2. Objetivos da aula
• Princípio Fundamental da Contagem
• Arranjo Simples
• Permutações: simples e com repetição
• Combinação simples
3. Princípio Fundamental da
Contagem
Vamos imaginar o caso de uma montadora
de carros que dispõe de 5 cores (preto,
vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar
3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figo
e Amora).
Para saber quantos tipos de carros
diferentes podem ser fabricados, basta
cruzar cada cor, com cada tipo de carro.
Usando o esquema a seguir fica mais fácil!
9. Fatorial de um número
natural
Representamos o fatorial de um
número colocando um ponto de
exclamação depois desse número (n!)
Exemplos:
4! 7! 20!
10. Cálculo do Fatorial
O fatorial de um número natural n é
dado pelo seguinte produto:
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1
Exemplos:
• 4! = 4.3.2.1 = 24
• 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800
14. Tente fazer sozinho
3) (UEMG) Simplificando a expressão
n!+( n + 1)! , obtemos:
( n + 2)!
n 1 n n
a) b) c) d)
n −1 n −1 n +1 n −1
15. Solução
n!+( n + 1)! n!+( n + 1) n!
= =
( n + 2)! ( n + 2)( n + 1) n!
n!(1 + n + 1) n!( n + 2 )
= =
( n + 2)( n + 1) n! ( n + 2)( n + 1) n!
n!( n + 2 ) 1
=
( n + 2)( n + 1) n! n + 1
Letra D
16. Arranjo Simples
O arranjo simples acontece quando
fazemos qualquer agrupamento com todos
ou alguns elementos de um conjunto, cuja
ordem dos elementos é considerada.
Exemplo: Quantos números de 3 algarismos
distintos podemos formar com os algarismos
2, 3, 4, 5 e 6.
5 4 3
= 60 números
17. Também podemos usar a fórmula de
arranjo simples:
p n!
A n
=
( n − p )!
Sendo:
n número total de elementos do conjunto
p quantidade de algarismos pedida
3 6! 6! 6.5.4.3!
A6 = ( 6 − 3)! = 3! = 3! = 60
18. Princípio Fundamental Evento que depende
da contagem de evento anterior
Agrupamento de pelo
menos 2 elementos
Definição
Importa a ordem
Arranjo
Análise Simples p n!
Fórmula A =
Combinatória n
( n − p )!
19. Tente fazer sozinho
4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
e 9.
a)Quantos números de 3 algarismos distintos
podemos escrever?
b)Quantos números de 4 algarismos distintos
que terminem com 7 podemos escrever?
c) Quantos números de 7 algarismos distintos
que iniciem com 3 e terminem com 8
podemos escrever?
20. Tente fazer sozinho
4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
e 9.
a) Quantos números de 3 algarismos distintos
podemos escrever?
b) Quantos números de 4 algarismos distintos
que terminem com 7 podemos escrever?
c) Quantos números de 7 algarismos distintos
que iniciem com 3 e terminem com 8
podemos escrever?
21. Solução
a) 9 8 7 = 504
b) 8 7 6 1= 336
7
c) 1 7 6 5 4 1 840
=
3 8
22. Permutação
A permutação é um caso particular do
arranjo simples, pois acontece quando
agrupamos todos os elementos do conjunto
dado.
Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5, se queremos
formar números de 3 algarismos, temos um
caso de arranjo. Se queremos formar
números de 5 algarismos, temos um caso de
arranjo, particularmente, a permutação.
23. Permutação Simples
A permutação simples acontece quando
fazemos qualquer agrupamento com todos
os elementos de um conjunto.
Exemplo:
A palavra AMOR apresenta 4 letras e com
elas, podemos formar alguns anagramas:
ROMA – MORA – ROAM - ARMO
24. Permutação Simples
Para calcular o número total de
anagramas, podemos seguir o seguinte
raciocínio:
4 3 2 1
= 24
Também podemos usar a fórmula de
permutação simples: Pn = n!
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
25. Tente fazer sozinho
5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como
base a palavra UFPEL, resolva as
seguintes questões:
a)Quantos anagramas podemos formar?
b)Quantos anagramas podemos formar, de
modo que comece e termine com vogal?
c)Quantos anagramas podemos formar, de
modo que as letras UF apareçam sempre
juntas?
26. Tente fazer sozinho
5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como
base a palavra UFPEL, resolva as
seguintes questões:
a)Quantos anagramas podemos formar?
b)Quantos anagramas podemos formar, de
modo que comece e termine com vogal?
c)Quantos anagramas podemos formar, de
modo que as letras UF apareçam sempre
juntas?
27. Solução
a) 5 4 3 2 1= 120
b) 2 3 2 1 1= 12
1 3 2 1
c) = 6 ; 6 .4 = 24
UF
2 1 =2;
2 x 24 = 48
28. Tente fazer sozinho
6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos
e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3
atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoas
podem dirigir e que as crianças devem ir atrás
e na janela, o número total de maneiras
diferentes através das quais estas 5 pessoas
podem ser posicionadas, não permitindo as
crianças irem no colo de ninguém, é igual a:
a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
29. Tente fazer sozinho
6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos
e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3
atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoas
podem dirigir e que as crianças devem ir atrás
e na janela, o número total de maneiras
diferentes através das quais estas 5 pessoas
podem ser posicionadas, não permitindo as
crianças irem no colo de ninguém, é igual a:
a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
30. Solução
carona
motorista janelas
2 2 2 1 =8
1
bancos bancos
da frente de trás
31. Permutação com Repetição
Caso o conjunto dado apresente
elementos repetidos, usaremos a seguinte
fórmula:
α , β ,γ n!
P n
=
α! β !γ !
Sendo:
n o número total de elementos
α, β, γ número que indica a quantidades
de elementos repetidos de cada tipo.
32. Permutação com Repetição
Exemplo: A palavra ARARAQUARA apresenta
um total de 10 letras, sendo 5A, 3R, 1Q e 1U
5, 310! 10.9.8.7.6.5!
P10 = 5!3! = 5! 3.2 =
10.9.8.7.6.5!
= 5040
5! 3.2
36. Princípio Fundamental Evento que depende
da contagem de evento anterior
Agrupamento de pelo
menos 2 elementos
Definição
Importa a ordem
Arranjo
Análise Simples p n!
Fórmula A =
Combinatória n
( n − p )!
Caso
Particular Permutação
37. Definição Agrupamento de pelo menos 2 elementos
característica Importa a ordem
Arranjo
p n!
Simples Fórmula A =
n
( n − p )!
Agrupamento de todos
Definição
Caso elementos dados
Permutação
Particular
simples P!
Tipos
Com α , β ,γ
=
n!
repetição P n
α ! β !γ !
38. Combinação Simples
A combinação simples acontece
quando agrupamos uma quantidade p de
elementos de um conjunto com n elementos,
sem importar a ordem que esses elementos
são escolhidos.
Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoas
dentre as 5 que se candidataram a uma
viagem, não importa a ordem que as 3 serão
escolhidas, pois todas as 3 irão da mesma
forma.
39. Combinação Simples
Para resolver problemas que ocorrem a
combinação simples, usaremos a fórmula:
p n!
C n
=
p!( n − p )!
Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoas
dentre 5.
3 5! 5! 5.4.3! 5.4.3!
C 5 = 3!( 5 − 3)! = 3!2! = 3! 2 = 3! 2 = 10
40. Tente fazer sozinho
8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas para
ilustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual do
Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um
desses grupos está apresentado a seguir:
Considere que cada grupo de 4 figuras que
poderia ser formado é distinto de outro somente
quando pelo menos uma de suas figuras for
diferente. Nesse caso, o número total de grupos
distintos entre si que poderiam ser formados para
ilustrar o Manual do Candidato é igual a:
41. Tente fazer sozinho
8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas para
ilustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual do
Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um
desses grupos está apresentado a seguir:
Considere que cada grupo de 4 figuras que
poderia ser formado é distinto de outro somente
quando pelo menos uma de suas figuras for
diferente. Nesse caso, o número total de grupos
distintos entre si que poderiam ser formados para
ilustrar o Manual do Candidato é igual a:
46. Princípio Fundamental Evento que depende
da contagem de evento anterior
Agrupamento de pelo
menos 2 elementos
Definição
Importa a ordem
Arranjo
Análise Simples p n!
Fórmula A =
Combinatória n
( n − p )!
Caso
Particular Permutação
Agrupamento de pelo
menos 2 elementos
Definição
Combinação Importa a ordem
Simples
p n!
Fórmula C n
=
p!( n − p )!