Este documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de óptica física para uma prova. A lista inclui 6 tópicos sobre relatividade com exercícios e soluções envolvendo dilatação temporal, contração de distâncias, velocidades e efeito Doppler. O professor fornece a lista de exercícios em seu site para os alunos.

1. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Janeiro de 2004, as 12:07
`
ı ´
Exerc´cios Resolvidos de Optica F´sica
ı
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´sica te´ rica,
ı o
Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
ı
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´sica
ı
Mat´ ria para a TERCEIRA prova. Numeracao conforme a SEXTA edicao do livro
e ¸˜ ¸˜
“Fundamentos de F´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
ı
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´
udo
37 Relatividade 2
37.1 A relatividade do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
37.2 A relatividade das distˆ ncias . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
37.3 Algumas conseq¨ encias das equacoes de Lorentz
uˆ ¸˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
37.4 A relatividade das velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
37.5 O efeito Doppler para a luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
37.6 Uma nova interpretacao da energia . . . . . . . .
¸˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para
a o jgallas @ if.ufrgs.br
(listaq3.tex)
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 1 de 5
a

2. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Janeiro de 2004, as 12:07
`
37 Relatividade onde & a#§ ! s9
$ § ,e s¤t($
2 ) . Portanto
W ysx£
W g e g 1e
£ £
Vw#§ ! IbvUuh
FT F X §T € G m
37.1 A relatividade do tempo (b) O intervalo de tempo para a passagem da espaconave
¸
e
´
g 1e
£
¡ h € g 3H £ £
¸˜
E 38-3 (42-5/4 edicao) 4
ysx£
W g e X G W …¤©%Y
„ ƒ F § s
¦¢ ¤¢
¥ £ ) F VT c ba`‚T
F § Y X
O tempo m´ dio de vida de m´ ons estacion´ rios e
e u a ´ s.
O tempo m´ dio de vida dos m´ ons de alta velocidade
e u
¥
produzidos pelos raios c´ smicos e
o ´ s no referencial ¨ ©§
da Terra. Determine a velocidade em relacao a Terra dos
¸˜
¡
¸˜
P 38-12 (42-16/4 edicao)
m´ ons produzidos pelos raios c´ smicos.
u o
(a) Uma pessoa seria capaz, em princ´pio, de viajar da
ı
Usamo a equacao da dilatacao temporal
¸˜ ¸˜
¢
Terra at´ o centro da gal´ xia (que est´ a cerca de
e a a IRIX
F F F
, onde
´
e o intervalo de tempo pr´ prio,
o
anos-luz de distˆ ncia) em um tempo de vida normal?
a
,e
231)0($ '%#§ ¤ §
$ ! . Portanto,
Explique por quˆ , levando em conta a dilatacao dos tem-
e ¸˜
4
pos ou a contracao das distˆ ncias. (b) Com que velo-
¸˜ a
54
$%#§ !
cidade constante a pessoa teria que viajar para fazer a
viagem em anos (tempo pr´ prio)?
F IX o
de onde tiramos que
7 (a) Em princ´pio sim. Se a pessoa mover-se suficien-
ı
4
£
temente r´ pido, pelo argumento da dilatacao temporal,
a ¸˜
6$ 9#§
8
@A4
seu tempo de viagem medido na Terra e muito maior do
´
O intervalo de tempo pr´ prio e medido por um rel´ gio que um tempo de vida usual. Por outro lado, usando
o ´ o
B¢ ¤¢
¥ £
em repouso em relacao ao m´ on. Ou seja,
¸˜ u s o argumento da contracao do comprimento, a distˆ ncia
¸˜ a
4
¥ que a pessoa necessita percorrer (medida em relacao a
¸˜ `
e ©DC
¨ § s. Isto nos fornece ent˜ o
a ¢
sua espaconave) e muito menor do que
¸ ´ anos-luz. IRIX
F F F
3¢ ¤¢
¥ £
De ambos modos, concluimos que e poss´vel para a pes-
´PIH £
£ H ı
¥ 8 #§ D($
E F G
soa alcancar o centro da gal´ xia no per´odo normal de
¸ a ı
@ ©§ ¨
duracao de uma vida humana.
¸˜
Portanto a velocidade do m´ on e
u ´ (b) Sabemos que
H R £H RRH £
W H W £
0Q'0Q2
F 2 $ VUS2
FT Iba`VT
c F § Y X R©%d0
c F § Y X m/s h h
`) r
4
37.2 A relatividade das distˆ ncias
a onde o sub´ndice
ı indica tempo e comprimentos
F
pr´ prios (que n˜ o s˜ o medidos no mesmo sistema de re-
o a a
¢
¡ ferˆ ncia inercial!), ou seja
e e CRIIX
2 F F F h R† 4
F X
¸˜
E 38-11 (42-13/4 edicao) anos. Sabemos tamb´ m que
e , de modo que ‡4
Uma espaconave cujo comprimento de repouso e
¸ ´ m
g R£ ©§
F fX
e h £ §
passa por uma base espacial a uma velocidade de . F 2 d) 4
(a) Qual e o comprimento da nave no referencial da ba-
´
se? (b) Qual e o intervalo de tempo registrado pelos tri- Substituindo os dados obtemos
´
pulantes da base entre a passagem da proa e a passagem
¢ 7
da popa da espaconave?
¸ 5IIRX
2 F F F )
d) r #§
(a) O comprimento de repouso m da R©piCh
F X § F RX 2
espaconave e seu comprimento
¸ medido pela base h
est˜ o relacionados atrav´ s da relacao
a e ¸˜ ou, equivalentemente,
h ¢
) ) RIX
F F £
qh R %#§ ! CG
r $ h #§ 8
2 @ 2 X
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 2 de 5
a

3. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Janeiro de 2004, as 12:07
`
Desta express˜ o obtemos que
a v´ lido quando
a , (a) perceba a relacao entre o
¸˜
h 0 ˜ §
valor exato e o valor aproximado acima derivados (b)
) § mostre que a aproximacao seguinte fornece-nos
¸˜
E
2 ‘‘ ‰ ‰ ¦§ ˆ
 H ¢ ’ g sy¢ 7
H e
H 3¢ ’ 7 ) 1IRF X F €
§ € F
FRIIF ’ F F g sy¢
H e
H H 3¢ 2 3IRIRIIb§ €
F F F F F F F F
IIF
F F £v£©£“£S¢ g H3¢siH ’ BH yg RIRIIH £
e g H H H H H H
£“£©£“£`gsH ’ e eR¢3eRH ’ g‡H Hyg RIIRIH £ H H H H H XR3F €
€ X IX § F
€ X X RX § F
Este e o resultado da solucao exata do problema.
´ ¸˜
´
E poss´vel obter-se uma resposta aproximada ao pro-
ı ¡
blema que, por´ m, jamais dever´ ser aceita como subs- P 38-13 (42-14/4 edicao)
e a ¸˜
titutivo para o resultado exato acima.
Como mostrado no exerc´cio 38-3 acima, temos
ı Um astronauta parte da Terra e viaja com uma veloci-
H R £H ¢
dade de
7 em direcao a estrela Vega, que est´ a
¸˜ ` a F 2 ¨
anos-luz de distˆ ncia. Quanto tempo ter´ passado, de
a
4
£ a
6$ 9#§
8
acordo com os rel´ gios da Terra? (a) quando o astro-
o
@ 4
nauta chegar a Vega e (b) quando os observadores ter-
O enunciado do problema nos diz que anos. restres receberem a not´cia de que o astronauta chegou
ı I•”4
F X
Se soubessemos o valor de , bastaria substitui-lo na a Vega? (c) Qual e a diferenca entre o tempo de viagem
´
¸
f´ rmula acima para determinar , i.e. a relacao en- de acordo com os rel´ gios da Terra e o tempo de viagem
o ¸˜ o $
tre e . Determinar
) 2 exatamente foi o que fize- de acordo com o rel´ gio de bordo?
o
mos acima, ao resolver o problema corretamente, sem
¢
aproximacoes.
¸˜ (a) A distˆ ncia entre a Terra e Vega e
a ´ anos- h ¨
Podemos obter uma aproximacao do resultado se supu- luz. Portanto
¸˜
sermos que a velocidade desconhecida da nave pode ser ¢
tomada como sendo a velocidade da luz. Tal hip´ tese o anos h ¨ ¢ x£ ¢ 2 £
anos
¢ 5
H R £H ¨ ¨
(incorreta!) nos induz a considerar e, por- S4
– RIIX
F F F ) F 2
tanto, obter da f´ rmula acima que
o
(b) Supondo que “as not´cias” sejam ondas de r´ dio, que
ı a 7 ¢
) viajam com a velocidade da luz, elas demoram anos
F IX 2 ¨
($ ¢ 8 #§
2 para alcancar a Terra. Portanto o tempo total, no refe-
¸ @ FRFIIX F
rencial da Terra, e´ RIH ¢ ’ 7
H H
§ € ’
H 3¢ ¢ x£ ¢ ¢ ¢ ¤¢ ’
£ £
IRIF
F F F ¨ ˆ Q¨ j¨ ¨ anos
£v£—£©£Qg ¢ H Rg IRIRIH £ H H H H H
§¤FC€IRX §
X F
(c) O rel´ gio de bordo mede o tempo pr´ prio
o o ¡ I¢
A diferenca aparece na
¸ casa decimal. Mas isto j´ e
a´ k4 H ie£ H R £H
, onde . Portanto, § F %#§ Is9
F l §
uma diferenca grande em tratando-se da velocidade da
¸
luz.
¢ x£ ¢
¨ ¨ e f£ £
Problema: determine explicitamente a express˜ o exata
a anos 4
H ie £ X G
F
de que nos permite obter a resposta correta partindo
4
da relacao
¸˜ A diferenca e que enquanto no rel´ gio da Terra
¸ ´ o
¢ ¤¢ ’
£
passaram-se
7 anos, no rel´ gio de bordo passaram-
o ¨
4
£ e f£
6$ se apenas anos. 8 #§
X
@ 4
Perceba claramente que a palavra “diferenca”, no item
¸
Problema: usando o teorema da expans˜ o binomial
a
(c) do enunciado do problema, de modo algum pede pa-
(Apˆ ndice E):
e
ra fazermos alguma subtracao entre os dois intervalos
¸˜
W de tempo, coisa que n˜ o tem sentido fazer-se.
a
˜ g T
§ ˜ ™ dW “©£
££
¢ e 9ˆ D¦9
e e ˆ § u¦vT
˜ ˆ § ˆ r
f f I§
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 3 de 5
a

4. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Janeiro de 2004, as 12:07
`
¸˜
37.3 Algumas conseq¨ encias das equacoes 37.4 A relatividade das velocidades
uˆ
de Lorentz
¡
¸˜
E 38-24 (42-29/4 edicao)
¡
¸˜
E 38-17 (42-20/4 edicao) A partir de medidas do deslocamento para o vermelho,
os astrˆ nomos chegaram a conclus˜ o de que um certo
o ` a
Um experimentador dispara simultaneamente duas
quasar est´ se afastando da Terra a uma velocida-
a
y £ x
lˆ mpadas de flash, produzindo um grande clar˜ o na ori-
a a
de de . O quasar
2 I€ F , que est´ na mesma direcao
a ¸˜ x
gem de seu referencial e um pequeno clar˜ o no ponto
a
que , mas se encontra mais pr´ ximo da Terra, est´ se
y x o a
RUu˜
F X km. Um observador que est´ se movendo com
a £g
’ x£
¢ afastando a uma velocidade de . Qual seria a velo- F 2
uma velocidade de no sentido positivo do eixo
F 2 ˜ cidade de afastamento de medida por um observador x
tamb´ m observa os clar˜ es. (a) Qual e o intervalo de
e o ´
localizado em ? y x
tempo entre os dois clar˜ es, de acordo com o observa-
o
Chame de o referencial fixo na Terra e de o refe-
dor? (b) De acordo com o observador, qual dos dois z n z
clar˜ es ocorreu primeiro?
o rencial fixo no quasar , movendo-se com velocidade y x
£
em relacao a Terra. Desejamos encontrar a
¸˜ ` I€ {0)
2 F
(a) Suponha o primeiro flash em repouso no re- velocidade no referencial , fixo em , que corres- n }| y x
ferencial m e chame de o referencial de repouso ponda a uma velocidade
n om £g Cz
n
em relacao a Terra
¸˜ ` 2 F~|
do segundo observador. Os rel´ gios de nenhum des- (velocidade esta que, e claro, vem a ser a velocidade do
o ´
tes referenciais medem o intervalo de tempo pr´ prio quasar
o como medida na Terra). Portanto, usando-se
entre os flashes, de modo que precisamos usar uma a transformacao INVERSA da Eq. 38.28, vemos que a x
¸˜
transformacao de Lorentz completa. Usamos flashes co- velocidade de
¸˜ medida em e
´ n }|
loridos para fixar id´ ias. Seja o tempo e
e a coor- ¡ ¡ ˜ x y 4x
£g £
denada do flash azul, como medido no referencial . m n |
%€|
)
R€ %S2 F
2 F
W g£ W £
Neste caso, o tempo do flash azul medido no referencial —23y%#§
| ) —s 2 ‚T R€ Vw#§
2 F 2 FT
n ome
´ ’£
r CI€ Q
2 € F
¡ p$
˜
¡ —8 ¡n
r onde o sinal negativo indica que esta afastando-se de
@†2 x
’ ¢£ y (i.e. movendo-se em direcao a Terra).
4x ¸˜ `
onde 0#s¤06$
F 2 ) e
NOTA: leia o livro-texto e aprenda como, a partir da
§ § £ ¤sy¢
£ H e Eq. 38.28, obter a express˜ o da transformacao INVER -
a ¸˜
W ’ x£
¢ RF 9
X § SA, acima usada.
'$a#§ ! F‚Tq#§ !
Analogamente, seja o tempo e a coordenada do
r v r s˜
flash verde, como medido no referencial . Neste caso, 37.5 m O efeito Doppler para a luz
o tempo do flash verde medido no referencial e
´ n om
¡
sp$
r ˜ £ ¸˜
P 38-31 (42-36/4 edicao)
tv 8 nr
r
2 @
Uma espaconave est´ se afastando da Terra a uma ve-
¸ a
¢£
Agora, subtraia a primeira transformacao de Lorentz da
¸˜ locidade de . Uma fonte luminosa na popa da nave F ’ g 2
segunda. Como os flashes disparam simultaneamente, parece azul ( nm) para os passageiros. Que cor ƒ‚ F
temos
r u ¡
. Seja km e seja teria a fonte para um observador terrestre que estivesse
R† ¡ q r u0
F X ˜ ˜ ˜
. Ent˜ o
¡v% rv0…v4
n a
n n assistindo a partida da nave?
`
R3R¢ £
W H e W ’ x£
¢ W Como a espaconave est´ se afastando da Terra temos
¸ a
˜v$
F ‚T IF vT
X § ‰ ©%jRVT
F § Y F X
9 n 4
que, de acordo com a Eq. 38-30,
2 c F©§%YdX
£ ’ 1¢
£ „ „
…¤©%`€
w ƒ F § Y s a#§
$
E r
$…¦§ ˆ
(b) Como e negativo, e maior do que
´ v4
n ´ ¡v
n nr v . O flash „
verde dispara antes no referencial . n om onde
e a freq¨ encia no referencial da espaconave,
´ uˆ ¸
2310($
) , e e a velocidade da espaconave em relacao a
´ ) ¸ ¸˜ `
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 4 de 5
a

5. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Janeiro de 2004, as 12:07
`
S¢ ¤¢
¥ £
Terra. A freq¨ encia e o comprimento de onda obedecem
uˆ „ O tempo de vida m´ dio dos m´ ons em repouso e
e u ´ s.
a relacao
¸˜ , de modo que se for o comprimento
0†‚
2 ‚ As medidas dos m´ ons produzidos em um acelerador
u
de onda visto na espaconave e o comprimento detec-
¸ ‚ „ „ de part´culas mostram que eles tˆ m um tempo de vida
ı e
¥ †H £
tado na Terra, ent˜ o
a , de onde tiramos que ‚ ‚ de ¨ s. Determine (a) a velocidade, (b) a energia
cin´ tica e (c) o momento destes m´ ons no referencial
e u
„ e ¢
u¦§
$ ˆ do laborat´ rio. A massa de um m´ on e
o u ´ vezes maior F
„ ~†‚
‚ E ‚ que a do el´ tron.
e
$%#§
¢ x£ 7
(a) Da Eq. 38.9 vemos que intervalos m´ dios de vi-
’I’ e
Fqˆ¦§ W ’ g £
da [ou seja, que o tempo de vida m´ dia em repouso
F e
ˆx£
¢ F T nm 
‡#§
F
e , viajando com velocidade ] est˜ o relacionados do
a  )
Este comprimento de onda corresponde a uma cor seguinte modo:
amarelo-esverdeada no espectro vis´vel.
ı
 § £
 %#§ !
$
¸˜
37.6 Uma nova interpretacao da energia
Portanto, temos
7 7
¡ § 
¸˜
P 38-38 (42-46/4 edicao) ($ #§ D#§
8
@”
Qual e o trabalho necess´ rio para fazer a velocidade de
´ a ¥x1¢
¢£
£ H £ s
um el´ tron aumentar (a) de
e para e (b) de Ib§ F
2 € 2 § F ¥ŽH £ 8 #§ E
£ 3H £
€
g
F G
H£ H IH £
F para ? Observe que o aumento de velocida-
2 R€ F ¨ s @
£2
de e o mesmo (
´ ) nos dois casos. ©¤F F
2 § g 3H £
Portanto, a velocidade pedida e´ . G`)
F 2 C€
(a) O trabalho e dado pela diferenca das energias (b) Da Tabela 38.3 vemos que a energia de repouso dum
´ ¸
cin´ ticas calculadas para cada uma das velocidades el´ tron vale
e ’
e keV. Portanto, para o m´ on a energia de
u § I§
mencionadas. Da Eq. 38.49 sabemos que
W repouso e´ T ƒ0Š‰
2 ‹
. Portanto,
§ Œ
W ’ Ie ¢
W e f£ ’
§ § ‰ Fb§aYŽI§ T F U ˆ‹
§ T 2 ‘ F b§ IbaY
’ F §
¡ H £ 8 ƒ‹
2 “ £
£
@ R©§ ‡#§ l Ib§
¨ F MeV
€ F § ‡#§ l
F
2ˆ‹ ¢ RF £ 0 W R©¤F £ qI©PF £ vT ƒ‹
F F ¨ ¨ § § ¨ € § § 2 Consequentemente,
(b)  %Œ ‰ tˆ‹ W q T
2 ‘ §
§ § H£
8 ƒ‹ ¨ W ¢ I¢ £
@ € F‡#§ l
RH £
H 2
H£ ¨RF©vT g x1¢ 8
§ § ¢£ MeV ¨ MeV
%#§ l
F @
W ’ ’
2ƒ‹‡¨RXI¨RF ¤Œ ¢ I¢ ¢ F £  ŽIIRF 1e T ƒ‹
£
€Œ € €
£
2 (c) Das Eqs. 38.51 e 38.52 temos que
Vemos claramente que . Ou seja, ¡ € £ PI©
§ X F § ”
W
2 ‘ Vq • !
‹T
quando estivermos andando com velocidades mais ele-
2
vadas, custa bem mais mudar a velocidade de uma mes- W W
£
ma quantidade ( no problema em quest˜ o).
a ©PF F
2 §
2o‘ƒVTq Žˆ…–‚T !
‹ 2 ‘ ‹ ˆ ‰
2
¡ g W ¢ I¢ £
¸˜
P 38-44 (42-55/4 edicao) §¤X0 ¨Ib§g R©0#¨ T !
F ¨ F § ˆ MeV 2 s
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 5 de 5
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