo
conjunto de dados de teste a validação de sua eficácia. Talvez seja necessária, após a
verificação experimental, a realização de ajustes no modelo quanto ao mapeamento dos
Termos lingüísticos e relações de causa e conseqüência.
Para demonstrar a idéia apresentada nesta seção, vamos compor uma visão geral
de um possível Modelo Fuzzy Dimensional [18] útil à avaliação do Potencial
hidrelétrico existente em uma propriedade onde corre um pequeno rio para a construção
de uma micro-usina hidrelétrica [26], aproveitando um desnível de terreno [31]
conforme mostra a Figura 4.1.1.
Figura 4.1.1: Topografia Expedita que mostra em perfil o desnível de terreno onde há um
pequeno curso de água. Fonte: http://www.microenergia.com.br/pag1.htm
Começamos o projeto por listar as variáveis que podem ser verificadas, no
comportamento dinâmico:
P = f(M, L, T) = 3
2
T
ML
(4.1.3)
5

A partir da equação dimensional que restringe a variável Potência,
reconhecemos as variáveis
T
M
Q = , que denota a Vazão; 2
T
L
a = , que significa a
aceleração do fluido em queda sob a ação da Gravidade, e LH = , associada à altura da
queda. Isto simplifica o modelo por meio da redução do número de dimensões de
Tempo. Assim, conhecidas a Altura de queda em metros, e a Vazão, em litros por
segundo5
, podemos determinar a Potencia que o rio pode oferecer à micro-usina pela
seguinte fórmula:
P = Q. a. H = f(Q, a, H)
(4.1.4)
Identificadas as variáveis, segue-se à descrição lingüística de cada variável por
meio da construção de conjuntos difusos que mapeiam os adjetivos
i
xT .
x1=Vazão; x2=Desnível; y=Potência;
)}(,{ 111
xxTi
x µ=
)}(,{ 222
xxTi
x µ=
5
Admitimos que 1kg/s=1l/s aproximadamente é válido para a água.
5

},...,,,{)( 1111
321
1
i
xxxx TTTTxT =
},...,,,{)( 2222
321
2
i
xxxx TTTTxT =
Figura 4.1.2: Termos Lingüísticos que descrevem conceitos difusos relativos às variáveis Vazão
e Desnível.
Como o interesse é a avaliação por meio de raciocínios aproximados, após uma
consulta a conhecimentos de especialistas, concluímos que, para pequenos cursos de
água, o valor de a é em geral 5 m/s2
; a altura do desnível varia de um a sete metros; a
vazão varia de 5 a 60 litros por segundo.
Tabela 4.1.1: Relação aproximada da Potência Hidráulica de um pequeno rio com a Vazão e o
Desnível
H
1 2 3 4 5 6 mQ
10 50W 100W 150W 200W 250W 300W
20 100W 200W 300W 400W 500W 600W
30 150W 300W 450W 600W 750W 900W
40 200W 400W 600W 800W 1000W 1200W
50 250W 500W 750W 1000W 1250W 1500W
60 300W 600W 900W 1200W 1500W 1800W
l/s
5

Assim, utilizando a intuição, ponderada pela lógica e bom senso oferecidos pela
Análise Dimensional, arquitetamos para a variável de saída os seguintes Termos
Lingüísticos:
{ })(,.. 21 n
i
y yxaxT n
µ=
},...,,,{)( 321 i
yyyy TTTTyT =
Figura 4.1.3: Variável Lingüística que descreve a Potência.
Posteriormente, escrevemos a Base de Regras Lingüísticas do sistema,
estabelecendo as relações de causa e conseqüência:
R1) Se x1 é
1
1xT e x2 é
1
2xT então y1 é
1
1yT
R2) Se x1 é
1
1xT e x2 é
2
2xT então y1 é
1
1yT
R3) Se x1 é
1
1xT e x2 é
3
2xT então y1 é
1
1yT
R4) Se x1 é
1
1xT e x2 é
4
2xT então y1 é
1
1yT
R5) Se x1 é
1
1xT e x2 é
5
2xT então y1 é
1
1yT
R6) Se x1 é
1
1xT e x2 é
6
2xT então y1 é
1
1yT
5

R7) Se x1 é
2
1xT e x2 é
1
2xT então y1 é
2
1yT
R8) Se x1 é
2
1xT e x2 é
2
2xT então y1 é
2
1yT
R9) Se x1 é
2
1xT e x2 é
3
2xT então y1 é
2
1yT
R10) Se x1 é
2
1xT e x2 é
4
2xT então y1 é
2
1yT
R11) Se x1 é
2
1xT e x2 é
5
2xT então y1 é
2
1yT
R12) Se x1 é
2
1xT e x2 é
6
2xT então y1 é
2
1yT
R13) Se x1 é
3
1xT e x2 é
1
2xT então y1 é
3
1yT
.
.
.
R36) Se x1 é
6
1xT e x2 é
6
2xT então y1 é
6
1yT
Após a composição da Base de Regras, aplicamos o mecanismo de Inferência
Difusa exposto no Capítulo 3. O resultado da Defuzzificação indicará a Potência
aproximada que um pequeno curso de água oferece à produção de energia elétrica. A
Potência da micro-usina indica quais equipamentos elétricos podem trabalhar ao mesmo
tempo. Por menor que seja a sua capacidade, uma Pequena Central Hidrelétrica pode
proporcionar, observando a racionalização com base na potência e no consumo dos
equipamentos, algum conforto aos moradores do campo e economia à agroindústria,
visto que possibilita a substituição da compra de energia elétrica da concessionária pela
produção própria para uso nos equipamentos que ficam ligados por mais tempo [26].
Os Modelos Difusos combinados à Análise Dimensional, conforme foi
apresentado [18], são úteis ao desenvolvimento de ferramentas para a elaboração de
projetos em Engenharia, como o dimensionamento de estruturas que pretendem
aproveitar processos dinâmicos naturais, em geral de grandes incertezas quanto à
mensuração de suas variáveis.
4.2. SISTEMA DIFUSO DE TAKAGI-SUGENO
Este é um método de aproximação de funções reais contínuas multi-variáveis
para a modelagem Sistemas Dinâmicos fortemente não-lineares e com grandes níveis de
complexidade, possibilitando a incorporação de informações qualitativas junto às
quantitativas em um mesmo modelo, a partir de dados de entrada e saídas do processo
5

que necessita ser modelado [41]. Sua praticidade na modelagem de Sistemas Dinâmicos
se deve à flexibilidade ao descrever uma base de regras independentes entre si, as quais
têm a seguinte forma geral [35]:
Regra i: Se x é
i
xT , então )(xfy ii = .
(4.2.1)
A aproximação do sistema é dada por um método de inferência particular [23]:
∑
∑
=
=
= n
i
i
n
i
ii xf
y
1
1
)(.
µ
µ
(4.2.2)
Como não há procedimentos sistemáticos rigorosos para a construção das Regras
Lingüísticas, o método Takagi-Sugeno sugere a representação de um Sistema Dinâmico
por Proposições Condicionais Difusas onde os Termos Lingüísticos Difusos das
premissas são conjuntos difusos de funções de pertinência de qualquer formato, desde
que contínuas [48], e as conseqüências das proposições são funções das variáveis de
entrada. Assim, é apropriado o critério apresentado para a construção de um Sistema
Difuso TS: enunciar Proposições Difusas cujas conseqüências sejam Derivadas.
Em um processo de modelagem de dados coletados experimentalmente,
observando o relacionamento entre as variáveis sob o ponto de vista SISO. Sendo x uma
variável de entrada e y= f(x) uma variável de saída do Sistema, compomos a base de
regras da seguinte maneira [23]:
xi, yi, i=(0,1,2,...,n) são os valores das medidas das variáveis;
REGRA 0: Se y é
0
xT , então 0
01
01
a
xx
yy
dx
dy
=
−
−
= ;
Onde
5

0
yT = ))}(,(|],[{ 010 yyyyy
yT
µ∈ ;
)(0 y
yT
µ =







−
−
−
0
1
01
0
yy
yy
para
para
outros
yyy ],[ 10∈
(4.2.3)
REGRA i: Se y é
i
xT , então i
ii
ii
a
xx
yy
dx
dy
=
−
−
=
−+
−+
11
11
;
Onde
i
yT = ))}(,(|],[{ 11 yyyyy i
yTii µ+−∈ ;
)( yi
yT
µ =













−
−
−
−
−
+
−
−
0
1
1
1
1
ii
i
ii
i
yy
yy
yy
yy
para
para
para
outros
yyy
yyy
ii
ii
],[
],[
1
1
+
−
∈
∈
(4.2.4)
REGRA n: Se y é
n
yT , então n
nn
nn
a
xx
yy
dx
dy
=
−
−
=
−
−
1
1
;
Onde
n
yT = ))}(,(|],[{ 1 yyyyy n
yTnn µ−∈ ;
)(xn
yT
µ =







−
−
−
−
−
0
1
1
1
nn
n
yy
yy
para
para
outros
yyy nn ],[ 1−∈
5

(4.2.5)
Implementando computacionalmente o método de inferência, como definido em
2.1.1:
n
nnaaa
dx
dy
µµµ
µµµ
+++
+++
=
...
...
10
1100
(4.2.6)
Encontraremos, para cada intervalo [yi-1, yi], após a manipulação algébrica a
aproximação do sistema como [23]:
))(( 1
1
1
1 −
−
−
− −
−
−
+= ii
ii
i
i aa
yy
yy
a
dx
dy
(4.2.7)
Para aplicar o artifício a um sistema MISO, enunciamos Proposições Difusas,
conforme o modelo de regra exposto, cujas conseqüências sejam Derivadas Totais.
Assim, para melhor compreensão da extensão a múltiplas entradas, retornemos ao o
exemplo apresentado em 4.1 a fim de aplicar a técnica de Takagi-Sugeno de forma que
esta ofereça um modelo útil.
Verificamos dimensionalmente que a variável Potência hidráulica, para
pequenos cursos de água, é restrita por uma função dependente das variáveis Vazão Q e
Desnível H. Admitindo um raciocínio aproximado, segundo experiências práticas de
especialistas, são previstos as seguintes possibilidades:
Tabela 4.2.1: Aproximação da Potência hidráulica de um pequeno curso de água no desnível de
um terreno
i Q(l/s)
H(m
)
P(W
)
0 0 0 0
1 10 1 50
2 20 1 100
3 30 1 150
4 40 1 200
5 50 1 250
6 60 1 300
7 10 2 100
8 20 2 200
9 30 2 300
10 40 2 400
11 50 2 500
12 60 2 600
13 10 3 150
5

14 20 3 300
15 30 3 450
16 40 3 600
17 50 3 750
18 60 3 900
19 10 4 200
20 20 4 400
21 30 4 600
22 40 4 800
23 50 4 1000
24 60 4 1200
25 10 5 250
26 20 5 500
27 30 5 750
28 40 5 1000
29 50 5 1250
30 60 5 1500
31 10 6 300
32 20 6 600
33 30 6 900
34 40 6 1200
35 50 6 1500
36 60 6 1800
Escrevemos uma Base de Regras segundo (4.2.3), (4.2.4) e (4.2.5):
Seja P=f(Q, H)
R0) Se P é 0
PT então 0
0011
01
),(),(),(
a
HQHQ
PP
HQd
dP
=
−
−
=
R1) Se P é 1
PT então 1
0022
02
),(),(),(
a
HQHQ
PP
HQd
dP
=
−
−
=
R2) Se P é 2
PT então 2
1133
13
),(),(),(
a
HQHQ
PP
HQd
dP
=
−
−
=
R3) Se P é 3
PT então 3
2244
24
),(),(),(
a
HQHQ
PP
HQd
dP
=
−
−
=
.
.
.
R35) Se P é 35
PT então 35
34343436
3436
),(),(),(
a
HQHQ
PP
HQd
dP
=
−
−
=
R36) Se P é 36
PT então 36
35353636
3536
),(),(),(
a
HQHQ
PP
HQd
dP
=
−
−
=
A aproximação da equação do sistema, dada por (4.2.7), resulta em:
6

),('))((
),(
1
1
1
1 HQfaa
PP
PP
a
HQd
dP
ii
ii
i
i =−
−
−
+= −
−
−
−
(4.2.8)
Que é a derivada da função f(Q, H) para cada intervalo [Pi-1,Pi+1].
Dessa forma concluímos que
∫== dQdHHQfHQfP ),('),(
(4.2.9)
para o mesmo intervalo, demonstrando total compatibilidade da técnica de
modelagem com a incorporação de métodos convencionais, como Equações
Diferenciais, em uma base de regras difusas [23].
4.3 APROXIMAÇÃO ALTERNATIVA PARA REPRESENTAÇÃO DE
DADOS POR PROPOSIÇÕES CONDICIONAIS DIFUSAS
Seguindo a linha de trabalhos de Takagi-Sugeno, Lambert-Torres propõe um
modelo que também permite que sejam ponderadas informações difusas e não-difusas
numa mesma base de regras. Consiste em enunciar uma proposição condicional difusa,
ponderar as devidas avaliações, e recair em uma equação do primeiro ou do segundo
grau [13] [14].
6

Cada variável de entrada ( 1x , 2x ,..., px ) está associada aos conjuntos difusos:
reta ou parábola. Para cada variável de entrada e saída, serão propostos 4 modelos:
reta-reta, reta-parábola, parábola-reta, parábola-parábola [15].
A forma de Representação de Dados exposta tem a seguinte forma geral:
Se x é xT , então y=
2
210 xaxaa iii ++ .
xT =





++
0
0
2
210 xmxmm iii
para
para
para
2
21
1
i
ii
i
xx
xxx
xx
>
≤≤
<
(4.3.1)
Onde ixT é um conjunto difuso que relaciona um domínio do Universo de
Discurso, aqui admitido como o conjunto de números Reais, a uma imagem no intervalo
real de 0 a 1 pela função de pertinência xTµ =
2
210 xmxmm iii ++ [15].
Para um Sistema MISO (por exemplo, de duas variáveis de entrada), temos [15]:
Ri) Se 1x é
i
x
T 1
e 2x é
i
x
T 2
, então y=
2
2323
2
2110 1 xaxaxaxaa iiiii ++++ .
i
x
T =





++
0
0
2
210 xmxmm iii
para
para
para
2
21
1
i
ii
i
xx
xxx
xx
>
≤≤
<
(4.3.2)
O modelo é assim implementado devido à simplicidade com que uma equação
linear ou quadrática representa um sistema, o que o confere uma flexibilidade utilizando
o menor número de regras para representá-lo. Dessa forma, é possível a abstração
computacional, das relações aparentemente ilógicas entre os valores das variáveis de
entrada e saída de um sistema, visualmente clara.
Ajustamos as conseqüências das proposições utilizando uma regressão
polinomial que abrange somente pontos de um intervalo dentro de uma margem limite
de erro pré-estabelecida. O método dos mínimos quadrados oferece boas estimações
para esses ajustes.
6

Pelos passos do método proposto [13] [14] [15], são modelados os dados a
seguir, que consistem em um sistema MISO, para o qual é proposta a forma (4.3.1).
Escolhido um erro máximo de modelagem e dispõe-se os dados de entrada e
saída em uma lista ordenada;
Tabela 4.3.1: Dados para modelagem de um exemplo didático
1x y
0 0
0,25 1,3
0,5 2,4
0,75 3
1 3,5
1,25 3,5
1,5 4
1,75 4,2
2 4,5
2,25 4,2
2,5 4,6
2,75 4,7
3 4,75
4 4,8
Em seguida é construída uma lista auxiliar que incorpore pouco a pouco os
pontos da lista acima, fazendo regressões quadráticas cujo erro seja sempre menor do
que o estabelecido; quando o erro da regressão for maior que o erro pré-estabelecido,
pára e segue ao próximo passo, pois foi obtida a primeira equação para a conseqüência.
Tabela 4.3.1.a: Lista auxiliar
1x 11y
0 0
0,25 1,3
0,5 2,4
0,75 3
1 3,5
1,25 3,5
1,5 4
1,75
2
2,25
2,5
2,75
6

3
4
y11 = -0,015+ 6,14 x 1 - 2,8
2
1x .
Semelhantemente ao passo anterior, uma nova lista é iniciada incorporando
pouco a pouco os pontos a partir do final da lista original. Vá adicionando pontos à
regressão de forma que o erro seja sempre menor que o escolhido. Quando o erro for
maior, temos então a segunda equação para a conseqüência.
Tabela 4.3.1.b: Lista auxiliar
1x 12y
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25 4,2
2,5 4,6
2,75 4,7
3 4,75
4 4,8
12y = 3,16+ 0,89 1x -0,12
2
1x .
6

y = -0,12x
2
+ 0,89x + 3,16
y = -2,8x
2
+ 6,14x - 0,015
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Figura 4.3.1: conseqüências ajustadas para modelagem dos dados da tabelas
4.3.1, 4.3.1.a e 4.3.1.b
As regras recentemente ajustadas são:
R1) Se x1 é 11T , então y11 = -0,015+ 6,14 x 1 - 2,8
2
1x .
11T =





++
0
0
2
211101 xmxmm
para
para
para
25,1
25,10
0
>
≤≤
<
x
x
x
R2) Se x1 é 12T , então y12 = 3,16 + 0,89 x 1 - 0,12
2
1x .
12T =





++
0
0
2
221202 xmxmm
para
para
para
4
475,2
75,2
>
≤≤
<
x
x
x
Ao verificando a superposição dos intervalos regredidos nota-se que, se os
intervalos estivessem superpostos, a transição entre as funções seria contínua e suave,
de forma que não necessitaria de mais proposições difusas ao modelamento. Como a
superposição não aconteceu, há um intervalo que não foi modelado por nenhuma das
regressões realizadas. Para modelar o intervalo de 1,25 à 2,75 é preciso utilizar mais
6

regras para descrever o problema. Para tanto, vamos dividir a lista de dados coletados
em duas, e repetir os passos anteriores até obter curvas superpostas.
Após a obtenção das curvas superpostas, procede-se ao cálculo dos conjuntos
difusos das premissas. Em cada regra arquitetada, estes conjuntos difusos são
calculados utilizando a inferencia difusa de forma reversa: com base em pontos
aleatórios de cada intervalo regredido, partindo da conclusão y de cada premissa, que é
o valor defuzzificado, aplicamos a operação inversa do método do Centro de Gravidade
à equação da conclusão de cada regra [15] e chegamos ao conjunto C=Max {GR(i): i∈
[1... r]}, cuja função de pertinência é o máximo dos valores individuais em cada ponto,
GR(i) é o resultado do truncamento do conjunto difuso Gi
no nível GT(i) para cada
regra i [31].
Para a regra 1)
µ(x) = 0,8x
2
- 3x + 3,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
Figura 4.3.2: Conjunto difuso para a premissa de R1
6

R1) Se x1 é 11T , então y11 = 2 -15 + 5,88 x 1 - 2,4
2
1x .
11T =





+−
0
8,031,3
0
2
xx
para
para
para
25,1
25,10
0
>
≤≤
<
x
x
x
Para a regra 2)
µ(x)=0,2667x
2
- 0,2x - 0,1667
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Figura 4.3.2: Conjunto difuso para a premissa de R2
R2) Se x1 é 12T , então y12 = 3,16 + 0,89 x 1 + 0,12
2
1x .
12T =





+−
0
2667,02,01667,0
0
2
xx
para
para
para
4
41
1
>
≤≤
<
x
x
x
Da mesma forma procedemos para todas as regras até que todo o domínio seja
coberto pela modelagem. Para o cálculo com as regras difusas arquitetadas, é usado o
método inferência de Takagi-Sugeno [15].
Este método alternativo de modelagem difusa oferece, além das vantagens de
adaptabilidade e destreza para abstração de não-linearidades, um diferencial: a
6

facilidade de cálculo e interpretação dos dados durante uma análise de comportamento,
ou gerenciamento de uma situação dinâmica.
6

Capítulo 5
MODELAGEM DIFUSA PARA PROPAGAÇÃO DE ERROS
5.1 PROPOSIÇÃO DE ESTUDO
Erros muito pequenos geralmente não comprometem a modelagem do
comportamento global de um Sistema Dinâmico. Em contrapartida, durante uma
simulação, geram um Sistema evolutivo surpreendente, com dinâmica própria, que pode
interferir na eficiência do modelo proposto, ocasionando falhas mais graves em sua
capacidade de previsão do que a simples imprecisão. As características dinâmicas do
comportamento dos erros induzem à sua rápida propagação, levando a falhas de
previsão que podem surpreender quem confia na margem de erro oferecida. Há
situações em que os erros propagados e acumulados abrem lacunas em determinadas
faixas de operação, comprometendo a validação e a eficácia do modelo.
A dinâmica da Propagação pode apresentar comportamento linear, resultando
num erro sistemático facilmente identificável e compensável. Em outros casos este
evento pode assumir uma conduta altamente não-linear, o que nos leva, muitas vezes,
crer que esta seja aleatória. Podemos descrever e analisar essas características
dinâmicas do comportamento evolutivo dos Erros com o uso de ferramentas e técnicas
Fuzzy, as quais são capazes de sugerir algumas observações interessantes que tangem à
otimização do modelo proposto, com sua capacidade de abstração de padrões de difícil
compreensão, como não-linearidades.
Uma técnica interessante para a análise da Propagação de Erros é o Sistema
Difuso de Takagi-Sugeno, que têm demonstrado grande eficiência na aproximação de
variações, inclusive não-lineares, resultando em Equações Diferenciais. Por analogia,
escrevemos as regras segundo a forma geral apresentada em (4.2.3), (4.2.4) e (4.2.5),
associando o erro Δy da Grandeza indireta y à variável de saída, Δx1 e Δx2 os
respectivos erros relativos às grandezas x1 e x2, das quais a Grandeza y depende. A

aplicação da inferência oferecerá uma aproximação do comportamento dinâmico da
Propagação para intervalos estabelecidos.
Outra técnica, também apresentada neste trabalho, que pode ser muito útil a essa
abstração de padrões de comportamento dos Erros para otimização de um modelo é o
Método Alternativo de Representação de Dados por Proposições Condicionais Difusas.
Considerando a praticidade de representação dos dados relativos a variáveis pouco
conhecidas qualitativamente, e a facilidade de compreensão, visto a familiaridade com
equações lineares, e quadráticas, é proposta uma investigação mais aprofundada sobre a
viabilidade e eficiência da implementação deste método como ferramenta de análise
preditiva da conduta dinâmica da difusão e conglobação de erros em sistemas.
Alguns avanços podem ser alcançados com este tipo de estudo. Principalmente
no que tange à engenharia de sistemas críticos de controle e de apoio à tomada de
decisões, cuja operação, ou automação, confia e depende da margem de segurança que
um modelo oferece, e que não pode falhar. O estudo das incertezas já abre espaço para
pesquisas nesse campo de conhecimento trazendo à luz soluções práticas para as
dificuldades, e atenção para as necessidades por meio delas percebemos.

Capítulo 6
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com incontáveis aplicações, principalmente na modelagem e análise de
Sistemas Dinâmicos, Engenharia de Sistemas de Controle, Automação e Tomada de
Decisões, a Lógica Fuzzy configura-se no cenário tecnológico atual como uma poderosa
e robusta ferramenta para a obtenção de soluções viáveis para problemas de difícil
tratamento segundo técnicas convencionais. Os números da Indústria mundial
demonstram que os produtos Fuzzy funcionam e oferecem uma excelente relação
custo×benefício. O uso de técnicas de Lógica Fuzzy é considerado o mais adequado
para a realização de metas aparentemente conflitantes, como a redução de custos com
aumento da qualidade [31].
Enfim, foram apresentados, neste trabalho, os conceitos elementares desta nova
e interessante forma de solucionar problemas, capaz de implementar
computacionalmente uma das melhores características da inteligência humana: a
criatividade na resolução de problemas e na tomada de decisões com base em
conhecimentos subjetivos e/ou intuitivos, fruto de experiências pessoais, e a descrição
de eventos segundo a linguagem natural. Em todo o texto, foi valorizada a experiência e
o bom senso como forma de abstração de conhecimentos objetivos e subjetivos que
descrevem um comportamento dinâmico com ênfase no raciocínio aproximado.
Também foram introduzidos métodos difusos práticos para a simulação de experiências
cujos dados ensaiados são em geral mal aferidos, e propusemos um estudo da dinâmica
da Propagação de Erros numa simulação utilizando um Método difuso Alternativo de
Representação de Dados.
A Lógica Difusa não proscreve e nem rivaliza outras técnicas de modelagem e
tratamento de incertezas. Apesar de indicada para a construção de sistemas onde a
aplicação de técnicas convencionais são inviáveis devido ao alto custo computacional

para algumas situações, procedimentos comprovadamente eficazes como Análise
Dimensional, Equações Diferenciais e Teoria das probabilidades não precisam ser
abolidos. Estes são facilmente incorporados a qualquer técnica de modelamento difusa
como termos em uma Base de Conhecimento Fuzzy [31].

REFERÊNCIAS
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acesso em 20 mai. 2007.
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Transformadores. Disponível em
<http://www.sbse2006.ufcg.edu.br/anais/019_sbse2006_final.pdf>. Acesso em:
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[8] COSTA, Eduardo F.; FILHO, Martim G.A. Sistemas Dinâmicos. Disponível em
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