O documento descreve uma oficina sobre geometria que explora o espaço e figuras geométricas. A oficina contém atividades sobre localização no espaço usando coordenadas cartesianas, classificação de sólidos geométricos como cubos, pirâmides e cilindros, e estudos de figuras planas como círculos e polígonos.

1. EXPLORANDO O ESPAÇO E
AS FIGURAS GEOMÉTRICAS
Oficina 3

2. Presidente da República
Luiz Inácio Lula da Silva
Vice-Presidente da República
José Alencar Gomes da Silva
Secretaria-Geral da Presidência da República
Luiz Soares Dulci
Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à Fome
Patrus Ananias
Ministério da Educação
Fernando Haddad
Ministério do Trabalho e Emprego
Carlos Lupi
Secretaria-Geral da Presidência da República
Ministro de Estado Chefe Luiz Soares Dulci
Secretaria-Executiva
Secretário-Executivo Antonio Roberto Lambertucci
Secretaria Nacional de Juventude
Secretário Luiz Roberto de Souza Cury
Coordenação Nacional do Programa Nacional
de Inclusão de Jovens – ProJovem Urbano
Coordenadora Nacional Maria José Vieira Féres

3. Presidência da República
Secretaria-Geral
Secretaria Nacional de Juventude
Coordenação Nacional do ProJovem Urbano
EXPLORANDO O ESPAÇO E
AS FIGURAS GEOMÉTRICAS
Programa Nacional de Inclusão de Jovens
Brasília, DF
2008

4. Copyright © 2008
Permitida a reprodução sem fins lucrativos, parcial ou total, por qualquer meio, se citada a fonte
e o sítio da Internet onde pode ser encontrado o original (www.projovemurbano.gov.br).
Coleção ProJovem Urbano
Elaboração e Organização
Equipe Técnica
Coordenação Nacional do ProJovem Urbano – Assessoria Pedagógica
Cláudia Veloso Torres Guimarães
Luana Pimenta de Andrada
Leila Taeko Jin Brandão
Jazon Macêdo
Organização
Cláudia Veloso Torres Guimarães
Eleuza Maria Rodrigues Barboza
Fabiana Carneiro Martins Coelho
Maria Umbelina Caiafa Salgado
Luana Pimenta de Andrada
Leila Taeko Jin Brandão
Autores – Matemática
Maria das Graças Gomes Barbosa
Wanda Maria de Castro Alves
Revisão
Leandro Bertoletti Jardim
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica
Luiza Sarrapio

5. Oficina 3
EXPLORANDO O ESPAÇO
E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS
1 LOCALIZANDO-SE E MOVIMENTANDO-SE
NO ESPAÇO
ATIVIDADE 1 – REVENDO A ADIÇÃO
Faça os exercícios a seguir.
1. Uma professora dividiu a sala de aula em linhas e colunas e identificou cada carteira por um par
formado por dois números, onde o primeiro número identificava a coluna e o segundo número
identificava a linha em que cada carteira se encontrava. Assim, a carteira onde Lúcia estava foi
identificada pelo par (2,3), pois sua carteira estava no cruzamento da coluna 2 com a linha 3.
Observe a ilustração e faça o que se pede.
5 Vítor Alberto Mateus Junia Rute
4 Ari Lara Nair Marcelo Rosa
3 Lucas Lúcia Célia Ênio Taís
2 Fábio Bruna Fabiana Júlia Tiago
1 Ana Luís Oto Mara Marli
1 2 3 4 5
a) Represente, utilizando pares de números, a localização das carteiras dos seguintes alunos: Ana,
Lara, Bruna, Fabiana, Mateus e Rute. _____________________________________________________
b) Que alunos estão nas carteiras identificadas pelos pares: (4,2); (1,3); (4,4); (3,1), (5,2)? __________
_______________________________________________________________________________________
c) Na segunda-feira, a professora resolveu fazer uma brincadeira. Pediu que todos os alunos mudas-
sem de lugar. Os novos lugares seriam agora identificados assim: o primeiro número do par iden-
tificaria a linha e o segundo número identificaria a coluna onde o aluno deveria se sentar. Pense e
responda: Que alunos não vão trocar de lugar? _____________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
1
EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS

6. d) Copie o desenho da sala de aula e coloque em cada carteira os nomes dos alunos, de acordo com
a mudança realizada pela professora.
2. No quadriculado a seguir, cada figura tem um “endereço”: o endereço da figura ♠, por exemplo,
é o par (9,8) por estar no cruzamento da reta vertical que passa por 9 com a reta horizontal que
passa por 8.
Observe o quadriculado e faça o que se pede.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) Escreva na forma de um par, formado por números, os endereços das seguintes figuras: ♦; ♠; ♥ e ♣.
_____________________________________________________________________________________
b) Desenhe um quadriculado igual ao anterior e desenhe nele as seguintes figuras de acordo com
os seus endereços.
(5, 1) (1, 6) (4, 5) (6, 4)
c) Inverta a ordem dos números nos pares do exercício da letra b, escreva-os e desenhe as figuras no
mesmo quadriculado anterior de acordo com seus novos endereços. As figuras foram representa-
das no mesmo lugar ou em lugares diferentes? ____________________________________________
Agora responda: Mudar a ordem dos números nos pares muda a posição das figuras? _________
Para localizar pontos em uma reta, precisamos apenas de um número. Mas quando queremos
localizar pontos em um plano, precisamos de dois números, isto é de duas informações. Para isso
usamos duas retas numeradas de mesma origem, perpendiculares, chamadas de eixos coordena-
dos. Um plano com dois eixos coordenados chama-se plano cartesiano, porque foi inventado por
um matemático francês chamado René Descartes (1596-1650).
No quadriculado a seguir estão duas retas perpendiculares ox e oy. Observe que P está no cruza-
mento da reta vertical que passa pelo ponto 2, situado na reta OX, com a reta horizontal que passa
pelo ponto 5, situado na reta OY. Dizemos que os números 2 e 5 são as coordenadas do ponto P e
escrevemos P = (2,5). Podemos dizer que, nesse caso o endereço de P é o par ordenado (2,5).
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OFICINA 3

7. 10
9
R
8
T M
7
6
P(2,5) N
5
4
3
Q(5,2) S
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A reta horizontal é chamada de eixo x ou eixo horizontal ou eixo das abscissas.
A reta vertical é chamada de eixo y ou eixo vertical ou eixo das ordenadas.
Os dois eixos, juntos, são chamados de eixos coordenados, e um plano, com dois eixos desenha-
dos, chama-se plano cartesiano.
Para não confundir os endereços e trocar o ponto P pelo ponto Q tem-se que:
1° elemento do par 2° elemento do par
Nome: 1ª coordenada ou abscissa. (2,5) Nome: 2ª coordenada ou ordenada.
É medido no eixo horizontal e dá a É medido no eixo vertical e dá a
distância de P ao eixo vertical. distância de P ao eixo horizontal.
Observe novamente o plano cartesiano e responda às perguntas seguintes.
Compare as coordenadas e a localização dos pontos e P e Q.
a) O que você observa? _____________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
b) Qual é a abscissa do ponto M? ___________________________________________________________
c) Qual é a ordenada do ponto N? __________________________________________________________
d) Qual é a abscissa do ponto T? ___________________________________________________________
e) Qual é a ordenada do ponto R? ___________________________________________________________
f) Quais são as coordenadas do ponto S? ____________________________________________________
g) Dos pontos acima, qual deles tem a maior ordenada? E a menor? ____________________________
h) Dos pontos acima, qual deles tem a maior abscissa? E a menor? ____________________________
i) Qual é a ordenada de um ponto qualquer que está sobre o eixo horizontal? ____________________
j) Qual é a abscissa de um ponto qualquer que está sobre o eixo vertical? _______________________
3
EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS

8. 2 ESTUDANDO OS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
As formas estudadas pela Geometria são chamadas de figuras geométricas. A Geometria é impor-
tante para ver e entender o mundo que nos cerca e está presente na natureza e nas artes.
ATIVIDADE 1 – CLASSIFICANDO OS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Relacione os dois conjuntos de sólidos apresentados, escrevendo os nomes dos objetos cujas for-
mas se parecem com:
a) Um cubo. b) Um paralelepípedo. c) Uma esfera.
d) Um cilindro. e) Uma pirâmide. f) Um cone.
Observe os conjuntos de sólidos a seguir.
A. Conjunto dos sólidos que rolam em alguma posição.
Nesse conjunto estão presentes os sólidos que con-
têm pelo menos uma superfície não plana.
Esse conjunto será chamado de Corpos Redondos.
B. Conjuntos dos sólidos que não rolam em nenhuma posição.
Nesse conjunto estão os sólidos que contêm apenas
partes planas, o que significa que as regiões de apoio
desses sólidos sobre um plano são sempre superfí-
cies planas.
Esse conjunto será chamado de Poliedros.
C. Conjuntos dos sólidos que não rolam, mas contêm partes não planas.
Esses sólidos não são poliedros
nem corpos redondos.
ATIVIDADE 2 – ESTUDANDO OS POLIEDROS
face
triangular
A parte plana de um poliedro é chamada de FACE.
Daí a origem do nome poliedro: poli: muitas e
face
edros: faces, assim poliedro significa um sólido
retangular
de muitas faces.
4
OFICINA 3

9. vértice
Além das faces, um poliedro tem
também vértices e arestas.
aresta
PRISMAS – Poliedros cujas arestas laterais são todas paralelas e de mesmo
comprimento, cujas faces laterais são todas em forma de paralelogramos e que
possuem duas bases congruentes e paralelas que podem ter formas variadas.
Observe os prismas abaixo e responda.
De acordo com a região poligonal das bases, que nome especial recebe cada prisma?
Uma classificação para os prismas pode ser visualizada no diagrama a seguir.
poliedros
prismas retos
paralelepípedos
cubos
O segundo conjunto de poliedros será formado pelas pirâmides.
PIRÂMIDES – Poliedros cujas arestas laterais são concorrentes em um único ponto chamado
vértice que possuem apenas uma base e cujas faces laterais são regiões triangulares.
Vamos estudar as pirâmides retas, ou seja, as pirâmides nas quais as arestas laterais são todas con-
gruentes. De acordo com a região poligonal das bases, a pirâmide também recebe nomes especiais:
5
EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS

10. O terceiro conjunto de poliedros é o seguinte:
Poliedros que não se caracterizam nem como prismas nem como pirâmides,
sendo definidos apenas pelo número de faces que possuem.
ATIVIDADE 3 – ESTUDANDO OS CORPOS REDONDOS
Observando as características dos corpos redondos, como você os classificaria?
1. Corpos redondos que não apresentam nenhuma superfície plana: ____________________________
2. Corpos redondos cujas superfícies são formadas por duas partes planas circulares, que são as
bases, e uma parte curva arredondada que é a superfície lateral: _____________________________
3. Corpos redondos cuja superfície é formada por uma parte plana, a região circular, que é a sua base,
e uma parte curva “arredondada”, que é a sua superfície lateral: _____________________________
6
OFICINA 3

11. ATIVIDADE 4 – OS SÓLIDOS E SUAS PLANIFICAÇÕES
Resolva as questões a seguir.
1. Observe as planificações abaixo. Quais delas podem ser a planificação de um cubo?
Verifique suas respostas, reproduzindo numa folha os desenhos acima, em tamanho maior, e mon-
tando os cubos com cada um deles, caso seja possível. _____________________________________
2. Observando os dados e sabendo que a soma dos pontos de duas de suas faces opostas é igual
a 7, copie as duas planificações em seu caderno e complete-as com o número de pontos que está
faltando em cada uma delas.
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EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS

12. 3 ESTUDANDO AS FIGURAS PLANAS
Classifique as figuras a seguir.
A. Conjunto das figuras planas limitadas por linhas fechadas curvas: ____________________________
B. Conjunto das figuras planas limitadas por segmentos de retas: _______________________________
O círculo e a circunferência
Circunferência é a linha e círculo é a região limitada pela circunferência. No entanto, é comum se
usar o termo círculo para indicar tanto a curva como também a região por ela limitada.
Elementos de uma circunferência.
O segmento que une o centro a qualquer ponto da circunferência é chamado de raio da circunfe-
rência, o segmento que liga dois pontos da circunferência é uma corda e uma corda que passa pelo
centro de uma circunferência é um diâmetro da circunferência.
D
C B
O
A
Assim na figura acima se tem que CD é uma corda, OA e OB são raios e AB é um diâmetro da
circunferência.
Conclusão:
● Todo diâmetro de uma circunferência é o dobro do raio dessa mesma circunferência.
● Todo diâmetro de uma circunferência é uma corda dessa circunferência.
● Nem toda corda de uma circunferência é um diâmetro da mesma.
Os polígonos
Polígono é uma figura plana, fechada, simples, formada por segmentos de reta consecutivos e
não colineares, portanto, trata-se apenas da fronteira não se incluindo seu interior. Mas assim como
o círculo, é comum estender o nome do polígono à região por ele limitada, ou seja, é comum chamar
uma região triangular também de triângulo, uma região retangular de retângulo etc. Todo polígono
tem vértices, lados e ângulos internos. De modo geral, quando falarmos em ângulos do polígono,
estamos nos referindo aos seus ângulos internos.
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OFICINA 3

13. vértices
1. A origem do nome polígono – poli: muitos; gono: ângulo. Assim, polígono
significa uma figura plana de muitos ângulos.
2. Uso dos prefixos na nomeação dos polígonos: tri, tetra, penta etc., rela- ângulos
cionando-os com outras palavras conhecidas que tenham esses prefixos,
lados
tais como: tricampeão, trinca de reis, tetracampeão etc.
3. Definição de polígono regular: um polígono é regular se ele possui todos os lados e todos os ân-
gulos de mesma medida.
Os triângulos
Classificação dos triângulos
● Quanto à medida dos lados:
Triângulo isósceles: triângulo que tem dois lados de mesma medida.
Triângulo eqüilátero: triângulo que tem os três lados com medidas iguais.
Triângulo escaleno: triângulo que tem os três lados com medidas diferentes.
Triângulo eqüilátero Triângulo isósceles Triângulo escaleno
● Quanto à medida dos ângulos:
Triângulo retângulo: triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, de medida igual a 90o.
Triângulo acutângulo: triângulo que possui os três ângulos agudos, ou seja, cujas medidas são
menores que 90o
Triângulo obtusângulo: triângulo que possui um ângulo obtuso, ou seja, cuja medida é maior do
que 90o.
Triângulo retângulo Triângulo acutângulo Triângulo obtusângulo
Os quadriláteros
Há quadriláteros com dois pares de lados paralelos, os para-
lelogramos, outros com apenas um par de lados paralelos, os
trapézios e outros que não possuem lados paralelos, nomeados
Trapézio Retângulo
simplesmente quadriláteros.
Comparando as medidas dos lados e dos ângulos dos para-
lelogramos, podemos observar que alguns quadriláteros têm os
Paralelogramo quatro ângulos retos e são nomeados retângulos; os quadriláteros losango
que têm os quatro lados iguais são os losangos e os quadriláteros
que têm os quatro lados iguais e os quatro ângulos retos são os qua-
drados.
Quadrilátero Quadrado
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EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS

14. De acordo com as definições acima, alguns fatos podem ser estabelecidos:
● Todo retângulo é paralelogramo.
● Todo losango é paralelogramo.
● Todo quadrado é retângulo e também losango.
Assim, uma classificação para os quadriláteros pode ser visualizada no diagrama a seguir.
quadriláteros
paralelogramos
retângulos
losângos
quadrados
Resolva as questões seguintes.
1. As placas de trânsito apresentam, em sua maioria, contornos na forma de figuras planas. Veja.
a) Que figuras planas você consegue identificar nas placas? ____________________________________
_______________________________________________________________________________________
b) Você sabe o significado de cada uma dessas placas? ________________________________________
_______________________________________________________________________________________
2. Identifique os polígonos que formam as faces de cada um dos sólidos. ________________________
_______________________________________________________________________________________
3. Forme com as peças do TANGRAM:
a) Um triângulo usando: só duas peças, só três peças, só quatro peças.
b) Um retângulo usando: só duas peças, só quatro peças, só cinco peças.
c) Um paralelogramo usando: só duas peças, só três peças, só quatro peças.
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OFICINA 3

15. 4 A SIMETRIA DAS FORMAS GEOMÉTRICAS
ATIVIDADE 1 – DESCOBRINDO A SIMETRIA
Leia e faça o que se pede.
A
Copie e recorte a figura ao lado.
B
Agora, dobre a figura fazendo os vér-
tices A e B coincidirem, de modo que
uma parte da figura coincida exatamen-
te com a outra.
A
Depois, desdobre a figura e com uma
régua trace a linha da dobra, como
exemplificado ao lado.
B
A linha de dobra é um eixo de simetria da figura que a divide em duas partes
que coincidem exatamente por suposição.
Faça os exercícios a seguir.
1. Complete as figuras de modo que a linha tracejada seja um eixo de simetria.
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EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS

16. 2. As figuras seguintes representam as faces de um dado.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6
Qual é o numero de eixos de simetria de cada figura? _______________________________________
_______________________________________________________________________________________
3. As figuras F e F’ são simétricas em relação a uma reta. Descubra e trace essa reta, explicando o
seu raciocínio.
4. As figuras abaixo representam a bandeiras nacionais de alguns países.
A B C D E F
a) Quais delas têm eixos de simetria? ________________________________________________________
b) A que país pertence cada uma dessas bandeiras? ___________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Reflexão
Uma figura é reflexão de outra se:
● A reta que une cada par de pontos correspondentes é perpendicular ao eixo de simetria.
● Dois pontos correspondentes estão a uma mesma distância do eixo de simetria, em lados
opostos.
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OFICINA 3

17. Faça os exercícios a seguir.
1. Verifique se as figuras abaixo estão refletidas. Use papel transparente para verificar suas respos-
tas. ___________________________________________________________________________________
2. Desenhe a reflexão de cada figura abaixo.
3. Considerando a reta r como eixo de reflexão, verifique qual das figuras abaixo é o reflexo do nome
ISABEL. _______________________________________________________________________________
a) ISABEL ISABEL b) ISABEL LEBASI c) ISABEL LEBASI
Translação
Observe a figura abaixo.
Translação é uma transformação em que a figura se desloca paralelamente
a uma reta, ou seja, todos os pontos da figura são deslocados de uma
mesma distância numa mesma direção retilínea.
● A forma e o tamanho da figura original são mantidos após a translação;
● Uma translação fica determinada pela direção, sentido e distância do deslocamento.
Faça os exercícios seguintes.
1. Identifique, em cada par das figuras abaixo, a direção, o sentido e a distância de cada translação,
utilizando uma seta.

2. Qual das figuras abaixo é uma translação da figura 1? _______________________________________
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EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS

18. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5
Rotação
Faça as seguintes tarefas:
1. Copie a figura ao lado em um papel transparente.
2. Sobreponha a figura copiada à figura original e efetue um giro de
90° em torno do ponto O. O que você observou?
Uma rotação de centro O e ângulo α é uma transformação
em que a imagem é obtida girando-se cada ponto da
figura segundo um arco de circunferência de centro O,
percorrendo um ângulo α no sentido horário ou anti-horário.
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OFICINA 3